Problemas propuestos

Escuela Superior de ingeniera y Arquitectura Unidad Ticoman Carrera de Ingeniera Topogrfica y Fotogrametrista Materia Probabilidad y Estadstica

Problemas propuestos

Conjuntos elementos, subconjuntos - Escribir en notacin de conjuntos i. ii. iii. R es subconjunto de T X es un miembro de Y El conjunto vacio iv. v. vi. M no es un subconjunto de S Z no pertenece A. R pertenece a A

- Repetir escribiendo explcitamente los elementos de cada conjunto i. ii. iii. iv. v. A = |x : x2 x 2 = 0 | B = | x : x es una letra de la palabra fallar C =| x : x2 = 9, x 3 = 5| D =| x : x e una vocal | E =| x : x es un digito del numero 2345 |

- Sean A= | 1, 2, 8, 9 |, B= | 2, 4, 6, 8|, C= |1,3,5,7,9|, D= |3, 4, 5| y E= |3, 5| Cules conjuntos son iguales a x si se da la siguiente informacin? i. X y B son disyuntos ii. X C D pero X B. X A. iii. X C A pero X C iv.

- Indicar si cada proposicin es verdadera o falsa: i. ii. {1, 4, 3} = {3, 4, 1} iii. {3,1,2} C {1, 2, 3} iv. 1 {1, 2} {4} {{4} v. vi. {4} C {{4}} C {{4}}

- Sea A=| 1,0| indicar si las proposiciones son correctas o no: i. vi. {0} A, 0 A, 0 C A. ii. A, iii. {0} C A, (4) iv.

- Establezca si cada conjunto (i) (ii) El conjunto de lneas paralelas al eje X. El conjunto de letras del alfabeto ingles.1 Boleta 2010390037

Gonzlez Ramos Flix Manuel


(iii) (iv) (v) (vi)

El conjunto de nmeros mltiplos de 5 El conjunto de animales que viven en la Tierra. El conjunto de nmeros que son solucin de la ecuacin x27+26x18 17x11+7x310 = 0 El conjunto de crculos alrededor del origen (0, 0).


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Operaciones con conjuntos - Sean U = {a, b, c, d, e, f, g} . A= {a, b, c, d, e} B= {a, c, e, g} y C= {b, e, f, g}. i. ii. AUC BA iii. iv. C\B Bc U C v. Cc A vi. (A\C)c vii. viii. (A\Bc)c (AAc)c

- En los diagramas de Venn inferiores, sobre: i. ii. W\V Vc U W, iii. iv. V Wc Vc\W c.

V

W

V

W

- Probar: (a) A UB = (Ac Bc)c; (b) A\B = ABc. (asi las operaciones de reunin y diferencia pueden definirse en trminos de operaciones de interseccin y complemento.) - Probar el teorema 1.3 (ii): A C B si y solo si A U B = B - Probar: Si A B = , entonces A C Bc - Probar Ac\Bc = B\A. - Probar: A C B implica A U (B \ A) = B. - Probar: A C B implica A U (B \ A) = B. - (i) Probar: A(B\C) = (AB)\(AC), (ii) Dar un ejemplo para mostrar que A U (B\C) (AvB)\{A U C)3 Boleta 2010390037



CONJUNTOS PRODUCTO - Sea W = |Marcos, Enrique, Pablo | y sea V = | Enrique, David |. Hallar: (i) W x V, (ii) V x W, (iii) V^2 = V x V. - Sea A = | 2, 3 i, B = | 1, 3, 5 i y C = | 3, 4 |. Construir el "diagrama de rbol" de A x B x C y luego hallar A x B X C - Sea S = |a, b, c |, T = | b, c, d | y W = | a, d |. Construir el "diagrama de rbol" de S x T x W y luego hallar S x T x W. - Suponer que los conjuntos V, W y Z tienen 3, 4 y 5 elementos respectivamente. Determinar el nmero de elementos de (i) V x W x Z, (ii) Z x V x W , (iii) W x Z x V. - Sea A = B C. Determinar si ambas proposiciones son ciertas: (i) A x A = (B x B)(CxC), (ii) A X A = (B x C) (C X B). - Probar: A X {B U C) = (A X B) U {A X C).


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CLASES DE CONJUNTOS - Sea An = | x : x es un mltiplo de n | = | n, 2n, 3n, ... |, donde n N , enteros positivos. Hallar: (i) A2 A7; (ii) A8 A8; (iii) A3U A12; (iv) A3A12; (v) A8 U Ast, donde 8, t N; (vi) A8 Ast, donde s, t N.

(vii) Probar: Si J C N es infinito, entonces ij Ai = . - Hallar el conjunto potencia P(A) de A = |1, 2, 3, 4 | y el conjunto potencia P(B) de B = {1, {2,3}, 4}. - Sea W = | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |. Determinar si cada proposicin es una particin de W. (i) [{1,3,5}, {2,4}, {3,6}] (iii) [{1, 5}, {2}, {4}, {3, 6}] (ii) [{1,5}, {2}, {3,6}] (IV) [{1,2,3,4,5,6}]

- Hallar todas las particiones de V = | 1, 2, 3 |.

- Sean [A1,A2,..., Am] y [B1,B2,...B n ] particiones de un conjunto X. Demostrar que la coleccin de conjuntos [Ai n Bi : i = 1, ..., m, j = 1, ..., n] Tambin es una particin (llamada la particin trasversal) de X.

- Probar: Para cualquier clase con ndices {Ai: i I} (a) B U (iAi) = i(B U Ai), (b) Bi(UiAi)= Ui(B Ai)

- Probar (ley de De Morgan): (iAi)= Ui A ci-

Demostrar que cada una de las expresiones siguientes es un lgebra de subconjuntos de U: (i) A = {0, U}; (ii) B = {, A, Ac, U}; (iii) P(U), el conjunto potencia de U.


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- Sean A y B lgebras (o-lgebras) de subconjuntos de (U. Probar que la interseccin A B tambin es un lgebra (o-lgebra) de subconjuntos de U.


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Respuestas

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R C T, (b) x Y, (c) , (d) M S, (e) z A, (f) R A. A = {-1,2}, (ii) B = { f , a , l , r } , (iii) C = , (iv) D = {a,e,i,o,}, (v) E = {2, 3, 4}. C y E, (ii) D y E. (iii) A, B y D, (iv) no todas las proposiciones son verdaderas excepto la quinta

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-

-

(i) incorrecta. (ii) incorrecta, incorrecta

(iii) correcta,

(iv) correcta,

(v)

-

(i) infinito, (ii) finito, (iii) infinito, (iv), finito, (v) finito, (vi) infinito (i) (ii) (iii) (iv) A U C= U B A - {a,c,e} C\B ={b, f} (v) (vi) (vii) Cc A = {a,c, d} = Cc (A\C)c= {b, e, f, g} (A\Bc)c = {b, d, f, g} (A Ac)c U

-

B U C= {b, d, e, f,g}(viii)

W\V

VcU W

Vc \ Wc

V Wc

W\V

Vc U W

V Wc

Vc \ Wc

Obsrvese que VCU W - V y V W c o en el caso (b) donde V C W7 Boleta 2010390037


Escuela Superior de ingeniera y Arquitectura Unidad Ticoman Carrera de Ingeniera Topogrfica y Fotogrametrista Materia Probabilidad y Estadstica-

W x V = |(Marcos. Enrique). (Marcos, David), (Enrique. Enrique). (Enrique. David). (Pablo. Enrique). (Pablo. David)| V x W = | (Enrique. Marcos), (David. Marcos), (Enrique. Enrique). (David, Enrique). (Enrique. Pablo). (David. Pablo)| V x V = | (Enrique, Enrique), (Enrique. David). (David, Enrique). (David. David

-

-

3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

(2, 1, 3) (2, 1, 4) (2, 3, 3) (2, 3, 4) (2, 5, 3) (2, 5, 4) (3, 1, 3) (3, 1, 4) (3, 3, 3) (3, 3, 4) (3, 5, 3) (3, 5, 4)

Los elementos de A x B \ C son las ternas ordenadas a la derecha del diagrama de rbol anterior.


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(a, b, a) (a, b, d) (a, c, a) (a, c, d) (a, d, a) (a, d, d) (b, b, a) (b, b, d) (b, c, a) (b, c, d) (b, d, a) (b, d, d) (c, b, a) (c, b, d) (c, c, a) (c, c, d) (c, d, a) (c, d, d) Los elementos de S X T x W son las ternas ordenadas a la derecha del diagrama de rbol.-

Cada uno tiene 60 elementos Ambas son verdaderas A x A = (B x B) (C x C) = (B x C) (C x B) (i) A14, (vi) Ast (ii) A24, (iii) A3 (iv) A12 (v) As,

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-

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P(B) = {B, {1, {2,3}}, {1,4}, {{2,3}, 4}, {1}, {{2,3}}, {4}, } (i) no, (ii) no, (iii) si, y (iv) si [{1}, {2}, {3}]

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[{1,2,3}], [{1}, {2,3}], [{2}, {1,3}], [{3}, {1,2}]


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