Problemas y ejercicios resueltos de cónicas
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución: Datos del problema: Identificación: Es una ecuación de 2do grado en las variables x e y, con B=0, por lo que pasa a ser una ecuación de la forma: , comparando con la ecuación dada, es decir: , donde los coeficientes son los siguientes: Dónde: el determinante es ( ) ( )( ) , por tanto es una elipse. Agrupando términos y desarrollando tenemos que: ( ) ( )
(
) ( ) (
) ( )
(
)
( ) (
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(*)
La ecuación resultante (*) es de la forma ( )
( )
, con centro en ( ) (
)
;
; y representa una elipse vertical, con las siguientes
características:
Dónde, el lado mayor es (
)
El lado menor (
)
La distancia focal se obtiene aplicando la relación pitagórica de las elipses, es decir:
√
Datos obtenidos: (
);
;
;
√
Las coordenadas de los vértices del lado mayor y distancia focal son:
( ) ( ) (
) (
)
( ) ( ) (
√
) (
√
)
Las coordenadas de los vértices del lado menor:
( ) ( ) ( ) (
)
Las directrices son:
{
√
√
Lado recto son:
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Lado recto superior: |
|
(
)
Lado recto inferior: |
|
(
)
Coordenadas de los extremos de los lados rectos
(
) y (
)
(
) (
(
)
√
)
(
√
)
(
) (
(
)
√
)
(
√
)
(
) y (
)
(
) (
√
)
(
√
)
(
) (
√
)
(
√
)
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
Gráfica de la situación planteada en (1):
PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS ELABORADO POR: PASCUAL SARDELLA
1.-Hallar los elementos principales y determinar el tipo de cónica de la ecuación siguiente:
Solución: Datos del problema: Agrupando términos en X e Y a primer miembro y el o los términos independientes o constantes al segundo miembro, desarrollando y operando tenemos: ( ) ( ) Sacamos factor común los coeficientes de los términos cuadráticos, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) Completamos trinomios cuadrados perfectos en X e Y, es decir:
(
) ( )
(
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
(
)
( )
Dividimos ambos miembros entre 400, es decir:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
El denominador de (
)
es 25 y el denominador de ( ) es 16, como 25 > 16, entonces,
se tiene que la ecuación obtenida es una ecuación de la elipse horizontal con eje focal paralelo al eje X, luego: ; y ; el valor de “c” lo obtenemos aplicando la relación Pitagórica para las elipse, es decir:
El centro de la elipse es ( ) (
) {
,
Luego tenemos los siguientes datos:
(
); ; ;
Las coordenadas de los vértices mayor y menor son respectivamente:
( ) y ( ) (
) y (
)
(
) y (
)
( ) y ( ) (
) (
)
(
) (
)
Las coordenadas del foco son:
( ) y ( ) (
) y (
)
(
) y (
)
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Las directrices de la elipse horizontal tienen las ecuaciones siguientes:
{
El lado recto viene dado por:
( )
La gráfica es la siguiente:
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3.- Calcular las longitudes de los semiejes mayor y menor, las coordenadas de los vértices, focos, extremos del eje menor, la longitud del lado recto y la excentricidad de la siguiente elipse:
Solución: Datos del Problema: ; ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ; ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; las coordenadas
de los vértices mayor: ; de los vértices menor: , las coordenadas de los focos: ,
la longitud del lado recto: LR, y la excentricidad.
Dividiendo entre 144 a ambos miembros obtenemos:
Está ecuación representa una elipse horizontal con centro en el origen y que tiene la forma
canónica siguiente:
, donde ; ; el valor de “c” se
obtiene mediante la aplicación de la relación Pitagórica para las elipses: , donde
se tiene: √
La excentricidad es:
√
El lado recto es:
( )
Longitud del Lado mayor: ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅
Longitud del Lado mayor: ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ( ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
Longitud de la distancia Focal: ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (√ ) ̅̅ ̅̅ ̅̅ √
Las coordenadas de los vértices mayores y menores y las coordenadas de los focos son
respectivamente:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( √ ) (√ )
Las ecuaciones de las directrices son: {
√
√
√
√
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Los extremos de los lados rectos son:
(√
) (√
)
( √
) ( √
)
La gráfica es la siguiente:
