1

Problemas de enfriamiento

De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura T

de un cuerpo respecto del tiempo, en un instante t, en un medio de temperatura constante

A, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la del cuerpo, es decir,

proporcional a A − T. La ecuación diferencial que nos da la variación de temperatura de

un cuerpo viene dada por:

ⅆT

ⅆt= 𝑘(𝐴 − 𝑇)

donde k > 0 es la constante de transferencia de calor.

Ejemplo 1:

La sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5°C.

Mientras se encontraba realizando la autopsia de una víctima de asesinato, el propio

forense es asesinado. A las 10 am el ayudante del forense descubre su cadáver a una

temperatura de 23°C. A las 12 am su temperatura es de 17°C. Suponiendo que el forense

tenía en vida la temperatura normal de 37°C, veamos a qué hora fue asesinado.

Solución: Aplicando la ley de enfriamiento de Newton llegamos a la ecuación diferencial

de variables separable.

ⅆT

ⅆt= 𝑘(5 − 𝑇)

Tenemos:

ⅆ𝑇

(5 − 𝑇)= 𝑘 ⅆ𝑡

Integrando de ambos lados

∫ⅆ𝑇

(5°𝐶 − 𝑇)= ∫ 𝑘 ⅆ𝑡

−Ln[5°𝐶 − 𝑇] = 𝑘𝑡 + 𝑐

Ln[5°𝐶 − 𝑇] = −𝑘𝑡 − 𝑐

ⅇLn[5°𝐶−𝑇] = ⅇ−kt−𝑐

(5°𝐶 − 𝑇) = cⅇ−kt

𝑇(𝑡) = 5°𝐶 − cⅇ−kt

Tenemos las condiciones iniciales, t=0 las 10 am, T(0)=23°C.

23°C = 5°C − 𝑐

2

𝑐 = 5°C − 23°C = −18°C

Con esto la ecuación se reescribe como:

𝑇(𝑡) = 5°𝐶 + 18°Cⅇ−kt

Y con la segunda condición inicial se puede obtener k. Al cabo de 2h la temperatura es de

17°C, esto quiere decir: 𝑇(2) = 17°C.

𝑇(2) = 17°C = 5°𝐶 + 18°𝐶ⅇ−2ℎ 𝑘

12°C = 18°Cⅇ−2ℎ 𝑘

12°C

18°C=

2

3= ⅇ−2ℎ 𝑘

ln (2

3) = −2ℎ 𝑘

𝑘 = −1

2ℎln (

2

3)

Por lo anterior, la ecuación queda:

T(𝑡) = 5°𝐶 + 18°𝐶ⅇ1

2ℎln(

23

)t

Para saber la hora a la que fue asesinado el forense, sabemos que la temperatura del

cuerpo es de 37°C.

37°C = 5°C + 18°𝐶ⅇ1

2ℎ𝑙n(

23

)t

37°C − 5°C

18°C= ⅇ

12ℎ

𝑙n(23

)t

16

9= ⅇ

12ℎ

𝑙n(23

)t

ln(16

9) =

1

2ℎ𝑙n(

2

3)𝑡

𝑡 =2ℎln(

169 )

ln(23)

= −2.8380ℎ = −2ℎ 50𝑚𝑖𝑛

Tenemos un tiempo negativo, ya que el asesinato ocurrió antes de las 10 am, que fue

cuando hallaron el cuerpo.

𝑡 = 10ℎ − 2ℎ 50min = 7ℎ 10min

El forense fue asesinado a las 7:10 am.

3

Mecánica Newtoniana

La Mecánica estudia el movimiento de los objetos bajo el efecto de las fuerzas que actúan

sobre ellas. La Mecánica Newtoniana o clásica estudia el movimiento de objetos que son

grandes comparados con un átomo y cuyo movimiento es lento comparado con la

velocidad de la luz. Planteamos las ecuaciones del movimiento de un cuerpo utilizando la

segunda ley de Newton:

𝐹⇀

= 𝑚𝑎⇀

donde el término de la izquierda representa la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo

en el instante t, en la posición x y con velocidad 𝑣 =ⅆ𝑥

ⅆ𝑡.

Para aplicar las leyes de Newton a un problema de mecánica, tenemos que considerar lo

siguiente:

1. Las fuerzas que actúan sobre el objeto.

2. Elegir un sistema de ejes coordenados apropiados y representar el movimiento del

objeto y las fuerzas que actúan sobre él.

3. Aplicar la segunda ley de Newton 𝐹⇀

= 𝑚𝑎⇀

para determinar las ecuaciones del

movimiento del objeto.

Nota: Consideramos que la aceleración de la gravedad es constante y su valor es 𝑔 =

9.8 𝑚 𝑠2⁄ .

Ejemplo 2:

Lanzamos un objeto de masa m con una velocidad inicial v0 dirigida hacia abajo.

Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad

del objeto, determinemos:

1. La ecuación que modeliza el movimiento de dicho objeto.

2. La distancia recorrida por el objeto en función del tiempo.

3. La velocidad del objeto en función del tiempo.

Solución:

Sobre el objeto actúan dos fuerzas: una fuerza constante debida a la acción de la

gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo y de módulo F1 = mg, y una fuerza

correspondiente a la resistencia del aire, contraria al movimiento y proporcional a la

velocidad del objeto, F2 = −kv(t) = −k dx/dt , siendo x(t) la distancia recorrida por el objeto

en su caída en un instante t. Considerando como eje de coordenadas un eje vertical con

el valor x = 0 en la posición desde donde lanzamos el objeto hacia abajo, correspondiente

al instante inicial t = 0.

4

Figura 1: Diagrama de cuerpo libre para la caída de un objeto.

Tenemos que la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es la suma de las fuerzas.

𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = mg − kv

Aplicamos la segunda ley de Newton.

𝐹 = mg − kv = 𝑚ⅆ𝑣

ⅆ𝑡

Con la condición inicial 𝑣(0) = 𝑣0.

Dividimos todo entre m.

ⅆ𝑣

ⅆ𝑡= 𝑔 −

kv

𝑚

ⅆ𝑣

ⅆ𝑡+

kv

𝑚= 𝑔

Resolvemos por factor integrante.

Tenemos que:

𝑝(𝑡) =kv

𝑚 ⇒ 𝜇 = ⅇ∫

𝑘𝑚

ⅆ𝑡 = ⅇkt𝑚

La ecuación queda:

ⅆ

ⅆ𝑡[𝑣ⅇ

kt𝑚] = 𝑔ⅇ

k t𝑚

𝑣ⅇkt𝑚 = 𝑔∫ ⅇ

𝑘𝑡𝑚 ⅆ𝑡 =

𝑚 𝑔

𝑘ⅇ

𝑘 𝑡𝑚 + 𝑐

5

𝑣(𝑡) =𝑚𝑔

𝑘+ 𝑐ⅇ−

𝑘𝑡𝑚

Como la condición inicial es 𝑣(0) = 𝑣0, tenemos:

𝑣(0) = 𝑣0 =𝑚𝑔

𝑘+ 𝑐

⇒ 𝑐 = 𝑣0 −𝑚𝑔

𝑘

𝑣 (𝑡) =𝑚𝑔

𝑘+ (𝑣0 −

𝑚𝑔

𝑘) ⅇ−

𝑘𝑡𝑚

Esta es la ecuación que describe la velocidad en función del tiempo.

Para obtener la ecuación de la posición aplicamos: 𝑣(𝑡) =ⅆ𝑥

ⅆ𝑡

ⅆ𝑥

ⅆ𝑡=

𝑚𝑔

𝑘+ (𝑣0 −

𝑚𝑔

𝑘) ⅇ−

𝑘𝑡𝑚

𝑥 (𝑡) = ∫ (𝑚𝑔

𝑘+ (𝑣0 −

𝑚𝑔

𝑘) ⅇ−

𝑘𝑡𝑚) ⅆ𝑡

𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡

𝑘−

ⅇ−𝑘𝑡𝑚 𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2+ 𝑐

Ahora tenemos que la condición inicial es: 𝑥(0) = 0

0 = −𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2+ 𝑐

𝑐 =𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2

Sustituyendo esto en la solución, tenemos:

𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡

𝑘−

ⅇ−𝑘𝑡𝑚𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2+

𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2

𝑥(𝑡) =𝑔𝑚𝑡

𝑘+

𝑚(−𝑔𝑚 + 𝑘𝑣0)

𝑘2(1 − ⅇ−

𝑘𝑡𝑚 )

La cuál describe la posición del objeto en función del tiempo.

6

Ejemplo 3:

Suponga que un automóvil viaja a 50𝑘𝑚/ℎ𝑟 cuando aplica los frenos en el tiempo 𝑡 = 2.

Determina la distancia recorrida. Suponga una desaceleración no constante 𝑎 = −6𝑡 (-6 es

la constante de proporcionalidad, con unidades 1

𝑠2

km

ℎ).

Solución:

Sabemos que la aceleración se puede escribir como:

a =ⅆ𝑣

ⅆ𝑡

Y por lo planteado en el problema tenemos

ⅆ𝑣

ⅆ𝑡= −6𝑡 ⇒ 𝑣(𝑡) = ∫ −6𝑡 ⅆ𝑡 + 𝐶

La velocidad en función del tiempo es:

𝑣(𝑡) = −3𝑡2 + 𝐶

Para determinar C, sabemos que 𝑣0 = 50 km ℎ⁄ , 𝑡 = 0

50km

ℎ= −3(0)2 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 50

km

ℎ

La ecuación de la velocidad queda como:

𝑣(𝑡) = −3𝑡2 + 50km

ℎ

Para saber la distancia que recorrió, sabemos que la velocidad se puede reescribir como:

v =ⅆ𝑥

ⅆ𝑡

Ahora tenemos

ⅆ𝑥

ⅆ𝑡= −3𝑡2 + 50

km

ℎ ⇒ 𝑥(𝑡) = ∫ (−3𝑡2 + 50

km

ℎ ) ⅆ𝑡 + 𝐾

Integrando

𝑥(𝑡) = −𝑡3 + (50km

ℎ) 𝑡 + 𝐾

La condición inicial es x(0)=0

7

𝑥(0) = 0 = −(0)3 + (50km

ℎ) (0) + 𝐾 ⇒ 𝐾 = 0

Por lo tanto, la ecuación de la posición en función del tiempo es:

𝑥(𝑡) = −𝑡3 + (50km

ℎ) 𝑡

Como deseamos saber la distancia que recorrió el automóvil en 2s, sustituimos en la

ecuación anterior y considerando las unidades de la constante de proporcionalidad.

𝑥(2𝑠) = −(2𝑠)31

𝑠2

km

ℎ+ (50

km

ℎ) (2𝑠)

𝑥(2𝑠) = −8𝑠31

𝑠2

km

ℎ+ 100

km

ℎ𝑠

𝑥(2𝑠) = −8𝑠km

ℎ+ 100

km

ℎ𝑠 = 92

km

ℎ𝑠 = 92

km

3600𝑠𝑠

𝑥(2𝑠) =92

3600𝑘𝑚 =

23

900𝑘𝑚 = 0.02556 𝑘𝑚

8

Determinación de edades por el método de carbono 14

Willard Libby ideo un método en 1950, el cual usa carbono radiactivo para determinar la

edad de los fósiles. La teoría se sustenta en que el isótopo de carbono 14 (C14) se

produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. El

cociente de la cantidad de C14 y la cantidad de carbono ordinario C12 presentes en la

atmósfera es constante, por lo cual la proporción de isótopo presente en los organismos

vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción del C14

cesa. Comparando dicha proporción de C14 de un fósil con la proporción constante

encontrada en la atmósfera, se puede determinar una aproximación de su edad. Para ello

se requiere conocer la vida media del C14, la cual es (aproximadamente) 5600 años.

Ejemplo 4:

Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de

carbono 14. Determina la edad del fósil.

Solución:

Sea M(t) la cantidad de C14 presente a un tiempo t y sea M(0) = M0 la cantidad inicial de

C14 que tenía el fósil. Tenemos la siguiente ecuación diferencial:

ⅆ𝑀(𝑡)

ⅆ𝑡= −𝑘𝑀(𝑡)

Resolviendo por separación de variables

ⅆ𝑀(𝑡)

𝑀(𝑡)= −𝑘 ⅆ𝑡

Integrando

ln(𝑀(𝑡)) = −𝑘𝑡 + 𝐶

Y despejando para M(t)

𝑀(𝑇) = ⅇ−𝑘𝑡+𝐶 = Cⅇ−𝑘𝑡

Aplicando la condición inicial M(0) = M0, t=0.

𝑀(0) = 𝑀0 = Cⅇ−𝑘(0) = 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝑀0

La ecuación queda

𝑀(𝑡) = 𝑀0ⅇ−𝑘𝑡

El problema dice que el fósil contiene 0.001 M0 de C14, del cual su vida media es de 5600

años. Entonces

9

𝑀(5600) =𝑀0

2

De esto tenemos

𝑀0

2= 𝑀0ⅇ−𝑘(5600 𝑎ñ𝑜𝑠)

1

2= ⅇ−𝑘(5600 𝑎ñ𝑜𝑠)

ln (1

2) = −𝑘(5600 años)

𝑘 = −ln (

12

)

5600 años

La ecuación queda como

𝑀(𝑡) = 𝑀0ⅇ(

ln(12

)

5600 años)𝑡

Como queremos saber el tiempo que ha transcurrido para que el fósil tenga 0.001 M0,

entonces

0.001 𝑀0 = 𝑀0ⅇ(

ln(12

)

5600 años)𝑡

⇒ 0.001 = ⅇ(

ln(12

)

5600 años)𝑡

Por lo tanto

ln (0.001) =𝑙𝑛 (

12)

5600 𝑎ñ𝑜𝑠𝑡

Despejando t

𝑡 =ln(0.001)(5600 años)

ln (12)

La edad del fósil es

𝑡 = 55808.3919 𝐴ñ𝑜𝑠

10

Problemas de mezclas

Sea x(t) la cantidad de sustancia presente en un tanque al instante t y sea ⅆ𝑥

ⅆ𝑡 la rapidez

con que cambia x respecto del tiempo. Para un tiempo t, la velocidad con la que cambia la

sustancia dentro del tanque, ⅆ𝑥

ⅆ𝑡, debe ser igual a la velocidad a la que dicha sustancia

entra al tanque menos la velocidad a la que sale. La ecuación diferencial para modelar

este problema es:

ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠

Donde

𝑣𝑒(cantidad 𝑡⁄ )

= vⅇlocidad dⅇ ⅇntrada dⅇl fluido(vol 𝑡⁄ ) 𝑥 concⅇntración al ⅇntrar (cantidad vol⁄ )

𝑣𝑠(cantidad 𝑡⁄ ) = vⅇlocidad dⅇ salida dⅇl fluido(vol 𝑡⁄ ) 𝑥 concⅇntración al salir (cantidad vol⁄ )

La concentración de salida es la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en

el tanque en dicho instante t.

Ejemplo 5:

Tenemos un tanque, para el cual a un tiempo inicial t = 0, contiene Q0 kg de sal disuelta

en 100 litros de agua. Si en el tanque entra agua con 1

4 kg de sal por litro, a razón de 3

litros/minuto y que la solución bien mezclada sale del tanque a la misma velocidad. Halla

una expresión que proporcione la cantidad de sal que hay en el tanque al tiempo t. Halla

también una expresión que proporcione la concentración de sal en el tanque en cada

instante t.

Solución:

Sea x(t) la cantidad de sal (kg) que hay en el tanque al instante t. Si la velocidad de

cambio de sal en el tanque para un tiempo t, x’(t) debe ser igual a la velocidad de entrada

de la sal en el tanque menos la velocidad de salida.

Entonces

ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠

Del problema tenemos

𝑣𝑒 =1

4

kg

𝑙𝑥3

𝑙

min

𝑣𝑠 =𝑥(𝑡)

100

kg

𝑙𝑥3

𝑙

min

11

Figura 2: Mezcla en el tanque.

Sabemos que el volumen del agua permanece constante dentro del tanque (100 litros),

debido a que entra la misma cantidad que sale de agua por minuto. Por lo que tenemos la

siguiente ecuación diferencial:

ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡= 𝑣𝑒 − 𝑣𝑠 = (

1

4𝑥 3) − (

𝑥(𝑡)

100 𝑥 3)

ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡=

3

4−

3

100𝑥(𝑡)

Ésta ecuación se puede reescribir,

ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡+

3

100𝑥(𝑡) =

3

4

Calculamos el factor integrante

𝜇 = ⅇ∫3

100ⅆ𝑡 = ⅇ

3100

𝑡

Resolvemos la ecuación diferencial

(ⅆ𝑥(𝑡)

ⅆ𝑡+

3

100𝑥(𝑡) =

3

4) ⅇ

3100

𝑡

ⅆ

ⅆ𝑡(ⅇ

3100

𝑡𝑥(𝑡)) =3

4

ⅇ3

100𝑡𝑥(𝑡) = ∫

3

4ⅇ

3100

𝑡 ⅆ𝑡 + 𝐶

ⅇ3

100𝑡𝑥(𝑡) =

3

4(

100

3) ⅇ

3100

𝑡 + 𝐶

12

ⅇ3

100𝑡𝑥(𝑡) = 25 ⅇ

3100

𝑡 + 𝐶

Tenemos que

𝑥(𝑡) = 25 + Cⅇ−3100

𝑡

Ahora aplicamos la condición inicial x(0) = Q0

𝑥(0) = 𝑄0 = 25 + 𝐶 ⇒ 𝐶 = 𝑄0 − 25

Así que la ecuación que indica la cantidad de sal en el tanque es

𝑥(𝑡) = 25 + (𝑄0 − 25)ⅇ−3100

𝑡

Cuando t crece, este término se aproxima a 25. Físicamente, éste será el valor límite de x

a medida que el tanque se llena con la solución que tiene 1

4 kg/l de sal. La concentración,

C(t), de sal al instante t es:

𝐶(𝑡) =𝑥(𝑡)

100

puesto que el volumen del tanque es 100 litros.