Como ya se dice en el escrito anterior, el libro se ha dividido en 7 apartados, cuyo

contenido es el siguiente:

Apartado 1: Cálculo integral 21 ejercicios

“ 2: Funciones: continuidad, derivabilidad,…. 32 “

“ 3: Gráficas de funciones 16 “

“ 4: Geometría 36 “

“ 5: Determinantes 12 “

“ 6: Matrices 16 “

“ 7: Sistemas de ecuaciones 13 “

El texto tiene en total 232 páginas. El número que aparece en cada uno de los capítulos

es en realidad el número mínimo del apartado correspondiente, ya que como se ha dicho, en

un gran porcentaje de ejercicios aparecen varios apartados correspondiendo cada uno a

capítulos distintos del libro.

A continuación se expone una parte de los ejercicios de la parte correspondiente al

cálculo integral:

1 Cálculo integral

1.01 Dada la recta x = -5 y la parábola si se dibujan, se observa que

entre las dos curvas no encierran ninguna zona del plano, ahora bien, si a la recta le damos un

giro de con centro en el origen de coordenadas, entonces la nueva recta y la parábola sí

que encierran una zona acotada del plano. Hallar el área de dicha zona.

Solución:

El la gráfica vemos que la recta es

paralela al eje de la parábola, por ello, la

cortará en un punto pero entre las dos

curvas no encierran ninguna zona del

plano.

Entonces vamos a dar un giro de

a la recta y una vez hecho esto veremos

el nuevo gráfico.

Para dar un giro a una recta, una forma de hacerlo sería: coger dos puntos

cualesquiera de la recta, aplicarle el giro a cada uno de ellos y los nuevos puntos obtenidos

determinarán la recta girada. Aquí para dar un giro a un punto hay unas fórmulas que se

pueden ver en cualquier libro pero es un engorro el tener que acordarse de tanta fórmula. Hay

una forma muy sencilla y cómoda de dar un giro a cualquier figura y es utilizando las

propiedades de la multiplicación de números complejos: “el producto de dos números

complejos es otro complejo de módulo el producto de los módulos y de argumento la suma de

los argumentos”. Según esto, si tenemos un punto cualquiera del plano real P(a,b), este punto

tiene su homólogo en el plano complejo mediante una correspondencia biyectiva simple que

se establece entre los dos planos (el real y el complejo), en esta correspondencia, al punto P

le corresponde un punto P’ que, en forma binómica lo representamos por “a + bi”, por tanto

si ahora cogemos un punto cualquiera de la recta de nuestro problema, por ejemplo el P(-1,0),

su homólogo en el plano complejo será:

-1 + 0.i

pues bien, si ahora queremos dar un giro de a este punto lo que hacemos es multiplicarlo

por un complejo que tenga de módulo 1 y de argumento (esto es así porque el giro tiene

de centro el origen de coordenadas, si no, la cosa es un poco más engorrosa). Pues ¿qué

complejo tiene de módulo 1 y de argumento ? no hay más que recordar las distintas

formas de expresar un número complejo:

forma binómica: a + bi

forma polar:

un número complejo de módulo 1 y argumento será:

Ahora cogemos un punto cualquiera de la recta x = -5, por ejemplo P(-5,0),

obtenemos su homólogo en y lo multiplicamos por z = i y una vez hecho esto, obtenemos

el homólogo del producto en :

es decir, el punto P(-5,0) al aplicarle un giro de con centro el origen de coordenadas, se

ha transformado en el punto P’(0,-5).

Ahora tomamos otro punto de la recta x = -5, por ejemplo el Q(-5,-2) y hacemos lo

mismo de antes:

por tanto el punto Q(-5,-2) al aplicarle el giro de se transforma en el punto Q’(2,-5),

entonces la recta transformada de x = -1 mediante el giro que estamos tratando, sería la

determinada por los puntos P’ y Q’. Esta recta es y = -5. Bueno, este resultado casi se veía

venir, pero no está de más recordar algunas herramientas con las que trabajamos. Ahora la

gráfica será:

En la gráfica se ve que al girar los puntos P y Q, obtenemos los puntos P’ y Q’, que dan

lugar a la recta y = -5.

Ahora lo que tenemos que hacer es hallar el área de la zona sombreada y ésta se

calculará como el área comprendida entre dos curvas. Ahora bien, antes de continuar, vamos a

hallar los puntos de corte de estas curvas ya que esos serán los límites de integración y para

ello tendremos que resolver el sistema:

Por tanto el área S de la zona sombreada será:

1.02 Dado el conjunto de funciones definidas como:

Consideremos de este conjunto, la función cuya gráfica contiene al punto P(0,-1). Estudiar el

dominio, la monotonía y los puntos característicos de esta función, así como hacer un esbozo

de su gráfica.

Solución:

En primer lugar lo que tendremos que hacer es hallar la expresión algebraica de la

función y para ello no hay más remedio que resolver la integral que nos define la familia de

funciones donde se encuentra la que nos interesa.

Para resolver la integral vamos a hacer un cambio de variable, pues si nos fijamos, el

denominador tiene una x al cuadrado y el numerador una x, es decir, podemos hacer un

cambio conveniente a fin de simplificar bastante. O sea, que haremos:

y si ahora sustituimos en la integral, tendremos:

Ya tenemos que la familia de funciones será:

de todas ellas, nos interesa la que contenga al punto P(0,-1). Por tanto tendremos:

por tanto la función que tenemos que estudiar es:

Una vez que conocemos la expresión algebraica de la función, tendremos:

Dominio: A la vista de la expresión algebraica de la función, decimos que el dominio es todo R,

ya que tenemos un cociente de polinomios donde vemos que el denominador es un polinomio

primo, o sea, no tiene raíces, por tanto no se anula nunca lo que implica que la función está

definida para cualquier valor real de la variable.

Monotonía: Para estudiarla, veamos cómo se comporta el signo de la derivada en las distintas

zonas de la recta. La derivada de la función es:

como se ve, la derivada no tenemos que molestarnos en calcularla ya que es precisamente el

integrando de la expresión que nos dan en el enunciado del problema. Aquí vemos que esta

expresión está descompuesta en factores, ya que el denominador es un polinomio primo

elevado al cuadrado y el numerador es el polinomio ‘x’, por tanto el signo dependerá del que

tome x, ya que el denominador es siempre positivo, por tanto se tendrá:

Por tanto ya tenemos que a la izquierda de cero la función decrece y a la derecha

crece, por tanto en el punto cero tenemos un mínimo relativo. El mínimo relativo lo tenemos

por tanto en el punto M(0,-1).

Si nos entretenemos y calculamos la segunda derivada, con idea de ver si hay puntos

de inflexión, tendremos:

por tanto tenemos dos puntos de inflexión que son:

Aunque no nos han comentado nada en el enunciado, diremos que la función tiene

una asíntota horizontal ya que se ve que el límite de la función cuando x tiende a infinito, es

1.

Yo creo que con estos datos podemos hacer el esbozo de la gráfica de la función. Sólo

nos faltaría decir que la gráfica corta al eje OX en los puntos 1 y -1. Con esto la gráfica será:

1.03 La función f(x) es continua en el intervalo [1, 4] y el área comprendida entre la

gráfica de la función, el eje OX y la recta y = 4 es . Con estas condiciones hallar el valor

de los parámetros ‘a y b’. La función está definida como:

Solución:

La gráfica de la función podríamos poner que es:

La condición de continuidad se traduce en:

con esta condición bastará para que la función sea

continua en el intervalo [1,4], ya que los dos trozos

son funciones polinómicas y por tanto continuas en todo R.

La igualdad de los límites anteriores nos lleva a:

ésta es la relación que debe existir entre ‘a y b’ para que la función sea continua en el

intervalo donde está definida.

Ahora vamos a ver la condición de que el área encerrada por la curva y el eje OX desde

1 hasta 4 valga .

Vamos a representar por el área comprendida entre la función f, el eje OX y la

ordenada x = a, y por representaremos el área comprendida entre la curva, el eje OX y

las ordenadas x = a y x = 4 y así de esta forma tendremos:

ahora calculamos el área de la otra zona:

la suma de las dos áreas será:

antes de efectuar estas sumas, en he puesto ‘b’ en función de ‘a’. La suma de las dos

áreas debe ser el área que nos da el enunciado, ahora efectuando operaciones en esta última

expresión tendremos:

Como ‘a’ está comprendido entre 1 y 4, si tiene un valor entero, éste tendrá que ser

necesariamente 2 ó 3 (si no hay solución entera para ‘a’ ya podemos dejar el ejercicio, pues

no seríamos capaces de seguir), pues vamos a probar si la ecuación tiene alguna de estas dos

soluciones: empecemos por a = 2

8.8 – 45.4 + 156.2 – 196 = 0 (¡bingo!) Hemos tenido suerte ya que la ecuación tiene por

solución a = 2, no hay que probar con a = 3, ya que el número 3 no es divisor de 196 que es

el término independiente de la ecuación, por tanto no puede ser solución (ver las fórmulas de

Cardano)

Si a = 2 entonces b = -8 + 12 = 4, por tanto la función quedaría así:

1.04 Hallar la matriz M cuadrada de orden 2 definida por

de modo que su

determinante valga 3; que ‘a y b’ son los valores que hacen que la función f(x) definida

como:

sea continua en R y además tenga un mínimo relativo en

x = 1; por último sabemos que ‘c’ es el área de la región acotada comprendida entre la

función y el eje OX.

Solución:

Vamos a comenzar calculando los valores de ‘a y b’, continuaremos calculando el

valor de ‘c’ y dejaremos para el final el valor del parámetro ‘d’.

Si f ha ce ser continua en R, tendrá que serlo en x = 0 ya que en los restantes

valores de x ya lo es por estar definida f por medio de funciones polinómicas. Por tanto:

si además la función debe tener un mínimo relativo en x = 1, esto nos dice que en ese punto la

derivada debe anularse. Ya que el 1 está a la derecha del cero, tomaremos la derivada de f

a la derecha de cero:

antes de calcular el área de la función con el eje OX vamos a hacer un esbozo de la gráfica de la

función que es fácil.

Ahora para calcular ‘c’ hallaremos el área comprendida por la curva y el eje OX en dos

zonas, la primera comprendida por la primera rama desde -1 a 0, y la segunda por la segunda

rama desde 0 hasta 1.

por tanto el área es:

Por último hacemos uso de la condición de que el determinante de M es 3:

por tanto la matriz es:

1.05 El hermano menor le dice al mayor: “La edad que tú tienes es el triple de la edad que

yo tenía cuando tú tenías la edad que yo tengo. Cuando yo tenga tu edad entre los dos

sumaremos 49 años”. Se sabe que los de la edad del menor representa el área

encerrada por la función y el eje OX; y la edad del mayor es

el valor del determinante:

Calcular los valores de a y b.

Solución:

Representemos la edad del menor con la variable x y la del mayor con la variable y,

la diferencia de edad será y – x, entonces tendremos la siguiente situación:

antes ahora después

edad del menor: x – (y – x) x y

edad del mayor: x y y + (y – x)

ahora planteamos el sistema de ecuaciones que será:

Ahora nos dicen que los de la edad del menor es el área que encierra la función

dada más arriba con el eje OX. La gráfica de la función será:

El área de la zona sombreada será la integral de la

función f entre 0 y a, aunque tomaremos los límites de

integración al revés ya que el área está por debajo del eje OX y

si no hacemos este cambio, el área saldría negativa, por tanto

tendremos:

aquí he supuesto que ‘a’ es positivo, podríamos haber supuesto que ‘a’ fuese negativo y

entonces hubiese salido a = -2.

Ahora tenemos que el determinante que nos dan tiene su valor igual a la edad del

mayor que es 21, por tanto se tendrá:

1.06 Dadas las funciones , si sabemos que se cortan

cuando x = a, siendo a > 0, hallar la razón entre las áreas que determinan f y g con el eje

OX, entre 0 y ‘a’ para la función f, y entre ‘a’ y 2 para la función g.

Solución:

Siendo ‘a’ positivo, una gráfica que podría representar aproximadamente a las dos

funciones sería la que aparece en la página siguiente.

Según se ve en el dibujo que representa la función f y una posible función g (de ésta

no sabemos cuánto vale el parámetro ‘a’), las áreas son:

teniendo en cuenta que las curvas se cortan en el punto x = a: f(a) = g(a)

la solución a = 0 no nos sirve ya que la función g se transformaría en el eje OX y por tanto

esto sería una degeneración de la parábola en una recta, luego la solución sería a = 1, en cuyo

caso la razón entre las áreas será:

1.07 Hallar el área de la zona comprendida entre las curvas f(x) = sen x y g(x) = cos x,

considerando tres puntos de corte consecutivos de las mismas.

Solución:

Como siempre, lo primero que haremos será una representación gráfica de la situación

ya que ésta nos va a ayudar bastante.

Vamos a calcular en

primer lugar los puntos de corte

de las dos curvas y para ello

resolveremos el sistema de

ecuaciones:

Como se ve, las soluciones

de este sistema de ecuaciones se corresponden con los arcos cuyo seno y coseno son iguales,

estos arcos se encuentran en el primero y tercer cuadrante ya que en el segundo y cuarto al

tener signos distintos el seno y el coseno, nunca podrán ser iguales. Los arcos a los que

estamos haciendo referencia son precisamente los que corresponden a la bisectriz del primero

y tercer cuadrantes, estos ángulos son:

en general para resolver el sistema tendremos:

en realidad, éste sería el procedimiento para resolver el sistema, lo que ocurre es que en este

caso concreto ya sabemos cuáles son los ángulos cuyo seno y coseno son iguales. Bueno, pues

ahora cogemos tres puntos de corte consecutivos, yo he señalado como puntos de corte

consecutivos (según se ven en la figura) los siguientes:

se podían haber cogido otros tres dada la simetría de la figura, de esta forma el área encerrada

en la zona sombreada será la suma de dos áreas. Hay que calcularlas por separado ya que en el

recinto de la izquierda, la gráfica de la función seno va por encima de la gráfica de la función

coseno y en el recinto de la derecha ocurre lo contrario, por tanto calcularemos las áreas de

forma independiente y luego las sumaremos quedando así:

Ahora calcularemos el área de la segunda zona y tendremos:

Por tanto el área total será:

u.a.

Podríamos habernos dado cuenta de que las dos zonas sombreadas son simétricas

respecto de la recta . Si hubiésemos aplicado esta simetría, habríamos calculado el

área de una de las zonas y el resultado lo multiplicaríamos por 2.

1.08 De todas las primitivas que consideramos a continuación, calcular la que pasa por el

punto

Solución:

En este ejemplo lo primero que se me ocurre es eliminar la raíz y para ello haremos el

cambio de variable:

si sustituimos todo en la integral tendremos:

y deshaciendo el cambio:

de este conjunto de funciones debemos tomar la que pasa por el punto P que nos dan:

por tanto la primitiva pedida será:

1.09 Dada la parábola , se considera el punto P(8,4) de dicha curva. La tangente y

la normal a la curva en el punto P forman con el eje de ordenadas un triángulo rectángulo

cortando estas rectas al eje OY en puntos A y B respectivamente. Se pide:

a) Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva en el punto P.

b) Hallar el baricentro del triángulo APB.

c) Hallar el área de dicho triángulo APB. Para el cálculo del área del triángulo utiliza el

procedimiento de la expresión de dicha área y además aplica el cálculo integral para hallarla.

Solución:

Apartado a): Vamos a comenzar por hacer una representación gráfica de la situación:

Tenemos representada la parábola y las

rectas tangente y normal a la curva en el punto P. A

continuación vamos a proceder a dar respuesta a

cada una de las preguntas que se nos hace:

Apartado a): Tenemos que calcular las ecuaciones de

la tangente y la normal en el punto P(8,4). Ya

sabemos que la pendiente de la tangente en el punto

P es la derivada de la función en ese punto, pues

calculemos la derivada en el punto P y a correr. De

la forma que está expresada la ecuación de la

parábola, es cómodo hacer uso de la derivación

implícita y así tendremos:

la pendiente de la tangente la hemos representado por la letra ‘m’, la ecuación de dicha recta

será:

Como la normal y la tangente son perpendiculares, el producto de sus pendientes será

-1, si representamos por m’ la pendiente de la normal, se tendrá:

Por tanto la ecuación de la normal será:

Antes de continuar vamos a calcular las coordenadas de los vértices A y B:

vértice A: es el punto de corte de la tangente con el eje OY, la abscisa de ese punto será cero y

por tanto tendremos:

vértice B: éste es el de corte entre la normal y el eje OY, por tanto se tendrá:

punto medio del lado AP:

Apartado b): El baricentro de un triángulo es el punto donde se cortan las medianas del

mismo. Hay una fórmula que nos da dicho punto y que es la suma de las coordenadas de los

tres vértices del triángulo dividida por 3, pero puede ocurrir que se nos haya olvidado la

formulita en un momento dado, no hay que ponerse nervioso, sabemos que una mediana es

una recta que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto y sabemos que el

baricentro está a una distancia doble del vértice que del lado correspondiente. Vamos a

representar esto con un pequeño esquema:

En este triángulo vemos que M es el punto medio del lado

PA y G es el baricentro del triángulo, por las propiedades de las

medianas y del baricentro tenemos que el segmento BM es tres

veces el segmento GM, si esto lo llevamos al plano vectorial

inmerso en el plano euclídeo, tendremos la relación:

y teniendo en cuenta que las coordenadas de un vector son las del

punto extremo menos las del punto origen podemos escribir:

y si ahora escribimos la expresión vectorial de arriba en forma de coordenadas, tendremos:

operando en la expresión anterior se tendrá que:

Si nos hubiésemos acordado de la formulita de la que hablamos al principio

tendríamos:

aunque el procedimiento para hallarlo ha sido un poco más largo, es conveniente que no

olvidemos cómo se deducen estas cuestiones y no nos quedemos sólo con la fórmula final.

Apartado c): Como tenemos que hallar el área de un triángulo rectángulo, su valor será el

semiproducto de los catetos, por tanto hallamos la longitud de estos y ya está:

Ahora vamos a usar las herramientas del cálculo integral para hallar el área y para ello

vamos a considerar el área encerrada entre las gráficas de las funciones representadas por los

segmentos PB y PA desde el origen de coordenadas hasta la abscisa 8, para ello pondremos

las ecuaciones de los segmentos anteriores así:

de esta manera el área será:

como se ve, no nos hemos equivocado ya que hay coincidencia en los resultados, bueno, ¡o

nos hemos equivocado en los dos!, es broma, está comprobado que los dos resultados son

correctos.

1.10 Dada la matriz A, encontrar dos parámetros a y b tales que se verifique la relación:

donde I representa la matriz unidad de orden 2 y 0 representa la

matriz nula de orden 2.

Ahora consideramos la parábola que pasa por el punto (a,b). Hallar el área

encerrada por la parábola y el eje OY desde x = a hasta el origen de coordenadas.

La matriz A es:

Solución:

Calculemos en primer lugar el valor de los parámetros a y b:

la expresión que nos dan será:

esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

Ya tenemos resuelta la primera parte del problema. Consideremos ahora la segunda

parte y como la parábola nos dicen que pasa por el punto (a,b), quiere esto decir que:

por tanto la parábola tiene de ecuación:

para hallar el área encerrada por la parábola y el eje de ordenadas hacemos uso del siguiente

dibujo:

Esta situación la vamos a resolver de dos

formas, en primer lugar vamos a proceder así: La

primera forma de resolverlo va a consistir en calcular

el área del rectángulo ABCD cuyos lados miden 4 y 2

unidades y a esta área le quitaremos la encerrada por

la curva y el eje OX desde -4 hasta 0, multiplicada por 2, ya que hay dos trozos iguales, de

esta forma tendremos:

Área rectángulo ABCD = 4∙2 = 8

Ahora calculamos el área entre la curva y el eje OX:

luego tendremos finalmente:

Ahora vamos a ver otra forma de resolver el problema, para ello de la misma forma

que hemos construido una teoría para calcular el área encerrada por una curva, el eje OX y las

ordenadas x = a y x = b y esto se expresaba como:

de la misma forma podemos calcular el área encerrada por una curva, el eje de ordenadas y las

abscisas y = a e y = b, como:

en el caso que nos ocupa, hay que gastar cuidado en que lo mismo que aparecía en el caso

anterior el cálculo de un área que estaba por debajo del eje OX que nos salía negativa y para

ello usábamos el valor absoluto de la integral, aquí nos va a ocurrir lo mismo ya que estamos

en la zona de las ‘x’ negativas, teniendo en cuenta esto, tendremos:

1.11 Calcular la siguiente integral indefinida:

haciendo uso del cambio de variable:

Solución:

Calculemos en primer lugar la diferencial de ‘x’ y tendremos:

si ahora sustituimos en la integral, nos quedará:

si ahora efectuamos las operaciones dentro de la raíz se tendrá:

para deshacer el cambio haremos lo siguiente:

tomando una de las soluciones de la ecuación, se tiene:

por tanto se tiene:

1.12 Se sabe que la matriz M es simétrica y que su determinante vale 3. También sabemos

que la función f(x) definida por:

es continua en R y que la razón entre las áreas

comprendidas entre la gráfica de la función y el eje OX entre 0 y 1 para la primera rama y

entre 1 y b para la segunda, es de 3/4. Con estos datos hallar la matriz M, siendo:

con a, b, c y d estrictamente positivos y b > 1.

Solución:

Por ser la matriz simétrica, ya tenemos que b = c, y al ser su determinante igual a 3,

tendremos que:

por otra parte, la función f que es continua en R, al estar definida a trozos y en cada trozo a

su vez está definida por funciones polinómicas, es continua en casi todo R, por tanto lo único

que hay que hacer es imponer la condición de que sea continua en el punto x = 1. Para ello se

ha de verificar que:

además nos hablan de un cociente entre áreas encerradas entre la curva y el eje OX. Para ello

vamos a ayudarnos con una posible representación gráfica donde a la izquierda de 1 tenemos

una cúbica con el coeficiente de x al cubo positivo, por otra parte, a la derecha de 1

tenemos una parábola que se anula en el punto b y donde el coeficiente de es positivo, es

decir, que la parábola tiene su mínimo relativo en el punto (b,0), por tanto como decía antes,

la gráfica podría ser:

Ésta podría ser la situación de la

gráfica de estas dos ramas de la función,

ahora lo que tenemos que hacer es

imponer la condición de que el cociente

entre las áreas sea . El cálculo

de estas áreas será:

ahora la condición será:

ahora estamos en condiciones de plantear el sistema de ecuaciones que hemos ido

obteniendo y que es:

la segunda y tercera ecuaciones al tener los primeros miembros

iguales, los segundos también lo serán y de esta manera tendríamos:

si en esta ecuación tomamos los divisores de 2 y probamos cuáles de ellos anulan el primer

miembro, encontramos que estos son el 1 y el 2. ,El valor b = 1 no nos sirve ya que para ese

valor tendríamos que a = 0 y en el enunciado nos dicen que los parámetros son todos

estrictamente positivos, por tanto tenemos que descartar la solución b = 1 y por tanto nos

quedaría la b = 2, para este valor de b se tendría que a = 1, y en este caso sustituyendo en la

primera ecuación tendremos que d = 7

Por tanto la matriz M será:

1.13 Hallar la expresión algebraica de la función racional más simple cuya gráfica es:

Una vez hallada la expresión

algebraica de la función, hallar el área de

la zona sombreada.

Solución:

Como expresiones algebraicas de

funciones cuyas gráficas sean las que

aparecen en el dibujo se podrían dar

varias, yo me voy a limitar a encontrar

una que sea lo más simple posible, ya que

no perdamos de vista que luego hay que

calcular un área donde habrá que hacer

uso del cálculo integral, por tanto voy a ir

jugando con estos dos condicionantes

(razonar la expresión algebraica y calcular

una integral) a fin de que el problema no

se haga demasiado complicado.

Por lo pronto en la gráfica vemos que la función presenta un punto de corte en el

origen de coordenadas por tanto en el numerador de la función racional tiene que estar el

factor ‘x’ elevado a una potencia impar ya que al pasar de izquierda a derecha de cero, cambia

el signo, además se ve claramente que en ese punto tiene una inflexión y por otra parte

aparece que la recta x = 2 es una asíntota vertical de la función y ésta cambia el signo al pasar

de la izquierda a la derecha de 2. La asíntota vertical significa que en la expresión algebraica

aparecerá el factor x – 2 en el denominador y como la función cambia de signo al pasar de

izquierda a la derecha de 2, significa que el exponente del factor x – 2 ha de ser impar, por

comodidad se toma exponente 1, de esta manera podría quedar:

el factor x del numerador es porque la función se anula en el punto cero, lo del exponente

al cubo es por lo siguiente:

La función tanto en como en se hace infinita positiva, esto significa que en

el conjunto, el cociente entre los polinomios debe salir un polinomio de grado par, por tanto el

cociente deberá salir un polinomio de la forma:

para conseguir esto el numerador debe ser de grado 3, por tanto la expresión algebraica más

simple de la función es la que hemos expresado más arriba.

Ahora como segunda parte tenemos que calcular el área de la región sombreada. Esto

hay que hacerlo en dos fases ya que una está por encima del eje OX y la otra por debajo, por

tanto calcularemos las áreas por separado y después sumaremos. Si representamos por la

zona sombreada a la izquierda de OY y por la zona a la derecha de OY, tendremos:

Para calcular hallaremos el área del rectángulo y a ésta le quitaremos el área del

triángulo mixtilíneo por debajo de la curva. El valor de la función en el punto x = -2 será:

por tanto el área del rectángulo será: 2 ∙ 2 = 4 luego:

para calcular la integral primero dividiremos y de esta manera tendremos:

ahora se tendrá:

luego:

El área la calcularemos como la integral de la función tomando como límites 0 y 1,

sin olvidar que tendremos que tomar el valor absoluto ya que esta región está por debajo del

eje OX con lo cual va a salir negativa, por tanto tendremos:

finalmente diremos que el área será:

1.14 Calcular el área de la zona plana acotada comprendida entre las curvas:

Solución:

Para calcular el área de la zona comprendida entre las curvas, lo primero que haremos

será un representación gráfica de ambas a fin de ver cómo quedan ya que el cálculo de áreas

entre curvas a ciegas lo más seguro es que nos equivoquemos, ya que habrá que ver qué curva

está por encima, intervalos de integración, etc.

La primera se ve claramente que es una parábola que presenta un máximo relativo y

que éste está en el punto (0, 2). La segunda es una curva particular que se llama parábola de

Neil, para representarla tampoco tenemos que esmerarnos tanto ya que lo que pretendemos

es calcular un área, no una representación gráfica en plan fino, pero claro, algo hay que

estudiar, si despejamos y en la expresión nos queda una raíz cúbica de un cuadrado, es decir,

los valores de ‘y’ siempre serán positivos, la función está definida en todo R y los valores de ‘y’

irán creciendo a medida que nos alejamos del origen de coordenadas. Lo único que habría que

ver es cómo es la gráfica en un entorno del origen de coordenadas, para ello, observamos que

en el punto x = 0 la función no es derivable ya que al hallar la función derivada, aparece una

raíz cúbica de la variable en el denominador, por tanto en el punto x = 0 la función no es

derivable, esto nos indica que en ese punto la gráfica presenta un ángulo, de esta forma

podernos hacer un esbozo de las gráficas de la siguiente manera:

En la gráfica ya he puesto los puntos

de corte de las dos curvas, esos hay

que hallarlos y para ello resolvemos el

sistema de ecuaciones formado por

las ecuaciones de las dos curvas:

esta ecuación la podemos poner así:

tomando los divisores de 2 vemos que se anula cuando y = 1 y si este valor de y lo pasamos

al primer sistema, obtenemos que x valdrá , en fin, lo que ya está expuesto en la gráfica

de las funciones. Ahora lo que tenemos es que la zona sombreada es simétrica respecto al eje

OY, por tanto lo que haremos es hallar el área de media zona y el resultado lo multiplicamos

por 2, de esta forma uno de los límites de integración será el cero que siempre viene bien ya

que se simplifican los cálculos. Por tanto finalmente tendremos:

1.15 Hallar los puntos P de la parábola tales que sea mínima la distancia al

punto A(3,0). Seguidamente hallar el área de la zona acotada comprendida entre la parábola,

el eje OY positivo y la tangente a la parábola en el punto P que se ha hallado.

Solución:

Los puntos P de la parábola serán de la forma , por tanto los puntos P que

distan lo mínimo del punto A serán los mínimos de la función:

los mínimos de esta función serán los valores de x que anulen la derivada:

Si esta ecuación hubiese tenido más de una solución, no tendríamos más remedio que

hallar la derivada segunda y ver el signo que toma al sustituir los valores de x hallados para

poder decidir si se corresponden a máximos o mínimos, pero aquí es obvio que el valor hallado

se debe corresponder a un mínimo, no hay más que alejarse un poco hacia la derecha sobre el

eje OX para ver que las distancias de los puntos de la parábola al punto A son mayores que el

encontrado. Por tanto la solución es el punto P(1,2)

Para hallar la segunda parte del problema,

vamos a realizar un pequeño esbozo de cómo sería

la gráfica:

Para hallar el área de la zona sombrada

hemos de tener en cuenta que ésta sería el área

comprendida entre dos curvas, la que está por

encima que es la tangente a la parábola y la segunda

que es la parábola misma y que queda por debajo, y

los límites de integración que serán el 0 y el 1, es

decir, el área de la zona sombrada será:

1.16 Dada la función , hallar el área de la zona acotada encerrada entre la

gráfica de esta función y su tangente en el punto de abscisa x = 2.

Solución:

Lo primero que haremos es un esbozo de la gráfica donde pondremos la función y su

tangente sombrando la zona pedida.

Al representar la gráfica de la función, hacemos uso de la definición de la misma a

trozos, y de esta manera ponemos el dibujo requerido.

Continuamos hallando la ecuación de la tangente a la gráfica en el punto P(2,4):

una vez que tenemos la pendiente de la tangente, sabiendo que pasa por el punto (2,4), la

ecuación de la misma será:

ahora hallamos los puntos de corte entre la tangente y la curva y para ello resolvemos el

sistema de ecuaciones:

bueno, el otro punto de corte es el de

tangencia que ya sabemos que es el (2,4). Resolviendo

el sistema tenemos:

el punto que nos interesa es el que está a la izquierda

de 0, ya que a la derecha de cero, la función se define

de otra forma, por tanto el punto de corte será:

Ahora tenemos por un lado la zona sombreada

a la izquierda del eje OY (en las x negativas) ésta la

representaremos por y la otra, la que está a la

derecha del eje OY (en las x positivas) la

representaremos por . De esta forma tendremos:

luego el área total será:

1.17 De una función se sabe que es dos veces derivable y que f(0) = 5,

y . Hallar la expresión algebraica de la función f.

Solución:

f’(x) será una primitiva de f’’(x), o sea:

luego

f(x) será una primitiva de f’(x) luego:

luego finalmente:

1.18 Dada la parábola , hallar la pendiente de la recta y = mx para que las

áreas en que esta recta divide al recinto acotado comprendido entre la curva y el eje OX, sean

iguales.

Solución:

Lo primero que haremos será un esquema gráfico para que veamos la situación.

Si representamos por S el área de toda la zona se tendrá que:

Calculemos el punto de corte de la parábola con la recta:

por tanto los puntos de corte son:

x = 0 ; x = 1 – m

Calculemos el área S, para ello hay que tener en cuenta que la parábola corta al eje OX

en los puntos x = 0 y x = 1, así tendremos:

por tanto se tiene que:

Si calculamos ésta será el área comprendida entre dos curvas, la parábola y la

recta; los límites de integración son los puntos de corte de ambas que son x = 0 y x = 1 – m

y así tendremos:

por tanto tendremos que: