Problemas de sistemas con lingo

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Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería Área Académica de Ingeniería Licenciatura en Ingeniería Civil Ingeniería de Sistemas II Ejercicios en Lingo Alumno Zárate Peña Ángel Eduardo

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Problemas de Sistemas usando Lingo 11 para todos aquellos que sean mis amigos jeje

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Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería

Área Académica de Ingeniería

Licenciatura en Ingeniería Civil

Ingeniería de Sistemas II

Ejercicios en Lingo

Alumno Zárate Peña Ángel Eduardo

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Índice

Pág.

Problema 1 3

Problema 2 5

Problema 3 7

Problema 4 9

Problema 5 11

Problema 6 13

Problema 7 15

Problema 8 17

Problema 9 19

Problema 10 21

Problema 11 23

Problema 12 25

Problema 13 27

Problema 14 29

Problema 15 32

Problema 16 34

Problema 17 36

Problema 18 38

Problema 19 40

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Problema 1

A causa de las reglamentaciones de la nueva ley de equilibrio ecológico sobre emisiones de contaminantes para las industrias, una compañía pretende introducir un nuevo y costoso procedimiento para la fabricación de un producto A que reemplazaría al proceso actual de manera total o parcial.

El proceso actual descarga 15g de dióxido de azufre y 40g de dióxido de carbono por cada unidad de A. Mientras que el nuevo proceso descargará 5g de dióxido de azufre y 20g de dióxido de carbono a la atmósfera por cada unidad de A. La compañía obtiene una utilidad de $1.25 pesos por cada unidad producida con el proceso actual y $.87 pesos por cada unidad producida por el nuevo proceso.

La ley establece que la empresa descargue a la atmósfera diariamente a lo sumo 10500g de dióxido de azufre y no más de 30000g de dióxido de carbono. La compañía desea saber cuántas unidades de A deben producir/día en cada uno de los procesos con objeto de obtener la mayor cantidad de utilidades posibles.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 2

Suponga que un agricultor tiene 200 hectáreas en las cuales desea cultivar la combinación de dos cultivos, maíz y trigo.

El maíz requiere cuatro días de labranza y $20 pesos de capital por hectárea cultivada.

El trigo requiere un día de labranza y $10 pesos por cada hectárea sembrada.

Suponga también que el maíz genera $60 pesos de beneficio por hectárea y el trigo $40 pesos de beneficio por hectárea. Si el agricultor tiene $2200 pesos y dispone de 300 días de labor para el año. ¿Cuál es la estrategia más rentable?

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 3

Una empresa de paquetería requiere contratar un cierto número de choferes, que necesita para diferentes días de la semana. La cantidad de choferes que necesita para cada día de la semana se da en la siguiente tabla. Por cuestión de seguridad, cada chofer debe trabajar cinco días consecutivos y descansar dos días. ¿Cuál es la cantidad mínima de choferes que se necesitan?

Día Número de choferes

Lunes 17

Martes 13

Miércoles 15

Jueves 19

Viernes 14

Sábado 16

Domingo 11

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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9

Problema 4

Una empresa fabrica tres productos de caucho: airtex (material esponjoso), extendex (material clásico) y besidex

(material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada

ingrediente usada por cada libra de producto final se muestra en la tabla siguiente:

Ingredientes usados para la producción Ingrediente (oz/lb)

Producto polímero A Polímero B polímero C Base

Airtex 4 2 4 6

Extendex 3 2 2 9

Besidex 6 3 5 2

La empresa tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de airtex, 500 libras de extendex y 100 libras de

besidex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres

productos.

Los inventarios actuales de los tres productos son: 500 libras del polímero A, 125 libras del polímero B, 650 del polímero C y 1100 libras de base. Cada libra de airtex produce una ganancia de $7, cada libra de extendex $7 y cada libra de besidex $6, determine un programa de producción óptimo.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

Page 11: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 5

José acaba de recibir una herencia por la muerte de un tío lejano. El monto de la herencia es de $10000. El desea invertir

la herencia de forma tal que obtenga los mayores rendimientos posibles. José decide invertir tanto en acciones como en

bonos. Pero piensa solo invertir entre 10-25% del total en acciones. Existe un bono que resulta sumamente interesante,

por lo cual José desea invertir por lo menos $4000 en el.

La tasa anual de rendimiento en bonos es del 8% y en acciones es del 10% ¿Cuánto debe invertir en acciones y en

bonos?

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 6

Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10000. Dedicará $4000 a impuestos y diversiones, pero ha

decidido invertir los otros $6000. Al oír esta noticia, dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como

socio en dos negocios, cada negocio planteado por cada amigo.

En ambos casos la inversión significa dedicar algo de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el

primer amigo, al convertirse en socio completo, tendría que invertir $5000 y 400 horas, y l ganancia estimada (ignorando

el valor del tiempo) sería de $4500.

Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4500 y 500 horas, con una ganancia estimada de

$4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la

sociedad; la participación e n las utilidades sería proporcional a esta fracción.

Como de todas maneras, ésta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (máximo 600 horas), ha

decidido participar en una o ambas propuestas, con la condición que maximice la ganancia total estimada.

Modelo:

Sujeto a:

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14

En Lingo:

Solución:

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Problema 7

Baba Furniture Company emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar sillas y mesas. Se requieren 30

min. Para ensamblar una silla y 2 horas para ensamblar una mesa. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis

sillas con cada mesa. Las utilidades so de 13.5 dólares por mesa y 5 dólares por silla. La compañía emplea un turno de 8

horas al día. Formule un modelo de programación lineal que maximice los beneficios.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 8

Supongamos que se tienen cuatro alimentos disponibles: leche, carne, huevo y pan. El costo de la leche es de $10 por

litro, el de la carne de $45 por kilo, el del huevo de $13 por kilo y la pieza de pan $0.60. Cada semana se debe ingerir por

lo menos, entre otras cosas, 10 unidades de cierta vitamina V1 y 12 unidades de otra vitamina V2. El contenido

vitamínico de los alimentos y el costo de éstos se muestran en la siguiente tabla. Se desea elaborar la dieta más

económica que satisfaga las necesidades mencionadas.

Alimento Costo/unidad Contenido vitamínico V1

Contenido vitamínico V2

Leche $10 12 1

Carne $45 0 25

Huevo $13 3 10

Pan $0.60 1 2

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 9

Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer la demanda eléctrica de cuatro ciudades.

Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer 35, 50 y 40 millones de (kwh) respectivamente. El valor máximo de consumo

ocurre a las 2 PM y es de 45, 20, 30 y 30 millones de (kwh) en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de enviar

1 (kwh) depende de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los costos de envío unitario

desde cada planta a la ciudad. Formule un modelo de programación lineal que permita minimizar los costos de

satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.

Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Oferta

Planta 1 8 6 10 9 35

Planta 2 9 12 13 7 50

Planta 3 14 9 16 5 40

Demanda en millones de (kwh)

45 20 30 30

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

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Problema 10

Una corporación tiene tres plantas con capacidad de producción en exceso. Las tres plantas tienen los elementos

necesarios para producir determinado producto y el gerente ha decidido usar parte de la capacidad de producción en

exceso. El producto puede fabricarse en tres tamaños: grande, median y chico que dan como resultado una utilidad neta

de 140,120 y 100 UM, respectivamente. Las plantas 1,2 y 3 tienen la capacidad de mano de obra y equipo en exceso

como para producir 750,900 y 450 unidades por día de éste producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la

combinación de tamaños que se aplique. Sin embargo, el espacio de almacenamiento disponible para producto en

proceso, impone una limitación sobre las tasas de producción. La plantas 1,2 y 3 tiene 13000, 12000 y 5000 pies

cuadrados de espacio de almacenamiento disponible para productos en proceso, para un día de producción de este

artículo. Cada unidad de los tamaños grande, mediano y chico producida por día requiere de 20, 15 y 12pies cuadrados,

respectivamente. Los pronósticos de venta indican que pueden venderse al día 900, 1200 y 750 unidades de los tamaños

grande, mediano y chico respectivamente. Con el fin de mantener una carga uniforme de trabajo entre las plantas y

conservar cierta flexibilidad, el gerente ha decidido que l producción adicional asignada a cada planta debe usar el

mismo porcentaje de la capacidad de mano de obra y equipo en exceso. El gerente desea saber cuánto debe producirse

de cada uno de los tamaños en cada una de las plantas para maximizar la utilidad.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

Page 23: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 11

Electra produce dos tipos de motores eléctricos, cada uno en una línea de ensamblaje separada. Las respectivas

capacidades diarias de las dos líneas son de 600 y 750 motores. El motor 1 emplea 10 unidades d cierto componente

electrónico y el motor tipo 2 sólo utiliza 8 unidades. El proveedor del componente puede proporcionar 8000 piezas al

día. La utilidad por motor para los tipos 1 y 2 son de 60 y 40 dólares, respectivamente. Determine la mezcla óptima para

la producción diaria.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

Page 25: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 12

Una compañía fabrica dos productos, A y B. el volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y

B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Los dos productos utilizan una materia

prima, cuya disponibilidad máxima diaria se limita a 240 libras al día. Las proporciones de utilización de la materia prima

son 2 libras por cada unidad de A y 4 libras por cada unidad de B. los precios unitarios de A y B son de 20 y 50 dólares,

respectivamente. Determine la mezcla óptima de los productos.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

Page 27: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 13

Mangus Electric Products Co. (MEPCO) produce grandes transformadores eléctricos para la industria eléctrica. La

compañía tiene pedidos (tabla) para los próximos seis meses. Se espera que el costo de manufactura de un

transformador varié un poco en los próximos meses, por cambios esperados en los costos de los materiales y en las

tarifas de trabajo. La compañía puede producir hasta 50 unidades al mes con tiempo normal y hasta 20 unidades

adicionales si utiliza tiempo extra. En la tabla se muestran los costos del tiempo normal y de los tiempos extra.

Mes

Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun.

Pedidos (unidades) 58 36 34 69 72 43

Costo por unidad con tiempo regular (miles de dólares) 18 17 17 18.5 19 19

Costo por unidad con tiempo extra (miles de dólares) 20 19 19 21 22 22

El costo de almacenamiento de inventarios de transformadores que no se vendan es 500 dólares por mes. Al 10 de

enero, la compañía tiene 15 transformadores en existencia y desea tener no menos de cinco para el 30 de junio.

Formule un problema de programación lineal para determinar el programa de producción óptimo para MEPCO.

Modelo:

Sujeto a:

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En Lingo:

Solución:

Page 29: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 14

Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero central y trasero. Esos compartimientos tienen

un límite de capacidad de peso como espacio. Los datos se resumen en seguida:

Compartimiento Capacidad de peso (ton) Capacidad de espacio (ft3)

Delantero 12 7000

Central 18 9000

Trasero 10 5000

Más aún, para mantener el avión balanceado, el peso de carga en los respectivos compartimientos debe ser

proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con

espacio:

Carga Peso (ton) Volumen (ft3/ton) Ganancia ($/ton)

1 20 500 320

2 16 700 400

3 25 600 360

4 13 400 290

Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe

aceptarse (si se acepta) y como distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo.

Formule el modelo de programación lineal correspondiente.

Modelo:

Sujeto a:

Page 30: Problemas de sistemas con lingo

30

En Lingo:

Page 31: Problemas de sistemas con lingo

31

Solución:

Page 32: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 15

Una compañía de productos electrónicos produce dos modelos de radio, cada uno en una línea de producción diferente.

La capacidad diaria de la primera línea es de 60 unidades y de las segunda línea es de 75. Cada unidad del primer modelo

utiliza 10 piezas de cierto componente electrónico, en tanto que cada unidad del segundo modelo requiere 8 piezas del

mismo componente. La disponibilidad diaria de este componente es de 800 piezas. La utilidad por unidad d los modelos

1 y 2 es de 30 UM y 20 UM, respectivamente. S desea determinar la producción diaria de cada modelo que maximice las

utilidades para la empresa. Formule el problema de programación lineal asociado a esta problemática.

Modelo:

Sujeto a:

Page 33: Problemas de sistemas con lingo

33

En Lingo:

Solución:

Page 34: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 16

Dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. El tiempo por maquina asignado a los

productos está limitado a 600 horas por día. El tiempo de producción y la utilidad por unidad de cada producto son:

Maquinas por unidad

Producto Máquina 1 Máquina 2 Máquina 3 Utilidad (UM)

1 10 6 8 2

2 5 20 15 3

Se desea determinar la combinación de los productos que maximice la utilidad. Formule el problema de programación

lineal asociado.

Modelo:

Sujeto a:

Page 35: Problemas de sistemas con lingo

35

En Lingo:

Solución:

Page 36: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 17

Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisión locales. Su presupuesto

limita los gastos en publicidad a 1000 UM. La compañía desea utilizar la radio cuando menos dos veces más que la

televisión. La experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisión generará, en términos generales

25 veces más ventas que cada minuto de publicidad por radio. Se desea determinar la asignación óptima de presupuesto

mensual para anuncios por radio y televisión, para poder maximizar las ventas. Formule el problema de programación

lineal.

Modelo:

Sujeto a:

Page 37: Problemas de sistemas con lingo

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En Lingo:

Solución:

Page 38: Problemas de sistemas con lingo

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Problema 18

JoShop quiere asignar cuatro categorías diferentes de máquinas a cinco tipos de tareas. El número de máquinas

disponibles en las cuatro categorías es de 25, 30, 20 y 30. El número de trabajos en las cinco tareas es de 20, 20, 30, 10 y

25. La categoría de máquina 4 no se puede asignar a tipo d tarea 4. La siguiente tabla proporciona el costo por unidad en

(dólares) de asignar una categoría de máquina a un tipo de tarea. El objetivo del problema es determinar el número

óptimo de máquinas en cada categoría que va a asignarse a cada tipo de tarea.

Tipo de tarea

1 2 3 4 5

Categoría de

máquinas

1 10 2 3 15 9

2 5 10 15 2 4

3 15 5 14 7 15

4 20 15 13 22 8

Modelo:

Sujeto a:

Page 39: Problemas de sistemas con lingo

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En Lingo:

Solución:

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Problema 19

Un pintor decide vender sus cuadros, así que recibe ofertas de cuatro personas. Debido a que el pintor requiere

maximizar sus ingresos, decide no vender más de una pintura por ofertante. En la tabla siguiente se muestran las

cantidades (ofertas en miles de pesos) por cada pintura.

OFERTANTE PINTURA

1 2 3 4

1 17 16 26 20

2 20 18 25 16

3 16 16 19 1

4 20 1 16 18

Modelo:

Sujeto a:

Page 41: Problemas de sistemas con lingo

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En Lingo:

Solución: