Problemario Matemática II
-
Upload
oscar-stward -
Category
Documents
-
view
245 -
download
1
description
Transcript of Problemario Matemática II
1
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA (UNEFAB)
VICERRECTORADO ACADÉMICO NUCLEO GUÁRICO-SEDE TUCUPIDO
PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA II
2
INDICE
Métodos de Integración
Integración por sustitución……………………………………………………………………………………………..03
Integración por partes…………………………………………………………………………………………………….07
Aplicaciones de la Integral Definida
Integral definida……………………………………………………………………………………………………………..10
Área de una región plana………………………………………………………………………………………………..12
Área entre dos funciones………………………………………………………………………………………………..14
Área de volumen de un sólido en revolución…………………………………………………………………..18
Método de Capas Cilíndricas……………………………………………………………………………………….....20
Integrales impropias
Definiciones……………………………………………………………………………………………………………..……..23
Funciones de Varias Variables
Definiciones…………………………………………………………………………………………………………………….33
Límites con Varias Variables…………………………………………………………………………………………….33
Derivadas Parciales………………………………………………………………………………………………………….36
Gradientes y derivadas direccionales………………………………………………………………………………38
Teorema del Gradiente……………………………………………………………………………………………………39
Derivadas direccionales…………………………………………………………………………………………………..39
3
Métodos y técnicas de integración
(1º) Integración por sustitución o cambio de variable:
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la
integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se
conoce como integración por sustitución o cambio de variable.
4
5
Ejemplo Nº 4 ∫(𝒙 + 𝟐)𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔)𝒅𝒙
Ejercicio Nº 5 ∫𝟑𝒕𝒅𝒕
√𝒕𝟐+𝟑𝟑
EJERCICIOS PROPUESTOS Usando esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las siguientes integrales:
1. ∫ 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔 𝒆𝒙 𝒅𝒙 R: 𝒔𝒆𝒏(𝒆𝒙) + 𝒄
2. ∫𝒄𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙)
𝒙𝒅𝒙 R: sen(lnx)+x
3. ∫ √𝟏 − 𝟒𝒚𝒅𝒚 R: 𝟏
𝟔(𝟏 − 𝟒𝒚)𝟑/𝟐 + 𝑪
4. ∫ 𝒙𝟐(𝒙𝟑 − 𝟏)𝟏𝟎𝒅𝒙 R: 𝟏
𝟑𝟑(𝒙𝟑 − 𝟏)𝟏𝟏 + 𝒄
5. ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 R: 𝟐
𝟓(𝒙 + 𝟏)
𝟓
𝟐 −𝟐
𝟑(𝒙 + 𝟏)
𝟑
𝟐 + 𝑪
6
6. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟓𝒅𝒙 R: 𝟏
𝟔(𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 + 𝒄
7. 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙. √𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝟑
𝒅𝒙 R: 𝟑
𝟐(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔)
𝟒𝟑⁄ + 𝒄
8. ∫(𝒚+𝟑
(𝟑−𝒚)𝟐
𝟑⁄)𝒅𝒚 R:
𝟑
𝟒(𝟑 − 𝒚)
𝟒𝟑⁄ − 𝟏𝟖(𝟑 − 𝒚)
𝟏𝟑⁄ + 𝒄
9. ∫𝒆
𝟏𝒙𝟐⁄
𝒙𝟑𝒅𝒙 R: −
𝟏
𝟐𝒆
𝟏𝒙𝟐⁄ + 𝒄
10. ∫(𝒆𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙 R: (𝒆𝒙+𝟏)𝟑
𝟑+ 𝒄
11.
12.
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
INTEGRACION POR PARTES
7
Integración por Partes El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
El problema es elegir u y dv, por lo cual es útil la siguiente identificación: I: Función trigonométrica inversa L: Función logarítmica A: Función algebraica T: Función trigonométrica E: Función Exponencial Se usa de la manera siguiente:
Ejercicios:
1. Encontrar ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
2. Encontrar ∫(𝑥2 + 5𝑥 + 6)𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
8
3. Encontrar ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicios Respuestas
1
2
3
4
5
6
7
9
8
9
10
10
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Integral Definida:
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al
área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales
x = a y x = b.
La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a l ímite inferior de la integración.
b l ímite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x , e indica cuál es la variable de la función que
se integra.
Ejemplos:
1. Calcular
11
Solución:
2. .
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcule las siguientes integrales definidas:
Ejercicios Respuestas
1
2
3 −𝟗𝟖
𝟗
4
5
6
7
8
9
10
12
CALCULO DE ÁREA DE UNA REGION PLANA
13
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x 2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para
representar la curva y conocer los límites de integración.
Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al
doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
14
2. .
´
AREA COMPRANDIDA ENTRE DOS FUNCIONES
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que
está situada por encima menos el área de la función que está situada por
debajo.
Ç
15
Ejercicios:
1. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x 2 + 2 y la recta
que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).
2 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y 2 = 4x e y =
x2.
16
17
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX.
S:
2 Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el
punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.
S:
3 Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x
= 2 y x = 8. S:
4 Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x3 y el eje de abscisas.
S:
5 Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x 3 − 6x2 +
8x y el eje OX. S:
6 Calcular el área limitada por la curva y = x 2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
S:
7 Calcular el área limitada por la parábola y 2 = 4x y la recta y = x.
S:
8 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 +
4x. S:
9 Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x 2 − 2x, y =
−x2 + 4x. S:
18
AREA DE VOLUMEN DE UN SOLIDO EN REVOLUCIÓN
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x)
alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado p or:
Ejercicios Resueltos
19
2). Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación
alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.
3).
20
METODO DE LAS CAPAS CILINDRICAS
21
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y
las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sen xx = 0x = π
S:
2 Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por
las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
S:
3 Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita
el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4
y x = 10, al girar alrededor de OX. S:
4 Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto
limitado por las gráficas de y = 2x − x 2, y = −x + 2. S:
22
5 Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la
parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. S:
6 Calcular el volumen de la esfera de radio r.
S:
7 Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x 2 + 25y2 = 400,
al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.
V1
V2
23
INTEGRALES IMPROPIAS
24
25
26
27
28
29
30
31
EJERCICIOS PROPUESTOS
2
3.
4.
5. .
6. .
32
7.
8.
9.
10.
33
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Funciones de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que
se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables
independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables
independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables
independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en
forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de
una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Ejemplos
f(x, y) = x - y Función de dos variables
f(1, 2) = 1 - 2 = -1 Sustituya x por 1 y y por 2
f(2, -1) = 2 - (-1) = 3 Sustituya x por 2 y y por -1
f(y, x) = y - x Sustituya x por y y y por x
Límite de una función de varias variables
Sea una función de dos variables definida en un disco abierto centrado en ,
excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,
si para cada existe un tal que
siempre que
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier
punto en el disco de radio , el valor de esta entre y .
34
35
Ejemplo:
(0,0), dos maneras de aproximarse a (0,0) son a lo largo del eje x (y=0) y a lo largo del eje y
(x=0). En y=0 se tiene:
Por definición Si f (x, y) no se aproxima al mismo número L por dos trayectorias diferentes a (a, b), entonces el límite no existe.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Evaluar el límite dado si existe:
36
DERIVADAS PARCIALES
Guías para la diferenciación parcial
37
Ejemplo 2: Dada la función definida por Halla y .
Solución:
Considerando como una constante, tenemos:
Considerando como una constante, tenemos:
EJERCICIOS PROPUESOS
Encuentre las primeras derivadas parciales de la función dada: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
38
39
40
Ejemplos:
3.
41
4. .
42