Problemas geométricos...

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CUADERNO Nº 8 NOMBRE: __________________________ FECHA: / /

Problemas geométricos - 1 -

Problemas geométricos

Contenidos

1. Figuras planas (2D P, A) Triángulos Paralelogramos Trapecios Polígonos regulares Círculos y sectores circulares

2. Cuerpos geométricos (3D A, V) Prismas Pirámides Cilindros Conos Esferas

Objetivos

Aplicar el teorema de Pitágoras para estudiar las relaciones que existen entre los segmentos de las figuras planas.

Calcular el perímetro y el área de las figuras planas aplicando las fórmulas conocidas y el teorema de Pitágoras cuando sea necesario.

Aplicar el teorema de Pitágoras para estudiar las relaciones que existen entre las aristas de los cuerpos geométricos.

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de los cuerpos geométricos aplicando las fórmulas conocidas y el teorema de Pitágoras cuando sea necesario.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Bajo licencia

Creative Commons Si no se indica lo contrario.

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1. Figuras planas. 1.a. Triángulos.

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS

¿Cuánto vale la suma de los tres ángulos de un triángulo?

¿Qué es y cómo se calcula el perímetro P de un triángulo?

¿A qué es igual el área A de un triángulo?

Vamos a ver dos diferentes formas de calcular el área de un triángulo.

El área del triángulo es igual a la mitad del producto de la base B por la altura h

FÓRMULA DE HERÓN

2

hBA

222cba hchbha

A

)(22

trosemiperímecbaP

s

csbsassA

Resolvamos distintos ejemplos. Coloca, para facilitar la resolución, los datos en el dibujo.

Calcular la altura h y el área A de un triángulo equilátero de 3’6 cm de lado.

(Utiliza la 1ª fórmula)

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El lado desigual de un triángulo isósceles mide 3’4 cm y los lados iguales miden 5 cm cada uno. Calcular el perímetro P y el área A.

(Utiliza la fórmula de Herón)

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 5’6 cm y los lados iguales miden 3’5 cm cada uno. Calcular la altura h, el perímetro P y el área A.

(Utiliza la 1ª fórmula)

Los lados de un triángulo escaleno miden 2’8, 3’2 y 4 cm. Calcular el perímetro P y el área A. ¿Se puede calcular la altura h?

(Utiliza la fórmula de Herón)

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Ejercicio 1:

Calcular el área A de un triángulo equilátero de 4 cm de lado. ¿Se puede calcular la altura h?

Ejercicio 2:

El lado desigual de un triángulo isósceles mide 2 cm y los lados iguales miden 5’2 cm cada uno. Calcular la altura h, el perímetro P y el área A.

Ejercicio 3:

Los lados de un triángulo escaleno miden 3’4, 5 y 7 cm. Calcular el perímetro P y el área A. ¿Se puede calcular la altura h?

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1.b. Paralelogramos. Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos. La suma de los ángulos interiores de un paralelogramo (o de todo cuadrilátero) es igual a 360º. Su perímetro P es la suma de los cuatro lados, dos a dos iguales entre sí; por tanto

dcbaP

Clasificación y fórmulas

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

2

4

lllA

lP

hBA

hBP

22 hB

dDA

lP

2

4

hBA

aBP

22

CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS

¿En qué queda dividido un rombo al trazar las diagonales?

¿Qué figura se forma al trazar la altura en un romboide?

Pasemos a ver ejemplos que resolveremos

a) Calcular el área A de un cuadrado de lado 3’6 cm. b) Calcular el perímetro P de un cuadrado cuya área es de 31’36 cm2

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a) Calcular el área A de un rectángulo de 8’2 cm de base y 3’5 cm de altura. b) Calcular la base B de un rectángulo de 27’9 cm2 de área y 4’5 cm de altura.

Calcular el área A de un rombo de 29 cm de lado sabiendo que la diagonal menor d=20 cm.

Calcula el lado l y el área A de un rombo cuyas diagonales miden 66’6 cm y 74 cm

Calcular el perímetro P y área A del romboide de la figura sabiendo que sus lados miden 6 cm y 3 cm, y que el segmento desde el vértice izq. hasta el pie de la base mide 2 cm.

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Ejercicio 1:

Calcular el área A de un rombo de 2’5 cm de lado sabiendo que la diagonal mayor D=4 cm.

Ejercicio 2:

Calcular, a la vista de la figura, el perímetro P y área A del romboide. Todas las medidas vienen dadas en metros.

EJERCICIOS

4. a) Calcula el área de un cuadrado de 17,2 cm de lado. b) Calcula el perímetro de un cuadrado de 5975,29 cm2 de área.

5. a) Calcula el área de un rectángulo de 45,6 cm de base y 32,5 cm de altura. b) Calcula la base de un rectángulo de 364,5 cm2 de área y 24,3 cm de altura.

6. Calcula el lado y el área de un rombo cuyas diagonales miden 12,6 y 19 cm.

7. Calcula el área de un romboide sabiendo que los lados miden 60,4 y 48 cm y el segmento que va desde el vértice al pie de la altura mide 25 cm. Haz un dibujo esquemático

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1.c. Trapecios. Un trapecio es un cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases. Como en todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual a 360º. El perímetro P de un trapecio es la suma de las longitudes de los cuatro lados. La altura h es la distancia entre las bases. La fórmula del área A de un trapecio es como la de un rectángulo, pero cogiendo la base media, que se traza a media altura.

hbB

hBA

mediabaseB

cabBP

m

m

2

:

CONTESTA A ESTA CUESTIÓN:

¿Qué figura se forma al trazar la altura por cualquiera de los vértices?

Dos casos particulares e interesantes de los trapecios son: los trapecios isósceles y los trapecios rectángulos. Veamos sus características

FIGURA NOMBRE Características...

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 86 y 188’8 cm, y los lados no paralelos 81’7 cm

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Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 48 y 75’2 cm, y el lado oblicuo, 42’4 cm

Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 100 y 72 cm, y los lados no paralelos 35 cm

Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 42 m y 82 m y cuya altura mide 30 m.

EJERCICIOS

8. Calcula el perímetro y el área A de un trapecio isósceles cuyas bases miden 50 cm y 108 cm y los lados no paralelos 70 cm. ¿De qué tipo es?

9. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 44 y 81 cm, y el lado oblicuo, 52 cm.

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1.d. Polígonos regulares Un polígono regular de n lados es una figura que tiene todos los lados iguales y todos los ángulos interiores iguales. Con tres lados sería un triángulo equilátero, con cuatro lados un cuadrado, con cinco lados un pentágono (regular), con seis hexágono (regular), etc. El perímetro de un polígono regular P es la suma de las longitudes de sus n lados iguales. El área A se obtiene como la mitad del producto del perímetro por la apotema. La apotema ap es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado. Un polígono regular se puede dividir en n triángulos isósceles iguales, llamados triángulos centrales. La apotema divide a estos triángulos en dos triángulos rectángulos iguales; uno cualquiera de ellos será el triángulo rectángulo fundamental del polígono.

22

:

:

:

pp

apotemap

lado

ladosdenúmero

aPalnAnA

a

lnP

l

n

Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular de 2 cm de lado y 1’7 cm de radio.

Calcular el área de un hexágono regular de 2’8 cm de lado.

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Calcular el perímetro y el área de un octógono regular de 4’7 cm de radio y 4,35 cm de apotema.

Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular de 3’2 cm de lado y 2’2 cm de apotema.

1.e. Círculos, sectores y segmentos Una circunferencia es una línea curva y cerrada (1D) cuyos puntos equidistan de uno interior llamado centro. El círculo es la porción del plano (2D) comprendida por una circunferencia; incluye a ésta y a todo su interior. Un sector circular es la región del círculo limitada por dos radios que forman un ángulo central α. Al dividir una circunferencia en 360 partes iguales se obtienen sectores circulares de amplitud 1º. La longitud del arco y el área de un sector se obtienen calculando la parte directamente proporcional que les corresponde de la longitud de la circunferencia y del área del círculo, respectivamente. Un segmento circular es la región del círculo limitada por una cuerda. Al unir los extremos de la cuerda con el centro se obtiene un sector circular.

EJERCICIOS

11. Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular de 2,5 cm de lado.

12. Calcula el perímetro y el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 3 cm de radio y de lado 2’3 cm.

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Ejercicios de cálculo de LONGITUDES Y ÁREAS

Calcular la longitud y el área de un círculo de radio 5 cm.

Calcular la longitud de arco, la longitud del sector y el área de un sector circular de α=40º comprendido en un círculo de 1’6 cm de radio.

CIRCUNFERENCIA y CÍRCULO SECTOR CIRCULAR SEGMENTO CIRCULAR

2

2

rA

DrLP

2

360

360222

rA

rrrPQP

o

o

o

o

(no daremos fórmulas)

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Ejercicio 1:

Calcular la longitud de arco, la longitud del sector y el área de un sector circular de α=210º comprendido en un círculo de 2 m de radio.

EJERCICIOS

14. Calcula la longitud y el área de un círculo 10,6 cm de radio.

15. Calcula la longitud de arco, la longitud del sector y el área de un sector circular de 120º comprendido en un círculo de 2,4 cm de radio.

16. Calcula el radio r y la longitud L de una circunferencia de A=8 cm2

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2. Cuerpos geométricos. (3D) 2.a. Prismas (rectos). Los prismas (rectos) son poliedros (3D) determinados por:

dos bases paralelas: son polígonos iguales con n lados, n caras laterales, que son rectángulos (en prismas

rectos).

La altura h del prisma es la distancia entre las bases. Nota:

en nuestro caso de prismas rectos la altura coincide con las aristas laterales.

El área de la base AB dependerá del tipo de polígono. Si es

regular será 2BB apP

BA

Área lateral AL: Suma de las áreas de las caras laterales. Se desarrollará como un rectángulo de base PB

Área total AT: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases.

El volumen V de un prisma es igual al área de la base por la altura.

cbaV

hAV

AAA

hPA

PRISMA

ortoedro

B

BLT

L

recto

B

2

)(

Ejemplos de resolución paso a paso

Un ortoedro es un prisma rectangular recto. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un ortoedro de 2’8 cm de alto, 4 cm de ancho y 6’5 cm de largo. Haz un dibujo esquemático

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma triangular regular, de h=6’4 cm de alto y de arista de la base aB=4 cm. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma pentagonal regular, de h=4 m de alto, de radio de la base r=2m y de arista de la base aB=2’35 m. Traza los datos en la figura.

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma hexagonal regular, de h=8 cm de alto y de arista de la base aB=2 cm. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de este prisma octogonal regular, de h=4 cm de alto, de radio de la base r=3 cm y de arista de la base aB=2’23 cm. Traza los datos en la figura.

EJERCICIOS

17. Calcula el área total y el volumen de un ortoedro de 4,8 cm de alto, 2,5 cm de ancho y 7,6 cm de largo.

18. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma triangular regular de 7,9 cm de alto y 1,5 cm de arista de la base.

19. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular de 4,3 cm de alto, 3’15 cm de radio y 5,1 cm de arista de la base.

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2.b. Pirámides (rectas). Las pirámides (rectas) son poliedros (3D) determinado por:

Una base horizontal poligonal con n lados, n caras laterales, que son triángulos.

El punto donde convergen los n triángulos laterales se denomina vértice o cúspide. La altura h de una pirámide es la distancia –interior- del vértice a la base. La relación

principal entre segmentos es 222

Bc aphh

El área de la base AB dependerá del tipo de polígono. Si

es regular será 22BBBB apaapP

B nA

Área lateral AL: Suma de las áreas de las caras laterales triangulares.

Área total AT: suma del área lateral y el área de la base.

El volumen V de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura.

3

2

)(

hAV

AAA

hPA

PIRÁMIDE

B

BLT

cBL

aphregularyrecta cc

Ejemplos de resolución paso a paso

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide de base cuadrada de de arista lateral aL=3’2 cm y de arista de la base aB=2’8 cm. Traza los datos en la figura.

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide de base pentagonal regular, de altura h=4 cm, de apotema de la base apB=1’6 cm y de arista de la base aB=2’4 cm. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de esta pirámide de base hexagonal regular, de altura h=8 cm, de apotema de la base apB=2’6 cm y de arista de la base aB=3 cm. Traza los datos en la figura.

EJERCICIOS

20. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 8,9 cm de arista lateral, de altura 8 cm y 5,6 cm de arista de la base.

21. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide hexagonal de 11,2 cm de arista lateral, de altura 10 cm y 5 cm de arista de la base.

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2.c. Cilindros (rectos). Los cilindros rectos son cuerpos de revolución (3D) que se obtienen al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de rotación (o eje del cilindro) y el lado paralelo a él es la generatriz g. En un cilindro distinguimos la superficie lateral y dos bases que son dos círculos iguales.

La altura h del cilindro es la distancia entre las dos bases. En un cilindro recto la altura y la generatriz miden lo mismo.

El área de la base AB de un cilindro es 2rAB

Área lateral AL: es el área de la cara lateral. En un cilindro (recto) la cara lateral se desarrolla en un rectángulo de base el PB.

Área total AT: Es la suma del área lateral y el área de las dos bases.

El volumen V de un cilindro es igual al área de la base por la altura.

hrhAV

rgrAAA

grhPA

ghhCILINDRO

B

BLT

cBL

crecto

2

2

)(

222

2

CONTESTA A ESTA CUESTIÓN:

¿Qué figuras forman el desarrollo de un cilindro?

Ejemplos del cálculo, paso a paso, de áreas y volúmenes de cilindros

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 4’6 cm de altura y 3 cm de radio de la base. Traza los datos en la figura.

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 1’8 m de radio y 8 m de generatriz. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 8 cm de diámetro y 4 cm de altura. Traza los datos en la figura.

EJERCICIOS

23. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro de 7 cm de alto y 3 cm de radio de la base.

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2.d. Conos (rectos) Los conos (rectos) son cuerpos de revolución (3D) que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de rotación (o eje del cono) y la hipotenusa es la generatriz g.

En un cono distinguimos la superficie lateral y la base que es un círculo. EL punto donde convergen las generatrices es el vértice (o cúspide). La altura h del cono es la distancia del vértice a la base. La relación que existe entre la generatriz de un cono, su altura y el radio

de la base es 222 rhg

El área de la base AB de un cono 2rAB

Área lateral AL: es el área de la cara curva lateral. En un cono la cara lateral se desarrolla en un sector circular y su fórmula es una adaptación de la del área del triángulo.

Área total AT: Es la suma del área lateral y el área de la base.

El volumen V de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura.

33

2

2

2

)(

hrhAV

rgrAAA

grhP

A

CONO

B

BLT

cBL

ghrectocono c

Ahora, con toda esta información, CONTESTA A ESTAS CUESTIONES:

¿Qué figuras forman el desarrollo de un cono?

Observa la sección de un cono, ¿qué relación existe entre la generatriz, la altura y el radio de la base? ¿Qué teorema se aplica para obtenerla?

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Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 4 cm de altura y 3 cm de radio de la base. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 6 cm de generatriz y 2’4 cm de radio de la base. Traza los datos en la figura.

Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 6’2 cm de generatriz y 6 cm de altura. Traza los datos en la figura.

EJERCICIOS

24. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un cono de 4,6 cm de alto y 7,2 cm de radio de la base.

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2.e. Esferas (3D).

Las esferas son cuerpos de revolución (3D) que

se obtienen al girar un semicírculo (o un círculo)

alrededor del diámetro. La recta en la que se

sitúa éste es el eje de revolución y la

semicircunferencia la generatriz.

La superficie esférica no es desarrollable en el

plano

Área A: la esfera posee una única superficie que

la encierra. Por ello, se habla sólo de área (sin

distinguir entre lateral o total). Su valor

corresponde al de cuatro veces el área de un

círculo máximo.

El volumen V de una esfera es igual a cuatro

tercios de π por el radio al cubo

3

4

44

3

2

rV

rAA

ESFERA

máximocírculoT

Calcula el área y el volumen de una esfera de 2’5 cm de radio.

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Calcula el radio y el volumen de una esfera cuya área es de 120 m2.

Calcula el radio y el área de una esfera cuyo volumen es de 4 m3.

EJERCICIOS

26. Calcular el área y el volumen de una esfera de 5,6 cm de radio.

27. Calcular el radio y el área de una esfera cuyo volumen es de 3261,76 cm3.

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Para practicar

Los siguientes EJERCICIOS son de Figuras planas.

Señales de tráfico (Un ejercicio sobre cada una)

1. Calcula el perímetro y el área de la señal de tráfico sabiendo que su altura es de 450 mm

¿De qué tipo es?

¿Qué indica?

2. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su altura es de 60 cm y r=32’47 cm

¿De qué tipo es?

¿Qué indica?

3. Calcula el perímetro y el área de esta señal de tráfico sabiendo que su lado es de 800 mm

¿De qué tipo es?

¿Qué indica?

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Los siguientes EJERCICIOS son de Cuerpos geométricos.

Tetrabrik

4. Las dimensiones de un tetrabrik son 12’5 cm de alto, 10 cm de largo y 6 cm de ancho. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción?

Lata de conservas

5. Una lata de conservas tiene 16 cm de altura y 5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material –hojalata- se necesita para su construcción?

La Tierra

Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6370 km, calcula la superficie y el volumen aproximados de nuestro planeta.

27 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Recuerda lo más importante

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Área lateral: suma de las áreas de todas las caras laterales de un cuerpo geométrico.

Área total: suma del área lateral y del área de las bases de un cuerpo geométrico.

Volumen: es la medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico.

PRISMA Al = nº caras · área del rectángulo

At = Al + 2 · área del polígono regular

V=área de la base · altura

PIRÁMIDE Al = nº caras · área

del triángulo

At = Al + área del polígono regular

A base · alturaV =

3

TRONCO DE PIRÁMIDE

CILINDRO

Al = 2·π·r·h

At = 2·π·r·h+ 2·π·r2

V = π·r2·h

CONO Al = π·r·g

At = π·r·g+π·r2

π 2·r ·hV =

3

TRONCO DE CONO ESFERA

A = 4·π·r2

π 34· ·rV =

3


Jvh

Línea

Jvh

Línea

Jvh

Línea

Jvh

Línea

28 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Autoevaluación

1. Calcula el área de un triángulo equilátero de 4 metros de lado.

2. Calcula el área de un rombo de 3,8 metros de lado sabiendo que el menor de los ángulos que forman sus lados mide 74º.

3. Calcula el área de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 7,9 metros de lado.

4. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 3 metros de altura y 4,2 metros de arista de la base.

5. Calcula el área total de una pirámide hexagonal de 6,9 metros de arista lateral y 4,9 metros de arista de la base.

6. Calcula el área lateral de un tronco de pirámide cuadrangular sabiendo que las aristas de las bases miden respectivamente 8,8 y 13,3 metros y la arista lateral 8 metros.

7. Calcula el área total de un cilindro de 2,5 metros de altura y 6,7 metros de radio de la base.

8. Calcula el volumen de un cono sabiendo que la generatriz mide 1,8 metros y el ángulo que forma la generatriz con la altura mide 28º.

9. Calcula el área lateral de un tronco de cono cuya altura mide 7,2 metros y los radios de las bases miden respectivamente 3,1 y 7,1 metros.

10. Una esfera de 10,3 metros de radio se introduce en un cubo de 20,9 metros de arista. Calcula el volumen del espacio que queda libre en el cubo.


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