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Problemario de cálculo diferencial e integral Parte I Alfonso C. Becerril Espinosa Básicas UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

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Problemario de cálculodiferencial e integral

Parte I

Alfonso C. Becerril Espinosa

BásicasUNIVERSIDAD

AUTÓNOMAMETROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

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Problemario de cálculodiferencial e integral

Parte I

Alfonso C. Becerril Espinosa

División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias Básicas

UNIVERSIDADAUTÓNOMA

METROPOLITANA

Casa abierta al tiempo Azcapotzalco

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UAM-AZCAPOTZALCORECTOR

Mtro. Víctor Manuel Sosa GodínezSECRETARIO

Mtro. Cristian Eduardo Leriche GuzmánCOORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO

Mtra. María Aguirre TamezCOORDINADORA DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA

DCG Ma. Teresa Olalde Ramos

JEFA DE LA SECCIÓN DE PRODUCCIÓN Y DISTRIBUCIÓN EDITORIALES

DCG Silvia Guzmán Bofill

ISBN: En trámite

© UAM-AzcapotzalcoAlfonso C. Becerril Espinosa

Diseño de Portada:Modesto Serrano Ramírez

Universidad Autónoma MetropolitanaUnidad AzcapotzalcoAv. San Pablo 180Col. Reynosa TamaulipasDelegación AzcapotzalcoC.P. 02200México, D.F.

Sección de produccióny distribución editorialesTel. 5318-9222/9223Fax. 5318-9222

2a. edición, aumentada y corregida, 19883a. edición, 2003

Impreso en México.

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AGRADECIMIENTOS.

Hago un profundo agradecimiento a Jaime Grabinsky Steider que

siendo jefe del Departamento de Ciencias Básicas me ofreció todo el

apoyo y más importante, estímulo para que diera inicio a esta serie

de problemarios de cálculo.

No puedo dejar de reconocer a Carlos Zubieta, como Jefe del Area

de Matemática Educativa, su constante preocupación y colaboración pa-

ra la buena marcha de este proyecto.

Han sido importantes las revisiones y sugerencias que Raúl Amez-

cua aportó para mejorar el texto.

Consejos y amable compañía de Viney Badel han coadyuvado al

estado de ánimo requerido para un desempeño productivo.

La supervisión de Carlos Ulín Jiménez contribuyó a mejorar la

edición de este problemario.

El eficiente mecanografiado de Teresa Rangel y la siempre diligente

asistencia de Norma Caballero han permitido ver la conclusión de este

trabajo.

Finalmente, agradezco la meticulosa labor de los dibujos realizados

por Sergio Guerra Aguayo y la participación profesional de la Comisión

editorial de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería.

EL AUTOR

ALFONSO C. BECERRIL, E.

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ALFONSO JORGE BECERRIL C

ARACELI JAZMÍN BECERRIL C.

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Í N D I C E

INTRODUCCIÓN.

PARTE I.

1) CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA BAJO UNA CURVA 11

A) POR MEDIO DE UNA CUADRÍCULA.B) POR MEDIO DE RECTÁNGULOS.

2) ÁREA BAJO UNA CURVA (INTEGRAL). 19

3) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (INSTRUMENTO MATEMÁTICO),,ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONES DADAS POR INTEGRAL, YPARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES). 33

4) INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLES, 63

5) INTEGRACIÓN POR PARTES. 79

6) APLICACIONES DE LA INTEGRAL A: 93

A) CÁLCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS. 95

B) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: 128

ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DE UNEJE PARALELO AL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE Y.

c) CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR UNA FUNCIÓN. 164

D) LONGITUD DE ARCO. jggE) INTEGRAL IMPROPIA.

7) EJERCICIOS ADICIONALES 213

BIBLIOGRAFÍA 241

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1NTR0VUCCT0N

El presente trabajo tiene como principal objetivopresentar problemas resueltos de Calculo Diferen-cial e Integral (C.P. I )

En cada ¿ccc¿6n de z&tz pKobltmaKÍo ¿<¿ da ana bKz_\)Z ^introducción tzóK^ca, pn<¿¿>untando alguno* K<¿-¿ultadoA dzl C .P . I . quz ¿e tmplzaián an QX dn¿a-suiollo dd la m¿¿ma. S¿n mbaügo, z^tt trabajoptiz&uponz que e£ Itcton, ha estado familiarizadocon lo¿ Kd¿ultado.i> teóricos del C .P . I . que ¿>e em-plean en cada sección.

Al filnal de cada sección ¿e presentarán problemasa resolver y su solución está, dada al ^Inal delproblemarlo .

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1CALCULO APROXIMADODEL ÁREA BAJO UNA CURVA

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Cuando queremos calcular el área de una figura geométrica tal como: rectángulo,

triángulo, paral elogramo etc., lo que prácticamente hacemos es aplicar alguna fórmu-

la algebraica que nos permita realizar el cálculo del área de la figura geométrica

correspondiente, pero si deseamos calcular el área A bajo la gráfica de una fun-

ción continua no negativa f(x) sobre un intervalo [a;bj, tal como la que se demue£

tra en la siguiente figura,

entonces el problema resulta algo más complicado; en un principio, algo que se nos

puede ocurrir es que, si en lugar de calcular el área A en forma exacta aproxima-

rnos el valor de A, entonces este nuevo problema pudiera ser mas fácil de resolver,

Una manera de aproximar el área A es mediante el trazo de una cuadrícula sobre el

plano donde se encuentra el gráfico de f(.x) como se muestra en la siguiente figura

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a i

después de dibujar la cuadrícula realizamos la suma del área de los cuadrados que

quedan "dentro11 de la gráfica y entre los tres segmentos a los lados del área por

calcular, una mejor aproximación al valor de A la obtendremos si hacemos una cuadrí-

cula más "fina11 que la cuadrícula anterior, es decir, una nueva cuadrícula donde los

cuadrados tengan lado menor que el lado de un cuadrado en la cuadrícula anterior y

nuevamente sumaríamos las áreas de los cuadrados que quedan dentro de la gráfica y

los tres segmentos a los lados del área A por calcular, desde luego el proceso de

la cuadricula podría continuar para seguir obteniendo una mejor aproximación al área

exacta A, aunque como vemos, este proceso es tedioso.

Otra menera de realizar la aproximación al área A será mediante la formación de

rectángulos inscritos y circunscritos sobre la gráfica de f(x) tal como se muestra

en la siguiente figura.

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h

estos rectángulos se forman de la siguiente manera, se divide el intervalo Ca;b] en

n subintervalos de extremos

x0 = a, , x2,...,xn = b con xo < < . . .< X.

éstos intervalos no necesariamente de igual longitud, posteriormente la altura de los

rectángulos superiores se obtienen del mayor valor adquirido por f(x) sobre el inter-

valo xi+rJ

Similarmente la altura de los rectángulos inferiores se obtienen del menor valor ad-

quirido por f(x) sobre el intervalo £xit xi+fj posteriormente procedemos a calcular,-

por ejemplo, la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores); de

esta manera tenemos un valor aproximado al área A. Indudablemente, una mejor aproxi-

mación al área A se obtendrá si el intervalo Ca;b] es dividido en un número N ma-

yor de subintervalos porque de esta manera tendríamos más rectángulos inscritos y

circunscritos sobre la gráfica de f(x), como puede verse en la siguiente figura:

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Claramente la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores) será

más próximo al área A, de esta manera podríamos continuar con el proceso de aproxi-

mar el área A.

Es importante tener en cuenta que en el caso de aproximación al área A por medio de

rectángulos se aprovecha la función para calcular sus alturas lo cual posiblemente

pueda hacer más práctico y rápido este método de aproximación que el método de

aproximación por cuadrados.

En la aproximación al valor del área A por medio de rectángulos, cabe destacar que

la diferencia entre la suma de las áreas de los rectángulos superiores con los infe-

riores se tiene una área que se considera como el error que se comete al aproximar

el área A por medio de las áreas de los rectángulos inferiores (o superiores), de

hecho, para funciones f(x) crecientes (o decrecientes) podemos obtener una fórmula -

para calcular este error, por ejemplo, si la función f(x), es creciente sobre el in-

tervalo a;b , y deseamos aproximar el valor de A, entonces podemos dividir dicho

intervalo en N subintervalos de igual longitud 1

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1 = b - a

para formar los rectángulos superiores e inferiores cuyas bases están determinadas

por los puntos

x0 = a, xi = a + 1, x2 = a + 21,..., xn = a + ni.

como se muestra en la siguiente figura

Asi tenemos

At | A •

i i i_ á

fc»H •-Y»

suma de áreasde rectángulosinferiores

(^-)f(a) + (^)f(a +n n+...+ (^)f(a + i ^n n

n-1i: fíai=0

. A

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suma de áreas . a . . . a • . a . ade rectángulos « (^)f(a + ii) + (^)f(a + 2^-) +.. . + (5ii)f(a +superiores, r " n

b a ba k a n f(a + i^a , A.

11 •_ i

En primer lugar tenemos las siguientes desigualdades

F > a + i^5-) <- A <nn i=0

Donde los valores de los sumatorios en los extremos son valores aproximados a A,

en segundo lugar, la diferencia de la suma de las áreas de los rectángulos superio

res con la de los inferiores dá:

;—)> f(a + i^±) - ±'} f(a + i^-) = (—)(f(b) - f(a))

el valor de la igualdad en 3 es precisamente el valor de la suma de las áreas de los

rectángulos rayados de la figura anterior, este valor será el error cometido al cal-

cular el valor de A por medio de la suma de las áreas de los rectángulos inferiores

o superiores.

OBSERVACIÓN: Respecto de la igualdad en 3, el segundo miembro se puede reducir con-

forme n es cada vez más grande, esto significará que la suma de las áreas de los rec

tángulos inferiores (o superiores) se aproximan más al área exacta A, desde luego

cuando n-> + oo se tiene que la suma de las áreas de los rectángulos inferiores (o su[

periores) dan el valor exacto A.

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2ÁREA BAJO UNA CURVA(INTEGRAL)

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Podemos decir qué el método de aproximación al área A bajo el gráfico de una función

f(x) sobre el intervalo [a;bl mediante rectángulos inscritos y circunscritos no sola_

mente es práctico sino que cuando dicho intervalo lo dividimos en un numero "infini-

to" (n-^ + oo) de subintervalos la sumatoria infinita de áreas de rectángulos nos da

el valor exacto de A, esta idea la podemos aprovechar de la siguiente manera:

Para calcular el área debajo de la gráfica de una función f(x) sobre un intervalo

Ca;bl primeramente dividimos este intervalo en n subintervalos de igual longitud L.

L = b-a

posteriormente formamos los rectángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de

la función f ( x ) , en seguida efectuamos la suma de las áreas de los rectángulos infe-

riores (o superiores) y este valor será próximo al valor de A y para calcular el va-

lor exacto de A se procederá a hacer n•* + <»., para formar una "infinidad" de rectán-

gulos inscritos y circunscritos a la gráfica sobre el intervalo Ea;bl y la sumatoria

común * resultante será el valor exacto de A; al valor común de las sumatorias i n f i -

nitas se les llama la integral de la función f (x) sobre el intervalo [ a ; b l y se deno

ta por el símbolo

f(x)dx.

de esta manera tenemos

A = f(x)dx,

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es decir, el área bajo la gráfica de una función continua f(x) > 0 sobre el interva-

lo Ca;bl es la integral de la función

NOTA: Para funciones negativas la integral se define en la misma forma que para fun

ciones positivas excepto que el valor resultante es negativo, y para funcio-

nes que toman valores positivos y negativos el área encerrada, por la gráfica

ca de la función es la suma algebraica de las áreas encerradas por su parte

negativa.

* EL VALOR RESULTANTE NO SIEMPRE ES FÁCIL DE OBTENERLO.

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A continuación ilustramos la aproximación al área bajo la gráfica de una función

f(x) > 0 mediante rectángulos.

Consideremos la función f(x) = x sobre el intervalo £l;4l, su gráfica se muestra en

la siguiente figura

í

podemos aproximar el área A por medio de rectángulos formados con la función

f ( x ) = x.

Al d i v i d i r el intervalo [ l ; 4 l en n subintervalos ' X ^

mos que la longitud de cada subintervalo es:

de igual longitud L, teñe

L =4-1 3n n

y los extremos de dichos subintervalos son:

x =1, x = l + | , x = - ,..., x. = -| ,.,-, xn = -¿ = 4

3cuya longitud de cada subintervalo es — , con estos extremos podemos formar los rec

n —

tángulos inscritos y circunscritos a la gráfica de la función f(x) como se muestra

en la siguiente figura

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t

Consecuentemente tenemos:

suma de las áreasde los rectángulos =inferiores.

2¿) + (¿)n n

base rectánguloinferior

altura re£tángulo i]iferior.

(1) n.

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NOTA: 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n =

demostrar por inducción.

n^ *'- es válida para todo natural N y se puede

Suma de las áreas \de los rectángu- = ( )los superiores. n

base rectájigulo supe--rior 1.

altura rec^tángulo su-perior 1.

base rectájiguio supe--rior 2.

altura rec-tángulo su-perior 2.

>

base rectá£gulo supe--rior n.

altura rec-tángulo su-.perior n.

(f) (1 + f)+ ( 1 + 2 | ) + ( 1 + 3 | ) + . . . + ( 1 + n ^ )

= ( £ ) n - 1 + ~ 1 + 2 + 3 + . . . + n

( 1 , n + 1 nín^t

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- 3 • f (1 • I)

por tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x sobre el intervalosatisface la dobre desigualdad.

Suma de las áreas de losrectángulos inferiores. < A < Suma de las áreas de los

rectángulos superiores.

| (1 - < A < 3 + £ (1 + 1 )

de esta doble desigualdad observamos que conforme el numero n crece; es decir , con-

forme el intervalo JjU^l se divide en un número n más grande de subintervalos el la-

do izquierdo y derecho en la doble desigualdad se acercan al número

3 +

por lo tanto

A = f ( x ) d x = 3 + |

el valor de A también puede ser calculado fácilmente de la figura anterior, cuandog

ésta es dividida en un cierto triángulo y rectángulo, el valor obtenido es 3 + -

como se esperaba.

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Para calcular el área encerrada por la función f(x) = x2 sobre el intervalo [a;b]

le podemos aplicar el método de aproximación de área por medio de rectángulos inscr^

tos y circunscritos a su gráfica. La gráfica de la función f(x) = x2 sobre el in-

tervalo [a;b3con 0 < a < b> se muestra en la siguiente figura.

Al d i v i d i r el i n t e r v a l o [a; fcf j en n sub in te r va los £ * ;

tenemos

de igua l l o n g i t u d L

= x i + i - x. , i = 0, 1, . . . , n-1— = x i + i - x.

y los extremos de dichos subintervalos son

5 x2~a+21, x 3= a + 3 1 , . , . ,x.¡=a-Hl, .

en los que al sustituir el valor de L = se tiene

xo=a,

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con ellos podemos formar los rectángulos, Inscritos y, circunscritos a la gráfica de

la función f(x) = x2 como se muestra en. la siguiente figura

La suma de las áreas de los rectángulos inferiores es:

Suma de las áreas . a . _ . .de los rectángulos = (°ri).f(a) + (°r*).f(a+&=*inferiores. n n n

base del área altura base del rectángulode rectángulo inferior 2,inferior 1.

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NOTA

) ( )

= (b-a)a +a(b-a) ( i - i - )+ ie2 l I ( 1 _ i ) ( 2 . ¿ ]no n n

: l2+22+32+...+n2 = -n(2n + * H n - + - H

=1Suma de las áreas K a • k a k ,de los rectángulos = ( a-)f(a+ a-)+ {2=1)f(atosuperiores

- (-~

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l2+22+...+n

- ba2-a3+2a(b-a)

2(^+ ^

Por lo tanto el área A bajo la gráfica de la función f(x) = x2

sobre el intervalo 1;4 satisface la doble desigualdad

(b-a)a2+a(b-a)2(l - I ) + ¿)(2 - i ) < A < (b-a)

a +2a(b-a) (-¿-+-¿)

nuevamente, al igual que en el ejemplo anterior, observamos que conforme el número

n crece, es decir, conforme el intervalo [a;b] se divide en un número n grande de

subintervalos, el lado izquierdo y derecho de la doble desigualdad se acercan al nú-

mero

a2(b-a) + a(b-a)= ja2(b-a) + 3a(b-a)

2

por tanto A = x2dx = -^— 4 - es el área bajo la gráfica de la función f (x) = x5

30

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sobre el intervalo [a;b]

Como vimos en los ejemplos anteriores, aproximar el área bajo el gráfico de una fun-

ción f (x) definida sobre un intervalo £a;b] por medio de rectángulos resulta un pro-

ceso bastante laborioso, la verdad es que si se nos pidiera aproximar el área bajo

el gráfico de la función

f(x) = x ( x - + l ) 3 / 2 ,

por medio de rectángulos como en los ejemplos anteriores el problema sería bastante

más laborioso y complicado. Más todavía, si se nos pidiera calcular el área exacta

bajo el gráfico de cualquier función continua, el problema sería difícil de resolver.

Es este tipo de problemas el que nos obliga a buscar métodos o fórmulas matemáticas

que nos permitan obtener valores aproximados o exactos al área bajo la gráfica de

la función que se esté tratando. Afortunadamente para nuestro problema inicial de

calcular el área bajo la gráfica de la función f(x), contamos con cierto tipo de fun

ciones conocidas como funciones primitivas o antiderivadas, que junto con un resulta_

do matemático conocido como teorema fundamental del cálculo nos ayudan a calcular

áreas exactas bajo el gráfico de funciones continuas.

Antes de ilustrar la manera en cómo calcular el área exacta, bajo el gráfico de una

función continua, por medio de funciones primitivas, vale la pena mencionar qué

entenderemos por función primitiva y enunciar algunas de sus propiedades. Una fun-

ción F(x) es una función primitiva de la función f(x) si aquella es derivable y su

derivada es:

F(x) = f(x),

algunas propiedades de las funciones primitivas son:

a) Si Fi(x) es una primitiva de f(x), entonces F2(x) = Fi(x)+C es también una

primitiva de f(x), donde C es una constante cualquiera.

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b) Si Fi(x) y F2(x) son dos primitivas de la misma función f(x), entonces ambas

difieren por una constante C, es decir

F2(x) = Fx(x) + C

c) Si F(x) y G(x) son primitivas de f(x) y g(x), respectivamente, entonces

f(x) + 6(x) es primitiva de f(x) + g(x).

d) Si F(x) es primitiva de f(x) y C es una constante cualquiera, entonces la función

CF(x) es primitiva de cf(x).

OBSERVACIÓN: Los puntos a y b caracterizan completamente a todas las primitivas de

una función dada; si se tiene una primitiva F(x) de f(x), pueden obte

nerse infinidad de primitivas adicionando a aquella una constante, y

se asegura que éstas son todas las primitivas de f(x).

De los resultados de derivación que tenemos para funciones algebraicas podemos for-

mar la siguiente tabla, en la que se presenta la función f(x) junto con sus funcio-

nes primitivas

función f(x) primitiva F(x)

1 x + C

x2 x rx T"

xn+l

Ahora que ya tenemos establecido el concepto de función primitiva podemos formular

el enunciado del teorema fundamental del cálculo (TFC).

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3TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO(INSTRUMENTO MATEMÁTICO),ÚTIL EN LA DERIVACIÓN DE FUNCIONESDADAS POR INTEGRAL Y PARAEL CALCULO DE INTEGRALES

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TEOREMA: Sea f:fa;b]-> R función acotada y sectoriaimente continua, entonces la fun

ción

F(x) = f(t)dt,

satisface lo siguiente

a) F(x) es continua en cada x del intervalo

b) Si f(x) es continua en x, entonces

F(x) = f(x),

es decir

dx f(t)dt =

COMENTARIO:

Acerca del punto b en el T.F.C., notamos que F(x) es primitiva de

f(x), también, como F(x) es la integral de f(t) y al derivarse y dar-

nos el integrando, se acostumbra pensar que la derivada y la integral

operan en forma inversa.

A pesar de que el teorema (T.F.C.) nos garantiza que F(x) es función

primitiva de f(x), éste no nos proporciona una expresión explícita de

F(x) a no ser que sea la propia integral, sin embargo este teorema nos

proporciona un método sencillo ara calcular el área bajo la gráfica de

f(x).

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Hagamos la siguiente consideración. Sea G(x) otra función primitiva de f(t), enton-

ces las funciones

F(x) = f(t)dt y 6(x) difieren por una constante C,

entonces

f(t)dt = G(x) + C,

al evaluar ambos miembros en x = a.

Obtenemos

0 = f(t)dt = G(a) + C

C = - G(a)

luego entonces

f(t)dt = G(x) - G(a),

nuevamente, al evaluar ambos miembros en x = b obtenemos

fb

f(t)dt = G(b) - G(a)

esta ultima igualdad nos indica que si conocemos otra primitiva G(x) de f(t), enton-

ces podemos calcular la integral de f(t) sobre el intervalo [a;b], basta evaluar la

primitiva G én b y en a y obtener una diferencia entre estos valores para así calcu^

lar dicha integral.

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APLICACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

a) Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma de integral

Ejemplo: Derivar l a función

f(x) = t/TTF dt

Solución:

d f(x)dx

á_dx

t / 1 + t2 dt teorema fundamental

del cálculo

= x/ 1 + x2

Ejemplo: Derivar la función

•s(x) = / 1 + 4tf dt

Solución:

ds(x) _ jj_dx " dx / 1 + 4t2 dt teorema fundamental

del cálculo.

= / 1 + 4x2

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Ejemplo: Derivar la función

J.8X

f(x) = •t* + 2t dt

Solución: Observemos que.la función f e s la composición de las siguientes funcio_

nes

g(x) = 8x

h(y) = t2 + 2t dt, las cuales son derivables.

Asi tenemos

f(x) = h o g(x)

f8X

2t dt

aplicando la regla de la cadena para derivar, tenemos

d f(x) = djTÍxI . d g(x)dx áy dx

• t* + 2t dt •d 8xdx

es decir

íí

2y • 8

= 8/ 64x2 + 16x

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Ejemplo : Derivar la función

f(x) = /~3x" / l + jz dx

Solución:

¿ f(x) - jjL derivado de un producto

de funciones.

= /3x 4+1 dt + ( / l + -k dt ) • -&- /33T

rX

= /3x" ( + TT dt ) • i

= /3x" / l + 4- +12/3x

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Ejemplo: Derivar la función

f(x) =

J o

• 1 + 4t* dt

Solución: f(x) es la composición de las funciones

g(x) = 3x

h(y) = / 1 + 4t2 dt , las cuales son derivables

por la regla de la cadena tenemos

d f (x) _ d . , > . d g(x)dx dy h(y) dx

= ( / 1 + 4t* dt ) • -£-

1 + 4yz • 3, con y = g(x) = 3x

= 3/ 1 +

es decir

d f(x)dx = 3/ 1 + 36x2

¿10

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Ejemplo: Derivar la función

£(x) =

r 3x2+2x

/l+5t dt.

Solución: Observemos que £ es la composición de las siguientes funciones:

g(x) = 3x2+2x

h(y) = L+5t dt, las cuales son derivables,

así tenemos r 3x2+2x

f(x) = hog(x) = h(g(x)) = h(3x2+2x) = dt

aplicando la regla de la cadena para derivar f(x) obtenemos

/l+5tdt • -$- (3x2+2x) (teorema fundamental)

= /l+5y • (6x+2) , con y = 3xz+2x

= Vl+5(3x2+2x) • (6x+2)

= /Ibx2+lüx+l (6x+2),

es decir,

3x^+2x

dt = (6x+2)/15x2+10x+l

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Ejemplo: Comprobar que la derivada de la función

f(x) = x- - dt

satisface la igualdad

dt

(1)

Solución: Como

f(x) = x. /t+ - dt

entonces

f' (x]dx

't+ -L diderivada de un productode funciones.

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x. A+ i dt + dx

r X

~ X * ]_X

i dt

s u s t i t u y e n d o e s t e " v a l o r 1 1 d e f ' ( x ) e n ( 1 ) , o b t e n e r n o s

x/x+

rx

' t + 1 dt- /t+ 1 dt x /x+ 1

x + x

lo cual es una identidad con (1), por tanto, f(x) satisface la igual

dad en (1).

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b) Cálculo de área de funciones que tienen primitivas conocidas.

Ejemplo: Calcular el área del gráfico de la función f(x) = vx sobre el inter^

valo [1 ;9 ] .

Solución: El gráfico de la función f(x) = /x - xL sobre el intervalo [1;9] se

muestra en la siguiente figura

AA = í f(x)dx = Y

Una función primitiva para f(x) es la función

i * 1

entonces

A = í f(x)dx

dx

= F(9) - F Teorema fundamental del cálculo.

Por tanto

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E j e m p l o : C a l c u l a r el á r e a b a j o el g r á f i c o d e la f u n c i ó n f(x) =5

-x5

+ 3x. Sobre el intervalo [ 1; 7 ] .

S o l u c i ó n : El g r á f i c o d e l a f u n c i ó n f ( x ) = . - x 2 + 3x s o b r e el i n t e r v a

lo [ 1 ; f- ] se m u e s t r a e n la s i g u i e n t e f i g u r a

u n a f u n c i ó n p r i m i t i v a p a r a

- x 2 e s G x ( x ) = - ^

3x e s G 2 ( x ) = 3

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x 3 3e n t o n c e s G ( x ) = G i ( x ) + G a ( x ) = - - y + j x 2 e s f u n c i ó n

p r i m i t i v a p a r a f ( x ) = - x z + 3 x

l u e g o

A =

5/2

f ( x ) d x

125 + ZI24 8

I + h3 2>

-125 + 2 2 5 + 8 - 3 624

108 - 3624

1124

= 3

por tanto A =

5/2

f ( x ) d x - 3

i

¿16

| ( I ) 2 )

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Ejemplo: Calcular el área A bajo el gráfico de la función f(x) = x sobre

el intervalo [1 ;3 ] .

Solución: El gráfico de la función f(x) = x~2 sobre el intervalo [1;3] se mues_

tra en la siguiente figura

-2Una función primitiva para f(x) = x" es F(x) = - x" , entonces

A = f(t)dt

t"2 dt

— +•

2.3

¿17

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Ejemplo: Calcular el área A encerrada por la gráfica de la función

f(x) - x3^2 + x3 y el eje T sobre el intervalo [1;4].-

Solución: Una primitiva para

3/2 r- / X 2 5/2

x es i-iix] 5 x

x3 es F (x) = \

luego entonces F(x) = Fx(x) + F2(x) es una primitiva de f y así tenemos

A = | f(t)dt = F(4) - F(l)i

J4) + F2(4) - (Fj

i A3 U _ 15235 * " 20 " 20

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C) Cálculo de área de funciones sectorialmente continuas

Ejemplo: Calcular la integral

/Fdx

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función f(x) = /2~ sobre

el intervalo [0; 3]

luego entonces

A = /Fdx

dx

= /Tx

= 3/T mDERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Ejemplo: Calcular la integral

|x - l|dx

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función integrandof(x) = |x - 1| sobre el intervalo [-1; 2]

-1

Como f(x) * |x—1| entonces f(x) = <1-x si x < 1

x-1 si x > 1

Para facilitar la integración, dividimos el intervalo de integración en

en los siguientes dos [-1; 1], [1, 2].

Así tenemos

|x-l|dx =

-i

(l-x)dx

-i

(x-l)dx

es decir,

- u - f>

5

+ (

-1

|x-l|dx = j

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Ejemplo: Calcular la integral g(x)dx, con g(x) =-2

rx2 si -2 < x < 0

x + 1 si 0 < x < 3

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función g(x) sobre el in

tervalo [-2;3]

Para facilitar la integración dividamos el intervalo de integración en los siguier^

tes dos intervalos (-2;0) y (0;3), asi tenemos que:

í g(x)dx = í x2dx + í (x-2 •'-2 ' O

61

es decirg(x)dx

-2

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5 " * i l -O ^ A i -L

Ejemplo: Calcular la integral h(x)dx, con h(x) = ^ -x2 + 2 si -2 < x < .2* .r i ^ . . • _ ' • •

-1. si -6 < x < -2

-x2 + 2 si -2 < x < 2

3-x si 2 < x < 5

solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función h(x)

Para facilitar la integración dividimos el intervalo de integración en los siguierv

tes tres intervalos: [-6;-2], [-2;2] y [2;5].

Asi tenemos

5 -2 Z 5

f h(x)dx = f-ldx+.f (-X2 + 2)dx + í (3 - ;x)dx

= - x + (--2

(3x - f

17.6

es

5

decir, h(x)dx = - unidades cuadradas,

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APROXIMACIÓN DE ÁREA

1) Empleando la idea de aproximación de área por medio de rectángulos, aproxime

las integrales con un error no mayor del indicado en cada caso. Bosqueje la

gráfica de la función integrando

i

a) (x2 + l)dx con error no mayor que 0.1

•2

b) í t2dt.0

con error no mayor que .002

c)

d)3/-

2x~ ^ ,

con error no mayor que -r

1dx con error no mayor que TQ~

e) f(x)dx con error no mayor que 2.5' si f(x) =<

-x si 0 < x i 1

1+x2 si x > 1

r3/2

f) f(z)dz, con error no mayor que 1 si f(z) =-i

si z < 1

si z > 1

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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL

Empleando propiedades de la integral, resuelva los siguientes problemas.

1) Calcule las siguientes integrales

-1 -3 2 -2

a) i 2dx b) f xdx c) í x M x + f x^dx0 -1 «-2

2) Encuentre un número a tal que 2dx = 5'2-a.

fb-i3) Encuentre un número b tal que xdx = 6

fX i4) Encuentre un número x tal que tdt.= x - -j-

J rt

5) Encuentre un número c tal que 0 < c < 3 para el cual

se cumpla la igualdad.

fc Í31tdt = c h ^ d t

o •'o

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6) Encuentre un número te tal que

k i 2dt = f tdto - i

7) Dé un ejemplo de una función f(x) no continua en.[-1;1] para la cual

f f(x)dx = 0-i

8) Si f(x) es continua en [a;b] y además existe un número M tal que f(x) <. M

para todo xe[a;b], entonces pruebe que:

bf(x)dx ¿M(b-a)

a

9) Si f(x) es continua en [a;b] y además existe un número m tal que m <. f(x)

para todo xe[a;b], entonces pruebe que:

btn(b-a) <, | f(x)dx.

10) Sea f(x) una función continua, acotada y no negativa en el intervalo [a;b]

pruebe que

f(x)dx > Oa

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11) Sea f(x) como en el ejercicio 10 y c un número tal que a < c < b» Demués,

tre que

f(x)dx > \ f(x)dx

12) Demuestre que

i

2 < [ (l+x22)dx < 4.

13) Sea f(x) función continua sobre [-a;a] . Si f es función par pruebe que

a a

f(x)dx = 2 f(x)dx.-a o

e interprete el resultado geométricamente.

14) Sea f(x) continua sobre el intervalo [-a;a]. Si f es función impar demues

tre que

f(x)dx = .0.

e interprete este resultado geométricamente.

15) Empleando 13 y 14, calcule las siguientes integrales

2 3 1

a) f |x|dx b) í xdx c) í x2dx

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5

d) i 3dx e) ( x3dx f ) f x5dx

16) Calcular la integral f(x)dx con f(x) = g(x) - g(-x) y g continua,JA

'-apuede probar que g es impar y luego emplear 14.

f5

17) Graficar la función f(x)=x^ -5x y calcular f(x)dx.

1 f8

Graficar la función g(x)=x+ —= y calcular g{x)dx.18)

19) Graficar la función f(x)=x*+2x y calcular f(x)dx y representarlo en'-2

la gráfica de f(x).

1 1 fl+

20) Graficar la función lix)=x + — y calcular Ux)dx y representarlo enx .5

la gráfica.

21) Encuentre el valor Q^ la cual hace que la función

\ 2x+5 para x<3?4

para x>3

fsea continua en x =3. Calcular f(x)dx y representar este valor en la-3

gráfica de f(x).

57

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22) Encuentre el valor de a para el cual la función

g(x)=«

para x<2

20-ax2 para x>2

r10

sea continua en xQ=2. Calcular g(x)dx.

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (leparte)

Derivar cada una de las siguientes funciones con respecto a su variable.

fx1) f(x) = vHTdt 2) [X(s+l)3/2ds

3) 4) tz+2t dt

5)2X

t dt 6) dt2X+3

3X+1

7) g(x) = j / t2+i tdt 8) t3/2dt

,-3x2+2x9) V s2+5 sds

- i

f2x+x:

10)

11) — dt si |x |< |

r2x+x2

12) dt

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13) Calcular d2

dx2

x2+lt/ t+2 dt

14) Calculardxs y2+3 dy

-x2+3

rS*H-25

15) Calcular

y evaluarla en 0.

16) Graficar la función f(x)=

culo diferencial.

1+t 2 dt, empleando los conceptos de cál-

17) Graficar la función g(x) = % fát.

18) Graficar la función l(x)= T dt (esta función se llama logaritmo) em-

pleando los conceptos de Cáldulo Diferencial.

19) Pruebe que la derivada de la función f(x)=

igualdad.

satisface, la

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (2a. Parte)

Calcular las siguientes integrales :

1) xdx 2) (2x+l)dx^ o

3) |x-l|dx 4) ^ )dxr

5) 6) \f

7) 8)o

|;t3(?rT"-/T" )dt

9) í ir -i)-2

-1

10)x3 + 8x + 2 dx

11)f 2x9/2 - 4x2 + 5 12) | s(4s

13) [(y+y'Vdy 14) + 2 y 3 / 2 ) 2

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4INTEGRACIÓN POR CAMBIODE VARIABLES

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PRIMERA PARTE

Muchas integrales

A(t)dt

no son directas de calcular pero su integrando puede ser descompuesto en la forma

A(t) -fCg(t)).g'(t)

donde f y g' son funciones continuas, entonces

A(t)dt = fog(t)-g'(t)dt

al hacer

tenemos

u = g(t) para a < t ^ b

du = g'(t)dt

— " " " • " " O

. _ _ - 4

- - 5

para t = a se tiene ua = g(a)

y para t = b se tiene u^ = g(b) 7

luego por 4, 5, 6 y 7 tenemos

(fog)(t)g'(t)dt =

g(b)

f(u)du

g(a)

8

en muchos casos la segunda integral en 8 es más "fácil" de calcular que la inte-

gral en 1. _

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SEGUNDA PARTE

Si la integral

f(x)dx

resulta "difícil11 de calcular, muchas veces es posible que exista una función $

uno a uno, sobre y derivable de un intervalo I de extremos a y 3 en intervalo j

de extremos a y b tal que para cada u de I se tenga

x = $ ( u ) - - - 2

dx = *'(u)du - . • - . ^ - - 3

a = $(a) - 4

b = ».(B) - - ~ - - - - 5

con lo que al sustituir 2, 3, 4 y 5 en 1 obtenemos

f(x)dx =

tal que la última integral de la derecha en 6 es más fácil de calcular que la integral en 1.

NOTA: Las expresiones 4 de la PRIMERA PARTE y 2 de la SEGUNDA PARTE se les co-noce como cambió dé variable para las integrales en 1.

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Ejemplo: Calcular la integral

+4 dz.

Solución: Al inspeccionar el integrando

h(z) = z/2z2 +4

Observamos que z es la derivada de 2z 2 +4 salvo por un factor constante,

de hecho si hacemos

g(z)= 2z 2 +4 obtenemos g'(z)=4z

y la integral quedará en la forma 3

+4 dz= / 2z2+4 4zdz=

al aplicar 4 y 5 con u=g(z) y du=gl(z)clz

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obtenemos

z /2z+4 dz=

12

du

14"

12

1 u12

12

Nota: Cuando se hace el cambio de variable también se deberán hacer los

respectivos cambios de los limites de integración en la nueva variable.

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Ejemplo: Calcular la integral

, 2

(2z + 2) • z2 +. 'Lz dz

Solución: Al inspeccionar el integrando

h(z) = (2z + 2) / z* + lz

observamos que 2z + 2 es la derivada de z2 + 2z, de este hecho, si

hacemos

g(z) = z2 + 2z obtenemos g'(z) = 2z + 2,

y la integral quedará en la forma 3

(2z + 2) • z + '¿z dz = g(z) g'(z)dz

al aplicar 4 y 5 con u = g(z) y du = g'(z)dz obtenemos

(2z + 2) / z2 + 2z dz = g'(z)dz

r 8

u du

2u3/2 - I -83/2

NOTA: A veces es práctico que, mediante observación del integrando sabemos quien

es g(t) y quien g1(t).

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Ejemplo: Calcular la integral

5z dz

S o l u c i ó n : hagamos g ( z ) = z 2 + 3 , e n t o n c e s g ' ( z ) = 2z l u e g o

5z

/ z•dz

2z/ z 2 + 3

dz

5 g ' ( z ) dz

sea u = g(z) entonces du = g'(z) y u = 3 cuando z = 0

u = 4 cuando z = 1

así tenemos que

i

5z•z + 3

dz = 5 g'(z) dz

5 du1T 2

52

du

i y:2 %

= 5 [2 -3^]

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Ejemplo 4: Calcular la integral

(l-2y) dy

Solución: Hagamos g(y) = 1 + {l-Zy? , entonces g'(y) = -8(l-2y)3 luego

U-2y)H dy = / gíy)

sea u = g(y) entonces du .= g'(y)dyy u = 1 si y = \

u = 2 si y = 1

así tenemos que:

(l-2y)V 1 + (l-2yr dy =-8

u du

1 u3

8 3

7112 - 1),

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Ejemplo 5 : Calcular la integral

7u2du(2+4u3)3 U/2

Solución : Hagamos g(u) = 2 + 4u 3 , entonces g'(u) = 12 u2.

Luego

7u2du(2+4u3)1 / 2

7 12 u2du(2+4u3)1 / 2 12

7 g'(u)du(g(u))V2 — T I

sea w = g(u) entonces dw = g'(u)du. y w = 2 para u = 0

w = 6 para u = 1

así tenemos que:

7 u2 du(2 + 4 u 3 ) 1 / 2

7 g'(u)duu ) ) 1 / 2 .12

dwÑ7172"

1 2 ¿W

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CAMBIO DE VARIABLE 2^ PARTE

Ejemplo: Calcular la integral

x dx/ x +4

o

(1)

Solución: Hagamos w = / x + 4

entonces w2 = x + 4

x = w2- 4 y dx = 2wdw

(2)

(3)

y los nuevos límites son:

cuando x = 0 tenemos w = 2

cuando x = 1 tenemos w = 75*

(4)

(5)

sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos:

x dx/ X + 4

w2 - 4w 2wdw

- 8 dw

V?

- 8w

12. 143 " 3

73

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Ejemplo: Calcular la integral

/x JVx+1 dx (1)

S o l u c i ó n ; H a g a m o s w = / x + i - - - - - - - - - -

W - l =v/X

x = (w-1)2 y dx = 2(w-l)dvr

y los nuevos límites son

cuando x = 0 w = 1

x = 1 w - 2

sustituyendo (2), (3), (4), (5) en (1) tenemos

(2)

(3)

/x^x + 1 dx = i (w-l)^w 2(w-l)dw0 . 1

dw = t\ (w2-2w+l)v/w dwi

5/ 3 / 1/•al (w 2-2w 2+w 2)dw

5 / 2 3 / 2

-. 2w "

16

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Ejemplo: Calcular la integral

dx (1)

Solución; Hagamos w = /x* (2)

entonces w2= x y dx > 2wdw (3)

y los nuevos límites son

para x = 1, tenemos w = 1 (4)

para x = 4, tenemos w = 2 (5)

sustituyendo (2), (3), (4) y (5) en (1) tenemos

dx = 2wdw =

(w+l)~3dw

•= -(w+1)- 2

9 4 36

75

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CAMBIO DE VARIABLE

Empleando cambio de var iab le , calcular las integrales

(2x-3)3dx 2)3+5t

dt

3) (l-2y)V 4) dz

5) T\T dx 6)3u2du(2-u3)3

7)z+1

(z2+2z+3)2'3 dz 8)/2+VY

7Jdy

9) (2s - pr)(s2 + i ) * ds 10)

5/9

dw

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11)( t l / 3 - 2 ) 6

£2/3 dt 12)/ v2 + 4

dv

13)/ - 3 / 5 l / 5 N

(y + y )3/2

>

15)3/2

-ds 16) 6x2 + 2+ x + 5

dx

17) /x~ / l + x / x dx 18) /x / 1 + / x dx

puede hacer u = /~x~

19) du

uVl

20) du

u /3u 2 +u

21)1 + S 2 2/3 ,

s s2 22)

77

dx

+x

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5INTEGRACIÓNPOR PARTES

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Otro método de Integración llamado integración por partes surge con la necesidad de

calcular integrales

f(x)dx

que nos son d i rec tas de ca lcu la r pero su integrando f ( x ) puede ser descompuesto como

el producto de dos funciones u(x) y v ' ( x ) para las que u ' ( x ) es más "sencil la1 1 que

u(x) y v ( x ) es " f á c i l " de ca lcu lar de ta l manera que v (x ) u ' ( x ) es más f á c i l de i n t e

grar quef ( x ) = u ( x ) v ' ( x ) - - 2

El método de integración por partes se puede obtener de observar el siguiente desa-

rrollo, al derivar el producto de dos funciones u(x)v(x), obtenemos

(u(x)v(x))1 = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)

integrando ambos miembros de 3 se tiene

u(x)v(x) (u(t)v(t)ldt

u(t)v'(t)dt +

despejando la integral por calcular en 4 se tiene

u(t)v'(t)dt = uCx)v(x) v(t)u'(t)dt 5

la fórmula en 5 es conocida como fórmula de integración por partes y se aplica a in-

tegrales cuyo integrando es dado como en 2, para los que la integral del segundo

miembro en 5 es más "fácil11 de calcular que la integral inicial.

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Nota 1: Existen integrales para las que (en el proceso para calcularlas) es ne

cesario aplicar dos o mas veces el método de integración por partes.

Nota 2: Existen integrales en las que después de aplicar el método de integra-

ción por partes se vuelve a obtener la integral inicial, salvo por un

factor constante diferente de 1, en tal caso se deberán agrupar las in-

tegrales para asi calcular la integral inicial.

Nota 3: En la aplicación de la fórmula 5, conviene elegir como v'(x) la función

de apariencia más "complicada" en la descomposición de f(x). En caso

de que la integral del segundo miembro se complique, será conveniente

hacer otra descomposición de f(x) para elegir u(x) y v'(x) y asi apli-

car la fórmula 5. Sin embargo, si esta otra descomposición de f(x) co-

mo producto de u(x)v'(x) nos complica la integral del segundo miembro,

y si después de hacer todas las posibles descomposiciones de f(x) como

producto u{x)v'(x), la integral del segundo miembro de 5 se complica p£

ra calcularla, más que la primera integral, entonces será necesario em-

plear otro método para calcular la integral inicial, aunque, posiblemer^

te en el transcurso de la aplicación de otro método se tenga que em-

plear el método de integración por partes.

Nota 4: Existen integrales que se pueden resolver por el método de cambio de v¿

riable o por el método de integración por partes. Indistintivamente

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En los siguientes ejemplos aplicaremos los métodos de integración por partes e inte

gración por cambio de variable.

Ejemplo 1 : Calcular la integral

x(x + l)2 / 3dx

Solución: Para calcular esta integral aplicaremos el método de integración por

partes, elegimos

u(x) = x3 dv(x)dx = (x + 1)2/3dx,

entonces

du(x) = dx f v(x) = dv(t)dt = (t+l)2/3dt =

de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos

x(x + l)2 / 3dx =

'1

| (x + l ) 5 / 3d x

x . ( f (x

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- & ti*•-•;*.

Í o2/3

" 5 C

36 fh 9_40 L 40

65 10 V - .«.

3H6 4.0

40

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Ejemplo 2: Calcular la integral

dx

Solución: Para ca l cu la r esta i n teg ra l apl icaremos el método de integra_

ción por pa r tes , elegimos

ux = x 2 , d v ( x ) d x = L • d x = ( x + l ) ~ 2 d x .• x +. 1

e n t o n c e s

d u ( x ) = 2 x d x , v ( x ) = d v ( t ) d t = ( t + l ) " 2 d x

de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos

2

/TT dx = 1x +

dx

= x2(2(x+l)l/2)

r i

2(x+l)l/22x dx

, i

= zrz~ - 4 dx

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pero esta última integral también la resolveremos por método de integra-

ción por partes quedando

con u(x) = x; v = dv(t)dt = (t+l) l / 2dt

du(x) = dx = | (x+l) 3 / 2 .

x(x+l)l/2dx fx(x+l)3/2(x+l)3/2dx

_ 2 93/2 4 95/2 4" 3 ¿ " TS 2 + 15

43

1615

115

±15

al susti tuir el valor de la integral de 2 en 1 tenemos

= znr - 4

J o

x(x+l)l/2dx

J o

¿/ ¿ 4^15 1 5

16 «i/2. 16 _ 14_^ .2 - ^ - ^

16

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Ejemplo: Calcular la integral:

x V x* + 3 dx

Solución: Al inspeccionar el integrando, podemos aplicar integración por partes

haciendo la siguiente elección:

u = x2 ; v'dx = x/ x2 + 3

entonces

du = 2xdx ; v = T (*2 +.3)"*

así tenemos

x3/ x2 + 3 dx = T x2(x2 + 3)~2_3

x(x 3)3/2dx

o 'o

I V2/V2X2(x2 + 3)3/2 i.i

5.3

15 ( 32O5/2 K

- 3 . )

3 " 15 15

87

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Ejemplo 4; Calcular la integral

i

dZ.

Solución; Aplicando la propiedad distributiva y la propiedad de

aditivilidad de la integral sobre suma de funciones tenemos:

i -1 -1

r (3-3Z)/I+TdZ - 3 Í Z+2 dZ - 3 z/z+2 1

la primera integral del segundo miembro en 1 la resolvemos por canw

bio de variable quedando:

/Z+T dZ = |(Z+2)2o 3/ ~ 3/ ,H 254

V " 3 " "

la segunda integral del segundo miembro la resolvemos por integra-

ción por partes

i i i

o 3/ • • r 3 /

-|| (Z+2) 2dZr z/z+T dz = -z. (z+2)

con u(Z)=Z;dv(Z)dZ=/Z+2 dZ = jZ.(Z+2)

luego ií , ! 2 3/2 4 5/2du(Z)=dZ; v(Z) = Kt+2 dt ' = 4 3 - -^-3 +j i J

2 23 5

(Z+2)

2| = 23

15

12.

15 *

4 .5/2

por tantoi

(3-3Z)/Z+2 dZ = 3 /Z+2 dZ-3 Z/Z+2 dZ0 • . • • " ' • 0 . • ' 0

= 3(2.3 *- 1^-3(2.3 2- 12

V2 V3 V2 12= 23 2-2 3-23 2+ i=-

4+-¿-2

12^2 9— 3 2- |2

3 6 3 \ 36. (3 ¿-2 ¿)

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Ejemplo 5; Calcular la integral

2

dx(x+1)3/2

Solución; Para calcular esta integral aplicaremos el método de

integración por partes.

elegimos

u(x) = x2 ; dv(x)dx =

entonces(x+1)3/2

dx = (1+x) dx

-1/2<" -3/2 ~x/^du(x) = 2x dx ; v (x) = (l+t)J/ dt =--2 (x+1)

de acuerdo a la fórmula de integración por partes tenemos.

2

í -(X+1)3/2-1/2

dx • x2(-2 (x+1) ){ "1/2

+ 4 I x(x+l) dx

pero la integral en el segundo miembro de 1 también la resolve-

mos por el método de integración por partes

f -1/2 1/2I x(x+l) dx = 2x(x+l)

1-2J

-1/2con u(x)=x;dv(x)dx= (x+2) dx

du (x) =dx v (x) =2 (x+2)1/2

1/2(x+1) dx

1/22x(x+l)

sustituyendo 3 en 1 obtenemos

3/2

1 - - -• - 3

-1/2

(x+1)3/2dx = x2(-2(x+l)

1/22x(x+l)

-8_T

- 8/ 3 ~

- 8 • 2_

/T V2

•£> + 4Ü4/T- - 2

- 8/2~ -

/2~

3/2

1

3/2+ ±2^3

39

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Ejemplo 6: Calcular la integral

6x dx

J (X2 + 2)

Solución:

/2~ . VT( x3+ 6x f x2

x + b x dx = x-I (x2+ 2 ) 3 J (x2+

sr2)

dx + 6L (x2+

dx.(x2+ 2)

ahora, usando cambio de variable tenemos

/2f — ^ — dx -fj (x2+ 2 ) 3 J

12" do)

O ) 3

1 ü)-22)

1

S e a

X

U)=X2H

dcu=2x

dx=|dü

i- 2

dx

= - 1(Í2_ 3-2, .4(144)

aplicando integración por partes a la primera integral del según

do miembro tenemos

( —2L! dx = f x2. -5

J (x2+ 2 ) 3 J (x2+-dx = -

2)

/2~J_f/T~ 1 dx

u(x) = x ; dv(x) =x dx

(x2+ 2) 3 (x2+ 2)-dx

1 • — 2

du(x) = 2xdx; u(x)=-j(x2 2) 2+ 2T2J - - £xz(x2+ 2)

-JL288

Sustituyendo 2 y 3 en 1 obtenemos

6x 6. -JLLdx 6.(x2+ 2) 3 Z88 4(144)

90

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INTEGRACIÓN POR PARTES

Empleando el método de integración por partes, calcular las siguientes integrales

1) (l+x)Vdx 2) (l+x)5/3x2dx

3) x2(3-2x)15dx

i

4)/ x + 4

dx

5)3t+2 dt 6)

s2+ s(s + 2 ) 5 d s

7)(v+1(v-1 dv 8) dx

15

9) wdwxV 2 + x dx

11) (x+1)2/ 1 + 2x dx 12) (3x+l)3(x2+/lT )dx

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6APLICACIONESDE LA INTEGRAL

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A) CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.

Considerando que la integral de una función f(x) continua y no negativa

sobre un intervalo [a;b] es el área encerrada por la gráfica de la

función, el intervalo [a;b] y segmentos de recta que pasan por x=a,

x=b, como se muestra en la siguiente figura

i

entonces, y si a su vez f(x) y g(x) son funciones continuas no negati-

vas definidas sobre el intervalo Ca;b^ en e^ °lue

f(x)>g(x) para todo x de dicho intervalo,

tenemos que h(x)=f(x)-g(x)> 0 será una función continua no negativa y

por tanto la integral de h(x)

h{x)dx= (f(x)-g(x)dx.

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f(x) dx- g(x)dx, (1)

será el área comprendida por las gráficas de la funciones f(x) y g(x)

Concretamente tenernos:

Si f(x) y g(x) son funciones continuas no negativas sobre el intervalo

| a;b | entonces el área A encerrada encerrada entre las dos gráficas

es:

f(x)dx- g(x)dx. (2)

la siguiente figura muestra dos gráficas la de f(x) y g(x) y el área en-

cerrada por ellas, dada por 2,

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La formula 2 es válida aún si las funciones f(x) y g(x) satisfacen las condicio__

nes:

a) "f(x), g(x) negativas y continuas sobre el intervalo [a;b]

b) f(x) > g(x) para todo x en el intervalo

NOTA: Si f(x) y g(x) son continuas y se intersectan en un número f ini to de pun_

tos { x l f x 2 . . , xn } entonces el área encerrada entre las gráficas de f(x)

y g(x) es igual a la suma de cada una de las áreas entre las gráficas

sobre cada subintervalo [a;xv] , [x l t x 2 ] . . . , [xn-i » x j ' v [*n;b]

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ÁREA

Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes tres rectas

yi = 3x - 2, y2 = - y x + 2, y3 = - I x + 1.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las tres rectas

Los puntos de intersección entre las rectas se obtienen de igualar su?

respectivas ecuaciones una con otra. Así por ejemplo al igualar yi

con y2 se obtieneyi * yz

3 x - 2 = - j X + 2

3x + |x = 4

10

Tx= 4

x = - y por tanto yi = y2 ( F ) = F#3 3 3

consecuentemente Q = ( F > F ) es £1 punto de intersección entre las3 D

rectas yi con y2 . . '

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Similarmente al igualar yx con y3 obtnemos

3x - 2 = - g- x + 1

3x + I- x = 3

fx .3

x -X 25 '

al sustituir este valor de x en cualquiera de las dos expresiones para22yi o y3 tenemos yx = y3 = -^ y consecuentemente el punto de inter

24 22 ~sección entre yx , y3 es p = ( » 25" ) •

De igual manera se obtiene que el punto de intersección entre las rec

5 ' 524 2

t a s y 2 , 7 3 en R = ( T > F ) • En tonces e l á r e a e n c e r r a d a por l a s

tres rectas es:

A =

2*»5

L(t)dt con L(t)

yi(t) - y3(t) para IIN< t « |

yz(t) - y3(t) para ^ < t <2 5

A =

2**25

( 3 t - 2 - . • ( - £ t + l ) ) d t l ) ) d t

,« /*

4M - 3) dt +

2h25.

J e/s

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

x+y = 3 y y+x2= 3.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadasá

los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener el igualar sus

ecuaciones

y = 3-x = 3-x2= y

así tenemos x2- x = 0

x(x-l) = 0

Xi= 0 y x2= 1

al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecuaciones de las

curvas obtenemos

y = 3-0 = 3

7 = 3-1 = 2 ,

luego P = (0,3) y Q = (1,2) son los puntos de intersección entre ambas curvas, y el

área A encerrada por ellas es:

(i

A • = • dt

(i ri

t2dt t3tdt = - ^ 1 + 1 _ 1

3 2 ^ F

es decir, A --^ unidades cuadradas,

100

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

. y = x3+2, x = 1, y = -6-

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas.

claramente la curva y = x3+2 intersecta a la recta x = 1 en P = (1,3) e intersec-

ta a la recta y = -6 en Q = (-2,-6) y por tanto el área encerrada por las curvas

dadas es:

A l(t)dt =ri

(t3+2-(-6))dt-2

(t3+8)dt

t3dt+S

-2

dt = £-2

+8t

81es decir, ' A - -j- unidades cuadradas.

101

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Ejemplo: Determine el área encerrada por las curvas cuyas ecuaciones son:

y = -x2 + 10, y = 1.

Solución: La siguiente figura muestra el área encerrada por las curvas dadas

los puntos de intersección entre las curvas dadas lo podemos obtener al

igualar sus ecuaciones

y = -x2 + 10 = 1 = y

asi obtenemos

x2 = 9

xi = 3, x2 = -3

al sustituir cada uno de estos valores de x en cualesquiera de las ecua-

ciones de las curvas obtenemos,

y = -(3)2 + 10 = 1

y = -(-3)2 + 10 = 1,

luego P = (-3,1) y Q = (3,1) son los puntos de intersección entre am-

bas curvas, y el área A encerrada por ellas es;

202

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A = l(t)dt

-3

(-t2 + 10 - l)dt

-3

(-t2 + 9)dt

-3

3 3

t2dt + 9

-3

dt

-3

3 3

+ 9t

-3 -3

= - i (33 + 33) +9(3 + 3)

= -18 + 54

= 36

es decir, A = 36 unidades cuadradas.

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Ejemplo: Determinar el área A comprendida por alguna de las siguientes rectas

Xi = - 5 6 x2 = 5 y las dos curvas f(x) = x3 + 1, g(x) = -x2 + 1

Solución: La gráfica de las curvas se muestra en la siguiente figura junto con el

área por calcular.

los puntos de intersección entre f(x) y g(x) se obtienen de igualar

sus ecuaciones

x3 + 1 =

f(x) =g(x)

-x2 + 1

x2(x •+ 1) = 0

x3+x2

luegox = 0, x = -1

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son las coordenadas de los puntos donde se cortan las curvas,

Para -1 < x < 0 tenemos que -x2 < x3 < 0.

luego entonces g(x) < f(x) en el intervalo -1,0

y f(x) < g(x) en -5;-lg(x) < f(x) en 0;5

luego entonces el área A es:

A = (-t2 + i - t3 - l)dt + (t3 +.1

J-c

375112

- l)dt

-5

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones

z£2(x) =

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones fx(x), f2 (x) y el

área encerrada por ellas.

X

la gráfica de la función f2(x) se puede obtener empleando los resultados de derivación,

y los puntos de intersección entre las funciones fx, f2 se obtienen al igualar las

ecuaciones de ambas funciones, así tenemos

x _ 1¿

2x =

=0

= 0 = 0

= 0 , x2= +/5 ,

es decir, las curvas de fi(x), f2(x) se intersectan en los puntos

P = r' TJ ' R = (0,0) , Q = \-/5, - ^

así que el área encerrada entre las curvas es:

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A = L(t)dt con L(t) =

/t2+l

/t2+l

~bsi -

SI

L(t)dt + L(t)dt

tdt - tdtf/3"

tdt 1

A2+ltdt

1 1 2

.2 2 + /t2+l2 2

/3

- (1-2) + (2-1) -¿3

es decir

A = -j unidades cuadradas,

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por la parábola y = - x* +

y las rectas tangentes a ella que pasan por el punto P = (0r4)

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola

junto con sus rectas tangentes, que pasan porP= (0,4).

la pendiente mt de las rectas tangentes es;

t = f • (xo) = - 2xo,

con xo la abscisa del punto de tangencia Q = (xo, f(x0)), emplean

do la fórmula de la pendiente cuando se tienen dos puntos, en

este caso P = (0,4) y Q = (xo, f (xo)) -(xo / 1 -• xj), tenemos

- 2xo= m. =-x2 + 1 - 4 -x* - 3

2x2o = - x* - 3

xo = -

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y las ecuaciones de la recta tangente R. (x) = f(xo) + f'(xo)<

(x - xo) son

R1 (x) = - 2 + (- 2/T~) (x - VT~)

= - 2 /T~ x + 4

R2 (x) = - 2 + 2/T"(x

= 2 /T~ x + 4 .

así, el área encerrada por las rectas tangentes y la parábola

es:

A = i (2/T~ x + 4 - (-x2+ l))dx +• [(- 2 /3~x + 4 - / (-. x2+ l))dx.

- VT~ 0

0 0 (

íxdx + |x2dx + 3 fe/T"

f= 2 /T~ lxdx + !x2dx •+; 3 |dx - 2 /T~ I xdx .+ jx2dx + 3 ídx

-/T~ -/T~ -vT" O O O

2/3- § 3x0- 2 2

/T"+ 3

/T"+ 3x

vT"

= - 3 3/T~ - 3/3" 3/T~ = 2/3~

A - 2/T~ unidades Cuadradas .

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Ejemplo: Determinar el área acotada encerrada entre la gráfica de la función f(x) =9-^x

la recta tangente a f(x) en Xo^l y el eje X-

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y su recta tangente a ella en

xo=l.

foo-1-tx*

Sabemos que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto xo

es del tipo

como

= fCxo)+f'(xo)Cx-Xo)

f(x) = 9- -x2, entonces f'(x) ^-

luego

y así, la ecuación de la recta tangente es:

se puede comprobar fácilmente que la recta Rt(x) intersecta al eje X en x=41 y la grá-

fica de f(x) intersecta al eje X. en x=9.

Entonces el área encerrada por la función f(x) la recta tangente Rt(x) en Xo=l y el

eje X es:

A L(t)dt con L(t)Rt(t)-f(t) si j tjc

Rt(t) si 9<t<41

rL(t)dt+ L(t)dt1 J 9

110

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. 82- 9-±t2l!dt+

2^82t+

9 1 2

i" 9"1 3

i + 27*.

9

1

1 2

ym9 9

= § - |(80)+ (728)- i(1600)+ ^

= 24 - 240 + 728 - 4800 + 7872

27

_ 3584

"ir.unidades cuadradas.

111

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Ejemplo: Determinar el área comprendida entre las siguientes curvas,

y = x3, y - - 7 x , y * x + 6 , x = - 2.

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones junto con

el área por calcular

los puntos de intersección fueron calculados al igualar las ecuaciones de las

respectivas curvas intersectadas, entonces el área encerrada por las curvasdadas es:

.0 2

A = (t + 6 + ~ t)dt +

• - 2

(t + 6.- t )dt

o

# t + 6 dt +

-2

(-t + t + 6)dt

1 ¿2 2

• +' 6t

-2 -2

+ '•£• + 6t

(4) + 12 -^- + 1 + 12 = t9.

112

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Ej emplo: Determinar el área encerrada por las parábolas

y1(x) = -x2+2, -. y2(x) = -x

2+ 8x - 10

y la recta que une sus vértices

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las parábolas, la recta que une

sus vértices y el área encerrada por ellas.

completando cuadrado para y2(x) tenemos que:

y2(x) - -(x-4)2+6,

y los vértices de las parábolas son: el de yx es Vi=(0¿2), el de y2(x).es v2=(4,6),

empleando los vértices podemos obtener que la ecuación de la recta que une los vérti-

ces de las parábolas es

R(x) = x+2.

Como observamos de la gráfica, la recta R(x) = x+2 toca otro punto de la parábola

y2(x) antes de tocar al vértice, este punto se puede deteminar al igualar la ecuación

de la recta y la parábola y2(x), así que de la igualdad

tenemos

al aplicar la fórmula

x+2 = -x2+8x-l0

x2-7x+12 - 0

con

2a

a - . 1 , - b - - 7 , c •« 1 2 ,

113

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obtenemos los valores

. xi= 4, x2= 3,

entonces la recta R corta a la parábola y2 en el punto P = (3,5), también, las parábo-

las yx(x), y2(x) se intersectan en el punto Q = -r » "T el c u a l s e 0 D t i e n e de igua-

lar las ecuaciones de las parábolas.

Con los datos anteriores podemos calcular el área pedida A.

(3

A L(t)dt donde L(t) =

R(t)-yi(t) si 0<t<|

R(t)-y2(t) si |<t<3

L(t)dt + L(t)dt

y 3/

'2

f3

(t+2+t2-2)dt + (t+2-(-t2+8t^l0))dt

(t+t2)dt + (t2-7t+12)dt

+12t

2

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Ejemplo: Deteminar el área encerrada por las siguientes curvas

f(x) = x2 , g(x) = (x-2)2 -2, R(x) = x-4, x = 0.

Solución: En la siguiente figura se muestran las curvas dadas junto con el área

p©r co.1 cu lar +•

Como observamos, las curvas f(x) y g(x) se intersectan en el punto

P=(y > •%)> mientras que la recta R(x) intersecta a g(x) en el punto

V=(2,-2), los puntos P y V se obtuvieron de igualar las respectivas ecua

ciones, la de f(x) con g(x) paraobtener P y la R(x) con g(x) para obte-

ner V.

Como f(x)>R(x) sobre el intervalo[b;f]y g(x)>R(x) sobre el intervalo

;2Ju,entonces el área encerrada por las cuatro curvas es:

A = (x2-(x-4))dx+ ((x-2)2-2-(x-4))dx

x2dx- xdx+4 dx+ (x-2)2dx- xdx+2 dx

-

0

X2

T

12

0

+4x (x -2)3

32

1

X 2

T

2

i

T"

\

2x 256"

115

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funcio-nes:

f v (x) = 10x\ f 2 (x) = ( x - e f - 4 , f 3 (x) = | | x - ^

Solución: La gráfica de las funciones f i, f2, f3 se muestra en la siguiente figu.ra

Como observamos, las funciones fi(x) y f3(x) se intersectan en los

puntos P = \JQ , YQ y Q' s (3,5), y las funciones fi(x), f2(x) se

intersectan en el punto R = ^ , ~gr » dichos puntos se obtuvieron de

igualar las respectivas ecuaciones de las funciones y posteriormente de-1 41

terminar los valores de x. Como en el intervalo j o ; 3* s e t i e n e c l u e

f i (x)>f3(x) y en el intervalo U- ; 3 tenemos que f2(x)>f3(x), enton-

ces el área encerrada por las tres curvas es:

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A = (Mx) - f3(x))dx

1/10

(fz(x) - f3(x))dx

l/lO

= 10 x dx - ^4929

J 1/10

xdx + 29

l/lO

dx +

1/10

(x-6) dx - 4929 xdx - 114

~29~ dx

= 10 49 xf_29 2

í/io

t / 3

l/lO l/lO

492 9 X

1 1 4

- 10 í í i } 3 1 1 ü ÍÍ4]2 J M . 2 (43 {{3} " lOOOj " 58 [|3J " lOOj 29 [ I "

49 [ i 16] 114 f,- 4]" 58 (2 " 18] " 2 9 ¡ / " 3j

= 41.38

117

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las siguientes curvasf(x) = x2, g(x)V(x-6)2-4, R(x) = x-10, x = 0

Solución: En la siguiente figura se muestran las curvas dadas junto con el áreapor calcular

Como observamos, las curvas f(x) y g(x) se intersectan en el punto

P = U" , -gpl, mientras que ía recta R(x) ínter secta a g(x) en el punto

v = (6,-4), estos puntos P y V se pueden obtener de igualar las respectavas ecuaciones, la de f(x) con g(x) para obtener P y la de R(x)con g(x) para obtener V.

Como f(x) > R(x) sobre el intervalo 0;3 y g(x) > R(x) sobre el in-tervalo 3;6 , entonces el área encerrada por las cuatro curvas es:

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8/3

A = (t2-(t-10))dt + ((t-6)2 - 4 - (t-10))dt

8/3

8/3 ,8/3

t2dt - tdt + io dt + (t-6)2dt -

8/3

tdt + 6 dt

8/3 8/3

8/3

-

0

t 2

2

e/3

+

0

lOt

8/3

+ (t-6)3 _ t i

6

-

8/3

t 2

2

6

8/3

6t

8/3

= 4907162

119

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Ejemplo: Determinar el área encerrada por las parábolas

4y2 = -5y2+ 9

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de las parábolas y el área encerrada

por ellas.

la ecuación de la rama superior de la parábola x -4y2 y x2=-52+9 son respectiva-

mente

3.2

y las ecuaciones de las ramas inferiores son respectivamente

12

los puntos de intersección entre las parábolas sé obtienen de igualar sus ecuaciones,

es decir, de la igualdad

4y2= -5y2+9

9y2= 9

se tiene y =±1 y los respectivos valores de x son xxM, x2=4 es decir las pará-

bolas xx, x2 se intersectan en los puntos P=(4,l), Q=(4,4) entonces el área ence-

rrada por ambas parábolas es:

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A = L(t)dt con L(t) =/ t si 0<t<4

si 0<t<9.

("9

L(t)dt + L(t)dt

/tdt + dt

o 3/5

16 + 4 3/ _ 3 63 + _ 5 --3-

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x3 - 12xEjemplo: Determinar el área entre las curvas f(x) = -—~2 y g(x) = ^-

Solución: La siguiente figura muestra las curvas dadas junto con el área entreellas.

Como observamos, las curvas f(x) = x2 - 12x _ xy g(x) = - se intersec-tan en los puntos P = (-3,9), Q = (0,0), R -' (4,16) los cuales se obtu-vieron después de igualar las ecuaciones de f(x) con la de g(x), esdecir, después de resolver la igualada

1 / V 3 i o v \ . 1 V 2ij\A " ICX) - -y X

Como f(x) s g(x) sobre el intervalo -3;0 y g(x) 2: f(x) sobre elintervalo 0;4 , entonces el área encerrada por las curvas es:

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A =t3 - 12t

-3

(ti (t3 - 12t))dt

j,2 t3dt-12

-3

tdt-

• ' - 3 J

t2dt+

- 3

t2dt-

0

t3dt+12

0

tdt

0 -

12

t1*4

-6t2

- 3

t3

" 3- 3 - 3

" 4

0

+ 6t

0 0 -

+ 54 _ 9 + M. _ 64 + 96 937

es decir,

A = ~ UNIDADES CUADRADAS

NOTA: La gráfica de f(x) = x3 - 12x se obtuvo por medio de los resulta-

dos de la primera y segunda derivada de la función f(x).

123

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Ejemplo: Determinar m de tal manera que la región sobre la recta R=mx y bajo la parábcD

la y=2x-x2 tenga área de 36 unidades cuadradas.

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la parábola y posibles posiciones

de la recta R(x)=mx.

Como por hipótesis la recta está por debajo de la parábola, entonces

R(x)<y(x) para 0<x<xo

Como la recta y la parábola se intersectan en algún punto XoC^O) entonces para ese pun

to debemos tener igualdad de ecuaciones

m Y •_. 9 Y - Y 2 - - - - - - - - - - - - - - - - ----- - ---'1

luego x.o+.(m-2)xo = 0 2

es válida para xo = 0 y xo = 2-m — •- — =.--- — --._-«-. — „-;--. .3

por otro lado, el área entre la recta R y la parábola es 36, entonces se tiene la

rxoigualdad

36 = (y-R)dx:= (2x-x2-mx)dx

= j x i? "m -o-

X o

~Xo" T ~ "ñrXo

-ti- JXO-.-J

sustituyendo (3) en (4) obtenemos

36 - (2-m) (2-m) 00 2 3

entonces 63= (2-m)3 y luego 2-m = 6

luego entonces m = -4 y xo = 6 deben ser los valores que satisfacen lo indicado.

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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS.

En cada caso, calcular el área encerrada por las curvas dadas

1) f(x) = x2 , y = 1

2) f(x) = -x2 + 4 , y = 2

3) f(x) = x2 , y = x + 1

4) y = JT » y = -x2, x = 1 , x = 2

5) y = x2 + 1 , y = 5

6) x + y = 3 , y + x2 = 3

7) y = x3 y la recta y = x

8) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1

9) y = / x ~ V y = 4^ y la normal ay - /x~ en ( 1 , 1)

10) y = x3 - 12x, y = x2

11) y = x3 - x y la tangente a esta curva en x - -1.

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12) x2 - y + 1 = O ; x - y + 1 = O

13} y = 2x3 - 3x2 - 9x ; y = x3 - 2x2 - 3x

14) x = 4 - y2 ; x = 4 - 4y.

15) y = x2 , y = 8 - x2 , y 4x - y + 12 = O

16) y = / T , y = 2/xPT y = 0

17) y = x2 + 1 , y =-4x + 2 x = 0 , y = 0

18) y = -x2 +'1 • y sus rectas tangentes que pasan por p = (0,2)

19) Encerrados por los segmentos que unen los puntos p = (-1, -1)

Q = (2,2), R = (6, 2), S = (7,-1)

20) y = 2x - x2 y la línea y = - 3

21) El área acotada por la curva y = x2 y la línea y = 4 es dividida en dos

porciones iguales por la línea y - c. Encuentre c.

22) Encuentre m(> 0) para lo cual la parábola y = mx2 y la recta y = m

encierran un área de 10 unidades cuadradas.

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23) Calcular el área encerrada por y = -x3 + 2, su recta tangente en (1,1)

y y = o.

24) y = x2 , y = -lxl + 1

25)

26) y = x3 - 12x , y = x:

27) y = x2 , y = -x2 + 4x.

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B) CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCIÓN: ROTACIÓNRESPECTO DEL EJE X, ROTACIÓN RESPECTO DE EJES PARALELOSAL EJE X.

Cuando la gráfica de una función f(x) continua definida sobre un intervalo

(figura 1) se rota alrededor del eje X, esta produce un sólido limitado por la re

gión generada por la curva, dicho sólido es llamado sólido de revolución.

1

i

i

128

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En esta sección estamos interesados en calcular el volumen de sólido de revolución

como el que se muestra en la figura 2. Se puede observar que el volumen del sol i_

do de revolución será igual a la "Suma continua" de las áreas transversales del

sólido sobre el intervalo Ca^3> n0 es d i f í c i l probar que la fórmula

V = A(t)dt

nos permite calcular el volumen de dicho sólido, en tal fórmula A(t) es la fun-

ción del área transversal del sólido perpendicular al eje de rotación X > con

te[a:b j Como cada punto de la gráfica describe un circulo cuando ésta se rota,

entonces debe ser claro que la función de área transversal es el área de un circulo,

lo cual da A(t) = n ( f ( t ) ) 2 , por lo tanto el volumen del sólido de revolución se

puede calcular con la fórmula

v = n ( f ( t ) ) M t - . - - - - - - - - - - - - - ~ - 2

La gráfica de una función f(x) continua sobre el intervalo Caí^l también se puederotar alrededor de un eje paralelo al eje X y es posible calcular el volumen derevolución del sólido obtenido.

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Por ejemplo, si f(x)>0 para todo xe[a;iTj e y=c<0, es el eje al re-

dedor del cual la región comprendida por la gráfica de la función y el

eje X es rotada, entonces el volumen del sólido generado es:

V = dx-

rb

ir c*" dx

a

esta fórmula se puede interpretar como sigue: el primer sumando corre¿

ponde al cálculo del volumen de revolución obtenido de girar el área ba

jo f(x) hasta el eje y=c y el segundo sumando corresponde al cálculo

del volumen de revolución obtenido de girar el área bajo el segmento

[a;b] y el eje y=c, y la diferencia dá el volumen de revolución obteni-

do al girar el área bajo f(x) y el eje X entre [a;b] , alrededor del

eje y=c.

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Un caso importante, respecto de volumen de revolución, es cuando se de-

sea calcular el volumen de revolución generado al rotar.el área eneerra

da entre dos curvas, cuando esta es rotada alrededor del eje X. Gráfi-

camente tenemos, que si

0< g(x) < f{x) para a< x< b

como se muestra en la siguiente figura

41

y rotamos el área encerrada entre las curvas alrededor del eje X, obte-

nemos el siguiente sólido

1

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De la figura vemos que el volumen del sólido de revolución obtenido por

el área entre las curvas lo podemos calcular, calculando el volumen derb

revo luc ión e x t e r i o r por l a fórmula f 2 ( x )dx , obtenido de g i r a r e l

área ba jo la curva de f ( x ) , a l rededor del e je X y r e s t a r l e e l volumen

de revo luc ión i n t e r i o r obtenido de g i r a r e l área bajo la curva de g ( x ) ,

íb

a l rededor del e je X. Con la fórmula 77 g 2 ( x )dx . Asi tenemos que el

volumen V obtenido de g i r a r el área en t re las curvas f ( x ) y g(x) se cal

cu!a con la fórmula

V = 7T g 2 (x)dx

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Observación: Para el caso de las funciones anteriores

0 < g(x) < f(x) con a < x < b

si el área entre ellas es rotada alrededor de un eje, paralelo al eje

X, y=c <0, entonces el volumen V de revolución obtenido deberá ser cal

culado por la fórmula

b rb

V= (f(x)-c)2 dx- (g(x)-c)2 dx.

La fórmula anterior deberá interpretarse como el volumen exterior gene-

rado por el área bajo la gráfica de f(x) y limitada por el eje y=c <0

entre a< x< b cuando esta es rotada alrededor del eje y=c< 0, y el se-

gundo sumando deberá interpretarse como el volumen interior generado

por el área bajo g(x) limitada por el eje y=c< 0 entre a < x < b cuando

esta es rotada alrededor del eje y=c< 0. La diferencia de estos volüme

nes el exterior menor el interior nos da el volumen generado por el

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Ejemplo: Determinar el volumen del sólido de revolución al rotar la región ence

rrada por la función f(x) = 4 - x2 entre x• = 0 y x = 2, alrededor

del eje Y .

Solución: La siguiente figura muestra la región del enunciado.

entonces

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Volumen de revolución

al rotar alrededor --

del eje Kv = n f2(t)dt

= n (4-t2)2dt

= n( 16dt - 8 t2dt + t*dt)

= ni6t + n-•T

= 32n -

256 = 17n UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar el área encerra

da por las curvas y1= x2 , y2= 3-2x, alrededor del eje X.

Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las funciones ylf y2

el volumen de revolución alrededor del eje X.i

al igualar las ecuaciones de dichas curvas.

x2= 3-2x

obtenemos xx= , x2= -3 y con ellos obtenemos los puntos de intersección entre las cur-

vas P = (1,1), Q = (-3,9) respectivamente. Como y2 _yi para -3<x<L, entonces el volu

men V del sólido generado es:

V = TT(1

= irj1 (S-Zt^t-TrfVdt

= - |IT[1-729]- I (1+243)

= +J728- |(244)

|364- f (244) = TT1820 - 732

15

(1088)

136

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Ejemplo: Calcular el volumen de revolución que se obtiene de girar el área entrela gráfica de la funciónf(x) = x3 - 4x2 + 3x en el intervalo [0;3}, cuando ésta se rota alrededor del eje Y .

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de la función f(x) sobre el inter.valo \0i

y su volumen generado cuando ésta se rota alrededor del eje X es:

V = n f2(x)dx

= n (x3 - 4x2 + 3x)2dx

= n (x6 - 8x5 + 22X1* - 24x3 + 9x2)dx

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= n x6dx - 8n x5dx + 2211 x"dx - 2411 x3dx + 911 x2dx

= n - 8n - 24n T

V = 7 * 3 ? " 3 R 3 6 "* "5"- 6n 31* + 3n33

h

La siguiente figura muestra el sólido de revolución obtenido al gifár é lárea anterior alrededor del eje X. .

138

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Ejemplo: La región acotada por las curvas y = x2 + 2, y .= x +. 1, x = 0 y

x = 1 es girada alrededor del eje 1 . Determinar el volumen del

do de revolución obtenido.

Solución: Las siguientes figuras nos muestran la región junto con el sólido obte

nido :

De acuerdo a la fórmula :

139

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v = ni f 2 ( t ) d t - n i gz(t)dt

tenemos que el volumen del sólido obtenido es:

v = n (t + 2)2dt - n (t + l)2dt

= n (t* + 4t2 + 4)dt - n

' o

(t2 + 2t + l)dt

' o

= n 4n

Jo

= n±

t2dt + 4n dt - n t2dt - 2n tdt - n dt

* o ' o ' o . ' o

1 1 1 1 1

+

0

1 n t 3 +

0

4nt n t 3

n 30

-

0

nt2- •

0

nt :

= n( | + | + 4 ) - n( |

_ 16 UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar el área

encerrada por las curvas ya (x)=x2+4, y2'(x) = l, alrededor del _e_je_X.

Sobre el intervalo 0 < x < 2.

Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las curvas yi, y2

y el volumen de revolución obtenido de rotar ésta alrededor del eje X.

Así tenemos que el volumen generado por el área, entre las curvas yl5

y2, cuando esta se rota alrededor del eje X es:

V - Vtotal exterior

y 1 2 (x)dx-

0

r 2

(x)dx

(x I 2 dx

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, 2

= TT dx

71 5- T T X

896TT - 2 TT

866 Unidades cúbicas

142

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área entre las curvas fíx) y g(x), cuando esta es rotada alrededor del

eje y=c < 0.

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Ejemplo: Determinar el volumen de una esfera metálica de radio r=10 mm que es per_

forada por uno de sus diámetros con una hora de diámetro 1 rnrn.

Solución: La esfera perforada se puede obtener de rotar, alrededor del eje X, el

encerrada por la curva y^/lOO-x2 y la recta y=l mm, el área porárea

rotar está mostrada on l«i siguiente figura.

JsíiÍH1

10

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La siguiente figura nos muestra la esfera perforada por uno de sus diá-

metros.

115

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Las coordenadas de los puntos P = ( ~ ' / W " , 1) , Q'=. ( . V W , 1 ) se

obtuvieron después de igualar la ecuación y = /100-x* con y = 1.

con los datos anteriores podemos calcular el volumen pedido:

Volúmen de es-

fera ferforada

Volumen obtenido

al rotar la cur-

_ va ^lüü-x2 alre-

dedor del eje I

desde -99 hasta

99

Volumen obtenido

al rotar la rec-

ta y = 1 mm

alrededor del

eje X , desde -99

hasta 99.

= n

r/9"9~

(/ lUU-xz)2dx - II "dx

= n (100-x2)dx - E

-/59"

dx

n(100 x - Y

/gg

-/g?

= 2n(99/w} - 1 n = 211(99/9?) - 1 n(99/9?)

Volumen de esfera perforada = y H(/9"9~ );

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Ejemplo: Hallar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región en-

cerrada por las curvas yx = x 2 , y2 = H- , Xi = -3 , x2 = 3, y = 0,A

es girada alrededor del eje X •

Solución: La siguiente f igura muestra el área encerrada por las curvas dadas, jun-

to con el sólido obtenido.

Las curvas y i s y2 se intersectan en los puntos P = ( -2,4) , Q = (2,4)

y la curva y se intersecta con las rectas X i , x2 en los puntos

R = ( -3, -g-), S = (3, -g-), con estos datos tenemos que el volumen de el

el sólido obtenido es:

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v = n f2(t)dt

J-3

r -2

= n y|(t)dt + n yi(t)dt + n yHt)dt

-3

= n ( | l ) 2 d t

- 3 •1-2

f -3

= nie2 ^ I 6 2 n ^

- 2

UNIDADES CUBICAS.

148

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Ejemplo: Determinar el volumen del sólido obtenido de rotar la región encerradapor las gráficas de y = x2 y y = 4, alrededor de la recta y = -1.

Solución: Las siguientes figuras muestran el área encerrada por las curvas y elvolumen del sólido obtenido

Puesto qué el área es rotada alrededor de la recta y = -1 entonces elvolumen obtenido lo calculamos por medio de 1 a siguiente fórmula

v = n g2(t)dt - n f2(t)dt

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donde

f (x) = 1 + x2 y g(x) = 5

asi tenemos:

V = 25dt -

- 2 - 2

= 25n dt - n

- 2

(l+2t2+t")dt

- 2

= 25nt

2 2

- nt

- 2 - 2

2 2

4-5

U T- 2 - 2

= íoon - 4n - ^ n - -^ n

= íoon - n60+160+192

15

= íoon - n412

-72.5H

150

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Ejemplo (teórico práctico): Determinar uña función continua f(x) > Ó definida

en el intervalo !0;+°°) cuyo volumen de revolución

obtenido al rotar el área entre su gráfica f el eje

X sobre el intervalo 0;x, alrededor del eje X es

x2 + 2x

Solución: La formula para el volumen de revolución cuando se rota la gráfica de

f(x) alrededor del eje J_ es:

V = n f2(t)dt

pero

V = x2 + 2x

entonces

f2(t)dt = x2 + 2x

x2 -t- 2x

n

derivando ambos miembros de esta igualdad tenemos:

151

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dx f2(t)dt =-£-d x2 + 2xdx E

luego

2x + 2

n

f'U) - H

f(x) -

/2= /i

es la función pedida, la gráfica del sólido de revolución está mostrada

en la siguiente figura. "

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ROTACIÓN RESPECTO DEL EJE Y

Si la función y=f(x) con xe[a;b] (0<a< b) es no negativa y el área

bajo la gráfica es rotada alrededor del eje Y, entonces podemos calcu-

lar el volumen del sólido de revolución generado por esta área, median-

te la fórmula siguiente.

V = 2TÍ xf(x)dx.

La gráfica de f(x) y el volumen de revolución se muestran en las si

guientes figuras

Nota: Otra forma de calcular el volumen de revolución obtenido al girar el

área bajo la gráfica de f(x), alrededor del eje Y, es "despejando" j ^ en

función de y de la igualdad

"" 153

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y = f(x)

y ver el volumen como obtenido de girar el área alrededor del eje hori

zonta! como se hace para calcular el volumen de revolución alrededor

del eje X.

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Nota: Si f ( x ) y g(x) son funciones continuas no negat ivas de f i n idas sobre el

i n t e r v a l o Z^'^l ( 0 < a < b ) y además 0 < g (x ) < f ( x ) , no es d i f í c i l cosí

vencerse de que el volumen de revo luc ión obten ido de r o t a r el área en-

t r e estas curvas , a l rededor del e je Y, se c a l c u l a con la fórmula s i -

guiente

V = 2 TT xf (x)dx-2 * xg(x)dx

esta fórmula se peude interpretar como sigue: el primer sumando calcu-

la el volumen de revolución obtenido al girar el área encerrada por la

gráfica de f(x) y el eje X, y el segundo sumando calcula el volumen de

revolución obtenido de girar el área encerrada por la gráfica de g(x) y

el eje X, la diferencia dá el volumen de revolución obtenido de girar

el área comprendida entre las curvas alrededor eje Y.

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Ejemplo: Determinar el volumen del solido de revolución obtenido de rotar la

gión encerrada por la función f(x) = 4-x2 y las rectas x = 0, x = 2

y y = 0, alrededor del eje Y.

Solución: Las siguientes figuras muestran la región y el volumen

de acuerdo a la fórmula para calcular el volumen de revolución de regiones gira__

das alrededor del eje Y, tenemos para f(x) que el volumen del sólido obtenido

es:

r ¿

V = 2TT I tf(t)dt

í 2TT f t(4-t2)dt

= BTT i tdt-2TT t 3 dt

4iT2

es decir

= 8TT

V = 8ir unidades cúbicas

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Ejemplo: Determinar el volumen del solido de revolución obtenido al rotar la

región encerrada por la función f(x) = x~x2, el eje X, entre x = 0

y x = 1, al rededor del eje Y.

Solución: Las siguientes figuras muestran la región y el volumen obtenido

El volumen del sólido obtenido es:

V = 2TT t ( t - t 2 ) d to

= 2TT| t2dt-2iT t 3 d tO J O

1 1r= v

es decir

V = gir unidades cúbicas,

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Ejemplo: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar, la re-

gión encerrada por la curva y (x)=(x-4)2 +4 para 2 < x < 6, alrede-

dor del eje Y.

Solución: La siguiente figura muestra la región a rotar junto con el sólido de re

volución obtenido

El volumen del sólido obtenido es:

V - 2 TT t((t-4) 2+4)dt

' 2

.6

= 2 7T t(t 2 -8t+16+4)dt

J 2

.6

= 2TT -8t2 +20t)dt

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= 2 7T t 3 d t - 1 6 TI t 2 d t+40 ir td t

2 J 2 ] 2

~ 7T t16 . 3 + 20-TT t 2

J (1296-16) - ^ TT ( 2 1 6 - 8 ) + 2 0 1 T (36-4:

i d 2 8 0 ) - ¿2. TT 208+20 TT 32

= 1280 1328

5123 unidades cúbicas

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Ejemplo: Determinar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje Y

la región "fuera" de la curva y 2 (x)=x2 y entre las rectas R2 (x)=2x-l,

R2 (x)=x+2.

Solución: Los siguientes figuras muestran la gráfica del área ecerrada por la para

bola y(x)=x2 y las rectas Ra (x), R 2 (x) y el volumen abtenido cuando

dicha área es rotada alrededor de eje Y.

4% *

La parábola se intersecta con la recta R1 (x) en el punto P=(l,l) y con

la recta R2 (x) en el punto Q=(2,4), mientras que las rectas se inter-

sectan en el punto R=(3,5). Calculamos el volumen generado por la cur-

va compuesta por y1 con R£ sobre el intervalo [l,3] rotada alrede-

dor del eje Y, luego calculamos el volumen generado por R sobre el in-

tervalo [l:3] y por tanto el volumen deseado lo obtenemos con la fór-

mula, como sigue:

160

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V = 2 TT tf(t)dt-2 TT tq(t)dt

donde f representa la curva y1 (x) seguida con R 2(x) y gíx) representa

la recta RA (x) desde x=l hasta x=3. Así cenemos que el volumen es:

V = 2 T xx 2 dx+2 TT

1 i

.2

x(x+2)dx-2 TT

= 2 7T

' 2

.3

x(2x-l)dx

X 3 dx+2 ir

' 1

77 1+

x2 dx+4 TT

+ 23 3

-i

' 1

3 ,-3

xdx-4 iT x 2 dx+2 xdx

- l T r X - + TTX

TT(27-8)+2 TT (9-4)- ^Tr(27-l) + ir (9-1)

38

TT unidades cubicas.

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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN

En cada caso calcule el valor del volumen de revolución, cuando la región en cues

tión es rotada alrededor del respectivo eje.

1) Región encerrada por las curvas y = 1 - x2, y = 0, x = 0, x = 1, rota

da alrededor del eje X .

2) Región encerrada por las curvas y = x3, x = 1, x = 2, y = 0, rotada

alrededor del eje X •

3) Región encerrada por las curvas y = x2 + 1, y = /T* , x = G, y =• 2,

rotada alrededor del eje X .

4} Región encerrada por las curvas y = x2 + 1, x = 0, y la recta tangente

a }a primera en x > 1, rotada alrededor del eje X .

S) Región etícérrada por las curvas y = 4 - K2 y y'= 3, rotada alrededor

del eje y = -l

6} Reglón encerrada por las curvas y = x2, y = 1 9 rotada alrededor del eje

• . y = 2 V • ' / • • • '

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7) Región encerrada por las curvas y = |x - 1|, y = t x + 1, rotada alrede

dor del eje >[ •

8) Región encerrada por las curvas y'= / 2x + 4 , y = 0, y x = c (c > 0 ) ,

rotada alrededor del eje J_ . ¿ Con qué valor de c el volumen es .12 II uni

dades cubicas ?.

9) Región encerrada por las curvas y• - x2, y = 1 + x - x25 rotada alrededor

del eje y = -3.

10) Región encerrada por las curvas y = 1 - x2, x - y = 1, rotada alrededor

del eje y = 3.

11) Región encerrada por las curvas y = /x~ + 1, y = /x-1 , y = 0, x - 0

y = 3 rotada alrededor del eje J_ .

12) La región en 11 rotada alrededor del eje y = -1

13) Calcular el volumen de revolución obtenido de girar el área bajo la gráfica

y(x) = 3x+l (0 < x < 5) alrededor del eje Y,

14) Calcular el volumen de revolución obtenido de girar el área bajo la gráfica

y(x) = x 2 +1 (0 < x < 3) alrededor del eje Y por dos métodos.

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C) CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR

UNA FUNCIÓN A(t).

En esta sección presentarnos ejemplos de cálculo de volumen de sólidos

que tienen un área transversal determinada A(t). Claramente el volumen

del solido es igual a la "suma continua11 de las áreas transversales

A(t) del sólido. Por tanto, no es difícil comprobar que el volumen V

del sólido, como el que se muestra en la siguiente figura, se puede caj^

cu.lar por la fórmula.

V = A(t)dt

donde a y b son números realess

que "encierran" al sólido.^ «*M

por donde pasan planos TT y

t

Nota: Los sólidos de revolución son un caso particular de los sólidos en gene

ral, en el caso de sólidos de revolución A(t) es el área de circuios.

164

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Ejemplo: La base.de un sólido es la región del plano H. encerrada por las cur-

vas x = y2, x = 4. Cada sección transversal del sólido perpendicular

al eje X es un triángulo isósceles, cuyos vértices que unen los la -

dos iguales del triángulo están sobre la gráfica de la función 4 / T

sobre el plano XZ. . Hallar el volumen del sólido.

Solución: Las siguientes figuras muestran la base del sólido encerrado por las

curvas y las secciones de área transversal del sólido.

Como cada sección del área transversal es un triángulo, entonces su

área es:

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y puesto que la base del SA(t) es 2

y la altura del i.A(t) es 4 7F

entonces

A(t) = j base.altura

1 2 /I .4 /t

= 4í

y por tanto el volumen del sólido es:

V = A(t)d1

4tdt

o

= 2t2

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= 32

es decir, el volumen del sólido es:

V = 32 unidades cubicas.

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Ejemplo: La basé de un sólido en él plano % Y és el triánguloT = {(x,y)jO < y < x, 0 < y < 1}. Cada sección de área transversaldel sólido perpendicular al eje X es un semicírculo-Determinar el volumen del sólido.

Solución: En la siguiente figura se muestra la base del sólido y secciones deárea transversal

Para cada x se tiene un semicírculo de radio 4 y además el área dedicho semicírculo es

A(x) = | n (|)

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y el volumen es

V = A(x)dx

\ ir(£ )2dx

n8

x2dx

_ n UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: La base de un sólido es la región encerrada por un círculo con centro

(0,0) en el plano X. Y. y radio 10 cm. Determinar el volumen del sólido

sabiendo de antemano que las secciones transversales perpendiculares al

eje X. son triángulos equiláteros

Solución: La siguiente figura muestra la base del sólido cuya ecuación es:

.=. 10x2.+

e yi .=../ lü - x2 , y2 = - / lü - x con -10 < x < 10, las ecuacio-

nes de los semicírculos superior e inferior, respectivamente, en el pla-

no 1 1 V

Como cada sección transversal es un triángulo equilátero, entonces elárea transversal A(x) es:

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A'.(x) - ¿ base.altura , ton base = Zyx = 2/ 102 :r~xT

y altura = / J / 102 - x r

asi tenemos

A(x) = -»(2/102 - x2)(/~r /102 -

y por lo tanto el volumen V del sólido es:

10

V = A(x)dx

-10

10

/T (1 .0 2 - x2)dx

- 1 0

= 7T W M-

102x

10

- 1 0

10

¿-10

10

x2dx

- 1 0

= 20/TlO2 - | / T 103

| / T 103 UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: La base de un sólido en el plano X Y. , está l imitada por la$ curvas

y "- 3x + 4, y = x 2 , x = 0 , x = 4. Si cada sección transversal del

sólido perpendicular al eje X. es un cuadrado. Determinar e l volumen del

sol ido.

Solución: En las siguientes f iguras se muestran el sólido y su base

£omo cada sección transversal es un cuadrado y cada lado mide

l ( x ) - 3x + 4x2 ehtohces el área de cada sección e$:

A ( x ) > ( 3 x > 4 - x 2 ) 2

y el volumen de l sólido es:

V = A(x)dx =

o

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f¡ (3x + 4 - x2jfiix

- 6x3 + x2 + 24x + 16)dx

- 6 x3dx +

jo Jo

x2dx + 24 xdx + 16 dx

5Y1*

" 6 T + 24 ?j- + 16x

- 6.43 + ~ + 3.43 + 43 + 4 3

A3f 1 64 ( T "

1

f + 3

= 4 3 í ^ + i - 2 )

- / j 3 ( 48 + 5 - 3 0

15

= 43{.||. ) UNIDADES CUBICAS

es decirV = | i . 43 UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: La base de un solido es la región encerrada por la elipse que tiene

ecuación

4x2 + 9y2 = 36,

determinar el volumen del sólido si todas sus secciones transversales

perpendicular al eje J_ son cuadrados.

Solución: Las siguientes figuras muestran la base y el sólido

Como el área transversal del sólido es un cuadrado y cada lado del cuadrado es:

L{t) . 2

entonces el volumen del sólido es;

= í L2(

= 16x

t)dt

(9i

dx

3

- 3

- x2)dx.

-3

16 x2

T ' T

3

-3

=16(6) - ^y(2:27) = 6 4 unidades cúbicas.

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Ejemplo: la base de un sol ido es la región encerrada por las parábolas

xi > 4y2 y X2 ~ 36-Sy2 en eí plano XY. . Determinar el volumendel. s51 ido., sabiendo que las secciones transversales del sólido, per-pendiculares al eje X.» son cuadrados.

Solución: Las siguientes figuras muestran la base del sólido en el plano XI y

las secciones transversales del sólido.

Al igualar las ecuaciones de las parábolas» encontramos que los puntos(le intersección entre ellas son: P=(16,2) y Q=(165-2). Como cadasección transversal del sólido perpendicular al eje X. es un cuadrado,entonces el área A(x) de cada una de las secciones transversales es:

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Donde L(x) es el lado cuadrado perpendicular al eje 1 en el punto x.

Es importante notar que hay cuadrados producidos por la parábola xi y

otros producidos por la parábola x2, entonces:

cuadrado producido por la parábola xx tiene lado

Li(x) = 2y'|- , con 0 < x^ 16

cuadrado producido por la parábola Xz tiene lado

L2(x) = 2 / ^ ~ - V con 16<x<36

Y por lo tanto el volumen del sólido es:

16 36

V = A(x)dx = A(x)dx +

o

A(x)dx

' 16

36

0

2 / X dx +

16

2 / 36-x dx

16

xdx'+ J

36

(36 - x)dx

16

16

16

36

16

- (16)2 ,2

Es decir, V = 288 UNIDADES CUBICAS.

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- 288

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Cjempio: Los ejes de dos cilindros iguales en diámetro se cortan formando ángu-

lo recto. Determinar el volumen del solido que se forma de la inter-

sección entre dichos cilindros.

Solución: La siguiente figura muestra ^ de la intersección de los cilindros

La ecuación de la base del cilindro vertical es:

x2•+ y2 = r2

y la ecuación de la base del ci l indro horizontal es:

x2 •+ z2 = r2

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entonces:

y =

z = / r2 - x2

de éstas dos igualdades notamos que para una misma x_, y y L toma el

mismo valor, de lo cual se desprende que el área transversal g- de la

intersección de los cilindros, cuando se corta por un plano perpendicir

lar al plano IX y que pasa por el eje X. es un cuadrado, entonces, el

volumen es:

,r

V = A(t)dt

donde A(x) - yz = / r2 - x2 / r2 - x2 = r2 - x

Asi tenemos

V = A(t}dt

(r2 - t 2 )d t = t3

T

luego entonces el volumen de la intersección de los cilindros es:

Vt = 8V = -Y- r3 UNIDADES CUBICAS.

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Ejemplo: Determinar él volumen de una cuña, cortada de un cilindro Circular por

. . un plano, que pasando por él diámetro de la base está inc.1 inado respecto

a ella, formando un ángulo x = 45°, El radio de la base es R = 80 cm.

Solución: La siguiente figura muestra la cuña del cilindro

Considerando el eje Ü como el eje que contiene un diámetro de la circun-

ferencia de basé de la cuña y £ otro diámetro de la base perpendicular

al eje X 9 -S.é tiene que la ecuación de la circunferencia de la base será

; '•;••••;..,. x 2 + y 2 = l í 2 . • - . • : " • . • ' ". . / ' • / ' " •-' '-,

Como cada sección transversal de la cuña perpendicular al eje X es un

triángulo A cuya área é$:

a A = | AB. BC.

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con AB = y = V R2 - x2 y BC = AB tan a

es decir a A = yy tan a = | y2 tan a

entonces el volumen de la cuña:

V = 1 oj y2tana dx

-R

= 2 ¿ tana y2dx

= tana

R

(R2 - x2)dx

' o

=tana*R2x - tana • ~

R

• " • • • ' ;

' R3 ' • • • •

RHana - - j - tana

= # RHana

= 4 (80cm):

1024 UNIDADES CUBICAS.

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Volumen de sólido: Área de sección transversal conocida

Ejemplo: Determinar el volumen de una pirámide triangular

cuya base está limitada por los lados del triángulo cuya

vértices son los puntos P = (0,0,0), Q = (4,4,0) = (4,8,0)

y su punto "más alto" está a una 1atura a = 10 sobre el pun

to donde se intersectan las medianas del triángulo.

Solución: La siguiente figura nos muestra la figura piramidal

y algunas de sus secciones transversales.

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Observemos que los triángulos ALST, AQSM son congruentes, y ALTN, AQMR son con_

gruentes, de 1 a congruenc f a se ótít i ene que sus réspect i vos latios san proporciona

Tes, por ejemplo de la congruencia en ALST y AQSM %e tiene la igualdad

h ~ QM

De la congruencia entre ALTN y AQMR se tiene la igualdad

De 1 y 2 tenemos

entonces

LT Vz

2

h

= •(£ )V - - . - . . . , . _ . . _ . - . 4

pero

T"

-/ ifl i.••

h h

| ) 2por tanto área ARLN = (área APQR){ ,|- )

por lo tanto el volumen de la pirámide es

V - A(Z)dZ

h(área ñPQR)( | )2dz

o • • • ' • ' ' . ' • • • • ' . • '

(área APQR) pr í z2dz = (área APQR) p- • |-

(área APQR) |

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Ejemplo: La base de un sólido es el cuadrado {.(x,y) 0 < x < 1, () < y < 1} en

el plano X. V. . Cada sección perpendicular al eje X. es un triángulo,

tales que los vértices superiores de estos triángulos, están en la rec

ta que une los puntos P = (0, |, 2 ) , Q = {1, |, 1). Calcular el vo1t£

men del sólido.

Solución: La siguiente figura nos muestra la base del sólido y sus secciones

transversales,

Como la sección transversal del sólido respecto del eje X son trian

gulos, entonces su área A(x) es:

basé, a l t u r a , con base > 1

y la altura la podemos determinar de la siguiente ínanera.

Observemos que todos los vértices están sobre una misma recta de tal

manera que pasando un plano n perpendicular al eje I y que contenga

a los puntos P, Q, y R obtenemos la siguiente figura, con la que se

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podrá describir la altura de los triángulos

Como la ecuación de la recta que pasa por P' y Q1 es

z - - x + 2,

entonces con esta ecuación podemos describir la altura de cada triángulo transver

sal y por tanto al sustituir la ecuación de la altura z = - x + 2 en 1, obtene

mos

A(X) = \ (D(- x + 2) = - y 2

y por tanto, el volumen V del sólido lo calculamos así:

V = í A(x)dxo

)dx

••+ 2 ) d x

~ 1 xdx.f dxo /o

2 2 + x

='j » unidades cúbicas,

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EJERCICIOS DE VOLUMEN DE SOLIDOS QUE TIENEN ÁREA TRANSVERSAL A(t) DETER

MINADA.

1. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas |x| e y=2, y cada sección transversal AfyO es un cua

drado.

2. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

f x (x) - x2 si -2 < x < 0

f 9 (x) = 2x S? 0 < x < 2

y cada sección cransversal A(x) es un cuadrado.

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3. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada

oor las curvas

f1 (x) = |x[

f 2 (x) = - jx| +1

y cada seccción transversal A(x) es un triángulo equilátero. Considén?

se las igualdades siguientes:

x = -x+1 X > o

2x =

X —

-x =

12x =

x =

1

1

x+1

1

- 12

X<0

4. Calcular el volumen del sólido, cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

x (x) = /7 , f2 (x) = -x , x = 4

y cada sección transversal A(x) es un cuadrado.

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5. Calculo*- el volumen del sólido, cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

(x) = x , f 2 (x) = -x , x=4

y cada sección transversal A(x) es un triángulo isósceles cuyos lados

iguales tienen su vértice sobre la curva z(,x)= /x~~~ .

6. Calcular el volumen del sólido, cuya base en el plano XY, está limitada

por las curvas

f! (x) = x , f2 (x) - -2x , x=2

y_cada sección transversal A(x) es un círculo.

7. La base de un sólido sobre el plano XYes la región encerrada por la

elipse cuya ecuación es

x 2 +4y 2 =

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Determine el volumen del solido si todas sus secciones transversales

A(x) son cuadradas.

8. Calcular el volumen del sólido, cuya base está limitada por las curvas

x = -y2 +1, x = 0, y = 0 sabiendo que cada sección transversal A(x)

es un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales hacen vértice

sobre el eje X.

9. La base de un sólido es el rectángulo R = {(x,y) | 0 < x < | , 0 < < 5 7

en el plano XY. Cada sección perpendicular al eje Y es un triángulo

A(y) tal que los vértices superiores de estos triángulos están en la

recta que une los puntos P = ( p O J ) , Q = (y,2,2). Calcular el volu-

men del sólido.

10. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

x i = ° > yi = x + 1 > y 2 = "x-2 , x 2 = 3

y cada sección transversal A(x) es un cuadrado.

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D) LONGITUD DE ARCO

La integral puede utilizarse para •...calcular longitudes de curvas

tales como la longitud de un círculo, elipse etc.;de hecho, si

consideramos que f(x) es una función con derivada continua so-

bre un intervalo [a;b~|, es posible calcular la longitud L de

su gráfica sobre dicho intervalo, por medio de la fórmula

L = 'l +. íf'(t))2 dt,

lo cual es conocida como fórmula de longitud de arco.

Nota: La fórmula de la longitud de arco también puede ser apli-

cado a funciones cuya función derivada sea acotada y sec-

torialmente continua sobre el intervalo [a;b ] •

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LONGITUD DE ARCO

x3 . 1Ejemplo: Determinar la longitud de la gráfica de la función f (x ) = ~? + e n e1

t —i í¿ x

1;4J

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x)

t

•3-

La gráfica de f (x) $0 obtuvo empleando los conceptos y resultados de de-

rivácidn de cálculo diferencial.

Como L = V i + ( f ' ( t ) ) 2 dt y f ' ( t ) = 1 J4 " x2

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entonces

L = rr)2 dt

/8t" + t8 +/ 16t.<»

16 dt

Ht1* + 4 ) 2

dt

-f 44t2 dt

dt _ et2 12

J,t

1 ,' r\ _ 21 A 3 _ 24= 6

es decir, la longitud de f(x) en el intervalo 1;4 es L = 6

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• • - • . — . ' • • • • : • • • • • • • • • • • . • • : • • . - : • • . . . . • . . , . . • • • • • • . . • •

Ejemplo : D e t e r m i n a r l a l o n g i t u d de g r á f i c a de l a f u n c i ó n f ( x ) ~en el intervoilo £0;4}

Solución: La siguiente figura muestra la gráfica de f(x)

Como I = / I + ; ; . { f l . ( t } ) 2 . d t y f 4 ( x ) = x ( x z + 2 ) 1 / 2

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entonces

L =?. ( t ( t +2)V2)2

o

/ 1 + t 2 ( t 2 +2) dt

• t- •+. 2t2 + 1 dt

o

V ( t 2 + l ) z dt

( t 2 + l )d t

t 2 d t ••+ dt

+ t

o o

76es decir, la longitud de f (x) en el intervalo Q0;4]]es L = ~ ~

193

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Ejemplo: Determinar la longitud de la gráfica de la función f(x) =en el intervalo

V~T~. dt

Solución: Como L = V 1 + (f (t))2 dt y f'(x) = -/"T

entonces

V 1 + (/T)2 dt

I + t dt

• f 4>/2)

194

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L - f (27-8)

383

La gráfica de f(x) es mostrada en la siguiente figura

La figura anterior muestra la gráfica de f(x)

curva en el intervalo 3;8 cuya longitud es

195

2 3/2=• x ' y la parte de

i _ 38L - - y

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Longitud de arco

Ejemplo: Determinar la tongirud de la gráfica de la función

f(x) = V t'¿ + 2t dt en el intervalo

o

Solución: Como L -

entonces

L =

/ 1 > { f ' í t } } 2 dt y f ! ( x ) > / x2 + 2x

/ 1 + (/t2 + 2t2)dt

/ 1 + t2 + 2t

/ ( t + I)2 dt

( t + l)dt

tdt + dt = = I (9 - 1) + (3 - 1) = 6

es decir, la longitud de f(x) en el intervalo |1;3] es L = 6.

196

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LONGITUD DE ARCO

En cada uno de los siguientes casos, calcular la longitud de la curva dada, sobre

el intervalo dado.

1) y = x2/3 desde x = 1 hasta x = 8

2) 8y = x1* + 2x"2 desde x = 1 hasta x = 2.

3) y = |-(x2+ 2 ) 3 / 2 desde x = 0 hasta x = 3.

4) y = / F dt desde x = 0 hasta x = 2.

5) f(x) = / t2-.l dt desde x = l hasta x = 3,

S(x) 4 < í " * / 5 * D 3 / 2 desde x = hasta x = 148 32

7) h(x) = I x5/5 - | x"/5 desde x = 1 hasta x = 32,

197

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8) T(x) = (t + 7- + 1)^ desde x = 1 hasta x = 4

9) y(x) = J2" + ~ desde x = 1 hasta x = 2

(•X

10) s(x) = / 4t2 - 4t dt desde x = 1 hasta x = 2

11) f(x) = / 2t - 1 dt desde x = 1 hasta x = 2

i

12) h(x) = / t2 + 6t + 8 dt desde x = 0 hasta x = 1

13) f(x) = -i/x (x-3) desde x - 0 hasta x = 3.

14) f(x) = | (x-l)3 / 2 desde x = 1 hasta x = 5.

15) f(x) = yL (3x-l) desde x = 1 hasta x = 4.

16) f(x) = x3/2+l desde x = 1 hasta x = 4.

graficar esta función y representar en ella la longitud del arco cuya longi_

tud es claculada. igo

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E) INTEGRAL IMPROPIA

Dentro de las integrales impropias se consideran la integral de funciones continuas

definidas sobre intervalos del tipo a; + «>), (-°°; b . Se considera la integral

f(t)dt con x > a,

esta integral siempre existirá y si 1ím f(t)dt existe, entonces

f(t)dt « 1 ím f(t)dt existe y será el área encerrada

por el eje X y la gráfica de la función f(t) sobre el intervalo a; + °°), como se

muestra en la siguiente figurar

i

NOTA: Un resultado similar se tiene cuando se desea calcular la integral de una

función g(x) de a -

199

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Un caso que se considera integrales impropias es: cuando la función por integrar

f(x) no es acotada cerca de un punto C sobre el ó los intervalos de integración, co

•o se muestra con la función

f(x) =

si x

0 , si x = 0 ,

definida sobre el intervalo (-1;1). La integral

f(x)dx

existirá * si para números arbitrarios e i , ez > 0, con 0 < ei < 1» 0 < ei < 1» se

tiene que los siguientes limites

y en tal caso

reí

1 Im f(t)dt f(t)dt existen,

f(t)dt = Hm f(t)dt + Hm f(t)dt 1

será el área debajo el gráf ico de f ( x ) y el in terva lo (~1;1) .

NOTA: Si alguno de los l im i tes en 2 no existe entonces la in tegra l por calcular no

está def in ida.

* En general para el cálculo de la in tegra l de funciones no acotadas cerca de un

punto se sigue un aná l i s is s imi lar al del ejemplo an te r io r .

200

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Integral Impropia

Integral impropia (Cambio de variable) intervalo finito

r 2

Ejemplo: Calcular el valor de la integral dx

Solución: Como la función integrando f(x) = — no está acotada en el interva_v¿ ~ X

lo 1;2 y no está definida en 2, entonces no podemos aplicar el método

anterior para calcular integrales de funciones acotadas en intervalos de

longitud finita, por lo que es conveniente considerar la siguiente igual_

dad

dx = 1ím

n - xdx con £ > 0

Como f(x) es continua y acotada sobre el intervalo l;2-e , entonces

dx =;

2G

201

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entonces

f2

» dx

(-2(e* -

= 2.

por tanto

dx = 2.

La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y el área abajo de el1 isobre el intervalo Q;2)

202

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Integral impropia (Cambio ele Variable) intervalo f i n i t o .

Ejemplo: Calcular el valor de la integral (x - " ! ) *dx

Solución: Como la función integrando f(x) = -? JJ 2 no está acotada en el ínter

valo (1;2 , entonces no podemos aplicar fórmulas o métodos para calcular

integrales de funciones acotadas en este caso, por lo que es conveniente

considerar la siguiente igualdad.

i T~vr dx = 1 irn~.(x - I) 2 z -> 0+

Como f(x) = -, -ry2 es continua y acotada sobre el intervalo 1 + e;2

entonces

dx =

i +e

(x - 1)" dx

= - (x - 1)

203

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pa sándo a l 1m i t e , tenemo s

dx > e -> 01

(x -

í+e

dx

( 1 - 1 )

por tanto

1(x - 1)

T dx = + oo .

La siguiente figura muestra la gráfica de f(x) y el área abajo de ellasobre el intervalo {1;

204

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Integral Impropia (Cambio de variable} intervalo infinito

Ejemplo: Calcular el valor de la integral 9x23 + 1)

,-dx

Solución: Como el intervalo de integración no es acotado, entonces podemos considj?

rar la siguiente igualdad

9x2 9x2dx+ 1) e > 0

9xComo f(x) = f 3 ^ >v? es continua y acotada en el intervalo 0;e

entonces tenemos

9x2 dx = 9

93

3x dx

205

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Como

3 x 2 ( x 3 > l ) " 7 dx

Jo

(x3 + 1)15

- 6

-f((e3 -M)-6

2 v (e 2 + 1T6 1)

_ I2 2(e3 + I H

9x2

l i raí

9x2

dx

= l ím2 2(e

por tantof+00

9x2

+ I)

_ I~ 2

206

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Integral Impropia (por partes) intervalo finito

Ejemplo: Calcular el valor de la integralx +' 3

dx.

J-3

Solución: Como la función integrando f(x) = 1 no está acotada sobre el

intervalo (-3;1 , entonces no podemos aplicar en este caso formulas o me

todos para calcular integrales de funciones acotadas, por lo que es cón_

veniente considerar la siguiente igualdad

dx •= 1 im,e + 0"1

dx con e > 0 1

-3

como la función f (x) es continua y acotada en el intervalo -3+s;l , en_

tonces podemos aplicar en este caso el método de integración por partes

asi tenemos

du = dx ; v = 2{x+3)l/2

dx =/ x + 3

= dx

207

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= 2x(x+3)l/2 - 2 (x + 3)l/2dx

J-3+e

= 2x(x+3)l/2 - | ( x + 3 ) 3 / 2

-3+e «3+e

| ( £ ) 3 / 2

= 4-2{-3+e)el/2 - f + i

Al sustituir 2 en 1 obtenemos

dx =

- 3

/ X + Sdx

m3

esdecir

x d x • • - - M

• ' -3

208

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integración Impropia (por partes) intervalo "(0;+°°.)

Ejemplo: Calcular el valor de la integral

+ oo

2x( x • IV

Solución: Como el intervalo de integración no es acotado, entonces no podemos

car formulas o métodos para calcular integrales de funciones definidas

sobre intervalos no acotados, por lo que es conveniente considerar la

siguiente igualdad

+00

2x

(xV8 3

dx = 1ím 2x(x + iy™

dx con e > O - - - 1

2xcomo f ( x ) - • • 8 3 es continua y acotada en el intervalo 0;e

entonces podemos api icar a la integral del segundo miembro de 1 el méto-

do de integración por partes, a s i tenemos

= dx ' • ; V . v = | (x + 1 ) " 5 / 3

2x( x + I ) 8 3* dx = 2 ___

(x + 1)8 3 dx

209

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INTEGRAL IMPROPIA

Calcular cada una de las siguientes integrales

1) dx 2) dx

3) dx 4) dx

/ir

5)-1/3 ,

x dx 6)(s+1)1 ds

-i

7) dv 8)

•9) 5/2 ds 10) xdxx2-9

-5

11) xdx.cD

12) (x+2)6 dx

13)(x2+2)! dx 14)

210

dx

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= 2

£ re

o ^ o

6 / 3 -5 (" 2]

al sustituir 2 en 1 obtenemos

+00

2x(x \Q 3

dx = lím 2x(x + I ) 8 3 dx

= 1 Im f (e+l)-2/3+f

por tantor+00

95

2x(x + I ) 8 3 dx = 9

5

211

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7EJERCICIOS

ADICIONALES

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EJERCICIOS ADICIONALES.

CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES SECTORIALMENTE CONTINUAS.

r

1) Ca lcu la r f ( x ) d x con f (x )=<

- 7

x 2 - l

4ipara

para

para

-¿<x<0

x > 0 .

, 7

2) Calcular g ( x ) d x c o n g ( x ) =

- 5

! - 2 x

UI+2

| x - 3 |

si

si

- 5<

1<

4<

x<4

x<7

3) Calcular

x -1

g(x)dx con g(x)=

- 2

si -2<x<2

si

si

2<x<3

3<x<4

4) Calcular h(x)dx con h(x)=

- 3

l - 2 x si

| x - 2 | * x si

n - x l si

5) Calcular

' 5 \ | X | + X SI

f ( x ) d x con f ( x ) = -| ¡ x - 3 | + x s i

- x 2

l < x < 2

2<x<4

-5<x<2

2<x<3

3<x<5

215

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (la. PARTE)

1) Derivar y evaluar en x =1; la función

t /2t+l dt,

1

2) Derivar y evaluar en z o = l ; la función

g(z) = z3/2 dt.

/z

3) Derivar y evaluar en w o = l ; la función

w

/t2+l dt

h(w) ='w

4) Derivar y evaluar en t=l, la función

•t

dz

g(t) =

1 +

ft

' i

dz

217

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5) Dada la func ión f ( x ) = l + t x d í

o

Pruebe que

[ f ' ( x ) ] 2 - 3 ( x 2 + x 6 ) = x 3 + x 6

6) Derivar la función

g(x) = x1

r/x"

. / t 2+ l dt.

' 1

7) Pruebe que la función g(x) = t"2+l dt

satisface la igualdad

Lg'(x)]2 - x 2 = l .

r/w

8) Sea h(w) = /1+ ~ dt. Calcular h"(w)

218

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9) Usando el teorema fundamental del cálculo, obtenga un valor de a que

tisfaga la igualdad

U 2 +x) dx = 2a

-1+a -

R 2

10) Calcular f'(2), si f es continua y satisface la fórmula para todo x

f(x)

tdt = x 2 (1+x 2 )

219

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APLICANDO EL TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE: CALCULAR LAS INTEGRALES

1) x1/3dx

2) /x /l+x /x dx4 f?3/2

3) dv

/v 2 +4

R /v 2- +4 +C

4) du

u /u 2 -u

factorizar u 2 del radical

5) (H3x2/3)T7T"

4/5

dx

6) dx. -1/2

((x+1)3 +1) +C

221

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7),

,_ 3/2 5/2( v;x +7) . D i- ( /x+7) +Cdx

8)

3

21(1+i) ^

1

9) dx

10)1 " 3 1

( u 2 + 1) (2u- —)du.u u2

11)

j /x2+l /íl+x2 )3

12)x2

Sugerencia: Haga x = —^

xdx 1/2 1/2+C

222

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APLICANDO INTEGRACIÓN POR PARTES, CALCULAR LAS INTEGRALES

X 3— r-T r dx

2)

i

x

3) x2 (1-5x)100dx

4)(H3x)4 7 3

' Q

dx

5)

o

2

(l+2x)2

6) dx

7)

j.

/I x3 dx

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CALCULO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. Calcular el área encerrada entre la parábola y=(x+l)2 +1, su recta tan-

gente en P=(-2,2) y el eje Y.

R 8/3 unidades cuadradas.

2. Calcular el área comprendida por las curvas

y x (x) = -x+1 y la parábola y 2 (x) = -x2 +2,

3, Calcular el área encerrada por las curvas

y (x) = x 2 , x = -1 y la recta tangente a y 2 (x) en P=(2,4)

R 27/3 unidades cuadradas.

4. Calcular el área comprendida por las curvas

x -2, y 2 (x) = / F T , y = 0, x = 0.

225

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5. Calcular el área comprendida por las curvas

y i (x) = |2x-l| e y 2 (x) = 3.

6. Determinar el área encerrada por la función f(x)=4-x2 y las tangentes

a ellas, quepasan por el punto P=(0,5).

2R ~ unidades cuadradas.

7. Calcular el área encerrada por la recta y=- ^-x+1, la parábola y=_(x-2)2+4

y la recta tangente está en x=4.

8. Ca l cu la r e l área de l a reg ión encerrada por l as curvas y 1 (x)= /x+4 ,

y= / 2x -2 y l os e jes X5Y.

2 n n 3 / 2 R) 32T " ; T~ unidades cuadradas.

Ca lcu la r e l área comprendida por las curvas

y x (x) = x 2 -4 e y 2 (x) = - 1 .

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10. Calcular el área comprendida por las curvas

y l (x) = |3x-3 | e y 2 = x+3*

11. Calcular el área comprendida por las curvas

y ! (x) - -x2 +1 e y 2 (x)= |x| -3.

12. Calcular el área comprendida por las curvas

2 (x) = /x-1 y su recta tangente en x o = 4, la recta x = 0

y la recta y (x) = x- .

13. Calcular el área comprendida por las curvas

y 1 (x) = jx-11 e y 2 (x) - - |x-l| +2.

14. Determinar m >0 tal que el área comprendida por la Recta R(x)=mx y la

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parábola y(x)=x2 encierren un área de 1 unidad cuadrada.

15. Calcular K tal que las curvas y (x)=K( >0) y y (x)= |x-l | encie-

rren un área de 10 unidades cuadradas.

16. Calcular L > 0 tal que la recta y(x)=L y la curva ya (x)=x2 (x>0)

encierren una área de 2 unidades cuadradas.

17. Calcular m( >0) t a l que el área encerrada por las curvas y 2 (x)=mx y

3=4 e y 2

2y2 (x)=x2 sea - del área encerrada por las curvas y 3 =4 e y,

y2 (x) = x 2 .

18. Calcular b(b> 0) tal que el área encerrada por las curvas por la curva

Z

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VOLUMEN DE REVOLUCIÓN:

1. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-

gión limitada por las curvas

y = 4-x2 y y =3, alrededor del eje y =-1

176 . . ,R T5~ unidades cubicas

2. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido de rotar la re-

gión limitada por las curvas

y1 (x) = ] - x 2 , x-y = 1, alrededor de la recta y = 3

486-TET- IT unidades cúbicas.

3. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-

gión limitada por las curvas y-x2 , x=0 y la recta tangente a y en

P= (1,1), alrededor del eje y=-2.

4. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de rotar la re-

gión limitada por las curvas y1 =5, y¿ (x)=x3+l, x=l, alrededor de

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la recta y=-l .

5. Calcular el volumen de revolución, obtenido de rotar la región limitada

por las curvas y (x) 3

y = 2, x1 = -20, x2 - 20, y = 0, alrededor del eje X.

6. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar o rotar

la región limitada por las curvas

y 1 (x) = 4- | x | ; y = 0, entre -2 < x < 2, alrededor del ejey=-l.

7. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-

gión limitada por las curvas

g(x) = -x2+6 ; y = x+4 , alrededor del eje y = 8 •

8. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-

gión limitada por las curvas

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h(x) - |x-l | +1 ; x = O , y = 4 , rotada alrededor del eje y =-1

9. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-

gión limitada por las curvas

T(x) = x 2 +1 ; y(x) = x+4 , alrededor del eje y = 2 .

10. Calcular el volumen del sólido de revolución, obtenido de girar la re-

gión limitada por las curvas

x = y 2 +1 ; y = x-1 , alrededor del eje y = -4 .

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CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS CON ÁREA TRANSVERSAL DETERMINADA POR UNA FUNCIÓN A ( t ) .

1 . Ca lcu la r e l volumen del s o l i d o cuya base en e l p lano XY es tá l i m i t a d a

por las curvas

X 2

y cada sección transversal A(x) es un circulo.

2. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada

por el círculo

x 2 +y 2 = 4

y cada sección A(x) es un semicírculo.

3. Calcular el volumen del sólido cuya base en el plano XY está limitada

por el círculo

x 2 + y 2 - 9

y cada sección perpendicular A(y) es un cuadrado.

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4. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

ix I y 2 = - |x-i| + 3

y cada sección perpendicular A(x) es un cuadrado.

5. Calcular el volumen del solido cuya base en el plano XY está limitada

por las curvas

y\ (x) = /x" +1 , y 2 (x) = /x-1 , x = 0 , y = 0 , ' y = 3.

y cada sección perpendicular A(x) es un cuadrado.

6. Calcular el volumen del sólido cuya base es el rectángulo

R = í(x,y) | 0 < x < 2 , 0 < y < 1} , y tiene una tapa inclinada cu-

ya inclinación es dada por la recta que une los puntos P = (1,0,1,),

Q = (0,0,2).

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LONGITUD DE ARCO

1. Calcular la longitud de la curva

3/2f(x) = -j (x2 +2) entre *l = /2 y x2 = /7

2. Calcular la longitud de la curva

5 4/5 3/2 1f(x) = -ro (4x +1) entre x = -^ y x = 1

3. Calcular la longitud de la curva

f(x) = /(3+4t)2 -1 dt entre x, = 1ir 'i y x2 = 2

4. Calcular la longitud de arco de la curva

x3 1 13y(x) - yy + - entre A = (1, T 7 ) y B = (2,

5. Calcular la longitud de la curva

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CU) = entre x 2]_

8

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INTEGRALES IMPROPIAS.

CALCULAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

dx

( 1 - x ) 2

dx

2.

' o

xdx

/ 1 - x 2

3.( 2 + 5 x 2 ) 7 / 3

o— dx

4. xdx

(2+3x)3

5.(1+x2 )2

dx

6. 3x2

(2+3x)8 T 3~ dx

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7. (S+ir5/4ds

— 1

8. Pruebe que(Hy2 f'

9. Pruebe que

,i

ái

t+ /t"< 2

10. Pruebe que dx

— 1

= 4

11. Evalué {si existe) dx

(x-1)Sol: 3

12. xdx2 -25;

13.x 2 dx

( H 8 x 3 ) 1 / 4

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14 — dx donde r > 1, a > 0

15. dx

16.dt

17. , r > 1, a > 0

18.(x+Z)273 dx.

- 2

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B I B L I O G R A F Í A

Lipman Bers. Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I. la. Edición

Nueva Editorial Interamericana, 1972.

Louis Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica. 4a. Edición

Editorial Haría, 1982.

Earl W. Swokowski. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial

Wadsworth Internacional Iberoamericana, 1982.

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La edición estuvo a cargode la Sección de Produccióny Distribución Editoriales

Se imprimieron 300 ejemplaresmás sobrantes para reposición.

Problemario de cálculodiferencial e integral

Parte ISe terminó de imprimir

en el mes de noviembre de! año 2003en los talleres de la Sección

de Impresión y Reproducción de laUniversidad Autónoma Metropolitana

Unidad Azcapotzalco

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UNIVERSIDADAUTONOMA

METROPOLITANA

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División de Ciencias Básicas e IngenieríaDepartamento de Ciencias BásicasCoordinación de Extensión UniversitariaSección de Producción y Distribución Editoriales CienciasAzcapotzalco

04433

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PROBLEMARIO DE CALCULO DIF. E INT. PARTE I

BECERRIL

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