Problemas recientes de examen de campo eléctrico.

1. Dos cargas puntuales de 𝑞𝑞1 = 3𝜇𝜇𝜇𝜇 y 𝑞𝑞2 = 2𝜇𝜇𝜇𝜇 se encuentran, respectivamente, en 𝑃𝑃1(0,0) y en 𝑃𝑃2(5,0) (la distancia expresada en metros).

a. Calcula el potencial y el campo eléctrico en el punto 𝐴𝐴(0,3). b. ¿Dónde debemos colocar una carga 𝑞𝑞3 = −1𝜇𝜇𝜇𝜇 para que el campo

eléctrico en 𝐴𝐴 sea nulo? c. Haz un dibujo que te ayude a resolver el problema donde se vean todos

los apartados. El potencial eléctrico lo podemos hallar a partir de

𝑉𝑉𝑇𝑇 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 = 𝐾𝐾 �𝑞𝑞1𝑟𝑟1

+𝑞𝑞2𝑟𝑟2�

Donde 𝑟𝑟1 = 3 m y 𝑟𝑟2 = √32 + 52 m = √34 m. Es decir:

𝑉𝑉𝑇𝑇 = 9,0 · 109Nm2

C2 �3 · 10−6C

3 m+

2 · 10−6C√34 m

� =

= 1,209 · 104 V

El campo eléctrico total viene dado por la suma de los campos producidos por cada una de las cargas: 𝐸𝐸�⃗ 𝑇𝑇 = 𝐸𝐸�⃗1 + 𝐸𝐸�⃗ 2, donde:

𝐸𝐸�⃗ 𝑖𝑖 = 𝐾𝐾𝑞𝑞𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖𝑖𝑖2

𝑢𝑢�⃗ 𝑟𝑟𝑖𝑖

Hallaremos primero la intensidad de cada campo (es decir, su módulo) en el punto A.

�𝐸𝐸�⃗1� = 𝐾𝐾𝑞𝑞1𝑟𝑟12

= 9,0 · 109Nm2

C23 · 10−6C

9 m2 = 3 · 103 N/C; �𝐸𝐸�⃗ 2� = 𝐾𝐾𝑞𝑞2𝑟𝑟22

= 0,53 · 103N/C

Descomponiendo en los ejes, según el dibujo, y usando que 𝛼𝛼 = atan(3/5) = 31𝑜𝑜, obtenemos:

𝑬𝑬��⃗ 𝑻𝑻 = �−𝐸𝐸2𝑥𝑥 ,𝐸𝐸1𝑦𝑦 + 𝐸𝐸2𝑦𝑦� = (−𝐸𝐸2 cos𝛼𝛼 ,𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 sin𝛼𝛼) = (−𝟎𝟎.𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟑𝟑.𝟐𝟐𝟐𝟐) · 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑𝑵𝑵/𝑪𝑪 Para anular el campo eléctrico en A, debemos colocar 𝑞𝑞3 de tal forma que el campo que produzca en A, 𝐸𝐸�⃗ 3, sea 𝐸𝐸�⃗ 3 = −𝐸𝐸�⃗ 𝑇𝑇. Por lo tanto:

�𝐸𝐸�⃗ 𝑇𝑇� =𝐾𝐾|𝑞𝑞3|𝑟𝑟32

⇒ 𝑟𝑟3 = ��𝐾𝐾𝑞𝑞3�𝐸𝐸�⃗ 𝑇𝑇�

� = 1,65 𝑚𝑚

En el siguiente diagrama (en el que se han eliminado los vectores correspondientes al campo eléctrico), puede apreciarse bien la geometría del problema.

Como tenemos el ángulo 𝛽𝛽 = atan�𝐸𝐸𝑇𝑇𝑥𝑥/𝐸𝐸𝑇𝑇𝑦𝑦� = 7,88𝑜𝑜, que va a formar el segmento 𝐴𝐴𝑞𝑞3����� con la vertical, podemos averiguar, a partir del dibujo, que el punto 𝑃𝑃 donde colocaremos la carga 𝑞𝑞3 tendrá como coordenadas 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦.

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟3 sin𝛽𝛽 e 𝑦𝑦 = 3m − 𝑟𝑟3 cos𝛽𝛽 Es decir, 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐦𝐦 e 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏,𝟑𝟑𝟐𝟐 𝐦𝐦.

2. Un electrón se deja, en reposo, en el seno de un campo eléctrico uniforme creado por dos placas plano paralelas separadas una distancia 𝑑𝑑 = 3 cm. La diferencia de potencial entre las placas es de 200 V. Dato: 𝑚𝑚𝑒𝑒 = 9.1 · 10−31kg

a. ¿Cuál es la aceleración de dicho electrón? b. ¿Qué trabajo realiza el campo al desplazar el electrón 2 cm de su

posición inicial? c. ¿Cuál sería la velocidad del electrón en ese punto?

a. La aceleración del electrón viene dada por la 2ª Ley de Newton,

∑�⃗�𝐹 = 𝑚𝑚�⃗�𝑎, en la usaremos que la fuerza ejercida por el campo eléctrico sobre la carga es: �⃗�𝐹 = 𝑞𝑞𝐸𝐸�⃗ , donde haremos uso de la uniformidad del campo por medio de: Δ𝑉𝑉 = −𝐸𝐸𝑑𝑑. Juntando todo esto, tenemos que.

𝑎𝑎 =𝑞𝑞Δ𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑

= 1,17 · 1015 m/s2

b. Usando las ecuaciones anteriores y que el trabajo realizado por el campo, al moverse el electrón una distancia, Δ𝑥𝑥, viene dado por 𝑊𝑊 =𝑞𝑞𝐸𝐸Δ𝑥𝑥, tenemos que:

𝑊𝑊 = 𝑞𝑞𝐸𝐸Δ𝑥𝑥 = −𝑞𝑞Δ𝑉𝑉Δ𝑥𝑥𝑑𝑑

= 2,13 · 10−17J = 133 Ev c. La velocidad del electrón en ese punto la podemos calcular usando el teorema

de las fuerzas vivas:

𝑊𝑊 = Δ𝐸𝐸𝑐𝑐 ⇒ 𝑊𝑊 =12𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣𝑓𝑓2 −

12𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣02 ⇒ 𝑣𝑣𝑓𝑓 = �2𝑊𝑊

𝑚𝑚= 6,85 · 106 m/s

𝑒𝑒− �⃗�𝑣0

𝑑𝑑 = 3 𝑐𝑐𝑚𝑚

Δ𝑥𝑥 = 2 𝑐𝑐𝑚𝑚

3. En el protio, 𝐻𝐻11, el electrón gira alrededor del protón con un radio de 53 pm (picómetros- 1𝑝𝑝𝑚𝑚 = 10−12𝑚𝑚). Calcula la velocidad con la que gira y el número de vueltas que da en 1𝑠𝑠. Considera despreciable la fuerza de atracción gravitatoria entre el electrón y el protón. Dato: 𝑚𝑚𝑒𝑒 = 9,1 · 10−31𝑘𝑘𝑘𝑘

Este problema lo debemos resolver mediante la 2ª Ley de Newton. Ésta nos dice que:

∑�⃗�𝐹 = 𝑚𝑚�⃗�𝑎 ⇒ ��⃗�𝐹𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒� = 𝑚𝑚𝑒𝑒��⃗�𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐� ⇒ 𝐾𝐾𝑞𝑞𝑒𝑒2

𝑟𝑟2=𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣2

𝑟𝑟⇒ 𝑣𝑣 = �

𝐾𝐾𝑞𝑞𝑒𝑒2

𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟= 2,2 · 106m/s

Ya que la velocidad es la distancia que recorre en un periodo de revolución, podemos calcular la frecuencia de rotación:

𝑣𝑣 =2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑇𝑇

⇒1𝑇𝑇

= 𝑓𝑓 =𝑣𝑣

2𝜋𝜋𝑟𝑟= 6,6 · 1015s−1 = 6,6 · 1015Hz

Por lo tanto, el electrón dará 6,6 · 1015 vueltas en 1 s.