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Problemas de Polinomios P1. Sean x, y, z n´ umeros reales tales que x + y + z =2, xy + yz + xz = -1, xyz = -2 Hallar el valor de las siguientes expresiones: a) x 2 + y 2 + z 2 b) x 3 + y 3 + z 3 c) x 4 + y 4 + z 4 P2. Calcular a, b ∈ R para que ax 4 + bx 3 +1 sea divisible por x 2 +2x +1. P3. Hallar a, b ∈ R para que p(x)= x 5 + ax 3 + b tenga una ra´ ız real m´ ultiple. P4. Sabemos que una de las ra´ ıces del polinomio de coeficientes reales p(x)= x 3 + ax 2 + bx + c es la suma de las otras dos. Demostrar que a 3 - 4ab +8c =0. P5. ¿Existe alg´ un polinomio p(x) que cumpla que xp(x - 1) = (x + 1)p(x) para cualquier valor de x ∈ R? P6. Dado s ∈ R, consideremos el polinomio p(x)=3x 2 +3sx + s 2 - 1 y supon- gamos que α y β son sus ra´ ıces. Probar que p(α 3 )= p(β 3 ). P7. Consideremos el polinomio p(x)= x 3 + ax 2 + bx + c de coeficientes reales y supongamos que el cuadrado de una de sus ra´ ıces es igual al producto de las otras dos. Probar que a 3 c = b 3 . P8. Si sabemos que la ecuaci´on x 3 +2λx 2 - λx + 10 = 0 tiene tres soluciones reales que est´an en progresi´on aritm´ etica (λ es un par´ametro y x eslainc´ognita), hallar estas tres soluciones. P9. Sabemos que el polinomio p(x)= x 3 -x+k tiene tres ra´ ıces que son n´ umeros enteros. Hallar los posibles valores de k. P10. Calcular las soluciones reales de la ecuaci´on 4 √ 97 - x + 4 √ x =5 P11. Hallar a ∈ R de forma que la suma de los cuadrados de las ra´ ıces de p(x)= x 3 - 2ax 2 +(a + 1)x - a 3 sea m´ ınima y hallar dicha suma. 1
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Problemas de Polinomios
P1. Sean x, y, z numeros reales tales que
x+ y + z = 2, xy + yz + xz = −1, xyz = −2
Hallar el valor de las siguientes expresiones:
a) x2 + y2 + z2 b) x3 + y3 + z3 c) x4 + y4 + z4
P2. Calcular a, b ∈ R para que ax4 + bx3 + 1 sea divisible por x2 + 2x+ 1.
P3. Hallar a, b ∈ R para que p(x) = x5 + ax3 + b tenga una raız real multiple.
P4. Sabemos que una de las raıces del polinomio de coeficientes reales p(x) =x3 + ax2 + bx+ c es la suma de las otras dos. Demostrar que a3− 4ab+ 8c = 0.
P5. ¿Existe algun polinomio p(x) que cumpla que x p(x−1) = (x+1)p(x) paracualquier valor de x ∈ R?
P6. Dado s ∈ R, consideremos el polinomio p(x) = 3x2 + 3sx+ s2− 1 y supon-gamos que α y β son sus raıces. Probar que p(α3) = p(β3).
P7. Consideremos el polinomio p(x) = x3 + ax2 + bx+ c de coeficientes realesy supongamos que el cuadrado de una de sus raıces es igual al producto de lasotras dos. Probar que a3c = b3.
P8. Si sabemos que la ecuacion x3 + 2λx2 − λx + 10 = 0 tiene tres solucionesreales que estan en progresion aritmetica (λ es un parametro y x es la incognita),hallar estas tres soluciones.
P9. Sabemos que el polinomio p(x) = x3−x+k tiene tres raıces que son numerosenteros. Hallar los posibles valores de k.
P10. Calcular las soluciones reales de la ecuacion4√
97− x+ 4√x = 5
P11. Hallar a ∈ R de forma que la suma de los cuadrados de las raıces dep(x) = x3 − 2ax2 + (a+ 1)x− a3 sea mınima y hallar dicha suma.
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