PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Integración por partes.

Mediante la integración por partes, hallar una primitiva de la

función y = Ln (1 + x)

Calcular una primitiva de una función, es hallar su integral indefinida.

Por ello utilizaremos el método de integración por partes

u·dv = u·v - v·du haciendo el siguiente cambio

Aplica el método de integración por partes a la determinación de

una primitiva de la función f(x) = x · Ln x

Utilizar la integración por partes para hallar una primitiva de la

función x.sen x

Cambio de variable. (No entra en Selectividad)

Hallar las primitivas de la función cos2x (utilizar la relación

1 + cos A = 2. cos2 A/2)

INTEGRACION FRACCIONES SIMPLES.

x3 - 1

x

2 + 2x

- x3 - 2x

2

x - 2

________

- 2x2 - 1

+ 2x2 + 4x

____________

4x – 1

PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS

(PRIMITIVAS)

Calcular la primitiva de la función f(x) = 1 + tg2 x –

+ tg x que pase

por el punto (,0)

0 3

-3 0

4

0

1

-1

Para obtener la G(x) integraremos de nuevo la G'(x)

Para calcular C y D tenemos en cuenta las dos condiciones G(0) = 1 y G(1) = 0

Las constantes C, D y E se determinan a partir de las condiciones.

Para ver si el extremo (1,0) es máximo o mínimo, calculamos la f´´(x)

PROBLEMAS DE AREAS

Area comprendida entre las curvas e .

Corte gráfica:

; ;

Área limitada por el eje de abscisas y la curva y = x3 - 2x

2. Dibújala

.

Calcular el área del recinto limitado por y el eje de

abcisas. Dibuja la gráfica.

; y´ = 2x - 4; y´ = 0 => 2x – 4 = 0; x = 2 posible máx. o mín.

y´´= 2 ; y´´(2) > 0 Mín. (2, -4)

4 4

0 0

Calcular el área encerrada entre las graficas de las funciones

y = x2 + 2x - 1 e y = 2x + 3, representando esquemáticamente dichas

graficas.

Para dibujar y = x

2 + 2x - 1 Para dibujar y = 2x + 3

x y x y

_____ _____

-2 -1 0 3

-1 -2 1 5

0 -1 2 7

1 2

2 5

x2 + 2x – 1 = 2x + 3 x

2 – 4 = 0 x = 2

2

-2

Calcular el área limitada por la grafica f(x) = Ln x, el eje OX y la

recta tangente a dicha grafica en el punto de abscisa x = e

Para calcular la recta tangente, esta será de la forma y – yo = m ·(x – xo)

yo = Ln e = 1 pasa por (e,1)

m = y´(xo)

Para calcular los limites de integración a y b se hallan los puntos de corte entre las

dos funciones

Sabiendo que la tangente corta al eje OX en (0, 0) y en (e, 1) y que la y = Ln x lo

corta en

n x = 0 x = e0 x = 1 (1, 0)

Dibujamos la curva y su tangente

Sabiendo que Ln x dx = x·Ln x – x por integración por partes y aplicando la regla de

e e

Barrow nos queda que:

;

0 1

PAU Junio 1998

=

0 2π

-π 0

Considérese la región acotada que determinan las curvas y = ex

e y = e2x

y la recta x = a; a) Hallar el área de dicha región para a = 1

b) Hallar un valor de a > 0 para que el área de la región sea 2.

a) Si a = 1 ==> la recta será x = 1 y este será el límite superior.

ex = e

2x ==> 1 = e

x ==> Ln 1 = Ln e

x ==> 0 = x

1

0

a

0

Hallar el area comprendida entre las curvas e

.

Corte gráfica:

; ;

1

-1

Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación

y = x2 - 4x y el eje y = 0

La recta y = 0 corresponde al eje de abscisas OX

Si calculamos

:

Estos dos valores de x, son los límites de integración

4 4

0 0

Hallar el área limitada por la grafica de la función y = cos x y el eje

OX en el intervalo [0,2]

Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX

con lo que los intervalos [0, /2), (/2, 3/2), (3/2, 2) serán los limites de integra-

ción en la que se divide el área

π/2

0

Hallar el área limitada por la grafica de la función y = sen 2x y el eje

OX en el intervalo [0,2]

Primero se calculan los posibles puntos de corte con el eje OX

Los intervalos [0, /2), (/2, ), (, 3/2), (3/2, 2] serán los limites de integración

en los que se divide el área

/2

=

0

= 2 · [ ( - cos - ( - cos 0) ] = 2 · ( 1 + 1) = 4 u2

Hallar el área limitada por la grafica de la función

y el

eje OX en el intervalo [-1, 1]. Dibujar la grafica.

1

-1

Domínio R . No existen asíntotas verticales.

No existen AH ni AO ya que el límite cuando x -> de f(x) y de m son 0

Corta al eje OY Para x = 0

(0, 1)

Máximos y mínimos:

Posibles Puntos de inflexión:

Por ultimo y(-1) = ½ e y(1) = ½

Hallar el valor de a para que el area limitada por las graficas

Hallamos los cortes entre las dos funciones.

a

0

La función y = x3 - ax

2 + 4x + b corta al eje de abcisas en x = 3 y tiene

un P.I en x = 2/3. Hallar a y b. Calcular el área que forma la curva

entre x = 2/3 y x = 3 . Dibujar la grafica

Si corta al eje y = 0 en x = 3 es que pasa por (3,0)

Si tiene un P.I en x = 2/3 es que y´´(2/3) = 0

y´= 3x2 - 2ax + 4; y´´= 6x - 2a

Si pasa por (3,0); 0 = 33 – a·3

2 + 4·3 + b

Si hay P.I en x = 2/3 0= 6·

– 2a 4 – 2a = 0; 2a = 4; a = 2

0 = 27 – 9a + 12 + b; b = - 27 + 9·2 - 12 b = - 21

La curva tiene de ecuación y = x3 - 2x

2 + 4x - 21

3

2/3

Representar f(x) = |x21|. Calcular el área entre x = 1 y x = 1.

Sabiendo que el área comprendida entre la curva y = x y la recta

y = bx, es 1, a) Hallar b. b) Para b = 1, calcular el área que forma la

curva con la recta.

a)

1/b2

0

b)

Se considera el recinto limitado por las curvas y = x2, x = 1, x = 2,

y = 5x. Hallar el área de dicho recinto, dibujándolo previamente

Para dibujar la parábola y = x2 Para dibujar la recta y = 5x

x y x y

______ _____

-2 4 0 0

-1 1 1 5

0 0 2 10

1 1

2 4

2

1

Sea la función y

: a) Representarlo. b) Área de la figura

encerrada entre la curva y el eje y = 0.

Posibles máximos o mínimos:

A