INTRODUCCIÓN

La probabilidad y la estadística son, sin duda, las ramas de las Matemáticas que están en mayor auge en este siglo, y tienen una tremenda aplicabilidad en todos los aspectos y ciencias, especialmente en las Ciencias Sociales, puesto que aquellas variables que incluyen en dichas ciencias, económicas, demográficas, suelen tener carácter aleatorio, es decir, no son deterministas, y se fundamentan en predicciones a partir de datos conocidos. Todo aquello que implique predicción nos lleva al terreno de la probabilidad.

En todos los aspectos de la vida a veces nos encontramos con acontecimientos predeterminados, es decir, tales que podemos decir el resultado de dichos acontecimientos antes de que .analice o incluso de que comience.

 

Experimentos aleatorios pueden ser:

Tirar una moneda al aire y observar qué lado cae hacia arriba, rellenar una quiniela de fútbol, jugar una partida de póquer y, en general, cualquier juego en el que intervenga el azar.

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto numero a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es mas probable que otro o relaciones parecidas.

Pero no solo califica resultados tales como probabilidades de candidatos a elecciones u otros problemas físicos o biológicos, sino también numerosos casos curiosos prescindibles tales como probabilidad de hallar dos personas con la misma fecha de cumpleaños en un determinado grupo o juegos del azar como las cartas y otros juegos de casinos.

Para obtener las conclusiones sobre el tipo de problema que vamos a trabajar: “Problemas curiosos“, son necesarios, particularmente, tres teoremas con los cuales podremos calcular los resultados. Estos teoremas son : el Teorema de la Probabilidad Total, el Teorema de Bayes , y el Teorema de la Probabilidad Condicionada.

Tª DE LA PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se define la probabilidad condicionada del suceso A dado que ha sucedido el suceso B (con p(B) distinta de 0) de la siguiente forma:                                 

De esta definición se deduce que:       

 Esta probabilidad mide la proporción de veces que ocurre A de entre las que ocurre B.

Tª DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Para todo conjunto de sucesos completo se cumple:

Tª DE BAYES

 La fórmula de Bayes se conoce como:

 

A la probabilidad hallada se le llama probabilidad a posteriori.

Así, a continuación, pondremos en práctica estos enunciados en una serie de ejemplos de “Problemas Curiosos“, en los que, a veces, la probabilidad y la estadística se oponen a lo que creemos ser un razonamiento correcto.

Es bien sabido que en cualquier grupo de al menos 23 personas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es mayor del 50%. Bien, en cierta ocasión un profesor estaba dando clase de matemáticas a unos universitarios, y estaba explicando la teoría elemental de probabilidad. Explicó a la clase que con 30 personas en lugar de 23, la probabilidad de que al menos dos de ellos cumpliesen años el mismo día sería muchísimo mayor.        Profesor: "Como en esta clase sólo hay diecinueve estudiantes, la probabilidad de que dos de vosotros cumpláis años el mismo día es mucho menor del 50%". En ese momento uno de los alumnos levantó la mano y dijo:        Alumno: "Le apuesto que al menos dos de los que estamos aquí cumplen años el mismo día".       Profesor: "De acuerdo".         El profesor aceptó la apuesta, pensando en dar al chico una buena lección. Procedió a llamar uno a uno a los estudiantes para que dijeran el día de su cumpleaños hasta que, cuando iban por la mitad, tanto la clase como el profesor estallaron en carcajadas motivadas por el despiste del profesor.         El chico que con tanta seguridad había hecho la apuesta no sabía el día de nacimiento de ninguno de los presentes, excepto el suyo propio. ¿Sabes por qué se mostraba tan seguro?

LOS INCONVENIENTES DE SER DESPISTADO.

Cuando el profesor aceptó la apuesta del estudiante había olvidado por completo que dos de los estudiantes, que siempre se sentaban juntos, eran gemelos.

. La densidad máxima de cabellos del cuero cabelludo humano es de 5 por mm² (generalmente es menor). Teniendo en cuenta que el número de españoles es 40 millones, ¿cuál es la probabilidad de que dos españoles, al menos, tengan el mismo número de pelos en la cabeza?

 

EL MISMO Nº DE PELOS.

La probabilidad buscada es 1. Existe la certeza de que al menos dos españoles tienen el mismo número de cabellos.         Dividiendo el nº de habitantes por 5 tendremos la superficie en mm² que habría que tener el cuero cabelludo para que no se repitan dos cabelleras, en cuanto a nº de pelos.         Como 40 106/5 = 8 106 mm² = 8 m² es indudable que habría de ser muy cabezotas los españoles.

Si nos encontráramos con dos de las hermanas Jones (lo que presupone que las dos anteriores sean extracciones al azar del conjunto de las hermanas Jones), hay un caso favorable en cada dos de que ambas chicas tengan los ojos azules. ¿Cuál es la predicción más razonable acerca del número de hermanas Jones que tienen los ojos azules?

LAS HERMANAS DE LOS AJOS AZULES.

Lo más probable es que las hermanas Jones sean cuatro en total, de las que tres tendrían los ojos azules. Efectivamente, si hay n hermanas de las cuales b tienen los ojos azules, la probabilidad de que elegidas al azar dos de ellas resulten ambas de ojos azules es b(b-1)/n(n-1).

     Como se nos dice que esta probabilidad es 1/2, el problema consiste en determinar los valores enteros de b y n que le dan a la expresión anterior el valor 1/2. Las soluciones mínimas son n=4 y b=3; las inmediatamente superiores son ya n=21 y b=15. Siendo extremadamente improbable que en una familia haya 21 hermanas, la mejor conjetura es suponer que las hermanas sean cuatro, y que tres de ellas tengan los ojos azules.

Se toma al azar un punto situado a varios kilómetros del Pentágono. ¿Qué probabilidad hay de que desde él puedan verse tres lados del polígono?

   EL PENTÁGONO.

La probabilidad es 1/2. Supongamos que la persona tuviera un doble situado directamente frente a él, a igual distancia y del otro lado, del centro del Pentágono. Si alguna de ambas personas viera tres lados, la otra solamente podría ver dos. Puesto que hay probabilidades iguales de que cualquiera de las personas se encuentre en uno o en otro lugar, la probabilidad de que vea tres caras es 1/2.

Observación. Si la contaminación y la niebla de Washington se parecen en algo a las de Toronto, la probabilidad sería nula