En los ejercicios 1 a 3 obtén la pendiente de la recta mostrada en la figura, inter-¡retando la pendiente mediante una relación entre desplazamientos verticaUho-rzontal.

a) Dibuja en un plano cartesiano reticulado la recta que pasa por los puntosA(-3,2) y B(1, l).

b) Calcula el valor de su pendiente.

c) Elige dos puntos distintos de esta recta y diígete de uno de ellos al otro ydespués regresa al punto de partida, interpretando la pendiente mediantedesplazamientos verticales/horizontales, considerando los signos de éstos.

En los ejercicios 5 a 7, caloula en el orden indicado la pendiente de la recta quepasa por los puntos dados. Compara en cada caso ambos resultados.

5. A(2,1), B(5, l) ffior= ? ffiuo= ?

Ampliando elconoc¡miento

Es posible considerar sólo desplazamien-tos horizontales positivos (de izquierda aderecha) cuando utilizas geométricamen-te la pendiente para ir de un punto a otrode la recta. En tal caso, los desplazamien-tos verticales senín negativos o positivos,de acuerdo con el signo de la pendiente.Así, la pendiente positiva dará ascensosverticales y la negativa descensos verti-cales.

Usando esta interpretación tendrás que:

a) Las gráficas de las rectas con pendien-te positiva suben hacia la derecha.

b) Las gráficas de las rectas con pen-diente negativa descienden hacia laderecha.

Lo anterior significa que la pendiente de unarecta puede interpretarse también como lacantidad de unidades que la recta se eleva odesciende, por cada unidad de cambio hori-zontal de izquierda a derecha.

3. Algebraicamente, esto significa que:

a) En las rectas con pendiente positiva,al aumentar el valor de x. aumenta elde y.

b) En las rectas con pendiente negativa,cuando Í aumenta, y disminuye.

Sugerencias parala autoevaluación 3A

1 a 3. Utiliza la pendiente interpretándola dedos formas:

Admitiendo que cualquiera, numerador odenominador, puede ser negativo cuandola pendiente lo es.

4. Revisa el Ejemplo la y las sugerencias a

losejerciciosla3.

l.

)

2.

6. S(=3, 8), T(4,9) ffi,r= ?

7. P(s,l),Qe1,3) *oo=?

En los ejercicios 8 a.e proporciona.

8. a=30o

10. a=0o

" "TS

meP=?

11, halla la pendiente de la recta cuyo ángulo de inclinación

9. a = l50o

11. a = 180'

.

j

\

0 \ ,l'

esta

= InqFu los elementos de unarecta como lugargeométri"" O

. 1 -1 1al --=-=-'22-2

Recuerda

(El signo negativo de la fracción se adju-dica sólo a uno de los dos términos de lafracción y no a ambos, pues en tal caso

la fracción sería positiva.)

b) Admitiendo que sólo el numerador puedeser negativo o positivo, según el signode la pendiente, y que el denominador es

siempre positivo.

I -l.trn este CaSO, -- - t, exCluslvalnente.

Ffrate enlo siguiente...

Cuando la pendiente es positiva puedes

analizar dos casos de desplazamientos, por

2-2eJemplo: - es lo mlsmo Que . .

J -J

Cuando la pendiente es negativa puedes ana-

lizar dos casos de desplazamientos. '

4-4Por ejemplo: -; puede tomarse como

-ff

4o como

-._\

5 a 7, mAB teptesenta la pendiente de Aa B y muo la pendiente de B a A. Si loscálculos estiín bien hechos debes obtenerffio|= ffiuA.

8. Obtén la tangente de 30o con una calcu-ladora. Hazlotambién utilizando el trián-gulo siguiente:

Compara ambos resultados.

(D Gruporditorial,Patria

En los ejercicios 12 a 14, obtén la pendiente y el ángulo de inclinación de larectas que pasan por los puntos proporcionados.

12. Pt(24,10), P,(20, 8)

13. A(-8, r2), B(2,6)

14. P(r4, -3), Q04,1)

Halla en los ejercicios 15 a17 el iíngulo de inclinación de la recta cuyá pendientse proporciona.

)15. m=1

5

16. m=*1.732

17. m=0

En los ejercicios 18 a 23 identifica si la recta tiene:

a) Pendiente positiva.

b) Pendiente negativa.

c) Pendiente igual a cero.

d) Pendiente "infinita".

19.18.

En los ejercicios 24 a27:

a) Obtén la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados.

b) Indica hacia dónde se dirige cada recta según su pendiente.

c) Dibuja cada recta en un plano cartesiano para corroborar tu pronóstico.

t.t. (1,0), (4,0)

:_¡. (_3, r), (_2,4)

26. (-7,9), (6, -s):7. (8,5), (8, -4)

En los ejercicios 28 a 30 dibuja en un plano cartesiano larecta que pasa por el:'¡nto dado y tiene la pendiente indicada.

a

S. PÍ-2,5),m=:-.

))9. P.(4,-3),m=-:.

3J. P.(-6. 8). m = -4.

,11. Mediante pendientes prueba que los puntos A(-1, -1), B(3,7) y C(l, 3) son

colineales.

31. Usando pendientes, prueba que los puntos A(3, 1), B(-l , 4) y C(0, -5) sonvértices de un triángulo.

-r3. Viaje y velocidad promedio Viajando de Guadalajara a Puerto Vallarta ob-servas a las l0 de la mañana que has recorrido en tu automóvil 5 km, desde

que saliste de la ciudad. Durante el viaje cambias con frecuencia la veloci-dad, según las condiciones de la carretera. A las 13 horas observas que llevasrecorridos 200 km. ¿A qué velocidad promediohas manejado entre estos dos

puntos?

14.

15.

9. Revisa el ejemplo 2a. Recuerda que lastangentes de iíngulos obtusos son negati-vas. Utiliza tan 150o = -tan (180'- 150')

10 y 11. Las rectas son horizontales.

12. Revisa los ejemplos lay 2b.

13. Obtén el ángulo para la pendiente posi-tiva y después halla su suplemento. Éstees el ángulo buscado.

Revisa el ejemplo lc.

Escribe la fracción decimal correspon-diente y emplea una tabla trigonométri-ca o una calculadora científica.

Procede como en el ejercicio 13.

Existen dos posibilidades para a.

a 23. Pendiente "infinita' significa que lapendiente no existe o tarrrbién que no estó

definida. Revisa el ejemplo la y lc, y lanota en el margen junto al ejemplo 3.

La recta coincide con uno de los eies

16.

17.

18

24.coordenados.

25. Pendiente positiva.

27. La recta es paralela a uno de los ejes

coordenados.

28 a 30. Revisa el ejemplo 2c. Puedes consi-4

derar 4 = --. También puedes utilizarI

el siguiente método:

a) Sitúa el punto en el plano.

b) Considéralo como el origen de ejesparalelos a los ejes coordenados y en

este sistema localiza el punto (¿ y)v

tomando x y y de la pendiente I

Ejemplo: Trazarla recta nu" ouJ oo,?

A(4,5) con pendiente m = -í

3 =-3 = I obtie_SrrnterPretas^=-i= 2 x

nes el punto P(4 + 2,5 -:- 3) = P(6,2).

'lntegra tos elementos de unarectacomo lugar geomé"* (D

32.

34.

31.

Por este punto, y el punto A, pasa la rec-ta buscada.

aa

Tomando * = _1= _!- y el punto2-2Q(4 - 2,5 + 3) = QQ, 8), obtienes la

misma recta.

(Observa que los puntos P y Q son simé-tricos respecto al punto A.)

¿Qué relación tiene este método con eldescrito en el ejemplo 2c?

Prueba que mAB= mnc. Colíneales signi'fica que están en una misma recta.

Prueba qtJe mAB+ mBC.

Escribe las parejas ordenadas para los

extremos de cada segmento.

La pendiente de cada periodo, simplifi-cada, expresa larazón de cambio prome-dio de ventas (en millones de pesos) on

una unidad de tiempo (cada mes).

Dibuja un esquema como el siguiente:

Resuelve la ecuación

v-1.2- --350 -25

Por simplicidad, los valores están expresados

en miles de pesos. Ten presente esto al inter-pretar la pendiente y el resultado final.

35.

,-!:fl

@ crupo Editorial Patria

34. Ofertas comerciales La gráfi,ca muestra las ventas mensuales de un alma-cén, antes, durante y después del periodo de ofertas en julio-agosto. ¿Curálfue el ritmo del incremento de ventas en cada periodo?

( \feses )

Depreciación constante El contador de una compañía constructora estimaque la maquinaria adquirida para astalta¡ carreteras se deprecia de manera

constante enlarazón de 535.000 por año. Si el valor de desecho de dichoequipo está contemplado en S1.100. al cabo de 25 años, ¿cuál fue el valorinicial del equipo?

35.

Exportaciones 1999

Mes t 2 J 4 5 6

Mdd 8,728 9,652 11,675 10,589 11,102 12,000

Mes 7 8 9 10 11 t2

Mdd I0,231 12,322 ll,7ñ 12,303 13,099 13,20r

-16. Balanza comercial La tabla y la gráfica muestran las exportaciones deMéxico en1999.

¿Cuál fue la tasa de exportación promedio anual de México en ese año?

¿En cuiíl trimestre del año fue mayor el ritmo de exportación?

14,000

13,000

12,000

11,000

10,000

9,000

8,000

-r7. Planteles escolares La Universidad Nacional Autónoma de México contabaen 1970 con nueve planteles de bachillerato. Para 1913 el total de planteles

de bachillerato pertenecientes a la UNAM ascendía a 14. Para el año 2010esta cantidad de planteles se mantuvo constante. ¿Cuál fue larazÓn promediode crecimiento anual de planteles de bachillerato en dicha casa de estudios,en cada uno de estos dos periodos?

36.

37.

Aunque existen variaciones en cadames, la tasa promedio anual considerasólo al primero y al último mes del año.

El tiempo corresponde a la abscisa x.Las parejas a considerar son (1970, 9),(1973,14) y (2010, 14).

a)

b)

,luga-gpmétric" e

La tabla muestra las pendientes de seis rectas. Identifica cuiíles correspondena rectas paralelas y cuáles a rectas perpendiculares.

En cada uno de los ejercicios 2 aS,halla las pendientes de las rectas paralelas y

¡rpendiculares a la recta cuya pendiente se proporciona.

2.79

t. -2

5. I

7.011

E. -"5

En los ejercicios 9 y 10 encuentra las pendientes de las rectas que pasan por los:untos dados y determina si son paralelas o perpendiculares. Trazalas rectas en:n plano cafesiano.

9. A(1,3) y B(10, t); C(4, -9) y D(0, 0).

n. Per4, s) y QGr, -2); R(-7,10) y S(18, 3).

11. Geometría Halla el punto medio de cada lado del trirángulo con vérticesA(-5,4) 8(3,6), C(2, -2). Prueba que el segmento que une dos puntos medioses paralelo al lado restante.

Sugerenc¡as parala autoevaluación 3El

l. Comenzando con la primera pendientede la tabla, compara sucesivamente cadauna con todas las que quedan a su de-recha.

a) Si resultan iguales las pendientes, lasrectas son

(Recuerda la igualdad de fracciones

equivalentes: si c É 0, ! = !9; así,

2 4 6 'b cb

I

369

b) Si las pendientes están invertidas y

tienen signo contrario, *-r I t -],las rectas son3. I

6

I6. --A

2 a 8. Revisa las condiciones de paralelismoy perpendicularidad.

7. El 0 es el único número que no tiene re-cíproco. ¿Por qué? ¿Cómo son las rectasque tienen m = 0? ¿Y las que son per-pendiculares a éstas? ¿Qué ocurre conlas pendientes de estas últimas?

9 y 10. Revisa el ejemplo 1.

11. Muestra que las pendientes son iguales.

.:L3 t9

I5 t 3

4 -598

1_;

uri¿t om&argeométrico @