Problemas Resueltos Sobre Movimiento Armónico Simple_1Bach FyQ(1)

7/26/2019 Problemas Resueltos Sobre Movimiento Armnico Simple_1Bach FyQ(1)

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PROBLEMASRESUELTOSSOBREMOVIMIENTOARMNICOSIMPLE

1) La ecuacin de unM.A.S. es x(t) = 2 cos 30t, , en la que x es la elongacin en cm y t en s.!u"les son la am#litud, la $%ecuencia y el #e%&odo de este mo'imiento

2) n un M.A.S. la elongacin en cm es x(t) = 0,* cos (10t + 3), siendo t el tiem#o en s.!alcula% la elongacin, 'elocidad y acele%acin del m'il en los instantes t = 0 s y t = 1120 s.

3) La acele%acin (en ms2) de un M.A.S. en $uncin de la elongacin (en m) a = 2- x.x#%esa% esta acele%acin en $uncin del tiem#o sa/iendo que la am#litud de la 'i/%acin esde 2,- cm. !onsid%ese nula la constante de $ase.

*) La a/cisa de un m'il en $uncin del tiem#o en s es la $uncin x(t)= * sen 10t 3 cos 10tcm. x#%esa% su acele%acin en $uncin del tiem#o y demost%a% que se t%ata de un M.A.S.

-) La 'elocidad en ms de un M.A.S. es '(t) = 0,3sen (2*t 1), donde t es el tiem#o en s.!u"les son la $%ecuencia y la am#litud de ese mo'imiento sc%i/i% la ex#%esin de su

elongacin en $uncin del tiem#o.

) !alcula% la 'elocidad y acele%acin m"ximas del M.A.S. cuya ecuacin es x(t) = - cos (*t

), en la que x es la elongacin en cm y t el tiem#o en s.

) La elongacin en cm de un M.A.S. es x = * cos 10t, donde t es el tiem#o en s. !alcula% laacele%acin en el instante en que la elongacin es de 3 cm.

4) 5na #a%t&cula se des#la6a con M.A.S. de am#litud 1 cm y $%ecuencia 4 76. !alcula% su'elocidad y su acele%acin en el instante en que tiene una elongacin de mm.

8) 9u am#litud y qu #e%&odo de/e tene% un M.A.S. #a%a que la 'elocidad m"xima sea de 30cms y la acele%acin m"xima de 12 ms2 x#%esa% la elongacin de ese mo'imiento en$uncin del tiem#o.

10) n un M.A.S., cuando la elongacin es nula, la 'elocidad es de 1 ms y, en el instante enque la elongacin es de - cm, la 'elocidad es nula. !u"l es el #e%&odo del mo'imiento

11) n un M.A.S. de am#litud * cm, en el instante en que la elongacin es

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cm, la'elocidad es de ms. !alcula% la $%ecuencia del mo'imiento. !u"l se%" la 'elocidad delm'il al #asa% #o% la #osicin de equili/%io

12) La ecuacin de un M.A.S. es x = cos (-t 0), en la que x es la elongacin en cm y t eltiem#o en s. :ete%mina% la #osicin y 'elocidad del m'il en el instante t = 0 s si;

a) 0= 0< /) 0= 3 %ads< c) 0= 2 %ads< d) 0= %ad

13) e#%esenta% g%"$icamente las $unciones del tiem#o x+t< '+t y a+t en cada uno de los

su#uestos del #%o/lema ante%io%.1*) :iscuti% las di$e%encias ent%e los M.A.S. que tienen las siguientes ecuaciones deelongacin;

a) x(t) = A sent < /) x(t) = A cos t

1-) 5n M.A.S. tiene una $%ecuencia de - 76 y una am#litud de 4 mm. n el instante t = 0, elm'il se encuent%a en el cent%o de la 'i/%acin y se des#la6a en sentido #ositi'o. x#%esa% suelongacin, su 'elocidad y su acele%acin como $unciones del tiem#o.

1) !u"l es la m"xima $ue%6a que act>a so/%e un cue%#o de masa -0 g cuando 'i/%a con una

$%ecuencia de 2- 76 y una am#litud de 2 mm

1) Se ?ace oscila% 'e%ticalmente un cue%#o de masa 40 g que est" colgado de un muelle en?lice de constante el"stica 2 @m. Si la am#litud de la oscilacin es de 10 cm, cu"l se%" laex#%esin de su elongacin en $uncin del tiem#o


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14) Al sus#ende% un cue%#o de masa 300 g del ext%emo de un muelle que est" colgado'e%ticalmente, ste se ala%ga 20 cm. Si se ti%a del cue%#o - cm ?acia a/ao y se suelta,comien6a a oscila%. !alcula% el #e%&odo del mo'imiento. !u"l se%" la m"xima 'elocidad quealcan6a%"

18) 5n %eso%te tiene una longitud de 30 cm. Si se cuelga de l un cue%#o de masa 2-0 g y se le?ace oscila% 'e%ticalmente, em#lea s en %eali6a% 10 oscilaciones com#letas. !alcula% laconstante el"stica del %eso%te y su longitud cuando dic?o cue%#o est" colgado de l, en%e#oso.

20) La escala de un dinammet%o est" g%aduada en @. :esde la di'isin 0 @ ?asta la de 20 @

?ay una distancia de 10 cm. 7acemos oscila%, con una am#litud de 1 cm, a un cue%#o de masa

400 g sus#endido del muelle del dinammet%o. !alcula% la $%ecuencia de las oscilaciones y su

acele%acin m"xima.

21) 5n %eso%te se mantiene 'e%tical a#oyado en el suelo. Se coloca un cue%#o de masa m en%e#oso so/%e el %eso%te y se o/se%'a que ste se aco%ta cm. Si em#uamos lige%amente elcue%#o ?acia a/ao y lo soltamos, cu"l se%" la $%ecuencia de las oscilaciones y si la masa delcue%#o $uese 2m

22) 5n cue%#o de masa 20 g, que se mue'e so/%e el ee BC, #asa #o% el o%igen de coo%denadascon una 'elocidad de 10 ms. So/%e l act>a una $ue%6a D = + *x @, siendo x la a/cisa delcue%#o en m. !alcula% ?asta qu distancia del o%igen llega%".


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SOLUCIONES

1) Sabemos que la elongacin de un m.a.s. est dada por una ecuacin del tipo

)t(cosA)t(x 0+=

aunque pudiera ser igualmente una funcin seno. As que bastara comparar con laecuacin dada,

cmt0cos!)t(x =

para obtener inmediatamente los resultados"

rad0#s$rad0#cm!A 0===

%n cuanto al periodo & la frecuencia, &a que

=!

'

, sera tan simple como

*+'

*#s

*+

*

0

!!' ===

=

=

2) Si la ecuacin de elongaciones es

cm)

t*0(cos,0)t(x =

, las de -elocidad &aceleracin se obtienen por simple deri-acin"

s$cm)

t*0(sendt

)t(dx)t(-

==

!! s$cm)

t*0(cos0dt

)t(d-)t(a

==

& slo abra que usarlas en los instantes propuestos, t / 0 s & t / *$!0 s. %n el

tiempo t / 0 s, la fase del mo-imiento -ale

rad

0

=

& en el tiempo t / *$!0 s, la fase es

rad!!0

*.*0)

!0

*(

=

=

=

de forma que, al tiempo t / 0 s, los -alores pedidos son

cm!,0)

(cos,0)0(x =

=

(*)


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s$cm11.*0)

(sen)0(- =

=

(!)

!! s$cm2,*27)

(cos0)0(a ==

()

%ntre otras cosas, a& que notar que la posicin en ese momento est amitad de camino entre el centro de equilibrio & la amplitud (0,! cm es la elongacin#la amplitud es 0, cm), mientras que la -elocidad de *0,11 cm$s no es de ningunamanera la mitad de la -elocidad mxima (de 3*!,+7 cm$s, como es fcil de -er).45u6 comentarios pueden acerse sobre esto

8eamos aora los -alores de elongacin, -elocidad & aceleracin al tiempo*$!0 s"

cm+,0

cos,0)

!0

*(x =

=

()

s$cm!1,

sen)!0

*(- =

=

(+)

!! s$cm12,*

cos0)!0

*(a =

=

()

de modo que, en este momento, la -elocidad est dirigida en sentido negati-o &-ale la mitaddel -alor mximo (3*!,+7 cm$s, como &a se io notar). %sto permiteresponder la pregunta eca anteriormente" la -elocidad del m-il alcana su -alor

mximo (*!,+7 cm$s) cuando pasa por el centro de las oscilaciones (x / 0 cm), &-a disminu&endo cuando se desplaa acia el extremo de la oscilacin (sea en x /0, cm, sea en x / 9 0, cm)# pero no lo hace de forma lineal, &a que laaceleracin se -a aciendo ms grande a medida que el m-il se acerca al extremo.%n otras palabras, se pierde la ma&or parte de la -elocidad cuando se est &a cercadel extremo de la tra&ectoria" esto puede comprobarse mirando con atencin los-alores obtenidos en los resultados (*) a ().

3) 'enemos a / 9 !+ x , con x medido en m & a en m$s!. :omo se sabe, en un

m.a.s. la ecuacin fundamental esxa !=

)t(cosA)t(x 0+=

de forma que resulta e-idente que

s$rad*!+!+! ===

;e otro lado, las ecuaciones temporales de elongacin, -elocidad &aceleracin son del tipo


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)t(senA)t(a

)t(cosA)t(-

)t(senA)t(x

0!

0

0

+=

+=

+=

donde 0/ 0, tal como se dice en el enunciado.


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)t(cosA)t(a

)t(senA)t(-

)t(cosA)t(x

0!

0

0

+=

+=

+=

en las que, como puede -erse, emos usado una funcin coseno en la elongacinx(t) para que, de ese modo, apareca la funcin seno en la -elocidad, tal comosucede en la funcin del enunciado. Aora, comparando la segunda de estasecuaciones con la -elocidad del enunciado, tenemos las siguientes identicacionesinmediatas"

rad

cm+,*m0*+,0!

,0A

s$rad!

s$m,0A

0 =

==

=

=

=

de las cuales, fcilmente, conseguimos aora el perodo & la frecuencia"

*!'

*#s

*!

*

!

!!' ===

=

=

@ queda Cnicamente la funcin elongacin9tiempo. :onocemos la amplitudA, la pulsacin & la fase inicial 0, de modo que falta slo escribir"

m)*t!(cos0*+,0)t!(cos0*+,0)t(cosA)t(x 0 +=+=+=

6)Si la elongacin como funcin del tiempo est dada por

st#cmx)

t(cos+)t(x

+=

entonces es inmediato identicar

rad

#s$rad#cm+A 0

===

de manera que los -alores mximos de la -elocidad & la aceleracin son mu&sencillos"

s$cm1,!!0.+A-max ====

!!!!max s$cm+7,71210)(.+Aa ====

& no parece preciso decir muco ms, sal-o recordar qui que los -alores mximosde la -elocidad se tienen cada -e que el m-il pasa por el centro de lasoscilaciones (por x / 0 cm), & su signo depende que el m-il pase por amo-i6ndose en un sentido u otro. %n cambio, los -alores mximos de la aceleracinse tienen en los extremos de la oscilacin, cuando la elongacin es igual a laamplitud (es decir, x / A cm / + cm), & tienen signo contrario al de x, de acuerdo

a la ecuacin fundamental a / 9 !x.

7) Al darnos la elongacin"


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st#cmxt*0cosx =

nos estn ofreciendo la amplitud (-ale cm, como es fcil de -er) & la pulsacin,cu&o -alor es / *0 rad$s. ?or otro lado, la ecuacin fundamental de un m.a.s. es,como se sabe, la que relaciona elongacin & aceleracin del m-il"

xa !=

donde, en nuestro caso, !/ *0!/ *00 rad!$s!. %n consecuencia, podemos escribir

!s$cma#cmxx*00a =

&, para x / cm, ser

!! s$ms$cm00.*00a ===

8)Siendo la frecuencia / 1 , es mu& sencillo obtener la pulsacin (o frecuenciaangular, como tambi6n se la conoce)"

s$rad*! ==

& aora debemos recordar la relacin existente entre -elocidad & elongacin delm-il en un E.A.S."

!! xA- =

de manera que, conociendo A / * cm & / *rad$s, es inmediato a-eriguar la-elocidad para cualquier elongacin. ?ara x / 0, cm tendremos"

s$cm!*,01,0.*,0**- ! ===

@, en lo que respecta a la aceleracin, bastar recordar la ecuacin fundamental deun E.A.S."

xa !=

donde slo a& que sustituir el -alor de la elongacin 0, cm"

( ) !!! s$m*,*+s$cm2+,*+*+,0.*a ===

)45u6 amplitud & qu6 perodo debe tener un E.A.S. para que la -elocidad mximasea de 0 cm$s & la aceleracin mxima de *! m$s! %xpresar la elongacin de esemo-imiento en funcin del tiempo.

Si la -elocidad mxima es de 0 cm$s, entonces sabemos que

s$m,0s$cm0A ==

(*)


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& si la aceleracin mxima es de *! m$s!, entonces es que

!! s$m*!A =

(!)

as que bastara di-idir las igualdades (!) & (*) para tener fcilmente A & . ?rimero"

s$rad0,0

*!

A

A !===

& aora A, metiendo en (*) o en (!)"

cm7+,0s$rad0

s$cm0s$cm0A ==

=

%ntonces podemos escribir la ecuacin de elongaciones, que sera del tipo

x(t) / A sen (tF0), simplemente sustitu&endo los -alores obtenidos. 5uedar"

st#cmx)t0(sen7+,0)t(x 0 +=

;ebe obser-arse que la fase inicial 0queda indeterminada, puesto que nopodemos calcularla con los datos disponibles. %so no signica, sin embargo, que notomemos en cuenta su existencia.

1!)Da elongacin es nula en un E..A.S. cada -e que el m-il pasa por el centro deequilibrio, es decir, x / 0. :omo sabemos, en tal momento la -elocidad debe tenersu mximo -alor, 3A. %n consecuencia, sabemos que el -alor * m$s que indica elenunciado es el -alor mximo de la -elocidad, tomado con signo positi-o, es decir,cuando el m-il se desplaa en el sentido positi-o del e=e. ?odemos escribir,consecuentemente

A / * m$s

?or otro lado, cuando la -elocidad sea nula el m-il tendr que estar en unextremo de su oscilacin, es decir, la elongacin ser igual a la amplitud en eseinstante"

A / + cm / 0,0+ m

;e las dos igualdades se despe=a inmediatamente, di-idi6ndolas miembroa miembro"

s$rad!0m0+,0s

m*

A

A==

=

& el perodo es aora inmediato, recordando

=!

'

"

s*,0!0

!!' =

=

=


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11)Gtra -e debemos emplear la relacin conocida entre elongacin & -elocidaddel m-il en el E.A.S."

!! xA- =

Aqu conoceramos que, cuando la elongacin es

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cm, la -elocidad -ale

m$s / 00cm$s. ;e otro lado, la amplitud es A / cm, de forma que slo falta

despe=ar la frecuencia angular "

s$rad!00700 ! ===

Hnmediatamente, la frecuencia"

*00!

!00

! =

=

=

@, al pasar por la posicin de equilibrio, la -elocidad debe ser mxima, comosabemos. Su -alor es 3 A, de forma que ser"

s$m*,!+s$m1s$cm!00.-mx ===

12)'enemos la funcin elongacin9tiempo denida de modo completo, sal-o por lafase inicial 0,

st#cmx)t+(cos)t(x 0 +=

(*)

que aparece indeterminada. Das diferencias entre los distintos mo-imientos quetendramos al ir -ariando esa fase inicial 0tendran que -er exclusi-amente con laposicin inicial del m-il I por tanto, tambi6n con su -elocidad inicial & suaceleracin inicial I, tratndose por lo dems de mo-imientos id6nticos. %n todosellos, la -elocidad se escribira segCn

st#s$cm-)t+(sen0

dt

)t(xd)t(- 0 +==

(!)

Das ecuaciones (*) & (!) permiten responder de modo inmediato a lascuestiones planteadas en el enunciado. ?odemos empear entrando con t / 0 s encada una de ellas"

s$cmsen0-)0(-#cmcosx)0(x 0000 ====

()

& aora usamos las expresiones de x0 & -0de (), empleando en cada caso los-alores de fase inicial del enunciado para terminar el problema"

s$cm00sen0-#cm0cosxrad0 000 =====


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s$cm21,!+

sen0-#cm

cosxrad

000 =

==

=

=

s$cm0!sen0-#cm0!cosxrad! 000 =

==

=

=

s$cm0sen0-#cmcosxrad 000 =====

Jn e=ercicio sencillo, pero que ilustra bien las diferencias entre estossupuestos, es la representacin grca de las funciones temporales elongacin,-elocidad & aceleracin en cada uno de los casos" de ello se ocupa el problemasiguiente.

13) %ste es un e=ercicio esencialmente grco, pero mu& interesante en la medidaen que describe el modo en que deben enfocarse & utiliarse las diferencias de faseentre E.A.S. que, por lo dems, son id6nticos, tales como los que emos descrito enel problema anterior.

8amos a empear por mostrar las distintas escenas iniciales, indicando lasituacin del fasor en cada una de ellas"

%n cada una de estas guras aparece, como decimos, la situacin inicial delfasor" debe mirarse con atencin como se muestra la fase inicial 0correspondiente.'ambi6n tratamos de acer notar la pro&eccin del extremo del fasor sobre el e=e >,donde se suponen las oscilaciones# para que resulte ms claro, se an representadodeba=o lo que seran las oscilaciones limpias, sin el fasor utiliado como medio paraproducirlas. %n cada supuesto, se recoge la posicin inicial, x0, & la -elocidad inicial,-0. 'odos los -alores seKalados son los que emos obtenido &a en el e=ercicioanterior.

Da Cnica diferencia, entonces, entre los cuatro mo-imientos cu&o instanteinicial se representa es una cuestin de -enta=a (o retraso) de unos respecto a otros.Si, como parece lgico, tomamos al primero como referencia, cuando la fase inicial

es cero, entonces debemos entender que su fasor, girando con la misma -elocidadangular / + rad$s que todos los dems, lle"a en todo momento #n retra$o de


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fa$e de %3 rad & 6!' re$(ecto al $e#ndo de lo$ mo"imiento$* #n retra$o

de fa$e de %2 rad & !' re$(ecto al $e#ndo +* ,nalmente* #n retra$o de

fa$e de rad & 18!' re$(ecto al -ltimo de ello$.

%l paso siguiente, & mu& importante de este tipo de discusiones, es el modoen que debemos conectar la diferencia de fase entre dos mo-imientos con elretraso I o adelanto I temporal de uno respecto al otro. ablamosconstantemente de una -enta=a o retraso de fase, & rara -e lo acemos de latraduccin temporal de ese adelanto o retraso, lo que seguramente sera msintuiti-o. ?ues bien, la respuesta a esta cuestin es simple" basta emplearlaexpresin

=t

()

donde es la diferencia de fase entre los dos mo-imientos & t el adelanto (oretraso) temporal entre uno & otro. Da lgica de esta expresin es bastante ob-ia"

simplemente di-idimos la -enta=a angular (4qu6 otra cosa es la diferencia de fase)de un fasor respecto a otro por la -elocidad angular con la que giran ambos# elcociente nos dice el tiempo que es necesario para que cualquiera de los fasores gireel ngulo .

As, en el caso que nos ocupa, la oscilacin correspondiente al caso b), x(t) / cos (+t F $), tiene un adelanto de fase = $ respecto al caso a), con faseinicial nula, x(t) / cos +t. %so implica que la oscilacin b) tiene una -enta=atemporal de -alor

s!02,0*++

t =

=

=

()

respecto a la oscilacin a), sin fase inicial. %s decir, el oscilador b) llega a todaspartes 0,!02 s antes de que lo aga el oscilador a).

;e id6ntica manera, las -enta=as temporales que tienen los osciladores c) &d), siempre respecto del oscilador a) sin fase inicial, -aldran"

Gscilador c)

s*,0*0+

!t =

=

=

(+)

Gscilador d)

s!1,0+

t =

=

()

que son, respecti-amente, L ' (un cuarto de perodo) & M ' (medio perodo). ?aracomprender esto me=or, recordemos que el perodo ' es el tiempo que precisa unaoscilacin completa, lo que coincide e-identemente con el tiempo que el fasor tardaen girar una -uelta completa" ablar de perodo en el giro #niformedel fasor es lomismo que ablar de perodo del oscilador, ambos con el -alor

=!

'

as que, como resulta fcil de comprender, una diferencia de fase de $! rad I uncuarto de -uelta de fasor I termina signicando una diferencia temporal de


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'

*

'!!t =

=

=

mientras que una diferencia de fase de rad I media -uelta de fasor I terminasignicando una diferencia temporal de

'!

*

'!

t =

=

=

As, los casos de desfase $!, , $!,N se identican de modo inmediato conretrasos (o adelantos) temporales de L ', M ', O ',N . ;e cualquier forma, elclculo de la diferencia temporal entre dos mo-imientos armnicos desfasados seconsigue mediante (), & a ella abra que remitirse para casos de desfase de-alores arbitrarios.

%ntendido todo lo anterior, las grcas temporales de elongacin & -elocidadde los cuatro osciladores propuestos se recogen a continuacin (de=amos las deaceleracin para el alumno). %sencialmente, el modo de acerlo es representar lasprimeras, que corresponden al caso a) sin fase inicial &, a partir de ellas, conseguirlas dems PdesplaandoQ cada grca a la iquierda, a lo largo del e=e de tiempo,las diferencias temporales que emos ido encontrando en las ecuaciones (), (+) &(). ?or supuesto, &a que se trata en todo caso de funciones peridicas, bastaobtener la representacin a lo largo del primer perodo" a partir de a, cada una delas grcas se repite, perodo a perodo, de forma indenida.

%stas son las correspondientes al caso a), sin fase inicial"

& aora las que corresponden al caso b), con fase inicial de $ & adelanto temporalde 0,!02 s respecto a las anteriores"


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%n tercer lugar, las relati-as al caso c), con fase inicial de $! & adelanto de uncuarto de perodo respecto a las primeras"

&, nalmente, las del caso d), con fase inicial & adelanto de medio perodorespecto al caso a)"


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de modo que solo resta una detenida & cuidadosa obser-acin de las grcas.ganse despu6s las correspondientes a la aceleracin en cada caso, algo que nodebera resultar difcil teniendo en cuenta la conocida ecuacin fundamental a / 92x.

14) %ste e=ercicio requiere un comentario de carcter gen6rico acerca de lasecuaciones elongacin9tiempo que encontramos usualmente al traba=ar conmo-imientos armnicos simples" lo ms frecuente es que aparecan ba=o cualquierade las formas"

)t(senA)t(x 0+=

(*)

o bien)t(cosA)t(x 0+=

(!)

siendo el caso del problema anterior, por e=emplo, correspondiente a la segunda deellas. 4%xiste alguna diferencia esencial entre ambos mo-imientos Da respuesta aestas preguntas es no" la Cnica diferencia a resaltar entre los E.A.S. (*) & (!) es unasimple cuestin de fase# ms concretamente, una -enta=a de fase de 20R de (!) conrespecto a (*), lo que quiere decir que el fasor que usamos en el mo-imiento (!)lle-a 20R de adelanto respecto al que usamos en el mo-imiento (*), as que el m-ildescrito en (!) lo ace todo I pasa por el origen, llega a los extremos de sumo-imiento, etc.. I L ' (un cuarto de perodo) antes que (*). %sto puedeentenderse me=or si se recuerda la relacin

)!(sencos

+=

que muestra como la funcin coseno lle-a un adelanto de fase de $! respecto a lafuncin seno.

ecordando cuestiones explicadas en el problema anterior, podemos -ercul es el retraso temporal de la oscilacin descrita en (*) respecto de la descrita en(!)" &a que el retraso de fase es / $!, tendramos

'

*

!!t =

=

=


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resultado fcil de entender si se recuerda que'

!=

, & que =ustica algunaarmacin eca ms arriba" sabemos aora, pues, que la oscilacin (!) lle-a L '

de -enta=a respecto a la oscilacin (*).

;e modo que, en adelante, aceptaremos indistintamente las funciones seno&$o coseno en las ecuaciones de un mo-imiento armnico" de eco, tambi6n unacombinacin lineal de ambas es nalmente otro E.A.S., como &a se prob en algCne=ercicio anterior.

?ara reforar los prrafos anteriores, -eamos aora cules seran lasecuaciones de elongacin, -elocidad & aceleracin en los dos casos propuestos enel enunciado" se trata de casos sencillos que mane=an funciones seno & coseno, sinfase inicial"

==

==

=

tsenAdt

)t(d-)t(a

tcosAdt)t(dx)t(-

tsenA)t(x

!

()

==

==

=

tcosAdt

)t(d-)t(a

tsenAdt)t(dx)t(-

tcosA)t(x

!

()

ecuaciones que aora representamos grcamente, contra el tiempo, de modo quepuede -erse cmo todo lo que sucede en el mo-imiento descrito por las ecuaciones() lo ace un cuarto de perodo antes el m-il descrito en las ecuaciones ()"


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15)%scribiendo la elongacin de un E.A.S. en t6rminos de

)t(senA)t(x 0+=

tal como emos eco nosotros, decir que al tiempo t / 0 s el m-il se alla en elorigen & mo-i6ndose en sentido positi-o signica que la fase inicial 0es nula (o

-ale un nCmero entero de -eces !, lo que -iene a ser lo mismo). ?or lo tanto, laecuacin de elongaciones quedara

tsenA)t(x =

&, como sabemos que A / 1 mm & / + (de modo que / !/ *0rad$s), lasecuaciones de elongacin, -elocidad & aceleracin quedarn

!! s$cmt*0sen10dt)t(d-)t(a

s$cmt*0cos1dt

)t(dx)t(-

cmt*0sen1,0)t(x

==

==

=

con lo que el problema estara resuelto. Apro-ecaremos, sin embargo, paramostrar de nue-o que las ecuaciones de elongacin pueden escribirseindistintamente empleando senos o cosenos en su formulacin" en efecto, siescribi6semos la elongacin del E.A.S. como

)t(cosA)t(x 0+=

entonces las condiciones iniciales de elongacin nula & -elocidad positi-a al tiempot / 0 s requieren que 0tome el -alor 9$! rad (lo cual no es sino un modo de decir

que la funcin seno est retrasada $! rad respecto a la funcin coseno). Darespuesta alternati-a al problema sera, entonces"

!! s$cm)!

t*0(cos10dt

)t(d-)t(a

s$cm)!

t*0(sen1dt

)t(dx)t(-

cm)!

t*0(cos1,0)t(x

==

==

=

donde, como es fcil de comprobar, los -alores que se obtienen para cualquier -alorde tiempo, en particular para el instante inicial t / 0 s, son exactamente los mismos

que en las ecuaciones escritas ms arriba.

16) :omo se sabe, la fuera que debe estar aplicada sobre un cuerpo cuando estedesarrolla un E.A.S. es del tipo elstico

xT< =

(*)

donde x es la distancia del cuerpo al centro de las oscilaciones & T la constanteelstica correspondiente, relacionada con la masa m del cuerpo & la pulsacin del

mo-imiento segCn


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!mT =

%n nuestro caso, &a que la frecuencia es conocida, es inmediato obtener "

s$rad+0! ==

&, consiguientemente,

m$U7,*!)+0(.0+,0mT !! ===

@a que sabemos tambi6n el -alor de la mxima elongacin (amplitud) A / !mm, podemos simplemente sustituir en (*), dando a x el mximo -alor posible &obteniendo el mximo -alor de la fuera sobre el cuerpo. ?rescindimos, en todocaso, del signo de la fuera & respondemos con su mximo -alor absoluto"

U7,!m*0.!.m$U7,*!< mx ==

17)%n este caso conocemos directamente la constante elstica de recuperacin delresorte

T / ! U$m

& la masa del cuerpo, m / 0,01 Vg, de forma que resultar sencillo obtener ,

recordando que T / m2"

s$rad+01,0

!

m

T===

con lo cual, & conociendo la elongacin A / *0 cm, es inmediato escribir la ecuacinpedida"

x(t) / *0 sen (+t F 0)

donde la constante de fase inicial, 0, estara indeterminada por falta de datosacerca de las condiciones iniciales de la oscilacin.


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18) a& que empear por explicar cmo suspendemos el cuerpo del resorte" locolocamos en el extremo libre &, su=etndolo con la mano, lo de=amos ba=arsua-emente e impidiendo que gane -elocidad, asta que se alcana la situacin deequilibrio en la que el peso del cuerpo &

la fuera con que el resorte tira de 6lacia arriba estn igualadas. Da guramuestra cmo el resorte est alargado!0 cm & cul debe ser el equilibrio defueras# al escribir esa igualdad tomamosel -alor absoluto de ambas fueras paraexigir que midan lo mismo. :uando elsistema se abandona en esa posicin,queda en equilibrio & el cuerpo en reposoasta que se deforme el resorte + cmms, como pide el enunciado. %ntoncesse establece el E.A.S. con amplitud de +cm & con el centro de oscilaciones en el

lugar en que se alcan el equilibrioentre peso & fuera de recuperacin delresorte (no en el que corresponde a la longitud natural del muelle). %l equilibrio defueras antes de introducir la deformacin de + cm es"

mgxT =

de donde podemos obtener el -alor de T"

m$U*+!,0

*0.,0

x

gmT ===

&, con T, es sencillo allar el perodo de las oscilaciones"

s12,0*+

,0!

T

m!' ===

?or otro lado, la mxima -elocidad en un E.A.S. se alcana en el centro de lasoscilaciones, como sabemos bien, & su -alor es 3 A. ?or tanto"

s$cm,+12,0

!+

'

!AA-mx =

=

==

1)Si se emplean s en realiar *0 oscilaciones, el perodo ' ser

s,0*0

' ==

?or otro lado, recordemos

T

m!' =

donde conoceramos ' / 0, s & tambi6n m / 0,!+ Vg. ?or tanto, es inmediatoobtener T"

m$U!,!7,0

!+,0.

'

mT !

!

!

!

=

=

=


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?ara responder a la segunda cuestin podemos referirnos a la gura delproblema anterior, &a que se trata exactamente de la misma situacin. ?odemosutiliar de nue-o

mgxT =

lo que dara esta -e

cm*!,2m*0.*!,2m$U!,!7

U+,!

T

gmx ! ====

de manera que la longitud del resorte con el cuerpo suspendido ser la suma de lalongitud normal ms el alargamiento

0 cm F 2,*! cm / 2,*! cm

2!) :uando nos dicen que desde la di-isin 0 U asta la di-isin !0 U a& unadistancia de *0 cm nos estn proporcionando la constante T del resorte. %n efecto,sabemos que un alargamiento del resorte de -alor *0 cm corresponde a una fueradeformante de !0 U. :omo la fuera < que deforma el resorte (W) & la deformacin xresultante estn relacionadas segCn

xT


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masa m en reposo sobre el resorte & se obser-a que 6ste se acorta cm. Siempu=amos ligeramente el cuerpo acia aba=o & lo soltamos, 4cul ser lafrecuencia de las oscilaciones 4& si la masa del cuerpo fuese !m

Se trata de la misma situacin discutidaen los problemas anteriores *1 & *2. :omo enellos, al colocar el cuerpo de masa m sobre elresorte se alcana un equilibrio entre dos fuerasque actCan sobre el cuerpo" su peso mg & lafuera de recuperacin del resorte, proporcionala la deformacin del mismo. %l equilibrio requiereque

E x mg =

donde, a pesar de que no conocemos la masa m del cuerpo, siempre podemos obXtener el cociente m$T, que es en realidad lo que nos interesa, como -eremos

enseguida. Sera"

Um.Vg*0.

*0

0,0

T

m ==

ecordemos aora que

T

m!' =

(*)

para comprender cmo, efecti-amente, no se trata tanto de conocer m o T, sinoms bien su cociente. %l perodo de las oscilaciones sera

s2,0*0.!T

m!' ===

&, por tanto, la frecuencia es

0+,!2,0

*

'

*===

Da Cltima cuestin se reere al cambio que producira en la frecuencia doblar

el -alor de la masa. Da respuesta es simple" en (*), el -alor del radicando sera el

doble, !m$T en lugar de m$T# por tanto, el nue-o perodo sera

!

/ *,* -eces

ma&or. Da frecuencia, in-ersa del perodo, se -ol-era *,* -eces ms pequeKa, de

forma que su nue-o -alor sera

+,*!0+,! ==

22)%stamos ante una oscilacin que tiene lugar en el e=e >, controlada por unafuera elstica < / 9 Tx, con la constante T / U$m. ;e acuerdo con esta ecuacin,el centro de las oscilaciones es el origen mismo, x / 0, puesto que a es donde lafuera sobre el m-il resulta ser nula. Da gura de la iquierda muestra la situacininicial descrita en el enunciado,


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donde, al tratarse del centro de las oscilaciones, la -elocidad del m-il toma su-alor mximo que, como sabemos, es -mx/ A. %n consecuencia, podemos escribiruna primera ecuacin

== As$m*0-mx(*)

en la que no conocemos A ni , de forma que precisaremos una segunda ecuacin

para obtener respuestas" la conseguiremos recordando que T / m!, de forma que,con lo -alores de T & de m del enunciado, es inmediato allar el -alor de lapulsacin "

s$rad!*0!000!,0mT ====

-alor que, lle-ado a (*), nos dar la amplitud de la oscilacin, que es exactamentelo que se demanda en el enunciado" la mxima distancia a la que el m-il se ale=adel origen, es decir, la mxima elongacin. Da situacin en ese momento se reYe=aen la gura de la dereca, en la que el m-il est en el extremo de su tra&ectoria,con -elocidad - / 0 m$s & posicin x / A. %l -alor de la amplitud pedida resulta ser

m707,0m!

!

srad!*0

sm*0

A ===

& el problema estara eco. %n realidad, un enfoque diferente al que se a seguidoaqu ubiera sido probablemente ms adecuado a este e=ercicio" estamos ante unclaro e=emplo de con-ersin de energa cin6tica en energa potencial elstica.

Problemas Resueltos Sobre Movimiento Armónico Simple_1Bach FyQ(1)

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