Problemario de Ecuaciones Diferenciales
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Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 1
PROBLEMARIO DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
5.0 Solución De Una Ecuación
Diferencial
Verifique que la función indicada es una solución de la
ecuación diferencial dada. Donde c1 , c2 son constantes.
2
1 1
2 2 21
2
2
1] si 0, 0
1 12] si cos 10
2 2
3] 2 2 0 si
14] 2 0 si
5]
x
dy yy x c x c
dx x
y y senx y senx x e
xydx x y dy x y y c
x dy xydx yx
y
1
1
22 2 21
2
11 si ln 0
6] si 1
7] 0 si c
8] tan si cos ln sec tan
9] 3
at
at
y
x
y y x x xx
ac edPP a bP P
dt bc e
x y dx x xy dy x y xe
y y x y x x x
x y
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
4 0 si ln , 0
10] 3 3 0 si
11] si
12] si 2 ln
13] 2 si
x
xy y y x x x x
y y y y y x e
xy y x y y xtgx
xyy x y y
x y
xyy x y y x cx
14]
Compruebe que es una familia uniparamétrica de soluciones
2 2 es y xy y y cx c
Determine un valor para k tal que 2y kx sea una solución
singular de la ecuación diferencial dada.
15] Encuentre los valores de m tales que
mxy e Sea una solución de cada una de las
Siguientes ecuaciones diferenciales.
02510 )
065 )
yyyb
yyya
16] Encuentre los valores de m tales que my x sea una
solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
0416 )
0 )
2
2
yyxyxb
yyxa
5.1 Ecuaciones Diferenciales Por
Variables Separables
Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de
separación de variables.
3 3
2 23
3 2 2 3
2 2 2 2
2
11] 0
3
2] ( 1) 6 5ln 1
3] 3 3 ln1
4] 3 2
5] (4 ) (2 ) 0 2 (4 )
6] 2 ( 1) ln
x x
x y y x
dx e dy y e c
dyx x y x x c
dx
dx x yx x xy cx
dy x
dye e e c
dx
y yx dy x xy dx y c x
y x dy xdx y x x
1 c
2 3 23
2
2
1 17] ln ln 2 ln
3 9 2
8]1
9] sec csc 0 4cos 2 2
t
dx y x yy x x x y y c
dy x
dP PP P ce
dt P
xdy ydx y x sen x c
2
2 3
2 1
10] 2 cos ( ) 0
. 2cos
11] ( 1) ( 1) 0
. ( 1) 2( 1)
y y
y y y
y y x x
x y
e sen xdx x e y dy
sol x e ye e c
e e dx e e dy
sol e e c
2 2
1
12] ( ) ( 1)
1 1. ( 1) ln 1 ln
2 1
3 313]
2 4 8
. 5ln 3 5ln 4
dyy yx y
dx
xsol y y y c
x
dy xy x y
dx xy x y
sol y y x x c
2
22
14] (cos 2 cos ) . cot cos
15] 1 .2
dysenx y y sol y x c
dx
xx y dx dy sol y sen c
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 2
2 1 116] .
17] 1 1 cos (0) 0
. 1 cos 1 4
x x x
y
y
dye e y sol y tg e c
dx
e senxdx x dy y
sol x e
1
12 2
2 2
2
34
12
3
2
18] 4 1 (0) 1
. 1 2 2
19] 4 1 14
. 4
20] ( 1) 1 .
121] 1 .
3
122]
x
ydy x y dx y
sol y x
dxx x
dy
sol x tg y
x y y xy y sol xy e
xdyx sol y
dx
dy ysol
dx x
. 1y cx
2 2
22 2
2
123] 1 1
3
124] 1 ln 1
2
2 3 2 125]
4 5 2 3 4 5
x y x y y x xdye y e e e y e e c
dx
yx y dy y dx y y c
x
dy yc
dx x y x
26] 70 . 70ktdQK Q sol Q ce
dt
1 1 1 1
2 2 2 22 22 227] 1 1 1 1y dy
x y y x cx dx
2
2 2
1
2
2
2
1 228] 2 .
2 229] 2 ln 1 5ln 3
3 3
30] (1) 3 . 3
1 1 131] (2) 2 .
1 1 1
532] 2 1 (0)
2
t
dy xsol y x x c
dx y y
dy xy y xy y x x c
dx xy y x
dyty y y sol y e
dt
dy y y xy sol c
dx x y x
y y y
2
5 5
4 4
2
2 2
1 133] 0 .
34] 4 :
35] 0 . cos
36] 1 1 0 .1
x
x y y sol cy x
y xy sol y ce
y ytgx sol y c x
c xx dy y dx sol y
cx
32 1
37] ln 0 .
38] . cos3
39] 0 . sec
40] 1 .
cxy ydx xdy sol y e
xy seny x sol y c
y ytgx sol y c x
xyy y sol
ln 1 lny y x c
5.2 Ecuaciones Diferenciales
Homogéneas
Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.
2 2
2 2 1
2
2 3 3
1] 0 . ln
2] 0 . ln
3] ln 2
4] 0 . 4 ln
5] 2 3
x y dx xdy sol x x y cx
y yx dx x dy sol x y x cy
dy y x yx y tg c
xdx y x
ydx x xy dy sol x y y c
x ydx x y dy
29 3 3
2
22
2 2 2
2 3 3 3 3
.
6] . 2 ln
7] 4 . 8 ln
8] .
9] (1) 2 . 3 l
xx
y y
yx
sol y c x y
dy y x ysol x c
xdx x y
dxy x ye sol e y c
dy
x xy y dx xydy sol y x cx e
dyxy y x y sol y x
dx
3
22 2 2
2 2
n 8
10] 2 3 (1) 2 . 4
11] 0 (1) 0 . ln 1
12] 3 4 (1) 1
. 4 ln ln
y y yx x x
x x
dyx xy y y sol y x x y
dx
x ye dx xe dy y sol x e
y xy dx x xy dy y
ysol x x x y x c
x
0ln)(.
1)0(0]13 222
xyyxsol
ydyyxyxdxy
2
1
2
2
2
114] 12
. ln 2 1 2
15] 2 . 2
316] .
3
dyx y xy y y
dx
xsol yy
ydx x y dy sol x y cy
dy x ysol x y c x y
dx x y
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 3
24 4 3
2 2
21
2
2 2
17] 2 0 . ln
18] 1 . ln
19] ln . ln 1
20] 2 ( 1)
y
x
xx y dx x ydy sol x c
y x
dy y x ysol y x tag x c
xdx x y
dy y ysol cx
dx x x
x y dx xydy y
4 2 2
2 2 2
2 2
3 3 2
2 2
2
1 . 2
21] (0) 1
. ln 1
22] 2 2 (1) 2
1. ln
2
23] (1) 0 .
sol x x y
xydx x dy y x y dy y
sol x y y y
y dx x dy x ydx y
sol y x x
x y dx xdy y sol
24] Suponga que 0),(),( dyyxNdxyxM es una
ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones cosrx
, rseny reduce la ecuación a una de variables
separables.
2 2 2 2 425] 2 0 .x y dx xydy sol y x cx
32 2
2
2
2 2
6
26] 3 2 0 .1
27] 2 . ln ln
28] 0 . 2
229] 2 6 .
7
30
y
x
cxx y xy y sol y
cx
xy y xe sol y x cx
x y dx x y dy sol x xy y c
cxy x y sol y x
x
22 2] 2 .
1
cxx y y xy sol y
cx
5.3 Ecuaciones Diferenciales
Reducibles A Homogéneas
1] 1 2 2 1 0
. 2 ln
2] 1 4 2 0
.
3] 2 3 1 0
.
4] 2 4 0
.
x y dx x y dy
sol x x y x y c
x y dx x y dy
sol
x y dx x y dy
sol
x y dx x y dy
sol
2
15] .
1
3 2 76] .
4
67] .
8
88] (1) 2 2 18 3
1
dy x ysol
dx x
dy x ysol
dx x y
dy x ysol
dx x y
dy y xy y x y x x
dx y x
22 1 1
9] 14 4 97 2 2
210] 3ln 1
4
2 111] .
5 2 3
2 112] .
1
2 113]
4
dy y xy y x y x
dx y x
dy x yy x y x c
dx x y
dy x ysol
dx y x
dy x ysol
dx y
dy x y
dx
.
2 3sol
y x
414] .
6
415] .
6
16] 2 2 1 0 .
117] .
4 2
18] 2 3 1 4 1 0 .
dy x ysol
dx x y
dy x ysol
dx x y
x y dx y dy sol
dy x ysol
dx x y
x y dx x dy sol
5.4 Ecuaciones Diferenciales Exactas
Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta
resuélvala.
3
2 4
3 2 2
3 2 212
2
3
1] 5 4 4 8 0
5. 4 2
2
2] 2 0
.
3] 3 2 cos 0
. cos
4] 2 6
. 2 2 2
3 35] 1 1 0
. 3ln
x
x x
x y dx x y dy
sol x xy y c
x y x y dx x x y dy
sol
y y senx x dx xy y x dy
sol xy y x x c
dyx xe y x
dx
sol xy xe e x c
y dx x dyx y
sol x y xy
xy c
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2 3 3 2
2
3 3 1
2 3
2 2 4
3 2 4 2
4 3 3
2
16] 0
1 9
. 3
7] cos cos 0
. ln cos cos
8] 1 2 2 4 4
. 2
9] 4 15 3 0
. 5
10] 2
dxx y x y
x dy
sol x y tg x c
tgx senx seny dx x ydy
sol x x seny c
dyx y x xy
dx
sol y x y y x c
x y x y dx x y x dy
sol x y x xy y c
x y dx xy x
2
3 2 2
2 2
2
3 3 2
1 0 (1) 1
1 4.
3 3
11] 4 2 5 6 4 1 0 ( 1) 2
. 4 5 3 8
12] cos cos 0
. cos2
13] 1 ln 1 ln .
14] 3 0
dy y
sol x x y xy y
y x dx y x dy y
sol xy x x y y
seny ysenx dx x x y y dy
ysol y x xseny c
yx dx x dy sol
x
x y dx xy dy
3 41 .
4sol xy x c
2 2
2
2 3
3 2
215] 0 .
16] 3 2 0
.
y y
y
x x xdx dy sol c
y y y
x y e dx x xe y dy
sol x y ye y c
2
17] 3 cos3 3 3 2 5 0
. 5 3 3
18] 2 (0) 1
. 2 3
x y
y y x
x x sen x dx y dy
sol y y xsen x x c
e y dx x ye dy y
sol y xy ye e e
19] Halle el valor de k de modo que las siguientes
ecuaciones sean exactas.
3 4 2 2 3
4 3
2 2
3 2 2
) 2 3 20 0 10
) 2 20 0 5
) 2 2 1 0 1
) 6 cos 0 9
x x
a y kxy x dx xy x y dy k
b x ysenxy ky dx xy xsenxy dy k
c xy ye dx x y ke dy k
d xy y dx kx y xseny dy k
20] Obtenga una función ),( yxM que de modo sea exacta
la siguiente ecuación diferencial.
01
2),(
dy
xxyxedxyxM xy
xhx
yyyeyxMsol xy
2
2),(.
21] Obtenga una función ),( yxN que de modo sea exacta
la siguiente ecuación diferencial.
0),(2
21
21
dyyxNdx
yx
xxy
3 3
4 4
22] 0
. 4
23] cos cos 0
.
y x dx x y dy
sol xy x y c
y y xy dx x x xy dy
sol xy senxy c
2 2
2
2 2
2 2
24] cos cos
. cos
25] 01
1. ln
1
26] 1 2 cos 0
. cos
y y
y
senxseny xe dy e x y dx
sol xe senx y c
ydx xdyxdx
x y
xysol x c
xy
y senx dx y xdy
sol x y x c
3 2 2
2 3
4 2 3
2 4
27] 2 cos 3 0
.
28] 2 4 cos 0
.
xy y x dx x y senx dy
sol x y ysenx c
xy seny dx x y x y dy
sol x y xseny c
5.5 Ecuaciones Diferenciales Con
Factor Integrante
Encuentra un factor integrante para que la ecuación
diferencial sea exacta y resuélvela.
2 5 3 4
3 5 2 2
2
2
2 2
2 3
1] 0
.
2] 0
1. 2 2 cos
3] 2 0
1.
i
i
xx
xi
x y dx x y dy
sol f x y x y c
x senxdx xydy
sol f senx x x y cx
ee y dx xy y dy
y
sol f e xy y cyy
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 5
2
2
4 2 3
2 2 3 6
4] 2 0
.
5] 2 3 6 0
.
x x xi
i
xy y y dx x y dy
sol f e xye y e c
xy y dx x xy dy
sol f y x y xy c
2 2 4 3 3
3 4 2 2 2
2 3
2 3
2
2 2
6] 6 4 2 4 0
.
17] 1 ln 3 0
. ln
8] 1 ln 2 2 0
1. ln
i
i
i
x y y dx x y xy dy
sol f x x y x y c
xxy dx dy
y y
sol f y x xy y c
y xy x dx x y dy
sol f x xy y x cy
2 2
3 4 4 6 5 5
9] 4 5 6 5 0 (1) 2
. 32i
y xy dx xy x dy y
sol f x y x y x y
31 12 2 2
2
3 5 4 2
2
74 5
10] 2 0
. 2 5
11] 2 0
2. 2
3
12] 5 0
.7
i
i
i
x y dx xydy
sol f x x x y c
ydx x y dy
sol f y c xy y
y x dx xdy
xsol f x c x y
2 2
1 2 2
2 5 3 3 4 2
2
1 1
2 2
13] 0
. 1
14] 2 ln 0
. 2 ln
15] 0
.
16] ln ln 0
. ln ln
17] 2 3 2 0
.
x xi
i
i
i
x y xy dx xdy
sol f e xy x ce
x y dx xy x dy
sol f x x y x c
x y y dx x y xy dy
sol f y
xy y y dx xy x x dy
sol f x y x x y y c
y xy y dx x xy x dy
sol
2 2
4 2 2 3
2
1 2 2
4 4
18] 3 2 0
.
19] 1 0
. 2 ln
20] 3 0
.
i
i
i
x y dy xydx
sol f y x y cy
xy dx x xy dy
sol f x xy x y c
xdy ydx x y dy
sol f
2
21] cot 2 csc 0
.
x x
xi
e dx e y y y dy
sol f seny e seny y c
2
2 3
2 2 3
2
2 3 2 4
1 2
22] 2 cos 0
.
23] 2 0
. 1
24] 3 2 0
. 4
25] ln 2 0
. ln
x xi
i
i
i
x senydx x ydy
sol f xe x e seny c
ydx x x y dy
sol f x y xy cxy
x y dx xydy
sol f x x y x c
y y xy dx x y dy
sol f y x y x y c
5.6 Ecuaciones Diferenciales Lineales
Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal
dada:
3
5
3 4
2 2
2 1 1
1] 3 12 4 .
12] .
3
13] 3 .
3
4] 1 . ln
5]
x
x x
x
dyy sol y ce
dx
dyy e sol y ce
dx
y x y x sol y ce
x y xy sol y x x cx
x
12 2 2
3
44 2 0 .
5
6] cos
7] 1 0 .1
8] cos 1 . cos
9] 4 .
x x
x
y dy ydx sol x y cy
senx cxdy xsenx y dx y x
x x
dy ce e y sol y
dx e
dyx ysenx sol y senx c x
dx
dyx y x x sol y
dx
3 4
2
2 2
1 1
7 5
110] 2 .
2
x x x
x x cx
cx y x x y e sol y e e
x x
2 3
2 2
3 3 3
11] cos cos 1 0
. sec csc
12] 2 0
1 1 1.
2 2 4
13] 3 1 .
y
y y y y
x x x
xsenxdy y x dx
sol y x c x
ydx xy x ye dy
csol x e e e e
y y y
dy cx x y e sol y e e
dx x
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2
6 6 4
2
2
2
14] 4 0 . 2
115] ln
116] 2 2 0 .
17] sec cos sec cos
18] 2 5
xx x x x
x x
y
ydx x y dy sol x y cy
dy ey y e e e ce
dx e e
cydx x xy y dy sol x e
y y
drr tg r c
d
dyx
dx
1 45
8 4 2 23
y xy y x c x
5
3 2
23 3 2 2
2 2
19] 10 cosh . 10
20] 5 20 0 2 . 4 2
21] 2 0 1
. 22
22] 2 1 5 . 2 3
senhx
x
x x
x x x x
y y x sol y ce
dyy y sol y e
dx
y y x e e y
xsol y xe e e e
dxy x y x sol x y y
dy
2
2
3 2
23] 2 0 .
1 124] 2 .
2 2
x
x
dyy sol y ce
dx
y xy x sol y x ce
22 2
3 2
3
2
1125] 2 5
2 2 4
26] 1 3 .1
27] cot 2cos . csc
28] 1 .
29] 1 2 .
30]
x
x
x xy y x y ce
dy cx x y sol y
dx x
dyy x x sol y senx c x
dx
x y xy x x sol
xy x y e sen x sol
dysenx
dx
2
2
2 4
2 2
(cos ) 0 .
31] 3 8 3 0 . 3 4
32] 0 .
533] 24 5 0 . 5 6
34] 3
x y sol
ydx dy sol xy x c
x
yx dx dy sol y x cx
x
yx dx dy sol xy x c
x
y x y x
31.
3
35] cos cos . 1
x
senx
sol y ce
y x y x sol y ce
2 2 236] 2 3 2 . 3 ln 2xy y x x sol y x x x cx
5 3 5 3 4237] 4 9 2 .
7xy y x x sol y x x cx
5.7 Ecuaciones Diferenciales De
Bernoulli
Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.
3 3
2
3 3 3
2 2
2 4
11] . 1
12] 1 .
3
3] .
14] 2 3 1 .
2
5] 1
x
xy
dyx y sol y cx
dx y
dyy xy sol y x ce
dx
dyx y xy sol e cx
dx
dyx xy y y sol
dx
xy
2
2 1 2 2
2 1
2
2 3 3 2
1 3
2 2
1 1 0 2
16] .
2
7] 1 .
8] 3 1 2 1 1 1
9] 1 0 4
y
x x x
dyxy y sol x y e
dx
dyy e y sol y e ce
dx
dyx x y xy sol
dx
dyx xy y y x c
dx
dyy y y
dx
2
.
10] 2 1 4 .
sol
dy y x y sol
dx x y
2
2
4 4 2
3 3
32 3 2
3 1 2 4 2
12 4
1 2 111] .
3
12] . 1
1 413] 4 .
3
14] 2 . 2
15
x
x
y y x y sol x cx x y
y xy xy sol y ce
y y x y sol y x cxx
y xy xy sol y ce
3 2 3 3 2] 3 2 .xy y x y sol y x cx
5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti
Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.
21 3 1
3
212 3
11] 2 y 2 . 2
4 1 2 2 12] .
4
x
dyy y sol y
dx ce
dyy y y sol y
xdx x x x x cx
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 7
2 21
2
3] 1 2
1.
1
14] 6 5 . 2
1
x x x
x
x
x
dye e y y y e
dx
sol y ece
dyy y sol y
dx ce
2
21
2 21 2
2 21
2
5] 1 1 .
1 26] 2 2 .
1
7] sec tan tan
1.
1 cos cos
x
dyx y xy y sol
dx
dy xx y y y x sol y x
dx x ce
dyx x y y y x
dx
sol y tgxx x x c x
21
2
2 2
8] 2 2 . 2
9] 2 4 2
.
10] 4 2 2
dyxy y sol y x
dx
dyy xy x y
dx
sol
dyy x y x
dx
5.9 Método De Reducción De Orden
Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial
dada, utilizando el método de reducción de orden.
51 2
2 21 2
1 2
2 23 3
1 2
2 4 41 2
2
1] 5 0 1 .
2] 4 4 0 .
3] 16 0 cos 4 . 4
4] 9 12 4 0 .
5] 7 16 0 . ln
6] 2 6 0
x
x x
x x
y y y sol y e
y y y y e sol y xe
y y y x sol y sen x
y y y y e sol y xe
x y xy y y x sol y x x
x y xy y
21 2 3
1.y x sol y
x
1 2
1 12 2 2
1 2
21
22
7] 0 ln . 1
8] 4 0 ln .
9] 1 2 2 1 2 0 1
. 2
xy y y x sol y
x y y y x x sol y x
x x y x y y y x
sol y x x
1
22
1
1 2
1 2
110] 1 2 0 1 . ln
1
11] 0 1 .
12] 2 0 .
x
x x
xx y xy y sol
x
y y y sol y e
y y y y xe sol y e
1 2
5 51 2
13] 9 0 3 . cos3
14] 25 0 .x x
y y y sen x sol y x
y y y e sol y e
3 21 215] 6 0 .
x x
y y y y e sol y e
2
1 2
1 2
2
1 2
2 3
1
21
16] 1 2 4 4 0 .
17] 1 0 .
18] 0 . ln
19 9 0 .
20 4 0
x
x
x
x y xy y y e sol y x
x y xy y y x sol y e
x y xy y y x sol y x x
x y xy y y x sol
y xy y y e
21
.
21 2 2 0 .
sol
x y x x y x y y x sol
122 1 2 0 .xx y x y y y e sol
123 2 0 .xy y y y e sol
2 3 3
1 2
2
1 2
3
1
2
1 2
24] 5 9 0 ln .
25] 0 cos ln . ln
26] 3 1 9 6 9 0
. 3 2
27] 1 0 . 1
x
x
x y xy y y x x sol y x
x y xy y y x sol y sen x
x y x y y y e
sol y x
xy x y y y e sol y x
2
1
2
2 2 3 2
1 2
2 10
1 2 2
1
2
28 2 0 si ln
. cos ln
29] 4 6 0 si .
130] 7 20 =0 si .
31] 3 tan 0 si 1
. sec
x y xy y y xsen x
sol y x x
x y xy y y x x sol y x
x y xy y y x sol yx
y x y y
sol y
1
ln sec
32] 2 0 si 1 .
xtngx x tgx
xy x y y sol
1
1
2 2
1
2
1
3
1
33 2 2 0 .
334 0 1 .
35 4 0 .
36 2 1 2 0 .
37 1 3 12 0 .
x
x
y xy y y x sol
y y y solx
x y xy y y x sol
xy x y y y e sol
xy x y x y y e sol
Recomendación utiliza el siguiente cambio de variable
para reducir el orden de la ecuación diferencial
du du dy duy u y u
dx dy dx dy
1 2
2
1 1 2
34
1 2
41 2
1] 0 ln
2] 1 0 2
43] 4 0
3
4] 4 0 x
xy y y c x c
xx y y y c c x c
xy y y c x c
y y y c e c
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 8
1
2 21 2
3 222 1
22 2 21 1 1 2
2
2
5] 0
6]
17] 2 ln
2
8] 0 c x
yy y y c x c
xy y y x y c c
x y xy y y x c x c c x c
yy y y c e
1
1
2
2
23
1 2
2
2
2 3
1 2
312
9
10 2 0 3
11 1 1
112 3 0
2
13 2 0 3
14 2
c x
c x
yy y c e
y
yy y y c y c x
y y y y c e
xy x y x c x c
cy xy y x c
y
3
1 2
1 2
54
1 2
0 2
15 2 csc 0 2
416 4 0
5
y y x c c
x y y senx c x c
y xy y c x c
5.10 Ecuaciones Diferenciales
Homogéneas Con Coeficientes
Constantes
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales.
3 21 2
4 41 2
1 2
1] 6 0 .
2] 8 16 0 .
3] 12 5 2 0 .
4] 9 0 . cos3 3
5] 4 5
x x
x x
y y y sol y c e c e
y y y sol y c e c xe
y y y sol
y y sol y c x c sen x
y y y
21 2
31 2
0 . cos
2 26] 3 2 0 cos
3 3
x
x
sol y e c x c senx
y y y y e c x c sen x
51 2 3
3 31 2 3
1 2 3
7] 4 5 0 .
8] 5 3 9 0 .
9] 2 0 cos
x x
x x x
x x
y y y sol y c c e c e
y y y y sol y c e c e c xe
y y y y c e e c x c senx
21 2 310] 3 3 0 . x x xy y y y sol y c e c xe c x e
1 2 3 4
1 2 3
3
11 6 11 4 0
2 2. cos cos
2 2 3 3
12 0
.
13 4 3 0 0 7 0 11
. 5 2
14 9 6 4 0 0 3 0 4
.
15 6 25 0 0 3 0 1
iv
x x x
x x
y y y
x x x xsol y c c sen c c sen
y y y y
sol y c e c e c xe
y y y y y
sol y e e
y y y y y
sol
y y y y y
so
3. 3cos 4 2 4xl y e x sen x
21 2 3 4
16] 0
3 3. cos
2 2
iv
x
y y y
sol y c c x e c x c sen x
4 2
4 2
1 2 3 4
17] 16 24 9 0
3 3 3 3. cos cos
2 2 2 2
d y d yy
dx dx
sol y c x c sen x c x x c xsen x
51 2 3 4 5
1 5 1
6 6
18] 5 2 10 5 0
.
19] 4 5 0 (1) 0 (1) 2
1 1.
3 3
20] 12 36 0 (0) 0 (0) 1 0 7
5 5 1.
36 36 6
21] 10
v iv
x x x x x
x x
x x
y y y y y y
sol y c e c xe c e c xe c e
y y y y y
sol y e e
y y y y y y
sol y e xe
y y
5 5
2 2 51 2 3
23
33
1
25 0 (0) 1 (1) 0
.
22] 9 24 20 0
.
23 2 3 2 0 0 1 0 1 0 3
.
24 3 2 0 0 1 0 0 0 1
1. 13 6 9
4
25 27 0
.
x x
x x x
x
x
y y y
sol y e xe
y y y y
sol y c e c xe c e
y y y y y y
sol
y y y y y
sol y x e
y y
sol c e e
22 3
3 3cos 3 3
2 2
26 3 6 0
.
x
iv
c x c sen x
y y y y y
sol
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 9
27 6 0 0 0 0 5
.
y y y y y
sol
52
28 5 6 0 0 1 0 2
.
29 4 20 25 0 0 1 0 2
9. 1
2
x
y y y y y
sol
y y y y y
sol y x e
3 2
30 6 0 0 1 0 1
1. 4
5
31 8 16 0 0 2 0 1
.
32 17 0 0 1 0 0
.
x x
y y y y y
sol y e e
y y y y y
sol
y y y y
sol
2 6
21 2 3
2 21 2 3
33] 7 4 12 0 (0) 1 (0) 0
(0) 36
16 5 17.
7 2 14
34] 2 2 0 .
35] 6 12 8 0 .
x x x
x x x
x
y y y y y y
y
sol y e e e
y y y y sol y c e c e c e
y y y y sol y e c c x c x
21 2 3 4
4
5 5
36] 2 3 4 4 0
.
37] 8 16 0 0 1 0 6
. 1 2
2 338] 2 0 1 1
.
39] 5 0 0 3 0 5
. 2
40] 8 4 0 0 0 0 1
iv
x x
x
x x
y y y y y
sol y e c c x e c c x
y y y y y
sol y x e
y y y y ye e
sol
y y y y
sol y e e
y y y y y
.
41] 0 2 1
.
142] 0 1 1
4
. 2cos2 2
sol
y y y y
sol
y y y y
x xsol y sen
43 2 5 0 0 1 0 3 .
44 2 2 0 2
. cos
45 2 5 0 3 .
x
x
x x
y y y y y sol
y y y y e y e
sol y e senx x
y y y y e y e sol
5.11 Método De Coeficientes
Indeterminados
Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales
2
1 2
5 5
1 2
2
2 2 2
1 2
2 3
2 3
1 2
1] 3 2 6
. 3
2] 10 25 30 3
6 3.
5 5
13] 2
4
7. 4
2
4] 3 48
4. cos 3 3 4 4
3
x x
x x
x x
x
x
y y y
sol y c e c e
y y y x
sol y c e c xe x
y y y x x
sol y c e c xe x x
y y x e
sol y c x c sen x x x e
1 2
2
22 2 21 2
5] 3
. 3
16] 3
4
1. 12
2
x
x
x x x
y y
sol y c c e x
y y y e
sol y c e c xe x e
1 2
2
1 2
1 2
1 2
7] 4 3 2
3. cos 2 2 cos 2
4
8] 2
1 1. cos cos
2 2
9] 2 5 cos 2
1. cos 2 2 2
4
10] 2 3cos 2
1. cos
2
x
x x x
x x
y y sen x
sol y c x c sen x x x
y y xsenx
sol y c x c senx x x xsenx
y y y e x
sol y c e x c e sen x xe sen x
y y y senx x
sol y c e c xe x
12 9
2 cos 225 25
sen x x
6 21 2 3
2 31 2 3
24
21 2 3 4
11] 6 3 cos
1 6 1. cos
4 37 37
12] 3 3 4
2. 3
3
13] 2 1
. cos cos 2 3
x
x
x x x x
y y x
sol y c c x c e x x senx
y y y y x e
sol y c e c xe c x e x x e
y y y x
sol y c x c senx c x x c xsenx x x
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 10
25
14] 5 6 (0) 0 (0) 10
. 200 200 3 30x
y y x y y
sol y e x x
4
2 2 4
15] 4 5 35 (0) 3 (0) 1
. 10 cos 9 7
x
x x x
y y y e y y
sol y e x e senx e
3 21 2
1 2
2
2
16] 5 6 12 7
11. 6
2
17] 2 2 4 cos
. cos 2
18] 2 5 3
.
19] 2 5 3
.
20] 4 4
x
x x x
x
x x
x
y y y x e
sol y c e c e x e
y y y e x
sol y e c x c senx e xsenx
y y y senx
sol
y y y x x
sol
y y y e x
Encuentra una solución particular para cada ecuación
diferencial siguiente
2 2 2 2
2 3 2 3
2 2
1 1 321 2 3
2 2 4
22 2 8 8
23 2 2
824 8 2 4
3
1 225 9 20 3 2
3 27
26 3 9 12 9
36
73
x x
p
x x
p
x x x x
p
x x
p
p
p
y y y e x y xe x x
y y e x y e x
y y e e x y xe xe x
y y e x x y e x x
y y sen x x y senx x
y y y senx x
y
2 2
3 2 2
96 1cos
73 3
27 2 5 17cos 2 15
6cos 2 4 2 3
5
28 6 12 8 6 16
2 6 6
p
x
x
p
x senx x
y y y x x
y x sen x x
y y y y e x
y x e x x
2 2
2
2 2
129] 3 2 2
5
130] 16 15cos cos
32
3 131] cos 5
5 5
1 232] 9 20 3 2
3 27
33] 4 8 2 2
x x x x
p
iv x x
p
p
p
y y y e e y e e
y y e x y xe x
y y y x x
y y senx x y senx x
y y sen x y sen x
34] 4 4 2 cos 2
35] 4 2 0 1 0 2
3 1. cos 2 2
4 2
p
p
y y sen x y x x
y y x y y
sol y x sen x x
2
36] 3 2 0 0 0 3
1. 15 16
6
37] 9 2 0 1 0 0
2 1. cos3 3 2
15 5
x
x x x
p
p
y y y e y y
sol y e e e
y y sen x y y
sol y x sen x sen x
2
38] 2 2 1 0 3 0 0
5 1. 2cos 1
2 2
39] cos 0 1 0 1
1. cos
2
x
p
p
y y y x y y
sol y e x senx x
y y x y y
sol y x senx xsenx
40] 2 8cos 4
41] 4cos 2 cos 2
p
p
y y y x y senx
y y x senx y x x xsenx
2
2 2
1 2
2
1 2
2
8 3 2
1 2
2
2
1 2
42] 4 4 6
1 1. 3
4 4
43] 2 6 8 2
. 3 2 2
44] 8 48 65
3 3. 8cos 2
4 16
45] 2 2 4cos 2
.
x
x
x x
x x x x
x
x
x x
y y y e x
sol y e c c x x x
y y y e e
sol y c e c xe x e e
y y x senx
sol y c c e x senx x x x
y y e x
sol y c e c e x
2 1 1cos 2 2
2 2
xe x sen x
5.12 Método De Variación De
Parámetros
Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de variación
de parámetros.
1 2
1 2
2
1 2
1] sec
. cos cos ln cos
2]
1. cos cos
2
3] cos
1 1. cos cos 2
2 6
y y x
sol y c x c senx xsenx x x
y y senx
sol y c x c senx x x
y y x
sol y c x c senx x
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 11
14] 3 2 .
1
5] 3 2 .
6] 2 ln .
7] 3 6 6 sec
x
x
t
x
y y y sole
y y y sene sol
y y y e t sol
y y y e x sol
2
2
2
8] 4 (0) 1 (0) 0
.
9] 2 8 2 .
10] tan .
11] sec .
12] sec .
x
x x
y y xe y y
sol
y y y e e sol
y y x sol
y y tg sol
y y x sol
3
2
913] 9 .
14] 2 .1
15] 2 4 .
16] .
x
x
xy y sol
e
ey y y sol
x
y y y x sol
y y tgx sol
17] 4 sec2 .y y x sol
10
218] 10 25 .
19] 4 4 8 .
20] 0 1 0 0
.
21] 2 1 0 1 0 0
.
x
x
x
ey y y sol
x
y y y e x sol
y y xe y y
sol
y y y x y y
sol
1
22] 4 2 cos 2 ln sec2 24
py y tg x y x x tg x
2 21 323] 2 ln ln
2 4
x x x
py y y e x y x e x x e
2
p
2 2
p
2 2 2
p
24] 2 3 64 . 8 4 1
325 3 2 4 y
2
126 2 8 3 y 6 1
12
27 4 4 2 y
28 4 2
x x
p
x x
x x
x x
y y y xe sol y e x x
y y y e e
y y y e x e
y y y e x e
y y senh x
p
p
p
2
p
1 y 4 cosh 2 2
16
129 9 3 y cos3
6
2 230 9 2sec3 y 3 cos3 ln cos3
3 9
31 csc y 1 cos ln csc cot
x x senh x
y y sen x x x
y y x xsen x x x
y y x x x x
2
p
3 3
132 4 y 1 2
8
133] 2 3 .
10
x x
p
y y sen x xsen x
y y y e sol y e
Encuentra una solución particular para las siguientes
ecuaciones diferenciales, utilizando el método de
variación de parámetros.
2 2p
2 2
p
p
4 4
p
2 3
5 134 cos y
4 2
35 4 3 y
36 4 2cos 2 y 22
137 2 3 y 2 1
12
38
x x
x x
x x
x
y y y e x e xsenx
y y y xe xe
xy y x sen x
y y y xe e x
y y x e
32
p
2 2
p
2
p
4
p
y 72 84 37864
139 2 y 2 8cos 2
65
40 8 cos y 2 cos 1 2
41 cos y cos2
42
x
x x
xx
ex x
y y e sen x sen x x e
y y x x x x senx x
ey y e x senx x
y
44 2
p
p
2 2
p
4 4 y 8 4 116
81 9943 9 18 y cos
101 101
15 2544 6 5 y cos
34 34
xx
x x
x x
ey xe x x
y y e senx e senx x
y y y e senx e x senx
2 2 2
p
p
p
3 3
p
3 3 345 2 6 y
2 2 4
446 4 cos y 2 cos
5
2 447 6 5 8 y
3 9
848 4 8 y
3
x x
x x
x x
x x
y y xe e x x
y y e x e senx x
y y y xe e x
y y xe xe
3
2
2 2 2
2 2
4
3 4 4
16
9
249 4 4 1 0 1 1
1 1. 2 2 ln 1
50 3 12 1 0 0 0 4
7 4 3. 3
12 3 4
x
x
x x x
p
x
x x x
p
e
ey y y y y
x
sol y e xe xe xe e
y y e x y y
sol y e xe e
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 12
5.13 Ecuación Diferencial De Cauchy -
Euler
Resuelve las siguientes ecuaciones de Cauchy- Euler.
2 1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1] 2 0 .
2] 3 0 1 0 1 4
4. ln
3] 0 . ln
4] 4 0 cos 2 ln 2 ln
5] 2
x y y sol y c x c x
x y xy y y y
sol y xx
xy y sol y c c x
x y xy y y c x c sen x
x y x
2
2 6 2 62
1 2
2
1 2
2
1 12 2
2
2 0 1 4 1 0
8 4.
3 3
6] 3 2 0 .
1 17] 25 25 0 cos ln ln
5 5
18] 0 1 0 1 1
4
.
9] 9 3 0
y y y y
sol y xx
x y xy y sol y c x c x
x y xy y y c x c x
x y xy y y y
sol y x x
x y xy y
1
3
2 2 2
1 2
1 3 1 0
sol. 3 ln
10] 5 4 0 . ln
y y
y x x
x y xy y sol y c x c x x
2
1 2
2 2
2
1
21 2
11] 2 0 cos ln ln
12] 10 0 1 1 1 1 cos ln
13] 3 6 0
3 3. cos ln ln
6 6
x y xy y y x c x c sen x
x y xy y y y y x x
x y xy y
sol y x c x c sen x
3
3
1 2 3
3 2 1 2 4
1 2 3
3 2 2 2
1 2 3
2
2
2
14] 6 0
. cos 2 ln 2 ln
15] 2 2 8 0
16] 2 4 4 0 ln
17] 3 0 (1) 0 (1) 4
. 2 2
18] 0 (1) 1 (1)
x y y
sol y c x c x c sen x
x y x y xy y y c x c x c x
x y x y xy y y c x c x c x x
x y xy y y
sol y x
x y xy y y y
2
2
2
. cos ln 2 ln
19] 4 0 .
20] 0 .
11 121] 0 1 1 1 0
6 6
sol y x sen x
x y y sol
xy y sol
x y xy y y y
1132
2
2
2 6
. 2 3
22] 5 8 0 2 32 2 0
.
23] 4 0 1 5 1 3
.
1 124] 5 8 8 0 0
2 2
.
sol y x x
x y xy y y y
sol y
x y xy y y y
sol y
x y xy y x y y
sol y
2
2
2
2
2
25] 5 3 0 .
26] 3 4 0 .
27] 4 4 0 .
28] 8 6 0 .
29] 7 41 0 .
x y xy y sol
x y xy y sol
x y xy y sol
x y xy y sol
x y xy y sol
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante
variación de parámetros.
2
1 2
1
2 2 1 221 2
221 2
2 4
2 3
30] ln4
1 131] 2 5
15 6
32] 2 ln ln
33] 4
34] 4 x
xxy y x y c c x
x y xy y x x y c x c x x x
x y xy y x y c x c x x x x
x y xy x y
x y xy x e
22
2 4
2 3
2 3 2 2
2
2
4 1
35] 2 ln
36] 2 2
37] 2 2 ln
338] 2 2 6
2
39] 2 ln ln
40] 2 ln
xp
p
x
x xp
p
y e x
x y xy y x y x x
x y xy y x e y
x y xy y x x y
x y xy y x e y xe
x y xy y x x y x x
x y y x
212
2 1 1 2
5
321 2
32 3
1 2
2 3
1 1 ln
2 2
ln41] 7 5 10 4 2
42] ln ln ln6
43] cos ln ln10
44] 2 9 x
cy x c x
x
c cxx y xy y x y
x x x
xx y xy y x x c x c x x x y
xx y xy y x y c x c sen x
x y y x e
2
145]
1
y
x y xy y yx
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 13
2 2
2 2
2
2 3
2 4 2
46] 10 8
47] 4 6 ln
48] 3 13 4 3
49]
50] 4 6 2
x y xy y x y
x y xy y x y
x y xy y x y
x y xy y x y
x y xy y x x y
5.14 Familias De Trayectorias
Ortogonales
Encuentra la familia de trayectorias ortogonales.
2 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
2
1 2
2 3 2 2
1 2
3 3
2
1
2 2 2 2 2
1 2
3 2 2 2
1 2
1] 2
2] 1 2 ln
3] 2
4] 2 3
5] 1
6] 2 4 ln
7] 3
x
y c x y x c
c x y y x y c
y c e y x c
y c x x y c
xy x y c
c x
x y c x y y x c y
y x y c y x c
1 2 2
22
2 2 2 4
1 2
3 2
2
1
8] 2 2 ln1
1 19] 4 1 0
4 6
110] 2 3
ln
y
x
cy y x x c
x
y x c e y x c x
y y x cc x
1
2
1
2 2 2
1
1
1
2 2
1
2 2 3
1
1
11] 3 4
12]
13] 2
114]
1
15] 2
16]
117]
x y c
y x c
x y c
c xy
c x
x y c x
y x c x
yc x
2
2 2
2 2
2 2 2 2
32
2 2
18]
19] 2
20]
21]
22] 2
823] ln
3
x
x
x y c y x
y ce y x c
x y c y ce
xy c x y c
y cx x y c
y x c y x c
2
3 2
3 2
2
22 2 4
2 1
3
2
24] 6 ln 4
25] ln 3 2 9
26] cos 2 ln
27] 2 4 ln2
28] ln
429]
3
x
y x c y x c
y cx y x c
y c x y csenx
yy cx x cy
y ce y cx
y x c y x c
5.15 Problemas De Aplicación
1]. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la
población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se
incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años?
¿ Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?
. 790 11 /Sol x personas años
2] La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa
proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t.
Después de tres horas se observó que están presentes 400 bacterias.
Después de diez horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál fue el número
inicial de bacterias?
3]. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez
proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida
media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este
isótopo, ¿cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo?
. 11Sol hrs
4] Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.
Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez
de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia
presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de
24 horas.
5] Se toma un termómetro de una habitación donde la
temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la
temperatura del aire es de 10°F . después de medio minuto el
termómetro marca 50°F ¿Cuál es la lectura del termómetro
en 1t minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar
15°F.
. 1 36.76 3.06 minutosSol T F t
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 14
6] Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la
temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el
termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de
30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?
7] Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno
precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de
vidrio en la puerta del horno, un observador registra que
después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego
de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura
del horno? . 390Sol F
8] Un depósito contiene 200 litros de liquido en el que se
disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un
gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una
rapidez de 4 L/minuto; la solución bien mezclada se bombea
hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de
gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo
t.
50. 200 170t
Sol A t e
9] Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones
de liquido en el que se disuelven 10 libras de sal. Se bombea
al depósito salmuera que contiene media libra de sal por
galón a razón de 6 gal/min . la solución bien mezclada se
bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de
libras de sal en el depósito a los 30 minutos.
. 64.38Sol lb
10] Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un
circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry
y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i t si
0 0i Determine la corriente cuando t
5003 3 3.
5 5 5
tSol i t e i t i cuando t
11] Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie
en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es
de 10-4
farad. Encuentre la carga q t en el capacitor si
0 0q
50 501 1 1.
100 100 2
t tSol q t e i t e
12] Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un
circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms
y la capacitancia es de 65 10 farad. Determine la carga
q t en el capacitor si 0 0.4i Amp determine la carga y la
corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t
13] En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la
población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la
población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980
y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el
año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?
14] Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito
simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la
resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la
corriente inicial es cero.
15] Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue
de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente;¿
Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su
temperatura aumenta 2° en un segundo ? ¿cuánto le toma a la
barra llegar a 98°C?
. 7.9
10
Sol t años
t años
16] Determine la vida media del la sustancia radiactiva que
se describe en el problema 4. . 136.5Sol hrs
17] La población de una comunidad se incrementa a una
tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo
t . Si en cinco años se duplica una población inicial P0
,¿cuánto tiempo tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?
. 82.1
145.7
Sol t seg
t seg
18] Un circuito R-L en serie tiene una , 8 2fem sen t voltios
una resistencia de 10 , una inductancia de 2 hernrios y una
corriente inicial de 5 Amperios . Hallar la corriente en el
circuito cuando .2
t seg
. 0.02779Sol i amperios
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 15
19] Un circuito RC en serie tiene una , 300cos2fem t voltios ,
una resistencia de 200 y una capacitancia de 210 faradios .
Inicialmente no hay carga. Hallar la corriente en el circuito en
4t seg
. 1.412Sol i amperios
20] Sabemos que un material que un material radiactivo se
desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada
momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material.
Se observó que después de 3 hrs. Solamente el 80% de la
masa permanecía en ese momento: Hallar;
a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en
un tiempo t.
b) ¿Qué cantidad permanece cuando 5t hrs ?
c) ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es de 1
4de
la cantidad inicial ?
ln 0.8
3. ) 60
) 41.365
) 18.6
t
Sol a y
b y mg
c t hrs
5.16 Transformadas De Laplace
Utilice la definición de la transformada de Laplace para
encontrar f tL .
2 2
2 2
22
2 2
2 22
1
2 cos
23
4
24 cos
kf t senkt F s
s k
sf t kt F s
s k
kf t sen kt F s
s s k
s kf t kt F s
2 2
2 2
2 2
2
4
15
6
7 cos
28
at
s s k
f t e F ss a
kf t senhkt F s
s k
sf t hkt F s
s k
kf t senh kt F s
2
2 2
2 22
2 2
2
2 2
4
29 cosh
4
110
11
12 cos
at
at
at
s s k
s kf t kt F s
s s k
f t te F ss a
kf t e senkt F s
s a k
f t e kt
2 2
s aF s
s a k
2 2
2 2
22 2
13
14 cos
215
16 cos
at
at
kf t e senhkt F s
s a k
s af t e hkt F s
s a k
ksf t tsenkt F s
s k
sf t t kt F s
2 2
22 2
2
22 2
3
22 2
217 cos
218 cos
k
s k
ksf t senkt kt kt F s
s k
kf t senkt kt kt F s
s k
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 16
2
2 2
3
2 2 2
119
20
21 1 cos
22
at bt
at bt
e ef t F s
a b s a s b
ae be sf t F s
a b s a s b
kf t kt F s
s s k
kf t kt senkt F s
s s k
Utilice las tablas para encontrar f tL
4
5
322
2
3 2
3
4 3 2
4
4823] 2
124] 3 3
2
2 6 325] 6 3
6 6 3 126] 1
27] 1 t
f t t F sS
f t t t F s s s
f t t t F ss s s
f t t F ss s s s
f t e
22
2
5
1 1
4
1 2 128] 1
2 4
29] 4 5 3
30]
t
F ss s
f t e F ss s s
f t t sen t F s
f t t F s
5 3 732 2 2
13 2
11 2
2
2
31 3 4 4 192 / 8
32 2 2 / 3
33 1 cosh 5 25
234 2 cos 2
4
35 cos 2
t
f t t t F s s s s
f t t e F s s s
f t t F s s s s
F s sf t sen t t
s
f t t
1
2
2
1
162
336 3 cos3 36
sF s ss
f t sen t t F ss
2
5
2
2
2
2
3 237 3
1
4 1238 4 4
5 16
12 139 3 4
16 2
140 cos
4
t
t
t
sf t e t F s
s
f t e sen t F ss s
f t sen t e F ss s
f t sent t F ss
2
2
3 241 3cos 2 2
4
4 7 442 7 cos3 3
3 9
sf t t sen t F s
s
sf t t sen t F s
s
Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes
funciones. Utilizando los teoremas de translación
2 2
3 5
3 2
10 7
5
22
43]
44]
45]
46]
47] 3
48] 3
cos h49]
50]
51] c
t
t
t
t
t
t
t
t t
t
t e F s
t e F s
t e F s
t e F s
e sen t F s
e sen h t F s
tF s
e
t e e F s
e
L
L
L
L
L
L
L
L
L
2
2
5 3
2
2 2 5
5 3
2 2
4 3 3
os 3
52]
53] 6 4
54] 2
55]
56] cos 2
57] cos 4
58] 5
t
x
x x
t t
t t
t F s
e sen t F s
e x sen x F s
x sen x F s
x e e F s
t t t F s
e t t e F s
e sen t t e
L
L
L
L
L
L
L
2 3 359] t t t
F s
te t e t e F s
L
5.17 Transformadas Inversas De Laplace
Hallar la inversa de la transformada de Laplace:
4
2 5
3
2 3
4
2
2
4
1 481] . 2
1 3 12] . 1 3
2 6
1 1 13] . 1
2
1 14] .
4 1 4
t
t
sol f t t ts s
ssol f t t t t
s
sol f t t es s s
sol f t es
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 17
2
2
5 55] . 7
49 7
46] . cos
4 1 2
sol f t sen ts
s tsol f t
s
-1
-1
L
L
2
3
2
3
2
.2 3 6
2 67] . 2cos3 2 3
9
1 1 18] .
3 3 3
3 19] .
2 3 4 4
10]
t
t t
ssol f t
s s s
ssol f t t sen t
s
sol f t es s
ssol f t e e
s s
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
3
1 12 3 6
2 2
2 4
2 25 4
1 1 111] . cos 5
5 5 5
12] 4 3 cos 3
t t te e e
s
s s
sol f t ts s
tf t e t sent
-1
-1
L
L
2 2
2
2
2
32
13] cos 24 5
14] 1
2 1 315] 5 5 4
21
t t
t t
t t t
sf t e t e sent
s s
sf t e te
s
sf t t e te t e
s s
-1
-1
-1
L
L
L
3
4
1 116]
61
tf t t es
-1L
2
3
2
2
2
1 117] 2
2 5 2
2 5 118] 2 cos5 5
6 34 10
519] 5 2 1
2
t
t
t
f t e sen ts s
sf t e t sen t
s s
sf t e t
s
-1
-1
-1
L
L
L
3 7
3
3
2
2 2
1 1 120]
3 7 4 4
521] 2
1 3
1 4 4 122]
3 9 9 3
1 1 123] 4
16 6416
t t
t t
t
f t e es s
sf t e e
s s
sf t e t
s s
f t t sen ts s
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
2
2 2
2
3
2
2
1 1 124] cos 2 2 2
8 164 8
425] 2
1 1
5 7 226] 2cos 2 2 2
23 2
3 127] cos
5 33 2 2
t
t t t
t
t
sf t t e t sen t
s s s
sf t e e te
s s
sf t t e sen t
s s
sf t e t s
s s s
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L 33
5
tent e
2
2
5
3
3
128] cos 2 2
2 5
5 5 529]
1 2 3 3
2 230]
3 5 3
4 4 431]
3 3 3
t
t t
t
t
sf t e t sen t
s s
f t e es s
f t es
f t es s
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
2
4 3
2
22
1432]
3 2 4
2 133] 5 3
1 2
2 3 2 534] 1
1 2 3
tt
t t
t t
f t e es s
sf t e e
s s
s sf t e e
s s s
-1
-1
-1
L
L
L
3
22
1
22
3 4
2
2
2 15 15 135] cos 15
3 6 2 15 2
3 2 15 7 15 136] 3 cos 15
4 2 45 2
2 5 7 11 337]
1 3 4 10 14 35
2 238]
3 1
t
t
t t t
sf t e t sen t
s s
sf t e t sen t
s s
sf t e e e
s s s
s s
s s
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
3 3
2
2
1
2
1 15 17
16 16 4
3 439]
2 1
7 1 7 27 7 7cos
2 2 2 7 2
t t t
tt
f t e e te
s s
s s s
f t e e t sen t
-1L
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 18
25 3
2
6 13 2 31 17 240]
3 5 5 6 15
1 1 141] cos 4
16 1616
t ts sf t e e
s s s
f t ts s
-1
-1
L
L
2 32 2
2 32 2
2 2
1 142] cosh
2
1 143] cos
2
1 144] 1at at
f t senh at at atas a
f t sen at at atas a
f t ate eas s a
-1
-1
-1
L
L
L
2
3
2
2 5
2
2
3 2
3 2
1 145] 2
4 2
5 646] 2 3
3
5 247] 3 5
7 10
5 448] 2 3
2
149]
5
t
t t
t t
f t senh ts
sf t e
s s
sf t e e
s s
sf t e e
s s s
s s
-1
-1
-1
-1
-1
L
L
L
L
L 51 1 5
25
tf t e t
2
2
2
150]
3 2
151]
2 1
152]
4 13
f ts s
f ts s
f ts s s
-1
-1
-1
L
L
L
5.18 Ecuaciones Diferenciales Con
Transformadas De Laplece
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la
transformada de Laplace.
4
4 4
1] 4 0 2
. 2
2] 2 0 0 1 0 1
. 2
t
t t
t t
y y e y
sol y te e
y y y y y
sol y e te
3 3
3
3] 6 9 0 0 0 1
1 2 2 10.
9 27 27 9
4] 6 13 0 0 0 0 3
3. 2
2
5] cos 0 0 0 0
1 1 1. cos
2 2 2
t t
t
t
t t
y y y t y y
sol y t e te
y y y y y
sol y e sen t
y y e t y y
sol y e t e sent
3 2
3
2
6] 1 0 0
.
7] 4 4 0 0 0 0
.
8] 4 4 0 1 0 0
.
9] 2 20 51 0 0 2 0 0
.
10] 4 4 0 0 0, 0 3
. 3
t
t
x
y y te y
sol
y y y t e y y
sol
y y y t y y
sol
y y y y y
sol
y y y si y y
sol y x xe
2
2 3
11] 2 2 2 0 0, 0 1
. 1 cos
12] 3 0 0, 0 1
. 5 5 6 3
x
x
y y y si y y
sol y x e x
y y x si y y
sol y x e x x x
13] 2 1 0 1
.
14] 0 0
.
15] 5 4 0 0 1 0 0
.
y y y
sol
y y sent y
sol
y y y y y
sol
2
1
2
16 3 2 0 0 1 0 1
. 2 3
17 4 2 0 0 0 0
1. cosh 2 1
2
5 118 0 0 1 0
2 2
.
t t
t
y y y y y
sol y e e
y y y y
sol y t
y y y y y
sol y e
Problemario De Ecuaciones Diferenciales
LIC. ALBERTO RODRÍGUEZ M PÁG. 19
3
9
3
4 3
3
19 3 2 0 0 3 0 2
5 7.
4 4
20 8 9 10 0 0 0 4
3 23 10.
5 45 9
21 6 8 2 0 0 0 2
. 2 2
22 3 3 3 0 0 0 0 0 2
3 5 1. 1
8 4 8
t t
t t
t
t t
t t t
y y y y y
sol y e e
y y y y y
sol y e e
y y y e y y
sol y e e
y y y y y y y
sol y e e e
2 2
3 2
23 4 4 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1.
6 6 12 12
24 2 5 6 0 0 2 0 1 0 1
1 1. 2
5 5
t
t t t t
t t t
y y y y e y y y
sol y e e e e
y y y y y y y
sol y e e e
2
25 2 1 2 0 0 0 4
. t t
y y y t y y
sol y e e t
2 2
3
2
26 2 0 0 0 0
1 1 1 1.
6 9 27 27
27 2 0 0 0 0
1.
6
28 4 2 0 0 0 1
3 1. 2 cosh 2
8 4
29 2 3 0 1 0 0
. 1
30 4 4 0
t
t t
t
t
t
t
y y y te y y
sol y e t t e
y y y te y y
sol y t e
y y senh t y y
sol y senh t t t
y y y t y y
sol y t te
y y y te y
32
2
0 0 1
.6
31 4 5 0 0 0 0 1
.
t
t
y
tsol y e t
y y y y y
sol y e sent
2
2
32 4 13 0 0 1 0 0
2. cos3 3
3
33 4 5 0 1 0 3
29 22 4. cos
25 25 5 25
t
t
y y y y y
sol y e t sen t
y y y t y y
tsol y e t sent
34] 2 5 1 0 0 0 4
.
35] 0 1 0 1
.
36] 16 1 0 1 0 2
.
y y y t y y
sol
y y sent y y
sol
y y y y
sol
4
37] cos 0 0 0 0
.
38] 2 3 3 2 0 0 0 0 0 1
.
39] 2 2 3 0 0 0 0 0 1
.
40] 0 0 1 0 0 0 1 0 0
.
41] 1 0 2
.
t
t
t
y y e t y y
sol
y y y y e y y y
sol
y y y y sen t y y y
sol
y y y y y y
sol
y y te y
sol
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