Dirección General de Educación Superior Tecnológica

Instituto Tecnológico de Tijuana

Departamento Académico de “Ingeniería Eléctrica y Electrónica”

Ingeniería Electrónica

Probabilidad y Estadística

5R2

Unidad I

SALAZAR LAZARENO EDUARDO

No control: 09210873

Facilitador: MC COLUNGA ALDANA ANGELA

1.- Indicar cuál es la moda en las siguientes series y qué tipo de moda es:

[1,3,8,4,2,1,8,9,10,11,5]

Bimodal, Moda= 1 y 8

[a,b,y,t,h,d,g,j,s,d,f,g,h,j,e]

Multimodal, Moda=j,g,h y d

[123,5,1,2,3,55]

Amodal, No tiene moda

[uno, 2, tres, cuatro, 4,9]

Amodal,No tiene moda

[1,1,2,2,3,4,5,6,7]

Son adyacente ,Moda=1.5

[1,1,2,3,4,5,6,7,7]

Bimodal, Moda=1 y 7

[1,2,6,5,4,2,8,4,6,2,1,9,7,3,5,4,6,8]

Bimodal, Moda=4 y6

fi

[100,105) 7

[105,110) 15

[110,115) 42

[115,120) 27

[120,125) 9

100

Incluir también el valor aproximado

MODA

VALOR APROXIMADO

0 L1F1 F1 1

Fi F1 1( ) F1 F1 1 ai 110

42 15( )5

42 15( ) 42 27( ) 133.214

0 L1F1 1

F1 F1 1( ) F1 F1 1 ai 110

27

42 15( ) 42 27( )5 113.214

fi

[100,104) 8

[104,110) 24

[110,116) 42

[116,122) 18

[122,132) 20

112

Incluir también el valor aproximado, calcular hi

2. La mediana se puede hallar para que tipo de variables

Cualitativas

Cuantitativas

Ambas

Ninguna

3. La mediana se puede hallar solo en datos ordenados

De menor a mayor

De mayor a menor

Ambas

Ninguna

Desordenados

4. Calcular Mediana para los siguientes casos (primero ordenar números)

hi

hifi

ai

42

67

moda

0 L1hi hi 1

hi hi 1( ) hi hi 1( )ai 110

6 7 4( )

7 4( ) 7 3( )5 112.571

valor aproximado

0 L1hi

hi 1( ) hi 1( )ai 110

7

6 86 113

[1,3,8,4,2,1,8,9,10,11,5]

[1,1,2,3,4,5,8,8,9,10,11]

Mediana=5

[123,5,1,2,3,55]

[1, 2, 3, 5, 55, 123]

Mediana=(3+5)/2 =4

[1,1,2,2,3,4,5,6,7]

Mediana=3

[1,1,2,3,4,5,6,7,7]

Mediana=4

[1,2,6,5,4,2,8,4,6,2,1,9,7,3,5,4,6,8]

[1,1,2,2,2,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,8,8,9]

Mediana=(4+5)/2 =4.5

[1,2,3]

Mediana=2

[1,2,2,3]

Mediana=(2+2)/2 =2

1. Las tablas de distribución de frecuencia para datos agrupados se utilizan en la mayoría de los casos cuando tenemos:

a. Variables discretas

b. Variables continuas

c. Ambas

d. Ninguna

2. Durante la clase de probabilidad impartida a jóvenes de la carrera Ingeniería en

Electrónica se registraron los siguientes resultados en las tareas entregadas: 80, 60, 100, 70, 90, 70, 100, 70, 100, 80, 80, 35, 80, 60, 100, 80, 100, 100, 60, 50, 80, 70 y

ocho 0’s.

Realizar tabla de distribución de frecuencia para datos no agrupados

Xi Recuento fi Fi ni Ni

0 8 8 8 26.666% 26.666%

35 1 1 9 3.333% 29.999%

50 1 1 10 3.333% 33.332%

60 3 3 13 10% 43.332%

70 4 4 17 13.333% 56.665%

80 6 6 23 20% 76.665%

90 1 1 24 3.333% 79.998%

100 6 6 30 20% 99.998%

Moda:0

N=30

Media = ∑fixi/N =(0(8)+35+50+60(3)+70(4)+80(6)+90+100(6))/30 =57.166

Mediana=(N/2 + (N/2+1))/2 = (X15+X16)/2 =(70+70)/2 =70

0,0,0,0,0,0,0,0,35,50,60,60,60,70,70,70,70,80,80,80,80,80,80,90,100,100,100,100,100,100.

Varianza

S2= ∑fi(xn)2/N =(8(0)2+(35)2 + (50)2 +3(60)2+4(70)2+6(80)2+(90)2+6(100)2)/30 -(57.166)2

=1419.548

Desviación estándar

S=√S2

S=√(1419.548)=37.676

3. Construcción de una tabla de datos agrupados 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

Utilizar amplitud de 6 y comenzar en [3,9)

Orden(3,7,11,13,13,15,15,17,20,22,24,25,26,27,28,28,29,31,32,32,33,34,34,34,35,35,36,36,

37,38,38,38,39,39,41,42,43,44,47,48)

Intervalo Ci fi Fi ni Ni

[3,9) 6 2 2 5% 5%

[9,15) 12 3 5 7.5% 12.5%

[15,21) 18 4 9 10% 22.5%

[21,27) 24 4 13 10% 32.5%

[27,35) 31 11 24 27.5% 60%

[35,39) 37 8 32 20% 80%

[39,45) 42 6 38 15% 95%

[45,51) 48 2 40 5% 100%

Moda

Mo=27+6(11-4)/((11-4)+(11-8)) =31.2

Mediana

N=40

Me=27+6(20-13)/11 =30.818

Media

Xi=Ci

Media=(6*2+12*3+18*4+24*4+31*11+37*8+42*6+48*2)/40=30.025

Variación

σ 2 =(72+432+1296+2304+10571+10952+10584+4608)/40 –(30.025)2 =118.974

Dispersión estándar.

σ=√118.974 =10.90

Problemas a realizar o investigar.

1. Dada la siguiente serie de datos a. Realizar tabla de distribución de frecuencias, agrupando dichos datos con intervalo en

base al último digito de su número de control, ejemplo 09210788 con intervalo de 8.

b. Calcular los cuartiles.

c. Calcular los deciles D3, D6 y D9.

d. Calcular los percentiles P (de los últimos 10 números primos si el límite es el 97); [97, 89,…, 53].

e. Realizar Histograma de frecuencias absolutas y acumuladas, con su respectivo polígono de frecuencias en cada histograma y gráfica de ojiva (agregar definición y diferencia de esta comparada con el polígono de frecuencias).

f. Elaborar diagrama de tallo y hojas.

g. Calcular moda, mediana, media, rango, varianza, desviación estándar únicamente de datos agrupados.

71, 91, 69, 80, 99, 87, 93, 53, 75, 87, 97, 104, 110, 88, 107, 68, 90, 95, 101, 80, 116, 77, 72,

117, 75, 104, 63, 104, 79, 70, 98, 119, 119, 63, 77, 63, 58, 51, 54, 50.

Ordenados

(50,51,53,54,58,63,63,63,68,69,70,71,72,75,75,77,77,79,80,80,87,88,90,91,93,95,97,98,99,1

01,104,104,104,107,110,116,117,119,119.)

A)2,2,1,0,3,

Intervalo Ci fi Fi ni Ni

[50,53) 51.5 2 2 5.128% 5.128%

[53,56) 54.5 2 4 5.128% 10.256%

[56,59) 57.5 1 5 2.564% 12.82%

[59,62) 60.5 0 5 0% 12.82%

[62,65) 63.5 3 8 7.692% 20.512%

[65,68) 66.5 0 8 0% 20.512%

[68,71) 69.5 3 11 7.692% 28.204%

[71,74) 72.5 2 13 5.128% 33.332%

[74,77) 75.5 2 15 5.128% 38.46%

[77,80) 78.5 3 18 7.692% 46.152%

[80,83) 81.5 2 20 5.128% 51.28%

[83,86) 84.5 0 20 0% 51.28%

[86,89) 87.5 2 22 5.128% 56.408%

[89,92) 90.5 2 24 5.128% 61.536%

[92,95) 93.5 1 25 2.564% 64.1%

[95,98) 96.5 2 27 5.128% 69.228%

[98,101) 99.5 2 29 5.128% 74.356%

[101,104) 102.5 1 30 2.564% 76.92%

[104,107) 105.5 3 33 7.692% 84.612%

[107,110) 108.5 1 34 2.564% 87.176%

[110,113) 111.5 1 35 2.564% 89.74%

[113,116) 114.5 0 35 0% 89.74%

[116,119] 117.5 4 39 10.256% 99.996%

B)

QK= Li+[ (Uk-Fi-1)ai]/fi

K=1,2…4

UK =K*39/4

U1=9.75

Q1=68+3(9.75-8)/3 =69.75

U2=19.5

Q2=80+3(19.5-18)/2 =82.25

U3=29.25

Q3=101+3(29.25-29)/1 =101.75

U4=39

Q4=116+3(39-35)/4 =119

C)

DK= Li+[ (Tk-Fi-1)ai]/fi

K=1,2…9

TK =K*39/10

T3=11.7

D3=71+3(11.25-11)/2=71.375

T6=23.4

D6=89+3(23.4-22)/2=91.1

T9=35.1

D9=116+3(35.1-35)/4=116.075

D)

PK= Li+[ (Zk-Fi-1)ai]/fi

K=53,59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Zk = k*39/100

Z53=20.67

P53=86+3(20.67-20)/2=87.005

Z59=23.01

P59=89+3(23.01-22)/2=90.515

Z61=23.79

P61=89+3(23.79-22)/2=91.685

Z67=26.13

P67=95+3(26.13-25)/2=96.695

Z71=27.69

P71=98+3(27.69-27)/2=99.035

Z73=28.47

P73=98+3(28.47-27)/2=100.205

Z79=30.81

P79=104+3(30.81-30)/3=104.81

Z83=32.37

P83=104+3(32.37-30)/3=106.37

Z89=34.71

P89=107+3(34.71-33)/1=112.13

Z97=37.83

P97=116+3(37.83-35)/4=118.122

E)

Ojiva

La ojiva es una gráfica asociada a la distribución de frecuencias, es decir que en ella se

permite ver cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en

lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo.

La ojiva apropiada para información que presente frecuencias mayores que el dato que se

está comparando tendrá una pendiente negativa (hacia abajo y a la derecha) y en cambio la

que se asigna a valores menores, tendrá una pendiente positiva. Una gráfica similar al

polígono de frecuencias es la ojiva, pero ésta se obtiene de aplicar parcialmente la misma

técnica a una distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas

mayores que y las ojivas menor que.

Diferencias entre la gráfica de ojiva y el polígono de frecuencias.

existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y los polígonos de frecuencias (y por

esto la aplicación de la técnica es parcial): Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje

horizontal, para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo; para la ojiva menor que,

con el derecho. En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las

fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor; para la ojiva

menor que, la mayor.

Distribución acumulativa y de igual manera que éstas, existen las ojivas mayor que y las

ojivas menor que.

Existen dos diferencias fundamentales entre las ojivas y los polígonos de frecuencias (y por

esto la aplicación de la técnica es parcial): Un extremo de la ojiva no se "amarra" al eje

horizontal, para la ojiva mayor que sucede con el extremo izquierdo; para la ojiva menor que,

con el derecho. En el eje horizontal en lugar de colocar las marcas de clase se colocan las

fronteras de clase. Para el caso de la ojiva mayor que es la frontera menor; para la ojiva

menor que, la mayor.

F)

Tallos Hojas

5 0,1,3,4,8

6 3,3,3,8,9

7 0,1,2,5,5,7,7,9

8 0,0,7,8

9 0,1,3,5,7,8,9

10 1,4,4,4,7

11 0,6,7,9,9

G)

Moda

Mo=104

Mediana

N=39

Me=116+3(19.5-35)/4 =104.375

Media

Xi=Ci

Media=(51.5*2+54.5*2+57.5+63.5*3+69.5*3+2*72.5+75.5*2+78.5*3+81.5*2+87.5*2+90.5*2+

93.5*1+96.5*2+99.5*2+102.5+3*105.5+108.5+111.5+117.5*4)/39=84.961

Variación

σ2=(51.5*51.5*2+54.5*54.5*2+57.5*57.5+63.5*63.5*3+69.5*69.5*3+2*72.5*72.5+75.5*75.5*2

+78.5*78.5*3+81.5*81.5*2+87.5*87.5*2+90.5*90.5*2+93.5*93.5*1+96.5*96.5*2+99.5*99.5*2+

102.5*102.5+3*105.5*105.5+108.5*108.5+111.5*111.5+117.5*117.5*4)/39 –(84.961)2 =

297009.75/39 –(84.961)2 = 397.263

Dispersión estándar.

σ=√397.263 =19.931