Problemas Resueltos

Problema 1.4:De Santis (1 970) dedujo una relacin para el factor de compresibilidad de gases reales de la forma:

Con , donde b es la correccin de Van der Walls y es el volumen molar. Si z = 0.892, cul es el valor de y?

Solucin:Como nos dan el valor de z = 0.892, lo reemplazamos en la expresin dada y obtenemos una ecuacin en funcin de y (f (y)):

Como ya conocemos la ecuacin, la graficamos:

De la grfica se observa que hay dos races, es decir, hay dos valores de y que cumplen con la condicin z = 0.892. Para conocer estas races aplicaremos el mtodo de Newton-Raphson:

Primera iteracin:Tomamos , ya que en la grfica se observa que es un punto cercano a la primera raz.

n=0

n=1

n=2

n=3Tolerancia = 110-4

0-0.5000-0.09490.4051

1-0.0949-0.03080.0641

2-0.0308-0.02900.0018

3-0.0290-0.02900

Por lo tanto el valor de la primera raz es:

Segunda iteracin:Ahora tomamos , ya que es otro punto que est cerca a la segunda raz.

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

Tolerancia = 110-4

03.00002.26160.7384

12.26162.00990.2517

22.00991.9730.0346

31.97531.97470.0006

41.97471.97470

Por lo tanto el valor de la segunda raz es:

Problema 1. 10:Las frecuencias de vibracin natural de una viga uniforme en un extremo es la solucin de la siguiente ecuacin:f(x) = cos(x).cosh(x) + 1 = 0 X= 2L/EIL: Longitud de la viga (m) : frecuencia (s-1)EI : rigidez ante la flexin(Nm2) : densidad del material de la viga(Kg/m3)Determine los valores de las tres races positivas ms bajasSolucin:

Hallando los intervalos ms prximos a la raz para luego resolverlo por el mtodo de la biseccin: Xf (x)

0.511.522.533.544.555.566.577.588.5+++------++++++--

1era raz

2da raiz

3era raz

1. Hallando la primera raz positiva en el intervalo [1.5; 2]

abcf(a)f(b)f (c)

1.521.75+-+

1.7521.875+-+

1.87521.9375+--

1.8751.93751.9063+--

1.8751.90631.8907+--

1.8751.89071.8829+--

1.8751.88291.8789+--

1.8751.87891.8769+--

1.8751.87691.8759+--

1.8751.87591.8755+--

1.8751.87551.8753+--

1.8751.87531.8752+--

1.8751.87521.8751+-+

1.87511.87521.8752+--

1.87511.87521.8752+--

X1= 1.8752

2. Hallando la segunda raz positiva en el intervalo [4.5, 5]abcf(a)f(b)f (c)

4.554.75-++

4.54.754.625-+-

4.6254.754.6875-+-

4.68754.754.7188-++

4.68754.71884.7032-++

4.68754.70324.6954-++

4.68754.69544.6915-+-

4.69154.69544.6935-+-

4.69354.69544.6945-++

4.69354.69454.694-+-

4.6944.69454.6943-++

4.6944.69434.6942-++

4.6944.69424.6941-++

4.6944.69414.6941-+-

X2 = 4.6941

3. Hallando la tercera raz positiva en el intervalo [7.5, 8]abcf(a)f(b)f (c)

7.587.75+-+

7.7587.875+--

7.757.8757.8125+-+

7.81257.8757.8438+-+

7.84387.8757.8594+--

7.84387.85947.8516+-+

7.85167.87947.8555+--

7.85167.85557.8536+-+

7.85367.85557.8546+-+

7.85467.85557.8551+--

7.85467.85517.8549+--

7.85467.85497.8548+--

7.85467.85487.8547+-+

7.85477.85487.8548+--

7.85477.85487.8548+--

X3 = 7.85478 Rpta: las tres races positivas ms bajas son X1, X2 y X3

Problema 1.20:La cada de presin P en de un fluido compresible circulando a lo largo de un conducto cilndrico rugoso de longitud L en pies y dimetro interno D en pulgadas, en rgimen constante, esta definido por:

Donde es ala densidad del fluido en , es la velocidad media del fluido (pies/s) y es el coeficiente de rozamiento de Moody (adimensional). Para las unidades indicadas, el fractor de conversin es 32. El coeficiente de rozamiento es de la rugosidad ( pulg) del tubo y del numero de Reynolds

Donde es la viscociadad del fluido en Para Re 2000, el valor de queda definida por la resolucin de la ecuacin de Colebrook:

Una buena iniciacin para la solucin de la ecuacin anterior por el mtodo iterativo puede ser el valor definido por la ecuacin de Blasius

Apropiada para el flujo turbulento en tubera lisa ( Encuentre el valor de , para el siguiente conjunto de datos:Datos 1equivalenciaDatos 2equivalencia

Q(gal.min)1700.38748.912.

D(pulg)3.0680.2556pie0.6220.05183 pie

L(pies)10.00010000 pies100100 pies

62.462.480.280.2

(lb/pies)0.00070.00070.050.05

(pulg)0.0020.083pies0.00054.166pies

2.-Hallando la velocidad mediaDel dato 1: Reemplazando

Del dato 2:Anlogamente:

Hallando el numero de Reynolds:Del dato 1:

Del dato 2:

Entonces como sabemos:Si:Re 2000

Para el dato 2:Re==64/=2.187

Reemplazando en :

Para el dato 1 entonces reemplazamos:Re=14009.7225> 2000

Asumimos un valor:

Aplicando el mtodo de Newton Raphson:

Reemplazando:

Error =0.09315-0.09314=

Hallamos

PROBLEMA 1.30:La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real, esta dado por:

En la que P es la presin en atm, v volumen en litros, T la temperatura absoluta en K, R la constante universal de los gases (0.082 L x atm / mol x K), a y b constantes que dependen de cada gas.

GASab

Dixido de carbono3.5920.04267

Dimetilamina37.490.1970

Helio0.034120.02370

Oxido ntrico1.3400.02789

NOTA: Si T Tc, donde (temperatura critica), temperatura por encima de la cual. El gas no puede ser licuado, por lo cual existir solamente una raz real de v.

Si existieran tres races v1< v2 < v3 y v1 y v3 corresponden respectivamente a los volmenes de liquido y vapor, mientras que v2 no tiene significado fsico. Asuma diversos valores P y T para cada uno de los gases mencionados y encuentre el o los valores de v, segn sea el caso.

RESOLUCION:

De la ecuacin de estado de Van der Walls se sabe:

Despejamos en funcin de V:

Para los clculos del volumen haremos uso del mtodo de Newton Raphson de 1er orden:

En el problema:

De los datos tenemos:

Ecuacin general para aplicar al problema:

Asumiendo 1 mol de gas

RESOLVIENDO PARA EL DIOXIDO DE CARBONO Tomaremos los siguientes valores de presiones y temperaturas:

P1 = 20, P2 = 40, P3 = 80;

T1 = 100, T2 = 200, T3 = 300,

TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.

PARA T1 = 100 K

Reemplazando en la ecuacin:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/20 = 0.41

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.410.2220.188

10.2220.05720.1648

20.05720.04770.009

30.04770.04780.0001

40.04780.04780

Por lo tanto el volumen ser 0.0478 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.

PARA T2 = 200 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/20 = 0.82

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.820.67820.1418

10.67820.60290.0753

20.60290.57590.027

30.57590.57230.0036

40.57230.57220.0001

50.57220.57220

Por lo tanto el volumen ser 0.5722 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.

PARA T3 = 300 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/20 = 1.23

nVnVn+1Vn+1- Vn

01.231.13630.0937

11.13631.11880.0175

21.11881.11820.0006

31.11821.11820

Por lo tanto el volumen ser 1.1182 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.

PARA T4 = 400 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/20 = 1.64

nVnVn+1Vn+1- Vn

01.641.57690.061

11.57691.57150.005

21.57151.57150

Por lo tanto el volumen ser 1.5715 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.

PARA T1 = 100 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/40 = 0.205

NVnVn+1Vn+1- Vn

00.2050.09320.112

10.09320.04740.046

20.04740.04780.0004

30.04780.04780

Por lo tanto el volumen ser 0.0478 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.

PARA T2 = 200 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/40 = 0.41

NVnVn+1Vn+1- Vn

00.410.29420.12

10.29420.18750.11

20.18750.04310.14

30.04310.05590.013

40.05590.05690.001

50.05690.05690

Por lo tanto el volumen ser 0.0569 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.

PARA T3 = 300 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/40 = 0.615nVnVn+1Vn+1- Vn

00.6150.53020.085

10.53020.49650.034

20.49650.49070.006

30.49070.49050.0002

40.49050.49050

Por lo tanto el volumen ser 0.4905 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.

PARA T4 = 400 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/40 = 0.82

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.820.76060.0594

10.76060.75000.0106

20.75000.74970.0003

30.74970.74970

Por lo tanto el volumen ser 0.7497 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.

PARA T1 = 100 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/80 = 0.1025

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.10250.05450.048

10.05450.04760.0069

20.04760.04760

Por lo tanto el volumen ser 0.0476 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.

PARA T2 = 200 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/80 = 0.205

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.2050.12590.0791

10.12590.06580.0601

20.06580.05590.0099

30.05590.05610.0002

40.05610.05610

Por lo tanto el volumen ser 0.0561 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.

PARA T3 = 300 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/80 = 0.3075

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.30750.23810.0694

10.23810.18790.0502

20.18790.14670.0412

30.14670.10340.0433

40.10340.08410.0193

50.08410.08720.0031

60.08720.08730.0001

70.08730.08730

Por lo tanto el volumen ser 0.0873 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.

TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.

PARA T4 = 400 K

Realizamos el mismo procedimiento anterior:

Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/80 = 0.41

nVnVn+1Vn+1- Vn

00.410.35760.0524

10.35760.33870.0189

20.33870.33610.0026

30.33610.3360.0001

40.3360.3360

Por lo tanto el volumen ser 0.336 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.

Procedemos de la misma manera con los dems gases a diferentes temperaturas y presiones.

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