PROBLEMAS RESUELTOS PARA EL CUARTO PARCIAL

Un tubo de acero inoxidable del tipo AISI 302 de diámetro interior y exterior Di = 20 mm y De = 27 mm, respectivamente, se usa en un intercambiador de calor de flujo cruzado (agua por el interior y aire por el exterior), tal como se muestra en la Figura. Se estima que los factores de impureza en la superficie interior y exterior son 0,0004 m2K/W y 0,0002 m2K/W, respectivamente. El flujo en el interior del tubo se puede considerar desarrollado, y para estimar las propiedades de los fluidos, asuma que las superficies externa e interna del tubo esta a 73°C, ¿Es razonable esta suposición?. [7 ptos].

DATOS:

Di = 20 mm (0,02 m) De = 27 mm (0,027 mn)

Rf,i = 0,0004 m2K/W Rf,e = 0,0002 m2K/W

Tm,i = 75 °C um,i = 0,5 m/s

Te = 15 °C ue = 20 m/s

RESPUESTA:

La Figura muestra el circuito térmico del tubo, donde se obtiene que el coeficiente global de transferencia de calor esta dado por:

( )eee

efie

i

if

iieeii AhAR

LkDD

AR

AhAUAU1

2ln111 ,, ++++==

π (i)

Luego,

( )e

efiee

i

ife

ii

ee

hR

kDDD

DRD

hDD

U1

2ln1

,, ++++

= (ii)

La conductividad térmica del acero AISI 302 se obtienen en la tabla A1, del apéndice A del Incropera, para una temperatura de 73 °C (346 K ). Este valor se obtiene interpolando entre 300 K y 400 K y se obtiene:

k = 15,8 W/mK

Por otra parte, el coeficiente de convección interna se calcula como flujo interno en tuberías circulares y el coeficiente de convección externa se obtiene mediante flujo cruzado sobre un tubo circular.

iihA1

i

if

AR , ( )

LkDD ie

π2ln

e

ef

AR ,

eehA1

imT ,eTesT ,isT ,

Calculo del coeficiente de transferencia de calor interno:

Para evaluar las propiedades se asume que la temperatura en la superficie interna de la tubería es Ts,i = 73 °C, por tanto, la temperatura de película será:

)350347(742

75732

,, KKCTCCTTT f

imisf ≈°=⇒

°+°=

+=

Con esta temperatura Tf = 350 K, se obtiene en la tabla A.6, del apéndice A del Incropera, las propiedades del agua como líquido saturado:

cp = 4195 J/kg, k = 0,668 W/mK μ = 365x10-6 kg/s.m

ρ = 1/v = 973,71 kg/m3 Pr = 2,29

Se calcula el Reynolds,

98,26676Re./10365

)02,0)(/5,0)(/32,982(Re 6

3, =⇒== − D

iimD mskgx

msmmkgDuμ

ρ (Flujo turbulento)

Se pueden usar varias correlaciones, pero en éste caso se utilizará la correlación de Gnielinski, que establece que:

( )

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<

<<

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=10/

105Re30002000Pr5,0

1Pr87,121

Pr1000Re8 6

322

1

DLxsi

f

f

Nu D

D

D

El factor de fricción se puedes estimar por:

( )[ ] ( )[ ] 024,064.177,21684ln79,064.1Reln79,0 22 =⇒−=−≈ −− ff D

Luego al sustituir los valores en la correlación de Gnielinski, se tiene:

( )

( )6,116

1)29,2(8024,07,121

)29,2(100098,266768024,0

322

1 =⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= DD NuNu

Donde

KmWhm

mKWNuDkh

kDhNu iD

ii

iiD

2/33,3894)6,116()02,0(

)/668,0(=⇒==⇒=

Calculo del coeficiente de transferencia de calor externo:

Para evaluar las propiedades, también se asume Ts,e = 73 °C, por tanto, la temperatura de película será:

)317(442

15732

, KCTCCTTT f

eesf °=⇒

°+°=

+=

Con esta temperatura Tf = 317 K se interpola en la tabla A.6, del apéndice A del Incropera, y se obtiene las propiedades del aire:

cp = 1008 J/kg, k = 0,0276 W/mK ν = 17,6x10-6 m2/s

ρ = 1,105 kg/m3 Pr = 0,705

Se calcula el Reynolds,

82,30681Re/106,17

)027,0)(/20(Re 26 =⇒== − Die

D smxmsmDu

ν

Se puede usar la correlación de Churchill y Bernstein, la cual esta dada por:

⎩⎨⎧

<<

>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+= 54 104Re1025,0Pr

282000Re1

Pr4,01

PrRe62,03,02

1

41

32

31

21

xxsiNu

D

DDD

Luego al sustituir los valores, se tiene:

( ) ( )11,113

28200082,306811

705,04,01

705,082,3068162,03,0

21

41

32

31

21

=⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+= DD NuNu

El coeficiente de convección externo, será:

KmWhm

mKWNuDkh eD

ee

2/63,115)11,113()027,0(

)/0276,0(=⇒==

Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (ii) se calcula el coeficiente global de transferencia de calor:

( ) ⇒++++

=

11,11310002,0

)8,15(22027ln)027,0(

20)0004,0)(27(

)33,3894(2027

1eU

CmWUe °= 2/19,98

Se debe verificar si las temperaturas supuestas en las paredes del tubo fueron aceptables, entonces del circuito térmico se tiene:

( )eime

eees

ee

ees

ii

isim

ee

eim TThUTT

Ah

TT

Ah

TT

AU

TTQ −+=⇒

−=

−=

−= ,,

,,,,

111& (iii)

( ) CTCKmWKmWCT eses °=⇒°−+°= 08,671575

/11,113/19,9815 ,2

2

,

De igual forma,

( ) ( ) ( )eimii

eeimiseim

ii

eeimeim

ii

eeimis TT

DhDUTTTT

DhDUTTT

AhAUTT −−=⇒−−=−−= ,,,,,,,,

( ) CTCmmCmW

mmCmWCT isis °=⇒°−°°

−°= 96,721575)20(/33,3894

)27(/19,9875 ,2

2

,

Las temperaturas de película del lado interior y exterior son respectivamente:

)98,246(98,732

7596,722

,,, KCTCCTT

T fimis

if °=⇒°+°

=+

=

)04,314(04,412

1508,672

,, KCTCCTT

T fees

ef °=⇒°+°

=+

=

Como se puede observar, las temperaturas de películas son muy similares a las supuestas por lo tanto las propiedades de los fluidos no cambia es forma importante, por lo que es razonable la suposición realizada.

En un sistema de potencia de ciclo Rankine, sale 1,5 kg/s de vapor de la turbina en condición de vapor saturado a 0,51 bar. El vapor se condensa a líquido saturado al pasar por la parte externa de los tubos de un intercambiador de calor de tubo y coraza (condensador), mientras que por los tubos entra agua líquida con una temperatura de 280 K. El condensador contiene 100 tubos de pared delgadas, cada uno con 10 mm de diámetro. El flujo másico total de agua de enfriamiento que pasa por los tubos es de 15 kg/s. El coeficiente promedio de convección asociado a la condensación sobre la superficie externa de los tubos se puede aproximar a 5000 W/m2K. Las propiedades del agua líquida se pueden tomara como cp = 4178 J/kg, k = 0,628 W/mK, μ = 700x10-6 kg/s.m , ρ = 993 kg/m3 y Pr = 4,6. Se pide: (a) ¿Cuál es la temperatura de salida del agua de enfriamiento?, (b) ¿Cuál es la longitud de tubos (por tubo) del intercambiador si se desprecia los factores de incrustaciones?. [9 ptos]

DATOS:

vm& = 1,5 kg/s Psat = 0,51 bar Tf,e = 280 K (7 °C)

N = 100 tubos D = 10 mm (0,01 m) fm& = 15 kg/s

hv =5000 W/m2K cpf = 4,178 kJ/kg kf = 0,628 W/mK μf = 700x10-6 kg/s.m ρf = 993 kg/m3 Prf = 4,6

Rf,v = Rf,f = 0,0003 m2K/W

RESPUESTA:

La transferencia de calor en el intercambiador de calor (condensador) esta dada por:

( ) mlefsfpffgv TFAUTTcmhmQ Δ=−== ,,&&& (i)

El calor latente se vaporización (o condenación) se obtiene en la tabla A.6, del apéndice A de Incropera, a la presión de saturación de Psat = 0,51 bar:

hfg = 2304 kJ/kh, Tsat = Tc,e = Tc,s = 355 K (82 °C)

Luego de la ecuación (i) se obtiene:

kWQkgkJskghmQ fgv 3456)/2304)(/5,1( =⇒== &&&

También,

KTkgkJskg

kWKcm

QTT sfpf

efsf 15,335)/178,4)(/15(

3456280 ,,, =⇒+=+=&

&

El coeficiente global de transferencia de calor despreciando el espesor del tubo y los factores de incrustaciones, esta dado por:

vfvf hhU

DLhDLhDLUUA 1111111+

=⇒+==πππ

(ii)

Como se tiene el coeficiente de convección del lado externo, se debe calcular el coeficiente de convección del lado interno de los tubos, en ese sentido se calcular la velocidad del fluido en la tubería para calcular el Reynolds:

2322

)01,0)(100)(/993()/15(44

4 mmkgskg

NDm

uuNDAumf

fiififf ππρ

ρπρ ==⇒==&

&

smui /923,1=

Luego,

7,27283Re./10700

)01,0)(/923,1)(/993(Re 6

3

=⇒== − Di

D mskgxmsmmkgDu

μρ (Flujo turbulento)

En este caso se puede usar la correlación de Gnielinski, que establece que:

( )

( ) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<

<<

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

=10/

105Re30002000Pr5,0

1Pr87,121

Pr1000Re8 6

322

1

DLxsi

f

f

Nu D

D

D

El factor de fricción se puedes estimar por:

( )[ ] ( )[ ] 0242,064.17,27283ln79,064.1Reln79,0 22 =⇒−=−≈ −− ff D

Luego al sustituir los valores en la correlación de Gnielinski, se tiene:

( )

( )75,163

1)6,4(80242,07,121

)6,4(10007,2728380242,0

322

1 =⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

= DD NuNu

Donde

KmWhm

mKWNuDkh

kDh

Nu fDff

D2/5,10283)75,163(

)01,0()/628,0(

=⇒==⇒=

Al sustituir los valore numéricos en (ii), se tiene:

KmWUKmWKmW

U 222 /25,3364

/5,102831/500011

=⇒+

=

Para los condensadores se obtiene que el factor de forma es, F =1. Entonces, al sustituir los valores numéricos en (i) se puede obtener la longitud de tubos:

( ) ( )[ ]( )( )

( ) ( )[ ]( )( )

⇒

−

−−−−

=⇒

−

−−−−

=

sfsat

efsat

sfsatefsat

sfsat

efsat

sfsatefsat

TTTT

TTTTDUFN

QL

TTTT

TTTTDLUFNQ

,

,

,,

,

,

,,

lnln π

π&

&

( ) ( )[ ]( )( )

⇒

−−

−−−=

15,335355280355ln

15,335355280355)/25,3364)(01,0()100)(1(

34560002KmWm

WLπ

mmL 888,7 ≈=