UNIDAD 1

LAS FUNCIONES EN EL CONTEXTO DE

LOS PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MINIMOS

V= 1 a h

30cm ha

50cm 1

La figura muestra a la izquierda una hoja de cartón a la que se le acortan cuadrados iguales en cada esquina y se dobla para formar una caja sin tapa, como lo muestra el dibujo de la derecha. ¿ de que tamaño deben ser los cuadrados que se quitan para que la caja tengan el máximo volumen posible?

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PROPÓSITO

antes de que revises el contenido de esta unidad , es muy importante de que conozcas: que aprenderás y para que aprenderás.

¿Que aprenderás?

Métodos del precalculo para aproximarte a la solución de los problemas de máximos y mínimos.

Conceptos de función, dominio, rango, así como un método aritmético geométrico para graficar funciones.

Utilizar la computadora para resolver máximos y mínimos...............................................................................................................................

¿cómo lo lograras?

Resolviendo problemas de la vida cotidiana en los que realizaras en equipo un trabajo sistemático, y ordenado, que tiene dos momentos: en el primero, tu equipo trabajara para proponer sus ideas y alternativas de solución a los problemas planteados; después, en un segundo momento, en el grupo cada equipo expondrá sus resultados y argumentara sobre como los obtuvieron.

Como producto de este trabajo se llegara a la solución de los problemas. También utilizaras la computadora y la calculadora.

.............................................................................................................................................

¿ para que aprenderás?

Para conocer la utilidad de la matemática en la resolución de problemas de máximos y mínimos, así como para textualizar el concepto función. Además se pretende que con esta forma de trabajo se cumplan los propósitos generales de nuestro bachillerato, como son:

Desarrollar tu creatividad y tu habilidad para resolver problemas y que aprendas a trabajar en equipo.

Aprender a escuchar con propiedad a tus compañeros y desarrollar tu habilidad para la lectura y comprensión, tu expresión oral y escrita, así como tu capacidad para tu critica propocitiva y tu critica constructiva.

propiciar valores como tu autoestima, la valoración de tu trabajo, tenacidad, tu sentido de responsabilidad, la solidaridad, la libertad y justicia.

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INTRODUCCIÓN

Es muy común encontrarse en la vida con situaciones en las que es necesario tomar la mejor decisión posible; es decir, la decisión optima. Tale problemas abundan en las distintas ramas de la ciencia y la tecnología, como la economía y la ingeniería. Para resolver estos problemas es indispensable elaborar un modelo matemático que se llama función del problema. Por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de dispositivos con las mínimas perdidas de material, o de fabricar piezas que sean lo mas resistentes posible y al mismo tiempo lo mas ligero que sea posible; de reducir los gastos de producción, economizando no solamente materia prima sino también combustible, energía eléctrica, tiempo y otros factores .Estos problemas que se reducen a obtener un efecto máximo ( máxima producción, máxima resistencia, etc.) se conocen con el nombre de problemas de optimización ( también se les llama problemas sobre máximos y mínimos o problemas sobre extremos).La experiencia ha mostrado que enfrentar situaciones de este tipo con ayuda de las matemáticas en la resolución de problemas de maximización empezó aproximadamente hace 25 siglos. Al principio no hubo un enfoque único en la solución de problemas de optimización. Fue hasta el siglo XVII cuando se creo un método general que permitió resolver problemas de máximos y mínimos de la mas diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron ilustres sabios y científicos de todas las épocas como: Euclides ,Arquímedes, Apolonio, Heron, Tartagia, Torricelli, Johann y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Newton, Leibniz y muchos otros.

Este método general, complementado con los conceptos que le sirven de sustento: función, limite, y derivada, se construyo en la rama del conocimiento matemático a la que se le ha dado el nombre ya clásico de calculo referencial.

El método de calculo diferencial resulto ser una poderosa herramienta para la resolución de problemas de optimización de las mas variadas ramas de la ciencia y de la técnica; también proporciono una comprensión mas profunda de la naturaleza y de la leyes que la rigen, por que pueden ser formuladas como problemas de optimización. Los sistemas mecánicos, la luz, la electricidad, los líquidos y los gases, etc., se comportan de un modo tal que su evolución minimiza o maximiza ciertas cantidades físicas. Fermat encontró que la refracción de la luz se explica por el hecho de que, al propagarse de un punto a otro en un medio heterogéneo, la trayectoria de refracción es precisamente la que requiere el tiempo mínimo.

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La evolución paulatina de la ciencia y de la técnica, particular menta vertiginosa en el siglo xx, planteo toda una serie de nuevos problemas de optimización que, a pesar de su aparente simplicidad, no se pudieron resolver con el método de calculo diferencial. La necesidad de dar respuesta a tales problemas condujo a la creación de nuevas ramas de las matemática, como el calculo variacional, la programación lineal, el análisis convexo y la teoría de la dirección optima.Se pueden distinguir diferentes niveles sobrados de complejidad de los problemas de optimización, y a cada uno le corresponde un método de solución y su respectiva teoría de la matemática. En nuestro curso solo analizaremos el método de solución de los problemas elementales de optimización, cuya teoría es el calculo diferencial. Pero el calificativo de elementales no es sinónimo de fáciles o de poco interesantes, pues abordaremos problemas importantes desde el punto de vista de su sentido practico y también en un cierto grado de complejidad.

ESQUEMA DE ESTUDIO DE LA UNIDAD 1

Este esquema muestra lo que estudiaremos en esta unidad; su propósito es que tengas una idea general de los contenidos matemáticos que vamos a abordar en esta parte del curso.

Resolverás problemas de máximos y mínimos

Con la herramienta matemática del precalculo

Estudiaras la estrategia de resoluciónDe estos problemas

En este contexto estudiaras las funciones

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MINIMOSCON EL PRECALCULO

Actividades de aprendizaje

1.-El gallinero. Doña Josefa habitante de Ures, ha creado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas, pero esto le ha ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa; sus ahorros solo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de material para cercarlo. Si el terreno donde desea construir es de 20 metros por 40 metros,¿ que dimensiones deberá tener un gallinero de forma rectangular (que utilice todo el material que compro) para que este abarque la mayor área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas?...................................................................................................................................................

Recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer. Si existen dudas al respecto,en equipo consulten con su maestro....................................................................................................................................................

a) con tu equipo lee el problema y anota lo que se te pide encontrar.b) Has un dibujo en el que representes el gallinero, con la condición de que incluyas la

información que se te proporciona en el problema. coloca la base del gallinero paralela al lado del terreno de 20 metros. Antes de hacer el dibujo, con tu equipo elaboren la lista de información

contenida en el enunciado del problema.c) a continuación dibuja cuatro rectángulos distintos ( que simulen el gallinero) donde

la longitud de la cerca sea de 50 metros.d) De estas opciones, cual es la mejor? ¿por qué?e) ¿son las únicas opciones posibles? ¿ cuantas mas existen?

Para responder estas preguntas toma en cuenta lo siguiente :Como lo observaste en la actividad del inciso d), puedes construir al menos cuatro gallineros: significa que existen al menos cuatro medidas para la base, que vamos a llamar b. Consideremos que se le puede asignar a b el valor de 1 metro y después se le puede asignar cada entero consecutivo hasta llegar a 20 metros; esto quiere decir que se pueden hacer gallineros de 20 formas distintas.Ahora tomemos en cuenta que la base puede tomar valores numéricos que tengan decimos, del 1 al 20, entonces b adquiere los siguientes valores: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5... hasta el 20. significa que se puede hacer gallinero de 200 formas distintas.

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Si le asignamos a la base de valores que tengan centésimos del 1 al 20, se pueden hacer 2000 gallineros .También la base puede tomar valores numéricos que tengan milésimos, del 1 al 20, entonces se pueden hacer 20000 gallineros de formas distintas. Y así sucesivamente.

f) como ya te diste cuenta, existen muchas posibilidades de construir el gallinero. Anota y ordena la información de los rectángulos en el cuadro 1.1, que se muestra a continuación. Si hay casillas que no se puedan llenar con valores numéricos, argumenta por que.

g) En las celdas del ultimo renglón del cuadro escribe las formulas que utilizaste para calcular altura, largo del cerco y área.

Base (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m2)58101418202530b

g)de los valores que se enlistan en el cuadro 1.1,¿cuál gallinero representa la mejor opción?

h) de todos los posibles gallineros que existen,¿ el que seleccionaste en la actividad anterior representa el mayor área posible?

i) Si piensas que existe una mejor opción,¿ entre que valores de la base se encuentra? Para que tengas mas claridad de donde buscar colorea en el cuadro 1.1 las tres mejores opciones.

j) Utiliza el cuadro 1.2 para encontrar mejores aproximaciones, si es que las hay. Si lo consideras necesario aumenta el numero de renglones que se proponen.

Base (m) Altura (m) Largo del cerco(m) Área cercada (m)

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k) De los valores enlistados en el cuadro 1.2, ¿cuál es la mejor opción? ¿es esta la mejor de todos los gallineros que existen?

l) Hasta el momento podemos concluir cual es la mejor opción de números enteros. Pero de la actividad del inciso e) se desprende que existen gallineros en números que no son enteros. Elabora una tabla con mejores aproximaciones en los números con decimos. Posteriormente elabora un cuadro con mejores aproximaciones en los números con centésimos.

Comentario

Cuando resuelves un problema, por lo general esperas con facilidad que su solución se encuentre en los números enteros positivos; sin embargo, no siempre es así. El tipo de numero que se obtiene en la resolución de los problemas es variada: es decir, la solución de un problema puede expresarse con números cuya escritura y operación son mucho mas complejas que los números enteros positivos.Por esta razón, a continuación encontraras una lectura para proporcionarte información del tipo de números que has manejado hasta aquí, en el estudio de las matemáticas a lo largo de tu carrera escolar.

Lectura complementaria: números reales

Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo. Posteriormente coméntalas con tu grupo.

Los números naturalesSon considerados el primer tipo de números que utilizó la humanidad. inicialmente su representación fue hecha por medio de marcas, agregando una marca por cada unidad adicional, por ejemplo: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII, IIIIIII, IIIIIIII....... Si observamos este tipo de representación para ciertos valores, deja de ser conveniente; intenta de esta manera representar el numero 68. esto cambia si las marcas se agrupan como se muestra a continuación, tal y como se hace en algunos conteos: I, II, III, IIII, IIIII, IIIIII ....Algunas culturas cuyos lenguajes escritos se basan en un alfabeto lo han utilizado para representar los números . el antiguo alfabeto griego fue usado para representarlos:

Los números romanos son otro ejemplo de la representación de números naturales, y parecen estar mas cerca del método de las marcas. Para agrupar emplean un solo símbolo para representar alguna cantidades (IIIII viene e ser V) e introducen la convención de que IV denota “ uno antes que cinco”. Algunos números romanos son: I, II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI.....En nuestro sistema numérico también..

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Zien se representan los números naturales, como lo has estudiado en tus cursos de matemáticas anteriores: 1,2 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11......Se puede argumentar y con razón, de cualquiera de los sistemas anteriores es mas razonable para representar a los números naturales que nuestro sistema decimal, puesto que se puede ver, por lo menos, cierta lógica en la secuencia de los números. En el primeros dos ejemplos de la lógica es clara, en el tercero la lógica consiste en una convención familiar que se pide prestado al alfabeto. Los números romanos se construyen de una forma natural, empleando repetidamente las dos abreviaturas mencionadas, con nuevos símbolos como V, X, L, C, D, M, etc.. los cuales se introducen cuando es necesario. En contraste, nuestro sistema decimal empieza con diez distintos símbolos abstractos y a excepción del uno, que es igual en casi todos los sistemas, cada símbolo aparece por completo ajeno y sin relación con el numero que presenta.La primera ventaja considerable de nuesto sistema la encontramos cuando encontramos números grandes. Esto se debe a la manera como se nos permite repetir los dígitos cuantas veces sea necesario al representar un numero. Lo anterior nos conduce a la idea sorprendente de que la sucesión de números naturales no tiene fin, mientras que la misma idea no es del todo obvia en los otros sistemas de representación numérica.

LOS NUMEROS ENTEROS

Los números enteros se componen por: enteros positivos (números naturales), cero y enteros negativos ( naturales negativos). En este tipo de números aparecen los números negativos. La historia de los números negativos ha sido larga y difícil. Aparecieron como soluciones de ecuaciones desde el siglo III a.c. y siempre se les rechazo por que se pensaba que no corresponderían a la solución de los problemas prácticos. Fueron llamados absurdos por diofanto en el siglo III d.c y por el alemán Michel Stifel, brillante estudioso de álgebra del siglo XIV; cardano los llamo”ficticios”, y en sus trabajos para dibujar rectas tangentes a curvas de segundo grado, para descartes eran “raíces falsas”.Los chinos usaron el prefijo “fu” delante de los números negativos; aparentemente manejaron por primera vez en la historia las reglas para sumar y restar números positivos y negativos; estas la denunciaron de forma indirecta por que no usaban los signos + y -.

LOS NUMEROS RACIONALES

Un numero racional es aquel que se expresa como el cociente de dos números enteros, con la condición de que el divisor no sea cero. Por ejemplo: 3,1/2, 29/100, 2157., cuando se escriben de forma decimal, presentan la característica de que la cadena de decimales es finita o periódica. En la antigua Grecia los pitagóricos (llamados así en el honor de su fundador Pitágoras) pensaban que todo se relacionaba con números enteros. Por ejemplo, asociaron al 2 con el hombre. Al 3 con la mujer y al 5 con el matrimonio.Observaron que un instrumento musical la razón 2 a 1 en la longitud de la cuerda producía una octava; la ..........

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Razón 3ª 2, una quinta: y la razón 4 a 3, una cuarta, que son unas de las armonías mas agradables al oído. Este descubrimiento es considerado el primero de la física- matemática. Observaron que cuando se aplica el teorema de Pitágoras en un triangulo rectángulo cuyos cateos sean iguales a 1, la hipotenusa, llamada c, debe satisfacer la ecuación: c2= 1* +2*=2 entonces descubrieron que c no puede ser un numero racional. Esto causo una grave crisis en la filosofía griega en aquel momento.

LOS NUMEROS IRRACIONALES

Como ya se dijo, si; c*= 1* + 1*=2, los pitagóricos descubrieron que c no puede ser numero racional. Este tipo de números son llamados irracionales, una de sus características es que posen una cadena de decimales que no tiene fin y cuya sucesión no es periódica, por ejemplo: /2=1.41421356..., e . etcétera.Todos estos números descritos ya han sido utilizados por ti en cursos de matemáticas desde la educación primaria hasta el semestre pasado de este bachillerato tecnológico al conjunto de todos estos números se les conoce como números reales.

Actividad de aprendizaje

Hasta aquí realizaste un trabajo numérico para aproximarte a la solución del problema anterior; esta método es laborioso y con el no siempre podemos obtener la solución de los problemas. Continuemos trabajando con el problema 1. el gallinero

[a] localiza los cuadros del cuadro 1.1 en el plano cartesiano representado representando la base del rectángulo en el eje x y su área en el eje y.

[b] En el mismo plano incluye los valores del cuadro 1.2.[c] ¿son todos los puntos que se puedan graficar? ¿ por que? [d] Traza la curva sobre los puntos que localizaste.[e] Señala las columnas de los cuadros que se utilizaron para hacer la grafica.[f] ¿ que representa cada punto de la grafica en el problema del gallinero?[g] Señala con color rojo el punto de la grafica que representa la solución que hará feliz

a doña Josefa.[h] Utilizando la grafica, estima valor aproximado las coordenadas de ese punto y con

ellas elabora una propuesta de solución al problema. Redáctala de manera breve, clara y sencilla.

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Comentario:

En el problema anterior se te presentaron dos procedimientos para aproximarte a la solución del problema: el método numérico y el método grafico. Para obtener la aproximación con el método grafico necesitas hacer la grafica del problema. Para esto es importante que recuerdes los conocimientos necesarios de la geometría analítica.A propósito de esta importante rama de las matemáticas, se te ofrece una lectura complementaria del ilustre rene descartes, en la que se describe el nacimiento de la geometría analítica.

Lectura complementaria rene descartes:

Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes de cada párrafo y con estas elabora un comentario y léelo con tu grupo.

La geometría analítica, mucho mas que cualquiera de sus especulaciones metafísicas, inmortalizan el nombre de rene descartes y constituye el máximo paso hecho en el progreso de las ciencias exactas.

JHOAN STUART MILL.

Este brillante matemático nació en giras, Francia, el 31 de marzo de 1596. fue el tercer hijo de una familia noble. Se aplazo su educación formal por ser un niño débil y enfermizo. A los 8 años ingreso al colegio jesuita la fleche. Su condición enfermiza hizo que tuviera algunas concesiones en la escuela, como levantares tarde si el lo deseaba. Esta costumbre la siguió alo largo de su vida, tiempo que utilizaba para la meditación; quizás esto influyo para que siempre tratara de conocer la causa de todo lo que lo rodeaba. En este colegio conoció a mersenne; famoso aficionado a la ciencia y a la matemática, quien fue su mas antiguo compañero y llego a ser su agente científico y protector en jefe. dejo la escuela en 1612 y se dirigió a Paris. Ahí volvió a encontrarse con mersenne, con quien consagro dos años al estudio de la matemática.Posteriormente, conoció a Isaac beeckman, uno de los matemáticos mas eminentes de su época, quien reconoció al instante su genio y reavivo el interés del joven por los problemas matemáticos. Durante aquel invierno, beeckman le propuso a descartes que encontrara la ley matemática que rige la aceleración de los cuerpos que caen. Ninguno de ellos sabia que galileo había resuelto ya dicho problema su solución apareció en su obra dialogi de 1632. descartes estableció diversas soluciones.

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En 1649 viajo a Suecia, en donde finalmente murió, en Estocolmo, el 11 de febrero de 1650 a causa de una inflamación en los pulmones.A rene descartes se le atribuye la invención de la geometría analítica; en elle reine los métodos de álgebra y de la geometría, dando pie a un poderoso instrumento con el que se pueden resolver problemas de matemáticas y describir muchos fenómenos de la naturaleza. La geometría analítica permitió solucionar muchos problemas geométricos que los griegos no habían podido resolver e hizo posible abordar problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos, dando lugar al nacimiento de la mecánica.Descartes publico en 1637 uno de sus libros mas famosos: discurso del método para guiar la razón y encontrar la verdad de las ciencias. Incluyo como un apéndice una de las obras matemáticas mas brillantes de todos los tiempos: la geometría, en la cual expuso su nueva teoría, que fue determinante para el nacimiento del calculo diferencial e integral unos 50 años mas tarde.En la geometría analítica la herramienta básica es el plano cartesiano, en el que puedes representar puntos utilizando coordenadas rectangulares, llamadas también cartesianas en honor a su creador. El primer valor de las coordenadas se llama básica y el segundo valor es la ordenada.

Actividades de aprendizaje:

2: la llantera: en un lote baldío de 50 metros por 100 metros, una compañía llantera requiere colocar la barda a un terreno rectangular de 550 metros cuadrados de superficie, dejando sin barda el lado que da al norte por que Será utilizado como entrada.´¿ que dimensiones deberá tener el terreno para que la longitud de la barda sea la mínima? .............................................................................................................................................

recomendación: anota el problema y cada uno de los incisos en tu cuaderno. Asegúrate de comprender lo que vas hacer. Si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro..............................................................................................................................................

[a] con tu equipo lee el problema y has un croquis con la información que se proporciona.

[b] Escribe lo que se te pide encontrar.[c] ¿ cuantos rectángulos de 550 metros cuadrados como los dos del croquis se pueden

obtener? [d] Enlista algunas de esas opciones en el cuadro 1.3. si consideras necesario, aumenta

el numero de renglones. En las celdas del ultimo renglón del cuado escribe las formulas que utilizaste para calcular altura, largo de la barda y área.

[e] Con los valores del cuadro, elabora una grafica en el plano cartesiano.

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base Altura (m) Área cercada (m2)

Largo de la barda (m)

b

Representada en el eje x la base del terreno a baldeada y en el eje y la longitud baldeada. Une los puntos localizados trazando una curva. Señala con color las columnas del cuadro que utilizaste para hacer la grafica.[f] En la grafica, ¿ que representa cada punto?[g] ¿ en que punto de la grafica se encuentra la solución de este problema? señálalo con

rojo.[h] Utilizando la grafica, estima las coordenadas de ese punto y con ellas elabora tu

propuesta de solución al problema ( remárcala). Redáctala de manera breve, clara y sencilla.

[i] ¿cómo quedaría trazada una recta tangente a la curva en ese punto? Dibuja con color azul. Si tienes problemas para resolver esta actividad lee la siguiente lectura complementaria al final de este problema.

A partir de este momento se te solicitara dibujar una recta tangente en el punto mas alto o mas bajo de la grafica del problema. En la siguiente unidad las problemas te plantearan el trazo de la recta tangente a la grafica de la función en un punto dado. En la secundaria y el bachillerato tecnológico has estudiado a la recta tangente en los cursos de geometría. Para mejorar las ideas que has adquirido sobre este tema a continuación se presenta una lectura.

Lectura complementaria: recta tangente

Con tu equipo lee y subraya las ideas mas importantes del párrafo y con estas elabora un comentario y léelo en el grupo.La definición que estudiaste en los cursos anteriores de matemáticas de la recta tangente para curvas suaves y cerradas es:

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1. una recta p es tangente a una curva en un punto m si m es el único punto de contacto de la recta con la curva.

Como lo muestra la figura 1.2, esta idea es la recta tangente se ajusta perfectamente a lo que estudiaste en los cursos de geometría de la secundaria y el bachillerato.Debes entender la insuficiencia de tal definición para curvas no cerradas. La figura 1.3 ayuda a que lo comprendas. Considerando la primer definición podemos concluir que en la figura 1.3 la grafica de la izquierda muestra una recta tangente a la curva en el punto m y la grafica de la derecha muestra una recta que no es tangente a la curva en el punto m . ambas afirmaciones son incorrectas.La siguiente es la versión mejorada de la anterior definición:

2. una recta p es tangente a una curva en el punto m si la recta p toca a la curva en el punto m, pero no la toca en ningún otro punto “ cercano” a m.

Aunque la definición es un poco mas precisa, aun no es todo correcta; averigua por que. ( en la siguiente unidad mejoremos esta definición). ¿ tu, tu equipo y el grupo pudieron resolver los problemas anteriores? Si es así, ¡ felicidades!

Enseguida se incluye un problema resuelto con el objetivo de que lo revisen en clase y reafirmen algunas cuestiones que trabajamos hasta aquí.

Actividades de aprendizaje

3 la jaula del zoológico: se desea construir una jaula rectangular para encerrar a un león. Para ello solo se cercaran tres lados, ya que se utilizara la barda poniente del zoológico

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como cuarto lado. Si el material disponible para el cerco son 30 metros lineales, halla las dimensiones de la jaula rectangular que tenga la mayor área posible.

Estrategia de resolución a) de la lectura del enunciado obtenemos que lo planteado es : encontrar las

dimensiones de una jaula rectangular que ocupe la mayor área posible. b) En la figura 1.4 se muestra el dibujo del problema.c) Como observaste en los problemas anteriores, hacer una grafica del problema

resulta útil para establecer una aproximación de la solución. Para elaborar la grafica, primero es necesario contar con un cuadro de valores ( trabajo que se muestra a continuación).

Cerco de 30 metros

h

b

barda

Base (m) Altura (m) Largo del cerco (m) Área cercada ( m2)1 28 30 283 24 30 725 20 30 1007 16 30 1129 12 30 10811 8 30 8813 4 30 5215 0 30 0

En el problema anterior te diste cuenta de que para llenar el cuado de valores primero tenemos que determinen los valore que pueden tomar la base. Esto se hace considerando las condiciones establecidas en el enunciado, en este caso: el valor de la base tiene que ser mayor que cero (b> 0) y menor que 15 (b<15). Entonces en el cuadro 1.4 habrá valores de la base del 1 al 15.

Jaula rectangularDe mayor area

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Enseguida elaboramos ejemplos de los cálculos de la altura y el área cercada para que tengas claro como se obtuvieron estos valores:

*Ejemplos de los cálculos:

Llamaremos L al largo del cerco; se sabe que: L = 30M Y L = 2b + h.Despejando h obtenemos h =30- 2 b.Además, si A es el área de la jaula que es rectangular, tenemos: A = bh

*Cálculos: para b=1 para b=3m h= 30-2(1)=28 m y h= 30-2(3)= 24m y A= 1 (28)= 28m2 A=3 (24)=72 m2d) representamos en el plano cartesiano el área de al jaula en el eje vertical y la base en el eje horizontal.e) localizamos en el plano certeciano todas las parejas de valores (b,A) que se encuentran en el cuadro.f) localizamos los puntos, los unimos con una línea curva sin despegar el lápiz del papel.g) la curva que resulta es la grafica de al formula del problema ( véase la figura 1.5).

h)a continuación localiza el punto de la grafica que representa la jaula de mayor área. Para esto tendremos que localizar el punto mas alto de la curva (véase la figura 1.5). la grafica nos indica que este punto tiene coordenadas (7.5, 112.5). verifícalo. Estos valores dependen de que tan bien elaboramos nuestra grafica y por lo tanto pueden variar.a) con esta información se puede establecer una buena aproximación de la solución del

problema.

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Solución: las dimensiones de al jaula rectangular de mayor área son:

base de 75m. La altura se determina: h= 30-2(7.5)=15m El área máxima es: 112.5 m2.

COMENTARIOS DEL TRABAJO REALIZADO HASTA AQUÍ

1.- cada uno de los problemas anteriores te mostró que se puede tener un “número muy grande” ( gigantesco) de posibilidades, ya sean gallineros, corrales, llanteras, jaulas, tantas como puntos tiene la jaula del problema.2.- dependiendo del problema, la solución la encontraste en el punto mas alto de la grafica si el problema es de máximos y en el punto mas bajo de la grafica si es de mínimos.3.- en el trabajo de los problemas anteriores observaste que; a pesar de elaborar cuadros con cálculos numéricos de cuatro columnas, al momento de hacer la grafica del problema solo se utilizan dos columnas.4.- de las columnas utilizadas para elaborar la grafica del problema, en el eje horizontal del plano cartesiano representarse los valores de la primera de la primera columna y el eje vertical los valores de la cuarta columna. Por ejemplo, en el problema de la llantera representarse los valores de la base en el eje horizontal ( primera columna) y en el eje vertical los valores de la longitud bareada (cuarta columna). En el problema del gallinero, en el eje horizontal se pueden representar los valores de la bases ( primera columna)y en el eje vertical su área ( cuarta columna). En el problema de la jaula del zoológico se represento en el eje horizontal los valores de la base (primera columna) y en el eje vertical su área ( cuarta columna).5.-lo anterior significa que cuando queramos elaborar la grafica del problema es necesario hacer cuadros dos columnas. De aquí en adelante, cuando tracemos la grafica de un problema utilizaremos cuadros con dos columnas.6.- es importante señalar que cuando se realiza el trabajo de elaboración de cuadros con dos columnas, los valores de la primera columna se escogen de acuerdo con las condiciones que establece el problema, pero los dos de la segunda columna dependen de los de la primera y tienen que calcularse utilizando una formula.7.- como pudiste observar, realizar un dibujo con toda la información de un problema resulta muy útil por que nos ayuda a comprender lo mejor. Pero existen otras posibilidades,como el siguiente problema lo permita , se te sugiere que elabores un modelo físico y anotes en el toda la información que se te proporciona en el enunciado.

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Actividades de aprendizaje

4.- la caja. Un fabricante desea hacer cajas sin tapa para envasar un producto. Para esto, hara uso de piezas rectangulares de cartón de 50 por 30 centímetros, cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas y doblando como la ilustra el profesor al construir el problema físico del problema. Encuentra la longitud del lado del cuadrado que será cortado en cada esquina, si se quiere obtener que encierre el mayor volumen posible. ...................................................................................................................................................

recomendación: en tu cuaderno anota el problema y cada uno de sus incisos. Asegúrate de comprender lo que vas a hacer . si existen dudas al respecto, en equipo consulten con su maestro....................................................................................................................................................

a) escribe lo que el problema te pide hallar.b) Encuentra la formula para calcular el volumen de una caja como la planteada del

problema.

Con el trabajo que has realizado hasta aquí , en tu equipo ya comprendieron el problema. Los siguientes dos incisos son para elaborar la formula con la que tienes que calcular los valores de la segunda columna del cuadro.Si tu equipo tiene dificultades para entender como se elabora la formula del problema, se te sugiere que realices: los ejemplos numéricos suficientes para que elabores la figura geométrica que esta presente en el problema, así como sus dimensiones y conceptos geométricos que esta involucra. Por ejemplo, en este problema elabora ejercicios, en los que, conociendo el valor del lado del cuadrado que cortaste en cada esquina, calcules largo, ancho, alto y volumen de la caja. Recuerda esta recomendación siempre que tengas dificultades para hacer la función del problema.

c) si le llamamos x a la longitud del lado del cuadrado que se va a cortar, escribe las dimensiones de x

d) encuentra una expresión que calcule el volumen de la caja que solo dependa de x y llámale V (x). Esta formula se conoce como la función del problema.

Para que comprendas el significado de función y la lectura correcta de V (x) lee el apartado 1.3 titulado: las funciones. Después de hacer esta lectura prosigue este problema.

e) en el plano cartesiano realiza la grafica de la relación anterior, representando en el eje horizontal la longitud x y en el eje vertical el volumen de la caja.

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f) localiza el punto de la grafica donde se encuentre representada “la caja de mayor volumen”, señalo con color diferente al de la grafica y con esta información elabora una propuesta de solución al problema planteado.

g) Traza una recta tangente a la curva en el punto anterior.

PARA DISCUTIR EN EQUIPO

revisa el proceso que se siguió para resolver los problemas anteriores, con la finalidad de que puedan observar la estrategia empleada en la resolución. Después escribe en tu cuaderno los pasos que pudiste apreciar en esta discusión.

Considerando esta estrategia, resuelve los problemas que se te plantean a continuación en los problemas extra clase . antes lee y comenta el problema resuelto que se te presenta para que puedas emplear el dominio que has adquirido de este tema. Si tienes dificultades acude con tu profesor.

Actividades de aprendizaje

5.- la lata sin tapa. Un fabricante desea construir latas de forma cilíndrica y sin tapa para envasar el producto. Encuentra las dimensiones para que la lata resulte lo mas económica posible; es decir , para que el área de hojalata empleada en cada bote sea mínima, sabiendo que el volumen de cada lata será de un decímetro cúbico (un litro).

Estrategia de resolución

a) como has observado en los problemas anteriores, es importante comprender el problema para obtener la resolución. Para esto realizamos lo siguiente:

leemos, discutimos y analizamos el enunciado del problema. elaboramos un dibujo o modelo físico con toda la información importante

del enunciado. Un dibujo de este problema es como el de la figura 1.6.

2 ii r

h

r r

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con tu equipo elabora el modelo físico del problema.b) Enseguida anotamos lo del problema pida hallar: las dimensiones de la lata sin tapa

de menor área. Si eres capaz de hacer todo lo que se ha descrito hasta el momento, con seguridad traerás una idea bastante clara del problema y estarás en condiciones de salir adelante. Si no es así, se te sugiere que vuelvas a hacer todo lo anterior, reiniciando desde la lectura del enunciado, y donde tengas dificultases plantéaselas a su profesor.

c) Para continuar con la resolución de nuestro problema es fundamental elaborar la función del problema. Recuerda que si esta actividad te resulta difícil, se te sugiere realizar ejemplos numéricos en los que calcules el área de la lata sin tapa.Con tu equipo realiza cuando menos dos ejemplos numéricos del problema. Si el volumen es de 1 dm3, asígnale dos valores al radio y calcula la altura y el área de la lata.

como la función se obtiene con las formulas del problema, revisamos que relaciones existen en el problema de la lata sin tapa.

De los ejemplos numéricos que realizaste observaste que se calcula el área de la lata sin tapa con la formula: A iir2 + 2iirh. También se involucra el volumen de la lata; como lo recordaras, este se determina con la formula: V= iir2h.Si observas el enunciado del problema, dice “ buscamos la lata de área mínima”. Esto significa que en nuestro problema debemos elaborar una función que exprese el área de la lata. La variable independiente la seleccionaremos del resto de las variables del problema, r o h. para elaborar la función de nuestro problema partimos de :

A= iir2 +2iirh

Como queremos que solo dependa de r, necesitamos buscar un valor para h y sustituirlo en 1. esto hace utilizando la formula de volumen:

V= iir2h

Como V= dm3, entonces despejando h de (2) obtenemos h = 1 iih2sustituimos este valor en (1) y obtenemos la función del problema:

A(r)= iir2 + 2iir 1Iir2

Realizando las operaciones indicadas obtenemos:

A (r)= iir2 + 2 r

que llamaremos la función del problema.d) enseguida elaboramos la grafica del problema para obtener una aproximación de su

solución.36

Para poder hacer la grafica necesitamos realizar un cuadro de dos columnas con valores numéricos. De la elaboración de la función del problema sabemos que:

La variable independiente es r y la variable independiente es A. Para el llenado de la primera columna necesitamos obtener el dominio

de la función, en este caso es : r >0. de aquí solucionamos valores para la primera columna del cuadro (véase el cuadro 1.5).

Con la función calculamos los valores de la segunda columna ( véase el cuadro 1.5).

Representamos los puntos del cuadro 1.5 en el plano cartesiano y los unimos para obtener la grafica del problema (véase la figura 1.7).

Cuadro 1.5

e) a continuación se obtiene la aproximación a la solución del problema. Para poder obtener la aproximación deseada utilizamos la grafica del problema.

En ella localizamos el punto que representa la lata de menos área. Este punto será el mas bajo de la grafica ( véase la figura 1.7).Con la grafica localizamos las coordenadas del punto mas bajo (véase la figura 1.7). estos valores pueden variar dependiendo de lo bien que hayas hecho la grafica.Con las coordenadas obtenidas elaboramos nuestra propuesta de solución:

Sr. Empresario: La lata que te conviene hacer, es decir la lata de menor área, es aquella que tiene las dimensiones siguientes:Un radio de 0.7 dm. Este valor se localiza en el punto mas bajo de la grafica.Una altura de 0.65 dm. Este valor se determina con la formula: h = 1Con el área de 4.365 dm. ii r2

Recuerda que estos valores son una aproximación y pueden variar dependiendo de lo bien que elabores la grafica del problema. Para saber si tienes una mejor aproximación que la

37

r A(r)0.1 20.03140.2 10.12560.3 6.94940.4 5.50260.5 4.78540.6 4.46430.7 4.39650.8 4.51060.9 4.76691 5.1416

que se te plantea en este problema, solo revisa que el área de tu propuesta sea menos que 4.3965 dm3.

f) por ultimo, realizaremos dos actividades: trazaremos una recta tangente a la grafica del problema en el punto mas bajo

(véase la figura 1.7). revisaremos que la aproximación que planteamos es congruente con las

condiciones establecidas en el problema. Para esto revisa si:1. se puede elaborar una lata cilíndrica sin tapa. 2. el radio esta en el dominio de la función del problema.3. se obtiene la lata sin tapa de menor área.

Problemas extraclase1. el corral del granjero. Un granjero quiere construir un corral rectangular dividirlo por una valla paralela a la altura del rectángulo. El granjero dispone de 240 metros lineales para el cerco, incluyendo la valla. Encuentra las dimensiones del corral de área máxima que puede construir2.un corral para el perro. Dos personas poseen lotes vecinos de 50 metros de largo por 25 de ancho. El primer vecino ha construido una barda alrededor de su terreno. El segundo quiere construir un corral rectangular de área tan grande como sea posible para encerrar a su perro; para esto dispone de 38 metros lineales de material para cercar y utilizara la barda como un lado del corral , es decir que solo cercara tres lados del corral ( véase en la figura 1.8).

Lote delote

50 m 50m

a) si x representa la longitud del lado del corral que quedara en la barda del prime vecino, encuentra, en términos de x, la función del problema.

b) ¿ que valores pueden tomar x (como dominio de la función)?c) Encuentra las dimensiones del corral que abarca la mayor área posible.

3. la alberca. Una persona atiene en su casa un patio rectangular que mide 20 por 30 metros y desea construir una alberca de forma rectangular, cuya área sea de 40 metros cuadrados.

Lote del primer vecino ( esta bardeado)

Lote del segundo vecino

h

b

corral

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Determina las dimensiones del rectángulo para que la cantidad de material que use en las paredes sea la mínima.

4. la barra de margarina. Una fabrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de un prisma de base cuadrada, cuyo volumen es de 108 centímetros cúbicos. Determinan las dimensiones con las que se gastaría menos papel).

5. la caja para empacar harina. Se pretende empacar harina en cajas con tapadera, las cuales se fabrican usando laminas de cartón rectangulares de 40 cm de largo por 24 cm de ancho, cortando cuadrados iguales y doblando como se muestra en la figura 1.9.

cortes

24 cm

20 cm 20cmi

a) ¿ cuanto mide el lado de los cuadrados que se cortan y que se hacen que el volumen de la caja sea máximo?

b) ¿ cuales son las dimensiones de la caja de mayor volumen?c) ¿ cual es el volumen de dicha caja?

6. la lata para envasar chocolate. Una compañía usa latas de forma cilíndrica pare envasar chocolate en polvo en su presentación de 400 gramos. Encuentra las dimensiones que minimicen el costo de la lata (área mínima de la hojalata que se debe emplear en cada bote), sabiendo que el volumen de cada bote es de 909.2 centímetros cúbicos.

7. la lata para envasar aceite. Una compañía fabricante de aceites desea construir latas cilíndricas de un litro de capacidad para envasar el producto. Encuentra las dimensiones que debe tener la lata que requiera la mínima cantidad de material en su constricción.

8. los postes. Dos postes, uno de 15 metros y otro de 10, se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas a una distancia de 20 metros.

h

a

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Calcula la longitud mínima de un cable que vaya de desde la punta de uno de los postes hasta el suelo y luego vuelva a subir hasta la punta del otro poste.

9. el libro. Cada una de las paginas de un libro debe tener 600 centímetros cuadrados de área, con márgenes de dos centímetros a los lados y tres centímetros arriba y abajo. Encuentra las dimensiones de la pagina que permitan la mayor área impresa posible.

10. el canalón. Si tienes asignado el trabajo de construir un canalón para transportar agua de lluvia de una hoja de metal de 15 centímetros de ancho, y a un tercio de ancho de la hoja se dobla esta hacia arriba un ángulo C para formar los lados del canalón ( tal y como se muestra en la figura 1.10), ¿qué tan grande debe hacerse el ángulo C para maximizar el área de la sección transversal del canalón y por lo tanto su capacidad de acarreo?

1

1

5cm 15 cm h c

5 cm

11. el canalón (segunda versión). De una larga pieza de lamina de valor conocido (asígnale el valor que quieras) galvanizada de 51.5 cm de ancho, se va hacer un canalón para que conduzca agua, doblando hacia arriba las orillas de largo hasta formar ángulos rectos (véase la figura 1.11). encuentra las medidas de ancho y la altura del canalón que permita que fluya el mayor volumen de agua.

largo

h

51.5 cm b

Lámina

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12. la ventana. Un arquitecto desea diseñar cierto tipo de ventana de tal manera que la parte inferior sea rectangular y la superior sea un triangulo equilátero ( véase la figura 1.12). si cada ventana tiene un área de tres metros cuadrados, ¿ cuales deben ser sus dimensiones para que el parámetro sea el menor posible?

Ventana de 3 m2 de área

Resumen:

En este tema tuviste la oportunidad de trabajar con problemas de máximos y mínimos, muchos de ellos enmarcados en tu realidad. Para aproximarte a su solución utilizaste el precalculo, es decir la matemática que has estudiado hasta antes de este curso: aritmética, álgebra y geometría. Fue necesario recordar los tipos de números que has estudiado en la escuela: naturales , enteros, irracionales así como algunas cuestiones elementales de geometría analítica como el plano cartesiano y la localización de puntos en este.Recordaras que cuando se resuelve un problema de máximos y mínimos es importante considerar una primera parte en la que se tiene que leer, discutir y analizar hasta llegar a comprender el problema. Enseguida, haces la función para llenar un cuadro de valores con el que elaboras su grafica. Con la grafica localizas aproximadamente las coordenadas del punto mas alto o mas bajo, según sea el caso, y con estos valores redactas tu aproximación del problema.Finalmente verificas si tu propuesta es congruente con la información del problema.

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LAS FUNCIONES

Cuando resuelves problemas de máximos y mínimos como los anteriores aparecen lineamientos que son comunes de estos problemas, tales como el uso de variables y formulas. Por ejemplo, en el problema de la caja determinamos que su volumen se calcula con la formula V(X)= (50-2X) (X); donde al escribir V(x) nos referimos al echo de que V depende de X (V esta descrita en términos o en función de X). en el problema de la lata sin tapa determinaste que su área se calcula

Con la formula A(r)= ii r2 + 2, aquí A (r) significa que A depende de r (A esta escrita rescrita en función o en términos de r). De la misma manera, en el problema de la

llantera, la longitud de la barda (l) esta determinada por L (b) +2 550 , bdonde L (b) expresa que L depende de b (L esta función o en términos de b). En

el problema del gallinero, su área esta determinada por A (b)= b 50-2b , con A (b) 2

nos referimos al echo de que A depende de b ( A esta en función de términos de b).

LAS VARIABLES DE UNA FUNCION

En las formulas anteriores se distinguen dos tipos de variables : una se llama variable dependiente por que su valor depende de otra variable; en caso del problema de la caja V (x) depende de x, de la misma forma que en el problema de la lata sin tapa A (r) depende de r, así como el problema de la llantera L (b) depende de b. A la otra variable de una función se le conoce como variable independiente; en el problema de la llantera y en el gallinero dicha variable es b.

LA DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Usualmente una función se describe por medio de una formula que dice explícitamente como calcular los valores de la variable depende a partir de los valores de la variable independiente. Pero este no es siempre el caso, ya que algunas funciones son difíciles o imposibles de describir con formulas y deben ser representadas por otros medios. De acuerdo con esto, el concepto de función es mas amplio, mas general que el concepto de formula.

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A las relaciones o fórmulas mencionadas en este apartado los matemáticos le llaman funciones. En 1755 Leonhard Euler definió a la función de la siguiente manera “si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se las llaman funciones de las ultimas”. Desde entonces a la fecha este concepto ha ido evolucionando hasta llegar a la definición actual: “ si a cada valor que puede tomar la variable independiente le corresponde un valor y solo uno de la variable dependiente diremos que dicha correspondencia es una función”.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

A todos los valores que puede tomar una variable independiente en una función se la conoce como dominio de la función y lo denotaremos con D. Por otro lado, a los valores que toma la variable dependiente se la llama rango, contradomino o imagen de la funciona y lo denotaremos con I. Por ejemplo, en el problema de la caja, los valores que toma la variable independiente (x) son: 0< x < 15; esto es, el dominio de la función. Todos los valores que en este problema de la llantera, las valores que puede tomar la variable dependiente , L (b), es el rango o imagen.

Los valores de la variable independiente (dominio de la función) normalmente son establecidos por las condiciones del problema y cuando estas condiciones están escritas en una relación, los matemáticos las llaman restricciones.Cuando se quiere escribir el intervalo que construye el dominio y el rango de una función, los matemáticos utilizan primero el valor mas pequeño de todos, llamado extremo superior. Lo denotan con b, y emplean la simbología que se describe a continuación:

Intervalo abierto. Representa todos los valores numéricos entre a y b, sin incluir a a ni b, y se escribe (a,b). Una manera grafica de representar este intervalo es:

[ ]

a b

intervalo cerrado. Representa todos los valores numéricos entere a y b, incluyendo a a y b y se escribe [a,b]. Se representa así:

42[ ]a b

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intervalo semiabierto. Existen dos posibilidades y representa todos los valores numéricos entre a y b, incluyendo a o b. Se escribe (a,b] o [a,b). Se representa:

( ]a b[ )a b

por ejemplo, cuando se hablo en este apartado del dominio y el rango de la función, hicimos notar que en el problema de la llantera el dominio de la función es 5.5 < b< 50. si utilizamos la notación recién descrita, diríamos que el dominio de la función es [ 5.5, 50] y gráficamente se representa:

[ ]5.5 50

otro ejemplo de esta notación es el problema de al jaula del zoológico, en el que el dominio de la función es 0< b < 15 o (0, 15) y gráficamente se representa:

( )0 15

un tercer ejemplo en el que podemos ilustrar esta notación es el problema del gallinero, en el que se puede establecer que el dominio de la función es 0< b < 20 o (0, 20] y gráficamente se representaría.

( ]0 20

LA GRAFICA DE UNA FUNCION Una manera muy útil de expresar una función es con su grafica. Dibujar la grafica de una función es un trabajo que realizaste cuando resolviste los problemas de máximos y minamos de esta unidad. Para esto hiciste los siguiente:

elaboraste un cuadro con dos columnas. En la primera columna colocaste los valores de la variable independiente. Estos los

obtuviste del dominio de la función. En la segunda columna colocaste los valores de la variable dependiente. Estos los

calculaste con la función. Posteriormente, representaste cada pareja de los valores del cuadro (coordenadas)

en el plano cartesiano; en el eje horizontal, los valores de la variable independiente y en el eje vertical de la variable dependiente. Con esto obtuviste algunos valores de la grafica.

Finalmente uniste los puntos con un lápiz o color para dibujar la grafica.

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Ya que una función es una relación en la que una cantidad variable depende de otra, podemos aplicar un criterio geométrico bastante simple para decidir si una grafica representa una función.

Criterio de la recta verticalSi toda recta vertical cruza la grafica siempre en un solo punto, dicha grafica representa una función.

Resumen:

En este apartado estudiaste uno de los conceptos fundamentales del calculo:La función. Aquí, te presentamos una de las primeras definiciones de función dadas por L eonhard Euler en 1755, así como una de sus versiones actuales.Se enunciaron los conceptos inherentes a una función como son: sus variables ( variable independiente y dependiente), su dominio y rango, y su grafica.Se mostraron los diferentes intervalos que se utilizan para describir el dominio y el rango de una función.

Este trabajo se inscribe en el contexto de los problemas de máximos y mínimos que resolviste en esta unidad para darles significado a cada uno de estos conceptos.

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Resolución de problemas de máximos y mínimosCon ayuda de al computadora.

Lectura complementaria: ¿ que es una computadora?.

Lee con tu equipo y elabora un resumen. Coméntalo en el grupo.

Una computadora es un aparato electrónico que procesa diversa información. Actualmente existen computadoras capaces de realizar operaciones simultáneamente.El uso de este aparato se extiende en la actualidad a las empresas, hogares e instituciones educativas y no existe un lugar prácticamente ajeno a ellas. Las mas conocidas son las llamadas PC y las lap-top ( tienen forma de portafolio y se puede transportar a cualquier parte).A una computadora se les suministran instrucciones y datos; la maquina los procesa y produce un resultado.La computadora se utiliza para manipular muchas formas de información: datos numéricos, textos, graficas, musica, sonidos, videos,etc. Estos aparatos pueden realizar operaciones matemáticas con gran rapidez, trazar graficas, dibujar figuras geométricas y moverlas en la pantalla.Los datos y las instrucciones originales se introducen en la computadora en un lenguaje especial de computación, llamado lenguaje de computación; existen muchos de estos lenguajes, como Basic, logo y lenguaje C, entre otros.Un programa de computación es una lista de instrucciones que la computadora debe seguir en orden al procesar los datos. A quienes se encargan de escribir estos programas de computación se les conoce como programadores. Sin embargo, el usuario común de una computadora no necesita conocer ningún lenguaje especializado. Seguramente tu conoces algunos problemas : hay juegos, libros, interactivos, enciclopedias y otros para facilitar el estudio de algunas materias escolares. En un primer paso, las instrucciones que aparecen en el programa se descodifican y ejecutan una por una en una unidad de procesamiento central conocida como CPU (central processing unit); la información y los resultados del proceso aparecen en la pantalla. Esta información se puede almacenar en discos magnéticos que pueden estar fijos, dentro de la computadora (conocidos como discos duros), o bien pueden ser portátiles, como los discos flexibles, discos compactos, etcétera.

Resuelve problemas de máximos y mínimos Con ayuda de la computadora

Los problemas que resolvemos a continuación son como los que resolviste en el apartado 1.2 y están diseñados para utilizar la computadora como auxiliar. En particular, se hace uso del paquete CALCULA, aprovechando su rapidez para elaborar graficas y trazar rectas tangentes a una curva en un punto dado de esta. Entre las actividades poder realizar para la resolución del problema, algunas te orientaran en el uso de la computadora con el paquete CALCULA . si tu plantel no cuenta con este programa para elaborar graficas, puedes

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recurrir al exel que ya viene instalado en las computadoras que tienen Microsoft office. Si no conoces el uso de exel. Recurre al anexo A, en el que se proporciona un pequeño manual de instrucciones básicas y practicas para elaborar tablas y graficas. Si tienes dificultades para utilizar la computadora acude a tu maestro.

Actividades de aprendizaje

La siembra de hortalizas. Un granjero quiere sembrar hortalizas en un terreno rectangular. Para proteger el sembrado lo cercara, disponiendo para ello de 21 metros lineales de material para la cerca. ¿ cuanto deberán medir los lados del terreno que abarquen la mayor cantidad de hortalizas?

A) considerando el trabajo que ya realizaste en los problemas de máximos y mínimos de esta unidad, con tu equipo realiza el trabajo necesario para elaborar la función del problema y establece su dominio.En este momento te dabas a la tarea de elaborar la grafica del problema, ahora este trabajo la hará la computadora utilizando el paquete CALCULA.En caso de no tener este programa de computo puedes utilizar cualquier otro. b) enciende la computadora e inicia el paquete CALCULA.c) para que la computadora te auxilie en el la elaboración de la grafica, necesitas proporcionarte el dominio de la función. Con el mouse selecciona el icono a la izquierda de la pantalla que tiene los símbolos Xi Xf ( también lo puedes hacer presionando ALT-X). Te pide el valor inicial; daselo y oprime la tecla ENTER. Ahora te pide el valor final, daselo y presiona ENTER.d) en tu cuaderno elabora un bosquejo de la grafica del problema. Verifica en la actividad del inciso (e) si es correcto. En el bosquejo señala el punto que representa la solución del problema y dibuja una recta tangente a la curva en ese punto ( verifica esto en la actividad (h) ).e) en la esquina inferior izquierda aparece: y= f(x); posiciona el cursor utilizando el mouse delante de esta expresión, introduce la formula del problema y coloca el cursos en el icono con la letra f. oprime ENTER para que la computadora elabore la grafica.La computadora solo reconoce como variable independiente a y o f (x) y como variable independiente a x. Recuerda esto para que hagas los cambios pertinentes en tu función al momento de introducirla al paquete CALCULA.

Si no aparece la grafica esperado, con el mouse activa el icono de escala que viene a la derecha de la pantalla y asígnale al eje horizontal y el eje vertical una escala adecuada para que al computadora te dibuje la grafica.f) ¿ que representa cada punto de la grafica?g) ¿ en que punto de la grafica esta el mayor punto del corral de mayor área? localízaloh) ¡ como es la recta tangente a la curva en este punto? ¡obsérvalo tecleando F4! También lo puedes hacer con el mouse, presiona el icono f” (x)que esta a la derecha de la pantalla.En el caso de que no aparezca la recta tangente horizontal, utiliza las flechas izquierda y derecha del teclado para desplacer el punto sobre el eje de las x. De manera automática, tu cursor se desplaza sobre el eje x, avanzando un décimo a la vez; si quieres que el avance esa de un centésimo presiona una vez el signo de (-); si quieres que el avance sea un

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milésimo oprime una vez mas el signo de (-) y así sucesivamente. En caso presionar el signo (+), tu avance retrocederá, por ejemplo, de los milésimos a centésimos o de los cartesianos a decimos, etc..i) con toda la información que tienes del problema, redacta tu propuesta de solución.j) verifica si tu propuesta de solución es congruente con la información que sete proporciona en el problema.k) si el granjero dispone de material para cercar 42 metros lineales, cuales son las dimensiones que maximizan el terreno rectangular? Y ¿cuáles medidas de la base de la altura si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar es de 57 metros lineales? Y en general si el material para cercar L metros lineales,¿cuáles son las dimensiones que maximizan el área del terreno rectangular?

Actividades de aprendizaje

Con el proceso de solución discutido anteriormente y utilizando al computadora resuelve los siguientes problemas.

2. la lata sin tapa. ¿ cual es la menor cantidad posible de material que se debe utilizar para construir una lata sin tapa de base cuadrada de 20 litros de capacidad? (recuerda que un litro equivale a un décimo cúbico.) es necesario minimizar la superficie de la lata.

3. la caja para cerrillos. En una industria cartonera se plantea construir una caja sin tapa para empacar cerrillos, para esto utilizara laminas de cartón de 8 centímetros por 6 centímetros, cortando cuadros iguales en las cuatro esquinas...

Y doblando los lados como lo muestra la figura 1.21. encuentra las dimensiones de la caja de mayor volumen. cortes

6 cm

48

l8 cm

Resumen

En este apartado resolviste problemas de máximos y mínimos con ayuda de la computadora. Observaste la rapidez de la maquina para laborar la grafica de la función. Esto resulta útil por que te libera del trabajo laborioso, tedioso, repetitivo y puedas y puedes emplear este tiempo para llevar a cabo con detenimiento las demás etapas del proceso. De aquí en adelante, cuando tengas oportunidad de hacerlo puedes utilizar la computadora para elaborar la grafica de la función del problema.En este contexto, nuevamente trabajaste con las funciones, sus variables, su dominio y rango su grafica. Una vez mas aplicaste el proceso estudiando en el tema 2 para resolver problemas de optimización.

Recapitulación Unidad 1

En esta unidad resolviste problemas de máximos y mínimos con el precalculo, utilizando el lápiz, papel y calculadora o la computadora en este contexto:

* Vinculaste a la matemática como herramienta que resuelve situaciones reales y cotidianas en tu entorno.* Se le dio significado a una de los conceptos fundamentales del calculo: la función, así como sus variables (dependiente e independiente), su dominio y rango, y su grafica.* Observaste la computadora por su extraordinaria rapidez para elabora tablas o graficas, liberándote así del trabajo laborioso tedioso y repetitivo.

Aplicaste tus conocimientos previos de aritmética: los números naturales, enteros, racionales e irracionales y sus operaciones básicas de álgebra (suma, resta, multiplicación y división). De geometría; la recta tangente y la formulas para calcular el área, perímetro y volumen de figuras elementales (cuadrado, rectángulo, triangulo, circulo, circunferencia, cilindro, prisma de base cuadrada y rectangular). Y de geometría analítica: la localización de puntos en el plano cartesiano.

a

h

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Para hacerte mas ameno y facilitarte el recordatorio de algunos conocimientos previos se te plantearon las siguientes lecturas complementarias: los números reales; rene descartes; la recta tangente, y ¿qué es una computadora? Estudiaste el proceso para resolver máximos y mínimos: recordaras que el primer paso es, con tu equipo, leer, discutir, analizar, acordar, y comentar hasta llegar a comprender el problema.Resolviste los problemas utilizando primero un metodo numérico que resulto laborioso, por lo cual, después empleaste un metodo geométrico que consiste en elaborar la grafica de la función del problema y te ofrece la posibilidad de acercarte mas al metodo empleado en el calculo para resolver este tipo de situaciones.Para finalizar este apartado, se te muestra un esquema que recoge lo mas importante de lo descrito anteriormente.

Resolviste problemas de máximos y mínimos

Te diste cuenta de que la solución de estos

problemas se encuentra en el punto más alto o más bajo de la gráfica.

Y que la condición geométrica en el punto solución es: que la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal.

En esta contexto estudiaste las funciones.

Conociste la estrategia de resolución de estos

problemas.

Observaste que esta herramienta matemática

solo te aproxima a la solución de los

problemas.

Con la herramienta matemática del

precalculo

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Actividades de confirmación de conocimientos

Para revisar se comprendiste lo trabajado en esta unidad, resuelve los siguientes problemas. Se te recomienda que si necesitas elaborar una grafica utilices la computadora.

1. a continuación se te dan las siguientes tablas de valores. Utiliza la definición actual y de Euler del concepto de función y di en que tabla la relación es una función o no.

x Y4 93 72 51 30 1-1 -1-2 -3

2. con las tablas de valores del problema anterior, realiza lo siguiente:

a) escribe la formula que menciona las variables independiente o dependiente.b) Elabora la grafica y con el criterio de la recta vertical verifica tu respuesta del

problema anterior.

3. se retomo de un curso pasado de calculo el problema que se escribe a continuación. El cuaderno de que se copio presentaba deterioro y algunas partes del problema estaban borradas.lee el escrito de lo que se recupero y realiza el trabajo necesario para completar las partes que le faltan :

problema. Elabora la grafica de la función A(b)= b( -b) en el dominio (0,50).

Proceso de resolución

Este trabajo fue realizado en equipo y como primer paso leímos, discutimos y analizamos la información proporcionada por el problema para comprenderlo. Comprendido el problema elaboramos el siguiente cuadro de valores.

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x Y

-10 0-8 6-8 -6-6 8-6 -80 100 -10

x Y4 23 22 20 2-1 2-3 2-5 2

x Y-3 12-2 7-1 40 31 42 73 12

B A (b) 0 8 33617

6002530 600

40045 22550

4.-el café Internet. En un lote baldío de 100x 200 mts se construirá un café Internet. Su dueño tiene recursos suficientes para colocar 391.5 mts lineales de pared. Hallar las dimensiones del terreno rectangular del café Internet de área máxima (que utilice todos los metros de pared disponibles).

5.-el taller. En un lote baldío de 30 x 60 metros un mecánico requiere colocar la barda de un terreno rectangular de 200mts cuadrados de área que utilizara como taller; dejara sin barda la mitad de lado que da al oriente que será utilizado como barda. Hallar las dimensiones del terreno rectangular cuya suma de longitud de barda sea la mínima .

6.- el envase. Una compañera refresquera desea envasar su bebida. Para esto hará uso de una lata de forma de prisma rectangular (incluida la tapa superior) el volumen de la lata será de 1 medio litro (500 cm cúbicos) y su largo será del doble de su ancho. Hallar las dimensiones de la lata que minimizan la cantidad de material empleada en su construcción ( la lata de menor área posible).

Auto evaluación

Para que tengas oportunidad de retroalimentar en los temas estudiados en esta unidad, compara tus resultados de los problemas que resolviste en las actividades de confirmación de conocimientos con los que se te presente en este apartado.Si detectas algún aspecto que te hace falta comprender, regresa al texto y repásalo.Par resolver el problema 1 utilizaste la definición de función: la actual y la que dio Euler en 1755. considerando lo que dice este concepto decidiste que cuando presenta una relación de función entre las variables independi4ntes y dependientes.En el problema 2 hiciste los siguiente: observando la relación que existe entre las variables del cuadro determinaste la fórmula que la relaciona. Para elaborar su gráfica representaste en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener puntos de la grafica. Finalmente uniste los puntos para dibujarla (aquí aplicaste el criterio el área vertical par comprobar tus respuesta del problema 1)

1.- establecemos las variables: (la respuesta se borró).2.- del dominio seleccionamos 10 valores para la variable independiente(véase el cuadro).3.- con la función calculamos los valores de la variable dependiente(los ejemplos se borraron).4.-representamos en el plano cartesiano las coordenadas del cuadro para obtener 10 puntos de la gráfica. Unimos los puntos para dibujarla (este trabajo se borro).

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En el problema 3 aplicaste el proceso para elaborar la gráfica de función (que estudiaste en esta unidad) y completaste las partes borradas del texto.Para la resolución correcta de los problemas 4,5 y 6, con tu equipo debiste de hacer los siguiente:1.- leer, discutir, analizar, acordar, aclara dudas de lo que se plantea en el enunciado. Esto para comprender el problema. Con este trabajo:a).- ubicaste lo que el problema te pide hallar o hacer.b).- elaboraste un dibujo o modelo físico del problema que contenga toda la información del enunciado.2.-enseguida empleaste el precálculo para obtener una aproximación de la solución del problema realizando lo siguiente:

a) los ejemplos numéricos necesarios para que tengas claro la figura geométrica que aparece en tu problema y comprendas como se determina cada uno de los elementos de esta figura.

b) Un cuadro de valores para hacer la grafica del problema( si tienes oportunidad, elabora la grafica con la computadora) donde:

Definiste la variable independiente y dependiente de tu problema Estableciste el dominio de la función (los valores que toman la variable

independiente) Elaboraste la función del problema para determinar los valores de la variable

dependiente.c) en el plano cartesiano representaste la coordenadas del cuadro para localizar puntos

de la grafica. Finalmente los uniste para dibujarlos.

3.- con la grafica del problema localizaste las coordenadas del punto mas alto o mas bajo, según sea el caso y con esta información elaboraste tu propuesta de solución. Por ultimo dibujaste una recta tangente a la grafica del problema en el punto que representas la solución y revisaste si tu propuesta en congruente con las información del problema.

SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMASUna buena aproximación de tu propuesta de solución en cada problema debió ser la siguiente:

Señor empresario: las dimensiones del café Internet de mayor área posible son : la base de 97 mts y una altura de 98.75 metros, con el área de 9568.75 metros cuadrados.

Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor de los que aquí se propone para saber si tu propuesta es mejor que la del texto solo verifica que tu área sea mayor.

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Señor mecánico: las dimensiones del taller de menor longitud de barda: la base de 12 metros y una altura de 100 sobre 6 metros. Con una longitud de barda de 49 metros.Nota. Estos valores pueden variar en decimales dependiendo de tu aproximación es mejor de la que aquí se propone. Si es mejor, la longitud de la barda será menor.Señor empresario: las dimensiones de la lata de mejor área posible son: su largo de 11 centímetros, su ancho de 5.5 centímetros y su alto de 8.26 centímetros, con una área de 393.58 centímetros cuadrados.

Nota: estos valores pueden variar en decimales dependiendo de si tu aproximación es mejor que la que aquí se propone. Si es mejor, tu área será menor.

Esperamos que hayas tenido éxito con el trabajo realizado hasta aquí, ¿si es así? ¡felicidades ¡ te invitamos a seguir trabajando con más ahínco. Recuerda que el trabajo con tu equipo es fundamental.

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