Captulo 8

Problemas de Integrain Curvilnea

(En los problemas marados on el iono es onveniente usar de un programa de

ordenador para la representain gra de funiones, por ejemplo Winplot).

8.1. INTEGRAL CURVILNEA

1. Calular

C

y2 dx+ 2xy dy, donde C es una irunferenia de entro (0, 0) y radio R.

2. Calular

C

yz dx + xz dy + xy dz , donde C es la hlie x(t) = a cos(t), y(t) =

a sen(t), z(t) = kt, t [0, 2pi] (ver gura).

3. Calular

C

(cos x y senx) dx + cos x dy, donde C es el tringulo uyos vrties son

los puntos A(0, 1), B(2, 3), D(1, 4).

4. Calular

C

6x2y dx + 10xy2 dy , donde C es el segmento de la urva y = x3, entre

M(1, 1) y N(2, 8).

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60 CAPTULO 8. PROBLEMAS DE INTEGRACIN CURVILNEA

5. Calular

MN

(2x cos yy2 senx) dx+(2y cos xx2 sen y) dy , donde N(pi/2, pi/2),M(pi/4, pi/4).

6. Empleando la frmula de Green, alular

C

xy2 dx x2y dy , donde C es la urva

x2 + y2 = a2.

7. Calular

(c,d)(a,b)

f(x) dx + g(y) dy , donde f(x), g(y) son funiones ontinuas.

8. Sea f(u) una funin ontinua y C una urva errada. Demostrar que

C

f(x2 + y2)(x dx + y dy) = 0

9. Calular

C

x2y2 dx + y

(xy + ln

(x+

x2 + y2

))dy , donde C es la urva que

aparee en la gura.

10. Sea C la urva denida omo interse

in entre las superies (ver gura).

x2

a2+y2

b2= z

x2

a2+y2

b2= 2c2 z

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8.1. INTEGRAL CURVILNEA 61

Se pide:

a) Emplear oordenadas ilndrias generalizadas para obtener una parametrizain

de C.

b) Calular

C

(x2

a2+y2

b2

)dx+

(x2

a2y2

b2

)dy + 2xyz dz

11. Calular el valor de

C

(6xy2y3) dx+(6x2y3xy2) dy, para ada una de las siguientes

urvas C:

a) C es el segmento de reta AB, A(1, 2), B(3, 4).

b) C es el aro de irunferenia de entro C(2, 3) y que pasa por los puntos A(1, 2),B(3, 4).

) C es toda la irunferenia del apartado anterior.

12. Considerar la familia de parbolas y = kx(x 1) que unen los puntos (0, 0) y(1, 0). Sea C es una de estas parbolas, y F (x, y) = (2xy, x2) la fuerza apliada en

ada punto (x, y). Se pide:

a) Parametrizando C, demostrar que el trabajo efetuado por F (x, y) no dependedel valor de k.

b) Expliar el resultado obtenido en el apartado anterior.

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