Problemas Sobre Integrales Dobles

8/13/2019 Problemas Sobre Integrales Dobles

1/17

UNI- FIE E MATEMTICAI II

PRCTICA DIRIGIDA3Integrales dobles

1. Determine

[xy]dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}

[xy]dxdy=2

0

21

xydxdy

=

20

ydy2

1

xdx= y2

2

2

0

x2

2

2

1=3

y= 2

y= 0

x= 1 x= 2

y

x

2. Evale

(|x| +y) dxdy , = {(x, y) | 1 x 2 , 0 y 2}

(

|x

|+y) dxdy=

2

0

2

0

(x+y)dx+0

1

(

x+y)dx dy

=

20

x2

2 +yx

2

0+

x

2

2 +yx

0

1

dy

=

20

3y+

52

dy=

3y2

2 +

5y2

2

0=11

y

x

y=2

y=0

x=-1 x= 2

1 2z=y-x z=x+y

3. Calcular

(|x|+

|yx|)dx

dy

, ={

(x

,y

)|

1x

2 , 0 y

2}

(|x| + |y x|) dxdy=2

0

2y

(2x y)dxdy+2

0

2x

(y)dydx+2

0

01

(y 2x)dxdy

=

20

(x2 xy)2y

dy+2

0

y2

2

2

x

dx+2

0

(xy x2)01

=

20

(4 2y)dy+2

0

2 x

2

2

dx+

20

(y+1)dy

= (4yy2)2

0+ 2y

x 3

6 2

0+

y2

2 +y

2

0=

323

CICLO 2011-3 1 Luighi A. Vitn Zorrilla


2/17


4. Calcular

xy2 +y

dxdy , = {(x, y) | 1 xy 2 , 0 x y 2}

xy

2+y

dxdy=

2

1

x

1x

xy

2+y

dydx+

2+1

2

2x

1x

xy

2+y

dydx+

3+1

2+1

2x

x2xy

2+y

dydx

=

2

1

xy3

3 +

y2

2

x

1x

dx+

2+1

2

xy3

3 +

y2

2

2x

1x

dx+

3+1

2+1

xy3

3 +

y2

2

2x

x2dx

=

2

1

x4

3 +

x2

2 +

56x2

dx+

2+1

2

236x2

dx

+

3+1

2+1

x

4

3 +2x3 5x2 +20x

3 4+ 14

3x2

dx =0.930153

y

x

y=2

x

y=1

x

y=x

y=x2

12

3

(1, 1)

(

2 + 1,

21)

(

3 + 1,

3 1)

(

2,

2)

5. Determinar

x2 +xy+2y2

dxdy , = {(x, y) | 1 x+y 2 , 0 y x 2}

x2 +xy +2y2

dxdy=

12 32

2+x1x

x2 +xy +2y2

dydx+

0 12

2+xx

x2 +xy +2y2

dydx+

10

2xx

x2 +xy +2y2

dydx

=

12 32

x2y+

x y2

2 +

2y3

3

2+x

1xdx+

0 12

x2y+

xy2

2 +

2y3

3

2+x

x

dx+1

0

x2y+

x y2

2 +

2y3

3

2x

x

dx

=

12 32

10x3

3 +10x2 +

23x2

+6

dx+0

12

8x2 +10x+

163

dx+

10

10x

3

3 +4x2 6x+16

3

dx=

234



3/17


y

x

y =1 x

y = 2 x

y = 2 + x

y = x

12

3

6. Calcular

x2 +xy+2y2

dxdy , =

(x, y) | y 1 x2 , 0 y x

x2 +xy +2y2

dxdy=

512

512

1x2x

x2 +xy +2y2

dydx

=

512

51

2

x2y+ x2

y2 +2

3

y31x2

x

dx

=

512

512

23

+x

2 x2 19

6 x3 +x4 +

x5

22

3x6

dx=2.728535

y

x

y=x

y=1x2

512

512



4/17


7. Determine

(x+y+ |x y|) dxdy , = (x, y) |x2 + |y| 1

(x+y+ |x y|) dxdy=

152

1

1x2x21

2ydydx+

512

152

1x2x

2ydydx+

512

152

xx21

2xdydx+

1

512

1x2x21

2xdydx

152

1

1x2x21

2ydydx=

152

1y2

1x2x21

dx =

152

1(0)dx=0

512

152

1x2x

2ydydx=

512

152

y21x2x

dx =

512

152

(1 3x2 +x4)dx= 0.8

512

152

xx21

2xdydx=

512

152

2xy|xx21dx=

512

152

(2x+2x2 2x3)dx= 0.314757

1

512

1x2x21

2xdydx=1

512

2xy|1x2x21dx=1

512

(4x 4x3)dx =0.381966

(x+y+ |x y|) dxdy=1.496723

y

x

y=x2 1

y=1x2

y=x

21

3

4

z=2y

z=2x

15

2

512

8. Determine

ex2y2 dxdy , =

(x, y) |x [0, 1] , y R+0

Analicemos los lmites de la regin : 0 x 1 yy 0.Cuando se efecta la transformacin a coordenadas polares:

0 r cos 1 0 r sec



5/17


ex2y2 dxdy=

er2rdrd=

2

0

sec 0

er2rdrd

=

20

12er

2sec 0

d=

20

12

e sec

2 1

d

= 12

2

0

e sec2 d+

14

y

xx = 1( 0 , 0 )

9. Encontrar

(|x+y| + |x y|) dxdy , = {(x, y) | |x| + |y| 2}

10

2yy

2xdxdy=1

0

x2

2yy

dy=1

0

(4 4y)dy=2

10

2xx

2ydydx=1

0

y22xx

dx =1

0

(4 4x)dx=2

01

x+2x

2ydydx=0

1y2

x+2x dx=0

1(4x+4)dx= 2

10

yy2

2xdxdy=1

0

x2yy2

dy=1

0

(4 4y)dy=2

01

yy2

2xdxdy=0

1x2

yy2 dy=0

1(4y+4)dy=2

01

x2x

2ydydx=0

1y2x2x dx =

01

(4x+4)dx =2

10

xx2

2ydydx=1

0

y2xx2

dx=1

0

(4 4x)dx =2

01

y+2y

2xdxdy=0

1x2

yy+2dy= 01

(4y+4)dy=2

(|x+y| + |x y|) dxdy=16

y

x

y =xy =x

y=x + 2

y=x2

y=2 x

y=x2

3 2

14

5

6 7

8

z=2y

z=2x

z=2y

z=2y

z=2x

10. Determine

1

(x2 +y2 +1)2dxdy , =

(x,y) |x [0, 1] , y R+0

1(x2 +y2 +1)2

dxdy=

0

10

1(x2 +y2 +1)2

dxdy

=

0

x

2(y2 +1)(x2 +y2 +1)+

1

2y2 +1

3 arctan xy2 +1

1

0

dy

=

0

1

2(y2 +1)2 +

1

2y2 +1

arctan 1y2 +1

3

dy

= l mb

y

4(y2 +1)+

y

2y2 +1

arctan 1y2 +1

+

2

4 arctan

y2

b

0

=

8

2

11. Determine

|x+y||x y| dxdy , = {(x,y) | |x+4| + |y+4| 1}



6/17


Realizamos una transformacin conveniente:

y x = u , y+x = v x= v u2

, y= v+u

2

J(u, v) =

12

12

12 12 = 12 |J(u, v)| =

1

2

|x+y||x y| dxdy=

12

vu2 +

v+u2

vu2 v+u2

dvdu= 121

1

79

|v||u| dvdu

=12

10

79

vu

dvdu+12

01

79

v

udvdu

= 12

10

1u

du7

9vdv+

12

01

1u

du7

9vdv

= 12

lm

0

1

1u

du7

9vdv+

12

l m

0

11u

du7

9vdv

= 12

l m0

ln |u||1v2

2

7

9+

12

l m0

ln |u||1v2

2

7

9

= 16

l m0

ln

esta integral diverge

y=x

y=

x

7y=x + 1

y=9 xy=x1

12

( 4,3)

( 5,4)

( 4,5)

( 3,4)

z=x + y

xy

z=x + y

yx

12. Evale1

0

10

xy

dxdy ,

xy

=

xy

xy

13. Encontrar el volumen encerrado por

z= 4 (x 1)2 (y 1)21= (x 1)2 + (y 1)2z= 5

Realizamos una adecuada transformacin:

x 1= r cos , y 1= r sen x= r cos +1, y= r sen +1

J(r, ) =cos r sen sen r cos

=r |J(u, v)| =rDe esta manera el volumen que se requiere encontrar se encuentra acotada por las superficies: z = 5 yz = 4 r2 y la regin sobrela cual se levanta el slido es: 0

r

1.



7/17


La integral quedara expresada de la siguiente manera:

20

10

5 (4 r2)

rdrd=

20

10

r+r3

drd

=20

r2

2 +

r4

4

10

=3

2

1

0

1

2

3

1

0

1

2

3

1

2

3

4

5

14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del slido al rotar la reginy =3x, y = x2 alrededor dey =4x

15. Demuestre que

E

f(x,y)dxdy

E

|f(x, y)| dxdy

16. Encontrar

|(x2 +y2 +1)4

dxdy , =

(x, y) |x2 +y2 16

Haciendo la transformacin a coordenadas polares laintegral queda expresada como:

20

4

1(r2 +1)4

rdrd=2 l mb

b4

1(r2 +1)4

rdr

=2l mb

16(r2 +1)3

b4

=

3(17)3

y

x

x 2 + y 2 = 1 6



8/17


17. Calcule

x2y2

dxdy , = {(x, y) | 1 xy 2 , y 4x , y x , x 0 , y 0}

Hacemos el cambio a coordenadas polares, as:

1 r2

sen cos 2 1sen cos r

2sen cos

4 arctan4

Por consiguiente la integral se expresara de las siguiente forma:

arctan44

2sen cos

1sen cos

r4 sen2 cos2 rdrd=arctan4

4

r6

6 sen2 cos2

2

sen cos

1sen cos

d

=

arctan44

212sen cos

d= 21

2 ln | tan |

arctan44

=21

2 ln 4

y

x

y = x

y = 4 x

y = 2

x

y =

1

x

18. Calcule

x2 +5y2

dxdy , =

(x,y) | 0 y , 4 x2 +y2 16

Haciendo el cambio a coordenadas polares:

x2 + 5y2 =r2 + 4r2 sen2 = r2(1 + 4sen2 ) =r2(32cos2)La integral del volumen sera:

0

42

r2(3 2cos2)rdrd = r3

3

4

2(3 2sen cos )|0 =56

y

x

r = 4

r = 2

= = 0



9/17


19. Determine el centroide de una lmina delgada de densidad uniforme si ocupa la regin =

(x, y) | 0 x y , x2 +y2 1

y

x

=

4

r = 1

= 0

El centroide de una regin esta determinado por:

x=

A

xdA

A , y=

A

ydA

A

Calculando el rea de la regin:

A

dA=A

dxdy=

2

20

1x2x

dydx=

2

20

(

1 x2 x)dx

=

1

2

arcsen x+x

1 x2

x2

2

2

0 =

8

Calculando la posicin del centroide en el eje x: x

A

xdxdy=

2

20

1x2x

xdydx=

2

20

x(

1 x2 x)dx

=13

(

1 x23 +x3)

2

2

0=

2 26

x=8 42

3

Calculando la posicin del centroide en el eje y: y

A

ydxdy=

2

20

1x2x

ydydx =

2

20

12 x2

dx

=

12x x

3

3

22

0=

2

6

y=4

23

20. Calcular

x2 +y2

52 dxdy , =

(x, y) |x2 +y2 1 , x+y 1

Dividimos la regin en dos e integramos una de ellas mediante un cambio a coordenadas polares:

2

2

1

0

r5.rdrd= r7

71

0

3

2 =

3

14



10/17


La otra regin mediante con coordenadas rectangulares:

10

1x0

x2 +y2

52 dydx

21. Calcule mediante una integral doble el rea de la regin limitada pory2 =2x , 2x+y= 20 , y= 0

La integral del rea encerrada por las curvas est dadapor la integral:

A

dxdy=4

0

20y2

y22

dxdy=4

0

10 y

2 y

2

2

dy

=

10y y2

4 y3

6

4

0 =76

3

y

x

2 x = y 2

2 x = 2 0

( 8 , 4 )

( 5 , 1 2 . 5 )

22. Cambiar el orden de itegracin de las siguientes integrales:

10

2xx

f(x, y)dydx

10

2xx

f(x,y)dydx=2

1

2y0

f(x,y)dxdy+1

0

y0

f(x,y)dxdy

11

1|x||x|1

f(x, y)dydx

11

1|x||x|1

f(x,y)dydx=1

1

1|y||y|1

f(x,y)dxdy=1

0

1yy1

f(x,y)dxdy+0

1

1+yy1

f(x,y)dxdy

20

2cos+sen

0

f(rcos, rsen )drd

0

2r| cos |

0

f(rcos, rsen )drd

23. Determine el centroide de una lmina delgada , donde: =

(x, y) | |x| +y2 1

El centroide de una regin esta determinado por:

x=

A

xdA

A , y=

A

ydA

A


A

dA=A

dxdy=1

1

1y2y21

dxdy=1

1(2 2y2)dy

=

2y23y311 = 83



11/17



A

xdxdy=1

1

1y2y2

1

xdxdy=1

1

(0)dy=0

x=0


A

ydxdy=1

1

1y2y21

ydxdy=1

1

2y 2y3

dy

=

y y

4

2

1

1=0

y=0

y

x

x=1 y2

x=y2 1

(0, 1)

(1, 0)

(0,1)

(1, 0)

24. Mediante un cambio de variable, encontrar

(xy+x+5y) dxdy , = (x, y) |0

y

2 ,

1

y2

x

y2

Hacemos un cambio de variable conveniente:

x+y2 =u , y= v x= u v2 , y= v

J(r, ) =1 2v0 1

=1 |J(u, v)| =1La integral quedara expresada de la siguiente manera:

(xy+x+5y) dxdy=

(xy+x+5y) dudv=0

1

20

uv+5v+u v2 v3

dvdu

=

0

1 uv2

2

+5v2

2

+uv

v3

3

v4

4

2

0

du=0

1 4u+

19

3du

=

2u2 +

193u

01 =13

3

y

x

x = y 2

x = 1 y 2

y = 2

y = 0



12/17


25. Encuentre el volumen del slido encerrado porx+y+z= 4 , z= 6 x2 y2Encontremos la proyeccin de la curva de interseccin de las dos superficies sobre el plano xy:

z=4

x

y=6

x2

y2

x2 x+y2 y=2x 1

2

2+

y1

2

2=

52

De lo anterior podemos concluir que la curva se proyecta como una circunferencia con centro trasladado al punto(12 ,12). Es por ello

que se requiere hacer una transformacin de coordenadas.

x+y = u , x y+1= v x= v u+12

, y= u+v+1

2

J(u, v) = 12 121

212

= 12 |J(u, v)| = 12As la integral quedara expresada como:

12

6 x2 y2 4+x+y

dudv= 1

2

52 v2

2 u2

2

dudv

La proyeccin de la curva de interseccin quedara como:

x 1

2

2+

y1

2

2=

52

u2 +v2 =5

Por la forma que adopta la expresin consideramos conveniente hacer una transformacin a coordenadas polares:

12

52 v

2

2 u

2

2

dudv=

14

20

5

0

(5 r2)rdrd

=

2

5

0

(5r r3

)dr= 5r2

2 r4

4

2

0 =2

42

02

46

5

0

5

10

10

8

6

4

2

0

2

4

6

26. Encuentre el volumen del slido encerrado por(x2 y2 +z2)2 =x2 +y2 +z2



13/17


27. Calcular

senx2 +y2dxdy , =

(x, y) |2 x2 +y2 42 , x 0 , y 0

Hacemos la transformacin a coordenadas polares,quedando la integral expresada de la siguiente mane-ra:

sen

x2 +y2dxdy=

sen rrdrd =

2

0

2

r sen rdrd

=

2

0

(sen r r cos r)|2 d=

2(3) = 3

22

y

x

r = r = 2

=

2

= 0

28. Encontrar

ex2y2xy dxdy , = {(x, y) |x+y 2 , x 0 , y 0}

Al analizar la funcin podemos notar que no est definida para x = y , sin embargo al restringir la regin , retirando este conjuntode puntos del dominio, se aprecia que no afecta en gran medida al resultado de la integral, permitiendo ignorar esta discontinuidaden el clculo de la misma.

As la integral doble sera:

ex2y2xy dxdy=

20

2x0

ex+ydydx=2

0

exey|2x0 dx=2

0

e2 ex

dx

=e2x ex

2

0=e2 +1

29. Calcular el rea acotada por las curvasxy= 1 , xy = 2 , xy3 =1 , xy3 =2

La integral que expresa el rea de la regin acotada por las curvas indicadas es:

dxdy=

2

1

2y31y

dxdy+1

2

2

2y

1y3

dxdy

=

2

1

2y3

1y

dy+

1

22

2y 1

y3

dy

=

4y2

lny

2

1+

2 lny+

2y2

1

2

2

=3+12

ln 2

30. Calcular

e2x2+xyy2

x+y dxdy , = {(x, y) | 0 2x y e , 0 x+y }

Tomamos en consideracin que el dominio sobre el cual se requiere encontrar la integral no es continuo, mas la ausencia de algunospuntos del mismo no afectan considerablemente al resultado, de talmanera que no se toma en cuenta la discontinuidad para efectuarlas operaciones y calcular la integral.Hacemos un cambio de variable adecuado:

2x y= u , x+1= v x= u+v3

, y=2v u

3

J(u, v) = 13 13 13 23

= 13 |J(u, v)| = 13La integral expresada en funcin de las nuevas variables es:

e

2x2+xyy2x+y

dxdy=1

3

e

0

0

eu

dvdu=1

3

e

0

eu

du

0

eu

du=

3 (ee

1)



14/17


31. Calcular

(x+y+1) dxdy , =

(x,y) | x

2

a2+

y2

b2 1

Efectuamos un cambio de variable adecuado:x= ar cos , y= br sen

J(r, ) =a cos ar sen b sen b cos

=abr |J(u, v)| = abrLuego la integral quedara expresada como:

(x+y+1) dxdy=ab20

10

r(ar cos +b sen +1)drd

=ab

20

ar3

3 cos +b

r3

3 sen +

r2

2

1

0d

=ab

20

a

3cos +

b

3sen +

12

d

= aba3

sen b3

cos + 2

20

=ab

32. Calcular

e(xy)2

(x+y)2 +11

dxdy. Calcula integral primero sobre:

= {(x, y) |x [a, a], y [b, b]} y luego tomar lmites33. Hallar el volumen de interseccin de los cilindros x2 +z2 = a2 yy2 +z2 = a2, siendo a > 0.

Tomamos la parte de la interseccin de los dos cilindros que a la vez se encuentra en el primer octante ( x0 ,y0 y z0) querepresentara la octava parte del volumen total de la interseccin.Esta seccin del volumen est dividido por el plano x = yen dos zonas cuyos volmenes son iguales, de tal forma que solo seranecesario calcular uno de ellas.

f(x,y)dxdy=a

0

x0

a2 x2dxdy= a

0

a2 x2xdx= 1

3

a2 x23

a0

= a3

3

VolumenT= 8

2

f(x,y)dxdy

= 16

3 a3

34. Demostrar

21

xx

sen

x

2y

dxdy+

42

2x

sen

x

2y

dxdy=

4(+2)

3

35. Hallar el centroide de la reginEen el primer cuadrante limitada por la parbolay2 =4ax, el ejexy el lado recto de esta parbola(y 0).El centroide de una regin esta determinado por:

x=

A

xdA

A , y=

A

ydA

A


A

dA=A

dxdy=2a

0

ay24a

dxdy=2a

0

a y

2

4a

dy

=

ay y

3

12a

2a

0=

43a2



15/17



A

xdxdy=2a

0

ay2

4a

xdxdy=2a

0

x2

2

a

y24a

dy=12

2a0

a2 y

4

16a2

dy

=12

a2y y

5

80a2

2a

0=

45a3

x=35a


A

ydxdy=2a

0

ay24a

ydxdy=2a

0

y

a y

2

4a

dy=

2a0

ay y

3

4a

dy

=

a

2y2 y

4

16a

2a

0=a3

y= 34 a

36. Hallar el volumen de la porcin de la esfera x2 +y2 +z2 = a2, (a > 0), que se encuentra dentro del cilindror = a sen .

Haciendo el cambio a coordenadas polares se obtiene:

rdrd=

0

a sen 0

a2 r2rdrd =

0

13

a2 r23

a sen 0

d

= 13

0

a3| cos3 | a3

d

= a3

3

2

0

cos3 d+

2

cos3 d

0

d

= a

3

3

sen sen

3

3

2

0

sen sen

3

3

2

|0

= a3

9(3 4)

VolumenT=2

rdrd=2a3

9 (3 4)

37. Determinar el valor extremal de la funcional:

J[y] =

10

xy+y2

dx, y(0) = 0 , y(1) = 2

Encontramos los valores necesarios para la ecuacin de Euler:

Fx = y , Fy = 2y , Fy = x , Fyx = 1 , Fyy = 0 , Fyy =0

Reemplazando en la ecuacin de Euler se obtiene como unica solucin:

y=12

Sin embargo esta funcin no cumple con las condiciones de frontera de la funcional, por lo tanto sta no tiene valores extremales.

38. Determine la curva cuya longitud sea l, pase por los puntos (1, 0)y(5, 8)y determine la mnima rea con el eje x.

39. Encontrar el valor de la integral:

|x2 y| +x2 dxdy , = {(x, y) | |x| + |y| 1}



16/17


352

0

1yy

(2x2 y)dxdy=35

20

23x3 xy

1yy

dy

=

352

0

23 3y+3y2 2

3y3 +

yy

3

dy

=0.099999

352

0

yy1

(2x2 y)dxdy=35

20

23x3 xy

y

y1dy

=

352

0

23

+ y y2 23y3 +

yy

3

dy

=0.317491

01

y+1y1

(2x2 y)dxdy= 01

23x3 xy

y+1y1 dy

=

01

43y3 +2y2 +4y

dy

=1,666666

512

0

1xx2

ydxdy=

512

0

y2

2

1x

x2dy

=

512

0

12

1 2x+x2 x4

dy=

0.1483610

152

x+1x2

ydxdy=0

152

y2

2

x+1

x2dy

=

015

2

12

1+2x+x2 x4

dy=

0.148361

|x2 y| +x2

dxdy=2.380878



17/17


y

x

y =1 x

x

y =1 + xy =1 x

y =1 + x

y =x2

1

23

5

4

z=y

z=2x2 y

40. Determine el calor de la siguiente integral cambiando el orden de integracin:

22

x2+1|x|

x+y2

dydx

22

x2+1|x|

f(x,y)dydx=

23

0

yy

f(x,y)dxdy+2

23

y2y2

f(x,y)dxdy23

0

2y22

f(x,y)dxdy 2

23

y2

f(x,y)dxdy

23

0

y

y x+y2 dxdy=

23

0

x2

2 +y2x

y

y

dy=

23

0

2y3dy = 881

223

y2y2

x+y2

dxdy=

223

x2

2 +y2x

y

2y2dy=

223

y3 + y

2

2 +4y 2

dy=

169

23

0

2y22

x+y2

dxdy=

23

0

x2

2 +y2x

2y2

2dy=

23

0

2y3 +2y2 4y

dy= 16

27

223

y2

x+y2

dxdy=

223

x2

2 +y2x

y

2dy=

223

y3 +5y

2

2 y

2

dy=

12881

22

x2+1|x|

x+y2

dydx=

89


Problemas Sobre Integrales Dobles

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