PROBLEMAS RESUELTOS DE DINÁMICA DE PARTÍCULAS (movimiento circular)

Para analizar la dinámica en el movimiento circular utilizamos la segunda ley en componentes diferentes al movimiento

rectilíneo. En lugar de x, y, z utilizamos la dirección tangencial (T), dirección normal o centrípeta (C), y dirección binormal

(B). La dirección tangencial apunta en la dirección del movimiento, la dirección centrípeta siempre apunta hacia el

centro del circulo, y la dirección binormal es perpendicular al círculo, o sea perpendicular a (T) y (C).

∑�� � � �� � � ���

..(I) ∑� � � � � � ��

� ..(II) ∑� � � � � 0 ..(III)

V es la magnitud del vector velocidad y es llamada la rapidez y R es el radio del circulo. En la mayoría de los ejemplos

mostrados la rapidez es constante, así que no habrá fuerzas en la dirección tangencial. Entonces solo usaremos las

ecuaciones (II) y (III).

El sistema es el automóvil y se muestran las fuerzas del DCL en rojo.

El circulo se ve de perfil en dirección horizontal desde el centro del carro hacia la

derecha ya que la altura del carro es siempre la misma. De aquí obtenemos la

dirección centrípeta. La dirección binormal es vertical ya que el circulo es

horizontal.

La normal N es la resultante de las cuatro normales en las llantas. Si el carro va

muy rápido tiende a resbalarse hacia arriba, así que la fricción va hacia abajo.

∑� � � � � � ��

�

Nsen(θ) + µ Ncos(θ) = m(V2/R) ..(1)

∑� � � � � 0

Ncos(θ) – mg – µ Nsen(θ) = 0 ..(2)

N(sen(θ) + µ cos(θ)) = m(V2/R) ..(1’)

N(cos(θ) – µ sen(θ)) = mg ..(2’)

Dividiendo y despejando V2

V2 = g R (tg(θ) + µ) / (1+ µ tg(θ))

La perspectiva que conviene para mostrar las fuerzas en la dirección binormal es de perfil. Es decir que el circulo se vea

como una línea horizontal. Y colocamos la botella en el extremo derecho o el izquierdo.

El sistema es la botella y se muestran las fuerzas del DCL en rojo.

El circulo se ve de perfil en dirección horizontal desde el centro de la botella hacia

la izquierda. De aquí obtenemos la dirección centrípeta. La dirección binormal es

vertical ya que el circulo es horizontal.

Si la botella va muy rápido tiende a resbalarse hacia la derecha, así que la fricción

va hacia izquierda. No resbala, pero está a punto de resbalarse. Así que la fricción

es estática y su valor máximo femax = µN

∑� � � � � � ��

�

µN = m(V2/R) ..(1)

∑� � � � � 0

N – mg = 0 ..(2)

De (2) despejamos N y sustituimos en

(1)

µmg = m(V2/R)

V = �µ g R = 1.71 m/s

Notar que la masa no es un dato, pero en el álgebra se cancela. Esto quiere decir que la velocidad máxima no depende

de la masa de la botella.

La perspectiva que conviene para mostrar las fuerzas en la dirección binormal es de perfil. Es decir que el circulo se vea

como una línea horizontal. Y colocamos el collarín en el extremo derecho o el izquierdo.

El sistema es el collarín y se muestran las fuerzas del DCL en rojo. En este caso no

hay fricción. El radio del circulo está indicado como R.

El circulo se ve de perfil en dirección horizontal desde el centro del collarín hacia la

izquierda. De aquí obtenemos la dirección centrípeta. La dirección binormal es

vertical ya que el circulo es horizontal. Si el conjunto gira con velocidad constante

el collarín gira en un circulo a la altura H indicada. Si gira más rápido gira a una

altura mayor y viceversa.

La aceleración centrípeta se puede escribir como ac = V2/R ó ac = ω2R, gracias a la relación V = ω R.

∑� � � � � � ��

�

Ncos(θ) = M((ω2R) ..(1)

∑� � � � � 0

Nsen(θ) – Mg = 0 ..(2)

De (2) despejamos Nsen(θ) y de (1)

despejamos Ncos(θ). Dividimos las

ecuaciones y se cancelan N y M.

tg(θ) = g / (ω2 R)

R = 4.24 m/s

Ya calculamos el radio con el cual gira el collarín, pero nos piden la altura H.

tg(θ) = R / H

H = R / tg(θ) = 7.35 m

Claramente nuestro sistema es el avión. Dos de las fuerzas que actúan sobre el sistema ya son mostradas en el dibujo

original del problema. W es el peso del avión y L es la fuerza de sustentación que actúa en las alas del avión debido a

diferencias de presión arriba y abajo de las alas. Esta fuerza es la que permite que el avión pueda “volar”. Hay dos

fuerzas que no se muestran, que son perpendiculares al plano del dibujo una actúa en la parte de atrás de las turbinas

impulsando al avión hacia adelante. Esta fuerza es compensada con la fuerza de fricción ( o viscosidad) con el aire hacia

atrás, de manera que la fuerza resultante en la dirección del movimiento (dirección tangencial) es cero, y así se

mantiene constante la rapidez del avión.

Planteamos la dinámica.

Mostramos el DCL en rojo que ya se proporcionan en el enunciado. El peso es W y L es la fuerza de sustentación. Si el ángulo que forma L con la vertical es cero, el avión vuela en línea recta. Al inclinar el avión, L forma un ángulo con la vertical proporcionando una componente vertical que compensa a W para mantener la altura constante. La otra componente de L en la dirección horizontal y por tanto perpendicular al movimiento ocasiona que se desvíe la dirección del avión hacia la izquierda trazando una trayectoria circular si la magnitud de L es constante. El circulo se ve de perfil en dirección horizontal desde el centro del avión hacia la izquierda. De aquí obtenemos la dirección centrípeta. La dirección binormal es vertical ya que el circulo es horizontal.

Como nos dan W = 890 kN = 890000 N, usamos M = W/g

∑� � � � � � ��

�

L sen(15°) = (W/g)(V2/R) ..(1)

∑� � � � � 0

L cos(15°) – W = 0 ..(2)

De (2) obtenemos L = 921.4 kN

Sustituyendo en (1) R = 12.34 km

Nuestro sistema es cualquiera de los volantines, y la perspectiva que conviene es de perfil con un volantín el extremo

izquierdo o en el derecho.

Se muestra el DCL de nuestro sistema en rojo y los ejes y aceleración

en verde. La tensión es la resultante de las tensiones en los dos

cables que sostienen al volantín.

El radio del circulo R es de 8m mas la proyección de los 15m en la

horizontal. R = 8 + 15sen(30°) = 15.5 m

∑� � � � � � ��

�

T sen(30°) = m(V2/R) ..(1)

∑� � � � � 0

T cos(30°) – mg = 0 ..(2)

De (2) obtenemos T = 6.22 kN

Sustituyendo en (1) V= 9.36 m/s

Nuestro sistema es la esfera y usamos la misma perspectiva que los anteriores.

Se muestra el DCL de nuestro sistema en rojo y los ejes y aceleración

en verde.

El radio del circulo R se obtiene resolviendo el triángulo.

Por ley de los senos

2

sen �30°��

Lsen�120°�

⇨ L � 2sen�120°�

sen �30°�

L = 3.46 m

R = L sen(30°) = 1.73 m

Se puede resolver fácil por ser isósceles (2 lados iguales): R = 2*sen(60°)

ω = (0.4 rev/s)(2π rd/rev) = 2.513 rd/s ⇨ V = ω R = 4.35 m/s

∑� � � � � � ��

�

T1 cos(30°) + T2 sen(30°) = m(V2/R) ..(1)

∑� � � � � 0

T1 sen(30°) + T2 cos(30°) – mg = 0 ..(2)

Sustituyendo m y V, y resolviendo el

sistema de ecuaciones.

T1 = 41.1 N T2 = 27.2 N

Nuestro sistema es el cuerpo que se coloca encima del disco que gira, y usamos la misma perspectiva que los anteriores.

Se muestra el DCL de nuestro sistema en rojo y los ejes y aceleración

en verde.

La fuerza de fricción es estática y su valor es máximo, es decir está a

punto de resbalar. El valor de µ que se obtiene se tiene que

disminuir en una cantidad insignificante para decir que ya se resbala.

Usamos ac = ω2r R = 200mm = 0.20m

∑� � � � � � ��

�

µN = m(ω2R) ..(1)

∑� � � � � 0

N – mg = 0 ..(2)

De (2) obtenemos N y sustituimos

en (1) para obtener m

µ = (ω2R/g) = 0.184

Están suponiendo que no hay fricción entre el collarín y su guía, a pesar de que no está indicado en el enunciado. Al girar

más rápido, el ángulo aumentaría y viceversa, pero por muy rápido que gire, θ nunca llega a ser 90°.

En este caso tenemos dos círculos, uno es la guía del collarín en forma de circulo cuyo radio es R. El otro es el circulo que

describe el collarín al girar con el aro en un eje vertical. El centro de este segundo circulo está indicado en azul y tiene

radio r. Los radios están relacionados por medio de θ: r = R sen(θ)

Las fuerzas del DCL están indicadas en rojo.

La fuerza de contacto entre el collarín y la guía solo tiene

componente normal N, ya que no hay fricción.

Es muy importante notar que esta fuerza está dirigida hacia el centro

del aro por ser perpendicular a este último.

Usamos ac = ω2r y r = R sen(θ) ⇨ ac = ω2 Rsen(θ)

∑� � � � � � ��

�

N sen(θ) = Mω2 Rsen(θ) ..(1)

∑� � � � � 0

N cos(θ) – Mg = 0 ..(2)

De (1) despejamos N y lo sustituimos en (2)

Mω2 R cos(θ) = Mg

θ = cos–1( g / ω2r )

De la figura obtenemos que el radio del circulo r = 1m – d = 0.7 m. Además vemos que el resorte está comprimido en

0.5m – d = 0.2m, así que la fuerza que ejerce el resorte sobre el collarín según la ley de Hook es de FR =(1)(0.2) N = 0.2 kN

Usaremos una perspectiva diferente que los ejemplos anteriores, ya que en la dirección binormal solo actúan el peso del

collarín y la normal que ejerce la guía. La conclusión es que la normal es igual al peso del collarín.

Las fuerzas del DCL están indicadas en rojo. No se muestran el peso

y la normal.

La fuerza del resorte está dirigida hacia el centro del circulo.

Usamos ac = ω2r r = 0.7 m FR = 0.2 kN = 200 N

∑� � � � � � ��

�

FR = Mω2 r ..(1)

∑� � � � � 0

N – Mg = 0 ..(2)

De (1) despejamos ω

ω = 12 rd/s