PROBLEMAS POLIGONOS

PROF. QUIÑONES DIAZ Edgar Oscar

El número de diagonales de un polígono regular equivale a la suma del número de vértices, número de lados y número de ángulos centrales. ¿Cuánto miden un ángulo interno?

Problema Nº 01


Recordando


n

Número de diagonales:

Número de vértices: n

Número de lados: n

Número de ángulos centrales:

2)3n(nND

SOLUCIÓN

n(n – 3)/2 =

n + n + n

Un ángulo interno: ) 2 ( 180nn

1i =

Resolviendo


n(n – 3)/2 =

n + n + n

n(n – 3)/2 = 3n

n(n – 3) = 6n

) 2 ( 180nn

1i =

1i = 180(9 – 2)/9

1i = 180(7)/9

1i = 20(7)

1i = 140º

n – 3n = 6n 2

n – 3n – 6n = 0

2

n – 9n = 0 2

n(n – 9) = 0 n = 0

1

n - 9 = 0 2

n = 9 2

El número de lados de dos polígonos equiángulos están en la razón de 1 a 2. Si el ángulo exterior de uno de ellos mide 36º más que el ángulo exterior del otro, ¿cuántas diagonales tiene el polígono de mayor número de lados?

Problema Nº 03


Ejemplo :a

a + 36º


SOLUCIÓN

1

360n

1i1 =

2

360n

1i2 =

1/2 21

nn

1i1 = 1i2 + 36

n2211n

1

360n

2

360n = + 36

)2)(2/1(

360n

2

360n = + 36

Si el número de lados de un polígono regular se triplica, la medida de su ángulo interior aumenta en 40º. ¿Cuánto mide un ángulo externo de este polígono?

Problema Nº 07


Ejemplo :

aa + 40º

x

Recordando


Polígono regular:

SOLUCIÓN

Un ángulo interior: ) 2 ( 180nn

1i =

Son de lados iguales y ángulos internos iguales.

Un ángulo exterior: 360º / n

) 2 ( 180nn

1i =

3

) 23 ( 180nn = 1i + 40º

Resolviendo


) 2 ( 180nn

1i =

3

) 23 ( 180nn = 1i + 40º

) 2 ( 180nn

= 3

) 23 ( 180nn + 40º

180n - 120 = 180n – 360 + 40n

40) 2 ( 180n

nn ) 2 3( 60nn =

- 120 + 360 = 40n

Resolviendo


- 120 + 360 = 40n

240 = 40n

240 /40= n

n = 6

1ext = 360/6

1ext = 60º

En un cuadrilátero ABCD los ángulos internos miden: m<A = x; m<B = 2x; m<C = x+10º; m<D=3x. ¿Cuánto mide el mayor de estos ángulos?

Problema Nº 01


Solución :

A

BC

Dx

2xx+10º

3x

Problema Nº 01


Solución :

Suma de ángulos internos de un cuadrilátero = 360

x + 2x + x + 10º + 3x = 360

x + 2x + x + 3x = 350

7x = 350

x = 50

El mayor es:

3x = 150º

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