Problemas solucionados logica matematica
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SOLUCIONARIO INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA & TEORÍA DE CONJUNTOS CON NOTAS DE CLASE Por D. OSPINA M Estudiante de Matemáticas UNIVERSIDAD DE ANTIOQUÍA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES INSTITUTO DE MATEMÁTICAS 2013
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solucionario del libro de introduccion ala logica matematica de diego alejandro mejia universidad de antioquia
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SOLUCIONARIO
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA&
TEORÍA DE CONJUNTOS
CON NOTAS DE CLASE
PorD. OSPINA M
Estudiante de Matemáticas
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUÍA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
2013
ÍNDICE GENERAL
1.1 Ejercicio.Cuando A⇔B es falsa, ¿Que se puede decir sobre el valor de verdad de lassiguientes F.S.?
(a) A∧B (b) A∨B (c) A⇒B (d) (A∧C)⇔ (B ∧C)↓ ↓ ↓ ↓F V F no es V ni F
1.2 Ejercicio.Determine si las siguientes formas sentenciales son tautologias por el metodo delejemplo 1.7 o por tablas de verdad.
(a) ((A⇒B)⇒B)⇒B
A B A⇒B (A⇒B)⇒B ((A⇒B)⇒B)⇒B
vvff
vfvf
vfvv
vvvf
vfvv
⇒no es contradicciónni tautología
(b) A⇒ (B⇒ (B⇒A)) (c) ((A⇒B)⇒A)⇒A
↓ l ↓ l ↓ l ↓v f v f v f f
↓ l ↓ l ↓ l ↓v f f v f f f
tautología tautología
(d) ((B⇒C)⇒ (A⇒B))⇒ (A⇒B) (e) (A∨¬(B ∧C))⇒ ((A⇔B)∨B)
↓ l ↓ l ↓ l ↓ l ↓ l ↓v f f v v f f f v f f
↓ l ↓ l ↓ l ↓ l ↓ l ↓v v v f v f v f f f f
tautología tautologia
(f) (A⇔B)⇔ (A⇔ (B⇔A)) (g) (A⇒B)∨ (B⇒A)
↓ l ↓ l ↓ l ↓ l ↓v f f f v v v v v
↓ l ↓ l ↓ l ↓v f f f v f f
tautología tautología
(h) (¬(A⇒B))⇒A
↓ l ↓ l ↓v f f f f
tautología
4
1.3 Ejercicio.
(a) ⊢L ¬B ⇒ (B ⇒ C)
1. ¬B⇒ (¬B ∨C) (A.2)2. ¬B⇒ (¬B⇒C) def⇒
(b) ⊢L C ⇒ (B ⇒ C)
1. C⇒ (¬B ∨C) (L.2)2. C⇒ (B⇒C) def⇒
(c) B ⇒ C ⊢L(B ∨ D) ⇒ (C ∨ D)
1. B⇒C (hip)2. (B⇒C)⇒ (D ∨B)⇒ (D∨C) (A.4)3. (D ∨B)⇒ (D ∨C) (MP)4. (B ∨D)⇒ (D ∨B) (A.3)5. (B ∨D)⇒ (D ∨C) 3,4(L.1)6. (D ∨C)⇒ (C ∨D) (A.3)7. (B ∨D)⇒ (C ∨D) 5,6(L.1)
(d) ⊢L(C ⇒ D) ⇒ [(B ⇒ C) ⇒ (B ⇒ D)]
1. (B⇒C)⇒ [(¬B ∨C)⇒ (¬B ∨D)] (A.4)2. (B⇒C)⇒ [(B⇒C)⇒ (B⇒D)] def⇒
(e) B ⇒ C ⊢L (C ⇒ D) ⇒ (B ⇒ D) « LEMA 8 »
1. B⇒C (hip)2. ¬C⇒¬B (L.7)3. (¬C⇒¬B)⇒ [(D ∨¬C)⇒ (D ∨¬B)] (A.4)4. [(D∨¬C)⇒ (D∨¬B)] (M.P)5. (¬C ∨D)⇒ (D ∨¬C) (A.3)6. (¬C ∨D)⇒ (D ∨¬B) 4,5(L.1)7. (D ∨¬B)⇒ (¬B ∨D) (A.3)8. (¬C ∨D)⇒ (¬B ∨D) 6,7(L.1)8. (C⇒D)⇒ (B⇒D) def⇒
(f) B ⇒ D, ¬B ⇒ D⊢L D
1. B⇒D (hip)2. ¬B⇒D (hip)3. B ∨¬B (L.5)4. D 1,2,3(L.9)
5
1.4 Ejercicio.
(a) ⊢L [B ∨ (C ∨ D)] ⇒ [(C ∨ (B ∨ D)) ∨ B]
1. D⇒ (B ∨D) (L.2)2. [D⇒ (B ∨D)]⇒ (C ∨D)⇒ [C ∨ (B ∨D)] (A.4)3. [(C ∨D)⇒ (C ∨ (B ∨D))] 1,2(M.P)4. [(C ∨D)⇒ (C ∨ (B ∨D))]⇒ [(B ∨ (C ∨D))⇒ (B ∨ (C ∨ (B ∨D)))] 3(A.4)5. [(B ∨ (C ∨D))⇒ (B ∨ (C ∨ (B ∨D)))] 3,4(M.P)6. [B ∨ (C ∨ (B ∨D))]⇒ [(C ∨ (B ∨D))∨B] 5(A.3)7. [B ∨ (C ∨D)]⇒ [(C ∨ (B ∨D))∨B] 5,6(L.1)
(b) ⊢L[(C ∨ (B ∨ D)) ∨ B] ⇒ [C ∨ (B ∨ D)]
1. B⇒ (B ∨D) (A.1)2. [B⇒ (B ∨D)]⇒ [(C ∨B)⇒ (C ∨ (B ∨D))] 1(A.4)3. (C ∨B)⇒ (C ∨ (B ∨D)) 1,2(M.P)4. B⇒ (C ∨ (B ∨D)) 1,3(L.1)5. [B⇒ (C ∨ (B∨D))]⇒ [(C ∨ (B∨D)∨B)⇒ [((C ∨ (B∨D)))∨ (C ∨ (B∨D))]] (A.4)6. [(C ∨ (B ∨D)∨B)⇒ [((C ∨ (B ∨D)))∨ (C ∨ (B ∨D))]] 4.5(M.P)7. [((C ∨ (B ∨D)))∨ (C ∨ (B ∨D))]⇒ (C ∨ (B ∨D)) (A.1)8. (C ∨ (B ∨D)∨B)⇒ (C ∨ (B ∨D)) 6,7(L.1)
(c) ⊢L(B ∨ (C ∨ D)) ⇒ (C ∨ (B ∨ D))
1. B⇒ (B ∨D) (A.1)2. (B⇒ (B ∨D))⇒ [(C ∨B)⇒ (C ∨ (B ∨D)] (A.4)3. (C ∨B)⇒ (C ∨ (B ∨D)) 1,2(M.P)4. B⇒ (C ∨B) (L.2)5. B⇒ (C ∨ (B ∨D)) 4.3(L.1)6. D⇒ (B ∨D) (L.2)7. [D⇒ (B ∨D)]⇒ [(C ∨D)⇒ (C ∨ (B ∧D))] 6(A.4)8. [(C ∨D)⇒ (C ∨ (B ∧D))] 6,7(M.P)9. [B ∨ (C ∨D)]⇒ (C ∨ (B ∨D)) 5,8(L.9)
(d) ⊢L(B ⇒ (C ⇒ D)) ⇒ (C ⇒ (B ⇒ D))
1. D⇒ (¬B ∨D) (L.2)2. [D⇒ (¬B ∨D)]⇒ [(¬C ∨D)⇒ (¬C ∨ (¬B ∨D))] 1(A.4)3. [(¬C ∨D)⇒ (¬C ∨ (¬B ∨D))] 1,2(M.P)4. ¬B⇒ (¬B ∨D) (A.2)5. [¬B⇒ (¬B ∨D)]⇒ [(¬C ∨¬B)⇒ (¬C ∨ (¬B ∨D))] 4(A.4)6. [(¬C ∨¬B)⇒ (¬C ∨ (¬B ∨D))] 4,5(M.P)7. ¬B⇒ (¬C ∨¬B) (L.2)8. ¬B⇒ [¬C ∨ (¬B ∨D)] 6,7(L.1)9. [¬C ∨ (¬B ∨D)]⇒ [¬C ∨ (¬B ∨D)] 3.8(L.9)10. [C ⇒ (B⇒D)]⇒ [C⇒ (B⇒D)] def⇒
6
(e) ⊢L(B ⇒ C) ⇒ [(C ⇒ D) ⇒ (B ⇒ D)]
1. (C⇒D)⇒ [(B⇒C)⇒ (B⇒D)] ejercicio 1.3(d)2. (B⇒C)⇒ [(C⇒D)⇒ (B⇒D)] 1, ejercicio 1.4(d)
1.5 Ejercicio.
(a) ⊢L¬¬B ⇒ B
este se demuestra en el Lema 11, por el momento lo tomamos por verdadero
(b) ⊢L(¬C ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ C) (c) ⊢L(¬B ⇒ B) ⇒ B
1. ¬¬C⇒C ejer 1.5 a 1. B⇒B (L.3)2. (¬¬C⇒C)⇒ [(¬B ∨¬¬C)⇒ (¬B ∨C)] (A.4) 2. ¬¬B⇒B ejer 1.5 a3. [(¬B ∨¬¬C)⇒ (¬B ∨C)] 1,2(M.P) 3. (¬¬B ∨B)⇒B (L.9)4. (¬¬C ∨¬B)⇒ (¬B ∨¬¬C) 3(A.3) 3. (¬B⇒B)⇒B def⇒5. (¬¬C ∨¬B)⇒ (¬B ∨C) 4,3(L.1)5. (¬C⇒¬B)⇒ (B⇒C) def⇒
(d) ⊢L(B ⇒ ¬B) ⇒ ¬B (e) ⊢L(B ∨ C) ⇒ (¬B ⇒ C)
1. (¬B ∨¬B)⇒¬B (A.1) 1. B⇒¬¬B (L.5)1. (B⇒¬B)⇒¬B 1 def⇒ 2. (B⇒¬¬B)⇒ [(C ∨B)⇒ (C ∨¬¬B)] (A.4)
3. [(C ∨B)⇒ (C ∨¬¬B)] 2(M.P)4. (B ∨C)⇒ (C ∨B) (A.3)5. (B ∨C)⇒ (C ∨¬¬B) 4,3(L.1)6. (C ∨¬¬B)⇒ (¬¬B ∨C) (A.3)7. (B ∨C)⇒ (¬¬B ∨C) 5,6(L.1)7. (B ∨C)⇒ (¬B⇒C) def⇒
(f) ⊢L(¬B ⇒ C) ⇒ (B ∨ C)
1. ¬¬B⇒B ejer 1.5 a2. (¬¬B⇒B)⇒[(C ∨¬¬B)⇒ (C ∨B)] (A.4)3. [(C ∨¬¬B)⇒ (C ∨B)] (M.P)4. (¬¬B ∨C)⇒ (C ∨¬¬B) (A.3)5. (¬¬B ∨C)⇒ (C ∨B) 4,3(L.1)6. (C ∨B)⇒ (B ∨C) (A.3)7. (¬¬B ∨C)⇒ (B ∨C) 5,6(L.1)7. (¬B⇒C)⇒ (B ∨C) def⇒
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1.6 Ejercicio.
« Generalizacíon de la diyuncion de casos ».B1 ⇒ D, , Bn⇒ D ⊢L (B1 ∨ ∨ Bn) ⇒ D
Por inducción sobre n:n=1: B1⇒D ⊢L B1⇒D
Por Hipotesis Inductiva tenemos B1⇒D, , Bn⇒D,⊢L(B1∨ ∨Bn)⇒D.Paso inductivo:1. B1⇒D (hip) n +1. Bn+1⇒D (hip)n +2. (B1∨ ∨Bn)⇒D Hipotesis Inductivan +3. ((B1∨ ∨Bn)∨Bn+1)⇒D (disyunción de casos n+ 1, n+ 2)luego B1⇒D, , Bn⇒D, Bn+1⇒D,⊢L((B1∨Bn)∨Bn+1)⇒D.
Disyunción de casos “caso general”
Si B⇒D, C⇒D ⊢L (B ∨C)⇒D entonces B ∨C,B⇒D, C⇒D ⊢L D.
Justificación.supongamos B⇒D,C⇒D ⊢L (B ∨C)⇒D existe una deducción de (B ∨C)⇒D
a partir de B⇒D y C ⇒D, es decir existe una secuencia de formulas α1,αn, «quesatisfacen la definicion de ser una deducción, con hipotesis B⇒D, C⇒D enformula final (B ∨C)⇒D»α1,αn, es tambien una deducción de (B∨C)⇒D a partir de {B∨C,B⇒D,C⇒D}
Esquema→
α18 B⇒D (hip)α28 C⇒D (hip) αn8 (B ∨C)⇒D
αn+18 (B ∨C) (hip)αn+28 D (M.P,αn,αn+1)
Meta-Teorema de Deducción
Si Γ, α⊢L β entonces Γ,⊢L α⇒ β conΓ⊆ formuas, α, β ∈ formulas.
Demostración:Sea Γ,α⊢Lβ, es decir, existe una secuencia α1, ,αn que es una deducción de β a partirde Γ∪ {α}, por inducción sobre n, vamos a mostrar que Γ,⊢L α⇒ β;Si n=1 entonces α1 = β; Por definición de deducción β ∈Γ∪ {α} o β es instancia deun axioma si β ∈Γ∪{α} si β ∈Γ, entonces Γ,⊢L β, por (Lema.4)“absorción” se tieneΓ⊢L α⇒ β.
Si β =α: Por (Lema.3)“identidad” se tiene Γ,⊢L β⇒ β y sustituyendo por igualesΓ,⊢L α⇒ β.Si β es instancia de un axioma Γ⊢Lβ y por (Lema.4)“absorción” se tiene Γ,⊢L α⇒ β.
8
Paso inductivo:Supongamos que el Meta-Teorema de Deducción vale para todas las deducciones detamaño menor a n y veamos que vale para las deducciones de tamaño n siαn∈Γ∪{α} o αn es instancia de un axioma (αn = β); La demostracion es igual a ladel paso base (n=1).Si αn es obtenido por M.P. existen αi yαj tales que i, j<n y αj 8 αi⇒αn, luegoα1, , αi es una deducción de αi a partir de Γ∪ {α}, (Γ, α⊢L αi) o analogamenteα8 αj⇒αn y α1, , αj es una dedeucción de α; a partir de Γ∪ {α}, (Γ, α⊢L αj)
por Hipotesis Inductiva se tiene Γ⊢L α⇒αj y Γ⊢L α⇒αj , Γ⊢L α⇒ (αj⇒αn) porLema.10 se tiene Γ⊢L α⇒αn “ es decir Γ⊢L α⇒ β ”
1.7 Ejercicio.
(a)(L.16b) B ⇔ C ⊢L C ⇔ B. (L.16d) B ⇔ C ⊢L ¬B ⇔ ¬C
1. B⇔C (hip) 1. B⇔C (hip)2. B⇒C 1,L.15c,M.P 2. B⇒C 1,L.15c,M.P3. C⇒B 1,L.15d,M.P 3. ¬C⇒¬B 2,L.7,M.P4. C⇔B 3,2(L.14b) 4. C⇒B 1,L.15d,M.P
5. ¬B⇒¬C 4,L.7,M.P6. ¬B⇔¬C 5,3(l.14b)
(L.16f) B ⇔ C ⊢L (B ∨ D) ⇔ (C ∨ D)
1. B⇔C (hip) (L.16h) B ⇔ C ⊢L (D ⇒ B) ⇔ (D ⇒ C)2. B⇒C 1,L.15c,M.P3. C = B 1,L.15d,M.P 1. B⇔C (hip)4. (D ∨B)⇒ (D ∨C) 2,A.4,M.P 2. B⇒C 1,L.15c,M.P5. (B ∨D)⇒ (D ∨B) (A.3) 3. (¬D∨B)⇒ (¬D∨C) 2,A4,M.P6. (B ∨D)⇒ (D ∨C) 5,4(L.1) 4. C⇒D 1,L.15d,M.P7. (D ∨C)⇒ (C ∨D) (A.3) 5. (¬D∨C)⇒ (¬D∨B) 4,A4,M.P8. (B ∨D)⇒ (C ∨D) 6,7(L.1) 6. (¬D∨B)⇔ (¬D∨C) 3,5(L.14b)9. (D ∨C)⇒ (D ∨B) 3,A.4,M.P 6. (D⇒B)⇔ (D⇒C) def⇒10. (C ∨D)⇒ (D ∨C) (A.3)11. (C ∨D)⇒ (D ∨B) 10,9(L.1)12. (D ∨B)⇒ (B ∨D) (A.3)13. (C ∨D)⇒ (B ∨D) 11,12(L.1)14. (B ∨D)⇔ (C ∨D) 8,13(L.14b)
(b)(L.17a) ⊢LB ⇔ ¬¬B (l.17b) ⊢L(B ∨ B) ⇔ B
1. B⇒¬¬B (L.6) 1. (B ∨B)⇒B (A.1)2. ¬¬B⇒B (L.11) 2. B⇒ (B ∨B) (A.2)3. B⇔¬¬B 1,2(L.14b) 3. (B ∨B)⇔B 1,2(L.14b)
9
(L.17c) ⊢L(B ∧ B) ⇔ B (L.17d) ⊢L(B ∨ C) ⇔ (C ∨ B)
1. (¬B ∨¬B)⇔¬B (L.17b) 1. (B ∨C)⇒ (C ∨B) (A.3)2. ¬(¬B ∨¬B)⇔¬¬B (L.16d) 2. (C ∨B)⇒ (B ∨C) (A.3)2. (B ∧B)⇔¬¬B def ∧ 3. (B ∨C)⇔ (C ∨B) 1,2(L.14b)3. (B ∧B)⇔B (L.17a)T.S.E
(L.17f) ⊢L(B ⇒ C) ⇔ (¬C ⇒ ¬B)(L.17e) ⊢L(B ∧ C) ⇔ (C ∧ B)
1. (B⇒C)⇒ (¬C⇒¬B) (L.7)1. (¬C ∨¬B)⇔ (¬B ∨¬C) (L.17d) 2. (¬C⇒¬B)⇒ (B⇒C) (L.13)2. ¬(¬B ∨¬C)⇔¬(¬C ∨¬B) (L.16d) 3. (B⇒C)⇔ (¬C⇒¬B) 1,2(L.14b)2. (B ∧C)⇔ (C ∧B) def ∧
(c)(L.19a) ⊢L(B ∧ (C ∧ D)) ⇔ ((B ∧ C) ∧ D)
1. B ∧ (C ∧D) (hip)2. B 1,(L.15a)M.P3. C ∧D 1,(L.15b)M.P4. C 3,(L.15a)M.P5. D 3,(L.15b)M.P6. B ∧C 2,4(L.14a)7. (B ∧C)∧D 6,5(L.14a)8. (B ∧ (C ∧D))⇒ ((B ∧C)∧D) 1,7(T. Deducción)9. (B ∧C)∧D (hip)10. B ∧C 9,(L.15a)M.P11. D 9,(L.15b)M.P12. B 10,(L.15a)M.P13. C 10,(L.15b)M.P14. C ∧D 13,11(L.14a)15. B ∧ (C ∧D) 12,14(L.14a)16. ((B ∧C)∧D)⇒ (B ∧ (C ∧D)) 9,15(T. Deducción)17. (B ∧ (C ∧D))⇔ ((B ∧C)∧D) 8,16(L.14b)
(L.19d) ⊢L(B ∨ (C ∧ D)) ⇔ [(B ∨ C) ∧ (B ∨ D)]
1. (¬B ∧ (¬C ∨¬D))⇔ [(¬B ∧¬C)∨ (¬B ∧¬D)] (L.19c)2. (¬B ∧¬(C ∧D))⇔ [¬(B ∨C)∨¬(B ∨D)] D’ Morgan3. ¬(B ∨ (C ∧D))⇔¬[(B ∨C)∧ (B ∨D)] D’ Morgan4. ¬¬(B ∨ (C ∧D))⇔¬¬[(B ∨C)∧ (B ∨D)] 3(L.16d)5. (B ∨ (C ∧D))⇔ [(B ∨C)∧ (B ∨D)] (L.17a)T.S.E
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(d) B ⇒ C ⊢L (B ∨ C) ⇔ C
1. B⇒C (hip)2. (B⇒C)⇒ (C ∨B)⇒ (C ∨C) 1(A.4)3. (C ∨B)⇒ (C ∨C) 1,2(M.P)4. (C ∨B)⇒C 3(L.17b)T.S.E5. (B ∨C)⇒C 4(L.17d)T.S.E6. C⇒ (B ∨C) (L.2)7. (B ∨C)⇔C 5,6(L.14b)
(e) B ⇒ C ⊢L (B ∧ C) ⇔ B
1. B⇒C (hip)2. ¬C⇒¬B 1(L.7)M.P3. [(¬B ∨¬C)⇒ (¬B ∨¬B)] 2(A.4)M.P4. (¬B ∨¬C)⇒¬B 3(L.17b)T.S.E5. ¬(B ∧C)⇒¬B 4,D’ Morgan7. ¬¬B⇒¬¬(B ∧C) 5(L.7)MP8. B⇒ (B ∧C) 7(L.17a)T.S.E9. (B ∧C)⇒B (L.15a)10. (B ∧C)⇔B 9,8(l.14b)
1.8 Ejercicio.
(a) ⊢L(¬B ⇒ C) ⇔ (B ∨ C) (b) ⊢L(B ∨ C) ⇔ ¬(¬B ∧ ¬C)
1. (¬B⇒C)⇔ (¬B⇒C) (L.16a) 1. (B ∨C)⇔ (B ∨C) (L.16a)1. (¬B⇒C)⇔ (¬¬B ∨C) def⇒ 2. ¬(B ∨C)⇔¬(B ∨C) (L.16d)2. (¬B⇒C)⇔ (B ∨C) 1(L.17a)T.S.E 3. ¬(B ∨C)⇔ (¬B ∧¬C) 2 D’ Morgan
4. ¬¬(B ∨C)⇔¬(¬B ∧¬C) 3(L.16d)5. (B ∨C)⇔¬(¬B ∧¬C) 4(L.17a)T.S.E
(c)(L.19f) ⊢L[B ⇒ (C ⇒ D)] ⇔ [C ⇒ (B ⇒ D)]
1. (¬B ∨ (¬C ∨D))⇔ ((¬B ∨¬C)∨D) (L.19b)2. (¬B ∨ (¬C ∨D))⇔ ((¬C ∨¬B)∨D) 1(L.17b)T.S.E3. (¬B ∨ (¬C ∨D))⇔ (¬C ∨ (¬B ∨D)) 2(L.19b)T.S.E4. (B⇒ (C⇒D))⇔ (C⇒ (B⇒D)) defi⇒
(L.19h) ⊢L(B ⇔ C) ⇔ (C ⇔ B)
1. B⇔C hip2. C⇔B 1(L.16b)3. (B⇔C)⇒ (C ⇔B) 1,2(T. Deducción)4. C⇔B hip5. B⇔C 4(L.16b)6. (C⇔B)⇒ (B⇔C) 4,5(T. Deducción)
11
(d)
(L.20a) B ⊢L (B ∧ C) ⇔ C (L.20b) ¬B ⊢L (B ∨ C) ⇔ C
1. B (hip) 1. ¬B (hip)2. B⇒ (¬C ∨B) (L.2) 2. ¬B⇒ (¬B ∨C) (A.2)3. ¬C ∨B 2(M.P) 3. ¬B ∨C 1,2(M.P)3. C⇒B def⇒ 3. B⇒C def⇒4. ¬B⇒¬C 3(L.7)M.P 4. (C ∨B)⇒ (C ∨C) 3(A.4)M.P5. (¬C ∨¬B)⇒ (¬C ∨¬C) 4(A.4)M.P 5. (C ∨B)⇒C 4(L.17b)T.S.E6. (¬C ∨¬B)⇒¬C 5(L.17b)T.S.E 6. (B ∨C)⇒C 5(L.17d)T.S.E7. ¬¬C⇒¬(¬C ∨¬B) 6(L.7)M.P 7. C⇒ (B ∨C) (L.2)8. C⇒¬(¬C ∨¬B) 7(L.17a)T.S.E 8. (B ∨C)⇔C 6,7(L.14b)M.P8. C⇒ (C ∧B) def⇒9. C⇒ (B ∧C) 8(L.17e)T.S.E10. (B ∧C)⇒C (L.15 b)11. (B ∧C)⇔C 10,9(L.14b)
(e) B, C ⊢L B ⇔ C (f) B ⇔ ¬B es una hipótesisinconsistente de L
1. B (hip) 1. B⇔¬B (hip)2. C (hip) 2. B⇒¬B 1(L.15c)M.P3. C⇒B 1(L.4) 2. ¬B ∨¬B def⇒4. B⇒C 2(L.4) 3. ¬B 2(A.1)M.P5. B⇔C 3,4(L.14b) 4. ¬B⇒B 1(L.15d)M.P
4. B ∨B def⇒5. B 4(A.1)M.PDe 3 y 5 se concluye que B⇔¬B, esun conjunto de hipótesis inconsistentes de L
(g)(L.19i) ⊢L [¬(B ⇔ C)] ⇔ [(¬B) ⇔ C]
1. ¬(B⇔C)⇔¬[(B⇒C)∧ (C⇒B)] def⇒2. ⇔[¬(B⇒C)∨¬(C⇒B)] 1,D’ Morgan2. ⇔[¬(¬B ∨C)∨¬(¬C ∨B)] def⇒3. ⇔[(¬¬B ∧¬C)∨ (¬¬C ∧¬B)] 2,D’ Morgan4. ⇔[(B ∧¬C)∨ (C ∧¬B)] 3,(L.17a)T.S.E5. ⇔[((B ∧¬C)∨C)∧ ((B ∧¬C)∨¬B)] 4(L.19d)T.S.E6. ⇔[((B ∨C)∧ (¬C ∨C))∧ ((B ∨¬B)∧ (¬C ∨¬B))] 5(L.19d)T.S.E
7. ⇔[(B ∨C)∧ (¬C ∨¬B)] 6
(
tercer excluido, eliminaciónde la verdad en la conjuncion
)
T.S.E
8. ⇔[(¬¬B ∨C)∧ (¬C ∨¬B)] 7(L.17a)T.S.E8. ⇔[(¬B⇒C)∧ (C ⇒¬B)] def⇒8. ¬(B⇔C)⇔ [(¬B)⇔C] def⇔
12
(h) ⊢L (C ⇔ (C ⇔ D)) ⇒ D
1. C⇔ (C⇔D) (hip)2. C⇒ (C⇔D) 1(L.15c)M.P3. (C⇔D)⇒ (C⇒D) (L.15c)4. C⇒ (C⇒D) 2,3(L.195. (C ∧C)⇒D 4(L.19g)T.S.E6. C⇒D 5(L.17c)T.S.E7. ¬C⇔¬(C⇔D) 1(L.16d)T.S.E8. ¬C⇒¬(C⇔D) 7(L.15c)M.P9. ¬C⇒ (¬C⇔D) 8(L.19i)T.S.E10. (¬C⇔D)⇒ (¬C⇒D) 9(L.15c)11. ¬C⇒ (¬C⇒D) 9,10 (L.1)12. (¬C ∧¬C)⇒D 11(L.19g)T.S.E13. ¬C⇒D 12(L.17c)T.S.E14. C ∨¬C (L.5)15. D 6,13,14(L.9)16. (C⇔ (C⇔D))⇒D 1, 15(T. Deducción)
Prueba (1)⊢L(B ⇔ C) ⇔ [(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)]
1. ¬(B⇔C)⇔¬(B⇔C) (L.16a,d)2. ¬(B⇔C)⇔ (¬B⇔C) 1(L.19i)2. ¬(B⇔C)⇔ [(¬B⇒C)∧ (C⇒¬B)] def⇔2. ¬(B⇔C)⇔ [(¬¬B ∨C)∧ (¬C ∨¬B)] def⇒3. ¬¬(B⇔C)⇔¬[(¬¬B ∨C)∧ (¬C ∨¬B)] 2(l.16d)4. (B⇔C)⇔¬[(B ∨C)∧ (¬C ∨¬B)] 3(L.17a)T.S.E5. (B⇔C)⇔ [¬(B ∨C)∨¬(¬C ∨¬B)] D’ Morgan6. (B⇔C)⇔ [(¬B ∧¬C)∨ (C ∧B)] D’ Morgan7. (B⇔C)⇔ [(C ∧B)∨ (¬B ∧¬C)] 6(L.17d)
(i)(L.19j) ⊢L(B ⇔ (C ⇔ D)) ⇔ ((B ⇔ C) ⇔ D)
1. B⇒ (C⇒D) (hip)2. (B ∧ (C⇔D))∨ (¬B ∧¬(C⇔D)) 1(Prueba.1)T.S.E
3. B ∧ (C⇔D) 2(hip)3.1.1. B 3(L.15a)M.P3.1.2. C⇔D 3(L.15b)M.P3.1.3. B⇔C (hip)3.1.4. B⇔D 3.1.3, 3.1.2, (L.16c)3.1.5. D 3.1.4, 3.1.1, T.S.E3.1.6. (B⇔C)⇒D 3.1.3, 3.1.5, T.Deducción
13
3.2. D (hip)3.2.1. C 3.2, 3.1.2, T.S.E.3.2.2. B ∧C 3.1.1, 3.2.1, (L.14a)3.2.3. (B ∧C)∨ (¬B ∧¬C) 3.2.2,(A.2)M.P3.2.4. (B⇔C) 3.2.3, (Prueba.1)M.P3.2.5. D⇒ (B⇔C) 3.2, 3.2.4, T. Deducción4. (B⇔C)⇔D 3.1.6, 3.2.5, (L.14b)5. (B ∧ (C⇔D))⇒ ((B⇔C)⇔D) 3,4 T.Deducción
6. ¬B ∧¬(C⇔D) 2(hip)6.1. B⇔C (hip)6.2. ¬(C⇔D) 6(L.15c)M.P6.3. ¬(B⇔D) 6.1, 6.2, T.S.E.6.4. ¬B⇔D (L.19i)6.5. ¬B 6(L.15a)M.P6.6. D 6.4, 6.5, T.S.E.7. (B⇔C)⇒D 6.1, 6.6 T.Deducción8. D (hip)8.1. ¬B 6(L.16a)M.P8.2. ¬(C⇔D) 6(L.16b)M.P8.3. ¬C⇔D 8.2(L.19i)8.4. ¬C 8, 8.3, T.S.E8.5. ¬B ∧¬C 8.1, 8.4,(L.14a)8.6. (B ∧C)∨ (¬B ∧¬C) 8.5, (L.2)M.P8.7. B⇔C 8.6(Prueba.1)9. D⇒ (B⇔C) 8, 8.7, T.Deducción10. (B⇔C)⇔D 7,9(L.14b)11. (¬B ∧¬(C⇔D))⇒ ((B⇔C)⇔D) 6,10 T.Deducción12. (B⇔C)⇔D 2,5,11, (L.9)13. (B⇔ (C⇔D))⇒ ((B⇔C)⇔D) 1,12, T.Deducción
14. ((B⇔C)⇔D) (hip)15. ((B⇔C)∧D)∨ (¬(B⇔C)∧¬D) 14(Prueba.1)T.S.E16. (B⇔C)∧D 15(hip)16.1.1. D 16(L.15b)M.P16.1.2. B⇔C 16(L.15a)M.P16.1.3. C⇔D (hip)16.1.4. B⇔D 16.1.2, 16.1.3, (L.16c)16.1.5. B 16.1.4, 16.1.1 T.S.E16.1.6. (C⇔D)⇒B 16.1.3, 16.1.5 T.Deducción16.2. B (hip)16.2.1. C 16.1.2, 16.2 T.S.E16.2.2. C ∧D 16.2.1, 16.1.1(L.14a)16.2.3. (C ∧D)∨ (¬C ∧¬D) 16.2.2(A.2)M.P16.2.4. C⇔D 16.2.3 (Prueba.1)T.S.E16.2.5. B⇒ (C⇔D) 16.2, 16.2.4 T.Deducción17. B⇔ (C⇔D) 16.1.6, 16.2.5 (L.14b)18. ((B⇔C)∧D)⇒ (B⇔ (C⇔D)) 16, 17 T.Deducción
14
19. (¬(B⇔C)∧¬D) 15 (hip)19.1. C ⇔D (hip)19.2. ¬(B⇔C) 19(L.15a)M.P19.3. ¬D 19(L.15b)M.P19.4. ¬(D⇔B) 19.1, 19.2 T.S.E19.5. ¬D⇔B 19.4 (L.19i)19.6. B 19.3, 19.5 T.S.E19.7. (C⇔D)⇒B 19.1, 19.6 T.Deducción20. B (hip)20.1. ¬D 19(l.15b)M.P20.2. ¬(B⇔C) 19(l.15a)M.P20.3. ¬(C⇔B) 20.2(L.16b)20.4. ¬C⇔B 20.3(L.19i)20.5. ¬C 20, 20.4 T.S.E20.6. ¬C ∧¬D 20.1, 20.5(L.14a)20.7. (C ∧D)∨ (¬C ∧¬D) 20.6(L.2)M.P20.8. C ⇔D 20.7(Prueba.1)T.S.E20.9. B⇒ (C⇔D) 20, 20.8 T.Deducción21. B⇔ (C⇔D) 19.7, 20.9 (L.14b)22. (¬(B⇔C)∧¬D)⇒ (B⇔ (C⇔D)) 19,21 T.Deducción
23. B⇔ (C⇔D) 15, 18, 22(L.9)24. ((B⇔C)⇔D)⇒ (B⇔ (C⇔D)) 14, 23 T.Deducción25. (B⇔ (C⇔D))⇔ ((B⇔C)⇔D) 13,24(L.14b)
Definición (complejidad de la formula)
comp: For⇒N tal quecomp(Pi)=0 Csi Pi es una variable proposicionalcomp(¬α)=comp(α)+1comp(α∨ β)=max{comp(α), comp(β)}+1
EjemploA8 ¬(B ∨¬C)compA8 3comp(B)=comp(C)=0comp(¬C)=1comp(B ∨¬C)=2comp¬(B ∨¬C)=3
Inducción Estructural
sea P una propiedad sobre formulas si:
i. P(pi) =para todo pi
ii. si P(α), entonces P(¬α)
iii. si P(α) y P(β), entonces P(α∨ β).entonces P vale para toda formula α
15
Meta-Teorema “ Sustitución por equivalencias ” (T.S.E).
Sean A,B , C∈ Formulas y sea A′ el resultado de sustituir una ocurrencia de B enApor C, entonces B⇔C⊢LA=A′
Demostración:Por inducción estructural sobre A1. si A=Pi: la única subfómulas de A es el propio A, entonces B=Pi,si se supone B⇔C entonces A′= C y por supuesto B⇔C⊢LB⇔C,B⇔C⊢LA⇔A′.
2. Supongamos que A=¬D vale sustituir por equivalencias para D(es decir, B⇔C⊢LD⇔D ′), si D ′ es el resultado de sustituir una ocurrencia deB en D por C , por (L.16d) se tiene B⇔C⊢LD⇔D ′, es decir, B⇔C⊢LA⇔A′
(si A’ es el resultado de sustituir una ocurrencia de B por C enA, entonces esasustitución tiene que ser hecha en D).
3. Si A8 D∨F : si A’ es el resultado de sustituir una ocurrencia de B porC en A,esa sustitución pudo haber sido hecha en DoF . Si la sustitución fue hecha en D:por Hipótesis Inductiva vale sustituir por equivalencias para D,es decir, B⇔C⊢LD⇔D ′, por lema 16f se tiene B⇔C ⊢L (D∨F)⇔(D ′∨F),es decir, B⇔C⊢LA⇔A′, si la sustitución es hecha en F se prueba de manerasimilar (lema 16).
1.9 Ejercicio.
(a) ⊢L(B ⇔ C) ⇔ [(B ∧ C) ∨ (¬B ∧ ¬C)]Este se demuestra en la prueba(1)
(b) (L.19i) ⊢L ¬(B ⇔ C) ⇔ (¬B ⇔ C)
1. (B⇔C)⇔ [(C ∧B)∨ (¬B ∧¬C)] Ejercicio 1.9a2. ¬(B⇔C)⇔¬[(C ∧B)∨ (¬B ∧¬C)] 1(L.16)T.S.E3. ¬(B⇔C)⇔ [¬(C ∧B)∧¬(¬B ∧¬C)] 2,D’MorganT.S.E4. ¬(B⇔C)⇔ [(¬C ∨¬B)∧ (B ∨C)] 3,D’MorganT.S.E4. ¬(B⇔C)⇔ [(C⇒¬B)∧ (¬B⇒C)] def⇒4. ¬(B⇔C)⇔ (¬B⇔C) def⇔
1.10 Ejercicio.Sea Γ un conjunto de fórmulas
(a) Si Γ, B, forman un conjunto inconsistente de hipótesis,entonces Γ ⊢L ¬B
• Por teorema de reducción al absurdo donde B es la hipótesis de R.A.
(b) Si Γ, B, ¬C , forman un conjunto inconsistente de hipótesis,entonces Γ ⊢L B ⇒ C .• Por teorema de ruduccion al absurdo se tiene Γ,B ⊢L C , luego por teoremade deducción Γ⊢LB⇒C
16
(c) Si existe una fórmula D tal que Γ ⊢L D ⇔ ¬D, entonces Γesun conjunto inconsistente.• Por definición 3.2 Γ es un conjunto inconsistente
LEMASea B ∈ formula y sea P1, ,Pn las variables proposicionales de B“considere una asignación de valores de verdad a Pi, ,Pn y definamos las siguientesformulas: Pi
′=Pi (si toma valor V en la asignación considerada)Pi
′=¬Pi (si toma valor F en la asignación considerada)B ′=B (si B toma valor V en la asignación considerada)B ′=¬B (si B toma valor F en la asignación considerada)
entonces P1′, ,Pn
′ ⊢LB ′
Demostración:Por inducción estructural sobre B (o inducción sobre la complejidad de B );Caso base (B=P para alguna variable proposicional P),se tiene los siguientes casos:1. Si se asigna V a P : En este caso P ′=P y B ′=P y P ⊢LP luego P ′⊢LB ′
2. Si se asigna F a P: En este caso P ′=¬P y B ′=¬P y ¬P ⊢L¬P luego P ′⊢LB ′
Paso inductivo:
Si B=¬C sean P1,Pn las variables proposicionales en B, por Hipótsis InductivaP1
′,Pn′ ⊢L C ′ , se tienen los siguientes casos:
(1). Si C toma valor V (bajo la asignación considerada); En este caso C ′= C y ¬Ctoma valor F entonces B ′=¬B, es decir B ′=¬¬C , es decir P1
′, ,Pn′ ⊢LB ′.
(2). Si C toma valor F : En este caso C ′=¬C luego P1′, ,Pn
′ ⊢L¬C, Ademas, B va atomar valor V entonces B ′=B=¬C, por tanto P1
′, ,Pn′ ⊢LB ′.
Si B= C ∨D :Se tiene entonces los siguientes casos(i). B toma valor V : Setiene entonces que C toma valor V o D toma valor V, y B ′=B
(i.1). Si C toma valor V : El conjunto de variables proposicionales de C ,
{Pi1, ,Pim}⊆ {P1, ,Pn}, y C ′= C por Hipóteis InductivaPi1
′ , ,Pim′ ⊢L C ′
Pi1′ , ,Pim
′ ⊢L Cpor adjunción Pi1
′ , ,Pim′ ⊢L (C ∨D) luego P1
′, ,Pn′ ⊢LB ′,
(i.2). Si B toma valor V : Es similar a (i.1)
(ii). Si B toma valor F : Entonces CyD, toman valor F luego B ′=¬B , C ′=¬C yD ′=¬D; Sea {Pi1, ,Pim}⊆ {P1, ,Pm}, las variables proposicionales de C y{Pj1, ,Pjl
}⊆ {P1, ,Pn} las variables proposicionales de D.
Por Hipótesis Inductiva,Pi1
′ , ,Pim′ ⊢L C ′
⊢LC
}
P1′, ,Pn
′ ⊢L¬C
yPj1
′ , ,Pjn
′ ⊢L D ′
⊢L¬D
}
P1′, ,Pn
′ ⊢L¬D
Por conjunción y D’MorganP1
′, ,Pn′ ⊢L¬(C ∨D)⊢LB ′
17
Teorema de validez y completitud
Teorema (Validez)Todo teorema de L es una tautología.
“Como no es tautología, no es demostrable”
Demostración:Sea α un teorema de L (es decir ⊢Lα) Por definición de teoremas existe unasecuencia finita de fórmulas L, α1, , αn, tales que para todo 1 6 i 6n,
(1). αi es instantanea de un axioma.(2). αi es obtenido de formulas anteriores por M.P. y αn =α.
Basta entonces con probar todos los axiomas (instancias), son tautologías y queM.P. preserva la propiedad de ser tautología (es decir si A⇒B, A son tautologías,entonces B es tautologia.
Veamos la segunda parte (M.P. preserva tautologías )Supongamos que A⇒B, A son tautologías;Supongamos que B no es tautología, es decir existe una asignación de valores deverdad a las variables proposicionales que hacen que B sea falso, como A estautología la implicación A⇒B toma valor falso para dicha asignación de valoresde verdad, lo que es una contradicción, pues se esta suponiendo que A⇒B estautología.
Teorema (Completitud “Debil”)Toda tautología es teorema de L (Si α es tautología entonces ⊢Lα)
“Como es tautología es demostrable”
Demostración “A la KALMAR”:Sea α una tautología y P1, ,Pn las variables proposicionales de α, considere unaasignación donde P1, ,Pn toman valor V entonces P1
′ =P1, ,Pn′ =Pn y como α
es tautología αtoma valor V, en esta asignación en particular, luego α′= α
por Lema anterior.Tomando otra asignación, donde por Lema anterior P1, ,Pn−1 toma valor V, yPn toma valor F, se tiene por Lema anterior P1, ,Pn−1,¬Pn⊢L α por Teorema deDeducción P1, ,Pn−1⊢LPn⇒α y P1, ,Pn−2⊢L¬Pn⇒α, por tercer excluido ydiyunción de casos , se tiene P1, ,Pn−1⊢L α;Aplicando el mismo procedimiento n veces, se tiene finalmente que ⊢L α.
1.11 Ejercicio.Sea B una fórmula. Prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes:(i) B es una contradicción.(ii) ¬B es una tautología.(iii) ⊢L¬B.(iv) B es una hipótesis inconsistente de L.
18
Probemos que (i)⇒(ii), como B es una contradicción entonces B toma el valor Fluego la negación de B tomara un valor V, por tanto ¬B es una tautología;Probemos (ii)⇒(i), como la negación de B es tautología y por tanto verdadero,necesariamente B es falsa, luego entonces B es una contradicción; Como probamos(i)⇒(ii) y (ii)⇒(i) tenemos (i)⇔(ii).
Ahora probemos (ii)⇒(iii), como la negación de B es tautología, por teorema decompletitud es demostrable o lo mismo que ⊢L¬B; Miremos (iii)⇒(ii) como ¬B esdemostrable, por teorema de Validez afirmamos ¬B es una tautología, hemosprobado (ii)⇒(iii) y (iii)⇒(ii) tenemos (ii)⇔(iii).
Probemos (iii)⇒(iv), supongamos ⊢L¬B, luego B ⊢L¬B “ Si se logra demostrar sinhipótesis ¬B, entonces tambien se puede demostrar con hipótesis ”, ademas B ⊢LBluego existe una formula “ que en este caso es precisamente B ” tal que {B} deduceB y ¬B luego {B} es un conjunto inconsistente de hipótesis.Ahora probemos (iv)⇒(iii); Sea B un conjunto inconsistente de hipótesis, porteorema {B} demuestra cualquier fórmula, en particular {B}⊢L¬B , por teoremade deducción ⊢LB⇒¬B,
1. B⇒¬B2. ¬B⇒¬B identidad3. B∨¬B tercer excluido4. ¬B diyunción de casos
Hemos probado (iii)⇒(iv) y (iv)⇒(iii), entonces (iii)⇔(iv).
2.1 Ejercicio.En las siguientes fórmulas de LS indique el alcance de cada cuantificador,las variables libres y las variables ligadas.
(a) D1(w): ∃z(0+ z = w). (b) D2: w = 0∨∃z(w = s(z)).
El alcance de ∃z es (0 + z = w) El alcance de ∃z es (w = s(z))Variables libres w Variables libres w
Variables ligadas z Variables ligadas z
(c) D3(w): ∀w∃z(z = s(w)). (d) D4(w, z): w =3 ∨ ∃w(w · z =3).
El alcance de ∀w es∃z(z = s(w)) El alcance de ∃w es (w · z =3)El alcance de ∃z es (z = s(w)) Variables libres: la primera w y z
No tiene variables libres Variables ligadas: la segunda w
Variables ligadas son z, w
2.2 Ejercicio.Justificar
(i) x + 3 es libre para w enD1(w).Verdad porque x+3 no genera una nueva variable ligada.
19
(ii) z · z es libre para w enD1(w).Falso porque generaría una nueva variable ligada.
(iii) 5+ x es libre para w enD2(w).Verdad porque no generaría una nueva variable ligada.
(iv) z es libre para w enD2(w).Falso porque seria libre en la primera w y para la segunda no lo sería debido a quegeneraría nuvas variables ligadas.
(v) Cualquier término es libre para z enD2(w).Verdad por que cualquier término que se sustituya no generaría variables ligadas, ysi se sustituyen la misma z no la alteraría, esto es por la proposición 1.17(d).
(vi) z + z es libre para w enD3(w).Falso, generaría una nueva variable ligada.
(vii) Cualquier término es libre para z enD4(w, z).Falso porque existiría algun término que estaría ligado.
(viii) D3(w) es una sentencia.Verdad porque no tiene variables libres.
(ix) D1(w) es una sentencia.Falso porque w es una variable libre.
2.3 Ejercicio.1.17 Proposición.(b) Sea B una fórmula y t un término de L. Si las variables de t noaprarecen ligadas en B entoncs t es libre para cualquier variable en B.
Sean B(t, x, , y, z) una fórmula donde t, x, , y, z son términos y como t noesta ligado entonces B(t, t, , y, z) sera t libre en la fórmula y B(t, x, , t, t)tambien sera libre, por lo tanto t es libre para cualquier variable en B.
(d) Sea B una fórmula de L. Si x no aparece libre en B entonces cualquiertérmino es libre para x en B.Sea t cualquier término tal que t� x, entonces t no aparece ligado, si t=x entoncespor Proposición 1.17(c) t es libre para x enB, entonces cualquier término es librepara x enB.
2.4 Ejercicio.Sea L un lenguaje de primer orden. Indique si las siguientes afirmaciones sonciertas o no. En cada caso, dé una justificación.
(i) Si B es una fórmula de L entoces x no es libre en ∀xB.
Verdad porque x esta ligado de ∀x .
20
(ii) Considerando la fórmula ∀xB, se puede concluir que x no es libre en B.
Verdad porque x estaría ligada en B.
(iii) Si z no figura libre en la fórmula B, entonces en ∃zB no aparecen nuevasvariables ligadas.Verdad porque ∃z solo afectaría a z pero z ya estaba ligada a B.
2.5 Ejercicio.
(a) ⊢K(∀xB) ⇒ ∃xB
1. ∀xB⇒B (K.1a)2. B⇒∃x (K.1c)3. ∀xB⇒∃xB 1,2(L.1)
(b) Si x no es libre en C, entonces ⊢K(∀x(B ⇒ C)) ⇒ ((∃x) ⇒ C)
1. (∀x(¬C⇒¬B))⇒ (¬C⇒∀x¬B) (A.6) x no es libre en ¬C
2. (∀x(¬¬B⇒¬¬C))⇒ (¬∀x¬B⇒¬¬C) 1(L.17f)3. (∀x(B⇒C))⇒ (¬∀x¬B⇒C) Doble neg.3. (∀x(B⇒C))⇒ ((∃x)⇒C) def ∃
(c) ⊢K(∀xB) ⇔ ¬(∃x(¬B))
1. ¬(∃x(¬B))⇔¬(∃x(¬B)) (L.16a)2. ∀x¬¬B⇔¬(∃x(¬B)) (K.3c)3. (∀xB)⇔¬(∃x(¬B)) Doble neg.
2.6 Ejercicio.
(a) ⊢K (∀xB) ⇒ ∀x(B ∨ C) (b) ⊢K(∃xC)⇒∃x(B ⇒ C)
1. B⇒ (B ∨C) (A.2) 1. C⇒ (¬B ∨C) (L.2)2. ∀xB⇒∀x(B ∨C) 1(K.2a) 1. C⇒ (B⇒C) def⇒
2. (∃xC)⇒∃x(B⇒C) (K.2b)
(c) ⊢K ∃x(B ⇒ ¬(C ∨ D)) ⇔ ∃x(B ⇒ (¬C ∧ ¬D))
1. (B⇒¬(C ∨D))⇔ (B⇒¬(C ∨D)) (L.16a)2. (B⇒¬(C ∨D))⇔ (B⇒ (¬C ∧¬D)) 1 D’Morgan3. ∃x(B⇒¬(C ∨D))⇔∃x(B⇒¬(C ∨D)) (K.2d)
21
(d) ⊢K(∀x(B ⇒ ¬C)) ⇔ ¬∃x(B ∧ C)
1. (B⇒¬C)⇔ (B⇒¬C) (L.16a)1. (B⇒¬C)⇔ (¬B ∨¬C) def⇒2. (B⇒¬C)⇔¬(B ∧C) 1D’Morgan3. ∀x(B⇒¬C)⇔∀x¬(B ∧C) 2 (K.2c)4. ∀x(B⇒¬C)⇔¬∃x(B ∧C) 3 (K.3)
(e) ⊢K[∀y1∀yn
B] ⇒ B
Por inducción sobre n
n =1 “vale para una variable” ⊢K(∀y1B)⇒B
por Hipótesis Inductiva tenemos que “vale para n variables ⇒vale para n+1”H.I = [∀yn
∀yn−1∀y1
B]⇒BPaso inductivo[∀yn+1
∀yn∀yn−1
∀y1B]⇒∀yn+1
B (K.2a)[∀yn+1
B]⇒B (K.1a)[∀yn+1
∀yn∀yn−1
∀y1B]⇒B “Transitividad” (L.1)
deducimos ⊢K[∀y1∀yn
B]⇒B
2.7 Ejercicio.Sea B una fórmula donde x no es libre.
(a) ⊢K(∀xB) ⇔ B (b) ⊢K(∃xB) ⇔ B
1. B⇒B (L.3) 1. ¬B⇒¬B (L.3)2. ∀x(B⇒B) 1(GEN) 2. ∀x(¬B⇒¬B) 1(GEN)3. ∀x(B⇒B)⇒ (B⇒∀xB) (A.6)xnoes libreenB 3.∀x(¬B⇒¬B)⇒ (¬B⇒∀x¬B) (A.6)4. B⇒∀xB 2,3(M.P.) 4. ¬B⇒∀x¬B 2,3(M.P.)5. ∀xB⇒B (K.1) 5. ¬∀x¬B⇒¬¬B 4(L.7)M.P.6. ∀xB⇔B 4,5 (L.14b) 6. ¬∀x¬B⇒B Doble neg.
6. (∃xB)⇒B def ∃7. B⇒∃xB (K.1c)8. (∃xB)⇔B 6,7(L.14b)
2.8 Ejercicio.Decimos que las fórmulas B(x) yB(y) son similares si ambas tienen la mismaestructura y se diferencian solo que en donde aparece x libre en B(x), aparecey libre en B(y), y viceversa. Si B(x),B(y) son similares, entonces
(a) ⊢K(∀xB(x)) ⇔ (∀yB(y))
1. ∀xB(x) (hip)2. (∀xB(x))⇒B(y) (A.5) y es libreparax enB(x)porser similares
3. B(y) 1,2(M.P)4. ∀yB(y) 3(GEN)hemos probado (∀xB(x))⊢K (∀yB(y))5. (∀xB(x))⇒ (∀yB(y)) T.Deducción porser similares y noes libreenB(x)ni tampoco∀xB(x) .
22
6. ∀yB(y) (hip)7. (∀yB(y))⇒B(x) (A.5) x es librepara y enB(y)porser similares
8. B(x) 1,2(M.P)9. ∀xB(x) 3(GEN)hemos probado (∀yB(y))⊢K (∀xB(x))10. (∀yB(y))⇒ (∀xB(x)) T.Deducción por ser similaresxnoes libreenB(y)ni tampoco∀yB(y) .
11. (∀xB(x))⇔ (∀yB(y)) 5,10(L.14b)
(b) ⊢K(∃xB(x)) ⇔ (∃yB(y))
1. ∃xB(x)⇔¬(∀x(¬B(x))) def ∃2. ∃xB(x)⇔¬(∀y(¬B(y))) ejerc 2.8 (a) B(x) yB(y) sonsimilares
2. ∃xB(x)⇔∃yB(y) def ∃
2.9 Ejercicio.(a) Si x no es libre en B , entonces
(i) ⊢K(∀x(B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ ∀xC) (ii) ⊢K(∃x(B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ ∃xC)
1. ∀x(¬B ∨C)⇔ (¬B ∨∀xC) (K.7a) 1. ∃x(¬B ∨C)⇔ (¬B ∨∃xC) (K.7d)1. ∀x(B⇒C)⇔ (B⇒∀xC) def ⇒ 1. ∃x(B⇒C)⇔ (B⇒∃xC) def ⇒
2.10 Ejercicio.RST:• No es valido porque en el paso 4 se viola la definicion 3 al aplicar la escogencia “d”cuando ya se tomo en ∃x(B(x)⇒C(x)).Un ejemplo para verificar que (∃x(B⇒C))⇒ ((∃xB)⇒∃xC) no es lógicamente validaseria B8 (x =1) y C: =(x� x)(∃x((x =1)⇒ (x� x)))⇒ ((∃x(x =1))⇒∃x(x� x))
↓ l ↓ l ↓ l ↓f v v f v f f
2.11 Ejercicio.
(a) (K.6a) ⊢K(∃x(B ∧ C)) ⇒ ((∃xB) ∧ (∃xC))
1. ∃x(B ∧C) (hip)2. B(c)∧C(c) Regla C3. B(c) 2(L.15a)M.P.4. B(c)⇒∃xB(x) (K.1b)5. ∃xB(x) 3,4(M.P)6. C(c) 2(L.15b)M.P.7. C(c)⇒∃xC(x) (K.1b)8. ∃xC(x) 6,7(M.P)9. (∃xB(x))∧ (∃xC(x)) 5,8(L.14a)10. (∃xB)∧ (∃xC) Notación11. (∃x(B ∧C))⇒ ((∃xB)∧ (∃xC)) T.Deducción (no se iutilizo GEN en la prueba)
23
(K.6b) ⊢K((∀xB) ∨ (∀xC)) ⇒ (∀x(B ∨ C))
1. (∃x(¬B ∧¬C))⇒ ((∃x¬B)∧ (∃x¬C)) (K.6a)2. ¬((∃x¬B)∧ (∃x¬C))⇒¬∃x(¬B ∧¬C) (L.7)M.P3. (¬(∃x¬B)∨¬(∃x¬C))⇒∀x¬(¬B ∧¬C) D’Morgan (K.3)4. ((∀x¬¬B)∨ (∀x¬¬C))⇒∀x(¬¬B ∨¬¬C) (K.3)D’Morgan5. ((∀xB)∨ (∀xC))⇒ (∀x(B ∨C)) Doble neg.
(b) Si x no es libre en B
(K.7b) (K.7c)⊢K (∀x(B ∧ C)) ⇔ (B ∧ ∀xC) ⊢K (∃x(B ∧ C)) ⇔ (B ∧ ∃xC)
1. ∀x(B ∧C)⇔ ((∀xB)∧ (∀xC)) (K.5a) 1. ∀x(¬B ∨¬C)⇔ (¬B ∨ (∀x¬C)) (K.7a)2. ∀x(B ∧C)⇔ (B ∧ (∀xC)) (K.4a(i)) 2. ∀x¬(B ∧C)⇔ (¬B ∨ (¬∃xC)) D’Morgan(K.3)
3. ¬∃x(B ∧C)⇔¬(B ∧ (∃xC)) (K.3)D’Morgan4. ¬¬∃x(B ∧C)⇔¬¬(B ∧ (∃xC)) (K.16d)5. ∃x(B ∧C)⇔ (B ∧ (∃xC)) Doble neg.
2.12 Ejercicio.Sea E(x, y) una fórmula cuyas variables libres son las señaladas y tal quesustituciones de x ó y por x, y ó z son permitidas. Demotrar que
(a) ⊢K(∀x∀yE(x, y)) ⇒ ∀xE(x, x)
1. (∀x∀yE(x, y)) (hip)2. (∀x∀yE(x, y))⇒ (∀yE(x, y)) (K.1a)3. (∀yE(x, y)) (M.P)4. (∀yE(x, y))⇒E(x, x) (A.5)5. E(x, x) (M.P)6. ∀xE(x, x) (GEN)7. (∀x∀yE(x, y))⇒∀xE(x,x)1,6(T.Deducción)x y y son variables ligadas en ∀x∀yE(x, y)
(b) ⊢K [∀x∀y(E(x, y) ⇒ ¬E(y, x))] ⇒ ¬∀xE(x, x)
1. ∀x∀y(E(x, y)⇒¬E(y, x)) (hip)1. ∀x∀y(¬E(x, y)∨¬E(y, x)) def⇒2. ∀y(¬E(x, y)∨¬E(y, x)) 1(K.1a)M.P3. ¬E(x, y)∨¬E(y, x) 2(K.1a)M.P4.1. ¬E(x, y) (hip)4.2. ¬E(x, y)⇒∃x¬E(x, x) 4.1 (K.1b)4.3. ∃x¬E(x, x) 4.1, 4.2 (M.P)4. ¬E(x, y)⇒∃x¬E(x, x) 4.1, 4.3 T.Deducción. noseutilizoGENenlaprueba
5.1. ¬E(y, x) (hip)5.2. ¬E(y, x)⇒∃x¬E(x, x) (K.1b)
24
5.3. ∃x¬E(x, x) 5.1, 5.2 (M.P)5. ¬E(y, x)⇒∃x¬E(x, x) 5.1, 5.3 T.Deducción. noseutilizoGENenlaprueba
6. ∃x¬E(x, x) 3, 4, 5 (L.9)7. ¬∀xE(x, x) 6 (K.3)hemos probado sin aplicar GEN en la prueba[∀x∀y(E(x, y)⇒¬E(y, x))]⊢K ¬∀xE(x, x)
8. [∀x∀y(E(x, y)⇒¬E(y, x))]⇒¬∀xE(x, x) T.Deducción.
(c) ⊢K ∀x(E(x, x) ⇒ ∃yE(x, y))
1. ∀y¬E(x, y)⇒¬E(x, x) (A.5)2. ¬¬E(x, x)⇒¬∀y¬E(x, y) 1(L.7)M.P3. E(x, x)⇒∃yE(x, y) Doble neg. (K.3)4. ∀x(E(x, x)⇒∃yE(x, y)) 3(GEN)
(d) ⊢K [(∀x∀y(E(x, y) ⇒ E(y, x))) ∧ (∀x∀y∀z((E(x, y) ∧ E(y, z)) ⇒ E(x, z)))]
⇒∀x∀y(E(x, y) ⇒ E(x, x))
1. (E(x, y)⇒E(y, x))∧∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z)) (hip)2. E(x, y) (hip)3. E(x, y)⇒E(y, x) 1 (L.15a)M.P.4. E(y, x) 2,3 (M.P)5. ∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z)) 1.(L,15b)M.P.6. (E(x, y)∧E(y, x))⇒E(x, x) 5,(A.5)M.P.x libre
7. (E(y, x)∧E(x, y))⇒E(x, x) 6(L.17e)8. E(y, x)⇒ [E(x, y)⇒E(x, x)] 7(L.19g)9. E(x, y)⇒E(x, x) 4,8(M.P)10. E(x, x) 2,9(M.P)hemos probado(E(x, y)⇒E(y, x))∧∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z)), E(x, y) ⊢K E(x, x)como no utilizamos GEN en la prueba por T.Deducción tenemos(E(x, y)⇒E(y, x))∧∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z))⊢K E(x, y)⇒E(x, x)utilizando T.Deducción por segunda vez, se sigue11. ⊢K[(E(x, y)⇒E(y, x))∧∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z))]⇒ (E(x, y)⇒E(x, x))12. ∀x∀y[(E(x, y)⇒E(y, x))∧∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z))]
⇒∀x∀y(E(x, y)⇒E(x, x)) 11(K.2a)13. [(∀x∀y(E(x, y)⇒E(y, x)))∧ (∀x∀y∀z((E(x, y)∧E(y, z))⇒E(x, z)))]
⇒∀x∀y(E(x, y)⇒E(x, x)) 12(K.5a)
(e) ⊢K ¬∃y∀x(E(x, y) ⇔ ¬E(x, x))
1. ¬¬∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x)) HIP de R.A2. ∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x)) 1 D. Neg.3. ∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x))⇒ (E(y, y)⇔¬E(y, y)) (A.5)
25
4. (E(y, y)⇔¬E(y, y)) 2, 3(M.P)5. E(y, y)∧¬E(y, y) tautología (B⇔¬B)⇔ (B∧¬B)Hemos probado ¬¬∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x))⊢K E(y, y)∧¬E(y, y) sin utilizar (GEN).luego, por Reducción al Absurdo, se sigue6. ⊢K ¬∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x))7. ∀y¬∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x)) 5(GEN)8. ¬∃y∀x(E(x, y)⇔¬E(x, x)) 6(K.3)
(f) Relacionar el inciso anterior con la paradoja del barbero y la paradoja de Russel.
• Sea E(x, y)8 “y afeita a x”, donde y es el barbero;No existe un barbero que afeite a las personas que no se afeitan a si mismas.
• Sea E(x, y)8 (x∈ y)No existe un x, que cumpla que si x∈ y equivale x � x
2.13 Ejercicio.
(a) ⊢K[(∃xB) ⇒ ∀xC] ⇒ ∀x(B ⇒ C) (b) ⊢K (∃x(B ⇒ C)) ⇔ ((∀xB) ⇒ ∀xC)
1. (∃xB)⇒∀xC (hip) 1. ∃x(¬B ∨C)⇔ ((∃x¬B)∨ (∃xC)) (K.5b)1. ¬(∃xB)∨∀xC def⇒ 2. ∃x(¬B ∨C)⇔ ((¬∀xB)∨ (∃xC)) 1(K.3)2. (∀x¬B)∨∀xC 1(K.3) 2. ∃x(B⇒C)⇔ ((∀xB)⇒ (∃xC)) def⇒3. ∀x(¬B ∨C) 2(K.6)M.P.3. ∀x(B⇒C) def⇒4. [(∃xB)⇒∀xC]⇒∀x(B⇒C) 1,3 T.D
(c)⊢K(∀x(B ⇒ C)) ⇒ (∀xB ⇒ ∀xC) (d)⊢K(∀x(B ⇒ C)) ⇒ ((∀x¬C) ⇒ ∀x¬B)
1. ∀x(B⇒C) (hip) 1. ∀x(B⇒C) (hip)2. ∀xB (hip) 2. ∀x(¬C ⇒¬B) 1(L.17f)3. (B⇒C) 1(K.1a)M.P 3. (∀x¬C)⇒ (∀x¬B) 2, (Ejer.2.13c)M.P4. B 2(K.1a)M.P 4. (∀x(B⇒C))⇒ ((∀x¬C)⇒∀x¬B) 1,3 T.D5. C 4,3(M.P)6. ∀xC 5(GEN) (f) ⊢K((∃xB) ⇒ C) ⇒ ((∀xB) ⇒ ∃xC)7. (∀x(B⇒C))⊢K ∀xB⇒ (∀xC) T.D 1. (∃xB)⇒C (hip)8. ⊢K(∀x(B⇒C))⇒ (∀xB⇒∀xC) T.D 2. ∀xB (hip)todas las variables estaban ligadas 3. B 2(K.1a)M.P
4. B⇒∃xB (K.1c)
(e) ⊢K ∃y(B ⇒ ∀yB) 5. ∃xB 3,4(M.P)6. C 5,1(M.P)
1. (∀yB)⇒∃y(∀yB) (K.1c) 7. C⇒∃xC (K.1c)1. ¬(∀yB)∨∃y(∀yB) def⇒ 8. ∃xC 6,7(M.P)2. (∃y¬B)∨∃y(∀yB) 1(K.3) ((∃xB)⇒C), ((∀xB)⊢K ∃xC)3. ∃y(¬B ∨ (∀yB)) 2 (K.5b) 9. ((∃xB)⇒C)⊢K ((∀xB)⇒∃xC) T.D3. ∃y(B⇒ (∀yB)) def⇒ 10. ((∃xB)⇒C)⇒ ((∀xB)⇒∃xC) T.D
26
(g)⊢K[(∀x(B ⇒ (C ∨ D))) ∧ ¬∀x(B ⇒ C)] ⇒ ∃x(B ∧ D) (h)⊢K(∀x∃xB ⇔ ∃xB)
1. (∀x(B⇒ (C ∨D)))∧¬∀x(B⇒C) (hip) 1. ∀x∃xB (hip)2. ¬∀x(B⇒C) 1(L.15b)M.P 2. ∀x∃xB⇒∃xB (K.1a)3. ∃x(B ∧¬C) 2(K.3)(L.19e) 3. ∃xB 1,2(M.P)4. B(c)∧¬C(c) 3 Regla C 4. ∀x∃xB⇒∃xB 1,3 T.D5. ∀x(B⇒ (C ∨D)) 1(L.15a)M.P 5. ∃xB (hip)6. B(c)⇒ (C(c)∨D(c)) 5(A.5)c libre M.P 6. ∀x∃xB 5(GEN)6. B(c)⇒ (¬C(c)⇒D(c)) def⇒ 7. ∃xB⇒∀x∃xB 5,7 T.D7. (B(c)∧¬C(c))⇒D(c) 6(L.19g) 8.∀x∃xB⇔∃xB 4,7(L.14b)8. D(c) 4,7(M.P)9. B(c) 4(L.15a)M.P10. B(c)∧D(c) 9,8(L.14a)11. B(c)∧D(c)⇒∃x(B(x)∧D(x)) (K.1b)12. ∃x(B(x)∧D(x)) 10, 11(M.P)12. ∃x(B ∧D) Notación13.[(∀x(B⇒ (C ∨D)))∧¬∀x(B⇒C)]⇒∃x(B ∧D) 1,12 T.D
(i) ⊢K(∀x((∀xB) ∨ C)) ⇔ ((∀xB) ∨ (∀xC))
1. (∀x((∀xB)∨C))⇔ (∀x((∀xB)∨C)) (L.16a)2. (∀x((∀xB)∨C))⇔ ((∀xB)∨ (∀xC)) (K.7a) xnoes libre en∀xB
(j) ⊢K(∃x((∀xB) ∧ C)) ⇔ ((∀xB) ∧ (∃xC))
1. (∃x((∀xB)∧C))⇔ (∃x((∀xB)∧C)) (L.16a)2. (∃x((∀xB)∧C))⇔ ((∀xB)∧ (∃xC)) (K.7c) xnoes libreen∀xB
(k) ⊢K(∀x(B ∨ C)) ⇒ ((∀xB) ∨ (∃xC))
1. ∀x(B ∨C) (hip)2. ∀x(B ∨C)⇒ (B ∨C) (K.1a)3. (B ∨C) 1,2(M.P)3. ¬B⇒C def⇒4. ∃x¬B⇒∃xC 3(K.2b)5. ¬∀xB⇒∃xC 4(K.3)6. ∀xB ∨∃xC def⇒Doble Neg.7. (∀x(B ∨C))⇒ ((∀xB)∨ (∃xC)) T.Deducción
(l) ⊢K ((∃xB) ∧ (∀xC)) ⇒ ∃x(B ∨ C)
1. (∀x(¬B ∨¬C))⇒ ((∀x¬B)∨ (∃x¬C)) (Ejer 2.13.k)2. ¬((∀x¬B)∨ (∃x¬C))⇒¬(∀x(¬B ∨¬C)) 1 (L.7)M.P3. (¬(∀x¬B)∧¬(∃x¬C))⇒¬(∀x¬(B ∧C)) 2D’Morgan3. ((∃xB)∧¬(∃x¬C))⇒ (∃x(B ∧C)) def ∃4. ((∃xB)∧ (∀xC))⇒ (∃x(B ∧C)) 3(K.3) Doble Neg.
27
2.14 Ejercicio.Si x no es libre en C y y no es libre en B.
(a) ⊢K(∀x∀y(B ∧ C)) ⇔ ((∀xB) ∧ ∀yC)
1. (∀x∀y(B ∧C))⇔ (∀x∀y(B ∧C)) (L.16a)2. (∀x∀y(B ∧C))⇔ (∀x(B ∧∀yC)) 1(K.7b) y no libre en B3. (∀x∀y(B ∧C))⇔ (∀x(∀yC ∧B)) 2(L.17e)4. (∀x∀y(B ∧C))⇔ (∀yC ∧∀xB) 3(K.7b) x no libre en C5. (∀x∀y(B ∧C))⇔ ((∀xB)∧∀yC) 4(L.17e)
(b) ⊢K(∃x∃y(B ∧ C)) ⇔ ((∃xB) ∧ ∃yC)
1. (∃x∃y(B ∧C))⇔ (∃x∃y(B ∧C)) (L.16a)2. (∃x∃y(B ∧C))⇔ (∃x(B ∧∃yC)) 1(K.7c) y no libre en B3. (∃x∃y(B ∧C))⇔ (∃x(∃yC ∧B)) 2(L.17e)4. (∃x∃y(B ∧C))⇔ (∃yC ∧∃xB) 3(K.7c) x no libre en C5. (∃x∃y(B ∧C))⇔ ((∃xB)∧∃yC) 4(L.17e)
(c) ⊢K (∀x∃y(B ∨ C)) ⇔ ((∀xB) ∨ ∃yC)
1. (∀x∃y(B ∨C))⇔ (∀x∃y(B ∨C)) (L.16a)2. (∀x∃y(B ∨C))⇔ (∀x(B ∨∃yC)) (K.7d) y no libre en B3. (∀x∃y(B ∨C))⇔ (∀x(∃yC ∨B)) 2(L.17d)4. (∀x∃y(B ∨C))⇔ (∃yC ∨∀xB) 3(K.7a) x no libre en C5. (∀x∃y(B ∨C))⇔ ((∀xB)∨∃yC) 4(L.17d)
2.15 Ejercicio.Sea Γ un conjunto de hipótesis.
(a) Si B es una sentencia y C es una fórmula tal que Γ, B ⊢K C ,
entonces Γ ⊢K B ⇒ C.Como B no tiene variables libres por ser sentencia, podemos aplicar Teorema deDeducción y tenemos Γ⊢KB⇒C.
(b) Si Γ, B, ¬C⊢K D ∧ ¬D en cuya prueba no se utiliza (GEN) sobrevariables libres de B y de C, entonces Γ ⊢K B ⇒ C.Como no se utiliza (GEN) sobre variables libres; Sea ¬C la Hipótesis de Reduccuiónal Absurdo por T.R.A tenemos Γ,B ⊢K C y T.Deducción Γ⊢KB⇒C.
28
2.16 Ejercicio.Sea C una sentencia tal que C no se puede demostrar en K. Justificar:
(a) K es consistente.Supongamos que K es inconsistente, luego K demuestra cualquier fórmula,particularmente Γ⊢K C, pero por hipótesis C no es demostrable en K, luegoentonces decimos que K es consistente.
(b) La teoría que resulta de añadir ¬C alos axiomas de K es consistente.Supongamos que K∪{¬C}⊢ C es inconsistente, entonces demuestra cualquier fórmulaparticularmente K∪{¬C}⊢ C y K∪{¬C}⊢¬C como C es una sentencia, por Teoremade Deducción tenemos
1. K ⊢¬C⇒¬C2. K ⊢¬C⇒C3. ¬¬C⇒¬¬C 1 (L.7)M.P4. ¬C ⇒¬¬C 2 (L.7)M.P5. K ⊢¬C ∨¬¬C (L.5)6. ¬¬C 3,4,5(L.9)7. C Doble Neg.
Por hipótesis C nose demuestra en K,por tantoK∪{¬C} esconsistente
2.17 Ejercicio.
(a) C ⊢K
(
∀x
B
)
C
1. C (hip)2. B⇒C 1(L.4)
3.(
∀x
B
)
C Proposición4.3
2.18 Ejercicio.
(a) Sea t libre para x enByC(K.10a) (K.10b)
⊢K
(
B(t) ∧
(
∀x
B(x)
)
C(x))
⇒ C(t) ⊢K
(
B ∧
(
∀x
B
)
C)
⇒ C
1. B(t)∧(
∀x
B(x)
)
C(x) (hip) 1.(
B(x)∧(
∀x
B(x)
)
C(x))
⇒C(x) (K.10a)
2. B(t) (L.15a)M.P x libreparaByC
3.(
∀x
B(x)
)
C(x) (L.15b)M.P 1.(
B ∧(
∀x
B
)
C)
⇒C Notación
3. ∀x(B(x)⇒C(x)) def(
∀x
B
)
4. ∀x(B(x)⇒C(x))⇒ (B(t)⇒C(t)) (A.5)5. (B(t)⇒C(t)) 3,4(M.P)6. C(t) 2,5(M.P)como no se utilizo GEN por T.D. tenemos
7.(
B(t)∧(
∀x
B(x)
)
C(x))
⇒C(t)
29
(K.10c) (K.10d)
⊢K(B(t) ∧ C(t)) ⇒
(
∃x
B(x)
)
C(x) ⊢K(B ∧ C) ⇒
(
∃x
B
)
C
1. B(t)∧C(t) (hip) 1.(B(x)∧C(x))⇒(
∃x
B(x)
)
C(x) (K.10c)
2. (B(t)∧C(t))⇒∃x(B(x)∧C(x)) (K.1b) x libreparaByC
3. ∃x(B(x)∧C(x)) 1,2(M.P) 1. (B ∧C)⇒(
∃x
B
)
C Notación
4.(
∃x
B(x)
)
C(x) 3(K.9)
como no se utilizo GEN por T.D.tenemos
5. (B(t)∧C(t))⇒(
∃x
B(x)
)
C(x)
(b)⊢K(∃xB) ⇒
[((
∀x
B
)
C)
⇒
(
∃x
B
)
C]
(c) ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇔
(
∃x
C
)
B
1. ∃xB (hip) 1. (B ∧C)⇔ (C ∧B) (L.17e)
2.(
∀x
B
)
C (hip) 2. ∃x(B ∧C)⇔∃x(C ∧B) 1(K.2d)
3. B(c) 1 Regla C 3.((
∃x
B
)
C)
⇔(
∃x
C
)
B 2(K.9)
4. ∀x(B⇒C) 2 def(
∀x
B
)
5. B(c)⇒C(c) (A.5)M.Pc libreenxparaB
6. C(c) 3,5(M.P)7. B(c)∧C(c) 3,6(L.14a)8. (B(c)∧C(c))⇒∃x(B(x)∧C(x))(K.1b)9. ∃x(B(x)∧C(x)) 7,8(M.P)
10(
∃x
B
)
C 9(K.9)
como no se utilizo GEN por T.D. 2 veces
11. (∃xB)⇒[((
∀x
B
)
C)
⇒(
∃x
B
)
C]
2.19 Ejercicio.(a)(K.11b)B ⇒ (C ⇒ D) ⊢K
((
∃x
B
)
C ⇒
(
∃x
B
)
D)
1. B⇒ (C⇒D) (hip)2. B⇒ (¬D⇒¬C)3. (B⇒¬D)⇒ (B⇒¬C) 2 Resultado de L4. ∀x(B⇒¬D)⇒∀x(B⇒¬C) 3(K.2a)
4.(
∀x
B
)
¬D⇒(
∀x
B
)
¬C def.(
∀x
B
)
5. ¬(
∀x
B
)
¬C⇒¬(
∀x
B
)
¬D 4(L.7)M.P
6.(
∃x
B
)
C⇒(
∃x
B
)
D
30
(K.11d) (K.11e)
B ⇒ (C ⇔ D) ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇔
(
∃x
B
)
D C ⇒ D ⊢K
((
∀x
B
)
C)
⇒
(
∀x
B
)
D
1. B⇒ (C⇔D) (hip) 1. C⇒D (hip)2. B⇒ (¬C⇔¬D) 1(L.16d) 2. (¬B ∨C)⇒ (¬B ∨D) 1(A.4)M.P
3.((
∀x
B
)
¬C)
⇔(
∀x
B
)
¬D 2(K.11c) 2. (B⇒C)⇒ (B⇒D) def ⇒
4.(
¬(
∀x
B
)
¬C)
⇔¬(
∀x
B
)
¬D 3(L.16d) 3. ∀x(B⇒C)⇒∀x(B⇒D) 2(K.2a)
5.((
∃x
B
)
C)
⇔(
∃x
B
)
D def(
∃x
B
)
4.((
∀x
B
)
C)
⇒(
∀x
B
)
D def(
∀x
B
)
(K.11g) (K.11h)
C ⇔ D ⊢K
((
∀x
B
)
C)
⇔
(
∀x
B
)
D C ⇔ D ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇔
(
∃x
B
)
D
1. C⇔D (hip) 1. C⇔D (hip)2. B⇒ (C⇔D) 1(L.4) 2. B⇒ (C ⇔D) 1(L.4)
3.((
∀x
B
)
C)
⇔(
∀x
B
)
D 2(K.11c) 3.((
∃x
B
)
C)
⇔(
∃x
B
)
D 2(K.11d)
(b) B ⇒ C ⊢K
((
∀x
C
)
D)
⇒
(
∀x
B
)
D (c) B ⇒ C ⊢K
((
∃x
B
)
D)
⇒
(
∃x
C
)
D
1. B⇒C (hip) 1. B⇒C (hip)2. ¬C ⇒¬B 1(L.7)M.P 2. ¬C ⇒¬B 1(L.7)M.P3. (D ∨¬C)⇒ (D ∨¬B) 2(A.4)M.P 3. (¬D ∨¬C)⇒ (¬D ∨¬B) 2(A.4)M.P4. (¬C ∨D)⇒ (¬B ∨D) 3(L.17d) 4.¬(¬D∨¬B)⇒¬(¬D ∨¬C) 3(L.7)M.P5. ∀x(¬C ∨D)⇒∀x(¬B ∨D) 4(K.2a) 4. (D ∧B)⇒ (D ∧C) def ∧5. ∀x(C⇒D)⇒∀x(B⇒D) def ⇒ 5. (B ∧D)⇒ (C ∧D) 4(L.17e)
6.((
∀x
C
)
D)
⇒(
∀x
B
)
D def(
∀x
B
)
6. ∃x(B ∧D)⇒∃x(C ∧D) 5(K.2b)
7.((
∃x
B
)
D)
⇒(
∃x
C
)
D 6(K.9)
(d) B ⇔ C ⊢K
((
∀x
B
)
D)
⇔
(
∀x
C
)
D (e) B ⇔ C ⊢K
((
∃x
B
)
D)
⇔
(
∃x
C
)
D
1. B⇔C (hip) 1. B⇔C (hip)2. B⇒C 1(L.15c)M.P 2. B⇒C 1(L.15d)M.P
3.(
∀x
C
)
D⇒(
∀x
B
)
D 2(Ejerc.2.19b) 3.(
∃x
B
)
D⇒(
∃x
C
)
D 2(Ejerc.2.19c)
4. C⇒B 1(L.15d)M.P 4. C ⇒B 1(L.15d)M.P
5.(
∀x
B
)
D⇒(
∀x
C
)
D 4(Ejerc.2.19b) 5.(
∃x
C
)
D⇒(
∃x
B
)
D 4(Ejerc.2.19c)
6.((
∀x
B
)
D)
⇔(
∀x
C
)
D 3,5(L.14b) 6.((
∃x
B
)
D)
⇔(
∃x
C
)
D 3,5(L.14b)
31
2.20 Ejercicio.Sea Γ un conjunto de fórmulas, Si existe una fórmula D tal que Γ,B,¬C ⊢KD∧¬Dy en esta prueba no se utiliza generalización sobre variables libres de B y C, entonces
Γ⊢K
(
∀x
B
)
C.
• Tenemos Γ,B,¬C ⊢KD∧¬D donde ¬C es una Hipótesis de reducción al Absurdo,por Teorema de Reducción al Absurdo Γ,B ,⊢K C, luego por la proposición 4.3tenemos Γ⊢K
(
∀x
B
)
C.
2.21 Ejercicio.Sea B(x) similar a B(y) y C(x) similar a C(y).
(a) ⊢K
((
∀x
B(x)
)
C(x))
⇔
(
(
∀y
B(y)
)
C(y)
)
1. ∀x(B(x)⇒C(x))⇔∀y(B(y)⇒C(y)) (K.4b(i)) por ser similares
2.((
∀x
B(x)
)
C(x))
⇔
(
(
∀y
B(y)
)
C(y)
)
1 def(
∀x
B
)
(b) ⊢K
((
∃x
B(x)
)
C(x))
⇔
(
(
∃y
B(y)
)
C(y)
)
1. ∃x(B(x)∧C(x))⇔∃y(B(y)∧C(y)) (K.4b(ii)) por se similares
2.((
∃x
B(x)
)
C(x))
⇔
(
(
∃y
B(y)
)
C(y)
)
1(K.9)
2.22 Ejercicio.(a)
(K.13b) ⊢K(∃xB) ⇒
[((
∃x
B
)
C)
⇔ C]
1. (∃xB)⇒[((
∀x
B
)
¬C)
⇔¬C]
(K.13a)
2. (∃xB)⇒[(
¬(
∀x
B
)
¬C)
⇔¬¬C]
1(L.16d)
3. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
C)
⇔C]
def(
∃x
B
)
, Doble neg.
(b)
(K.15a) ⊢K
((
∃x
B
)
(C ∧ D))
⇒
(((
∃x
B
)
C)
∧
(
∃x
B
)
D)
1.(
∃x
B
)
(C ∧D) (hip)
2. ∃x(B ∧ (C ∧D)) 1(K.9)3. ∃x((B ∧C)∧ (B ∧D)) tautología4. ∃x((B ∧C)∧ (B ∧D))⇒ (∃x(B ∧C)∧∃x(B ∧D)) (K.6a)5. ∃x(B ∧C)∧∃x(B ∧D) 3,4(M.P)
6.((
∃x
B
)
C)
∧(
∃x
B
)
D 5(K.9)
7.((
∃x
B
)
(C ∧D))
⇒((
(
∃x
B
)
C)
∧(
∃x
B
)
D)
1,6 T.Deducción
32
(K.15b) ⊢K
(((
∀x
B
)
C)
∨
(
∀x
B
)
D)
⇒
(
∀x
B
)
(C ∨ D)
1.(
∃x
B
)
(¬C ∧¬D)⇒((
(
∃x
B
)
¬C)
∧(
∃x
B
)
¬D)
(K.15a)
2. ¬[((
∃x
B
)
¬C)
∧((
∃x
B
)
¬D)]
⇒¬(
∃x
B
)
(¬C ∧¬D) 1(L.7)M.P
3.[
¬((
∃x
B
)
¬C)
∨¬((
∃x
B
)
¬D)]
⇒(
∀x
B
)
¬(¬C ∧¬D) 2,D’Morgan(K.3)
4.[((
∀x
B
)
¬¬C)
∨((
∀x
B
)
¬¬D)]
⇒(
∀x
B
)
(¬¬C ∨¬¬D) 3,(K.3)D’Morgan
5.[((
∀x
B
)
C)
∨((
∀x
B
)
D)]
⇒(
∀x
B
)
(C ∨D) 4 Doble neg.
(c) Sea x una variable que no es libre en C.
(K.16b) ⊢K(∃xB) ⇒
[((
∀x
B
)
(C ∧ D))
⇔
(
C ∧
(
∀x
B
)
D)]
1. ∃xB (hip)
2.((
∀x
B
)
(C ∧D))
⇔((
∀x
B
)
C ∧(
∀x
B
)
D)
(K.14a)
3.((
∀x
B
)
(C ∧D))
⇔(
C ∧(
∀x
B
)
D)
1,2(K.13a)
4. (∃xB)⇒[((
∀x
B
)
(C ∧D))
⇔(
C ∧(
∀x
B
)
D)]
1,3T.Deducción
(K.16c) ⊢K
((
∃x
B
)
(C ∧ D))
⇔
(
C ∧
(
∃x
B
)
D)
1.((
∀x
B
)
(¬C ∨¬D))
⇔(
¬C ∨(
∀x
B
)
¬D)
(K.16a)
2. ¬((
∀x
B
)
(¬C ∨¬D))
⇔¬(
¬C ∨(
∀x
B
)
¬D)
(L.16a)
3.((
∃x
B
)
¬(¬C ∨¬D))
⇔(
¬¬C ∧¬(
∀x
B
)
¬D)
(K.3)D’Morgan
4.((
∃x
B
)
(¬¬C ∧¬¬D))
⇔(
¬¬C ∧(
∃x
B
)
¬¬D)
D’Morgan (K.3)
5.((
∃x
B
)
(C ∧D))
⇔(
C ∧(
∃x
B
)
D)
Doble neg.
(d) Sea x una variable no libre en C y y una variable no libre en B.
(K.17b) ⊢K
((
∃x
B
)(
∃y
C
)
D)
⇔
((
∃y
C
)(
∃x
B
)
D)
1.((
∀x
B
)(
∀y
C
)
¬D)
⇔((
∀y
C
)(
∀x
B
)
¬D)
(K.17a)
2. ¬((
∀x
B
)(
∀y
C
)
¬D)
⇔¬((
∀y
C
)(
∀x
B
)
¬D)
1(K.16d)
3.((
∃x
B
)
¬(
∀y
C
)
¬D)
⇔((
∃y
C
)
¬(
∀x
B
)
¬D)
2(K.3)
4.((
∃x
B
)(
∃y
C
)
¬¬D)
⇔((
∃y
C
)(
∃x
B
)
¬¬D)
3(K.3)
5.((
∃x
B
)(
∃y
C
)
D)
⇔((
∃y
C
)(
∃x
B
)
D)
Doble neg.
33
(e) ⊢K (∃x) ⇔
[((
∀x
B
)
C)
⇒
(
∃x
B
)
C]
1.((
∀x
B
)
C)
⇒(
∃x
B
)
C (hip)
2. ∀x(B⇒C)⇒∃x(B ∧C) 1 def(
∀x
B
)
, (K.9)
3. ¬∀x(B⇒C)∨∃x(B ∧C) def ⇒4. ∃x(B ∧¬C)∨∃x(B ∧C) 3(K.3)(L.19e)5. ∃x((B ∧¬C)∨ (B ∧C)) 4(K.5b)6. ∃x(B ∧ (¬C ∨C)) 5(L.19c)7. ∃xB ∧∃x(¬C ∨C)) 6(K.6a)M.P8. ∃xB (L.15a)M.P
9.[((
∀x
B
)
C)
⇒(
∃x
B
)
C]
⇒∃xB 1,8 T.Deducción
10. (∃x)⇒[((
∀x
B
)
C)
⇒(
∃x
B
)
C]
Ejerc.2.18b
11. (∃x)⇔[((
∀x
B
)
C)
⇒(
∃x
B
)
C]
9,10 (L.14b)
2.23 Ejercicio.En cada caso, establezca un contraejemplo para verificar que las siguientesafirmaciones no son lógicamente validas.
(a)((
∀x
B
)
C)
⇒
(
∃x
B
)
C
Sean B8 (x <x) C 8 (x6 x)∀x((x < x)⇒ (x 6x))⇒∃x((x < x)∧ (x6 x))
(b)(
∃x
B
)
C ⇔ C cuando x no es libre en C
Sean B8 (x� x) C: =(x= x)∃x((x� x)∧ (x= x))⇔ (x= x))
(c)((
∀x
B
)
(C ∧ D))
⇔
(
C ∧
(
∀x
B
)
D)
cuando x no es libre en C
Sean B8 (x < 0) C 8 (x =2) D8 (x =0)∀x((x < 0)⇒ ((x =2)∧ (x= 0)))⇔ ((x=2)∧ (∀x((x < 0)⇒ (x= 0))))
(d)(
∃x
B
)
(C ∨ D) ⇔
(
C ∨
(
∃x
B
)
D)
Sean B8 (x� x) C 8 (x2 > 0) D8 (6 +x > 3)
∃x((x� x)∧ ((x2 > 0)∨ (6 + x > 3)))⇔ ((x2 > 0)∨∃x((x� x)∧ (6 +x > 3)))
2.24 Ejercicio.(a) Si x no es libre en C,
(i)⊢K
((
∀x
B
)
(C ⇒ D))
⇔
(
C ⇒
(
∀x
B
)
D)
1. (B⇒ (C⇒D))⇔ (C⇒ (B⇒D)) (L.19f)2. ∀x(B⇒ (C⇒D))⇔∀x(C⇒ (B⇒D)) 1 (K.2c)3. ∀x(B⇒ (C⇒D))⇔ (C⇒∀x(B⇒D)) 2(Ejerc.2.9a(i))
3.((
∀x
B
)
(C⇒D))
⇔(
C⇒(
∀x
B
)
D)
def(
∀x
B
)
34
(ii) ⊢K(∃xB) ⇒
[((
∃x
B
)
(C ⇒ D))
⇔
(
C ⇒
(
∃x
B
)
D)]
1. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(¬C ∨D))
⇔(
¬C ∨(
∃x
B
)
D)]
(K.16d)
1. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(C⇒D))
⇔(
C⇒(
∃x
B
)
D)]
def ⇒
(b) Si x no es libre en D,
(i) ⊢K
((
∀x
B
)
(C ⇒ D))
⇔
(((
∃x
B
)
C)
⇒ D)
1. (B⇒ (C⇒D))⇔ (¬B ∨ (¬C ∨D)) def ⇒2. (B⇒ (C⇒D))⇔ (D ∨ (¬B ∨¬C)) 1(L.19b)2. (B⇒ (C⇒D))⇔ (¬D⇒ (B⇒¬C)) def ⇒3. ∀x(B⇒ (C⇒D))⇔∀x(¬D⇒ (B⇒¬C)) (K.2c)4. ∀x(B⇒ (C⇒D))⇔ (¬D⇒∀x(B⇒¬C)) 3(Ejerc.2.9a(i))
4.((
∀x
B
)
(C⇒D))
⇔(
¬D⇒(
∀x
B
)
¬C)
def ⇒
5.((
∀x
B
)
(C⇒D))
⇔(
¬(
∀x
B
)
¬C⇒¬¬D)
(L.17f)
6.((
∀x
B
)
(C⇒D))
⇔((
(
∃x
B
)
C)
⇒D)
def(
∃x
B
)
, Doble neg.
(ii) ⊢K(∃xB) ⇒
[((
∃x
B
)
(C ⇒ D))
⇔
(((
∀x
B
)
C)
⇒ D)]
1. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(¬D⇒¬C))
⇔(
¬D⇒(
∃x
B
)
¬C)]
(Ejerc.2.24a(ii))
2. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(¬¬C⇒¬¬D))
⇔(
¬(
∃x
B
)
¬C ⇒¬¬D)]
(L.17f)
2. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(¬¬C⇒¬¬D))
⇔(
¬¬(
∀x
B
)
¬¬C⇒¬¬D)]
def(
∃x
B
)
3. (∃xB)⇒[((
∃x
B
)
(C⇒D))
⇔((
(
∀x
B
)
C)
⇒D)]
Doble neg.
2.25 Ejercicio.
(a) ⊢K (∀xC) ⇒
(
∀x
B
)
C (b) ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇒ ∃xC
1. ∀xC (hip) 1.(
∃x
B
)
C (hip)
2. ∀xC⇒C (K.1) 2. ∃x(B ∧C) 1(K.9)3. C 1,2(M.P) 3. ∃xB ∧∃xC 2(K.6a)M.P4. B⇒C 3(L.4) 4. ∃xC 3(L.15b)M.P
5. ∀x(B⇒C) GEN 5.((
∃x
B
)
C)
⇒∃xC 1,4 T.D
6.(
∀x
B
)
C def(
∀x
B
)
7. ∀xC⇒(
∀x
B
)
C 1,6 T.D
35
(c) C ⇒ B ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇔ ∃xC (d) ¬C ⇒ B ⊢K
((
∀x
B
)
C)
⇔ ∀xC
1. C⇒B (hip) 1. ¬C⇒B (hip)2. ¬B⇒¬C 1(L.7)M.P 2. ¬B⇒C 1(L.7)M.P,Doble neg.3. (¬C ∨¬B)⇒ (¬C ∨¬C) 2(A,4)M.P 3. (¬B ∨C)⇒ (C ∨C) 2(A.4)M.P4. ¬(C ∧B)⇒¬(C ∧C) 3D’Morgan 3. (B⇒C)⇒C def ⇒5. ¬(B ∧C)⇒¬C 4(L.17e.c) 4. C ⇒ (B⇒C) (L.2)def⇒6. ¬¬C⇒¬¬(B ∧C) 6(L.7)M.P. 5. (B⇒C)⇔C 3,4(L.14b)7. C⇒ (B ∧C) Doble neg. 6. ∀x(B⇒C)⇔∀xC 5(K.2c)
8. ∃xC⇒∃x(B ∧C) 7(K.2b) 7.((
∀x
B
)
C)
⇔∀xC
9. (B ∧C)⇒C (L.15b)10. ∃x(B ∧C)⇒∃xC 9(K.2b)11. ∃x(B ∧C)⇔∃xC 8,10(L.14b)
12.((
∃x
B
)
C)
⇔∃xC 11.(K.9) (f) B ⊢K
((
∀x
B
)
C)
⇔ ∀xC
1. B (hip)
(e) B ⊢K
((
∃x
B
)
C)
⇔ ∃xC 2. ¬¬B 1 Doble neg.
3. (¬B ∨C)⇔C 2(L.20b)1. B (hip) 3. (B⇒C)⇔C def ⇒2. (B ∧C)⇔C 1(L.20a) 4. ∀x(B⇒C)⇔∀xC 3(K.2c)
3. ∃x(B ∧C)⇔∃xC 2(K.2d) 4.((
∀x
B
)
C)
⇔∀xC def(
∀x
B
)
3.((
∃x
B
)
C)
⇔∃xC def(
∃x
B
)
2.26 Ejercicio. Si x no es libre en C
(a) ⊢K
(
∀x
(
∀y
C
)
D)
⇔
(
∀y
C
)
∀xD
1. ∀x∀y(C⇒D)⇔∀y∀x(C ⇒D) (K.8a)1. ∀x∀y(C⇒D)⇔∀y∀x(¬C ∨D) def ⇒2. ∀x∀y(C⇒D)⇔∀y(¬C ∨∀xD) 1(K.7a)2. ∀x∀y(C⇒D)⇔∀y(C⇒∀xD) def ⇒
2.(
∀x
(
∀y
C
)
D)
⇔(
∀y
C
)
∀xD def(
∀x
B
)
(b) ⊢K
(
∃x
(
∃y
C
)
D)
⇔
(
∃y
C
)
∃xD
1.(
∀x
(
∀y
C
)
¬D)
⇔(
∀y
C
)
∀x¬D Ejerc.2.26a
2. ¬(
∀x
(
∀y
C
)
¬D)
⇔¬(
∀y
C
)
∀x¬D 1(L.16d)
3.(
∃x¬(
∀y
C
)
¬D)
⇔(
∃y
C
)
¬∀x¬D 2(K.3)(K.12)
4.(
∃x
(
∃y
C
)
¬¬D)
⇔(
∃y
C
)
∃x¬¬D 3(K.12)(K.3)
5.(
∃x
(
∃y
C
)
D)
⇔(
∃y
C
)
∃xD 4 Doble neg.
36
(c) ⊢K
(
∃x
(
∀y
C
)
D)
⇒
(
∀y
C
)
∃xD
1. ∃x∀y(C⇒D)⇒∀y∃x(C ⇒D) (K.8d)1. ∃x∀y(C⇒D)⇒∀y∃x(¬C ∨D) def ⇒2. ∃x∀y(C⇒D)⇒∀y(¬C ∨∃xD) 1 (K.7c)2. ∃x∀y(C⇒D)⇒∀y(C⇒∃xD) def ⇒
2.(
∃x
(
∀y
C
)
D)
⇒(
∀y
C
)
∃xD def(
∀x
B
)
(d) ⊢K
((
∃y
C
)
∀xD)
⇒ ∀x
(
∃y
C
)
D
1.(
∃x
(
∀y
C
)
¬D)
⇒(
∀y
C
)
∃x¬D Ejerc.2.26c
2. ¬(
∀y
C
)
∃x¬D⇒¬∃x
(
∀y
C
)
¬D 1(L.7)M.P
3.(
∃y
C
)
¬∃x¬D⇒∀x¬(
∀y
C
)
¬D 2(K.12)(K.3)
4.((
∃y
C
)
∀x¬¬D)
⇒∀x
(
∃y
C
)
¬¬D 3(K.3)(K.12)
5.((
∃y
C
)
∀xD)
⇒∀x
(
∃y
C
)
D 4 Doble neg.
2.27 Ejercicio.
(a) (I.1c) ⊢K (t = r ∧ r = s) ⇒ t = s
Probemos primero que ⊢K∀x∀y∀z(x= y⇒ (y = z⇒ x= z))Sean B(y, y)8 (y = z) y B(y, x)8 (x= z)1. y = x⇒ (y = z⇒x = z) (A.8)2. x= y⇒ y =x (I.1b)3. x= y⇒ (y = z⇒x = z) 2,1(L.1)4. ∀x∀y∀z(x = y⇒ (y = z⇒ x = z)) (GEN) 3 vecesSean x, y, z, variables que no aparecen en t, s, r
1. ∀x∀y∀z(x = y⇒ (y = z⇒ x = z)) ya probado2. ∀y∀z(t = y⇒ (y = z⇒ t= z)) 1(A.5)M.P3. ∀z(t= r⇒ (r = z⇒ t= z)) 2 (A.5)M.P4. (t= r⇒ (r = s⇒ t= s)) 3 (A.5)M.P5. (t= r∧ r = s)⇒ t= s 4(L.19g)
(b) Utilice el Lema I.2 para dar una prueba mas directa de (b) y (c) de Lema I.1
(I.1b)⊢K t = s⇒ s = t
1. t= s⇒ (t= t⇔ s= t) (I.2)2. (t= t⇔ s= t)⇒ (t= t⇒ s= t) (L.15c)3. t= s⇒ (t= t⇒ s= t) 1,2 (L.1)4. t= t⇒ (t= s⇒ s= t) 3(L.19f)
37
5. t= t (I.1a)6. (t= s⇒ s= t) 4,5(M.P)
(I.1c) (c) ⊢K ∃x(x = y)⊢K (t = r ∧ r = s) ⇒ t = s razonemos por R.A
Sean B(t, t)8 (r = s) y B(t, s)8 (t= s) 1. ¬∃x(x = y) hip de R.A1. r = t⇒ (r = s⇔ t= s) (I.2) 2. ∀y(x� y) 1(K.3)2. (r = s⇔ t= s)⇒ (r = s⇒ t = s) (L.15c) 3. (x� x) 2(A.1)M.P3. r = t⇒ (r = s⇒ t= s) 1,2(L.1) 4. x= x (A.7)(A.5)M.P4. t = r⇒ r = t (I.1b) de 3,4, por teorema de Reducción5. t = r⇒ (r = s⇒ t= s) 3,4 (L.1) al Absurdo y T.Deducción6. (t= r∧ r = s)⇒ t= s 5(L.19g) se tiene ⊢K ∃x(x= y)
(d) Si y es libre para x enB(x) (e) ⊢K t = s ⇔ s = t
⊢K(B(x) ∧ ¬B(y)) ⇒ x� y Sean t y s términos
1. x = y⇒ (B(x, x)⇒B(y, x)) (A.8) 1. t= s⇒ s= t (I.1b)2.¬(B(x, x)⇒B(y, x))⇒ x� y 1(L.7)M.P 2. s= t⇒ t= s (I.1b)3. (B(x, x)∧¬B(y, x))⇒ x� y 2(L.19e) 3. t= s⇔ s= t 1,2(L.14b)3. (B(x)∧¬B(y))⇒ x� y notación
2.28 Ejercicio.Sea t un término que no contiene la variable x y que es libre para x en B(x)
(a) ⊢K
((
∃x
x= t
)
B(x))
⇔ B(t)
veamos ⊢K∀y(¬B(y)⇒ (x = y⇒¬B(x)))
Sean B(x, x)8 (¬B(y, x)) y B(x, y)8 (¬B(x, x)) donde x, y variables que noaparecen en t.
1. x= y⇒ (¬B(y, x)⇒¬B(x, x)) (A.8)1. x= y⇒ (¬B(y)⇒¬B(x)) notación2. ¬B(y)⇒ (x = y⇒¬B(x)) (L.19f)3. ∀y(¬B(y)⇒ (x= y⇒¬B(x))) 2(GEN)
1. ¬B(t) (hip)2. ∀y(¬B(y)⇒ (x= y⇒¬B(x))) ya probado3. ¬B(t)⇒ (x= t⇒¬B(x)) 2 (A.5)4. x= t⇒¬B(x) 1,3(M.P)5. ∀x(x = t⇒¬B(x)) 4(GEN)
5.(
∀x
x = t
)
¬B(x) def(
∀x
B
)
6. ¬B(t)⇒(
∀x
x = t
)
¬B(x) 1,5T.Deducción. t un término que no contiene
la variable x y que es libre para x en B(x) por hip.
38
7.(
∀x
x = t
)
¬B(x) (hip)
7. ∀x(x = t⇒¬B(x)) def(
∀x
B
)
8. t= t⇒¬B(t) 7(A.5)M.P9. t= t (I.1a)10. ¬B(t) 8,9 (M.P)
11.(
∀x
x = t
)
¬B(x)⇒¬B(t) 7,10 T.Deducción.
12.(
∀x
x = t
)
¬B(x)⇔¬B(t) 6,11(L.14b)
13. ¬(
∀x
x = t
)
¬B(x)⇔¬¬B(t) 12(L.16d)
14.((
∃x
x = t
)
B(x))
⇔B(t) 13 def(
∃x
B
)
, Doble neg.
(b) ⊢K
((
∀x
x= t
)
B(x))
⇔ B(t)
1.((
∃x
x= t
)
¬B(x))
⇔¬B(t) Ejerc.2.28a
2. ¬((
∀x
x = t
)
B(x))
⇔¬B(t) 1(K.12)
3. ¬¬((
∀x
x = t
)
B(x))
⇔¬¬B(t) 2(L.16a)
4.((
∀x
x= t
)
B(x))
⇔B(t) 3 Doble neg.
2.29 Ejercicio. (Cambio de Variable)Sea t(x) un término (que depende de la variable x) que no contiene la variable y yque es libre para y en B(y). Sea T (y) la fórmula ∃x(y = t(x)).
(a) ⊢K
((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇔ ∀xB(t(x))
1.(
∀y
T (y)
)
B(y) (hip)
1. ∀y(∃x(y = t(x))⇒B(y)) def(
∀x
B
)
2. ¬∀xB(t(x)) hip de R.A3. ∃x¬B(t(x)) 2(K.3)4. ¬B(t(a)) 3 Regla C.5. ∃x(t(a) = t(x))⇒B(t(a)) 1 (A.5)M.P6. ∃x(t(a) = t(x)) Ejerci.2.27c instansiación para téminos.7. B(t(a)) 6,5 (M.P)En 4 y 5 se genera contradición, por T.Reducción al Absurdo y T.Deducción tenemos
8.((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇒∀xB(t(x))
9. ∀xB(t(x)) (hip)10. ¬∀y(∃x(y = t(x))⇒B(y)) hip de R.A11. ∃y¬(∃x(y = t(x))⇒B(y)) 10(K.3)12. ¬(∃x(c = t(x))⇒B(c)) 11 Regla C.13. ∃x(c = t(x))∧¬B(c) (L.19e)
39
14. ∃x(c = t(x)) 13(L.15a9M.P.15. c = t(b) 14 Regla C.16. ¬B(c) 13(L.15b)M.P.17. ¬B(t(b)) 15,16 sustitución por iguales18. B(t(b)) 9(A.5)M.P.De 17, 18 se genera contradicción, por T.Reducción al Absurdo y T.Deducción tenemos
19. ∀xB(t(x))⇒((
∀y
T (y)
)
B(y))
20.((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇔∀xB(t(x)) 8, 19 (L.14b)
(b) ⊢K
((
∃y
T (y)
)
B(y))
⇔ ∃xB(t(x))
1.((
∀y
T (y)
)
¬B(y))
⇔∀x¬B(t(x)) Ejerc.2.29a
2. ¬((
∀y
T (y)
)
¬B(y))
⇔¬∀x¬B(t(x)) 1(L.16d)
3.((
∃y
T (y)
)
B(y))
⇔¬¬∃xB(t(x)) 2 def(
∃x
B
)
,(K.3)
4.((
∃y
T (y)
)
B(y))
⇔∃xB(t(x)) 3 Doble neg.
(c) Si t(x) es x, pruebe que los resultados anteriores prueban directamente K.4b
(K.4b(i))1. ∃x(y =x) Ejerc.2.27c.2. ∀y(∃x(y =x)⇒B(y))⇔∀xB(x) Ejerc.2.29a.3. ∀y¬(∃x(y = x)∧¬B(y))⇔∀xB(x) tautología.4. ∀y¬¬B(y)⇔∀xB(x) 1,3 eliminacion de la verdad en ∧5. ∀yB(y)⇔∀xB(x) 4 Doble neg.
(K.4b(ii))1. ∃x(y =x) Ejerc.2.27c.2. ∃x(∃x(y = x)∧B(y))⇔∃xB(x) Ejerc.2.29b.3. ∃xB(y)⇔∃xB(x) 2,1 eliminacion de la verdad en ∧
2.30 Ejercicio. (Cambio de Variable para Cuantificadores Acotados)Sea t(x) un término (que depende de la variable x) que no contiene la variable y y
que es libre para y enB(y). Sea T (y) la fórmula(
∃x
D(x)
)
(y = t(x)).
(a) ⊢K
((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇔
(
∀x
D(x)
)
B(t(x))
1.(
∀y
T (y)
)
B(y) (hip)
2. ∀y(∃x(D(x)∧ y = t(x))⇒B(y)) def(
∀x
B
)
40
3. D(x) (hip)4. ∃x(D(x)∧ t(x) = t(x))⇒B(t(x)) 2 (A.5)M.P5. ∃x(t(x) = t(x))⇒B(t(x)) 3,4 eliminacion de la verdad en ∧6. (t(c)= t(c))⇒B(t(x)) 5 Regla C.7. t(c) = t(c) (I.1a)8. B(t(x)) 6,7(M.P)9. ∀x(D(x)⇒B(t(x))) 3,8T.Deducción,(GEN)En 1,9 por T.Deducción tenemos((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇒∀x(D(x)⇒B(t(x)))((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇒(
∀x
D(x)
)
B(t(x)) def(
∀x
B
)
10.(
∀x
D(x)
)
B(t(x)) (hip)
10. ∀x(D(x)⇒B(t(x))) def(
∀x
B
)
11. ¬∀y(∃x(D(x)∧ y = t(x))⇒B(y)) hip de R.A12. ∃y¬(∃x(D(x)∧ y = t(x))⇒B(y)) 11(K.3)13. (∃x(D(x)∧ a = t(x))∧¬B(a)) 12 Regla C. (L.19e)14. ∃x(D(x)∧ a= t(x)) 13(L.15a)M.P15. D(b)∧ a = t(b) 14 Rgla C.16. a= t(b) 15(L.15b)M.P17. ¬B(a) 13(L.15b)M.P18. ¬B(t(b)) 16,17 sustitución por iguales.19. D(b)⇒B(t(b)) 10 (A.5)M.P20. B(t(b)) 15(L.15aM.P) y M.P. con 19En 18, 20 se genera contradición, luego por T.de Reducción al Absurdoy T.Deducción entre 10,20.
21.(
∀x
D(x)
)
B(t(x))⇒(
∀y
T (y)
)
B(y)
22.((
∀y
T (y)
)
B(y))
⇔(
∀x
D(x)
)
B(t(x)) 9,21(L.14b)
(b) ⊢K
((
∃y
T (y)
)
B(y))
⇔
(
∃x
D(x)
)
B(t(x))
1.((
∀y
T (y)
)
¬B(y))
⇔(
∀x
D(x)
)
¬B(t(x)) Ejerc.2.30a.
2. ¬((
∀y
T (y)
)
¬B(y))
⇔¬(
∀x
D(x)
)
¬B(t(x)) (L.16a)
3.((
∃y
T (y)
)
B(y))
⇔(
∃x
D(x)
)
B(t(x)) 2 def(
∃x
B
)
2.31 Ejercicio.
⊢K ∀x∃!y(x = y)
1. (x = y)∧ (z = y) (hip)Sean B(x, x): =[(x = y)= (x= y)] y B(x, y)8 [(x= y) = (z = y)]
41
2. x= z⇒ (((x= y)= (x = y))⇒ ((x = y) = (z = y))) (A.8)3. ((x= y) = (x = y))⇒ (x= z⇒ ((x = y) = (z = y))) 2(L.19f)4. (x = y) = (x= y) (A.7) instansiación.5. x= z⇒ ((x = y) = (z = y)) 4,3(M.P)6.1. (x= y)∧ (y = z)⇒ (x = z) instansiación de lo ya mostrado para I.26. (x = y)∧ (z = y)⇒ (x= z) (L.17e)(L.19g)trans. con (I.b),(L.19g)(L.17e)7. (x = z) 1,6(M.P)8. (x = y) = (z = y) 5,7(M.P)9. ((x= y)∧ (z = y))⇒ ((x = y) = (z = y)) 1,8 T.Deducción10. ∀x∀z((x= y)∧ (z = y))⇒ ((x = y) = (z = y)) 9(GEN) dos veces11. ∃y(x = y) Ejerc.2.27c.12. ∃y(x = y)∧∀x∀z((x = y)∧ (z = y))⇒ ((x = y)= (z = y)) 10,11(L.14a)12. ∃!y(x= y) def ∃!13. ∀x∃!y(x = y) 12(GEN)
2.32 Ejercicio.
(a) ⊢K(∃!xC(x)) ⇔ ∃x∀y(C(y) ⇔ x = y)
1. ∃!xC(x) (hip)1. (∃xC(x))∧∀x∀y((C(x)∧C(y))⇒ x = y) def ∃!2. ∃xC(x) 1 (L.15a)M.P3. C(a) 2 Regla C.4. ∀x∀y((C(x)∧C(y))⇒ x= y) 1 (L.1b)M.P5. ∀y((C(a)∧C(y))⇒ a = y) 4(A.5)M.P.6. ∀y(C(y)⇒ a= y) 3,5 Eliminación de la verdad en ∧7. x= y⇒ (C(x, x)⇒C(y, x)) (A.8)7. x= y⇒ (C(x)⇒C(y)) notación8. ∀x∀y(x= y⇒ (C(x)⇒C(y))) 7(GEN) dos veces8. ∀x∀y(x= y⇒ (¬C(x)∨C(y))) def ⇒9. ∀y(a= y⇒ (¬C(a)∨C(y))) 8(A.5)M.P10. ∀y(a = y⇒ (C(y)) 9,3 Eliminación de la falsa en el antecedente, en ∨11. ∀y(C(y)⇒ a = y)∧∀y(a = y⇒ (C(y)) 6,10 (L.14a)12. ∀y((C(y)⇒ a= y)∧ (a = y⇒ (C(y))) 11(K.5a)12. ∀y((C(y)⇔ a= y)) def ⇔13. ∃x∀y((C(y)⇔ x= y)) 12(K.1b)M.P.14. (∃!xC(x))⇒∃x∀y(C(y)⇔ x = y) 1,13 T.Deducción
15. ∃x∀y(C(y)⇔ x= y) (hip)16. ∃x(∀y(C(y)⇒ x= y)∧∀y(x = y⇒ (C(y))) def ⇔, (K.5a)17. ∀y(C(y)⇒ d = y)∧∀y(d = y⇒ (C(y)) 16 Regla C.18. ∀y(d = y⇒ (C(y)) 17 (L.15b)M.P19. d = d⇒ (C(d)) 18(A.5)M.P20. C(d) 19(I.1a)M.P.
42
21. ∀y(C(y)⇒ d = y) 17 (L.15a)M.P22. C(d)∧∀y(C(y)⇒ d = y) 20,21 (L.14a)23. ∃x(C(x)∧∀y(C(y)⇒ x = y)) 22 (K.1b)M.P.24. ∃!xC(x) 23 (I.5a)25. ∃x∀y(C(y)⇔ x= y)⇒∃!xC(x) 15,24 T.Deducción.26. (∃!xC(x))⇔∃x∀y(C(y)⇔ x = y) 14, 25 (L.14a)
