Problemas propuestos PAU
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1
MATRICES
J97B: ;22
332113
;2113
2113
;
++++
=
++++
=
+
=
tyzxtyzx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
B
-
-=
=-=
=+=+
+=++=+
-==
=+=+
+=++=+
3112
31
212
2231
12
132
2133
Bt
ytyty
tyttyy
ezx
zxzx
zxzzxx
J97A:
===-==+
===-=
+=
=
10;0)1(;1
10;0)1(;0
10
10
10
2
2
2
2
bbbbbbba
aaaaaa
bbaa
ba
ba
ba
Luego: 0110 ==== byabya J01: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2- y las sumamos:
---
--=
-=-
=+
------
=--
216121411
,216121411
35102002511
23
1448142410
24AA
BA
BA
Sustituimos A en la 1 ecuacin y despejamos B:
=
---
---
=
=+
---
--421224
28227247125
,7247125
216121411
2 BB
-=
49142821147
. Luego:
-=
---
--=
49142821147
216121411
ByA
S01B: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2, la 2 por 3- y las sumamos:
-
=
-
-=--
-
=+
3231
27633
69
30804
610X
YX
YX
Sustituimos X en la 2 ecuacin y despejamos Y:
,04102
9693
9211
2,9211
23231
3
--=
-
-
-
-=
-
-=+
-
YY
--=
--=
0251
04102
21Y . Luego:
--=
-
=0251
3231
YeX
--
=
--+
--
=
--+
-
-
=+3676
0251
38125
0251
3231
32312 YX
S04: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2 y las sumamos:
--
=
--
=
--
=
-=+
--
=-
2121
105105
51,
105105
5
0341
2
10264
24XX
YX
YX
Sustituimos X en la 2 ecuacin y despejamos Y:
-
2
=
-=
-=
--
-
-=
-=+
--
2220
21,
2220
2121
0341
2,0341
22121
YYY
-=
1110
. Luego:
-=
--
=1110
2121
YeX
DETERMINANTES
S02B:
----
=
-
-
--
=
-
-
-
-
=-kkk
kkk
kkMM232
212
03221
2110
2110
21102
-=+-=+-++-=-+--=----
= 2222 )1(124423)2()23(1232
210 kkkkkkkk
kkk
1,01 ==- kk
J03A: ,0111
1
)(
)()(
1113
2
1
== zuyuxuxyzxyzxyz
xyzzC
yCxC
zyx
uuuxyxzyz
por tener la 1 y 3 filas proporcionales.
S05B: 7212120
212120
)1(
)3(
21321323 32
13
12
-=--=
--+=
-+
+-+++
xyzFF
yxz
CC
CC
yyyxxxzzz
J07: 1111
10051112015
111201555
-=-=-=-
- cbacbacba
S08: i) 45)3(1553555
3551533
333
222
111
333
222
111
333
222
111
-=-===cbacbacba
cbacbacba
cbacbacba
ii) 91)3()
271(
31)(
31 3
=--=
-=- AA
iii) 3)(
333
222
111
32
333
323232
111
-==+=---cbacbacba
FFcba
ccbbaacba
J09.-3B
---
=
-
-
-=
20301291106
043120
123021
CB
-
3
-
--=
---
--
---
=-=040223142
020153
1722
20301291106
2 tABCX
28)34(42312
4 -=+-=-
-=X
MATRIZ INVERSA
J00A: a) 0)22(32;211
22310
21110
102
012 =--+-=
-
-=
-
= kkkkkABkkk
kk
kAB
Independientemente del valor de k, BA no tiene inversa.
b) ,0323)2(;23
1
102
01
21110 2 ++=++=
+-
=
-= kkkkBA
kk
kk
BA ya que:
--
=--
==++2
822
1242,0322 kkk no tiene solucin, por lo que, indepen-
dientemente del valor de k, AB siempre tiene inversa
J00B: a)
=
-
=
-
=
-
106628
2002
126630
2002
42210
31001
22103
2013
3
b)
-=
-=
-=
=
-== --
21061
32
3014
61
1002
3012
61
1002
;3012
61;6 11 AXAA
02A: 010,0)1)(1();1)(1(101
11100
=+==-+-+=-
+ lllllllll
ll
10110,01 =-===- y lllll
-
-=
-
-=
==
-
1021
31
310
0021
620020303
61
101131002
;6101131002
2
1 t
l
S05A: ( )BCAXBCAX +=+= -1,
-
4
,633232
101101
;5
13
202
311
-=--=-
-=
-=
-+
-=+ ABC
-=
-----
-=-
033240033
61
020343303
611
t
A ;
-=
-=
-
-=
21
1
126
6
61
513
033240033
61X
J06B: ( )BAAXBAAX -=-= - 212 ,
=
---
-
=-
=
=
321011111
000110101
;000110101
000101110
100001110
22 BAA
-=
--
-
-=-==
---= -
100101
010
110001010
11,1
100001110
;321
121010
1
t
AA
----
=
---
-=
321331121
321121010
100101
010X
S07A.- Resolvemos la ecuacin: XBAAXABABAXABBABAXAIAB ==+=++=+ -1222)2(
Calculamos la matriz inversa:
1011011 -$=
-= AAA por tanto
=
==-
1011
1101
11))((11
ttAAdj
AA
Luego
--
=
--
=
--
=
2220
1110
211
211011
2X
J08-3B.- i) Sabemos que ttt ABBA = )( por lo que
+
+-=
-
-=
kkk
kk
BA2
321
20110
10211
110223)2)(21()( 22 ===-=-++-== kkkkkkBAAB ttt Luego la matriz tiene inversa para todo 1k
ii) Si 1))(()( -== tt BAXIXBA si
-=-==
2301
)(20 tBAyBAk por
tanto
-=
---
== -
21
23
01
1302
21))(( 1tBAX
S08-3A.-
i)
==
=--=-
-
-=
-
=-
31
01)2(21
121001
2112 2
mm
mmIAm
mmmIA
ii)
-
-=
-
=-
1111
3003
2112
3IA
-
5
Sea
==
=
--+-+-
=
-
-=-
=
dbca
dbcadbca
dcba
XIAdcba
X0000
0000
1111
)3(
La matriz debe tener las dos filas iguales S09.-3B Resolvemos el sistema por reduccin: i)
)3(7137
3336
32
NMANMANBA
MBANBAMBA
+=+=
=-=+
=-=+
)2(7127
2622
32
NMBNMBNBA
MBANBAMBA
-=-=
-=+-=+
=-=+
Sustituimos las matrices por su valor y operamos:
-=
-=
-+
=
176
71
76
7616
71
1310
2102
371A
-=
-
=
--
=
075
72
72
0522
71
1310
22102
71B
ii)
-=
-
==
= -
21
41
021
2102
41)(1
2102 1 tMAdj
MMM
--=
--
=
-
-
=-
41
21
230
1260
41
1130
2102
411 tNM
J10-3BG ( ) BAIBAAABAAXBAAX +=+=+=+= ---- 1111,
Comprobemos que existe la matriz inversa 101111012201
-$-=--
-= AA
---
=
------
-==-111432221
142132121
))((11t
tAAdjA
A
=
+
=
-
-
---
+
=
2241611047
1241511046
100010001
011131202
111432221
100010001
X
J10.-3AE
++=
-= 12426
2311
011021 kkkkBA
32)(
32023 1 -"$-==--= - kBAkkBA
Resolvemos la ecuacin: 11 )(33)(3 -- === BAIBAXIXBA
-
-=
---=
== -
31
221
6241
21)(12
460 1BABAkSi
-
6
S10.- 3AG )2(2 1 IBAXIBXA tt +=+= - ; 105 -$= AA
-=
+
-=+ 01
441001221
422IB t
Por tanto
----=
-
----=
----=
----=- 1613
121151
0144
3413
51
3413
51
3143
511 XA
t
S10.- 3BE a)
--= 5321A
--=
-
--=
-
--
--=-= 6332325
5005
3416165210
0155231
5321252 IAAN T
b)
-=
-= - 54
135413 1AXXA ; tAAdj
AAA )(10153
21 1 =$=--=-
--=
-
--=
--=- 213
5235413
1325
13251 XA