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PROBLEMAS VARIADOS 5(2013-2015)
342.-Un avión vuela en dirección horizontal a una altura h sobre el suelo
y con velocidad constante v. Desde tierra un dispositivo óptico sigue
constantemente al avión. En el tiempo t =0 el avión se encuentra
justamente encima del sistema óptico.
a) Determinar la velocidad angular y aceleración angular que debe tener
el dispositivo óptico para que enfoque permanentemente al avión.
b) Determinar para qué ángulo la aceleración angular toma el valor
mínimo.
c) Representar la velocidad angular y la aceleración angular frente al
ángulo de un avión que vuela a una altura de h=1000 m con una
velocidad constante de 140 m/s. Considerar un sistema de referencia XY
estando el sistema óptico en el eje de coordenadas y el ángulo que forma
el dispositivo óptico se mide respecto del eje Y.
En la figura 1 el avión se encuentra en t=0 sobre el eje Y y al cabo de un tiempo t
forma un ángulo con el eje Y y su abscisa es x.
a) La velocidad constante del avión es: dt
dxv .La velocidad angular del dispositivo
óptico es: dx
dθv
dt
dx
dx
dθ
dt
dθω .
Si h es grande podemos considerar que el aumento de x y de es muy pequeño:
)1(xΔ
θΔvω
De la figura 1 se deduce:
)2(h
θcos
xΔ
θΔ θd
θcos
hdxtagθhx
h
xθtag
2
2
De (1) y (2) )3(h
θcosvω
2
Diferenciando en (3) :
x
h Fig. 1
O X
Y
2θsenh
v
θΔ
ωΔdθ2θsen
h
v-dθθsenθcos2
h
vdω (4)
La aceleración angular es:
(5)θ2senθcosh
vθ2sen
h
vθcos
h
vα
θd
ωdω
dt
θd
θd
ωd
dt
ωdα 2
2
2
b) Para hallar el mínimo derivamos la ecuación (5) respecto de la variable e igualamos
a cero.
(6) 1θtag2θtagθsen
θcos2θtagθsen2θsen2θcosθcos
01)(senθθcos22θsen22θcosθcosh
v
dθ
dα 2
2
La ecuación (6) se puede resolver por tanteo siendo = 30º, o se hace uso de la
relación trigonométrica siguiente: θtag1
θtag22θtag
2
30ºθ3
3
3
1θtag1θtag1θtag21θtag
θtag1
θtag2 22
2
c)
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0 20 40 60 80 100
ángulo/º
v.a
ng
ula
r en
rad
/s
-0,014
-0,012
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0 20 40 60 80 100
ángulo/º
acele
r. a
ng
ula
r en
rad
/s2
343.-Comprobar que para un gas perfecto que realiza un proceso
adiabático se cumple la siguiente ecuación
1
γ1γ
1P
2P
1γ1
TRγ
1H
2H
El subíndice 2 señala el estado final y el 1 el inicial.
Para un gas perfecto, que efectúa un proceso adiabático reversible entre los estados
termodinámicos 1 y 2, se cumplen las siguientes ecuaciones.
γγ2211
2
22
1
11 VPVP;T
VP
T
VP
Para un proceso adiabático 12P12 TTCHH (1)
Observando la ecuación del enunciado vamos a eliminar T2 , ya que no aparece en la
ecuación del enunciado, utilizando las ecuaciones anteriores:
)2(P
PT
P
PTT
TP
P
P
PT
P
P
TP
TP
P
P
V
V;
TP
TP
V
V
γ1γ
γ11
γ11
γ1
γ1
γ1
1
21
1
212
1
2
1
1
22
1
2
21
12
1
2
2
1
21
12
2
1
Ahora relacionamos Cp con .
)3(1γ
Rγ
γ
11
RCR
γ
CC
γ
CCγ
C
C;RCC P
PP
PV
V
PVP
Sustituyendo en (1) , las ecuaciones (2) y (3) resulta:
1γ1γ
1T
γ1γ
1
21
1
2112
P
P
1γ
TRγ
P
PT
1γ
RγHH
344.-La ecuación de Clausius-Clapeyron se aplica a una sustancia pura
que se encuentra en equilibrio entre dos fases, y su expresión matemática
es la siguiente:
ΔVT
ΔH
dT
dp
Si nos referimos a un equilibrio líquido vapor, p es la presión de vapor
de la sustancia y H su calor de vaporización por mol, V es la
diferencia de volúmenes por mol entre la fase vapor y la fase líquida.
a) Utilizando la ecuación anterior y los datos experimentales que
aparecen en los datos del problema determinar a qué presión hervirá el
agua pura cuando su temperatura es de 20º C.
b) Estimar a qué temperatura hervirá el agua pura en una montaña de
2000 m de altura, sabiendo que a nivel del mar la temperatura es
20ºC=293 K y que ésta disminuye según la ley T = 293 – z,
K/m36,5.10λ
Suponer que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto.
Datos:
Temperatura /K 293 313 333 353 373
H en J/mol 44,2.103 43,4. 10
3 42,4. 10
3 41,6. 10
3 40,7. 10
3
Masa molar promedio del aire M= 29 g/mol.
a) Una sustancia pura en estado líquido hierve cuando su presión de vapor es igual a la
presión externa que actúa sobre ella.
Si queremos integrar la ecuación de Clausius –Clapeyron debemos encontrar una
relación entre la entalpía de vaporización y la temperatura. Para ello representamos en
una gráfica los datos experimentales:
H= -44,329 T + 57206
R2 = 0,9993
40000
40500
41000
41500
42000
42500
43000
43500
44000
44500
250 270 290 310 330 350 370 390
temperatura /K
H
/J.m
ol-1
Los datos se ajustan bien mediante una relación lineal.
íquidolvapor VVT
57206T44,329
dT
dp
Dado que el volumen de un mol de agua en forma de vapor es mucho mayor que el
volumen de ese mol en estado líquido, hacemos la aproximación de que la diferencia de
volúmenes es el volumen de la fase vapor.
Aplicamos la ecuación de los gases perfectos a la fase vapor
p
TRVRTpV
Sustituyendo en la ecuación y separando variables resulta:
(1) CteT
6884-Tln-5,32Cte
T8,31
57206lnT
31,8
44,329pln
dTT
57206dT
T
44,329
R
1
p
dp
p
TR
57206T44,329
dT
dp22
Para hallar el valor de la constante de integración utilizamos el hecho experimental de
que el agua pura hierve a 100 ºC = 373 K cuando la presión de vapor es 101 325 Pa= 1
atm.
49,6118,465,3111,53CteCte373
6884373ln5,32101325ln
Sustituyendo este valor de la constante en la ecuación (1)
Hgmm17,9760101325
2384p
Pa2384p7,78pln61,4920273
688420)ln(2735,32pln
b) Calculamos el valor de la presión que existe en lo alto de la montaña. La variación de
la presión con la altura es:
dzgρdP (2)
El signo menos indica que la presión disminuye con la altura. En la ecuación anterior
puede admitirse, sin apenas error, que g es la misma que en la superficie terrestre y que
la densidad del aire la expresamos en función de la presión y la temperatura, aplicando
la ley de los gases perfectos.
zλ293R
MPρ
M
zλ293Rρ
M
TRρPRT
M
m RTnPV
Sustituyendo en la ecuación (2)
zλ293
dz
R
gM
P
dPdz
zλ293R
gMPdP
Para resolver la segunda integral hacemos el cambio de variable
λ
dadzdzλdaazλ293
Ctezλ293lnλR
MglnP
CtealnλR
MglnP
aλ
da
R
gMlnP
zλ293
dz
R
gM
P
dP
Para hallar la constante de integración, sabemos que cuando z=0 (nivel del mar) la
presión es una atmósfera, Po =101325 Pa
293
zλ293ln
λR
Mg
P
Pln293ln
λR
MglnPzλ293ln
λR
MglnP
293lnλR
MglnPCteCte293ln
λR
MglnP
0
o
oo
Sustituyendo valores numéricos en la última ecuación
Pa7,98.10P
e101325
P0,239
293
20006,5.10293ln
6,5.108,31
9,829.10
101325
Pln
4
0,2393
3
3
Vayamos a la ecuación de Clausius-Clapeyron
)3(T
6884
373
Tln5,3318,7018,46
T
6884
373
Tln5,33239,0
373
1
T
16884
373
Tln5,33
101325
7,98.10ln
T
dT6884
T
dT5,33
p
dp
dTT
6884
T
5,33dT
TR
57206
TR
44,329
P
dp
p
TRT
5720644,329T
TV
ΔH
dT
dp
E
E
E
E
E
E
4
2
22
iquidol
E ET
373
T
373
47,98.10
101325
La ecuación (3) la resolvemos por tanteo
TE= 363 K 18,70<-0,14+18,96 ; TE= 365 K 18,70<-0,12+18,86
TE= 367 K 18,70>-0,086+18,76 ; TE= 366,8 K 18,70>-0,089+18,76
TE= 366,6 K 18,70 -0,092+18,78
Damos este último valor como solución TE =366,6 K = 93,6 ºC
345.-El centro de una circunferencia de radio R coincide con el centro de
coordenadas de un sistema de referencia XY. Un segmento lineal de
longitud mayor que 2R se desplaza de forma paralela al eje X con una
velocidad juu
. Dicho segmento corta a la circunferencia en dos
puntos simétricos respecto del eje Y. Considerando el punto M de la
figura, se pide: a ) Calcular la velocidad del punto M y sus componentes
sobre los ejes coordenados, b) sus aceleraciones.
Representar las mencionadas magnitudes frente a , si u= 0,2 m/s y R =
2 m.
c) Determinar la ecuación f(t)θ y representarla para los valores
anteriores de u y R.
Supongamos que en el tiempo t =0 la recta toca a la circunferencia en el punto superior
y que un tiempo t después se encuentra en la posición M1 indicada en la figura 2.
Transcurrido un tiempo muy pequeño t 0t el punto M ha recorrido el arco M1
M2 y según el eje Y, el segmento lineal y. Designamos con v al módulo de la
velocidad del punto M.
M
X
u
Y
y
M1
M2
X
Y
y
Fig.2
Δθ
y
θRuv
y
u
θR
v
t
yu;
t
θR
dt
)Md(arcoMv m
m21m
En el límite escribimos dy
dθRuv
De la figura 2 se deduce:
θsenR
1
dy
dθdθsenθRdyθcosRy
Finalmente:
θsen
u
θsenR
1Ruv (1)
v es el módulo de un vector que es tangente a la circunferencia en cada punto. Este
vector tendrá una componente sobre el eje X y otra sobre el eje Y. En la figura 3 se ha
dibujado este hecho.
θtag
ucosθ
θsen
uθvcosβvsenv;uθsen
θsen
uθsenvβvcosv xy (2)
De las ecuaciones anteriores se deduce que la velocidad v tiene en cualquier punto de la
circunferencia una componente sobre el eje Y constante y de módulo u. La componente
x es variable.
Como M recorre una circunferencia posee aceleración centrípeta cuyo módulo es:
θsenR
u
R
va
2
22
C (3)
Calculamos las componentes del vector aceleración sobre los ejes coordenados
La aceleración sobre el eje Y es nula ya que la componente de la velocidad es u y se
mantiene constante. La componente de la aceleración sobre el eje X vale:
vx
v
vy
Fig.3
)4(θsenR
ua
uθsenR
1
θsen
u
dt
dy
dy
dθ
θtag
θcos
1u
dt
dθ
θtag
u
dθ
d
dt
dθ
dθ
dv
dt
dva
3
2
x
22
2xx
x
El signo menos de la ecuación anterior indica que la componente sobre el eje X tiene
sentido contrario al positivo
c) De la figura 4 se deduce que en el intervalo de tiempo t, el ángulo ha pasado de valer
cero a valer .
t
R
u1cosarcoθt
R
u1
R
ABR
R
OBθcos (5)
Alternativa
En la posición M1 de la fig.2; correspondiente a un instante cualquiera t, en el que la
posición angular θ(t) = θ es cualquier ángulo, el vector de posición respecto del centro
de la circunferencia es.
El vector velocidad.
Como la velocidad según el eje Y es constante y vale –u podemos igualar:
Sustituyendo:
Las componentes intrínsecas de la aceleración:
B
t=0
t
R
Fig. 4
A
O
(6)
El vector aceleración y sus componentes cartesianas, se obtienen de derivar respecto del
tiempo el vector velocidad.
Si hacemos una aplicación para el instante en el que la posición angular es de θ = 90º.
;
Separando variables e integrando resulta:
Para t = 0; θ = 0 y cos 0 = 1; con lo que la constante C = -1
Resultando finalmente que las posiciones angulares del punto M varían con el tiempo
por la ecuación:
Las gráficas son las siguientes:
Esta gráfica corresponde a la ecuación (1)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0 50 100 150 200
ángulo/º
velo
cid
ad
/m.s
-1
Esta gráfica corresponde a la ecuación (2)
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 50 100 150 200
ángulo/º
velo
cid
ad
(x)/
m.s
-1
Esta gráfica corresponde a la ecuación (3)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 50 100 150 200
ángulo/º
aq
.cen
tríp
eta
m.s
-2
Esta gráfica corresponde a la ecuación (4)
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0 50 100 150 200
ángulo/º
(ax
) m.s
-2
Esta gráfica corresponde a la ecuación (5)
0
30
60
90
120
150
180
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo/s
án
gu
lo/º
Esta gráfica corresponde a la ecuación (6)
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 50 100 150 200
ángulo/º
acele
ració
n t
an
gen
cia
l en
ms-2