PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

1. Un estudio de tiempo mostró que, en promedio, la productividad de un trabajador después de t horas en el trabajo se puede modelar por medio de

P ( t )=27 t+6 t 2−t 3 ,0≤ t ≤8

Donde P es el número de unidades producidas por horaa. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c. Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué

significa?

2. El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en promedio, el número de unidades por hora y producidas después de t horas de producción es

y=70 t+12t2−t3 ,0≤t ≤8

a. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c. Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué

significa?

3. Suponga que el costo promedio, en dólares, para producir un embarque de cierto producto es

C=5000 x+ 125000x

, x>0

Donde x es el número de máquinas usadas en el proceso de produccióna. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema?c. Encuentre los puntos críticosd. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué

significa?

4. Suponga que el costo promedio de una operación de minería depende del número de máquinas usadas y los precios promedios, en dólares, según

C (x)=2900x+ 1278900x

, x>0

, donde x es el número de máquinas usadasa. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. Encuentre los puntos críticosc. En que intervalo disminuye el costo promediod. ¿Cuántas máquinas dan el costo mínimo?e. ¿Cuál es el costo promedio mínimo?

5. Un negocio pequeño tiene costos promedios semanales, en dólares, de

C (x)=100x

+30+ x10, x>0

, donde x es el número de unidades producidas cada semana.a. Encuentre los valores críticos de esta una funciónb. Encuentre los puntos críticosc. En que intervalo disminuye el costo promediod. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué

significa?

6. Un fondo de inversión genera rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula R(x)=-0.002x2+0.8x-5, donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede invertir? ¿cuál es la máxima rentabilidad que se puede obtener?

7. Los ingresos semanales de una película reciente se determinan mediante

R ( t )= 50t

t 2+36,t ≥0

Donde R se da en millones de dólares y t en semanasa. Encuentre los valores críticosb. ¿Para cuantas semanas se incrementará el ingreso?

8. Un estudio de eficiencia realizado para una compañía que fabrica aparatos eléctricos mostró que el número de Walkies-Talkies ensamblados por el trabajador promedio t horas después de iniciar su jornada de trabajo a las 8:00 a.m. esta dado por

N(t) = -t3 + 6t2 + 15t (0 ≤ t ≤ 4)

a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Explique c. Encuentre los puntos críticos d. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

9. Una fábrica de calculadoras programables determina que el costo C(x) diario de producción de estas calculadoras (en dólares) es

C(x) =0.0001x3 – 0.08x2 + 40x + 5000, donde x representa el número de calculadoras producidas.a. Encuentre los valores críticos de esta una función b. ¿Qué valores críticos tienen sentido en este problema? Explique c. Encuentre los puntos críticos

10. Determine los máximos o mínimos relativos si existen ¿Qué significa?

Aplicación la Derivada en las funciones logarítmicas y Exponenciales

1. Suponga que el costo total (en dólares) para un producto está dado por

C(x) = 1500 + 200 ln(2x +1), donde x es el número de unidades producidasa. Encuentre la función costo marginal (es decir C´(x))b. Encuentre el costo marginal cuando se producen 200

unidades e interprete el resultado2. El número t de años que una inversión tarda en duplicarse es una

función de la tasa de interés r compuesta continuamente, de acuerdo con

t ¿ln 2r

a. Con que tasa dtdr

cambia el tiempo requerido respecto de r si

r = 10%, compuesto continuamenteb. Que sucede con la tasa de cambio si r se hace muy grande o

muy pequeña

3. El ingreso total en dólares por la venta de x unidades de un producto está dado por

R(x) = 2500 x

ln (10 x+10)

a. Encuentre la función ingreso marginal

b. Encuentre el ingreso marginal cuando se venden 100 unidades e interprete el resultado

4. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por

P = 10 + 50 ln(3x + 1)Encuentre la razón de cambio del precio de oferta cuando el número de unidades es 33.

5. La función demanda de un producto está dada por p = 4 000

ln(2 x+10),

donde p es el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre la razón de cambio del precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

6. Si se invierten $p durante n años con una tasa de interés r (dado en decimales) compuesto continuamente, el valor futuro después de n años esta dado por la función

S= p℮0.1n

Calcule la tasa de crecimiento del valor futuro de una inversión de 2 millones de pesos a 1 año.

7. Cierta máquina industrial se deprecia de manera que su valor después de t años es

Q(t) = 20 000 e-0.4t dólares.¿A qué ritmo cambia el valor de la máquina con respecto al tiempo después de 5 y 10 años? ¿Qué encuentra?

8. La demanda de consumo de cierto artículo es D(p) = 3 000 e-0.01p

unidades por mes cuando el precio de mercado es p dólares por unidad. Encuentre la tasa de cambio de la demanda con respecto para p=100 y p=200. ¿Qué encuentra?

9. Después de terminar una campaña publicitaria, las ventas de un producto están dadas por S = 100 000 e-0.5t, donde S representa las ventas semanales en dólares y t es el número de semanas desde el final de la campaña. Encuentre la razón de la caída de las ventas 1 mes después de culminar la campaña publicitaria.

10. Suponga que el costo total en dólares de producir x unidades de un producto se determina por medio de C(x) = 10

000 + 20x ex/600. Encuentre el costo marginal cuando se producen 600 unidades.