Problemas Resueltos Transformadores

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADORES

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Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico

Bucaramanga – Colombia 2010

1

Problema 1. Un transformador monofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular:

a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga? b) Flujo máximo c) Numero de espiras del arrollamiento primario?

a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son: S = 100 Kva = 100000 va E1 = 3000 v E2 = 220 V I1 = Corriente del primario en amperios I2 = Corriente del secundario en amperios S = V1 * A1

Amp. 33,33 v3000 va100000

1VS 1A ===

S = V2 * A2

Amp. 454,54 v220 va100000

2VS 2A ===

Flujo máximo, como el transformador es ideal N2 = 100 espiras en el secundario F = 50 Hz E2 = 220 V E2 = 4,44 f * N2 *Ømax

Weber3-10 * 9,9 22200220

50 * 100 * 4,44 220

f * 2N * 4,442E

max ====φ

Numero de espiras del arrollamiento primario? N2 = 100 espiras en el secundario E1 = 3000 v E2 = 220 V

2N1N

2E1E=

esp 1001N

v220 v3000=

esp 1001N

13,63=

N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras Problema 2. Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.

2

Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm.

( )1110

2*2max * 2f * 2,2

fΔ

=β

P

Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz. ( )

kgwatios 0,673

1110

1225,0*810 *2500* 2,2 1110

235,0*210000 * 250 * 2,2 f ===P

Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.

( )kg

watios 0,97 1110

1225,0*810 *3600* 2,2 1110

235,0*210000 * 260 * 2,2 f ===P

Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault. Problema 3. Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo magnético?. Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima en Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n

Ph = 0,002 * 50 * 1,22

Ph = 0,144 watios/kg 0,144 watios 1 kg X 3 kg X = 3 * 0,144 watios X = 0,432 watios Problema 4. Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9 Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002 Calcular la potencia perdida en el hierro? Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg. F = frecuencia en Hz. = 50 Hz.

3

βmaz = Inducción máxima en Gauss = 900 Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm

( )1110

2*2max * 2f * 2,2

fΔ

=β

P

( )kg

watios 0,545 1110

05457375000 1110

1225,0*81000000 *2500* 2,2 1110

235,0*29000 * 250 * 2,2 f ====P

Las perdidas totales por corrientes de Foucault son: 0,545 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,545 watios X = 6,54 watios Se halla la potencia perdida por histéresis Formula de Steinmetz Kh = Coeficiente de cada material = 0,002 F = frecuencia en Hz. = 50 Hz βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg. n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss) n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss) Ph = Kh * f * (βmax)n

Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6

Ph = 0,002 * 50 * 0,84486 Ph = 0,0844 watios/kg Las perdidas totales por histéresis son: 0,0844 watios 1 kg X 12 kg X = 12 * 0,0844 watios X = 1,01 watios Perdidas totales en el núcleo son: PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis PFE = 6,54 watios + 1,01 watios PFE = 7,55 watios Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en vacío. Problema 5 Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2 cuando se aplica una tensión nominal de 120 voltios en bornes del primario, calcular

4

a) Las pérdidas por histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de (fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75

b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz.

c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz.

Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios

2metro

weber 200 v120max B =

Vnominal = 120 voltios (primario) E = k f Bmax

v120max B hz 60fk v110max B hz 60fk

v120E v110E

=

v120max B v110max B

v120E v110E

=

2m

weber 200

v110max B

v120 v110=

2m

weber 200

v110max B 9166,0 =

0,9166 x 2metro


2metro

weber 33,183 v110max B =

Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis Ph = Kh * f * (βmax)n

Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75

2metro


5

2metro

weber 33,183 v110max B =

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n

( )( )

( )( ) 75,1

v120max B hz 60fkh

75,1 v110max B hz 60f hk

v120hP v110hP

=

( )( )

( )( ) 75,1

v120max B

75,1 v110max B

v120hP v110hP

=

( )

59,106369133,95

watios200 v110hP

=

( ) 0,858 watios200

v110hP=

Ph 110 v = 200 watios. X 0,858 Ph 110 v = 171,74 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo

( ) v2 2f 2maxB fk fP Δ=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) v2 2

v120max B 260f fk

v2 2 v110max B 2

60f fk

v120fP v110fP

Δ

Δ=

( ) ( )( ) 2200

2183,33 watios100

v110fP=

( ) 40000

33609,88 watios100

v110fP=

( ) 0,84 watios100

v110fP=

Pf (110 v) = 100 watios x 0,84 Pf (110 v) = 84 watios Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz. Datos f = 50 hz Ph = pérdidas por histéresis.

6

Pf = corrientes parasitas (Foucault)

2metro



hz 60max B hz 60fk hz 50max B hz 50fk

v120E v120E

=

200 x 60hz 50max B x 50

v120E v120E

=

12000hz 50max B x 50

v120 v120=

1200hz 50max B x 5

1=

hz 50max B x 5 1200 = 1200 = 5 x Bmax 50 hz BBmax 50 hz = 240 weber/m2

Ph = Kh * f * (βmax)n

( )( )

( )( ) 75,1

hz 60max B hz 60fkh

75,1hz 50max B hz 50f hk

hz 60hPhz 50hP

=

( )( )

( )( ) 75,1200 x 60

75,1240 x 50 hz 60hPhz 50hP

=

Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.

( )( )

1,1465 63819,5473171.1

10636,59 x 614634,22 x 5

hz 60hPhz 50hP

===

( ) 1,1465 watios200

hz 50hP=

Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465 Ph 50 hz = 229,3 watios Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo B

7

Bmax 50 hz = 240 weber/m2

2metro

weber 200hz 60max B =


( )( )

( ) ( )( ) ( ) v2 2

hz 50max B 250f fk

v2 2hz 60max B 2

60f fk

hz 50fPhz 60fP

Δ

Δ=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 2

hz 50max B 250f

2hz 60max B 2

60f

hz 50fPhz 60fP

=

( )( )

( )( ) ( ) 2240 250

2200 260 hz 50fPhz 60fP

=

( )( )

( )( ) 14400

14400 576 x 25400 x 36

57600 x 2500 40000 x 3600

hz 50fPhz 60fP

===

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios

( )( )

1 hz 50fPhz 60fP

=

Pf (60 hz) = 100 watios x 1 Pf (60 hz) = 100 watios La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz. Datos f = 60 hz Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios. Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios

2metro



v30max B hz 30fk v120max B hz 60fk

v60E v120E

=

v30max B hz 30f v120max B hz 60f

v60E v120E

=

v30max B x 30200 x 60

60120

=

v30max B x 3012000 2 =

8

6012000

2x3012000 v30max B ==

2metro



Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. n = 1,75

2metro


2metro


Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n

( )( )

( )( ) 75,1

v120max B hz 60fkh

75,1 v30max B hz 30f hk

v120hP v30hP

=

( )( )

( )( ) 75,1

v120max B hz 60f

75,1 v30max B hz 30f

v120hP v30hP

=

( )( )

( )( ) 75,1200 hz 60f

75,1200 hz 30f

v120hP v30hP

=

( )( ) hz 60f

hz 30f

v120hP v30hP

=

( )( )

0,5 60 30

v120hP v30hP

==

Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios. Ph 30 v = 200 watios. X 0,5 Ph 30 v = 100 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo

9


( )( )

( ) ( )( ) ( ) v2 2

v120max B 260f fk

v2 2 v30max B 2

30f fk

v120fP v30fP

Δ

Δ=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 2

v120max B 260f

2 v30max B 2

30f

v120fP v30fP

=

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios

2metro


2metro


( ) ( )( ) ( ) 2200 260

2200 230 100

v30fP=

( )( ) 260

230 100

v30fP=

( ) 3600

900 100

v30fP=

( ) 0,25 100

v30fP=

Pf (30 v) = 100 watios x 0,25 Pf (30 v) = 25 watios Problema 6. Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de 650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas Datos S = 50 Kva = 50000 va. 600 v /240 v, 25 hz perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios PCU a plena carga = 650 watios Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre Perdidas totales = 200 + 650 Perdidas totales = 850 watios E = k f Bmax

hz 60max B hz 60fk hz 25max B hz 25fk

v600E v600E

=

10

hz 60max B hz 60f hz 25max B hz 25f

1 =

hz 60max B x 60 hz 25max B x 25

1 =

hz 60max Bhz 25max B

2560

= Ecuación 1


Kh = coeficiente de histeresis, depende del material f = frecuencia en Hz. Ph = Kh * f * (βmax)n

( )( )

( )( )2hz 60max B hz 60fkh

2hz 25max B hz 25f hk

hz 60hPhz 25hP

=

( )( )

( )( )2hz 60max B hz 60f

2hz 25max B hz 25f

hz 60hPhz 25hP

=

( )( )

( )( )2hz 60max B x 60

2hz 25max B x 25

hz 60hPhz 25hP

=

( )( )

2


x 60 25

hz 60hPhz 25hP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Reemplazando la ecuación 1

( )( )

2

2560x

60 25

hz 60hPhz 25hP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )( )

( )24,2x 60 25

hz 60hPhz 25hP

=

( )( )

5,76x 60 25

hz 60hPhz 25hP

=

( )( )

2,4 hz 60hPhz 25hP

=

Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios

11

( )2,4

hz 60hP140

=

Ph 60 hz = 58,33 watios. Pf = perdidas por corriente de Foucault Kf = coeficiente de foucault f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del núcleo


( )( )

( ) ( )( ) ( ) v2 2

vhz 60max B 260f fk

v2 2hz 25max B 2

25f fk

hz 60fPhz 25fP

Δ

Δ=

( )( )

( ) ( )( ) ( ) 2

vhz 60max B 260f

2hz 25max B 2

25f

hz 60fPhz 25fP

=

( )( )

( )( ) 2

vhz 60max B x 260

2hz 25max B x 225

hz 60fPhz 25fP

=

( )( )

2


x 3600

625 hz 60fPhz 25fP

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


2560

= Ecuación 1

Reemplazando la ecuación 1

( )( )

2

2560 x 0,1736

hz 60fPhz 25fP

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )( )

( )24,2 x 0,1736 hz 60fPhz 25fP

=

( )( )

5,76 x 0,1736 hz 60fPhz 25fP

=

( )( )

1 hz 60fPhz 25fP

=

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33 Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios Las perdidas totales se mantienen constantes

12

Perdidas totales = 850 watios

Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre 850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre perdidas en el cobre = 850 − 118,33 perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios

( )( )

( )( ) 2

hz 60S C

2hz 25S C

hz 60CUPhz 25CUP

=

PCU a 25 hz = 650 watios S = 50 Kva

( )( ) 2

hz 60S

2hz 25S

67,731

650=

( ) ( ) 650

731,67 x 250 2hz 60S =

( ) ( ) 2814,11 650

731,67 x 2500 2hz 60S ==

( ) 2814,11 hz 60S = ( ) kva 53 hz 60S = Problema 7. Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los siguientes datos: Tensión del primario U1n 380 V Intensidad del primario I10 0,081 A Tensión del secundario U2n 125 V Potencia medida con vatímetro P10 2,2 W Resistencia del cobre RCU 2,4 Ω

La relación de transformación En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales

3,04 V 125V 380

2nU1nU

m ===

13

La potencia medida con el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las perdidas en el hierro. La potencia perdida en el cobre se puede hallar PCU = (I10)2 * RCU PCU = (0,081)2 * 2,4 PCU = 0,006561 * 2,4 PCU = 0,015 Watios Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis) La impedancia es:

Ω=== 4691,35 A 0,081

V 380 10I1nU

Z

La potencia aparente es: S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A S = 30,78 VA El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente

0,07147 30,78

2,2 S10P

cos ===ϕ

Problema 8. Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz. Ensayo en vacío 223 v, 287 watios. Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A. Hallar η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86 Kva ? ηmax, Sη maxηmax para cos λ = 0,8 IN1 = Corriente del primario

A 10,87 4600

50000 N1I ==

IN2 = Corriente del secundario

A 227,27 220

50000 N2I ==

( )20,986 x 287 2

223220 x 287

2

vacioVN1V

x vacio W feP =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )0,9732 x 287 feP =

14

P10 = 2,2 w

S = 30,78 VA

φ

Pfe (50 kva) = 279,32 watios

( )20,9157 x 620 2

11,8710,87 x 620

2

cortoIN1I

x corto W cuP =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )0,8386 x 620 cuP = Pcu (50 kva) = 519,93 watios

( )( )

( )( ) 2

kva 60S C

2kva 50S C

kva 60CUPkva 50CUP

=

( )( )( ) 260

250 kva 60cuP

519,93=

( )( )( ) 3600

2500 kva 60cuP

519,93=

( )( )

2500 3600 x 519,93 kva 60cu P =

( ) watios748,69 kva 60cu P = Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86

( ) ( ) hz 60cuP hz 50feP cos cos S kva 60η++

=φ

φS

748,69 279 86,0*50000 0,86 * 50000 kva 60η++

=

44027.6943000

748,69 279 43000 43000 kva 60η =++

=

0,97 kva 60η = η 60 kva = 97 %

( )( )hz 50cuP

hz 50feP

2

Smax S

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ η

( )( )

hz 50cuPhz 50feP

Smax S

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ η

( )( )

S * hz 50cuPhz 50feP

max S =η

kva 50 * 519279max S =η

kva 50 * 537,0max S =η kva 50 * 0,732 max S =η

kva 36,64 max S =η

15

ηmax para cos λ = 0,8

( ) hz 50feP 2 cos* max cos *max S maxη

+=

ληλη

S

279,32 * 2 8,0*36640 0,8 * 36640 maxη

+=

29870,6429312

558,64 29312 29312 maxη =

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0,98 maxη = % 98 maxη =

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Problemas Resueltos Transformadores

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