UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE INGENIERADEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIASREADEMATEMTICAESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

GUA DEPROBLEMASDECLCULOII2014 - II

1FUNCIONESVECTORIALES

1.Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales. a) (1 ) ( 2)( ) ( , ; ( 4) )Ln t Ln tFt Lntt t+ + b) 1 1( ) ( , , 3 )(1 ) 1G t tLn t t + +2.Determinar y describir grficamente el rango o traa de cada una delas siguientesfunciones! a) ( ) (3cos 2 , 2 2) Ft t sent +

b)22 21 2( ) ( , )1 1t tG tt t+ + c)( ) ( 2 3 , 1 4sec ) f t tgt t + +

d) ( ) (" #cos , # "cos ) + gt sent t sent t e) ( ) ( ,,2 ) Ht cos t sen t f)( ) ( cos , , ) gt t t t sent t g)3 3 3t( ) ( $, cos$,4e ) t tg t e sent e t 3.%valuar los siguientes l&mitesa)22 3'1 cos ( )lim ( , , )( )tsent t t sentt t t sen t b)3 ' 1 1 1 " (lim ( , , ) (1 ) # $t t tt ttt e sentt Ln t+ + + c)# 3211 1 ( 1)lim ( , , ) , ', 11tntt a sen ta asen t t t > .Rpta: 1#( ' , 1 , ) ad) 34'1lim ( ( ) , , ) ,4a t b t a t b tte e e et sen a bt t senat senbt+ + e)( ) ( ) ( )2 3 42 3 4'lim , , _+ + + ,ta t a a t a a t at t t. Rpta: 2 3( 2 ,3,4 ) a a af)$2'1 cos ( 2) 2 $ 3lim ( , , )) (t tt ttt Ln t Lnt t +

2 g)'(2 ) cos(2 ) (4 )lim , ,(3 ) cos(3 ) cos($ ) _ ,xsen t t sen tsen t t t. Rpta:23( ,1 ,')*)+alcular l&mite 22'tan( ) tan (2 )lim , ,2sectc t sent t sen tt t t _ ,4.,naliar la continuidad de las siguientes funciones a)2 3( , , ) , '3( )2(1, , 3) , '3arcsent sentt sen t tt tFtt '

Rpta: F ! "# $!t%&a " t'0. b)241( , ) , 1( )1( 2,1) , 1tt tG ttt 'c) 2($ $) ( $ )sec( )$ - 2$1'(, ) , $$ sen ($) ( )2$ 1'( , ) , $tt sen t tttt t Htt ' Rpta(-) "# $!t%&a " t ' *.$.,naliar la continuidad de la funci.n en t / 12 2t 1 t 1( ,) ,t 10(t) t 1 t 1)( 2 ,'),t 1 +'Rpta(- La +&$%, "# $!t%&a " t ' 1 #.,naliar la continuidad en su dominiosen2t sen2t sen4t( ,,) ,t 'sen3t sen4t sen$t1(t)2 1 4( ,,),t '3 2 $ 'Rpta(- La +&$%, "# $!t%&a " t!-! #& -!.%%!. (. Hallar la 2rimera y segunda derivadas de lassiguientes funciones, determinando su dominio! a) ( ) ( ,1 cos ) +tFt e tb) ( ) ( cos , ) Ft a t b sentc)2( ) ( , , ( ) t tFt t e t Lntd) 1 2( ) ( , , )1 1+ +t tFt tt te)( ) ($sec , # ( )) Ft t tgtf)2 222( ) ( ( 1), 1 , )1 tFt Ln t tt ".+alcular la longitud de arco delassiguientescurvas!a) ! ( ) ( , cos ) ,3', 4 t tgt e sente t t . Rpta:2- 2 L e

3b)! ( ) (3 , 2cos,3 ) gt t sent t t sent + ,donde' 4 t c)5na 2art&cula se mueve en el 2lano XYseg6n la ecuaci.n 2 cos3 tx e t, 2 3 ty e sen t. Hallar la longitud de la trayectoria desde' t *astat RECTAS/PLANOS FUNDAMENTALES0 CURVATURA /TORSI1N1.7ea la curva descrita 2or( ) ( cos(3 ) , (3 ),3) f t t sen t t.Hallar la ecuaci.nde la recta tangente a ent ' . Rpta: R"$ta Ta2"t"{ }89 1 ' ' t ' 3 3t ( , , ) ( , , ) / + 2.Hallar los tres vectores y2lanos fundamentalesa la curva descrita 2or 2( ) ( , cos , ) f t t t sent , en t .3.7i es la curva descrita 2or lafunci.n3 4$ $( ) ( cos ,1 , cos ) gt t sent t, *allar los vectores ( ) Tt, ( ) Nt, ( ) B tyla ecuaci.n de los tres 2lanos fundamentales en el2unto '( ', 2, ') P.4.Hallar un 2unto de la curva descrita 2or la funci.n 3 4( ) ( , 3 , ) G t t t t ,donde el 2lano normal es 2aralelo al 2lano ! # # " 1 ' x y z + P$. Hallar la ecuaci.n de lostres2lanosfundamentalesde la curva descrita 2orla funci.n ( ) ( 4cos , 4 , 2 ) Ft t sent t en el 2unto '( 4 , ',2 ) P #.- 7ea+lacurvadescrita2or3 3( ) ( , , 3 2 ), 3', 24t tt e e t t . Hallar un2unto de la curva donde la recta tangente a + sea 2aralela al 2lano2 1 x y z (.- 5na 2art&culasemueveeneles2acio 2artiendo enel instante t/ ' desdeel 2unto-2(1, ',2e ) P . %n cada instante ' t la velocidad de la 2art&cula es2( 1)( ) ( 2,2 ,4 )tv t t e .:%n ;ue instante el vector velocidad es 2aralelo al vector2osici.n de la 2art&cula< : +rua la 2art&cula al 2lano ' x y + en alg6n instante R acotada 2or las curvas!2 2 2 22 1,2 4,2 ,$ x y x y y x y x + + 2$.- %ncontrar el rea de la regi.n limitada 2or las curvas! 2 , B/ 4 , y xy y x ,

y 3 ,',' x x y 2#.- Determinar el rea de la regi.n 2lana limitada su2eriormente 2or2 24 x y +

13einferiormente 2or2y x 2(.Hallar el volumen del tetraedro acotado 2or los 2lanos ' , / ' ,' x y z y

1 y x z + 2".5sando integral doble determinarelvolumendel s.lido limitado2or las rectas

' , B / 2 ,y ', 4 x y , en el 2lano >R sus aristas son 2aralelas el eAe ? y la ta2a es el 2lano 2 1' z x y 2).- ,2licar la integral doble 2ara determinar el volumen del tetraedro limitado 2or los2lanos coordenados y el 2lano 2 # x y z + + ;ue tiene como base la regi.n triangular del 2lano >R limitada 2or los eAes >,Ryla recata 2 # x y +

3'.- 5sando integral doble calcular el volumen del cuer2o limitado 2or las su2erficies

2 2 2,,1,' z x y y x y z + 31.- 5na lmina D limitada 2or las curvas 2 2,4 y x y x .+uya densidad en cada2unto de la lmina es ( , ) 2 xy x . Hallar la masa total de la lmina.32.- 5na lmina tiene la forma de la regi.n.} {2 2 2( , ) ! ), ' # xy x y y + y su densidad en cada 2unto de la lmina es 2 2( , ) xy x y +Determinar el centro de masa de la lmina.33.- Determinar el centro de masa de la regi.n D limitada 2or las curvas ', y x 3', y x si la densidad de D est dada 2or ( , ) 3 xy x INTEGRALESTRIPLES/SUSAPLICACIONES 1(+alcular las siguientes integrales 2or los mEtodos ms adecuados a42 2 22 #3#3#'- 3#' x x yx$z $y $x Rpta! (2 542 2 223 ) )23 ) ' x x yxx $z $y $x G2ta! 243@ 4c)2 yB2 2B1' '#cos( )xz z$z$y$xy y Rpta:1A4d)2 2 22 4 42 2' ' ' 4x x yz x y $z$y$x G2ta! "@ $e)2 2 4 111 2 32 2' ' ' 1 2 3x x yz x y $z$y$x+ f)2 2 22 4)' ' '( ) x x yxy y z $z$y$x + +

14g) ( )22 12' ' y y zyy z $x $z $y+ *) 2 2 223 ) )2 2 23 ) ' x x yxz x y z $z $y $x + + i) 2 2 2 2 23 )1"2 2 2' '() x x yx yx y z $z $y $x ++ + 2. 7i 7 es la regi.n limitada 2or 2 2 23 x y z + ; , ' y z , 2 2 24 x y z + + calcular 2 2Sz $x $y $zx y + . 3.7ea 7 la regi.n limitada 2or las su2erficies2 2z x y +, 2 2 2x y a + ,calcular +S$z $y $x y x2 2. 4.+alcular 7 dB dy d donde 7 es el s.lido limitado 2or las su2erficies 2 2 2 2 " , 2 + z x y z x y $.7ea{ }3 2 2 2 (, ,) @ 3# ) 4 3# x y x x y z + + R,', ', ' x y z calcular 2 2 2 Qx yz$x $y $zx y z + +.#. +alcular ( )( )( )+ + + Qx y z x y z x y z $x $y $z donde Q esel tetraedrolimitado 2or los 2lanos ' x y z + + ,' x y z + ,' x y z , 2 1 x z VOLUMEN DE S1LIDOS MEDIANTEINTEGRALESTRIPLES 1.Hallar el volumen del s.lido limitado 2or el cono 2 2 24 + x y z y la esfera2 2 2$ + + x y z siendo ' z .Rpta:31'( $ 1)3 2.+alcular el volumen del s.lido com2rendido entre el 2lano XY y las su2erficies cil&ndricas 2 2 y ax x y 24 z axdonde' > a . 3.+alcular el volumen del s.lido com2rendido los 2araboloides 2 2$ $ + z x y, 2 2# ( z x y . 4.Determinar el volumendel s.lido limitado 2orel cilindro 2 24 + y zylas su2erficies 2 x z , 2# ( 2) x z $.Hallar el volumen dels.lido limitada 2or las su2erficies 2 23 ' + x y z ,24 ' y z

1$ #.Hallar el volumen determinado 2or las su2erficies 2 2 + z x y,

2 2 24 4 + z x y . (.5sando coordenadas cil&ndricas, *allar el volumen del s.lido encima del2lano XY cortada 2or la esfera2 2 22$ + + x y zyel cono 2 2 21# ) ) + z x y". 5sando coordenadas esfEricas calcular el volumen encerrado 2or la esfera

2 2 2 2+ + x y z r ). Hallar el volumen del s.lidoentre las su2erficies 2 2) + x y, 2 2) + y z 1'.%ncontrar el volumen del s.lido limitado 2or la su2erficie 2 2 24 4 1# + + x y zRpta:3#4@ 311.Calcular el volumen del s.lidolimitado2or el cono 2 2 2+ x y z ,' z cortado2or el 2lano4 z .12.- Determinar el volumen del s.lido acotado 2or! 2 22 2( )4 ) 2x y xz + + 13.- Hallar el volumen del s.lido limitado 2or 2 2 2 2( ) x y z x + + 14.- Determinar el volumen del s.lido acotado 2or! 2 22 2 3()) 4x yz z + +

INTEGRALESDELNEA/SUS APLICACIONES1. +alcular las integrales de l&nea!a)2 2 2 2( ) ( )1 + + ] x y $x x y $ya lo largo de la curva! 11 y x desde el 2unto '(', ') P *asta 1(2, ') P .b)2 2( 2 ) ( 2 ) x xy$x y xy $y 1 + ] siendo el arco de la 2arbola 2y x ;ue une los2untos'(2 ,4 ) P y 1( 1 ,1 ) P. c)2 2(2 ) z x y $s +donde es la 2rimera es2ira de la l&nea *elicoidal c.nicacos x t t , y t sen t yz t .d) 2 2( )nCx y $s + donde +es la frontera del c&rculo2 2 2x y a + 2. +alcular3 3 2 2 33 ( 2 2 3) (2 1) 4 xy x $x xy y $y+ + + + cuando es el arco de la cicloide t x t sen , 1 cos y t , [ ]' ,2 t

1#3.Hallar la integral de l&nea 2 2(3 # )14 2'1 + + ] Cx y $x yz $y xz $z donde + es el segmentode recta ;ue va del 2unto (1,',') al 2unto (1,1,') y luego del 2unto (1,1,') al 2unto (1,1,1). G2ta!2'@34.+alcular2 2 2( ) x y z $s+ +, donde ( ) (cos,, ) t t sen t t *Elice [ ]' ,2 t

$. +alcular 2 2y$x x$yx y ++sobre la circunferencia2 2 2!x y a + ,' a >recorridoen sentidoanti*orario. #. %valuar4 4( ) , x y $s+ dondeSes la frontera de{ }2 2 2 ( , ) @ 2$# xy x y + R (. +alcular la integradle l&nea del cam2o vectorial 2 2 2( , , )2x! y " zkFxyzx y z x y z+ ++ + +r r r a lo largo del segmento de la recta del 2unto'( 1 ,1 , 1 ) P, *asta el 2unto 1( 4 ,4 , 4 ) P". +alcular 221(2 ) ( )x LnxxLny $x $yxy y y+ + , si3( ) ( 1Ct , cos1'') t t , ' 1 t ). +alcular.y$x z$y x$z+ + donde! a) es la curva de intersecci.n de las su2erficies 2 x y + , 2 2 22 () x y z x y + + + . 9a curva es recorrida en el sentido *orario miradodesde el origenb) es la intersecci.n de las su2erficiesz xy y2 21 x y + , recorrida en elsentidoanti*orario visto desde encima del 2lano XY.1'.+alcular las siguientes integrales de l&nea seg6n el caso! a)2 3 2 1 cos ysen x x$s+donde es el arco de la curva y senx

de '( ' ,' ) Pa 1 2( ,1 ) P . b)2 2 1x$x y$yx y++ + en el sentido *orario a lo largo del cuarto de la eli2se

2 22 21x ya b+ en el 2rimer cuadrante. c)2 2 2x$x y$y z$zx y z+ ++ + , donde es el arco de la curva2 x t ,21 y t +, 2z t t +;ue une los 2untos'( ' ,1 , ' ) P y '( 2 ,3 , 2 ) Q. 11. +alcular la integral de l&nea del cam2o vectorial a lo largo del camino indicado.a) ( , , ) (,, ) Fxyz x y xz y a lolargo de2 3( ) ( t , 2t , 4t ) t , ' 1 t b) 2( , , ) (2,,) Fxyz xy x z y + desde '( 1 ,' , 2 ) Pa '( 3 ,4 , 1 ) Q

1(a lo largo delsegmente derecta.12.+alcular3 2 2 3( ) ( ) x y $x x y $y 1 + + + ] donde es la frontera del 2entgono de vErtices'( ' ,') P, 1( 1 ,') P, 2( 2 ,1) P, 3( ' ,1 ) P y 4( 1 ,2 ) P.13.+alcular la integral de l&nea ( ) ( 3 )xy x yye x $x xe y $y 1 + + + ] a lo largo del segmento ;ue une los 2untos'( 1 ,2 ) P y 1( - 2 ,) ) P .14.+alcular la integral de l&nea xy z xy z xy zye $x xe $y e $z+ + + 1 + + ] a lo largo delsegmento ;ue une los 2untos '( 1 ,2 , - 3 ) Py 1( -2,$ , 11 ) P .1$.+alcular 2 2 2 2( )y x$x $yx y x y+ +siendo la eli2se de ecuaciones 2aramEtricas 4cos x t;3 y sen t,' 2 t

1#.+alcularxyz$s donde , es la 2arte de la recta1, x y z y z + + Que se encuentra en el 2rimer cuadrante.1(.+alcular la integral de l&nea 2 2, x y$s +donde es la curva ;ue va del 2unto ( 4 , 4 ) P al2unto (' , ' ) Q yde a*& recorrela semi-circunferencia inferior de centro (2 , ' ) Cyradio2 r como se observa en la figura.

1".+alcular3 3( ) (4 ) x y $x y x $y 1 + ] , donde es la frontera de la regi.n del2rimer cuadrante;ue esta limitada 2or los grficos de 2y x , 3y x 1).Hallar3( ) 4 + +Cy z $x z$y x$z a lo largo de la curva descrita 2or la intersecci.n de los 2lanos1 2 ' x y z,2 2 ' + x y zdel 2unto (1,',') al 2unto((, 1', 2) Rpta:- 9B2'. +alcular3( ) ( ) 4 xy x y $x xy x y $y+ + + + , donde es! a) 9aeli2se2 22 21x ya b+ b) 9a circunferencia 2 2x y ax + .21.+alcular22 2 33(3 ) ( ) 43y yyx e xy $x x e coy $y + + alrededorde2 2 !1 x y + 22. +alcular2 2 2 2(2 ) (3 ) y x $x x y $y 1 + ] , si 2 2 2 ! ( ) x a y a + 23. +alcular 2 2 2( ) ( ) x y $x x y $y 1 + + + ] ,sies elcontorno deltringulo

1"4-442XY devErtices (1 ,1 ) ( , (2 ,2 ) B y (1 ,3 ) C recorrido en sentido anti*orario.APLICACIONESDE LAINTEGRALDELNEA1.-Hallar el trabaAo realiado 2or la fuera (2 , ) +rF x y x yal des2laar una 2art&culaen el 2lano >R a lo largo de la curva2 21 + x yen sentido anti*orario. 2.-5na 2art&cula se mueve a lo largo de la curva 2 ! y x , desde el 2unto '(1,1) P al 1(3, )) P, si el movimientose debe a la fuera2 2 2( , ) ( )Fxy x y ! xy " + . Hallar eltrabaAo totalrealiado. 3.-5na fuera en el es2acio viene dada 2or ( , , ) (,, ( 1)) Fxyz yz xz xy +. +alcular el trabaAo realiado 2or0 al mover una 2art&cula recorriendo una veel contorno del tringulo de vErtices'(', ', ') P, 1(1 ,1 ,1) P y 2( 1 ,1 ,-1) P .4.-+alcular el rea de la regi.nlimitada 2or y x,' y;2 y x xa )Hediante integral de l&nea.b)Hediante integralesdobles.$.- 5na 2art&cula se mueve a lo largo de una recta en 2;ue une los 2untos,(a,b), P(c,d) debido a la fuera2 2 3@ 2 2 2 3@ 2( , ) ( )y( ) Fxy x x y ! x y " + +r r a) Hallar el trabaAo realiado b) Demuestre ;ue no var&a si se toma una trayectoria diferente ;ue une, y P sin 2asar 2or el origen. #.- 5na 2art&cula da una vuelta alrededor del c&rculo unitario contrario al de las manecillas del reloA, mientras est suAeta a la fuera

3 3( , ) ( ) (cos arctan(tan ))xFxy e y ! y x " + +r r Determinar el trabaAo realiado 2or la fuera 0APLICANDOELTEOREMADE GREENRESOLVER 1.- Terificar el teorema de 1reen y evaluar.a)2 3(xy$x y $y 1 + ] , es la curva cerrada 2or las grficasde y x , 3 2y x entre los 2untos (' ,' ) ( y (1 ,1 ) Bb)3 3 3 3(2 ) ( ) x y $x x y $y 1 + + ] ,2 2 !1 x y + c) 2y$x xy$y 1 + ] ,curvacerrada 2or la grficade y x ; 2y x entrelos 2untos (' ,' ) ( y(1 ,1 ) B.2.+alcular la integral curvil&nea[ ]2 xy$x x$y+ a lo largo del rectngulo de vErtices '(', ') P, 1 (2 ,') P, 2 (2 ,1 ) Py 3 (' ,1 ) P. 3.Hallar2 2 2 2(2 2 ) ( 2 )1 + + + + ] Cx y $x x xy y $ydonde la curva + es el contorno del tringulo con vErtices en los 2untos;(1,1), (3,3)y(1,3)en sentido anti*orario.

1)Rpta:- 0BA9(4.+alcular la integralcurvil&nea

2 2 3(2 ) ( ) xy y $x x y $y 1 + + + ] a lo largo delrectngulo devErtices '(1,1) P,1(1 ,3) P, 2 ( 1 ,3 ) P y 3 ( 1 ,1 ) P .$.+alcular la integral curvil&nea 2 3 2( $ 3 ) (2 ( ) xy x $x xy x $y 1 + + + ] alo largo del semic&rculo su2erior de centro el origen y radio3.#. %valuar le integral ( 1) (1 )x y x yx e $x x e $y+ + 1 + + + ] dondeCes el arco de la circunferenciaB2Cy2 / 1 com2rendido en los dos 2rimeros cuadrantes.(.- +alcular la integral 2 2 23 4Cxy$x xy$y + donde + es la circunferencia 2 2 2x y + + recorrida en el sentido contrario al de las aguAas del reloA ".- +alcular la integral2 3 33 4, ! ( ) (2cos , 2sin ),3', 2 4Cy$x x$y C t t t t + ).-%valuar la integral2 2 2 2( ( ))Cx y$x yxy Lnx x y $y + + + + + donde + es el rectngulo1 4, ' 2 x y 1'.- %valuar la integral4 4)C xy$x xy$y + , donde + es la frontera de la regi.n semianular su2erior com2rendido entre las circunferencias 2 24 x y + ,2 2) x y + 11.- %valuar la integral3 2 2 3 2( # 3 ) (2 4 2 3 )Cx xy y y$x x xy xy y$y + + + + donde+ es el c&rculo2 2( 2) ( 2) 4 x y + 12.-5sando el teorema de 1reen*alla el trabaAo ;ue realia la fuera 3 2 2 2( , ) ( ) (4 ) Fxy y xysenxy! xy yx senxy " + r r0 2ara mover una 2art&cula en sentido anti *orario a lo largo de la curva2 24 1# 12 ' x y y + + AREA DE SUPERFICIES0 INTEGRALES DE SUPERFICIEAPLICACIONES DE LOS TEOREMAS DESTODES / DEGAUSS1.%ncontrar el rea de la 2orci.ndel 2araboloide 2 2z x y +;ue se encuentra baAoel2lano4 z .

2'2. Hallar el rea de la su2erficie limitada 2or los cilindros 2 2 2x y a + , 2 2 2y z a + 3.Hallar el rea de la su2erficie de la esfera2 2 2 2x y z a + + , en el 2rimer octante2ositivo.4.+alcular el rea de la 2orci.n de la su2erficiec.nica2 2 2x y z + situada entre los dos2lanos' z ,2 3 x z + .$.- Hallar el rea de la su2erficie del 2araboloide 2 22z y x + ;ue ;ueda fuera del cono 2 2 2z y x +=(-+alcular2 2 2 2( ) 1x y#, x y z z $( + + +siendo la su2erficie del cono 2 2 23( )entre / ',/3 z y x +

(. %valuar 2Sxz$S su2oniendo ;ueSes la 2arte del cono circular 2 2 2z x y +;ue se encuentra entre los 2lanos1 z y 4 z .".%valuar 2( 2 )Sy yz$S +dondeSes la 2arte del2lano 2 2 # x y z + + ).%valuar ( )Sx z$S +donde Ses la 2arte del cilindro2 2) x y + entre ' z y 4 z .1'.%valuar .SF $S donde22( , , ) ( )( )x zFxyz xy ! y e " senxy k + + +ySes la 2arte de la regi.nG acotada 2or el cilindro 2arab.lico 21 z x y los 2lanos ' z y 2 y z + .11.7eaSla 2arte de la grfica 2 2) z x y tal ;ue' z y sea ( , , ) 3 3 Fxyz x ! y " zk + + .+alcular el fluAo deFa travEs deS .12.Determinar el fluAo del cam2o vectorial( , , )K Fxyz x ! y " z + + a travEs dela esfera 2 2 2! ) S x y z + + 13.Determinar el fluAo del cam2o vectorial( , , )K Fxyz x ! y " z + + atravEsdel eli2soide 2 2 22 2 21x y za b c+ + 14.+alcular el fluAo del cam2o vectorial2 2 2( , , ) 3 4 $K Fxyz z ! x " y + +atravEsde 2 2 2! # S x y z + + ,' z ,con sus normalesa2untando *aciasu eBterior. 1$.- Dada la funci.n vectorial( , , )K Fxyz xz! yz " xz + +r r r ,U es la 2orci.n de la esfera 2 2 21# x y z + + ;ue se encuentra dentro del cilindro 2 21 x y + y arriba del 2lano >R *allar la circulaci.n de 0 sobre el ciclo + y el fluAo de 0 a travEs de la su2erficie U.1#.,2licar el teorema deSt!3"#2ara calcular el fluAo del cam2o vectorial

21

( , , )K Fxyz z ! x " y + + a travEsdel *emisferio2 2!1 S z x y .1(.Terificar el teorema de St!3"# 2ara el cam2o vectorial

( , , ) ' K Fxyz y ! x " +y la su2erficie 2 2!1 S z x y 1".7ea el tringulo orientadosituado en el 2lano 2 2 # x y z + + . %valuar

. F $r donde 2( , , )K Fxyz y ! z " x + + (,2licar el teorema de St!3"#)1).+om2robar el teorema de St!3"#2ara 2( , , ) 2K Fxyz z ! x " y + + donde Ses la su2erficie del 2araboloide 2 24 z x y y es la traa deS .2'.7eaSla 2arte del 2araboloide 2 2) z x y 2ara' z ysea es la traa de Sen el 2lanoXY.Terificar el teorema de St!3"# 2ara el cam2o vectorial ( , , ) 3 4 2 K Fxyz z ! y " y + +r r r.21. 5n l&;uido est arremolinado en un de2.sito circular de radio2de forma ;ue su movimientoviene descrito 2or el cam2o de velocidades .

2 2 2 2( , , ) Fxyz y x y ! x x y " + + + . Hallar ( ). =SrotF $S siendoSla su2erficie su2erior del de2.sito cil&ndrico.22.5sando el teorema de Ga# (divergencia) calcular 3 3 3 Sx $y$z y $z$x z $x$y1 + + ] , donde2 2 2 2! S x y z a + + .23.7ea Q la regi.n s.lida limitada 2or la esfera 2 2 24 x y z + + . Hallar el fluAo eBterior al eBteriordel cam2o vectorial3 3 3( , , ) 2 2 2K Fxyz x ! y " z + +a travEs de la esfera dada, es decir, calcular. =SF $S24.- 7ea la funci.n vectorial ( , , )K Fxyz x! y " z + + y U la su2erficie de la esfera con centro (1,',1) y radio 3, determinar el fluAo de 0 *acia fuera de U a2licando teorema de la -%E">2"$%a(2$.- ,2licando el teorema de la divergenciacalcular C F $ es decir el fluAo de 0 a travEs de la su2erficie U.a) 2 2( , , )K Fxyz xy ! yz " xz + +r r r, U es la su2erficie del s.lido com2rendido entre los cilindros 2 2 2 21, 4 x y x y + + y entre los 2lanos 1, 3 z z b) 2 2 2 2 2( , , ) 3 ) 4K Fxyz yz! xyz " xy + r r r, Ues la su2erficie del cubo con vErtices1,1,1. t t t( 1 1, 1 1, 1 1 x y z ) E:a." pa>$%a@ 8S"."#t>" a$a-F.%$! 2011-24

22P>!5@".a NG 1(7eala curvaCre2resentada 2or las ecuaciones 222 , ( )2x y y z Lny , Determinar!a) 5na funci.n vectorial +de la curva C.b) 9a longitud de arco de + desde el 2unto (',',') *asta el 2unto 3 1 4( , , ( ))2 2 3Ln

P>!5@".a NG 2(- Determinar la curvatura de la curva+;ue resulta de la intersecci.n de las su2erficies 2 2 2 2 2#,x y z x y z + + + en el 2unto(1, 1, 2) P>!5@".a NG 9(- 7ea la funci.n definida 2or. 2 22 2 3@ 2( , ) (', ')( , ) ( )' ( , ) (', ')xys! xyf xy x ys! xy +'a4 Determinar las derivadas 2arciales de 2rimer orden54 %ncontrar1,2 2,1(', ', ),(', ') # f # fsi eBistenP>!5@".a NG 4(- Dada la funci.n vectorial2 2( , , ) cos( ) ( ) f xyz y x seny x z + + +alcular la derivada direccional de la funci.n en el 2unto(1, ,1) , en la direcci.n de un vector 2er2endicular al 2lano3 2 1 ' x y z + P>!5@".a NG *.- Hallar les eBtremosrelativos de la funci.n. 2 2( , ) $ # f xy x xy y +suAeto a la restricci.n 2 24 ' x y + E:a." +%a@ 8S"."#t>" a$a-F.%$! 2011-24P>!5@".a NG 1( Dada la integral 22 42 2 3' '( )yx y $x $y+ :a4 1raficar la regi.n de integraci.n54%valuar la integral dada. P>!5@".a NG 2%ncontrar el volumen en el 2rimer octante acotado 2or el cilindro 241zx+y 2or los 2lanos1 , ' , ' , x y z y x .

23P>!5@".a NG 9(-7i 32 2 221( , , ) ( )( )Fxyz x! y " z kx y z + ++ +r r r es un cam2o vectorial. +alcular el trabaAo realiado 2or F al des2laar una 2art&cula a lo largo del segmento de recta ;ue va desde (3, ', ') al 2unto (3, ', 4) . P>!5@".a NG 4(-7i +esla curva descrita 2or 2 24 x y + . Determinar el valor dela integral 22 21( ) ( )2 2Cy xy y x $x x xy $y 1 + + + 1 ] P>!5@".a NG *(-+alcular el rea de la su2erficieS

;uees2arte de la esfera2 2 21 x y z + +

dentro del cono2 2 2x y z + ,2ara ' z >.

E:a." #t%t&t!>%! 8S"."#t>" a$a-F.%$! 2011-24P>!5@".a NG 1(- %ncuentre la ecuaci.n simEtrica de la recta tangentea la curva de intersecci.n de las su2erficies 2 2 2 2 2" ',' x y z x y z + + en el 2unto (2, -2, ')P>!5@".a NG 2(- Dada la funci.n ( , , ) 2 2 gxyz x y z +restringida en la esfera2 2 21 x y z + + a2licando los multi2licadores de 9agrange determinar!a) 9os 2untos cr&ticos condicionados b) +lasificar los 2untos cr&ticos de la 2arte(a)P>!5@".a NG 9(- 7ea 1 una lmina triangular determinada 2or los vErtices (','), (1,')y (',2) si la funci.n de densidad es( , ) 1 xy x y + + en cual;uier 2unto de 1 determinar!a) 9a masa total de1. b) +entro de masa de1.P>!5@".a NG 4(- Hallar el trabaAo realiado 2or la fuera2( , , ) (2 ) ( ) (3 2 4 ) Fxyz x y z ! x y z " x y zk + + + + +rr r al des2laar una 2art&culaen el 2lano >Ra lo largo de la curva2 24 x y + en sentido anti*orario P>!5@".aNG *(-Dadoel cam2ovectorial 2 2( , , ) Fxyz y! x " zk + +rr r0lacurva intersecci.n del 2lano! 2 ' y z + con el cilindro 2 2! 1 S x y + -eterminar!a) 9a circulaci.n deF sobre el ciclo

24b) %l fluAo del rotor de Fa travEs de la su2erficie , limitada 2or y S (8. 7toKes)E:a." Pa>$%a@-8S"."#t>" A$a-F.%$! 2012 HI4Desarrollar las siguientes 2reguntas en forma clara y ordenada P>!5@".a NG1.- 9a curva +esla intersecci.n del cilindro2 22 2 2 x y y x + + con el 2lano2 2 x y z .Determinarla ecuaci.n del 2lano osculador a la curva+ en el 2unto(3, 1,1) P P>!5@".a NG2.- a) %ncuentre la funci.n vectorial dela curva+;ue es la intersecci.n del cono2 3( 1') 1'' z y x con el 2lano 4 ' x y +

b) Determine la curvatura de+ent / 'P>!5@".a NG9.- Dada la funci.n 2 2( , ) 2 ,dondes / B ,@ - s t st y t x y + a) Determine2 22, - -x y x b) : +ul es la direcci.n de mBimo crecimiento deV enD(1,1) !5@".a NG4.- %ncuentre la ecuaci.n del 2lano tangente a la grafica de la su2erficie3 2 2 2(2 ) eB2( ) ' Ln z y x e x y z + + + en el 2unto D( 1,1, ') P>!5@".a NG*.- 9a tem2eratura medida sobre una su2erficie esfErica con centro en el origen y radio $ est dada 2or( , ) 2 3 Txy x y z + +a) %ncuentre los 2untos cr&ticos condicionados b) Determine la mBima y m&nima tem2eratura en la esfera E6AMEN FINALS"."#t>" A$a-F.%$! 2012 -IDesarrollar las siguientes 2reguntas en forma clara y ordenada Droblema =W1.- %ncuentre el centro de masa de una lmina rectangular limitada 2or las rectas2,3 x y .y los eAes coordenados si la densidad de rea en cual;uier 2unto es2( , ) xy xy

Droblema =W2.-

2$a) ,2licando integrales tri2les eB2resar en coordenadas cartesianas el volumen del s.lido limitado 2or el 2lano ' z y las su2erficies2 2 2 2,2 , ' x y az x y ax a + + >

b) %valuar el volumen determinado en la 2artes(a)Droblema =W3.- Determinar el trabaAo efectuado 2or la fuera( , , ) ( ) f xyz y z! z " xk + +rr r 2ara mover una 2art&cula a lo largo dela recta{ }! 2 1 ',2 2 ' L x y z x y z + + + desde el 2unto(1, ', ') *asta el 2unto ((,- 1',2)Droblema =W4.- 7ea( , , )! " kFxyzx y z + + un cam2o vectoriala) Terificar ;ue0 es un cam2o conservativo. b) %ncuentre una funci.n 2otencialgtal ;ue F g Droblema =W$.- Darte de la su2erficie22 z x y se corta 2or los 2lanos deecuaciones, , ',',' x a y a x y a >*alle el rea de esta su2erficie. E6AMEN SUSTITORIO-8S"."#t>" A$a-F.%$! 2012 HI4Desarrollar las siguientes 2reguntas en forma clara y ordenada Droblema =W1.- Dada la curva+, ;ue resulta de la intersecci.n de las su2erficies 2 22 3 ',1 ' x y x y x z + + + . Determine!a) 9a torsi.n de la curva+en't t b) 9a ecuaci.n del 2lano normal a + en( 1, 2, 2) %

Droblema =W2.- Dada la funci.n 2 2 2 2( , ) 4 ) f xy x y xy + y el conAunto{ }2 2 2 ( , ) !4 ( xy x y + c) Determine los eBtremos defen el interior de,.d),2licando multi2licadores de 9agrange obtener los eBtremos defcon la restricci.n 2 24 x y + Droblema =W3. a)1raficar una lmina1, limitada 2or las desigualdades2 21, x y y x +

2#b) 7i la funci.n de densidad sobre1 es2 2 3@ 21( , )(1 )xyx y + + *alle su masa total Droblema =W4.- ,2licando 8eorema de 1reen, calcule el valor de la integral2 3 3(2 ) ( 3 )C, x y $x x y $y + donde la curva+ es2 24 ) 3# x y + Droblema =W$.- 7ea 2( , , ) Fxyz xz ! x " yk + +rr r un cam2o vectorial. U es la 2orci.n del 2araboloide 2 2x y z + ;ue est 2or debaAo del 2lanoz x , donde lanormal es eBterior al 2araboloide.a) Determine el vector normal unitario eBterior a Uy el 2roducto vectorial fundamental. b) ,2licando el 8eorema de7toKes encuentre el fluAo de0 E6AMEN PRACTICA CALIFICADAS"."#t>" A$a-F.%$! 2012 -II1.4 43 3,( , )' , +'xy xyx y#a$a)afnc!on f xy x yx ya)Determinar lasderivadas 2arciales , , (', '), (', ')x x x yf f f f

b) %ncontrar(', '), (', ')xy yxf f 2.-Hallar la derivada direccional de la funci.n2 3( , , ) ( ) + + f xyz x Cosx y z en el 2unto (1 -1, 1 ), en la direcci.n del vector normal al 2lano ! 4 3 ' x z 3.-Determinar la ecuaci.n del 2lano tangente a la su2erficie22 2! ( 1##2+ + xS y z ,;ue es ortogonal a la recta tangente a la curva dada 2or la intersecci.n de su2erficies 2 2 2 21 2! 2 ' !2 3 1 ' + + S x y z S x y z

4.- Determinar los 2untos enla eli2se2 2! $ # $ " + . x xy y ;ue se encuentranmas cercano al origen. E6AMEN PARCIAL8 S"."#t>" A$a-F.%$! 2012 HII4Droblema =W1.- ,naliar la continuidad en todo su dominio dela funci.n.

2(

2 3(cos ) 1 ( ), , ,t '( ) ( ',1,1@3 ),si t / ' _ ' ,tLn t e t arctgts!f t t sent t Droblema =W2.- 7i+ es la curva descrita 2or la transformaci.n4 3( ) (cos , 1 ,cos)$ $f sen a)Halle los vectores unitarios tangenteyla normal en3 @ 2 b)Determinar la ecuaci.n del 2lano osculador en el 2unto(',2, ')de la curva +Droblema =W3.- 7ea la su2erficie 2! ,' + xS z x yy a) Hallela ecuaci.ndel2lano tangenteencual;uier 2unto de7 b) : %stos 2lanos tangentes 2asan 2or un mismo 2unto !5@".a NG2(-a4 Halle las ecuaciones 2aramEtrica de la curva C ;ue es la intersecci.n de las su2erficies 2 2 2 2 24, ( 1) 1 x y z x y + + + b) %ncuentre la curvatura e de+ ent / '.

2"P>!5@".a NG9.- Halle la derivada direccional ( , , ) ( ) 2 ( ) f xyz x sen yz ytg x +, en el 2unto (1, 2, 3) y en la direcci.n de la recta tangente a la curva dada 2or la intersecci.n de lassu2erficies2 2 214 ',2 2 ' x y z x y z + + + P>!5@".a NG4(- 7ea4 2 3 t 2 2( , , ) ( ) donde B / 1C r e , ,txxyz xy yz v s y rs e z srsenty + + Determinar , s t , cuando2, 1, 'sabiendo ;uevF (3@2) / - 1 r s t P>!5@".a NG*(- 9a tem2eratura en una regi.n 2lana viene dada 2or la funci.n3 2 2 2( , ) 2 2 4 " Txy y xy x y y + + + , suAeta a la condici.n 2 21 x y + , determinar!a) 9os 2untos cr&ticos condicionados.b) 9os eBtremos de la funci.n. E6AMENFINAL 8S"."#t>" A$a-F.%$! 2019 HO)P>!5@".a NG1(- a41raficar la regi.n { }2 222 2( , ) @ 1x y# xya b + R 54 7i la funci.n densidad es 2 2 2 2 2( , ) + xy x bx ay sobre #con', ' a b > >.Halle su masa totalP>!5@".a NG2(- 5n s.lido es limitado 2or el cilindro2 24 x y + ylos 2lanos 4 ; ' y z z + . a4 Describir el volumen de, usando integrales tri2les en coordenadas cartesianas. 54 %valuar la integral de la 2arte a4 P>!5@".a NG9(- 5na 2art&cula recorre desde el 2unto '(3, ')P *asta 1(', 3) P , a lo largo de la curva 2! ) y x . +alcule el trabaAo;uedesarrolla el cam2o vectorial( , ) ( cos( ) 3 ) ( cos( ) 3 ) Fxy y xy y! x xy x " + + +al des2laar la 2art&cula a lo largo de en sentido anti *orarioP>!5@".a NG4(- 7i es la curva descrita 2or 2 2 2( ) x a y a + ,' a >, 5sando el teorema de1reen, calcular 2 2 2 23(2 ) (3 ) 4 y x $x x y $y +

P>!5@".a NG*(- Halle la integral de su2erficie2 2( ).x y $S + , donde 2 2 2 2! ; ' . x y z + z + + . E6AMEN SUSTITUTORIO 8A$a-F.%$! 2019 HI4

2)P>!5@".a NG1(- 7ea la funci.n2 2( ) ( 2,2, 2 1) f t sent t sent t + + a) Halle la torsi.n en't t b)Halle el 2lano osculador en 1t t

P>!5@".a NG2(- Dada la funci.n2 2 3 3( , ) 3 2 2 f xy xy x y + + suAeto a la restricci.n 2 24 x y + determinar!a) 9os 2untos cr&ticos condicionados.b) HBimo y m&nimoP>!5@".a NG9(-Una lminaG, es limitada 2or la curva2 2 2 2 2 2bx ay a b + , la funci.n de densidad es ( , ) xy x y determine!a) %l momento de inercia con res2ecto al eAe >.b) %l momento de inercia con res2ecto al eAe R.P>!5@".a NG4(- %ncuentre el trabaAo ;ue realia el cam2o de fuera( , , ) ( ,y,- ) Fxyz z x ,l mover una 2art&cula desde(3, ', ')*astaP(',@2, 3) ( a lo largo de!a) 5n segmento,P b) 9a *Elice3cos , ,3 x t y t z sent P>!5@".a NG*(- Dado el cam2o vectorial ( , , ) Fxyz x! y " zk + +rr r, seaDla su2erficie 2 2 2( 1) ( 1) ) x y z + + , determinar el fluAo deF*acia el eBterior deD, utiliando!a) Ontegral de su2erficie. b) %l teorema de 1auss ( 8eorema de la divergencia)E6AMEN PARCIAL 8S"."#t>" A$a-F.%$! 2019 HII4P>!5@".a NG1(- 5na 2art&cula se mueve a lo largo de la trayectoria deCdescrita 2or ( ) ( t -(t),1- cos( ),4sen(t@2) ) t sen t

a) Halle el vector binormal unitario ent ' 0 b) Determine la curvatura deC donde el 2lano normal es 2aralelo al 2lano/ 1 P>!5@".a NG2(-7i Ces la curva de intersecci.n de las su2erficies2 2 24,B C y / 2 x y z + + a) Ge2resentar la curva 2or medio de una funci.n vectorial. b) %ncontrar la torsi.n de la curvaC en 't t

3'P>!5@".a NG9.- 9a tem2eratura en una regi.n1 en un 2unto (B, y, ) est dada 2or2 2 2"'( , , )1 2 3Txyzx y z+ + +dondeTse mide en grados +elsius, B, y, en metros.a) :%n ;uE direcci.n aumenta la tem2eratura con mayor ra2ide en el 2unto (1, 1, - 2)!5@".a NG4(- Determinar las ecuaciones del 2lano tangente a la grafica de la su2erficie2! $ ', S x yz + si este 2lano 2asa 2or los 2untos(', 2, 2),(1, 2, ') y es ortogonal al 2lano ! 2 ' x y z + P>!5@".a NG*(- 7ea la funci.n( , ) f xy yx suAeta a la restricci.n 2 2!4 4 C x y + a) %ncuentre los 2untos cr&ticos condicionados.b) Determine los mBimos y m&nimos relativos de+enC. E6AMEN FINAL 8S"."#t>" A$a-F.%$! 2019 HII4P>!5@".a NG1(- a) 1raficarla regi.n G , limitada 2or las curvas4 27 : I 7 J =: b) +alcular el rea de la regi.n G usando integral doble, de la 2arte8a4P>!5@".a NG2(- 7ea G una regi.n limitada 2or el grfico! 2 2: 7 40: 007 0 + Determinar!a) Homentos de masa res2ecto a los eAes coordenados b) +entroide deGP>!5@".a NG9(- 7eaYun s.lido acotado su2eriormente 2or la esfera2 2 2: 7 < *+ + einferiormente 2or el 2araboloide2 2: 7 4!5@".a NG4(- +onsideremos lacurvaCintersecci.n de las su2erficies2 2 2 2 2S1: : 7 < 1=0 S2 : : 7 4 + + + con la condici.n : 007 00< 0 a) Darametriar la curva Cy graficarb) Halle la integral2CI :7< -#

P>!5@".a NG*(- 7eaYla su2erficie 2 2< = : 7 , ;ue se encuentra dentro del cono2 2 2< : 7 0< 0 + a) Halle una 2arametriaci.n deYb) Determinar el rea de la su2erficieY E6AMEN SUSTITUTORIO 8S"."#t>" A$a-F.%$! 2019 HII4

31P>!5@".a NG1(- a) Determine las ecuaciones 2aramEtricas de la curvaC ;ue es la intersecci.n de las su2erficies, 2 2 2 2 21! 4, ',2! ( 1) 1 S x y z z S x y + + + b) Halle la curvatura deCen el 2unto (1,1, 2) P P>!5@".a NG2(- 9a su2erficie de un lago viene re2resentada 2oruna regi.n G en el 2lano >R. 7u 2rofundidad (en metros) en el 2unto(B, y) viene dada 2or la funci.n2 2( , ) 4'' 3 f xy xy si un baLista est en el 2unto (10 - 2). Determinar!a) %n ;uE direcci.n debe nadar 2ara ;ue la 2rofundidad aumente lo ms r2ido 2osible. b)%l valor de la derivada direccional en dic*a direcci.n. P>!5@".a NG9(-a4 1raficar la regi.n T limitada 2or las inecuaciones.2 2', ), ' y x y x y + + 54 7i la funci.n de densidad sobreT es ( , ) xy x y +*alle su masa total deTP>!5@".a NG4(- V">%+%$a> "@ t"!>".a -" G>"" si1 1( , ) ( , )2 2Fxy y xyC es el contorno del grfico de2 2 2 24, 1, ', ' x y x y x y + + en el 2rimer cuadrante sentido contrario de las manecillas del reloA. P>!5@".a NG*(- V">%+%$a> "@ t"!>".a -" St!3"# 2ara( , , ) ( ,- , ) Fxyz x xz z dondeSes la su2erficie del 2lano1 x y z + + ;ue se encuentra en el 2rimer octante. EXAMEN PARCIAL ( Semestre Acadmico 2014 I)

Problema N1.- (a, 2pts; b, 2pts)Unidad 1La posicin deuna partcula est dada por( ) (cos( ), (t),) t t sen t c) Halle los tres vectoresunitarios tangente, normal y binormal ent

d) Determine la ecuacin del plano normal en t Problema N2.-( 2ptsc/u)Unidad1El movimiento de una partcula en un instante cualquiera tiene como funcin vectorial( ) (2cos( ),2 (t),4) f t t sen t .Determinar en3 @ 4 t , la curvaturay la torsin

32Problema N3.- (a, 2pts;b, 2pts) Unidad 2Dada la funcin 2 2( , ) eB2( ( )) f xy x y +determinar:a)La derivada direccional def en(1,1) en la direccin del vector(4, 2) v rb)Las direcciones de mximo y mnimo crecimiento defen el punto (1,1), as como el valor de las derivadas direccionales en dichas direcciones.Problema N4.- (a, 2pts;b, 2pts) Unidad2Sea 2 2 2( , , )x y z- f xyz e+ + , donde . ,.cos ,. x r sent y r t z r Tgt determinar:a)),) %valuar si eBisten, (1, ),(1, )3 3- - - -a br t r t Problema N5.- (a, 2pts;b, 2pts) Unidad2Consideremos } {2 2 2( , ) @ 1 G xy x y + y la funcin2 2( , ) ( )x yf xy x y e +Determine:c) Los puntos crticos condicionados de f en G.d) Los extremos absolutos def en G EXAMEN SUSTITUTORIO (Semestre Acadmico 2014 I)Problema N1.- (a, 2pts; b, 2pts)Unidad 1Una curva planaC, estparametrizadapor( ) ( ( ), ( ), ( ) ) t x t y t z t tal que' ' '( ) (',-1,3), F ( ) ( 2,1,'),FF ( ) (',3@ 2,-3) t t t Determine.a)La curvatura de C en 't t b)La ecuacin del plano rectifcanteen 't t Problema N2.-(a, 2pts;b, 2pts )Unidad 2

33La temperatura de un deposito cilndricoKviene dada por la funcin2 2( , , ) 1'( )y xTxyz xe ze +. SiP(0, 0, 1)pertenece a la superfcieK. Determine.a)La razn de cambio de la temperatura al desplazarse deP(0, 0, 1)al punto Q(2, 3, 1)b)La direccin en que se debe mover para que la temperatura disminuya lo ms rpidamente posible. Problema N3.- (a, 2pts; b, 2pts)Unidad 2Dada la funcin 2 2( , )x yf xy e y la regin{ }2 2 2( , ) ! 1 G xy x y + Determine.a)Los puntos crticos condicionados defenG. b)Los mximos y mnimos relativos defenG. Problema N4.- (a, 2pts;b, 2pts) Unidad 3Sea la regin {2 2 2 2 2( , ) ! 2 ,4 ,, 3xG xy x x y x y x y x y + + ;a)GrafcarG. b)Si la funcin de densidad sobreG es2 2( , ) @( ) xy y x y +halle la masa total deG Problema N5.- (a, 2pts;b, 2pts) Unidad 4Verifcar el Teorema de Stokes para el campo vectorial2 2( , , ) ( , , ) Fxyz x y yz x z + dondela curva C es lainterseccin del plano2 2 2 x y z + + con los tres planos coordenados.

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