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ÍNDEX

1. ÁLGEBRA Y ANÁLISIS VECTORIAL ...................................................................................... 1

2. ELECTROSTÁTICA ....................................................................................................................16

2.1. Cargas Puntuales ....................................................................................................... 16

2.2. Cálculo de Campos y Potenciales por Integración ................................................ 22

2.3. Aplicaciones del Teorema de Gauss ....................................................................... 33

2.4. Energía de una Distribución de Carga en el Vacío ................................................ 42

2.5. Conductores: Ecuaciones de Poisson y de Laplace ............................................... 45

2.6. Esferas Conductoras Concéntricas en Influencia .................................................. 45

2.7. Presión Electrostática ............................................................................................... 50

2.8. Capacidades de Conductores Aislados ................................................................... 51

2.9. Coeficientes de Capacidad y de Potencial ................................................................... 54

2.10. Condensadores ............................................................................................................ 54

3. ELECTROCINÉTICA ..................................................................................................................58

4. MAGNETOSTÁTICA ..................................................................................................................68

4.1. Fuerzas y Pares ............................................................................................................ 81

4.2. Teorema de Ampère .................................................................................................... 87

5. INDUCCIÓN MAGNÉTICA .......................................................................................................88

5.1. Potencial Vector ........................................................................................................... 98

5.2. Coeficientes de Autoinducción e Inducción Mutua ..................................................... 99

6. CORRIENTE ALTERNA ......................................................................................................... 104

6.1. Circuitos con y ................................................................................................. 104

6.2. Circuitos ............................................................................................................... 105

7. ECUACIONES DE MAXWELL ............................................................................................... 107

1 Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales Problemas de Física III

Javier Paneque Linares Página 1

1. Álgebra y Análisis Vectorial

EX 1. Sean dos vectores, un vector unitario cuyas componentes

cumplen: ⁄ ⁄ ; ⁄ ⁄ , y √ ( )

a) Determinar el vector producto vectorial de ambos, y el ángulo

que forman

El valor del producto vectorial es

√ |

| √ ( )

Por las condiciones del enunciado tenemos

√ (

)

√

( )

Para encontrar el ángulo calcularemos la norma del vector resultante e igualaremos

con el módulo del producto vectorial

‖ ‖‖ ‖ √

‖( )‖

√

√

√ √ √

Veamos que

√ √ (

)

(

)

√

Por lo tanto

√

√

√ √ √

√

√ √

b) Hallar también la ecuación cartesiana del plano determinado por los vectores

y y que pasa por el punto ( ), así como el vector unitario

perpendicular a dicho plano

El vector perpendicular al plano ya lo hemos encontrado anteriormente y por lo tanto

el plano será de la forma

Imponiendo la condición la constante queda



( )

Así pues el plano que buscamos es

I el vector perpendicular unitario es

√

( )

EX 2. Un campo escalar viene dado por la ecuación

a) Determinar el gradiente del campo en el punto ( )

Calculemos el gradiente

( )

Por lo tanto el gradiente en el punto P es

( ) ( )

b) La derivada direccional del campo en el mismo punto según la dirección que

va hacia el origen

El vector que va del punto P hacia el origen es

( )

Por lo tanto la derivada direccional es

( ) ( )( )

c) El máximo valor de la derivada direccional en ( )

El máximo valor viene dado por gradiente. Así pues será

‖ ( )‖ ‖( )‖ √

EX 3. Sea el campo de escalares que asocia a cada punto su distancia al origen de

coordenadas. Determina

a) Las superficies equiescalares

El campo de escalares que asocia a cada punto su distancia al origen de coordenadas

es

( ) √



Por lo tanto las superficies equiescalares serán

√

b) La superficies equiescalar que pasa por ( )

Utilizando la ecuación anterior

Así pues la superficie que buscamos es

c) El gradiente en ( )

( ) ( )

√ ( )

( )

√

EX 4. Sea la superficie . Determinar la ecuación del plano

tangente a dicha superficie en el punto ( )

Necesitamos saber el vector perpendicular a la superficie en ese punto. Así pues

calculemos el gradiente

( ) ( )

Calculamos su valor en el punto ( )

( ) ( )

Por lo tanto el plano será de la forma

Imponiendo la condición de que pase por el punto ( ) resulta

Así pues el plano que buscábamos es

EX 5. Hallar la divergencia y el rotacional del campo.

( )

En el punto ( )

Calculemos la divergencia



Sustituyendo el punto que se nos pide queda

( )

Calculamos el rotacional

||

|| (

)

Sustituyendo el punto que se nos pide queda

( ) ( )

EX 6. Calcular la circulación del campo:

(

)

A lo largo de los caminos

Que conducen de A a C y que están indicados en la figura. La curva AC es un arco de

parábola de la forma

a) ABC

Para encontrar la circulación del campo parametrizamos la curva ABC en dos partes,

una para AB y otra para BC. Para AB tenemos:

( ) ( ) [ ]

Y para BC resulta:

( ) ( ) [ ]



Así pues la integral queda

∫

∫ (

) ( )

∫ (

) ( )

∫

[ ( )]

b) ADC

La tarea es la misma que en el apartado anterior cambiando la parametrización.

Para AD tenemos:

( ) ( ) [ ]

Y para BC resulta:

( ) ( ) [ ]


∫

∫ (

) ( )

∫ (

) ( )

∫

[ ( )]

c) AC

Fijémonos que si la curva es de la forma el parámetro ha de ser 1 para que

se ajuste a la gráfica. Así pues la parametrización queda

( ) ( ) [ ]

Y la integral resulta

∫ (

) ( )

∫

( )

∫ (

)

[ ( )]

EX 7. Calcular la circulación del campo:

( )

Entre los puntos ( ) y ( ) siguiendo la curva



Calculemos la integral

∫

∫ ( )( )

∫ ( )

[

]

EX 8. Calcular el trabajo efectuado por una partícula que se mueve describiendo un

arco de hélice de ecuaciones paramétricas

{

Entre los puntos ( ) y ( ), si está sometida a una fuerza cuyo

módulo vale ( ) , es tangente en cada punto a la trayectoria, y su

sentido es de a .

Veamos el valor del módulo de la derivada

( ) ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖ √

Integremos el campo escalar

∫ ( )

∫ ( ( )) ‖ ( )‖

√ ∫ ( )

√ ∫ (

)

√ [

]

√

EX 9. Una partícula recorre un círculo de radio 5 y centro en el punto ( ). El

círculo está contenido en el plano . En el espacio hay el campo de fuerzas:

( )

Halla la circulación del campo a lo largo del círculo

Parametricemos la curva

( ) ( ) ( ) ( )

Por lo tanto la integral queda

∫ ( )

∫ ( )

∫ (

)



[

]

EX 10. Halla los valores de las constantes a, b y c para los que el campo vectorial

( )

Es conservativo

Un campo conservativo cumple que su rotacional es nulo. Así pues imponemos esa

condición

||

|| ( )

Por lo tanto los valores son

EX 11. Sea

( )

Demostrar que el campo es conservativo y hallar la función ( ) tal que

( )

Calculemos el rotacional

||

|| ( )

Es nulo y por lo tanto conservativo. Para encontrar la función de la cual es gradiente,

integremos respecto la primera componente

( ) ∫( ) ( )

Si derivamos respecto la función encontrada obtendremos la segunda componente

( )

( )

( )

Integrando respecto queda



∫ ( ) ∫ ( ) ( )

De manera análoga, derivando respecto obtenemos la tercera componente

( )

( )

( ) ( )

Finalmente podemos concluir

( )

Imponemos la condición inicial y encontramos el valor de la constante

( )

Por lo tanto la función que buscamos es

( )

EX 12. Halla el flujo del campo vectorial ( ), a través del cubo de lado

unidad y de aristas en los ejes:

a) Directamente a partir de la definición de flujo

Debemos parametrizar cada una de las caras teniendo en cuenta el vector normal que

siempre será exterior al cubo. Empecemos por la cara inferior

( ) ( ) { [ ]

[ ]

( )

∫ ∫

∫ ∫ ( )( )

[

]

[ ]

Sigamos por la cara situada en el plano

( ) ( ) { [ ]

[ ]

( )

∫ ∫

∫ ∫ ( )( )

El mismo resultado se obtiene para el resto de caras laterales puesto que el vector

normal no tiene componente . Calculemos finalmente el flujo que sale por la cara

superior

( ) ( ) { [ ]

[ ]

( )



∫ ∫

∫ ∫ ( )( )

[

]

[ ]

Por lo tanto el flujo total que pasa por la superficie del cubo será la suma que vale

∯ ( )

b) Aplicando el teorema de la divergencia

Teorema de Gauss o de la divergencia

Sean un volumen compacto con ( ( ) ( )) siendo una superficie cerrada y

( ) con ( ) entonces tenemos

∯ ( )

∭

Apliquemos el teorema anunciado. Para ello calculemos la divergencia de la función

La integral a calcular es

∭

∫ ∫ ∫

[

]

[ ] [ ]

EX 13. Halla el flujo del campo de vectores posición a través de la superficie de un

cilindro de radio y altura , cuyo eje coincide con el eje y se halla centrado en el

origen de coordenadas

a) Directamente por integración

El campo de vectores posición es

( ) ( )

Debemos parametrizar cada una de las caras teniendo en cuenta el vector normal que

siempre será exterior al cilindro. Empecemos por la cara inferior

( ) (

) { [ ]

[ ]

( )

∫ ∫

∫ ∫ (

) ( )



[ ]

[

]

Hagamos lo mismo para la cara superior

( ) (

) { [ ]

[ ]

( )

∫ ∫

∫ ∫ (

) ( )

[ ]

[

]

Finalmente para la cara lateral

( ) ( ) { [ ]

[

]

( )

∫ ∫

∫ ∫ ( )( )

∫ ∫

[ ] [ ]

Por lo tanto el flujo total es la suma de todas las caras y resulta

∯ ( )

b) Aplicando el teorema de la divergencia

Aplicamos el teorema de Gauss. Calculemos la divergencia del campo

( )

Así pues la integral queda en coordenadas polares resulta

∯ ( )

∫ ∫ ∫

EX 14. Sea

( )



Hallar el flujo de a través de la superficie cerrada definida por la porción del

cilindro de generatriz paralela al eje Z, centrado en el origen, radio y situado

en el primer octante entre y , y los propios planos coordenados y

Apliquemos el teorema de Gauss. Calculemos la divergencia del campo

( ) → ( )

Así pues integrando con coordenadas polares resulta:

∫ ∫ ∫

[

]

[ ]

[ ]

EX 15. Hallar el flujo del campo vectorial

( )

A través de la esfera de radio 2, centrada en el origen, aplicando el teorema de la

divergencia

Calculemos la divergencia del campo para después aplicar el teorema de Gauss

→ ( )

Así pues aplicando el teorema la integral queda

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ (

( ))

∫

EX 16. Hallar el valor de la divergencia del campo

( )

En el origen ( ) aplicando la definición de divergencia como límite. Aplicarlo a

un cubo de lado centrado en el origen y de aristas paralelas a los ejes

Por definición la divergencia es

∯



Calculamos primero el valor de la integral. Es necesario dividir en 6 partes, una para

cada cara del cubo. Como los cálculos son un tanto pesados daré el resultado de la

integral directamente

∯

Así pues la divergencia en el origen vale

∯

( )

EX 17. Hallar el flujo del rotacional del campo vectorial

( )

A través de la mitad superior de la esfera de radio unidad centrada en el origen

a) Por integración directa

Calculemos el rotacional del campo

||

|| ( )

Parametrizamos la superficie

( ) ( ) { [ ]

[

]

( )

Así pues el flujo es

∫ ∫ ( )( )

∫ ∫

[ ] [

]

b) Aplicando el teorema de Stokes

Apliquemos el teorema de Stokes



∯

∮

Por lo tanto debemos parametrizar la curva que resulta de proyectar la superficie

sobre el plano

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

Y la integral queda

∯

∮ ( )( )

∮

EX 18. Sea el campo

( )

Hallar el flujo del rotacional del campo a través de la superficie del paraboloide

limitado por el plano

a) Directamente

Calculemos el rotacional del campo

||

|| ( )

Parametrizamos la superficie

( ) (√ √ ) { [ ]

[ ]

(√ √ )

El campo a integrar resulta

( ( )) ( √ )

Así pues el flujo es

∫ ∫ ( √ )(√ √ )



∫ ∫ ( √ )

∫ ( )

a) Aplicando el teorema de Stokes

Apliquemos el teorema de Stokes

∯

∮

Por lo tanto debemos parametrizar la curva que resulta de proyectar la superficie

sobre el plano

( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

Y la integral queda

∯

|∮ ( )( )

|

∮ (

)

EX 19. Calcular la integral de volumen

∭

En la que el volumen se extiende a la mitad superior de una esfera de radio

centrada en el origen.

Con coordenadas esféricas la integral resulta

∭

∫ ∫ ∫

[

]

[ ] [

]

EX 20. Calcular la integral de volumen

∭

En la que la integral se extiende a la mitad superior de una esfera de radio

centrada en el origen




∭

∫ ∫ ∫

[

]

[ ] [ ]

EX 21. Calcular la carga eléctrica que contiene un volumen cilíndrico de radio y

altura , cuya densidad de carga está dada por la función que se expresa en

coordenadas cilíndricas:

Con coordenadas cilíndricas la integral resulta

∭ ( )

∫ ∫ ∫

[ ] [ ]

[ ]

EX 22. Calcular la carga eléctrica total que contiene un volumen esférico de radio ,

cuya densidad de carga está dada por la función que se expresa en coordenadas

esféricas

Donde es cierta constante


∭ ( )

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

[

]

[ ] [ ]

[

]

[ ] [ ]

( )



2. Electrostática

2.1. Cargas Puntuales

EX 23. Supongamos que la carga del electrón fuera un mayor que la del protón

( ). Calcular cuánto valdría, bajo esta suposición, la fuerza repulsiva entre dos

gotas esféricas de agua de masa cada una, separadas una distancia

Calculemos el nombre de electrones y protones que hay en una gota de agua

Como la carga del electrón es un más alta tenemos que la carga total es

( )

( )

EX 24. Se dispone de tres bolitas conductoras iguales que designamos por .

Las dos primeras se hallan fijas, distan y están cargadas negativamente,

siendo la carga ocho veces la de . Mediante pinzas aislantes cogemos la ,

inicialmente descargada, y la ponemos en contacto primero con la A, después con la

B, y la dejamos entre A y B. Determinar la distancia a la que queda la bola C de la A

en la situación final de equilibrio.

Veamos la situación

Designemos la carga de la carga de como , por lo tanto la carga de es

. Cuando unimos la bola con la tenemos que su carga se reparte

uniformemente, y resulta . A continuación uniendo y resulta

y . Por lo tanto la situación final de equilibrio ha de cumplir

{

( )

( )

√

𝐴 𝐵 𝐶

𝑚

𝑥



EX 25. Dos péndulos iguales, formados cada uno de ellos por un hilo aislante de una

longitud que termina en una esfera conductora de de masa,

están colgados de un mismo punto del techo. Las dos esferas están inicialmente

descargadas y en contacto. Otra esfera igual a las anteriores, cargada con una carga

desconocida, contacta con una de las dos primeras de manera que los péndulos

quedan formando un ángulo . Determinar la carga de la última esfera.

Por el teorema del coseno podemos averiguar cuál es la distancia

( )

Si la carga es , las dos esferas iniciales tendrán cada una carga de . Así pues el

equilibrio de fuerzas para los péndulos iniciales es

{

√

EX 26. Un péndulo está formado por una esfera metálica de de masa,

colgada de un hilo aislante de masa despreciable y de de longitud. La

esfera se carga con una carga y seguidamente se hace oscilar el

péndulo en el seno de un campo eléctrico vertical uniforme dirigido de arriba hacia

abajo. En estas condiciones se mide el periodo de oscilación del péndulo y se obtiene

. Posteriormente, se le hace oscilar de nuevo pero en el seno de un

campo de igual magnitud, pero sentido opuesto, obteniéndose ahora un periodo de

. ¿Cuánto valen el campo eléctrico aplicado y la aceleración de la

gravedad?

El periodo de un péndulo es

√

{

√

√

𝜃

𝑟

𝑙



El primer caso corresponde para el campo dirigido de arriba abajo y el segundo caso

para el campo de abajo a arriba y por lo tanto se cumplirá

{

{

EX 27. Según el modelo atómico de Bohr, el átomo de hidrógeno en su estado

fundamental está constituido por un protón y un electrón moviéndose en una órbita

circular cuyo radio tiene un valor conocido como “radio de Bohr”. A partir de los

valores de las masas y cargas de esas partículas, determinar

a) La velocidad con la que se mueve el electrón en su órbita

Tenemos que la masa del electrón es y su carga

. El radio atómico es de . La masa del protón es

Calculemos la fuerza de atracción que hay entre el protón y el electrón

( )

( )

Por lo tanto la velocidad con la que se mueve el electrón es de

√ √

b) El campo eléctrico a que está sometido

El campo eléctrico es el que crea el protón y es

( )

c) El cociente entre la fuerza electrostática y la gravitatoria a que están

sometidas ambas partículas

( )

EX 28. Dos cargas puntiformes iguales de valor están separadas una distancia .

Una carga , de masa , está girando alrededor del eje determinado por las dos

cargas, describiendo una circunferencia de radio situada en el plano medio del

segmento. Determinar la velocidad angular de dicha carga.



La carga que se mueve según un movimiento circular sufre una fuerza normal a causa

de la atracción por las otras dos cargas.

Calculemos la fuerza normal

√

( )

Por lo tanto la aceleración será

( )

La velocidad angular queda determinada por

( )

( )

EX 29. Cuatro cargas puntuales de se hallan sobre los vértices de un

cuadrado de de lado. Calcular la fuerza que experimenta una carga de

que se halla situada directamente sobre el punto medio del cuadrado a de

altura sobre el plano del mismo.

Calculemos el campo en ese punto.

Fijémonos que por simetría solo tendremos componente normal al plano que contiene

el cuadrado. Así pues será cuatro veces la que cree una sola carga

( √ )

√

Por lo tanto la fuerza que experimenta será

𝜃

𝑎

𝑅

𝜃

𝑚

𝑚



EX 30. Dos iones de carga están separados una distancia (grande frente a las

dimensiones de los iones). En la mediatriz del segmento que los une, y a una

distancia pequeña de su punto medio , colocamos un electrón de carga y

masa . Hallar su ecuación de movimiento ( ).

La fuerza neta a la que es sometido el electrón es de sentido contrario al

desplazamiento y aproximadamente hará un movimiento harmónico simple de la

forma

( ) ( )

Su velocidad angular será igual a la calculada anteriormente

( )

EX 31. Un electrón, de cociente carga-masa , entra en un campo eléctrico

uniforme , vertical y dirigido hacia abajo, con una velocidad inicial . Este campo

está creado por dos placas paralelas horizontales cargadas de longitud . Si a una

distancia del extremo de las placas se coloca una pantalla fluorescente, deducir el

ángulo de desviación de la trayectoria del electrón y la distancia vertical , medida

desde la dirección inicial del electrón hasta el punto en que el electrón choca con la

pantalla.

La aceleración vertical a la que es sometido el electrón es

Por lo tanto este describirá un movimiento parabólico de la forma



{ ( )

( )

( )

(

)

Además la velocidad vertical en aquel instante es

( )

( )

Por lo tanto, el ángulo de desviación será

En primer lugar calculemos el tiempo que tarda desde que sale de la acción del campo

hasta que choca contra la pantalla fluorescente

( )

Así entonces la distancia vertical a la cual chocará será

( )

( )

( )

EX 32. En cada uno de los vértices de un cuadrado de lado tenemos una carga

igual a . Si colocamos una carga puntiforme de valor y de masa en la línea

media del cuadrado, en un punto próximo a su centro y situado a una distancia ,

determinar el movimiento de dicha carga.

¿?

𝑎 𝑥



2.2. Cálculo de Campos y Potenciales por Integración

EX 33. Dos circunferencias de igual radio están cargadas uniformemente con cargas

y respectivamente. Si se disponen de tal forma que sus ejes coinciden y

quedan separadas una distancia , determinar la diferencia de potencial entre sus

centros.

El potencial creado en cada uno de los centro es la suma de los que dan cada una de

las circunferencias. Veamos el potencial en A

√

Hagamos lo mismo para el potencial en B

√

Así pues la diferencia de potenciales es

(

√ )

EX 34. Sea un hilo de longitud sobre el que hay distribuida uniformemente una

carga . ¿Qué fuerza ejerce este hilo sobre una carga puntual alineada con él y

situada a una distancia de su extremo más cercano?

Tenemos que la densidad de carga es

Por lo tanto tenemos

𝑑 𝑙

𝐴 𝐵

𝑅



∫

∫

(

)

( )

Sustituyendo por el equivalente de la densidad lineal tenemos

( )

EX 35. Sea un hilo recto de longitud provisto de una carga uniformemente

repartida con una densidad lineal . Hallar el campo creado por este hilo en un

punto distante del mismo y desde el que la recta perpendicular al hilo divida al

segmento bajo dos ángulos y dados. Aplicar el resultado al caso de que el hilo

sea infinito.

El campo tiene dos componentes, horizontal y vertical. Podemos expresarlo como

Así pues resulta

∫

∫

( )

Por la geometría del problema tenemos la relación

I la integral resulta

∫

( )

∫

( )

Calculemos la otra componente, análogamente tenemos

∫

∫

( )

Por lo tanto el campo creado es

𝑎

𝜆

𝛼 𝛼 𝜃



( )

En el caso de que el hilo sea infinito resulta que y tenemos

EX 36. Las figuras ( ) y ( ) muestran las configuraciones de dos hilos

uniformemente cargados con densidades lineales . Si los hilos son mucho más

largos que el radio de curvatura , determinar en ambos casos el valor del campo

eléctrico en los puntos .

Caso )

Usemos como variable el ángulo que forma la horizontal con la dirección del campo.

Tenemos que los ángulos son cuando i cuando . Fijémonos

también en que

Planteamos y resolvemos la integral para la componente horizontal en el hilo recto

paralelo al eje

∫

∫

Calculemos ahora la componente vertical

∫

∫

Hagamos lo mismo para el hilo vertical. Fijémonos también en que

𝜃

𝑦

𝑥

𝜃

𝜃

𝜃

𝜃

𝜃

𝑦

𝑥



Así pues las integrales quedan

∫

∫ ⁄

∫

∫

Finalmente calculemos el campo creado por el arco. Empecemos por la componente

horizontal

∫

∫

Haciendo el cambio


∫

∫

Análogamente para la componente vertical

∫

∫

Sumando todos los resultados tenemos

(

) ‖ ‖

√

Caso )

Por la simetría del problema podemos ver fácilmente que la componente vertical es

nula. Veamos la componente horizontal, fijémonos que para el hilo superior se cumple

Y la integral queda

∫

∫



Para el hilo inferior tenemos

∫

∫

Y para la media circunferencia

∫

∫

Así pues el campo es

EX 37. Sea un marco cuadrado rígido, de lado L, homogéneamente cargado con una

densidad lineal . En su mismo plano se encuentra un hilo infinito, también cargado

con la misma densidad lineal uniforme . Determinar la fuerza de repulsión F que se

ejercen entre ambos si la distancia de separación entre el hilo y el lado más próximo

del cuadrado es L

Calcularemos la fuerza de repulsión que hace el hilo al cuadrado dado que ya tenemos

calculado su campo anteriormente. Veamos que la fuerza que ejercen los lados

horizontales es igual ya que el hilo es infinito y no depende de la posición de origen.

Recordemos que el campo creado por un hilo infinito es

Así pues en primer lugar calculemos la fuerza que hace sobre el hilo vertical más

próximo al hilo.

∫

∫

𝐿 𝐿

𝐿 𝐹 𝐹

𝐹

𝐹



∫

( )

∫

∫

∫

Así pues la fuerza total en dirección perpendicular al hilo infinito tiene un módulo de

( )

EX 38. Calcula

a) El campo eléctrico que crea un aro de radio , uniformemente cargado con

una carga total , en un punto de su eje situado a una altura sobre el plano

del aro

Por la simetría del problema vemos que solo habrá componente del campo. Así pues

esta es

∫

( )∫

( )

Ya que

b) Aproveche el resultado anterior para calcular el campo que crea un disco de

radio , uniformemente cargado con densidad , en un punto sobre su eje a

una altura de su plano

Consideremos el campo calculado anteriormente como el campo creado por un

diferencial de radio perteneciente al disco. Fijémonos que

Así pues tenemos

𝜃

𝑧

𝑟

𝑎



∫

( )

∫

( )

(

√ )

c) Mediante la aproximación obtenga el valor del campo eléctrico que

crea un plano, uniformemente cargado con densidad , en puntos próximos a

su superficie y alejados del borde (aproximación del plano infinito)

Si consideramos entonces podemos decir que el término

√

Y por lo tanto el valor del campo será

EX 39. En el plano , hay una banda de longitud infinita, limitada por las rectas

y con una densidad superficial de carga uniforme . Hallar el camp

eléctrico en un punto cualquiera del plano . Comprobar que el resultado

anterior está de acuerdo con que si la banda fuera, además, infinitamente ancha (y,

por tanto, un plano) el valor del campo sería, entonces ⁄

La distancia al plano viene dada por . Consideremos el plano infinito formada

por hilos de longitud infinita cuyo campo ya sabemos y es

Donde

𝜃



Como la geometría del problema indica una clara simetría respecto el plano

entonces podemos asegurar que el campo solo tendrá componente vertical y es

. Tengamos en cuenta también la siguiente relación

Así pues resulta

∫

∫

EX 40. Un cilindro muy largo tiene su superficie lateral cargada uniformemente con

una densidad superficial de valor en la que representa el ángulo

azimutal de las coordenadas cilíndricas y una constante. Determinar el campo

eléctrico E en un punto cualquiera de su eje.

El campo solo tendrá componente en la dirección de

puesto que el cilindro es infinito y por lo tanto no

habrá componente vertical.

Consideraremos el cilindro formado por infinitos

hilos de longitud infinita. Sabemos que el campo de

estos es

Consideraremos el cilindro de radio y tenemos que

Y por lo tanto el campo en la dirección será

∫

∫

Para el campo en la dirección del eje será

∫

∫

∫ (

)

EX 41. Determinar la fuerza repulsiva F entre la circunferencia y el

semieje z positivo si ambos están cargados con una densidad lineal uniforme

Calcularemos en primer lugar el campo que ejerce la circunferencia a lo largo del

semieje positivo. Por simetría central el campo solo tendrá componente vertical y es

𝜑 𝑥

𝑧



∮

( ) ∮

( )

Apliquemos ahora este campo a lo largo del hilo

∫

( )

∫

( )

[

√ ]

EX 42. Un rectángulo de lados y está cargado uniformemente con una

densidad superficial . Determinar el campo eléctrico E en un punto del eje

perpendicular al rectángulo, que pasa por su centro, si el punto se halla a una altura z

del plano del rectángulo.

Apliquemos directamente integración doble sobre la superficie. Dado que

∬( )

( ) ⁄

∬ ( )

( ) ⁄

Parametrizamos el plano

( ) ( )


∬

( )

( ) ⁄

𝜃

𝑧

𝑟

𝑎

𝑏

𝑎

𝑧



No hace falta integrar las componentes puesto que por simetría podemos intuir

que serán nulas, así pues nos queda

∫ ∫

( ) ⁄

Para resolver la integral hacemos el siguiente cambio de variable

√ √

{

√

√


∫

∫

√

√

Para la integración tengamos en cuenta que

√

Así pues la integral resulta

∫

( )√

Para resolver la integral hacemos el siguiente cambio de variable

√ √

{

√

√


∫

( )

√

√

[

]

√

√

(

(

√ ))

Aplicando de nuevo la igualdad anterior resulta



(

√ )

EX 43. Un arco de circunferencia de radio está cargado con una densidad lineal de

carga uniforme de valor . Sabiendo que el ángulo de dicho arco es , determinar:

a) El campo eléctrico E en un punto P del eje del arco distante z de su plano

Por simetría el campo será nulo en la componente . Así pues solo tendemos que

calcular las otras dos, veámoslo

∫( )

( )

∫

( )

( )

Parametrizamos la curva

( ) ( ) ‖ ( )‖

Calculemos la componente que viene dada por

∫

( )

( )

∫

( )

Calculemos la componente que viene dada por



∫

( )

( )

∫

( )

b) El módulo E del campo y el potencial V en P para el caso de que el arco fuese

un semicírculo

Si fuese una semicircunferencia entonces . Así pues el módulo del campo

resulta

‖ ‖ ‖(

( )

( ) )‖

( ) √

El potencial es en un punto cualquiera es

Por lo tanto si lo integramos tenemos

( ) ∫

∫

∫

√

√

2.3. Aplicaciones del Teorema de Gauss

EX 44. Una carga puntual de valor se encuentra en el origen de coordenadas.

Calcular el valor del flujo del campo eléctrico creado por la carga a través del

cuadrado determinado por los puntos ( ) ( ) ( ) y ( )

Consideremos un cubo centrado en el origen y de lado . Como es una superficie

cerrada podemos comprobar fácilmente que el flujo resulta

Fijémonos en que, a diferencia del cuadrado del enunciado, este tiene 6 veces más

superficie y que el flujo que pasa por cada una de ellas es el mismo por simetría así

pues el flujo resultará

EX 45. Determinar el flujo F del campo eléctrico creado por dos cargas puntuales

y separadas una distancia 2L a través de un círculo de radio cuya circunferencia

es equidistante de ambas cargas. Si el radio crece indefinidamente, ¿sabrías

relacionar el resultado con el teorema de Gauss?



Por simetría consideremos el doble del campo creado por una sola carga. Así pues el

flujo resulta

∬

∬

( ) ⁄( )

Y Parametrizando la superficie tenemos

( ) ( )

( )


∬( )

( ) ⁄

( )

∫ ∫

( ) ⁄

∫

( ) ⁄

[

( ) ]

(

√( ) )

Cuando tenemos

Este resultado se puede identificar con el teorema de Gauss puesto que podemos

considerar que es la carga interior al espacio que queda limitado por la superficie

infinita.

EX 46. Una esfera de radio tiene una carga total distribuida con simetría esférica

de forma que si densidad cúbica vale

( )

Siendo la distancia al centro de la esfera y una constante. Determinar

a) El valor de

Tenemos que

∭ ( )

𝑞 𝑞

𝜑 𝑧

𝑦

𝐿



Así pues despejemos la constante resolviendo la integral

∫ ∫ ∫

b) El campo eléctrico en el exterior de la esfera

Consideremos una superficie esférica que contenga la esfera. Calculemos el campo

mediante el teorema de Gauss

{

∯

∭ ( )

c) El campo en su interior

De forma análoga a la anterior tenemos

{

∯

∭ ( )

∫ ∫ ∫

d) El potencial en el centro de la misma

Consideramos el origen de potenciales en el infinito

( ) ∫

∫

Sustituyendo el valor de la constante resulta

( )

( )

EX 47. Una esfera de radio está cargada uniformemente con una densidad cúbica

de carga

a) Hallar el campo electrostático y el potencial en los puntos exteriores e

interiores de la esfera

Utilicemos el teorema de Gauss para calcular el campo. En el interior tenemos

{

∯

∭



El potencial es, tomando como origen de potenciales en el infinito

( ) ∫

∫

( )

Y en el exterior resulta

{

∯

∭

El potencial es, tomando como origen de potenciales el infinito

( ) ∫

b) Representar gráficamente de forma cualitativa V y E en función de , la

distancia al centro de la esfera

EX 48. Dentro de una esfera de radio cargada uniformemente con una densidad

hay una cavidad esférica de radio . Los centros de ambas esferas y están

separados por una distancia . Hallar el campo eléctrico en un punto cualquiera del

interior de la cavidad.

Aplicaremos el principio de superposición para las dos esferas. Por el teorema de

Gauss tenemos

𝜌𝑎

𝜀

𝑎 𝑟

𝜌𝑎

𝜀

𝑏 𝑑



{

∯

∭

EX 49. Determinar el campo eléctrico que crea una distribución uniforme de carga ,

con simetría cilíndrica, de radio y altura infinita. Determinar el potencial en

cualquier punto del espacio tomando el origen del mismo en la superficie

Apliquemos el teorema de Gauss. En el interior tenemos

{

∯

∭

Y para el exterior del cilindro

{

∯

∭

Así pues los potenciales resultan

∫

∫

( ( ) )

∫

EX 50. Determinar el campo eléctrico en un punto que se encuentra a una distancia

del centro de una distribución esférica de carga ilimitada cuya densidad volúmica

es:

( )

En la que y son constantes



Apliquemos el teorema de Gauss. Así pues en el interior de la esfera tenemos

{

∯

∭ ( )

∫

EX 51. Sea el campo ( ) ( ) en el que es una constante.

Determinar

a) El potencial ( ) si se toma como origen de potenciales el punto ( )

Calculemos la función de la cual es gradiente el campo

( ) ( ) ∫

( )

( ) ( )

Por lo tanto la función que buscábamos es

( )

( )

Así pues el potencial será

( ) ∫ ( )

( )

( ) ( )

( )

b) El trabajo realizado al desplazar una carga del punto ( ) al ( )

El trabajo viene dado por

∫ ( )

( )

( ( ) ( ))

(

)

c) La densidad cúbica de carga en un punto cualquiera del espacio

La densidad de carga viene dada por

( )

EX 52. Un campo E es originado por una distribución volúmica de carga que en

coordenadas esféricas se expresa

( )



En la que es una constante. Hallar el potencial ( ) en un punto cualquiera del

espacio si se toma la superficie como origen del potencial

Dado que

( )

( )

( )

Como el problema es centro simétrico podemos asegurar que el campo no puede

depender de los ángulos . Por lo tanto tenemos

( )

( )

∫ ( )

∫

Obtengamos el potencial integrando el campo

( ) ∫

EX 53. Considérese una lámina plana infinita con un cierto grosor , cargada

homogéneamente con una densidad cúbica . Determinar el potencial V que crea en

un punto exterior situado a una distancia del plano medio de la lámina, que se

tomará como origen del potencial.

Apliquemos el teorema de Gauss, para ello consideremos un cilindro. El flujo será nulo

en las paredes laterales puesto que sus vectores normales son perpendiculares a las

líneas de campo. Además por la simetría solo tendremos componente del campo.

Denotaremos como la sección de la base del cilindro.

Campo exterior

{

∯

∭

Campo interior

𝑎 𝑧

𝑧



{

∯

∭

( )

Así pues el potencial resulta

∫

∫

( )

EX 54. En el interior de una esfera hueca de radios y hay cierta distribución

volúmica de carga ( ) que crea un campo eléctrico radial por

( )

Si la carga total de la distribución es , determinar

a) La densidad de carga ( ) y la constante

Utilicemos el teorema de Gauss para encontrar la carga total de la esfera

Para tenemos

{

∯

( )

∭ ( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

Derivamos y aplicamos el teorema fundamental del cálculo y obtenemos

( )

( ) ( ) (

)

Para tenemos

{

∯

∭ ( )

∫ ( )

( )

( )

( )



b) El potencial al que se encuentra la superficie interior de la esfera

Tomando el origen de potenciales en el infinito tenemos

∫

∫ ( )

( )

EX 55. El potencial en un punto situado a la distancia del centro de una distribución

esférica de carga ilimitada viene dado por

( )

⁄

En que es una constante. Determinar la densidad cúbica de carga ( ) de la

distribución y demostrar que este potencial ( ) es debido a la superposición de la

densidad de carga ( ) más una carga puntual en el centro de la distribución

Tenemos que la densidad de carga cúbica es

Puesto que es una distribución esférica, el potencial solo dependerá del radio y por lo

tanto podemos hacer los cálculos con mayor facilidad

( ⁄

)

( )

⁄

( ) ⁄

( )

(( ) ⁄ )

⁄

Para comprobar que es lo que sucede en el origen, calculemos el valor de la carga

mediante el teorema de Gauss y haremos tender el radio a 0

∭ ( )

∯

( ) ⁄

EX 56. Una esfera de radio está cargada con una densidad cúbica de carga de la

forma

( ) (

)

En la que es una constante y la distancia del punto al centro de la esfera.

Aplicando las ecuaciones de Poisson y de Laplace determinar el campo eléctrico en

puntos interiores y exteriores de la esfera, así como el potencial en el centro de la

misma.



Puesto que el problema es centrosimétrico, el campo solo dependerá del radio. Así

pues aplicando las ecuaciones de Poisson y Laplace tenemos

Interior esfera

( )

( )

∫ (

)

(

)

( )

Exterior esfera

( )

( )

(∫ (

)

∫

)

[

]

[

]

El potencial en el centro de la esfera es, tomando el origen de potenciales en el infinito

( ) ∫

∫

( )

( )

2.4. Energía de una Distribución de Carga en el Vacío

EX 57. Fijados en los vértices de un cubo de lado se encuentran ocho electrones y

en su centro un ion positivo con protones. La carga de los electrones es y su

masa .

a) Hallar la energía de la configuración en función de

Hallamos el campo que crea el ion positivo para cada uno de los electrones

Para el cálculo de la energía, separaremos el problema en dos partes, primero

encontraremos el trabajo que requiere la carga central y a continuación la que

requiere cada uno de los electrones por la presencia del resto

∑

∑

√

√



∑∑

(

√

√ )

( √ √ )

Así pues el trabajo total es

[ √ √ √ ]

b) Determinar el valor de mínimo, , por encima del cual la energía total del

sistema es negativa

Imponemos la condición

[ √ √ √ ]

√

√

c) Y para , determinar las velocidades finales de los ocho electrones si en un

instante determinado se dejan libres simultáneamente

La energía total del sistema pasará a ser cinética así pues

( ) √

[ √ √ ]

EX 58. Sea una distribución uniforme, con forma esférica de radio y carga total .

Determinar la energía electrostática que posee por las tres vías siguientes

Podemos calcular el campo y el potencial por el teorema de Gauss veámoslo para

radios interiores y exteriores

Exterior

{

∯

∭

∫

Interior

{

∯

∭



∫

( )

( )

a) Como la energía de una distribución de carga

La energía de una distribución de carga viene dada por

∭

Así pues queda

∭

( )

∫ ( )

[

]

Como el término

Entonces tenemos

b) Como la energía que posee el campo eléctrico creado

La energía del campo creado es

∭

∫ (

)

∫ (

)

∫

∫

Así pues como hemos hecho anteriormente

c) Como el trabajo que ha sido necesario efectuar para formar esa distribución

El trabajo para traer del infinito cada una de las cargas es

∫



2.5. Conductores: Ecuaciones de Poisson y de Laplace

EX 59. Dos placas planas conductoras muy extensas y paralelas están separadas una

distancia ; una está conectada a tierra ( ) y la otra al potencial .

Tomamos el eje perpendicular al plano de las placas, con su origen en el centro

de la que se halla conectada a tierra. Si el espacio que hay entre las placas está

cargado con densidad cúbica de valor

( )

Determinar

a) El potencial ( ) en el espacio que hay entre las placas

Mediante las ecuaciones de Poisson y Laplace podemos determinar el campo y el

potencial. Puesto que son dos placas paralelas muy extensas, podemos considerar el

campo solo en la dirección . Así pues queda

( )

∫ ( )

∫

Ahora podemos calcular el potencial mediante la integración del campo

( ) ( )

(∫ )

Imponemos las condiciones iniciales para determinar los parámetros y

{

( )

( )

Por lo tanto resulta

( )

(

)

b) La densidad superficial de carga de las placas

Tenemos que

( )

2.6. Esferas Conductoras Concéntricas en Influencia

EX 60. A una esfera conductora de radio se le da una carga y se aísla



a) Determinar a qué potencial se encuentra.

El campo y potencial de una esfera cargada es, aplicando Gauss

{

∯

∭

∫

Así pues el potencial es

A continuación se la rodea sin tocarla por una capa esférica descargada de radio

interior y exterior .

b) Determinar a qué potenciales y pasarán a estar la esfera y la capa exterior

respectivamente

Dado que la carga interior del conductor debes ser nula, solo hay una única posibilidad

de distribución de cargas. La esfera interior tendrá una carga distribuida en la

superficie , la capa interior de la capa esférica deberá compensar esta carga así pues

estará cargada por una carga y para que el conductor sea neutro, la carga saldrá

de nuevo por la capa exterior.

El campo queda

𝑎

𝑎 𝑏

𝑐

𝑄

𝑄

𝑄



( )

{

Calculemos el potencial de la capa exterior

∫

El potencial en la esfera es

∫

∫

(

)

EX 61. Sean tres esferas huecas, concéntricas, aisladas y cargadas como sigue. La

interna tiene una carga . La intermedia se sabe que está al potencial pero se

desconoce su carga . Y la externa tiene una carga . Los radios interiores de las

capas esféricas son y los radios exteriores, y . Con estos datos

determinar .

Hagamos un esquema de los datos que tenemos

{

{

{

Veamos los campos en cada intervalo

{

{

Por lo tanto el potencial queda

𝑎𝐴 𝑏𝐵

𝑑𝐷



{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Así pues tenemos

( )

(

)

EX 62. Tres esferas conductoras huecas de radios y , de espesor despreciable,

dispuestas concéntricamente ( ) están descargadas. Determinar el

potencial y la carga de cada una de ellas si

a) La más externa se conecta a una tensión

Puesto que hay un potencial en , debe aparecer una carga en la superficie más

exterior dado que habrá un exceso de cargas positivas (las negativas se van por la

conexión)

Hagamos un esquema de los datos que tenemos

{

{

{

Veamos los campos en cada intervalo

{

{


{

Ya hemos averiguado los potenciales en a y b. Dado que los campos son nulos porque

no hay carga interior, los potenciales se deben mantener constantes entre el interior

hasta c. Así pues por integración del campo y considerando el origen de potenciales en

el infinito, obtenemos que la carga es



∫

b) A continuación se conecta la esfera interior a la misma tensión

En el apartado anterior ya hemos visto que el potencial de la esfera interior era y

por lo tanto si la conectamos a este mismo potencial, la situación no cambiará.

c) Finalmente se conecta la esfera intermedia a tierra

Si conectamos la esfera intermedia a tierra, significa que imponemos que su potencial

sea nulo. Así pues habrá un potencial no constante entre capas y por lo tanto debe

existir un campo. Dentro de la primera esfera no habrá carga en la superficie interior

pero si en la exterior y por lo tanto, para mantener el equilibrio de los conductores, es

necesario que exista una carga de signo contrario en la capa interior de la segunda

esfera. Así sucesivamente obtenemos los siguientes valores de campo

{

{


{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Podemos encontrar las cargas despejando las ecuaciones

{

(

)



{

(

)

(

)

2.7. Presión Electrostática

EX 63. Si el material con que se fabricase un globo esférico ligero fuese conductor,

una manera posible de hincharlo podría ser conectándolo a una fuente de alta

tensión. Supongamos que tenemos uno de tales globos de de radio

a) Determinar a qué potencial , debemos conectarlo si queremos que esté

hinchado lo máximo posible pero que el campo eléctrico creado no sobrepase el

valor del campo de ruptura en el aire, , que es de unos

Tenemos que el campo creado por una esfera cargada en el exterior es

Imponemos las condiciones del enunciado y tenemos

Además el potencial en el exterior de la esfera es

b) ¿Qué sobrepresión en su interior (dada en atmósferas) produciría el mismo

efecto?

La presión electrostática viene dada por

(

)

EX 64. Determinar la fuerza de origen electrostático a que está sometido uno de los

hemisferios de una esfera conductora de radio por estar conectada a un potencial

El potencial en la superficie de la esfera es



Por lo tanto el campo en aquel mismo punto vale

Y la presión electrostática viene dada por

Integremos la presión electrostática en toda la superficie para obtener la fuerza en

cada una de las componentes. Tengamos en cuenta que esta es la presión normal a la

superficie, además, por simetría, las componentes será nulas y queda

∬

( )

√

∬

√

Haciendo un cambio a coordenadas polares resulta

∬

( ) (

)

O equivalentemente

2.8. Capacidades de Conductores Aislados

EX 65. Una esfera metálica de radio se carga al potencial y se aísla. A una gran

distancia de esa esfera se encuentra otra, también metálica, de radio inicialmente

descargada. Con un hilo conductor muy delgado se tocan ambas esferas y a

continuación se descarga la segunda. Si este proceso se va repitiendo

indefinidamente (tocar y descargar), determinar el potencial a que habrá

quedado la primera esfera después de la n-ésima operación, suponiendo

despreciable la carga que pueda adquirir el hilo después de cada uno de los

contactos.

Tenemos que la capacidad de las esferas es

Si sumamos ambas capacidades en serie obtenemos



(

)

Si repetimos el proceso veces tenemos

(

)

( )

EX 66. Haciendo las aproximaciones que considere oportunas, determinar la

capacidad de los siguientes conductores aislados

a) Una esfera de radio

Tenemos que le potencial de una esfera de radio es

b) Un disco circular de radio y espesor despreciable

Integrando sobre el disco tenemos

∬

( )

∫ ∫

Siendo entonces podemos expresar el potencial como

Y por lo tanto la capacidad queda

c) Un alambre cilíndrico recto, de longitud y radio , con

Integraremos el potencial que crea este alambre a partir del campo creado por él



( )

El potencial es

∫

EX 67. Dos esferas conductoras de igual radio son tangentes entre sí. Si se les

conecta a una fuente de tensión sabemos que llegan al equilibrio electrostático

adquiriendo una densidad superficial que se distribuye según la ley

( )

Siendo una constante y el ángulo que forma el vector de posición, fijando su

origen el punto de tangencia de ambas esferas, con la recta que une sus dos

centros (ver la figura). Determinar

a) La capacidad del conjunto

Obtengamos el campo que crea el conjunto

∫( )

( ) {

b) La fuerza repulsiva entre las dos esferas

EX 68. Determinar la capacidad de un disco metálico delgado, de radio , sabiendo

que si se conecta a un potencial dado adquiere una carga que se distribuye sobre la

superficie del disco en la forma

( )

√

Siendo una constante y la distancia al eje del disco



2.9. Coeficientes de Capacidad y de Potencial

EX 69. Calcular los coeficientes de capacidad e influencia de un sistema de

conductores formado por dos esferas

a) De radios y , separades una distancia mucho mayor que o que

b) Concéntricas, de radios y ( )

c) Calcular además los coeficientes de potencial para las dos esferas del

apartado )

EX 70. Determinar los 9 coeficientes de capacidad e influencia de tres esferas

conductoras iguales, de radio , situadas en los vértices de un triángulo equilátero

de lado , suponiendo que es mucho mayor que . ¿Cuánto valdrán sus

coeficientes de potencial ?

EX 71. Determinar los coeficientes de capacidad , de un sistema de conductores

formado por tres placas planas iguales y paralelas, de área , y separadas por las

distancias y . Supóngase que estas distancias son muy pequeñas frente a las

dimensiones de las placas.

EX 72. Sean tres conductores cuya proximidad hace que se influencian entre sí. Sus

potenciales son y . La matriz de los coeficientes de capacidad es

(

)

Determine el potencial V que adquieren los tres conductores si se unen mediante un

hilo capacidad despreciable.

2.10. Condensadores

EX 73. Se tiene el circuito de la figura formado por dos condensadores en paralelo de

capacidades y , cargados bajo tensiones y , y un tercero, en serie, a .

Hallar la capacidad del tercero



EX 74. Se conectan en paralelo dos condensadores. Uno , de , está cargado a

, el otro, , está descargado. El resultado da una tensión entre y de

. Hallar la capacidad del segundo condensador.

EX 75. Dos láminas rectangulares iguales de lados y conductoras y dispuestas

como se indica en la figura constituyen un condensador diédrico. Si el ángulo que

forman es pequeño, determinar:

a) Su capacidad



Podemos considerar el condensador como capacitores infinitesimalmente pequeños,

de manera que todos sean paralelos. Así pues solo hay que sumarlos como si

estuvieran en paralelo.

Así pues los sumamos

∫

∫

∫

Aproximamos según una serie de McLaurin

∫

(

)

(

) (

)

b) Como se distribuye la carga sobre cada lámina si se aplica al condensador una

diferencia de potencial

A pesar de que el campo no mantiene una trayectoria perpendicular a la placa inferior,

lo supondremos así puesto que el ángulo es pequeño. Así pues tenemos

( ) ( )

(

)

EX 76. A dos láminas metálicas iguales, que se encuentran fijas enfrentadas

paralelamente y separadas por la distancia , se conectan a los potenciales y .

Entre estas dos láminas hay otra igual paralela a las anteriores, de masa despreciable

y que puede desplazarse libremente entre las otras dos sin perder su paralelismo. Si

esta última lámina se conecta al potencial , se moverá a derecha o izquierda hasta

encontrar su posición final de equilibrio. Determinar para la posición de equilibrio

a) La distancia (referida a la placa que está a ) a la que ha quedado dicha

lámina

b) El tipo de equilibrio en se halla

c) Las fuerzas a las que está sometida la lámina

𝜃

𝑥 𝜃



EX 77. Tres esferas conductoras huecas de grosor despreciable concéntricos tienen

los radios y , con . Si unimos la tercera con la primera, determinar la

capacidad del sistema

EX 78. En un condensador plano cuyas armaduras están separadas una distancia se

inerta, paralelamente a las mismas una lámina conductora de grosor ( ) de

área suficientemente grande para cubrirlas. Determinar en que proporción aumenta

la capacidad del condensador

EX 79. Tres condensadores de capacidades y están conectados a los

potenciales y , respectivamente. Se desconectan y se asocian los tres en

serie uniendo las armaduras de signo distinto. Calcular:

a) Las cargas finales que han adquirido los tres condensadores después de la unión

Al cerrar el circuito imponemos que la diferencia de potencial sea nula y por lo tanto

habrá una redistribución de la carga. Aparecerán cargas que irán de la primera

posición hasta la tercera de tal manera que el potencial sea 0.

Tenemos nuevas cargas equivalentes a

Y se debe cumplir que

b) La disminución de energía electrostática del sistema

La variación de la energía potencial es

En general tenemos que la energía en un condensador es

𝑄 𝑞 𝑄 𝑞

𝑄 𝑞 𝑄 𝑞

𝑄 𝑞 𝑄 𝑞

𝑞



Así pues resulta

((

)

(

)

(

)

)

( )

( )

c) ¿En qué se ha invertido la energía que se ha perdido?

La energía perdida se disipa por efecto Joule en forma de calor.

3. Electrocinética

EX 80. Un conductor cilíndrico hueco, de longitud , tiene radios y . Se aplica

una diferencia de potencial entre sus extremos de tal modo que una corriente fluye

paralelamente a su eje. Demostrar que si es la conductividad del material, la

resistencia del conductor es

(

)

Según la ley de Ohm tenemos que

Dado que el campo es uniforme, podemos escribir

(

)

Demostrar que si la diferencia de potencial se aplica entre la superficie interior y la

exterior de modo que la corriente fluye en dirección radial hacia afuera, entonces la

resistencia es

𝐿

𝑅 𝑅



Podemos considerar el cilindro como una suma de capas que actúan como si fueran

resistencias infinitesimalmente pequeñas. Así pues podemos escribir la resistencia

como

∫

EX 81. Se recorta un sector de ángulo de un disco de espesor . Si la conductividad

del material es , hallar la resistencia de la corona ,

a) Si los electrodos son y

Podemos considerar la corona como un seguido de aros dispuestos el uno detrás el

otro. Para integrar la ecuación consideraremos la conductividad ( ) en lugar de la

resistencia y tenemos

∫

Por lo tanto la resistencia resulta

b) Si los electrodos son y

Consideremos el disco formado por capas, cada una de las cuales son un diferencial de

la resistencia

∫



EX 82. En el circuito de la figura el amperímetro tiene una resistencia . Si la

resistencai vale entonces A marca y si es , A marca

. ¿Qué valen las resistencias interna y la fem de la batería?

Para la primera situación tenemos

( )

Y en la segunda

( )

A partir de las dos ecuaciones, si las restamos obtenemos

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Por lo tanto la fem de la batería vale

( ) ( )

EX 83. Se monta un circuito como el de la figura con los valores de los condensadores

y la fem conocidos. Inicialmente al conectar el generador hay un transitorio, pero

inmediatamente se alcanza el estacionario. Se pide

a) Corriente que circula por el generador

Si los condensadores están ya cargados, no es posible que pase ninguna corriente por

ellos. Así pues

b) Carga de cada condensador



La carga de un condensador viene dada por

La capacidad equivalente es

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto, la carga de cada condensador será

c) Energía total almacenada en los condensadores

d) ¿Qué ocurre si se abre la rama BD?

e) Cómo se distribuye la carga si se desconecta el generador?

f) ¿Qué ocurre si se cortocircuita el generador?

EX 84. Se tiene la red de la figura con , , , ,

, , y . Se supone que está en estado estacionario.

Se pide

a) La relación entre las intensidades para que la armadrua conectada entre y

sea positiva

Una vez que el condensador está cargado, ya no pasará corriente por este. Así pues no

hemos de considerar la rama para el cálculo de las resistencias.

El potencial que pasa por y será el que haya en el punto menos la caída de

potencial que sufre en las resistencias y respectivamente. Así pues tenemos

Para que la placa de la izquierda sea positiva respecto la derecha. Sustituimos por

𝛼

𝛽



Por otra banda tenemos que

Por lo tanto sustituyendo en la ecuación anterior queda

( ) ( )

b) Las intensidades que circulan por cada rama

Calculemos la resistencia equivalente total

Por lo tanto la intensidad total será

Calculamos el potencial en el punto

Así pues la intensidad que circula por cada rama es

c) La carga del condensador

La carga de un condensador viene dada por

Calculemos pues el potencial entre los puntos y

Por lo tanto la carga del condensador será

( )

EX 85. Hallar el potencial , respecto de tierra, de A si se intercala entre y el suelo

una segunda pila como se indica



Tenemos que la caída de potencial de la primera pila hasta la segunda queda

Así pues el potencial en queda

( )

EX 86. Si el amperímetro A del circuito de la figura marca . ¿Cuánto marca el

voltímetro ? Hallar la resistencia del voltímetro

Sabiendo la intensidad de esa rama podemos conocer el voltaje de la malla

( )

Considerando un voltímetro ideal tenemos que su resistencia es infinita, como en la

realidad no sucede esto debemos calcular la resistencia. Dado que por la malla pasan

, la caída de tensión en las otras dos resistencias debe sumar , así pues la

intensidad en la bifurcación queda

Esta intensidad se bifurca por las dos ramas dejando por una de ellas y lo que reste

por la otra, es decir

Por lo tanto la resistencia del voltímetro resulta

EX 87. En el circuito (1)



a) Hallar la ddp entre los bornes de en función de y

La caída de potencial es

Ahora encontremos como expresar la intensidad en función de los datos del

enunciado. Tenemos que la resistencia equivalente es

Por lo tanto la intensidad resulta, por la ley de Ohm

Por lo tanto la caída de potencial queda

b) Para medir , se coloca en derivación con un voltímetro (ver circuito (2)) de

resistencia interna Calcular el valor del potencial que indica el voltímetro en

función de y

La resistencia que antes llamábamos ahora la llamaremos y pasa a ser

( )

Sustituyendo esto en la ecuación anterior resulta

( )

( )

( )

c) Hallar . ¿Qué condición ha de satisfacer si e error relativo cometido al

medir debe ser inferior a ?

El cociente resulta

( )

( )



Para que el error relativo sea menor se debe cumplir

( )

EX 88. Se tiene un amperímetro cuya resistencia interna se desconoce. Para

determinarla se hacen dos montajes: primero se coloca el amperímetro A en serie

con una pila de fem y resitencia interna y con una resistencia , ambas

conocidas. De esta manera pasa una cierta intensidad por A. A continuación sumo

una resistencia en paralelo con A y ajusto hasta que la intensidad por A es justo la

mitad que antes. Hallar la verdadera resistencia del amperímetro A, Hallar el error

absoluto y relativo cometidos en la medida respecto a si se toma éste como valor

admitido de A. ¿Cuál debe ser el valor de si se desea que el error relativo sea

inferior a ?

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff en el primer circuito se obtiene

En el segundo circuito, tenemos que la resistencia equivalente es

( )

Por otra banda aplicando de nuevo la segunda ley

[ ( ) ]

Donde es la intensidad total del circuito y por la ley de los nudos resulta

Dado que el enunciado nos dice que la intensidad que pasa por A es la mitad que en el

otro circuito. Además teniendo en cuenta la malla que contiene las resistencias y

obtenemos



Combinando las tres últimas ecuaciones tenemos

[ ( ) ]

(

) [

] (

)

Sustituyendo ahora la intensidad de la primera ecuación obtenemos

[

] (

) ( ) ( )

( )

Si tomamos como resistencia de A el error absoluto será la diferencia y queda

Y el error relativo resulta

( )

EX 89. Se monta en seria con una pila de fem un galvanómetro y dos resistencias

y . Entre A y B se coloca un shunt y se observa en el galvanómetro cierta

desviación. Si coloco el shunt entre A y C la desviación es la misma. Hallar la

resistencia interna de la pila. Los valores de la resistencia y son datos.

EX 90. Hallar el valor que puede tener la resistencia entre de manera que para

alguna posición del cursor , se tenga que ( )

𝜀 𝜀



Dado que nuestro objetivo es que no pase intensidad en la rama , la intensidad que

pase por el circuito será

El potencial en los puntos M y N debe ser el mismo para que no pase intensidad entre

estos puntos. Así pues calculemos estos potenciales des de un mismo punto de

referencia, la pila . Así pues tenemos

Igualando ambas expresiones tenemos

Sustituyendo los datos y dado que resulta

EX 91. Entre dos electrodos planos y paralelos se coloca una placa dieléctrica de

espesor y permitividad . Su conductividad varía linealmente desde en la placa

positiva hasta ( ) en la negativa. Si se forma una carga espacial ( )

independiente del tiempo. Hallar ( ) en el supuesto que la densidad de corriente

que se origina es óhmica

Por la ecuación de Poisson tenemos

( )

Dado que

( )

( ) ( )

Como el campo vectorial solo depende de tan solo debemos derivar respecto esta

variable para encontrar la densidad de carga espacial



( )

(

( ))

( )

4. Magnetostática

EX 92. Hallar el campo magnético creado por una corriente de intensidad que

recorre un segmento rectilíneo en un punto situado entre sus extremos a una

distancia del hilo. A partir del resultado anterior, determina el campo magnético

que crea una corriente rectilínea muy larga.

Tenemos que un diferencial de campo vale

Si nos fijamos en la geometría del problema entonces tenemos


∫

∫

( )

Así pues el campo resulta

( )

En caso de que el hilo sea infinito tenemos

𝑎

𝜃

𝜃

𝑃 𝜃

𝜃

𝑢𝑟

𝑑𝐸

𝑦

𝑂 𝑟



( )

EX 93. Campo de una espira circular

a) Determinar el campo magnético creado por una corriente de intensidad que

recorre la espira circular de radio , en un punto P del eje perpendicular a su

plano y que pasa por su centro

Tenemos que un diferencial de campo vale

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Parametrizando la curva queda

( ) ( ) ( ) ( ) ‖ ( )‖


∫( )

( )

Integremos cada una de las componentes por separado

( )

∫

( )

∫

( ) ∫

( )

𝑃

𝑎

𝑥

𝑦

𝐼 𝑙

�� 𝑟

��

𝑧



Así pues el campo total resulta

( )

b) Determine el valor de dicho campo en el centro de la espira

Para resulta

EX 94. Un hilo infinito se ha doblado formando un ángulo de en un punto 0.

Hallar el campo magnético en el punto P de la bisectriz del ángulo, situado a una

distancia del vértice, si la corriente es de

El campo creado por una corriente es

∫

∫ ( ) ( )

( )

Fijémonos que el campo creado en el punto será, por simetría, dos veces el campo

creado por solo uno de los hilos de corriente. Si parametrizamos una de las rectas

tomando el punto como origen tenemos

( ) (

) (

√

) ( ) (

√

) [ )

Sustituyendo en la integral obtenemos

∫

( √ ) (

√ )

(( )

)



√

∫

(

)

∫

(

)

∫

(( )

)

√ ∫

((

√ √ )

)

Hacemos el siguiente cambio de variable

√ √

√


√ ∫

√

( )

∫

[ ]

( √ )

El campo será por tanto el doble del campo dado

( √ )

Y sustituyendo los datos tenemos

√

Forma alternativa más sencilla

El campo creado por un hilo finito es

( )

Así pues solo debemos encontrar la distancia perpendicular al cable de este al punto



Sustituyendo esta distancia, y teniendo en cuenta que los ángulos son

Entonces resulta

( )

(

)

Este es el campo creado por un hilo, por simetría el campo total será el doble y resulta

( )

√

EX 95. Hallar el campo magnético en el centro de una espira formada por un polígono

regular de lados, siendo la distancia entre los lados paralelos, si por la misma

circula una corriente de intensidad . Ver que si tiende a infinito, el campo

resultante es el obtenido en el problema, correspondiente a una espira circular.

𝑎

𝐼

𝜃

𝜃



Podemos considerar que cada lado del polígono es un hilo finito por el cual pasa una

corriente . Debemos pues encontrar el ángulo dibujado en la figura en función del

número de lados . Dado que un polígono de lados se puede dividir en

triángulos, el ángulo en cuestión será

( )

Como nuestro polígono es de lados resulta

( )

El campo creado por un hilo finito lo hemos encontrado anteriormente y es

( )

Que en nuestro caso se convierte en

(

)

Este sería el campo creado por un solo lado, multiplicamos el resultado por los

lados y tenemos

En el caso de que tenemos que

Por lo tanto resulta

EX 96. Una cinta metálica muy larga y de anchura está recorrida por una corriente

distribuida uniformemente por ella. Hallar el campo magnético en el punto P que

está colocado en el punto ( ) en el sistema de coordenadas de la figura



Consideramos la placa formada por hilos infinitos de anchura . Sabemos el campo

creado por un hilo infinito, y este representa un elemento del campo total

Fijémonos que la relación está en que

Si nos miramos la figura des de otro punto de vista tenemos

A partir de la geometría del problema podemos escribir

𝑦

𝑧

𝜃

𝜃 𝜃



Así pues el elemento de campo queda

{

La componente será nula por simetría, así pues debemos integrar las otras dos.

∫

∫

(

)

∫

∫

( )

EX 97. Se fabrica una bobina sobre una esfera de material no magnético utilizando

hilo conductor fino, enrollando espiras por unidad de longitud en la dirección

diametral. Si la esfera tiene radio y por el hilo hacemos circular una corriente de

intensidad , determinar el campo magnético en el centro de la esfera.

Podemos escribir un elemento de campo a partir del campo creado por una espira en

un punto de su eje

( )

Dado que

( )

𝑎

𝑟

𝑧



Si hacemos variar el radio a lo largo de las espiras de hasta según la forma de la

esfera tenemos que el radio es

[ ]

Y sustituyendo en la ecuación tenemos

∫ (

)

∫ (

)

[

]

EX 98. Hallar el campo magnético en el centro de una esfera conductora hueca de

radio , cargada a potencial , que gira a velocidad angular constante .

Podemos considerar la esfera como una bobina enrollada sobre una esfera como en el

problema anterior. Antes que nada, debemos determinar la carga de dicha esfera

( ) ∫

Cuando la esfera empiece a girar con velocidad angular , podemos pensar que por

cada uno de los anillos por los que está formada la esfera, pasa una intensidad de valor

La intensidad que pase por cada una de las espiras es

Por la geometría del problema tenemos que

El elemento de campo creado por una espira circular en un punto de su eje es

𝑎

𝑟

𝑧



( )

Tengamos en cuenta que el radio depende del elemento de superficie que tomemos,

así pues añadamos la relación

Así pues, integrando el campo resulta

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ( )

Que en función de los datos del problema resulta

EX 99. Se fabrica una bobina con espiras sobre un tronco de cono de altura m

que tiene el círculo de la base mayor de radio y el de la base menor de radio ,

utilizando hilo conductor delgado. Si hacemos circular una corriente de intensidad ,

hallar el campo magnético en el vértice del cono que resulta de prolongar el tronco

El número de espiras que hay es

La recta que describe el perfil del cono sería, tomando el punto como el origen,

𝑧

𝑦

𝑑𝑂 𝑎

𝑎 𝑏



Podemos escribir un elemento de campo a partir del campo creado por una espira en

el punto de su eje

( )

Por la geometría del problema tenemos

[

]

Y sustituyendo en la ecuación tenemos

∫

( )

∫

(

)

((

)

)

( )

(( ) ) ∫

( ) [ (

)

]

EX 100. Hallar el campo magnético creado por una corriente de intensidad que

recorre una espira de radio en el punto P del plano de la espira indicado en la

figura (suponga que )

El elemento de campo magnético es

( )

Parametrizamos la curva considerando el punto como el origen

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]

Sustituyendo obtenemos



∮

( ) ( )

(( ) )

∮

(( ) )

Dado que entonces podemos escribir aproximadamente

∮

∮

EX 101. Tenemos un conductor cilíndrico de radio y de altura . En el mismo hay

una distribución volúmica de corriente que en coordenadas cilíndricas viene dada

por ⁄ . Hallar el campo magnético en un punto del eje del cilindro

situado a una altura del plano superior del mismo (Suponga que )

Tenemos que el campo es

∭

∭

∭

Suponiendo podemos decir que

[ ]


∭

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ (

)

[

]

(

)

𝑟𝑇

𝑟



EX 102. Se forma un toroide de sección rectangular de radio interior , radio exterior

y altura con un material de conductividad . Se corta una sección muy pequeña y

se conectan las caras a una fuente de potencial de manera que circula por el toroide

una corriente de intensidad . Como la sección cortada es muy pequeña podemos

suponer que las caras del corte son equipotenciales. Determine la densidad volúmica

de corriente en el material, la potencia disipada por la corriente y el campo

magnético que crea en su centro. Para el cálculo del campo magnético, suponga que

es muy pequeña.

La conductancia viene dada por

∫

Así pues la resistencia será

Dado que

∬

∬

EX 103. Dos espiras iguales de radio se colocan una frente a otra a una distancia .

Si ambas son recorridas por corrientes en el mismo sentido, hallar el punto del eje

que une los centros de ambas espiras para el que el campo magnético es mínimo

El campo creado por una espira en un punto de su eje es

( )

Dado que están separadas una distancia y el punto ( ) que buscamos está entre las

dos espiras podemos escribir



( )

( ( ) )

Derivando la expresión e igualando a 0 tenemos

(

( )

( )

( ( ) ) )

Si resolvemos la ecuación resulta

4.1. Fuerzas y Pares

EX 104. Un conductor cilíndrico de radio es recorrido por iones con carga , masa

, a velocidad constante , siendo su concentración. Demostrar que sobre un ión

distante del eje del cilindro hay una aceleración radial. Hallar su valor, y ver en qué

caso es nula. Si la es muy pequeña, ver que en este caso depende únicamente de .

EX 105. Con un hilo conductor construimos un triángulo rectángulo de catetos y e

hipotenusa . Lo colocamos en un campo magnético uniforme de dirección

paralela al cateto . Hallar la acción del campo sobre el triángulo si se supone que

sus lados están recorridos por una corriente en el sentido opuesto al de las agujas

del reloj.

Sabemos que el efecto de un campo sobre un hilo conductor viene dado por la

expresión



Donde es el vector que une los extremos del hilo. Dado que estamos sobre un

contorno cerrado, la fuerza será nula.

Para los momentos tenemos

EX 106. Se coloca verticalmente un hilo recto e indefinido por el que circula una

corriente y horizontalmente otro finito de longitud , de modo que ambos definen

un plano. El punto del hilo horizontal más próximo al hilo vertical se halla a una

distancia . Si por el hilo horizontal circula una corriente , ¿Qué fuerza actúa sobre

éste y dónde tiene su punto de aplicación?

El campo de un hilo infinito viene dado por

Integremos el campo a lo largo del hilo horizontal

∫

∫

∫

Debemos encontrar un punto tal que la suma de momentos a los dos lados en los

que divide el hilo sea nula. Así pues resulta

∫ ( )

∫ ( )



EX 107. Un condensador cilíndrico se coloca en el seno de un campo magnético de

manera que el eje del cilindro es paralelo al campo. El condensador tiene la

armadura interna de radio y la externa de radio y está sometido a una

diferencia de potencial entre las armaduras. De la armadura interna se fuga

radialmente un electrón de carga y masa , cuya trayectoria se curva bajo la

acción del campo magnético aplicado. ¿Qué valor debe tener el campo magnético

para que el electrón al contactar con la armadura externa sea tangente al cilindro?

Dado que en el interior del cilindro no hay carga libre, tenemos que

( )

Imponemos las condiciones iniciales y obtenemos

{ ( ) ( )

( )

Por tanto el campo queda

( )

EX 108. Una varilla de masa , formada por un material de densidad dada , está

situada sobre el eje en el seno de un campo magnético . Se observa que,



cuando por la varilla circula cierta corriente, la varilla permanece en equilibrio. Hallar

la densidad cúbica de corriente que circula por la varilla cuando está en equilibrio.

Sabemos que la fuerza resultante por la acción del campo es

∭

Dado que el ángulo que forman el campo y la densidad de corriente es de en

cualquier punto, podemos escribir

∭

Si igualamos esta fuerza con la fuerza de la gravedad obtenemos

EX 109. Una varilla está colocada perpendicularmente entre dos rieles paralelos

situados en un plano horizontal. Entre las varillas hay un campo magnético

, perpendicularmente al plano que forman y sentido hacia

abajo. Si tenemos que la densidad de la varilla es de que el coeficiente

de rozamiento entre la varilla y rieles es y que la varilla es recorrida por una

corriente de densidad , hallar el tipo de movimiento que realizará la

varilla.

La fuerza experimentada por el campo magnético viene dada por la expresión

∭

El rozamiento se opone mediante una fuerza de valor

𝐽𝑐

𝐹𝑚 𝐵



Así pues la fuerza resultante será

(

)

Lo que significa una aceleración igual a

(

)

Dado que la aceleración es constante, la varilla sigue un movimiento uniformemente

acelerado.

EX 110. Un hilo recto vertical e indefinido es recorrido por una corriente de

intensidad . A una distancia , hay un hilo, de longitud , que puede oscilar entorno

a un punto fijo . Al circular por este hilo una intensidad en el mismo sentido que

, resulta atraído por el hilo largo formando en equilibrio un ángulo pequeño .

Determinar el valor de si el hilo corto tiene masa

La distancia entre los hilos es

[ ]

El campo creado por el hilo indefinido es

Hay que imponer equilibrio de momentos. El momento creado por el propio peso es

Y el momento dado por la atracción magnética es



∫

∫

∫ (

)

(

)

Imponiendo equilibrio tenemos

(

)

EX 111. Un anillo metálico de radio y masa está sometido a un campo magnético

de valor cuyas líneas vectoriales convergen en un punto, de forma que definen un

cono de ángulo cuyo eje es normal al plano de la espira. Determinar la intensidad

de la corriente que debe recorrer el anillo para que se desplace en . Suponer

que no existe rozamiento.

Tenemos que

∫

Por las ecuaciones de la cinemática tenemos

( )

Por tanto resulta

EX 112. Un hilo conductor rígido de densidad lineal de masa está desdoblado en

forma de como se muestra en la figura. Se coloca en un plano vertical, de manera

que sus extremos se apoyan sobre dos horquillas y dispuestas horizontalmente,

con lo que la puede girar libremente sobre el eje . Si por el hilo pasa una

corriente de intensidad , y éste está bajo la influencia de un campo magnético



uniforme y vertical, determinar el ángulo que formará el plano de la con al

vertical en la posición final de equilibrio.

Visto en la misma dirección que el hilo tenemos

La fuerza del campo sobre el hilo es

∫

Tomando equilibrio de momentos

( )

( )

4.2. Teorema de Ampère

EX 113. (a) Un hilo cilíndrico muy largo tiene radio y está recorrido por una

corriente en la dirección su eje, cuya densidad cúbica es constante. Dar los valores

del campo magnético en el interior y en el exterior del cilindro. (b) A continuación se

supone que se hace un hueco, también cilíndrico de eje paralelo al eje del primero.

Determinar el campo magnético en un punto interior al hueco.

𝜃

𝑎 𝜃 𝑚𝑔

𝐹



5. Inducción Magnética

EX 114. Dos barras conductoras, de resistencia despreciable, están dispuestas

paralelamente sobre un plano horizontal, separadas una distancia . Por un

extremo, las barras se han conectado a una batería de fem . Sobre las barras hay

otra barra conductora móvil, que se mantiene siempre perpendicular a las otras

barras y cierra el circuito, cuya resistencia eléctrica es . El circuito está en el seno de

un campo magnético uniforme, perpendicular al plano de las barras que va de abajo

a arriba y de valor . Hallar el valor de la velocidad de la barra móvil en función del

tiempo cuando se cierra el interruptor (Despreciar los efectos de la corriente de

cierre)

Dada una corriente por la fuerza electromotriz, la barra recibe un elemento de fuerza

de intensidad

La barra se desplazará hasta que la intensidad inducida por el campo sea igual a la

intensidad propia del circuito. Así pues tenemos

Por lo tanto la fuerza queda

∫

( )

( )

(

)



Cuando haya pasado un tiempo muy largo , ambas fuerzas electromotrices se

habrán igualado de manera que no actúe ninguna fuerza neta y por tanto la barra

mantendrá una velocidad constante de valor

( )

EX 115. Una capa esférica metálica de radio gira con velocidad angular constante

alrededor del eje . En la dirección hay un campo magnético, con módulo y

dirigido en el sentido positivo del eje . ¿Qué fem se induce entre los puntos y

de la capa como consecuencia de la rotación?

Cada punto tiene asociada una velocidad. Como se trata de un contorno deformable

en régimen estacionario, aplicaremos la ley de Faraday para este tipo de casos y

resulta

Fijémonos en la siguiente figura que el radio de cada espira en que podemos dividir la

esfera es variable y por tanto podemos escribir

Integrando ahora sobre la curva de a se obtiene

∫

∫

∫

𝑎

𝑟

𝑧

𝐸

𝐵



EX 116. Un anillo de alambre circular está situado en el plano XY con su centro en el

origen de coordenadas. El anillo se calienta de manera que su radio crece con el

tiempo a velocidad siguiendo la ley . Se aplica un campo magnético

( ) donde y son constantes. Hallar la fem inducida en el anillo.

Por la ley de Faraday tenemos que

| |

∬

(( )∫ ∫

)

( )

( )

EX 117. Una espira rectangular se sitúa a la derecha de dos hilos conductores

verticales muy largos recorridos por sendas corrientes cuyas intensidades son de

igual valor pero de sentido contrario, como se muestra en la figura. Si se supone que

las corrientes crecen a velocidad . Hallar la fem inducida en la espira.

El campo creado por un hilo infinito es

La fuerza electromotriz viene dada por

(∬

∬

)

(∫

∫

)

( )

( )

EX 118. Se tiene un conductor rectangular de lados y , contenido en el plano YZ,

con uno de sus lados paralelos a uno de los ejes, cuya resistencia eléctrica es . Se

supone que hay un campo aplicado ( ). El cuadro se desplaza hacia los

valores de Y crecientes. En , su lado vertical esta sobre el eje Z. Si su aceleración

es , hallar la intensidad de la corriente que circula por el circuito pasado un tiempo

.

A partir de la ley de Faraday encontremos la fuerza electromotriz inducida

∬



Parametricemos la superficie

( ) ( ) { [

]

[ ]

( )

Y el campo es de la forma

( )


∫ ∫ ( )

( )

∫ ∫ ( )

(

(

)

)

Por lo tanto la intensidad inducida será

EX 119. Una barra de masa desliza sin rozamiento sobre dos largos carriles

conductores paralelos separados por una distancia . Por un extremo los carriles

están conectados mediante una resistencia . En la región hay un campo magnético

uniforme de módulo en dirección normal al plano de los carriles, como se

muestra en la figura. Se da un impulso a la barra de manera que inicia su movimiento

con velocidad inicial . Determinar

a) La fem inducida

Por la ley de Henry-Faraday en forma integral tenemos (en valor absoluto)

| |

∬

∬

b) La intensidad de la corriente inducida

Por la ley de Ohm tenemos



c) La fuerza sobre la varilla

Así pues, la fuerza vendrá dada por

d) La velocidad de la barra en el instante

Igualando esta expresión con la segunda ley de Newton obtenemos que

El signo negativo viene dado por los sentidos opuestos de la velocidad y la fuerza. Si

resolvemos la ecuación diferencial se tiene que

( )

e) La distancia que debe recorrer la barra para pararse

Integremos la expresión anterior para encontrar la posición en función del tiempo

( )

(

)

Para que la barra se pare debe pasar un tiempo muy grande y por lo tanto

recorrerá una distancia

( )

f) Explique qué ocurre con la energía cinética inicial de la barra

Se disipa en la resistencia en forma de calor, este fenómeno lo llamamos efecto Joule.

Veamos que

(

)

∫

EX 120. Una espira conductora de masa está formada por un material cuya

resistencia por unidad de longitud es . La espira tiene forma de triángulo equilátero

cuya altura es . Se supone que la espira se desplaza sin rozamiento y a velocidad



constante, sobre un plano horizontal. La espira penetra en una región en la que hay

un campo magnético uniforme de módulo perpendicular al plano de la espira.

Hallar el valor que debe tener el campo para que en el instante en el que la espira

penetre completamente en dicha región se detenga.

En primer lugar veamos el área en función de la altura (que a su vez es función del

tiempo), así como el perímetro

√ ( ) [ ] √

En primer lugar, la fem inducida será, por la ley de Faraday

∬

(∬

)

(

√ ( ))

√ ( ) ( )

Dado que el perímetro del triángulo será √ , tenemos que la intensidad vale

√ ( ) ( )

√

( ) ( )

Fijémonos que en los lados no verticales hay que descomponer la fuerza en vertical y

horizontal, mientras que las verticales se anulan entre sí, las horizontales quedan

multiplicadas por el factor . Así pues queda

√ ( )

( ) ( )

√

Igualando la ecuación según la ley de Newton tenemos

( ) ( )

√ ( ) √

Aplicamos el cambio



Y resulta

√ ∫

√ ∫

√

Despejando el campo resulta

√ √

EX 121. Un disco conductor de radio , situado en el plano , y con su centro en el

origen de coordenadas, gira en torno al eje con velocidad angular constante

. Este disco se halla bajo la acción de un campo magnético uniforme y

estacionario y tiene conectadas en su eje centro y periferias unas escobillas

conectadas a través de una resistencia y un amperímetro. Hallar

a) La fem inducida en el disco

El campo electromotriz viene dado por

( )

Así pues la fuerza electromotriz será

( ) ∫

b) La intensidad que indica el amperímetro


c) La potencia mecánica que hay que suministrar al disco para que mantenga su

rotación a velocidad angular constante como hemos supuesto



La potencia viene dada por

EX 122. Una espira circular de radio , de resistencia eléctrica , está situada en el

plano XY. En el instante inicial se halla justo al borde de una línea que tomaremos

como eje Y. En la zona hay un campo magnético uniforme . Si la

espira inicia un desplazamiento, hacia el interior de la zona . Calcular

a) La intensidad de la corriente inducida en la espira cuando ha penetrado un sector

de ángulo

Entrado un sector circular, su área es

( )

( )

La fuerza electromotriz viene dada por

(∬

)

(

( )

)

b) La fuerza sobre la espira en dicha situación

c) El trabajo que debemos desarrollar para llevar a velocidad constante el centro

de la espira hasta el eje Y

EX 123. Una barra conductora de resistencia y masa se mueve sin rozamiento

sobre dos raíles conductores paralelos, separados una distancia y que se hallan

sobre un plano horizontal, de manera que siempre se mantiene perpendicular a las

guías. Los raíles se hallan conectados por un extremo a través de una batería de fem

y un condensador de capacidad . Entre los raíles existe un campo magnético

uniforme de módulo en dirección perpendicular al plano que determinan las

guías. Si la barra se halla inicialmente en reposo y cerramos el interruptor ,

determinar



a) La velocidad de la barra en función del tiempo

b) La carga del condensador en función del tiempo

c) La energía total que proporciona el generador

d) La energía total disipada por efecto Joule

e) La energía final almacenada en el condensador

EX 124. Una varilla conductora de masa se deja caer sin velocidad inicial desde lo

alto de un plano inclinado respecto de la horizontal. La varilla desliza sobre dos

carriles paralelos que distan entre sí, con un coeficiente de rozamiento . Se

supone que hay aplicado un campo magnético vertical ascendente de valor

constante y se sabe que en el extremo de los raíles hay una resistencia que

cierra el circuito. Hallar

a) La velocidad de caída de la varilla

La fuerza electromotriz inducida viene dada por

(∬

)

( )

Así pues la intensidad queda

Y la fuerza magnética

Además tenemos una fuerza de rozamiento y otra debida a la gravedad. Por lo tanto la

fuerza total queda



( )

Por lo tanto la velocidad en función del tiempo resulta

∫

∫

( )

(

( ))

( ) ( )

(

)

Así pues la velocidad en función del tiempo resulta

∫

∫

( )

( )

b) Su velocidad cuando alcanza el régimen estacionario

EX 125. Con hilo de resistencia por unidad de longitud igual a se forma circuito con

forma de una semicircunferencia de radio cerrada por su diámetro mediante un

conductor recto de resistencia despreciable. Se cuelga de su centro de manera que

su plano queda vertical y el diámetro que la cierra queda sobre el eje . A

continuación se hace girar alrededor de con velocidad angular constante

. Si se supone que existe un campo magnético uniforme en

la región , deducir



a) El flujo del campo magnético a través del circuito en función del tiempo cuando

la circunferencia ha penetrado un ángulo

El flujo del campo magnético es

∬

∫ ∫

b) La fem inducida en el circuito

La fem por la ley de Faraday resulta

c) La intensidad que circula por el circuito


d) La fuerza que actúa sobre un elemento de arco y de diámetro

La fuerza que actúa sobre un elemento de arco es

e) El momento total de las fuerzas que actúan sobre el circuito

El momento vendrá dado por

∫

5.1. Potencial Vector

EX 126. Si un campo magnético es uniforme, demostrar que el potencial vector

asociado a cada punto del vector posición vale ( ) . Aplicación: Se

tiene un cilindro que tiene como eje el , formado de un material de conductividad

, y se supone el espacio libre de cargas. Al aplicar el campo ,

demostrar que en el cilindro se inducen corrientes circulares. Deducir la densidad de

corriente y calcular su valor máximo.



EX 127. Tenemos un cable coaxial muy largo formado por un cilindro conductor de

radio y una capa conductora concéntrica con él de radio interno y externo

. Por el conductor cilíndrico interno circula una corriente de intensidad y

por el externo circula la misma intensidad, pero en sentido contrario. Si el potencial

vector en es cero, hallar el potencial vector en el cilindro externo

EX 128. Una corriente de intensidad recorre un hilo recto vertical de longitud .

Hallar el potencial vector en un punto distante del hilo.

EX 129. Hallar el potencial vector en el punto del eje de un cuadrado de lado

por el que circula corriente en sentido horario, si dicho eje pasa por el centro del

cuadrado y es paralelo a uno de sus lados

EX 130. Un hilo tiene longitud y está recorrido por una corriente de intensidad .

En la mediatriz del hilo y a una distancia del mismo hay un electrón en reposo. Si la

corriente varía con el tiempo a velocidad . Determinar la fuerza que actúa sobre el

electrón si se supone que el potencial electrodinámico escalar es constante y que

5.2. Coeficientes de Autoinducción e Inducción Mutua

EX 131. Determinar el coeficiente de autoinducción de un solenoide largo de

espiras, sección recta y longitud

El campo creado por un solenoide en su interior es

El flujo de una espira resulta

∬

Por tanto el coeficiente de autoinducción del solenoide será



EX 132. Determinar el coeficiente de autoinducción interno por unidad de longitud

de un hilo cilíndrico recto de radio

Aplicando el teorema de Ampère tenemos

∮

Además el flujo resulta

∬

Por tanto el coeficiente de autoinducción resulta

EX 133. Determinar el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de un

sistema formado por 2 hilos cilíndricos de radio , dispuesto paralelamente y cuyos

ejes se hallan separados por una distancia

Aplicando el teorema de Ampère tenemos

EX 134. Calcular el coeficiente de autoinducción de un toroide de sección

rectangular, de radio interno y externo , altura , formado por espiras

EX 135. Se tienen dos espiras rectangulares situadas paralelamente. La primera es

grande y de dimensiones . La otra es más reducida y tiene dimensiones

. No se solapan entre ellas de manera que la distancia entre los lados más

próximos es . Hallar su coeficiente de inducción mutua. (Considerar que )

EX 136. Hallar el coeficiente de inducción mutua del sistema formado por un hilo

muy largo y un circuito en forma de triángulo equilátero, de altura , según indica la

figura. La distancia entre hilo y lado más próximo del triángulo es .



Si ajustamos una recta según el sistema de coordenadas de la figura, tenemos que el

eje se encuentra entre

√ √

√

[ √ ] [

√ ]

El campo creado por un hilo infinito es

Dado que el problema es simétrico respecto el eje podemos escribir

∬

∫ ∫

√

√

∫

√

√

([

√

]

√

∫ √

√

√

) ∫

√

√

√

∫ (

√ )

√

(

√

√

)

√ ( ( )

)

√ (( )

)

Por tanto el coeficiente de inducción resulta

√ (( )

)

EX 137. Hallar el coeficiente de inducción mutua correspondiente a un hilo recto muy

largo y una espira de radio cuyo centro dista del hilo. Hilo y espira son

coplanarios



El campo creado por un hilo muy largo es

Considerando el eje que pasa por el centro de la circunferencia y el eje coincidente

con el hilo tenemos que la circunferencia es

( )

El flujo resultará, por simetría en el eje

∬

∫ ∫

√ ( )

√ ( )

∫

√ ( )

Haciendo el cambio

Resulta

∫

EX 138. Una superficie tórica está engendrada por la rotación de un cuadrado de lado

que gira alrededor de un eje paralelo a uno de los lados del cuadrado situado a

distancia

a) Calcular el coeficiente de autoinducción de un arrollamiento uniforme de

espiras realizado sobre esta superficie tórica

El coeficiente de Autoinductancia viene dado por

Donde



∬

A partir de una curva amperiana podemos deducir el valor del campo

{∮

Donde es la intensidad total que atraviesa la superficie definida por la curva

amperiana. Haciendo un corte transversal podemos ver

Así pues el flujo resulta

∬

∫ ∫

Así pues el coeficiente de autoinducción queda

b) ¿Qué valor tiene si ⁄ ?

Podemos escribir el anterior resultado como

Si desarrollamos el resultado en serie obtenemos que

(

)

(

)

Sustituyendo por el primer término obtenemos

𝑟 𝑟

𝑎 𝑏

𝑏 𝑎

𝑎



EX 139. Si en un cilindro conductor de altura , de radio y conductividad , existe

un campo magnético con dirección axial y valor . Dar el valor de la

potencia media que se disipa por efecto Joule. Hallar la intensidad que circula por el

cilindro.

EX 140. Determinar el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de una

capa cilíndrica hueca de radio interior y exterior de cierto material conductor no

magnético

EX 141. Determinar el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de un

cable coaxial muy largo formado por un conductor cilíndrico de radio rodeado por

una capa conductora cilíndrica coaxial, de radio interior y radio exterior .

EX 142. Determinar la fuerza mutua entre dos espiras coaxiales de radio y ,

recorridas respectivamente por sendas corrientes de intensidad e , cuyos

centros se hallan separados por una distancia . Suponga que (el campo

magnético creado por la espira grande actúa sobre la pequeña de forma uniforme).

EX 143. Un relé magnético tiene una armadura que es móvil y que al aplicar el campo

puede acercar al núcleo. Armadura y núcleo son del mismo material, el cual tiene

una permeabilidad relativa . La bobina tiene vueltas y entre

la armadura y el núcleo queda un entrehierro de . La longitud del núcleo

es de y la de la armadura , con secciones rectas de

. Por la bobina circula una intensidad de . Hallar

a) El flujo magnético en el núcleo

b) La energía magnética almacenada

c) La autoinducción de la bobina

d) La fuerza que actúa sobre la armadura

6. Corriente Alterna

6.1. Circuitos con y



EX 144. Un condensador de se carga aplicándole , a continuación se

conectan sus bornes a través una bobina de coeficiente de autoinducción y

resistencia . Estudiar la descarga del condensador

EX 145. Con hilo conductor de radio y resistividad se forma un solenoide

cilíndrico muy largo con las espiras en contacto y cuyo núcleo de aire tiene radio .

Hallar la constante de tiempo de la bobina

6.2. Circuitos

EX 146. En el circuito de la figura

a) Dibujar el diagrama vectorial

b) Determinar , la total y el desfase

c) Determinar en función de , y de manera que el conjunto sea equivalente

a una resistencia pura

EX 147. En el circuito de la figura, por el que circulan , se tiene que

y

a) Dibujar el diagrama vectorial

b) Dar la potencia total disipada



c) Determinar en función de , y de manera que el conjunto sea equivalente

a una resistencia pura

EX 148. En el circuito de la figura determinar

a) El valor de para que la corriente sea máxima

Para que la corriente sea máxima, la impedancia debe ser mínima. Así pues

( )

b) La potencia consumida por el circuito

En el caso de resonancia, la potencia consumida es

⟨ ⟩

c) Dar el valor de para que la potencia sea de la inicial

Como no estamos en resonancia, debemos recordar que

{

Y por tanto resulta

⟨ ⟩

(

√ )

EX 149. Dado el circuito de la figura, hallar



a) La conductancia y la susceptancia de cada rama y la total

b) La en cada rama y la total

c) Los defasajes

EX 150. En el circuito de la figura nos dan y . Hallar

a) Los valores eficaces de las intensidades y

b) La potencia suministrada por la fuente

c) El valor de para que sea mínima. Dar este valor de

d) Aplicar numéricamente a los valores siguientes

,

7. Ecuaciones de Maxwell

EX 151. Un condensador plano, formado por 2 discos circulares de radio

separados una distancia , está colocado en un circuito en el que hay una

batería de , una resistencia y un interruptor . Dé el valor en

los puntos interiores del condensador del vector de Poynting tras cerrar . Dé su

valor a una distancia del eje del sistema, a los tras iniciarse la carga.



EX 152. Por un cilindro muy largo de radio circula una corriente en la dirección del

eje, cuya densidad volúmica en vale . Si el material del cilindro tiene

una conductividad , hallar el flujo del vector de Poynting (por unidad de longitud) a

través de la superficie lateral del cilindro.

El vector de Poynting viene dado por

El campo es

Y aplicando ahora el teorema de Ampère tenemos que la circulación del campo

excitación magnética es

∮

∬

∫ ∫

Así pues el vector de Poynting resulta

( )

Por lo tanto el flujo por unidad de longitud resulta

∬

EX 153. Dar la densidad cúbica de corriente en el punto ( ), si en el espacio

hay un campo aplicado

(

)

La densidad cúbica de corriente viene dada por

|

⁄ ⁄ ⁄

⁄

|

(

)

En el punto ( ) tenemos

(

)



EX 154. Dados los campos ( ) y ( ) en

el espacio vacío (sin cargas ni corrientes libres), hallar los valores de y para

que se corresponan a una onda electromagnética sabiendo que ⁄ (donde

es la velocidad de la luz).

En el espacio vacío la ecuación de onda es

Así pues para la primera tenemos

( )

( )

Sustituyendo en la ecuación resulta

( )

( )

Como deben estar en fase, tenemos que

( ) ( )

EX 155. Se tiene una espira de radio , cuyo plano es normal a un campo magnético

( ). ¿Qué valor tiene el potencial vector y el campo eléctrico inducido en un

punto cualquiera si se supone el potencial electrodinámico nulo? (para , es

y ). Hallar la fem inducida en la espira.

El potencial vector cumple

|

⁄ ⁄ ⁄

| (

) ( )

Así pues tenemos

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