Problema sutil de tiro parabólico en un acantilado
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Verónica L. Villegas Rueda 1 , Carlos López Lima 2 1 Departamento de Ciencias Básicas, UPIITA-IPN, CDMX, México 2 Departamento de Física, ESFM-IPN, CDMX, México Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 56860 correo: [email protected] RESUMEN Se presenta una solución al problema 46 capítulo 4 Física I 4ta edición CESCA, de los autores Resnick, Halliday y Krane [1], en el cual se pide hacer una variable tan pequeña como sea posible, restringiendo la velocidad a un valor máximo finito. Se analizan las condiciones iniciales desde el punto de vista físico y matemático, se descarta la solución no acotada, ya que no es posible. Por otra parte, no se puede minimizar la variable si las condiciones iniciales varían continuamente. Palabras Clave – tiro parabólico, condiciones iniciales, restricciones Abstract –– A solution is presented to the problem 46 chapter 4 Physics I 4th edition CESCA, by the authors Resnick, Halliday and Krane [1], in which it is asked to make a variable as small as possible, restricting the speed to a finite maximum value. The initial conditions are analyzed from the physical and mathematical point of view, the unbounded solution is discarded, since it is not possible. On the other hand, the variable cannot be minimized if the initial conditions vary continuously. Keywords –– parabolic shot, initial conditions, restrictions INTRODUCCIÓN El análisis de movimiento de proyectiles es un tema obligatorio para todos los estudiantes de ciencias e ingenierías en general, incluso el tema es desarrollado y enseñado desde la secundaria o preparatoria. Es importante enseñar a los estudiantes a resolver e interpretar las trayectorias con el enfoque más sencillo posible y formal. Como parte de estos cursos de mecánica se llevan los libros de texto como [1], que es un clásico en los cursos de ciencias básicas, por lo que resulta interesante el planteamiento y solución al problema 46 del capítulo 4 en [1], referente a la sección de movimiento de proyectiles que dice: “Se lanzan proyectiles a una distancia horizontal del borde de un acantilado de altura ℎ de manera tal que aterrizan una distancia horizontal del fondo del acantilado. Si queremos que sea tan pequeña como es posible, ¿cómo ajustaríamos 0 y 0 , suponiendo que 0 pueda ser variada desde cero hasta una valor máximo finito á y que 0 puede ser variado continuamente? Sólo se permite una colisión en el suelo, véase la Fig. 1.” Fig. 1. Esquema del problema 46 del capítulo 4 del Resnick 4ta edición en español, página 86. METODOLOGÍA La ecuación de trayectoria para tiro parabólico está dada en términos de la velocidad inicial 0 y ángulo inicial 0 mediante una ecuación de parábola () = 0 − 2 0 2 2 0 2 (1) La ecuación (1) es válida para las posiciones iniciales de movimiento 0 = 0 y 0 =0 en el plano con origen en donde se lanza el proyectil, para valores iniciales de rapidez 0 y ángulo de lanzamiento 0 . El problema pide alcanzar la posición horizontal total =+ con posición vertical = −ℎ, en otras palabras sustituir en el punto , = ( + , −ℎ) como se muestra en la Fig. 1. Entonces al evaluar en (1) en el punto( + , −ℎ) =− 1 2 ± 1 2 2 + 4ℎ 0 (8) La variable en (8) es la distancia horizontal en el fondo del acantilado y está en términos de ,ℎ y el ángulo inicial 0 . Para minimizar , note que 0 debe ser evaluado en un máximo, la función 0 no tiene máximo. DISCUSIÓN Ahora de 0 2 = 2 0 (4), la velocidad es máxima cuando 0 → /2 − , ya que 0 2 →∞ y en (8) → 0⁺, lo que indica que no se puede acotar la velocidad a un valor finito si varía el ángulo 0 de forma continua. Por otro lado, analizando el tiempo que se tarda el objeto en recorrer la trayectoria, para un tiro parabólico la posición horizontal está determinada = 0 0 del cual se despeja el tiempo. En el punto =+, se denota el tiempo | =+ como el tiempo en que el proyectil le toma llegar al fondo del acantilado += 0 0 | =+ con | =+ = + 0 0 (9) Cuando 0 → /2⁻, para un valor finito 0 y sin importar el valor que tome >0, el tiempo en (9) | =+ →∞, es decir, tarda un tiempo infinito y esto no es posible, por lo cual se tiene que descartar el ángulo 0 = /2. El comportamiento de la distancia , que está definida para valores positivos, en función del ángulo 0 , el valor mínimo se da para 0 = /2 donde →0 , pero este valor no es posible físicamente. Los comportamientos mostrados en la Fig. 2. se calcularon para diferentes valores del alcance = 1, 2, . . . , 20 m y de altura del acantilado ℎ= 1, 2, . . . , 20 m. Fig. 2. Comportamiento asintótico de la solución . Sólo puede tomar valores positivos de en función del ángulo 0 , el mínimo valor posible se da para 0 = 2 donde →0, pero este valor no es posible físicamente. Una solución es utilizar el alcance máximo, es decir, tomar el ángulo donde ocurre el máximo en R= 0 2 2 0 = 0 2 2 0 0 , 0 = /4, al sustituir en (8) se tiene = −/2 + + 4ℎ/2 = + 4ℎ − /2 (10) Se obtiene en (10) una velocidad mínima 0 para que caiga el proyectil al acantilado y se obtiene un valor para , ambos son finitos. Así, el problema está acotado por una velocidad mínima para el ángulo 0 = /4, pero cuando se quiere reducir la distancia en el acantilado → 0⁺ note que no se cumple la hipótesis de la cota para la velocidad ya que 0 → /2⁻. Finalmente es posible abordar este problema utilizando Multiplicadores de Lagrange, pero es un problema para alumnos de primer semestre de licenciatura por lo cual se utilizó el presente enfoque. C ONCLUSIONES Se encuentra que hay una solución finita de para una velocidad mínima, sin embargo, no es posible obtener un valor finito de la velocidad 0 para el mínimo para un escalón de altura fija ℎ. Se encuentra que variar el ángulo 0 de manera continua se puede cometer error de evaluar en puntos donde no está definida la función (4) y (8), por lo que es necesario hacer un análisis en el rango de la solución. REFERENCIAS R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, “Física, Parte 1”, Ed. Compañía Editorial Continental, cuarta edición, 1994, p 81 Problema sutil de tiro parabólico en un acantilado
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Verónica L. Villegas Rueda1, Carlos López Lima2
1Departamento de Ciencias Básicas, UPIITA-IPN, CDMX, México2Departamento de Física, ESFM-IPN, CDMX, México
Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 56860 correo: [email protected]
RESUMENSe presenta una solución al problema 46 capítulo 4 Física I 4ta ediciónCESCA, de los autores Resnick, Halliday y Krane [1], en el cual se pidehacer una variable tan pequeña como sea posible, restringiendo lavelocidad a un valor máximo finito. Se analizan las condiciones inicialesdesde el punto de vista físico y matemático, se descarta la solución noacotada, ya que no es posible. Por otra parte, no se puede minimizar lavariable si las condiciones iniciales varían continuamente.
Palabras Clave – tiro parabólico, condiciones iniciales, restricciones
Abstract –– A solution is presented to the problem 46 chapter 4 Physics I4th edition CESCA, by the authors Resnick, Halliday and Krane [1], inwhich it is asked to make a variable as small as possible, restricting thespeed to a finite maximum value. The initial conditions are analyzed fromthe physical and mathematical point of view, the unbounded solution isdiscarded, since it is not possible. On the other hand, the variable cannotbe minimized if the initial conditions vary continuously.
Keywords –– parabolic shot, initial conditions, restrictions
INTRODUCCIÓNEl análisis de movimiento de proyectiles es un tema obligatorio paratodos los estudiantes de ciencias e ingenierías en general, incluso el temaes desarrollado y enseñado desde la secundaria o preparatoria. Esimportante enseñar a los estudiantes a resolver e interpretar lastrayectorias con el enfoque más sencillo posible y formal. Como parte deestos cursos de mecánica se llevan los libros de texto como [1], que es unclásico en los cursos de ciencias básicas, por lo que resulta interesante elplanteamiento y solución al problema 46 del capítulo 4 en [1], referentea la sección de movimiento de proyectiles que dice: “Se lanzanproyectiles a una distancia horizontal 𝑅 del borde de un acantilado dealtura ℎ de manera tal que aterrizan una distancia horizontal 𝜉 del fondodel acantilado. Si queremos que 𝜉 sea tan pequeña como es posible,¿cómo ajustaríamos 𝜙
0y 𝑣0, suponiendo que 𝑣0 pueda ser variada desde
cero hasta una valor máximo finito 𝑣𝑚á𝑥 y que 𝜙0puede ser variado
continuamente? Sólo se permite una colisión en el suelo, véase la Fig. 1.”
Fig. 1. Esquema del problema 46 del
capítulo 4 del Resnick4ta edición en
español, página 86.
METODOLOGÍA
La ecuación de trayectoria para tiro parabólico está dada en términos de lavelocidad inicial 𝑣0 y ángulo inicial 𝜙
0mediante una ecuación de parábola
𝑦(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝜙0𝑥 −𝑔
2𝑣02 𝑐𝑜𝑠2𝜙0
𝑥2 (1)
La ecuación (1) es válida para las posiciones iniciales de movimiento 𝑥0 =0 y 𝑦
0= 0 en el plano 𝑋𝑌 con origen en donde se lanza el proyectil, para
valores iniciales de rapidez 𝑣0 y ángulo de lanzamiento 𝜙0. El problema
pide alcanzar la posición horizontal total 𝑥 = 𝑅 + 𝜉 con posición vertical𝑦 = −ℎ, en otras palabras sustituir en el punto 𝑥, 𝑦 = (𝑅 + 𝜉,−ℎ) comose muestra en la Fig. 1. Entonces al evaluar en (1) en el punto(𝑅 + 𝜉, −ℎ)
𝜉 = −1
2𝑅 ±
1
2𝑅2 +
4ℎ𝑅
𝑡𝑎𝑛𝜙0
(8)
La variable 𝜉 en (8) es la distancia horizontal en el fondo del acantilado yestá en términos de 𝑅,ℎ y el ángulo inicial 𝜙
0. Para minimizar 𝜉, note que
𝑡𝑎𝑛𝜙0
debe ser evaluado en un máximo, la función 𝑡𝑎𝑛𝜙0
no tiene
máximo.
DISCUSIÓN
Ahora de 𝑣02 =
𝑅𝑔
𝑠𝑖𝑛 2𝜙0(4), la velocidad es máxima cuando 𝜙
0→ 𝜋/2−, ya
que 𝑣02 → ∞ y en (8) 𝜉 → 0⁺, lo que indica que no se puede acotar la
velocidad a un valor finito si varía el ángulo 𝜙0
de forma continua.
Por otro lado, analizando el tiempo que se tarda el objeto en recorrer la trayectoria, para un tiro parabólico la posición horizontal está determinada 𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0
𝑡 del cual se despeja el tiempo. En el punto 𝑥 = 𝑅 + 𝜉, se
denota el tiempo 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉
como el tiempo en que el proyectil le toma llegar
al fondo del acantilado
𝑅 + 𝜉 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉 con 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉 =𝑅+𝜉
𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0(9)
Cuando 𝜙0→ 𝜋/2⁻, para un valor finito 𝑣0 y sin importar el valor que tome
𝜉 > 0, el tiempo en (9) 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉
→ ∞, es decir, tarda un tiempo infinito y
esto no es posible, por lo cual se tiene que descartar el ángulo 𝜙0= 𝜋/2.
El comportamiento de la distancia 𝜉, que está definida para valorespositivos, en función del ángulo 𝜙
0, el valor mínimo se da para 𝜙
0= 𝜋/2
donde 𝜉 → 0 , pero este valor no es posible físicamente. Loscomportamientos mostrados en la Fig. 2. se calcularon para diferentesvalores del alcance 𝑅 = 1, 2, . . . , 20m y de altura del acantilado ℎ =1, 2, . . . , 20 m.
Fig. 2. Comportamiento asintótico de la solución 𝜉. Sólo
puede tomar valores positivos de en
función del ángulo 𝜙0, el mínimo valor
posible se da para
𝜙0=
𝜋
2donde 𝜉 → 0,
pero este valor no es posible físicamente.
Una solución es utilizar el alcance máximo, es decir, tomar el ángulo donde ocurre el máximo en R =𝑣02
𝑔𝑠𝑖𝑛2𝜙0 =
𝑣02
𝑔2𝑐𝑜𝑠𝜙0𝑠𝑖𝑛𝜙0, 𝜙
0=
𝜋/4, al sustituir en (8) se tiene
𝜉 = −𝑅/2 + 𝑅 𝑅 + 4ℎ/2 = 𝑅 𝑅 + 4ℎ − 𝑅 /2 (10)
Se obtiene en (10) una velocidad mínima 𝑣0 para que caiga el proyectil alacantilado y se obtiene un valor para 𝜉, ambos son finitos. Así, elproblema está acotado por una velocidad mínima para el ángulo 𝜙
0=
𝜋/4, pero cuando se quiere reducir la distancia en el acantilado 𝜉 → 0⁺note que no se cumple la hipótesis de la cota para la velocidad ya que𝜙0→ 𝜋/2⁻.
Finalmente es posible abordar este problema utilizando Multiplicadoresde Lagrange, pero es un problema para alumnos de primer semestre delicenciatura por lo cual se utilizó el presente enfoque.
CONCLUSIONESSe encuentra que hay una solución finita de 𝜉 para una velocidad mínima,sin embargo, no es posible obtener un valor finito de la velocidad 𝑣0 parael mínimo 𝜉 para un escalón de altura fija ℎ.
Se encuentra que variar el ángulo 𝜙0
de manera continua se puede
cometer error de evaluar en puntos donde no está definida la función (4) y(8), por lo que es necesario hacer un análisis en el rango de la solución.
REFERENCIAS
R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, “Física, Parte 1”, Ed.
Compañía Editorial Continental, cuarta edición, 1994, p 81
Problema sutil de tiro parabólico en un acantilado
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