Problemas de Traslacion y Rotacion de Ejes (8)
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Problema 1 Sea la recta L tiene pendiente negativa, pasa por el punto B= (0,12) e interseca al eje X en el punto A. Sea G el baricentro del triángulo AOB donde “O” es el origen de coordenadas del sistema XY, y M es el punto medio del segmento OA. La recta que pasa por O y G tiene la ecuación X´= −12 √ 2 en el sistema X´Y´ cuyo eje de abscisas es L y cuyo origen de coordenadas es A. sea Q un punto del segundo cuadrante del sistema X´Y` prima tal que D(Q,L)=4 y Proy (1,-1) AQ= 2 √ 2 ( 1 ,−1 ) .sabiendo que cualquier mediana de un triángulo divide a esta en dos triángulos de igual área y que OG . GH =24. Hallar las coordenadas de Q en el sistema XY y X´Y´ Solución: Y X L ¿ X´ Y´ L₁:X´ −12 B(0,1 Q(x,y M A(r,0) 4 G O P La recta L₁:X´ ¿ −12 √ 2 en el sistema X´Y´ es paralelo a Y´ L₁ L Entonces AOB es un triangulo De 45 , 45 ya que L₁ pasa por G baricentro del AOB Entonces OB = OA B-O = A-O (0,12) =(r, 0) r=12 Sea u = (u₁ , u₂)=(cosα,senα) α=135 u = ( 1 √ 2 , −1 √ 2 ) y u = ( 1 √ 2 , 1 √ 2 ) se sabe que AQ =Q-A=(x,y)-(12,0)=(x-12,y) Proy (1,-1) AQ= 2 √ 2 ( 1 ,−1 ) AQ.(1,-1) (1,-1) =(x-12,y).(1,-1) (1,-1) = 2 √ 2 ( 1 ,−1 ) 45 α u u (1,- (1, √ 2 √ 2
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TRASLACION Y ROTACION
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Problema 1Sea la recta L tiene pendiente negativa, pasa por el punto B= (0,12) e interseca al eje X en el punto A. Sea G el baricentro del tringulo AOB donde O es el origen de coordenadas del sistema XY, y M es el punto medio del segmento OA. La recta que pasa por O y G tiene la ecuacin X= en el sistema XY cuyo eje de abscisas es L y cuyo origen de coordenadas es A. sea Q un punto del segundo cuadrante del sistema XY` prima tal que D(Q,L)=4 y Proy(1,-1) = sabiendo que cualquier mediana de un tringulo divide a esta en dos tringulos de igual rea y que Hallar las coordenadas de Q en el sistema XY y XY
La recta L:X en el sistema XYes paralelo a YL L Entonces AOB es un triangulo De 45 , 45 ya que L pasa porG baricentro del AOBEntonces OB = OA B-O = A-O (0,12) =(r, 0) r=12Sea = (u , u)=(cos,sen)=135 = (, ) y = (, )se sabe que AQ =Q-A=(x,y)-(12,0)=(x-12,y) Proy(1,-1) = AQ.(1,-1) (1,-1) =(x-12,y).(1,-1) (1,-1) = Resolviendo tenemos x-y-12+=0. (1)YSolucin:
L:XQ(x,y)
4B(0,12)
(1,-1)(1,-1)45 POGA(r,0)MYLXX
Tambin se sabe que:La recta L en el sistema XY tiene por ecuacin L= x+y-12=0La distancia del punto Q a la recta L est dada porD(Q,L)=4= X + Y=4 +12.(2)De (1) y (2)X=12 y Y=4 por lo tanto Q= (12, 4) en el sistema XYAhora calculemos Q en el sistema X`Y`:Sabemos que X`=(P-P).yY`=(P-P). Siendo P=Q=(12,4) y P==(12,0)Entonces X`=((12, 4)-(12,0)).(, )=-4Y`=((12, 4)-(12,0)).(, )=4por lo tanto el punto q en el sistema X`Y` es Q=(-4,4)
Problema2.Las rectas L1:3x+2y +2r=0, L2: 3x+2y +3r=0 (con r
