problemario cuantica respondido42

8/20/2019 problemario cuantica respondido42

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Problemas y sus soluciones, de Introducción a la Mecánica Cuántica

Otoño 2011

Unidad I: El Amanecer de la Teoría Cuántica

1.1 En 1900, Max Planck halló un modelo más adecuado para la radiación del cuerpo negro(el cual ahora se conoce como ley de Planck):

a) Utilice la regla de l’Hôpital para mostrar que para la ley de Planck. Porlo tanto, esta ley es un modelo de la radiación de cuerpo negro que resulta mejor que la leyde Rayleigh-Jeans para ondas cortas.

b) Utilice un polinomio de Taylor para mostrar que para longitudes de onda largas la ley dePlanck proporciona aproximadamente los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeans.

Solución a)

En es conveniente definir la variable , con esto se obtiene: Donde B es una constante.Aplicando el límite, se tiene entonces que:

Esta forma indeterminada desaparece con la regla de l’Hôpital:

Lo cual demuestra que Solución b)Aplicando el polinomio de Taylor:

Para este caso específico


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2

Para valores grandes de longitud de onda sólo subsisten los dos primeros términos, así: Sustituyendo la expresión en la Ley de Planck:

Que es la Ley de Rayleigh-Jeans

1.2 La energía necesaria para extraer un electrón del sodio es 2.3 eV.a) ¿El sodio presentará efecto fotoeléctrico para luz amarilla con

?

b) ¿Cuál es la longitud de onda de corte para emisión fotoeléctrica de sodio?

Solución

La frecuencia mínima de luz que incida sobre el sodio para extraer electrones es:

La longitud de onda de esta frecuencia obtenida es:

⁄

Solución a)

No habrá efecto fotoeléctrico pues la luz incididente tiene menor energía que la necesaria para extraer electrones del sodio, ya que Solución b)

La longitud de onda de corte para el sodio es 1.3 Calcule la longitud de onda de de Broglie de:a) Una partícula de polvo con una masa de 2.0x10 -9 kg que se mueve a 3 cm/s.

b) Un electrón con velocidad de 107

m/s y masa de 9.1x10-31

kgCompare las magnitudes de estas cantidades y diserte, discuta, opine, etc. sobre ladiferencia encontrada. ¿Qué conclusión saca de esta comparación? ¿Es el electrón una partícula o una onda?

Solución a)

⁄


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Solución b)

⁄ Se observa que

es 1013 veces mayor que

. Esto quiere decir que las propiedades

ondulatorias de la partícula, que es de polvo, en la práctica son despreciables y difícilmente podrían ser detectadas. En cambio las del electrón se manifiestan en un experimento dedifracción. La naturaleza dual de la materia rompe con la creencia clásica de que ondas y partículas son entes separados, la nueva realidad que nos revela la mecánica cuántica es queambas propiedades están presentes en toda la materia. Algunos físicos, como RichardFeynman, aconsejan hablar de la onda-partícula para superar la antigua contradicción entreondas y partículas de la mecánica clásica.Esta concepto de dualidad nació de la hipótesis de de Broglie. Esta hipótesis, que fueverificada en experimentos de difracción; abrió el camino para que Schrödinger pudieratratar con una ecuación de onda a una partícula como el electrón y obtener de una maneranítida el espectro del átomo de hidrógeno. Este espectro fue observado por

espectroscopistas antes que las ideas cuánticas se establecieran como verdades irrefutables.La causa de que las propiedades ondulatorias de las partículas macroscópicas no puedenobservarse es la pequeñez de la constante de Planck. Esta constante divide al cosmos enmicro y macro. Algunos físicos como Dirac, señalan que esto permite definir lo grande y lo pequeño en términos absolutos. Así un objeto es grande cuando se puede despreciar elefecto de la perturbación que acompaña a la observación; y pequeño cuando esto no puedehacerse. Observable o no, esta dualidad está presente en todos los objetos del universo.

1.4 Supongamos un átomo de hidrógeno excitado al estado n=7. ¿A qué estado pasará siemite un fotón de longitud de onda 2.17x10-6 m?

Solución

La figura siguiente ilustra la transición de un electrón de un nivel superior a uno inferior


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Despejando el estado final del átomo luego de emitir el fotón, de la siguiente ecuación

1.5 Tomando la ecuación , la ley de desplazamiento de Wien puede ser escrita de lasiguiente forma: donde es la longitud de onda a la cual la radiación espectral tiene su valor máximo para una temperatura T. El valor experimental de la constante de Wien es 2.898x10-3mºK.Si se supone que la superficie de las estrellas se comporta como un cuerpo negro, podemos

obtener una buena aproximación de su temperatura midiendo . Para nuestro Sol , mientras que para la estrella Polar . Hallar la temperaturade la superficie de esas estrellas.Solución

Para el sol T=2.898x10-3mºK/5100x10-10m=5700ºK. Para la estrella Polar, T=2.898x10-3mºK/3500x10-10m=8300ºKA 5700ºK la superficie del sol está a una temperatura muy cercana a la necesaria para quela mayor parte de su radiación esté en la región visible del espectro. Lo anterior sugiere quedurante las etapas de la evolución humana, nuestros ojos se han adaptado al sol, haciéndosemás sensibles a aquellas longitudes de onda que emite con mayor intensidad. Parece ser que

no sólo el ojo humano, sino el de otras especies es producto de la radiación solar, conexcepción de los murciélagos y especies relacionadas.

1.6 Suponiendo que la temperatura de la superficie del Sol es de 5700ºK y que su radianciatotal R T corresponde a la de un cuerpo negro a esa temperatura, encuentre la energíaradiante emitida por el Sol en un segundo. Al utilizar la fórmula de Einstein parala conversión de masa en energía , encuentre también la cantidad de masa perdida por el solen cada segundo. Tome en cuenta que la superficie del Sol es aproximadamente igual a6x1020 m2. Por último, determinar el tiempo que durará nuestro sol.

SoluciónUsando la Ley de Stefan-Boltzmann, se tiene para este caso que la energía radiante emitida por el sol en un segundo es


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Usando la famosa fórmula de Einstein, se obtiene la cantidad de masa perdida por el sol encada segundo

⁄ ⁄

Por último, teniendo que la masa del sol es 1.9891x1030kg, el tiempo que le queda de vida anuestro sol es

⁄ ⁄ 1.7 Se requieren 4.2 eV para extraer un electrón del aluminio. Si este material se iluminacon luz cuya longitud de onda es de 0.2μm , encontrar la energía cinética de losfotoelectrones más rápidos y su potencial de frenado. ¿Cuál es la longitud de onda de corte para el aluminio?

Solución Con K max se puede obtener el potencial de frenado V0 Por último, la longitud de onda de corte para el aluminio es

⁄ 1.8 Fotones de longitud de onda de 0.024 Å inciden sobre electrones libres en una muestrade grafito. Encontrar la longitud de onda de los fotones que son dispersados, por medio del proceso Compton, a 30º de la dirección incidente y la energía cinética suministrada alelectrón.

SoluciónCon la fórmula del corrimiento de Compton se encuentra la longitud de onda de los fotonesdispersados ⁄


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La energía cinética suministrada al electrón es: 1.9 Utilizando la fórmula de Bohr o la de Rydberg para 1/λ, calcular las tres longitudes deonda más largas en la serie de Balmer.

Solución

Usando la fórmula de Rydberg Se sustituyen los valores de la serie de Balmer que darán las longitudes de onda más

grandes. Tales valores son las siguientes transiciones energéticas: Para Para Para

Los valores de las longitudes de onda son

1.10 Un electrón es acelerado a partir del reposo por medio de una diferencia de potencialφ=50 V. Suponiendo que el electrón no alcanza velocidades relativistas, obtener la longitudde onda de de Broglie asociada al electrón.

Solución

⁄ Con la velocidad es posible obtener la longitud de onda del electrón

⁄


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7

1.11 Suponiendo que max está en el infrarrojo cercano para el rojo () y en elultravioleta cercano para el color azul (), aproximadamente, ¿Qué temperaturaen el desplazamiento de la ley de Wien corresponde al color rojo? ¿Cuál para el color azul?

Solución

Con la ley de Wien se pueden obtener ambas temperaturas Así para el rojo Y para el azul

1.12 En un experimento se determinó que los fotoelectrones liberados de una placa de zinc por rayos ultravioleta, podían ser detenidos utilizando un voltaje de 4.3 V. Encuentre laenergía cinética máxima y la velocidad máxima para estos electrones.

Solución donde es el potencial de frenado y es la carga del electrón. Sustituyendo los valorescorrespondientes

Para determinar la velocidad máxima para los electrones

⁄

1.13 El electrón en un átomo de hidrógeno en reposo, realiza una transición desde el estadoenergético n=2 hasta el estado fundamental n=1. Encuentre: (a) la longitud de onda, (b) lafrecuencia y (c) la energía (eV) del fotón emitido.

Solución (a), (b) y (c)

Primero se hallará la longitud de onda del fotón emitido en la transición energética


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La frecuencia del fotón emitido es

La energía del fotón emitido es 1.14 Encuentre la longitud de onda del fotón que es emitido cuando un átomo de hidrógenosufre una transición de ni=5 a nf =2. Puede usar la ecuación del modelo de Bohr o la fórmulade Rydberg-Ritz

Solución

Del modelo de Bohr, los niveles de energía del fotón emitido son Entonces De los postulados de Bohr, la energía emitida por el fotón es

Y la longitud de onda del fotón es

Ahora usando la ecuación de Rydberg-Ritz

1.15 Considérese un átomo de positronio, que consiste de un positrón y un electrón que semueven alrededor de su centro de masas común, el cual se encuentra equidistante deambos.


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a) Si tal sistema fuera un átomo normal, ¿cómo sería su espectro de emisión comparado conel del átomo de hidrógeno? b) ¿Cuál sería el radio de la órbita para el estado base del positronio?

Solución (a)

La masa “nuclear” M es la del positrón, que es igual a m, la masa del electrón. Por lo tantola masa reducida es

Luego, de acuerdo a la expresión de la constante de Rydberg para un núcleo de masa M, R M , la constante de Rydberg para el átomo de positronio es Los estados de energía del átomo de positronio estarán dados por Y los recíprocos de las longitudes de onda de las líneas espectrales emitidas serían

Las frecuencias de las líneas emitidas deberán ser entonces la mitad y las longitudes deonda el doble de las del átomo de hidrógeno.

Solución (a)

Simplemente se reemplaza m por ⁄ en la ecuación siguiente derivada del modeloatómico de Bohr

Por lo tanto, para cualquier estado cuántico n el radio del electrón relativo al “núcleo”eesdos veces mayor en el átomo positronio que en el átomo de hidrógeno (con núcleoinfinitamente pesado)


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Unidad II: El Triunfo de la Teoría Cuántica

2.1 La función de onda para el estado de energía más bajo de un oscilador armónicosimple, que consiste de una partícula de masa m actuada por una fuerza de restitución linealcon constante de fuerza, se puede expresar como:

√ ⁄ ⁄ donde la constante real puede tener cualquier valor. Verificar que esta expresión es unasolución a la ecuación de Schrödinger para el potencial apropiado.Solución

La expresión se aplica al caso en el cual el punto de equilibrio del oscilador (el punto en elcual la partícula clásica estaría en reposo si no oscilara) está en el origen del eje x (x=0). Eneste caso, la energía potencial independiente del tiempo es Como puede verificarse observando que la fuerza correspondiente

es

una fuerza de restitución lineal con constante de fuerza C. La ecuación de Schrödinger paraeste potencial es

Para comprobar la validez de la solución propuesta se evalúan sus derivadas encontrándose y

√ √ √ √ √

√ Que sustituidas en la ecuación de Schrödinger dan:

√ o


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Y puesto que la igualdad se satisface la solución es válida

2.2 Derivar la ley de cuantización de la energía para el pozo cuadrado infinito, directamente

de la relación de de Broglie

metiendo un número entero de mitades de longitudes

de onda de de Broglie ⁄ en el ancho del pozoSolución

De la figura anterior es evidente que las eigenfuncioness del pozo cuadrado infinitosatisfacen la relación siguiente entre las longitudes de onda de de Broglie y la longitud del pozo Esto es, en el pozo entran un número entero de mitades de longitud de onda, lo cualsignifica Así según de Broglie, los valores correspondientes al impulso de la partícula son Como la energía potencial de la partícula es cero dentro del pozo, su energía total es igual asu energía cinética. Entonces

Que concuerda con la expresión


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donde Este cálculo trivial solamente se puede usar para el caso más simple de una partícula ligada,es decir el caso de un pozo de potencial cuadrado infinito, y no se puede aplicar paraencontrar las eigenvalores o eigenfunciones de un potencial más complicado tal como el deun pozo cuadrado finito.

2.3 El tamaño del átomo de hidrógeno, en su estado base, se puede tomar como el radio de

la capa correspondiente a n=1 para Z=1, el cual es esencialmente el radio de Bohr Demostrar que esta unidad atómica fundamental se puede obtener del principio de

incertidumbre. Sugerencia: y . También calcular la energía del estado base.

Solución

La forma de la función potencial

tiende a ocasionar un colapso del átomo, ya que a medida que la distancia entre el electróny el núcleo se hace más pequeña, la energía potencial se hace más negativa. Esta tendenciaes contrarrestada por el principio de incertidumbre de la manera siguiente; si el electrón semantiene dentro de una región de tamaño R, entonces, cualquier componente de su impulsolineal deberá tener una incertidumbre de aproximadamente

Esta incertidumbre refleja el hecho de que el impulso lineal de magnitud p puede estar encualquier dirección, de manera que sus componentes pueden tener valores entre – p y +p.Por lo tanto la incertidumbre en cualquier componente del impulso lineal, también satisfacela relación Por lo tanto, el electrón deberá tener una energía cinética aproximadamente igual a

Aquí puede verse que la energía cinética se vuelve más positiva conforme disminuye R, locual se opone al efecto que produce la energía potencial.Si el tamaño del átomo es igual a R, su energía potencial es aproximadamente


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La energía total del átomo es, aproximadamente

El átomo ajustará su tamaño de manera tal que minimice su energía total, sujetándose a la

tendencia general de todos los sistemas fiscos de ser lo más estables posible.

Examinando cualitativamente la figura anterior, en donde se grafican K, V Y E comofunciones de R, se puede ver la existencia de un tamaño óptimo. (Nótese que R no es lacoordenada radial; es el tamaño del átomo que aquí se trata como variable, con el fin dedeterminar su valor óptimo). El tamaño energéticamente más favorable, se puede encontrarcuantitativamente diferenciando E respecto de R e igualando la derivada a cero. Esto es: Resolviendo la ecuación anterior para R0, se encuentra

Luego, el valor de la energía mínima es


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La cual proporciona el tamaño con mínima energía total, y por lo tanto, el átomo másestable.El principio de incertidumbre determina el tamaño mínimo del átomo porque determina suenergía mínima. Esta es la energía del punto cero del estado base, cuya magnitud provienede su movimiento del punto cero. Estas ideas simples proporcionan una respuesta muy

satisfactoria respecto a la cuestión de la estabilidad del estado base del átomo. Esto es particularmente cierto si se considera el análisis que demuestra que el átomo, en su estado base, no emite radiaciones.

2.4 Se hace pasar un haz de átomos de hidrógeno provenientes de un horno que trabaja auna temperatura de T=400 °K, a través de un imán Stern-Gerlach de longitud X= 1m. Losátomos experimentan un campo magnético con un gradiente de 10 Tesla/m. Calcular ladeflexión transversal de un átomo típico en cada componente del haz, debida a la fuerzaejercida sobre su momento magnético dipolar del spin, en el punto en el que el hazabandona el imán.

Solución

Para esta temperatura los átomos están en su estado base y no tienen impulso angularorbital o momento magnético dipolar orbital. Su energía cinética típica es (3/2)kT donde k es la constante de Boltzman. La fuerza transversal que experimentan es y puesto que , esto es

La velocidad longitudinal típica v x, de un átomo de masa M que viaja por el imán se puedeevaluar mediante Así

Entonces el tiempo t durante el cual el átomo experimenta la fuerza transversal cuandoviaja a través de un imán de longitud X es


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Debido a la fuerza, existe una aceleración transversal a s=F s /M y consecuentemente unadeflexión transversal

⁄ ⁄

La separación entre las componentes es más de medio centímetro lo cual es muy fácil deobservar.

2.5 Estimar la magnitud de la energía potencial de orientación

para el estado n=2 y

del átomo de hidrógeno para comprobar si es del mismo orden de magnitud que el

desdoblamiento de estructura fina observado del nivel de energía correspondiente. (Noexiste energía spin-órbita en el estado n=1, ya que para n=1 el único valor posible de es , que significa L=0)Solución

El potencial es

Así que

Y

La Magnitud de es aproximadamente , ya que cada uno de estos vectores deimpulso angular tiene una magnitud de aproximadamente . El valor esperado de ⁄ para el estado n=2 es aproximadamente ⁄ . Entonces

|| || Puesto que puede ser tanto positivo como negativo, dependiendo de la orientaciónrelativa de los dos vectores, el nivel de energía para el nivel n=2, del hidrógeno, E2=-3.4eV, se ve que la relación del desdoblamiento de la energía predicho a la energía misma| ⁄ |, es alrededor de una parte en 104. Esta es una concordancia razonable con el


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desdoblamiento necesario para explicar la estructura fina de las líneas del espectro delhidrógeno asociadas con este nivel.

2.6 Evaluar la densidad de probabilidad para la función del estado de menor energía de un

oscilador armónico simple, que consiste de una partícula de masa m actuada por una fuerzade restitución lineal con una constante de fuerza C. La función de onda de este oscilador se puede expresar como: √ ⁄ . ⁄ / donde la constante real A puede tener cualquier valor.

Solución

La función de onda es √ ⁄ . ⁄ / Por lo tanto la densidad de probabilidad es

√ ⁄ . ⁄ / √ ⁄ . ⁄ / √ Obsérvese que la densidad de probabilidad es independiente del tiempo a pesar que lafunción de onda sí depende del tiempo. Posteriormente se verá que esto es cierto encualquier caso en el cual la partícula asociada con la función de onda está en un solo estadode energía. En la parte superior de la siguiente figura siguiente de representa por la curvacontínua a la densidad de probabilidad P predicha por la mecánica cuántica. La probabilidad de que unamedición de la localización de la partícula oscilante ocurra en unelemento del eje x entre x y x+dx es igual a Pdx.

Puesto que P tiene un máximo en x=0, punto de equilibrio del oscilador, la mecánicacuántica predice que es más probable encontrar a la partícula en un elemento dx localizadoen el punto de equilibrio. Alejándose en cualquier dirección de esta localización, la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento de la misma longitud dx decrecemuy rápidamente, pero no existen límites bien definidos más allá de los cuales la probabilidad de encontrar a la partícula en un elemento del eje x sea precisamente cero.


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2.7 Un átomo de helio está confinado a moverse unidimensionalmente entre dos paredesrígidas separadas por 1μm. Obtener las tres velocidades más bajas permitidas para elátomo.

Solución

Usando Se obtiene

Se observa que

Y con Se obtienen las tres velocidades más bajas permitidas para un átomo de He confinado amoverse unidimensionalmente entre dos paredes rígidas separadas por 1μm:


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⁄ ⁄ ⁄ 2.8 Dentro de un pozo de potencial cuadrado unidimensional de paredes infinitas un

electrón se encuentra en el estado n=1. Encontrar la longitud L del pozo para la cual lafuerza F ejercida por el electrón sobre las paredes sea de un Newton. Utilizar el hecho quecuando la longitud del pozo cambia por dL, la energía cambia por .SoluciónSea la energía del electrón dentro de un pozo de potencial cuadrado

La longitud del pozo es

2.9 Un electrón incide sobre una barrera de potencial rectangular de altura yancho a=1.8x10-10m. Esta barrera rectangular es una idealización de la barrera queencuentra un electrón al ser dispersado por un átomo de gas ionizado negativamente en el“plasma” de un gas de un tubo de descarga. La barrera real no es rectangular pero esaproximadamente de la altura y ancho mencionados. Evaluar el coeficiente de transmisión

T y el coeficiente de reflexión R como una función de la energía total E del electrón.

Solución

Si E es una función razonable de V 0, la longitud de penetración será comparable alancho de la barrera a. Entonces se puede esperar una transmisión apreciable a través de la barrera. Para determinar exactamente qué tanto se transmite, se utilizan los números dados para evaluar la combinación de parámetros Que intervienen en la expresión del flujo de probabilidad transmitido (T ) a través de la

barrera a la región x>a. Con lo cual es posible graficar T y también contra E/V 0,en el intervalo ⁄ . La gráfica se muestra a continuación


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Se observa en la figura que T es muy pequeña cuando

⁄. Pero cuando E/V 0 sólo es

algo menor que uno, de modo que E es casi tan grande como V 0 T no es nada despreciable.Por ejemplo cuando E es la mitad de V 0 así que E/V 0=0.5, el coeficiente de transmisióntiene el valor de que es apreciable y que muestra que los electrones pueden penetrar esta barrera con relativa facilidad.Para E/V 0>1, el coeficiente de transmisión T es en general algo menor que uno, permitiendola reflexión en las discontinuidades del potencial. Sin embargo de una de las expresionesdel coeficiente de transmisión T , se ve que T=1 siempre que , lo cual essimplemente la condición de que la longitus de la región de la barrera, a, sea igual a un

número entero o semientero de las longitudes de onda de de Broglie . Paraesta barrera en particular, los electrones de energía

satisfacen la

condición

y por lo tanto pasan a la región x>a in ninguna reflexión. El

efecto es un resultado de interferencia constructiva entre las reflexiones en x=0 y x=a yestán íntimamente relacionadas con el efecto Ramsauer observado en la dispersión deelectrones de baja energía por átomos de gases nobles, en los cuales los electrones deciertas energías, en el rango de unos pocos eV, pasan a través de estos átomos como si estosno estuvieran y por lo tanto tienen coeficientes de transmisión iguales a uno. Esencialmenteen la dispersión de neutrones se ve el mismo efecto, siendo éste llamado resonancia portamaño.

2.10 Debido a que las eigenfunciones de oscilador armónico simple para n pequeñas tienenformas matemáticas simples, no es muy difícil verificar por substitución directa quesatisfacen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el potencial: (en la ecuación anterior C es una constante) y los eigenvalores para el potencial deoscilador armónico simple dado por: ( )


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Hacer esta verificación para n=1. (Para n=0 la función de onda se verificó por substitucióndirecta en la ecuación de Schrödinger)

Solución

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es Para verificar que el eigenvalor

y la eigenfunción

satisfacen la ecuación, se evalúan las derivadas [ ] , -

y

,

-

{, - ,-} * + * + La substitución de

y en la ecuación que se supone que satisface, conduce a

Puesto que la inspección muestra que se satisface, la verificación está completa


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2.11 Una partícula limitada en el eje x tiene una función de onda entre x=0 y x=1;fuera de esta región .a) Encontrar la probabilidad de que la partícula se pueda encontrar entre x=0.45 y x=0.55. b) Encontrar el valor de expectación 〈〉 de la posición de la partícula.c) Calcular la energía cinética de la partícula.

d) Determinar el potencial V(x) en el que se mueve la partículae) Calcular 〈〉 f) Explicar las diferencias con la solución de la partícula encerrada en una caja de paredesinfinitas.

Solución (a)

La probabilidad es

∫ ||

∫

Solución (b)

El valor de expectación es

〈〉 ∫ ||

∫

Solución (c)

Sea ̂ 〈 〉 ∫

∫

Solución (d)

, - , - Solución (e)〈〉; sea y sea y

∫


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Sea

〈〉 ∫

∫

∫

Esta es una recta ax.

Solución (f)

En la caja de paredes infinitas la función está representada mediante una solución desenos y cosenos, mientras que en este ejercicio la función de onda representa a una recta.

2.12 Encontrar la probabilidad de que una partícula atrapada en una caja de ancho L se pueda encontrar entre 0.45 L y 0.55 L para el estado base y el primer estado excitado.

Solución

. /

./


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23

∫ || ∫ . /

∫

./ ./ ./

.

/ .

/

./ ./ ./ ./

./

. /

2.13 Si un sistema tiene un momento angular caracterizado por el número cuántico l=2.¿Cuáles son los valores posibles de L z ? ¿Cuál será la magnitud L? y ¿cuál es el ángulo más

pequeño posible entre y el eje z ?


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Solución

La siguiente figura representa al sistema del problema

√ El ángulo más pequeño posible entre y el eje z es

√ √ 2.14 Encontrar la velocidad ecuatorial de un electrón considerando que es una esfera deradio r =5.00x10-17 m que está rotando alrededor de un eje que pasa por su centro.

Solución

Aplicando la cuantización del momento angular (Bohr), para n=1:

⁄ 2.15 Enumerar los valores posibles de los números cuánticos j y m j , para estados en loscuales l=2, y por supuesto s=1/2.

Solución

Los dos posibles valores de j son 5/2 y 3/2 1/2.

Para j=5/2, los valores posibles de son -5/2, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, 5/2. La misma ecuaciónde donde se obtuvieron los valores anteriores establece que para j=3/2 los valores posiblesde son -3/2, -1/2, 1/2, 3/2. Los diagramas vectoriales para este caso se presentan acontinuación. Su interpretación resulta obvia de la simple inspección.


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Unidad III: Las Aplicaciones de la Teoría Cuántica

3.1 El tratamiento más simple, pero menos preciso, del átomo de helio, implica ignorar lainteracción de Coulomb entre sus dos electrones y tomar la energía total del átomo, como lasuma de la energía de cada electrón, considerándolo como un átomo de un solo electrón, en

torno al núcleo de Z=2. Utilizar este tratamiento para predecir las energías del estado base ydel primer estado excitado del átomo.

Solución

De la siguiente ecuación que describe los valores permitidos de la energía totalcorrespondiente a estados ligados del átomo

Se tiene que para los eigenvalores del átomo con un solo electrón

Donde se toma Z=2. En el estado base, los números cuánticos n 1 y n2 son iguales a 1, y seobtiene En el primer estado excitado, uno de estos números cuánticos es igual a 1 y el otro a 2,obteniéndose

Las energías predichas se muestran en el primer miembro del diagrama de energíassiguiente.En el segundo miembro de la figura se muestran las energías de los primeros niveles delhelio, obtenidas de medidas del espectro óptico emitido por dicho átomo. Las prediccionesson bastante incorrectas debido a que la interacción de Coulomb entre dos electrones delátomo no es realmente despreciable en comparación con las interacciones de Coulombentre cada electrón y el núcleo, como se supuso en este tratamiento simple y también porque el tratamiento ignora las fuerzas de intercambio.


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3.2 Dado que para una molécula de HC (Ácido Clorhídrico) vibrando la constante defuerza equivalente C, es aproximadamente 470 N/m, estimar la diferencia de energías entreel primero y el más bajo de los niveles vibracionales del HC.Solución

La masa reducida de la molécula de HC (Ácido Clorhídrico) es

La diferencia de energías entre el primero y el nivel vibracional más bajo es

3.3 La energía de Fermi, , para el litio es 4.72eV a T=0ºK. Calcular el número deelectrones de conducción por unidad de volumen en litio.

Solución

Entonces el número de electrones libres por unidad de volumen es

En donde m es la masa del electrón. Entonces, con , tenemos el número deelectrones de conducción por unidad de volumen.


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Lo anterior corresponde exactamente a un electrón libre por cada átomo de litio, ya que elnúmero de átomos de litio por unidad de volumen, en litio de densidad 0.534g/cm3 es

3.4 Hacer una estimación a grosso modo de la energía de enlace del electrón donante delarsénico en un cristal de germanio, tomando el valor de la constante dieléctrica del cristalcomo k=16 y el valor de la masa efectiva del electrón como m*=0.2m.

SoluciónLa energía en el átomo de hidrógeno es inversamente proporcional al cuadrado de laconstante dieléctrica

en el vacío, y directamente proporcional a la masa del electrón, así

que la estimación es: 3.5 Hacer un dibujo que muestre cualitativamente la diferencia entre conductores,semiconductores y aislantes según la Mecánica Cuántica. Hacer una tabla de varios de estosmateriales con sus respectivos anchos de banda prohibida.

Solución

La diferencia entre conductores, semiconductores y aislantes de acuerdo a la mecánica

cuántica está en el ancho de la banda prohibida, tal como se muestra en la siguiente figura.En un conductor la banda de valencia y de conducción se traslapan, por lo que no existe banda de energía prohibida. En un semiconductor los valores de banda prohibida son, mientras que en un aislante la separación es más grande, con un ancho que tomavalores de .


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La siguiente tabla presenta la banda prohibida de algunos elementos y compuestossemiconductores

sustancia GAP sustancia GAP

Si 1.124eV Diamante 5.5eVGe 0.663eV Nitrido de Ga 3.4eV

As 1.2eV Nitrido de B 5.5eV

InSb 0.17eV Nitrido de Al 6.2eV

GaAs 1.43eV

CdSe 1.74eV

semiconductores aislantes

3.6 Debido a la gran diferencia de las masas entre un átomo de hidrógeno y uno de yodo,las oscilaciones de estos átomos alrededor de sus posiciones de equilibrio en la molécula HIse pueden modelar como un oscilador armónico de masa m≈mH (el átomo de yodo casi permanece fijo) y constante de fuerza κ=313.8 N m-1. Evaluar la separación de los nivelesde energía y predecir la longitud de onda de la luz necesaria para inducir una transiciónentre niveles de energía vecinos.

Solución

⁄ ⁄ 3.7 La rotación de la molécula HI puede ser modelada como un átomo de hidrógenoorbitando alrededor de un átomo de yodo, casi estacionario, a un radio de 160x10 -12 m. Sise supone que la rotación tiene lugar en un plano, ¿cuáles son sus niveles de energía? ¿Cuál

es la longitud de onda de la radiación emitida en la transición ?Solución


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La longitud de onda de la radiación emitida en la transición

es

3.8 Hacer una estimación del número relativo de electrones de conducción en un metal queson excitados térmicamente a estados de mayor energía.

Solución

En la figura anterior se muestra que la mayoría de los electrones excitados se encuentran enun intervalo sobre la energía de Fermi , donde . Suponiendo que , el número de electrones excitados se puede calcular de ( )()() ( ) De la ecuación

. /; para Se obtiene que


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Por lo tanto,

.

/

. /

La fracción de electrones de conducción que puede ser excitada térmicamente, es pequeña.

A la temperatura ambiente , y típicamente , de modo que . Sin embargo, el número absoluto de electrones de conducción excitados es grande, porque de por sí es muy grande.3.9 Considérese una banda prohibida de anchura que separa una banda de valencia y una banda de conducción simétrica vacía, en un semiconductor intrínseco. Demostrar que laenergía de Fermi se encuentra en el centro de la banda prohibida, es decir, que si se toma como el extremo superior de la banda de valencia.Solución

Se puede hacer la demostración considerando la figura anterior en la parte de arriba. En lafigura se graficó , o sea, el número de estados cuánticos por intervalo unitario deenergía, para la parte de superior de la banda de valencia y la parte inferior de la banda deconducción. En la figura, la energía de Fermi se coloca tentativamente en el centro del


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intervalo de anchura entre las dos bandas. La densidad de estados se traza demodo que su comportamiento descendente al dirigirse a la parte superior de la banda devalencia, sea simétrico a su comportamiento al alejarse del fondo de la banda deconducción. Lo anterior se encuentra en concordancia cualitativa con el comportamientogeneral de

a lo largo de toda una banda aislada.

En la parte media de la figura, se muestra la función de distribución Fermi , que es elnúmero probable de electrones por estado. Para mayor claridad, se constituye unatemperatura de operación donde . También se construye para en el centro de la banda prohibida.La curva continúa en la parte inferior de la figura muestra el producto , que proporciona el número de electrones por unidad de energía en varios estados a latemperatura antes mencionada. La curva discontinua, muestra lo mismo pero a latemperatura del cero absoluto. En AT=0, los estados de valencia se encuentran totalmentellenos, y los estados de conducción totalmente vacíos, de modo que la curva discontinua enla región de valencia es , mientras que el eje es la región de conducción. El área A,que se encuentra entre las curvas discontinua y continua en proporcional a los estados de

valencia que deja el electrón cuando la temperatura aumenta; es decir, es una medida delnúmero de espacios vacíos cerrados. El área B, entre las curvas continua y discontinua es proporcional al número de electrones que son promovidos a estados en la banda deconducción a la temperatura de operación.En un semiconductor intrínseco, es necesario que el área A sea igual al área B, ya que ladensidad de agujeros en la banda de valencia es igual a la densidad de electrones en lavandade conducción. Es evidente que esta condición se satisface en la figura, pues se construyócon en el centro de la banda prohibida. El estudiante podrá ver rápidamente que esto nose satisface si se escoge de otra manera, debido a la simetría de , respecto a y a lasimetría aproximada de , respecto al centro del intervalo de energías anterior.3.10 Hacer una estimación del número relativo de electrones en la banda de conducción deun aislante o de un semiconductor a temperatura T.

Solución


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La figura anterior muestra una imagen exagerada de la distribución de energías de loselectrones como un producto de la densidad de estados y la distribución de Fermi que sea apropiada en las bandas de valencia, prohibidas y de conducción de unaislante. Si, en lugar de la distribución de Fermi , se tiene , entonces:

⁄ ⁄

de modo que en ese intervalo de energías, la distribución de Fermi varía con la energía,como la distribución de Boltzmann. Luego, sépase que ⁄ en el fondo de la banda de conducción de un aislante, si se mide de la parte superior de la banda devalencia. Entonces, como para un aislante, entonces se cumple la condición . Por lo tanto, se puede tomar ⁄ ⁄ como el número de electrones por estado en la banda de conducción de un aislante.La distribución de Fermi decae en su valor por un orden de magnitud, en un intervalo de

energías de aproximadamente de modo que se puede obtener una buenaestimación de , el número de electrones de conducción, calculando los que seencuentran en un intervalo de 2kT por encima del fondo de la banda de conducción. Ahora bien, como enseguida debe evaluarse , la densidad de estados.Dedo que empieza en cero, en el fondo de la banda de conducción, se obtiene un buen valor promedio sobre el intervalo , evaluando cuando . portanto, ⁄ Se utilizará aquí el resultado ⁄ para un metal con una estimación delnúmero total de electrones. También se utilizará el resultado que

⁄ ⁄ ⁄ , de modo que se obtiene ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

o bien ⁄ ⁄

Éste es el número relativo de electrones de conducción para un aislante.Esta fracción, es mucho menor que el resultado correspondiente

⁄ para un metal en

parte, porque la densidad de estados es más pequeña cerca del fondo de la banda deconducción en un aislante que a la energía de Fermi en un metal, pero principalmente por elfactor de ocupación ⁄ . Si se toma con el intervalo de energías prohibidasen un aislante típico, de modo que a la temperatura ambiente este factor es ⁄ . La fracción ⁄ no sólo es insignificante, sino que el número absolutode electrones de conducción también es despreciable para un aislante. Sin embargo, si , como en un semiconductor, entonces, a pesar de que ⁄


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es una fracción muy pequeña, el número de electrones de conducción ya no esinsignificante.

3.11 Escriba la configuración electrónica del: (a) cloro, (b) zinc, (c) germanio. El número

atómico para los átomos anteriores es Z=17, Z=30, Z=32, respectivamente.Solución O en la notación breve ,- , -

, -

3.12 Calcule la masa reducida del HC (Ácido Clorhídrico), siendo la masa del átomo dehidrógeno de 1.01 u y la del átomo de cloro de 35.5 u. (El valor de u esta dado en elsiguiente problema)

Solución

La masa reducida del HC (Ácido Clorhídrico), es:

3.13 Encontrar la energía de Fermi en el cobre considerando que cada átomo de cobrecontribuye con un electrón libre al gas del electrón. (Esto es razonable debido a que unátomo de cobre tiene un solo electrón 4 s en su capa más externa). La densidad del cobre es =8.94g/cm

3, y su masa atómica es 63.5u, siendo 1u=1.66x10-27 kg

Solución

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

Luego


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3.14 ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de arrastre de los electrones en un alambre decobre típico de radio R=0.815 mm que lleva una corriente de 1 A ? (Densidad del cobre =8.92g/cm

3, masa molar del cobre M=63.5 g/mol )

Solución

Sea la densidad de electrones que atraviesan el área transversal del alambre de cobre porunidad de tiempo, que es la definición de la corriente I . Para n se tiene que donde ⁄ y es el número de Avogadro; entonces

⁄ Para obtener la velocidad de arrastre , se debe obtener el área transversal del conductor A La velocidad de arrastre es ⁄ ⁄ 3.15 Determinar los valores del número cuántico de spin nuclear i, para los núcleos en N2 y

O2, utilizando las relaciones de intensidades, medias, 1/2 y 0/1 en la siguiente ecuación: donde es el número de estados de spin asimétrico, y es el número de estados despin simétrico.

Solución

Como los valores posibles de i se restringen a i=0, 1/2, 1, 3/2, 2…, inmediatamente se puede demostrar por simple inspección que la solución de

es i=1. Este es el spin del núcleo de N (es decir, de su isótopo N14 que es el másabundante).Para


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la solución es obviamente i=0. Este es el spin del átomo de O (realmente de su isótopo másabundante, O16, ya que los otros isótopos, O17 y O18, son tan raros que el abundante dominaal espectro).

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