ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

Bajo el término “Estadística Descriptiva” se engloban las técnicas que nos permitirán realizar un análisis elemental de las observaciones experimentales observadas.

Se subdivide en dos bloques :

1º Estadística primaria : Obtenido un grupo de observaciones experimentales, este apartado nos enseña a ordenarlas adecuadamente, de modo que se ofrezca una información lo más clara posible.

2º Estadística derivada o secundaria : Con los datos observados realizaremos ciertos cálculos, obteniendo así unas medidas. Este bloque temático nos enseña a interpretarlas.

PROCEDIMIENTO A SEGUIR EN UN ESTUDIO ESTADÍSTICO.

El proceso seguido en el estudio estadístico de una cierta característica o variable, puede subdividirse en tres pasos sucesivos :

A RECOGIDA DE DATOS : Planteado el test o encuesta oportuno y recogidos los datos que correspondan, el primer análisis que realizaremos es el del tipo de variable que pretendemos estudiar (Cualitativa o Cuantitativa ; Discreta o Continua). Esto condicionará en gran medida su posterior tratamiento.

B ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS : Determinado el modo de agrupamiento de las observaciones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencias. Posteriormente podremos visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado.

C ANÁLISIS FINAL : La obtención de muy diversas conclusiones respecto de la variable estudiada, se podrá realizar con auxilio de los diferentes parámetros estadísticos (de centralización , posición , dispersión , etc.)

VARIABLES ESTADÍSTICAS. CLASIFICACIÓN.

El aspecto que deseamos estudiar (edad, sexo, peso, ...) recibe el nombre de VARIABLE ESTADÍSTICA. A lo largo de esta unidad observaremos, que las técnicas estadísticas a seguir serán diferentes según el tipo de variable objeto de estudio.

La clasificación más tradicional de las variables estadísticas es la siguiente :

CUALITATIVAS

Los valores de las observaciones quedan expresados por características o atributos.

Por ejemplo : Estado civil ; Color preferido ; Nivel de estudios ; Raza ; ...

Dentro de ellas podremos subdividirlas en función de que puedan ser ordenadas (Nivel de estudios) o no tenga sentido una determinada ordenación que se establezca (Color preferido, Razas, ...).

CUANTITATIVAS

Los valores de las observaciones son numéricos (cuantificables) y, en consecuencia, ordenables. A su vez las variables cuantitativas se subdividen en dos tipos :

DISCRETAS : Toman valores concretos (Nº de hijos : 0, 1, 2, ...) CONTINUAS : Pueden tomar cualquier valor de un cierto intervalo (Peso ; Estatura ; ...).

TABLAS DE FRECUENCIAS.

Si la variable es Cualitativa, observamos los valores diferentes de la misma. Si es Cuantitativa buscaremos los valores mínimo y máximo obtenidos. En función del número de observaciones, decidiremos si se realiza su estudio de forma individual o agrupando en intervalos.

CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS : Teniendo en cuenta la amplitud total de las observaciones (Valor máximo menos valor mínimo observados), tomaremos una decisión sobre el número total de intervalos, o bien sobre la amplitud o tamaño de los mismos.

EJEMPLO : Supuesto : Valor máximo = 87 , Valor mínimo = 11 . Luego : AMPLITUD = 87 - 11 = 76.

Si decidimos construir 8 intervalos, la amplitud de cada uno será de 10 unidades (valor aproximado de 76/8). El primer intervalo no tiene porqué iniciarse en 11 (mínimo); es más, se aconseja tomar siempre valores "visualmente agradables" (5, 10, 15 ,...). Con esto los intervalos serían : [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90]

Si partimos de la decisión de que los intervalos tengan 15 unidades de amplitud, simplemente iniciaremos su construcción hasta llegar a un intervalo que contenga al valor máximo observado. [10,25) [25,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,90]

Teóricamente se establece que el número ideal de intervalos debe ser la raíz cuadrada del número de observaciones disponibles :

Para N observaciones :

Criterio de Kaiser Nº de intervalos ≈ N

Criterio de Sturges Nº de intervalos ( )≈ +E N15 3' ' 3.ln( ) (E = parte entera)

NOTACIÓN Al establecer dos intervalos consecutivos, por ejemplo de 10 a 20 y de 20 a 30, hemos de decidir si el valor 20 (final de uno e inicio del siguiente) pertenece al primer intervalo o al segundo. Para ello empleamos los símbolos [ y ( . [ o ] el valor situado junto a él pertenece al intervalo ( o ) el valor situado junto a él no pertenece al intervalo

NOTACIONES PARA REPRESENTAR INTERVALOS

EXTREMOS REALES

Desde 0 hasta menos de 10 [ 0 , 10 ) De 10 a menos de 20 [ 10 , 20 ) De 20 a menos de 30 [ 20 , 30 ) De 30 a menos de 40 [ 30 , 40 ) Desde 40 hasta 50 [ 40 , 50 ]

EXTREMOS APARENTES

1 - 4 Valores : 1, 2, 3 y 4 [ 0'5 , 4'5 ) 5 - 8 Valores : 5, 6, 7 y 8 [ 4'5 , 8'5 ) 9 - 12 Valores : 9, 10, 11 y 12 [ 8'5 , 12'5 ]

RECUENTO. TABLA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS.

Situados en una tabla los valores de la variable (desde el mínimo al máximo) o los intervalos que los contienen, procedemos a contar las veces que se repiten. Construimos así una tabla como la de la izquierda. En ella podrá observarse que, en el supuesto de datos agrupados en intervalos, se ha incluido una columna encabezada por x . Tal valor de x se denomina marca de clase y es el valor central de cada intervalo.

Intervalos x Recuento n N [ e1 , e2 ) x1 /// n1 n1 [ e2 , e3 ) x2 ///// ///// / n2 n1+n2 . . . . . . . . . . . . . . . [ ei , ei+1 ) xi ///// /// ni n1+n2+ ... +ni . . . . . . . . . . . . . . . Σni = N

FRECUENCIAS.

FRECUENCIA ABSOLUTA (n) : Para datos no agrupados en intervalos, es el número de veces que se presenta cada valor de la variable. Si los datos se agrupan en intervalos, es el número de observaciones que pertenecen a dicho intervalo.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (N) : Para un cierto valor de la variable, la frecuencia absoluta acumulada nos da el número de observaciones menores o iguales que dicho valor.

OTRAS FRECUENCIAS : FRECUENCIA RELATIVA (f) :

Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones (N). PROPORCIÓN o PORCENTAJE (h) :

Frecuencia relativa multiplicada por 100 (es la expresión de las frecuencias en %).

De igual modo que se definió para las frecuencias absolutas, se definen las FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (F) y los PORCENTAJES ACUMULADOS (H).

TABLA COMPLETA DE FRECUENCIAS :

x n f h N F H x1 n1 1 = n1 / N f 1 = f 1 . 100 h n1 1 f 1 h x2 n2 2 = n2 / N f 2 = f 2 . 100 h n1+n2 1+f2 f 1+h2 h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi ni i = ni / N f i = f i . 100 h n1+n2+ ... +ni 1+f2+ ... +f i f 1+h2+ ... +hi h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Σni = N fΣ i = 1 hΣ i = 100

EJEMPLO :

x n f h N F H 2 5 0'125 12'5 5 0'125 12'5 3 10 0'250 25 15 0'375 37'5 4 16 0'400 40 31 0'775 77'5 5 6 0'150 15 37 0'925 92'5 6 3 0'075 7'5 40 1'000 100 40 1 100

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. La norma que hemos de seguir en la construcción de un gráfico estadístico es siempre : "La zona que identifica a cada valor será proporcional a su frecuencia"

Los diagramas usuales son los que se describen a continuación.

A Diagramas de barras Para variables cualitativas o cuantitativas no agrupadas en intervalos.

FUNDAMENTO : Sobre un eje (normalmente el horizontal) marcamos los valores de la variable, dibujando sobre cada uno de ellos una barra cuya longitud sea proporcional a la frecuencia que se esté visualizando. Si la variable representada es cuantitativa, enlazando los extremos de las barras obtendremos el POLÍGONO DE FRECUENCIAS, denominado PERFIL ORTOGONAL para cualitativas ordenables .

B Histogramas Representativo de las variables agrupadas en intervalos.

FUNDAMENTO : Sobre el eje horizontal marcamos los distintos intervalos, dibujando sobre cada uno de ellos un rectángulo cuya área sea proporcional a la frecuencia que se esté visualizando (Si todos los intervalos tienen la misma amplitud, nos bastará con que la altura de los rectángulos sea proporcional a las frecuencias). POLÍGONOS DE FRECUENCIAS : Si la frecuencia representada no es acumulada, enlazamos los puntos medios de los extremos superiores de los rectángulos. Para frecuencias acumuladas, el polígono de frecuencias se obtiene de la forma indicada en el gráfico.

C Diagramas de sectores Utilizable en cualquier tipo de variable.

FUNDAMENTO : Dividimos el círculo en sectores circulares, de modo que la amplitud de cada sector, sea proporcional a la frecuencia. Junto a cada sector, se suele indicar el valor representado. Es aconsejable la expresión de las amplitudes de los sectores en % (porcentajes p ).

D Pictogramas Utilizable en todo tipo de variables, especialmente con las cualitativas.

FUNDAMENTO : Es el mismo que se sigue para la construcción de los diagramas de barras y histogramas. La diferencia estriba en que, en lugar de dibujar una barra o un rectángulo, se dibuja una figura que hace referencia al problema objeto de estudio.

E Diagramas de áreas Representativo de las variables cuantitativas, equivale a la representación independiente de los polígonos de frecuencias (descritos en los diagramas de barras y histogramas).

FUNDAMENTO : Indica la evolución de los valores de la variable, consistiendo en la visualización del área encerrada bajo el polígono de frecuencias. Para ello, se conecta dicho polígono con el eje de la variable (el horizontal en el gráfico), tanto a la izquierda del primer valor como a la derecha del último.

Los diagramas de barras , histogramas , pictogramas y de áreas , admiten la representación correspondiente a sus frecuencias acumuladas.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.

MEDIA ARITMÉTICA :

Nxn

x ii∑= .

Es el resultado de dividir la suma de todas las observaciones entre el número de ellas.

MODA :

iii

ii a

nnneMo .

11

1

−+

+

++=

Es el valor que más se repite. Será pues el valor (o valores) cuya frecuencia absoluta sea la mayor de las observadas.

Si los datos se encuentran agrupados en intervalos, obtendremos el intervalo en el que se encuentra la moda (INTERVALO MODAL). Para determinar su valor concreto, aplicamos la expresión de la izquierda.

NOTACIONES Los subíndices indican : i intervalo donde se encuentra la moda. i-1 intervalo anterior al que contiene la moda. i+1 intervalo siguiente al que contiene la moda. e extremo inferior del intervalo en el que se encuentra la moda. a amplitud del intervalo en el que está la moda. n frecuencia absoluta.

MEDIANA :

ii

i

i an

NN

eMe .2 1−−+=

Supuestas ordenadas las observaciones, MEDIANA es el valor de la variable que está en el centro de las mismas. Deja pues a la mitad (el 50%) de las observaciones por debajo de dicho valor.

Para obtener el valor de la mediana, seguimos los pasos siguientes : 1º Calculamos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas. 2º La mediana será el valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada primero

iguale o supere a N/2.

Si los datos se encuentran agrupados en intervalos, el punto 2º nos dará el intervalo en el que se encuentra la mediana. Para determinar su valor concreto, aplicamos la expresión de la izquierda.

NOTA : En el caso de variables continuas no agrupadas en intervalos, suelen considerarse previamente los intervalos reales que esos valores representan, procediendo a aplicar la expresión superior. Así, los valores 1 , 2 ,3 , ... representan a los intervalos de valores [0'5 , 1'5) , [1'5 , 2'5) , [2'5 , 3'5) , ...

NOTACIONES Los subíndices indican : i intervalo donde se encuentra la mediana. i-1 intervalo anterior al que contiene la mediana. e extremo inferior del intervalo en el que se encuentra la mediana. a amplitud del intervalo en el que está la mediana. n frecuencia absoluta. N frecuencia absoluta acumulada.

OTRAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.

MEDIA PONDERADA :

Aplicable cuando a cada valor (Xi) se le asigna un peso (pi) :

xp X

ppi i

i

=∑∑

.

MEDIA GEOMÉTRICA :

x x x xG NN= 1 2. . ... .

Con frecuencias fi para cada xi : (N = Σfi)

N nn

nnG

nxxxx ...... 21

1 2=

MEDIA ARMÓNICA :

xN

x

A

i

=⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟∑ 1

Con frecuencias fi para cada xi : (N = Σfi)

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

i

iA

xn

Nx

MEDIDAS DE POSICIÓN.

CONCEPTO : Permiten el cálculo del valor de la variable que ocupa una cierta posición relativa respecto del conjunto total de los valores observados.

PERCENTIL DE ORDEN K : Es el valor de la variable que deja por debajo de él el K% de las observaciones.

PROCESO DE CALCULO :

ii

i

ik an

NNk

eP .100.

1−−+=

Para obtener el valor del percentil de orden K, seguimos los pasos siguientes : 1º Calculamos la tabla de frecuencias absolutas acumuladas. 2º Obtenemos el LUGAR que ocupa : Lugar = N . K / 100 3º El percentil de orden K será el valor de la variable cuya frecuencia absoluta

acumulada primero iguale o supere a dicho lugar.

Si los datos se encuentran agrupados en intervalos, el punto 3º nos dará el intervalo en el que se encuentra el percentil de orden K. Para determinar el valor concreto del percentil, aplicamos la expresión de la izquierda.

NOTA : En el caso de variables continuas no agrupadas en intervalos, suelen considerarse previamente los intervalos reales que esos valores representan, procediendo a aplicar la expresión anterior. Así, los valores 1 , 2 ,3 , ... representan a los intervalos de valores [0'5 , 1'5) , [1'5 , 2'5) , [2'5 , 3'5) , ...

NOTACIONES Los subíndices indican : i intervalo donde se encuentra el percentil. i-1 intervalo anterior al que contiene el percentil. e extremo inferior del intervalo en el que se encuentra el percentil. a amplitud del intervalo en el que está el percentil. n frecuencia absoluta. N frecuencia absoluta acumulada.

PERCENTILES ESPECIALES

MEDIANA Percentil de orden 50. CUARTILES Percentiles de órdenes 25 (Cuartil 1º), 50 (Cuartil 2º) y 75 (Cuartil 3º). DECILES Percentiles de órdenes 10, 20, .... , 90 (Deciles 1º, 2º, ... , 9º).

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

RANGO , RECORRIDO O AMPLITUD TOTAL :

R Máx Mín= − Con el fin de medir el mayor o menor grado de separación de las observaciones, en una primera instancia se define el RANGO (también denominado recorrido o amplitud total), como la diferencia existente entre los valores máximo y mínimo observados.

AMPLITUD SEMI-INTERCUARTÍLICA :

QQ Q

=−3 1

2

Esta medida de dispersión se basa en medidas de posición (Cuartiles),.Su empleo tendrá sentido en el supuesto de imposibilidad de cálculo de la media.

El no tomar en consideración a la totalidad de las observaciones, hace pensar que esta medida es poco representativa. Por ello se intenta definir las medidas de dispersión, de modo que sean el promedio de las separaciones de cada valor respecto de uno tomado como referencia (la MEDIA).

Observando la figura apreciamos que las desviaciones d antes definidas tienen como media cero (las positivas compensan con las negativas), lo cuál obliga a subsanar este inconveniente tomándolas en valor absoluto o elevándolas al cuadrado.

DESVIACIÓN MEDIA :

Nxxn

D iix∑ −

=.

Es la media de las desviaciones o separaciones de cada una de las observaciones, respecto a la media aritmética, consideradas en valor absoluto. Sustituyendo la media por la moda o la mediana, definiremos las desviaciones medias respecto de la moda y de la mediana.

VARIANZA : ( ) 2

2222 ..

xN

xnN

xxns iiii −=

−== ∑∑σ

Es la media de los cuadrados de las desviaciones o separaciones de cada una de las observaciones, respecto a la media aritmética.

DESVIACIÓN TÍPICA :

22.

var xN

xnianzas ii −=== ∑σ

Es la raíz cuadrada de la varianza. Con ello corregimos el haber tomado cuadrados de separaciones en el cálculo de la varianza. Esta medida de dispersión es la más característica.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN :

CVxx=σ

.100 Mide la representatividad de la media. Valores extremos del mismo nos llevarán a concluir que la media no es representativa, es decir, existirán valores entre las observaciones que se separan significativamente de las demás. Sólo puede ser utilizado cuando los valores de la variable toman valores "normales". Es decir, no son muy elevados ni muy pequeños, ya que una media próxima a cero o muy alta darían valores nulos o infinitos al coeficiente. Si la media es representativa de las observaciones (no existen valores extremos exageradamente distanciados de la mayoría), el coeficiente de variación permite comparar la dispersión de dos series estadísticas : mayor coeficiente indica menor homogeneidad, o lo que es lo mismo, mayor dispersión o variabilidad.

GRÁFICO DE VARIABILIDAD :

Basado en los cuartiles, adopta la forma del gráfico de la derecha. En él se reflejan los cuartiles 1º y 3º y la mediana, junto a los extremos inferior y superior :

L QQ Q

Q Q L Q Qinf sup. . ; .= −−

= − = +13 1

1 332

3 3

Se consideran observaciones atípicas aquellas que quedan fuera del intervalo : ( Linf , Lsup )

OTRAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS.

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER :

Permite interpretar la forma de la distribución, respecto a ser o no simétrica.

INTERPRETACIÓN

( )

3

3

1

.

σN

xxn

As

ii∑ −

=

Basados en al relación existente entre media, mediana y moda : x Mo x Md− = −3.( ) se definen dos nuevos coeficientes de asimetría (de Pearson):

Asx Mo

2 =−σ

Asx Md

33

=−.( )σ

COEFICIENTE DE CURTOSIS :

Recibe también el nombre de coeficiente de concentración central, midiendo el grado de aplastamiento o apuntamiento de la gráfica de la distribución de la variable estadística. Una mayor concentración de datos en torno al promedio harán que la forma sea alargad, siendo tanto más plana (o aplastada) cuanto mayor sea la dispersión de los mismos.

INTERPRETACIÓN Determina la forma de la distribución, en relación con su grado de aplastamiento.

( )3

.

4

4

−

−

=

∑

σN

xxn

K

ii

Basados en medidas de posición, se definen los nuevos coeficientes :

Coeficiente de asimetría de Bowley-Yule, o intercuartílico :

YQ Me Q

Q Q=

− +

−3 1

3 1

2.

Coeficiente absoluto de asimetría:

AQ Me Q

=− +3 12.

σ

Coeficiente de curtosis de Kelley :

KQ

P Pcon Q

Q Q=

−− =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

90 10

3 10 2632

' :

ANÁLISIS CONJUNTO DE VARIOS GRUPOS.

Si disponemos de k grupos con ni elementos, medias xi , y varianzas Si2 , podemos obtener :

Media conjunta de los k grupos

Xn x

ni i

i

=∑∑

.

Varianza conjunta de los k grupos

Sn S

ni i

i

22

=∑∑

. , o, con mayor rigor :

( )S

n S

n

n x X

ni i

i

i i

i

22 2

= +−∑

∑∑

∑. .

PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS.

TABLA PARA CÁLCULOS :

La tabla siguiente nos muestra una disposición práctica de los cálculos necesarios para la obtención de los parámetros estadísticos usuales: Media , Moda, Mediana , Percentiles , Varianza y Desviación típica.

Intervalos x n n.x n.x2 N F [ e1 , e2 ) x1 n1 n1 . x1 (n1 . x1).x1 N1=n1 P1 = (N1 / N) . 100 [ e2 , e3 ) x2 n2 n2 . x2 (n2 . x2).x2 N2=n1+n2 P2 = (N2 / N) . 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ ei , ei+1 ) xi ni ni . xi (ni . xi).xi NI=n1+n2+ ...

+ni Pi = (Ni / N) . 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Σ ni Σ ni . xi Σ ni . xi2 Cálculo de percentiles N A B Cálculo de media y varianza

La media y la varianza serían el resultado de calcular :Cálculo de media y varianza

x AN

= σ 2 2= −BN

x

PROPIEDADES :

A) Si a todos los valores de una variable x les sumamos una cantidad constante, la media queda incrementada en dicha constante, mientras que la desviación típica (y la varianza) no varía.

B) Si multiplicamos todos los valores de una variable x por una constante, la media y la desviación típica quedan también multiplicadas por dicha constante (la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de la constante).

EJEMPLO :

CAMBIO DE VARIABLE. TIPIFICACIÓN.

Haciendo uso de las propiedades de las medidas estadísticas ,podremos facilitar y simplificar los cálculos de parámetros estadísticos, realizando un cambio de variable. Así, si todos los valores son muy altos, podremos restarles una cantidad (normalmente la Moda) y, si poseen cifras decimales o son múltiplos de un mismo número, podremos multiplicarlos o dividirlos por el valor adecuado. Una vez calculados los parámetros estadísticos, en virtud de las propiedades descritas, obtendremos el valor final real de tales parámetros.

Mención especial merecen dos cambios de variables particulares :

A) Diferenciales : partiendo de la variable inicial x (puntuaciones directas), si a todos los valores les restamos la media, obtenemos una nueva variable d (puntuaciones diferenciales) cuya media es cero (la desviación típica no se modifica).

B) Tipificadas : Si a todos los valores de la variable inicial x les restamos la media y el resultado lo dividimos por la desviación típica, obtenemos una nueva variable z (puntuaciones tipificadas) cuya media es cero , teniendo siempre como desviación típica la unidad.

Este último cambio de variable recibe el nombre de TIPIFICACIÓN.

SUMA Y DIFERENCIA DE VARIABLES.

Partiendo de dos variables X , Y, podemos definir las nuevas variables : • S = X + Y obtenida sumando cada valor de X con el correspondiente de Y. • D = X - Y obtenida restando a cada valor de X el valor correspondiente de Y.

Esto supone la existencia de tantas observaciones de X como de Y, así como el emparejamiento de ellas; es decir, a cada valor de X queda asociado un valor de Y. Esto constituirá la base de estudio del siguiente tema .

Veamos como se comporta la media de las dos nuevas variables S y D definidas.

S X Y= + En efecto : SX Y

NX Y

NX

NY

NX Yi i i i i i=

+=

+= + = +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑( )

Análogamente se verifica que : D X Y= −

Calculemos la varianza de la suma S : ( ) ( ) ( )

( )S

X Y SN

X Y X YN

X X Y YN

X X Y Y X X Y YN

X XN

Y YN

X X Y YN

S S S

Si i i i i i

i i i i

i i i iX Y XY

22 2 2

2 2

2 22 2

2

2 2

=+ −

=+ − +

=− + −

=

=− + − + − −

=

=−

+−

+− −

= + +

∑ ∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .( ).( )

( ) ( ).

( ).( ).

La expresión ( ).( )X X Y YN

i i− −∑ , representada por SXY, recibe el nombre de covarianza, justificándose que es igual

también a :

SX X Y Y

NX YN

X YXYi i i i=− −

= −∑ ∑( ).( ) .

.

Análogamente se verifica que : S S S SD X Y XY2 2 2 2= + − .

Si las variables X , Y son independientes, la covarianza (medida de variación conjunta) es igual a cero.

Resumiendo :

Varianzas

Medias Dependientes ( SXY ≠ 0 ) Independientes ( SXY = 0 ) S = X + Y S X Y= + S S S SS X Y XY

2 2 2 2= + + . S S SS X Y2 2 2= +

D = X - Y D X Y= − S S S SD X Y XY2 2 2 2= + − . S S SD X Y

2 2 2= +

MOMENTOS ORDINARIOS Y CENTRALES

Momento ordinario de orden k :

∑= kk x

Nna .

Momento central de orden k :

( )∑ −= kk xx

Nnm .

Se verifica que : m m a a1 2 2 1

20= = − m a a a a3 3 2 1 1

33 2= − +. . . m a a a a a a4 4 3 1 2 1

21

44 6 3= − + −. . . . .

Algunos parámetros estudiados, pueden expresarse :

µ σ= = = = = −x a s m a ax12 2

2 2 12

( )As

m m

mK

m mm

= = = − = −33

3

23

44

4

223 3

σ σ

MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN.

Estas medidas, de aplicación económica fundamentalmente, determinan el nivel de igualdad en el reparto total de las observaciones de la variable.

Su determinación se realizará a partir de la siguiente tabla de cálculos :

A B C D E N G H

xi ni Ni = Σ ni.

Pi = (Ni.. /N).100 ti = ni. xi Ti = Σ ti. Qi = (Ti.. /T).100 Pi - Qi

x1 n1 N1 P1 t1 T1 Q1 P1 - Q1 x2 n2 N2 P2 t2 T2 Q2 P2 - Q2 ... ... ... ... ... ... ... ... xk nk Nk Pk (= 100) tk Tk Qk (= 100) Pk - Qk (= 0)

N = Σ ni. TP = Σ Pi T = Σ ni. xi TD = Σ (Pi - Qi)

Siendo : A) Valores de la variable (marca de clase si está agrupada en intervalos). B) Frecuencias absolutas (N = total de observaciones). C) Frecuencias absolutas acumuladas. D) Porcentajes acumulados (totalizando - TP). E) Productos de cada frecuencia por su correspondiente valor (T = suma total de estos productos). F) Productos anteriores acumulados (de igual modo que se realiza con frecuencias). G) Expresión en porcentaje del contenido de la columna anterior. H) Diferencias de los valores de las columnas D y G (totalizando - TD).

MEDIALA : Su definición tiene un fundamento similar al de la mediana.

• Para distribuciones discretas (no agrupadas en intervalos), la mediala es el valor de la variable cuyo Qi primero iguala o supera el 50%.

• Para distribuciones continuas (agrupadas en intervalos), el intervalo que contiene la mediala es aquel cuyo Qi primero iguala o supera el 50%. De aquí obtenemos el valor de la mediala del modo siguiente :

Ml eQ

Q Qai

i

i ii= +

−−

−

−

50 1

1.

Los subíndices indican : i intervalo donde se encuentra la mediala. i-1 intervalo anterior al que contiene la mediala. e extremo inferior del intervalo en el que se encuentra la mediala. a amplitud del intervalo en el que está la mediala.

CURVA DE LORENZ :

Sobre un rectángulo de 100 unidades de lado, se dibuja la poligonal que resulta de unir los puntos (Pi , Qi). Esta poligonal (curva de Lorenz) determina con la diagonal AB un recinto (sombreado en la figura) que mide el grado de concentración. Cuando el área sombreada es muy pequeña (la curva de Lorenz se aproxima a la diagonal AB) se presenta una baja concentración, o lo que es lo mismo, indica uniformidad en el reparto de los valores de la variable. La mayor concentración se producirá cuando la zona sombreada coincide con el triángulo ABC.

ÍNDICE DE CONCENTRACIÓN DE GINI :

Haciendo uso de la tabla de cálculos anterior, necesaria para la obtención de la curva de Lorenz, definiremos el presente estadístico. Otros, como el índice de Dalton, el de paridad, etc. , pueden ser empleados con idéntica interpretación a la que tratamos con el de Gini, si bien omitimos su estudio.

( )G

P Q

P

TDTP

i ii

k

ii

k=−

=−

=

−

=

−

∑

∑1

1

1

1 100

El índice de Gini (expresión de la izquierda) coincide geométricamente con el cociente entre el área sombreada (definida por la curva de Lorenz) y la del triángulo ABC. • Concentración mínima : G = 0 • Concentración máxima : G = 1

EJERCICIOS RESUELTOS

1 La tabla siguiente nos muestra el resultado de una encuesta entre los alumnos de primer curso, analizando el número de suspensos en la primera evaluación :

0 2 2 4 0 3 3 2 5 2 3 2 4 3 4 3 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 4 2 0 3 1 3 0 5 2 2 3 0 3 0 5 1 1 4 0 3 2 3 2 3 3 1 2 4 2 3 1 3 1 4

Realicemos un estudio estadístico completo. Se trata de una variable cuantitativa discreta. Esto condicionará algunos procesos del cálculo estadístico.

RECUENTO Y TABLA DE FRECUENCIAS

x recuento n r p N R P 0 ///// /// 8 0'1333 13'33 8 0'1333 13'33 1 ///// ///// / 11 0'1833 18'33 19 0'3167 31'67 2 ///// ///// /// 13 0'2167 21'67 32 0'5333 53'33 3 ///// ///// ///// 15 0'2500 25'00 47 0'7833 78'33 4 ///// ///// 10 0'1667 16'67 57 0'9500 95'00 5 /// 3 0'0500 5'00 60 1'0000 100'00 Totales : N = 60 1'0000 100'00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS APROPIADOS PARA ESTE TIPO DE VARIABLE

DIAGRAMA DE BARRAS : Sobre el valor de cada variable dibujamos una barra con altura igual a la frecuencia que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGONO DE FRECUENCIAS : Obtenidos enlazando los extremos superiores de las barras. NOTA :Siendo la variable discreta, no tiene sentido dibujar el polígono de frecuencias.

DIAGRAMAS ACUMULADOS : Construidos como los anteriores, son los representativos de las distintas frecuencias acumuladas. El ejemplo representa las frecuencias absolutas acumuladas (N). El polígono de frecuencias se construiría enlazando los extremos superiores de las barras.

PICTOGRAMAS:

Con el mismo principio seguido para la construcción de los diagramas de barras, sustituimos dichas barras por dibujos alusivos a la variable estadística estudiada.

DIAGRAMAS DE SECTORES : Resultan de la división de un círculo en sectores cuya amplitud es proporcional a la frecuencia.

La amplitud de cada sector será : º360.º360. rNn

==α

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

x n n.x n.x2 Este tipo de tabla facilita los cálculos. 0 8 0 0 1 11 11 11 Media = 137 / 60 = 2,283 2 13 26 52 Varianza = (433 / 60) - media al cuadrado = 2'005 3 15 45 135 Desviación típica = raíz cuadrada de la varianza = 1'416 4 10 40 160 5 3 15 75 N = 60 137 433

283'260

137.=== ∑

Nxn

x ii

00'2283'260433. 22

22 =−=−= ∑ x

Nxn

s iix

s sx x= = =2 2 005 1 416' '

MODA = Valor de mayor frecuencia = 3

PERCENTILES Para la determinación de medidas de posición (percentiles), podemos seguir dos procedimientos de cálculo : 1º) Basado en las frecuencias absolutas acumuladas N : Determinamos el lugar que ocupa : L = k.N / 100 El percentil será el valor cuya frecuencia N primero iguale o supere al lugar L. 2º) Basado en porcentajes acumulados P : El percentil será el valor cuyo porcentaje P primero iguale o supere al orden k del percentil.

Apliquemos el primer procedimiento para calcular la mediana y el 9º decil : La mediana (percentil 50) ocupará el lugar : L = 50 . 60 / 100 = 30 El 9º decil (percentil 90) ocupará el lugar : L = 90 . 60 / 100 = 54

x n N 0 8 8 1 11 19 2 13 32 ⇐ Mediana = 2 3 15 47 4 10 57 ⇐ 9º decil = 4 5 3 60 N = 60

Aplicando el segundo procedimiento descrito, determinemos los cuartiles 1º y 3º, así como la amplitud semi-intercuartílica :

x n f h H 0 8 0'1333 13'33 13'33 1 11 0'1833 18'33 31'67 ⇐ Cuartil 1º (percentil 25) = 1 2 13 0'2167 21'67 53'33 3 15 0'2500 25'00 78'33 ⇐ Cuartil 3º (percentil 75) = 3 4 10 0'1667 16'67 95'00 5 3 0'0500 5'00 100'00 N = 60 1'0000 100'00

Amplitud semi-intercuartílica = Q Q3 1

23 1

21

−=

−=

2 Trabajamos ahora con las edades de 50 jóvenes de nuestro barrio :

1 11 20 15 10 4 12 20 5 23 9 12 13 14 15 24 15 7 8 12 9 9 5 2 20 13 15 7 11 22 20 6 12 4 7 1 18 20 11 10 14 20 11 13 15 21 25 20 22 10

Como en el ejemplo anterior, realicemos un estudio estadístico completo.

Nos encontramos ante una variable estadística cuantitativa continua. Agruparemos o no las observaciones en intervalos en función de los diferentes valores observados.

TABLA DE FRECUENCIAS Observado el valor mínimo (1) y máximo (24), decidimos agrupar los datos en intervalos de 5 años de amplitud, empezando por 0.

Intervalos recuento n f h N F H [ 0 , 5 ) ///// 5 0'10 10 5 0'10 10 [ 5, 10 ) ///// ///// 10 0'20 20 15 0'30 30 [ 10 , 15 ) ///// ///// ///// / 16 0'32 32 31 0'62 62 [ 15 , 20 ) ///// / 6 0'12 12 37 0'74 74 [ 20 , 25 ] ///// ///// /// 13 0'26 26 50 1'00 100 Totales : N = 50 1'00 100

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

HISTOGRAMA : Sobre el valor de cada variable dibujamos una franja con altura igual a la frecuencia que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGONO DE FRECUENCIAS : Obtenido enlazando los puntos medios de los extremos superiores de las franjas.

HISTOGRAMAS ACUMULADOS : Construidos como los anteriores, son los representativos de las distintas frecuencias acumuladas. El ejemplo representa las frecuencias absolutas acumuladas ( N ). En este caso, el polígono de frecuencias NO se construiría enlazando los puntos medios de los extremos superiores de las franjas, sino como se indica en la figura.

Cálculo de Moda, Media, Varianza y Desviación típica : Para el cálculo de la media y la varianza utilizamos la tabla auxiliar siguiente. En ella se incorpora la columna x , que contiene la marca de clase (valor central) de cada intervalo.

La MODA (valor de mayor frecuencia) se encuentra en el intervalo [10 , 15) . Determinemos su valor concreto :

875'115.106

610.11

1 =+

+=+

+=−+

+i

ii

ii a

nnneMo

Intervalos n x n.x n.x2 [ 0 , 5 ) 5 2'5 12'5 31'25 [ 5, 10 ) 10 7'5 75'0 562'50 [ 10 , 15 ) 16 12'5 200'0 2500'00 [ 15 , 20 ) 6 17'5 105'0 1837'50 [ 20 , 25 ] 13 22'5 292'5 6581'25 N = 50 685'0 11512'50

7'13

50685.

=== ∑N

xnx ii

427'1350

5'11512. 222

2 =−=−= ∑ xN

xns ii

x

s sx x= = =2 42 56 6 524' '

Utilizando las frecuencias absolutas acumuladas, calculemos el decil 2º y el percentil 62 : Lugar que ocupa el decil 2º (percentil 20) = 20 . 50 / 100 = 10 Lugar que ocupa el percentil 62 = 62 . 50 / 100 = 31

Intervalos n N [ 0 , 5 ) 5 5 [ 5, 10 ) 10 15 ⇐ Decil 2º (percentil 20) en [5,10) Lugar = 10 [ 10 , 15 ) 16 31 ⇐ Percentil 62 en [10,15) Lugar = 31 [ 15 , 20 ) 6 37 [ 20 , 25 ] 13 50 N = 50

Determinemos sus valores concretos :

5'75.10

5100

50.20

5.100.20

1

20 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

155.16

15100

50.62

10.100.62

1

62 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

Utilizando los porcentajes acumulados, calculemos el cuartil 1º y la mediana :

Intervalos n f h H [ 0 , 5 ) 5 0'10 10 10 [ 5, 10 ) 10 0'20 20 30 ⇐ Cuartil 1º (percentil 25) en [5,10) [ 10 , 15 ) 16 0'32 32 62 ⇐ Mediana (percentil 50) en [10,15) [ 15 , 20 ) 6 0'12 12 74 [ 20 , 25 ] 13 0'26 26 100 N = 50 1'00 100

Determinemos sus valores concretos :

75'85.10

5100

50.25

5.100.25

1

25 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

125'135.16

15100

50.50

10.100.50

1

50 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

3 x n De la presente distribución, calculemos : 2 6 Media, varianza y desviación típica. 3 15 Moda. 4 10 Mediana, Percentil 82, Cuartiles y amplitud semi-intercuartílica. 5 9 La variable establecida puede ser discreta o continua sin agrupar en intervalos. Realicemos los cálculos en ambos supuestos.

x n N P n.x n.x2 2 6 6 15 12 24 3 15 21 52'5 45 135 4 10 31 77'5 40 160 5 9 40 100 45 225 40 142 544

Media

55'340

142.=== ∑

Nxn

x ii

Varianza

99'055'340

544. 222

2 =−=−= ∑ xN

xn iiσ

Desviación típica

σ = =0 9975 0 99875' '

Moda 3

Mediana (percentil 50) 3

Percentil 82 5

Cuartil 1º (percentil 25)

3

Cuartil 3º (percentil 75)

4

Rango semi-intercuartílico Q Q3 1

24 3

20 5

−=

−= '

Los valores anteriores, relativos a percentiles, son válidos si la variable es DISCRETA. En el supuesto de tratarse de una variable CONTINUA (con datos no agrupados), deberíamos entender que el valor identifica el intervalo situado a la izquierda en la siguiente tabla :

Intervalo x n N P [1'5,2'5)... 2 6 6 15 [2'5,3'5)... 3 15 21 52'5 [3'5,4'5)... 4 10 31 77'5 [4'5,5'5]... 5 9 40 100

40

Los percentiles pedidos se obtendrían del modo siguiente :

Mediana en [2'5,3'5)

Me P= = +−

=50 2 5

50 40100

6

151 3 433'

.

. '

Percentil 82 en [4'5,5'5]

P82 4 5

82 40100

31

91 4 700= +

−='

.

. '

Cuartil 1º en [2'5,3'5)

Q P1 25 2 5

25 40100

6

151 2 767= = +

−='

.

. '

Cuartil 3º en [3'5,4'5)

Q P3 75 3 5

75 40100

21

101 3 400= = +

−='

.

. '

4 Interv. n De la distribución de la izquierda, calcular : [10,12) 5 Media, varianza y desviación típica. [12,14) 11 Moda [14,16) 19 Mediana, Percentil 59 y Decil 3º. [16,18) 21 Desviación media. [18,20] 4 Coeficientes de asimetría y curtosis.

Interv. n a N P n.a n.a2 [10,12) 5 11 5 8'333 55 605 [12,14) 11 13 16 26'667 143 1859 [14,16) 19 15 35 58'333 285 4275 [16,18) 21 17 56 93'333 357 6069 [18,20] 4 19 60 100'000 76 1444 60 916 14252

Media

2667'1560

916.=== ∑

Nan

x ii

Varianza

4'42667'1560

14252. 222

2 =−=−= ∑ xN

an iiσ

Desviación típica

σ = =4 4622 2 1124' '

Moda en [16,18) Mo = +

+=16 4

4 192 16 3478. '

Mediana (percentil 50)

en [14,16)

Me P= = +−

=50 14

50 60100

16

192 15 4737

.

. '

Percentil 59 en [16,18)

P59 16

59 60100

35

212 16 0381= +

−=

.

. '

Decil 3º (percentil 30)

en [14,16)

D P3 30 14

30 60100

16

192 14 2105= = +

−=

.

. '

Desviación media xx − xxn −. Asimetría y

Curtosis xx − 3).( xxn − 4).( xxn − 4'2667 21'3333 -4'2667 -388'3615 1657'0090 2'2667 24'9333 -2'2667 -128'1019 290'3644 0'2668 5'0668 -0'2668 -0'3603 0'0961 1'7333 36'4000 1'7333 109'3618 189'5604 3'7333 14'9333 3'7333 208'1375 777'0466 102'6667 -199'3244 2914'0765

Desviación media 7111'1

606667'102.

==−

= ∑N

xxnD ii

Asimetría (-0'3524 < 0)

Algo asimétrica hacia la izquierda

( )3524'0

1124'260

199'3244-.

33

3

1 −==

−

=

∑

σN

xxn

As

ii

Curtosis (-0'5608 < 0)

Ligeramente aplanada (Platicúrtica)

( )5608'03

1124'260

2914'0765

3

.

44

4

−=−=−

−

=

∑

σN

xxn

K

ii

La distribución de las estaturas en centímetros de los alumnos de un centro, expresados en porcentajes, es la siguiente:

Estaturas Porcentajes Menos de 150 0'3 De 150 a 154 1'6 De 155 a 159 9'4 De 160 a 164 20'5 De 165 a 169 31'5 De 170 a 174 22'5 De 175 a 179 10'7 De 180 y más 3'5

a) Siendo abiertos los intervalos primero y el último, ¿ qué valores sería razonable considerar para los límites extremos de esos intervalos ?

b) Si suponemos que en el Centro hay 1200 alumnos, ¿ cuáles serían las frecuencias absolutas? c) Calcular la estatura media y la desviación típica. d) ¿ Entre qué estaturas se encuentra la quinta parte de las estaturas centrales ?.

a) Al referirse a intervalos de 5 cm. de amplitud en los restantes casos, debemos considerar que el primer intervalo es de 145 a menos de 150 y, el último, de 180 a 185.

b) Estaturas h n = h . 1200 / 100 n H N [145,150) 0'3 3'6 4 0'3 4 [150,155) 1'6 19'2 19 1'9 23 [155,160) 9'4 112'8 113 11'3 136 [160,165) 20'5 246 246 31'8 382 [165,170) 31'5 378 378 63'3 760 [170,175) 22'5 270 270 85'8 1030 [175,180) 10'7 128'4 128 96'5 1158 [180,185) 3'5 42 42 100'0 1200 N=1200

c) Estaturas n x n.x n.x2 [145,150) 4 147'5 590'0 87025'00 [150,155) 19 152'5 2897'5 441868'75 [155,160) 113 157'5 17797'5 2803106'25 [160,165) 246 162'5 39975'0 6495937'50 [165,170) 378 167'5 63315'0 10605262'50 [170,175) 270 172'5 46575'0 8034187'50 [175,180) 128 177'5 22720'0 4032800'00 [180,185) 42 182'5 7665'0 1398862'50 1200 201535'0 33899050'00

De aquí resulta : x = =2015351200

167 95'

sx2 233899050

1200167 95 42 006= − =' ' sx = =42 006 6 481' '

d) La quinta parte representa el 20%. Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 40% al 60%. Se nos pide que calculemos los percentiles 40 y 60 de la distribución de estaturas.

La tabla de porcentajes acumulados del apartado b) nos permite deducir que : Los percentiles 40 y 60 se encuentran en el intervalo [165,170) .

Sus valores concretos son :

963'1665.378

3821001200.40

165.100.40

1

40 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

471'1695.378

3821001200.60

165.100.60

1

60 =−

+=−

+=−

ii

i

i an

NN

eP

Partiendo de la siguiente distribución de frecuencias acumuladas, determinar la media, mediana y moda de la siguiente distribución de edades. Analice la relación entre ellas.

Edad N [10,12) 4 [12,14) 11 [14,16) 24 [16,18) 34 [18,20] 40

Calculemos los parámetros pedidos, con el fin de observar en qué medida se verifica la relación ( )Mex.3Mox −=−

Para obtener las frecuencias absolutas, a partir de las acumuladas, aplicamos el concepto que define a estas últimas. En la práctica, las frecuencias absolutas se obtienen restando la correspondiente acumulada de la anterior.

Edad N n x n.x n.x2 [10,12) 4 4 11 44 484 [12,14) 11 7 13 91 1183 [14,16) 24 13 15 195 2925 [16,18) 34 10 17 170 2890 [18,20] 40 6 19 114 2166 40 614 9648

x = =61440

15 35'

Lugar que ocupa la mediana : L = 50 . 40 / 100 = 20

La mediana está en [14,16) :

Me = +−

=14 20 1113

2 15 3846. '

La moda se encuentra en [14 , 16). Su valor concreto es :

Mo = ++

=14 1010 7

2 15 1765. '

Comprobemos la relación existente entre ellas : 1735'01765'1535'15Mox =−=−

( ) ( ) 1035'03845'1535'15.3Mex.3 −=−=−

No se verifica la relación esperada, si bien la diferencia no es muy grande. Esta relación teórica sólo se verifica en situaciones ideales y excepcionales (por ejemplo en distribuciones simétricas, donde x Mo Me= = ).

Completar la tabla de frecuencias siguiente :

Nº de suspensos n N 0 3 1 10 2 12 3 30 4 N = 50

Nº de suspensos n N 0 3 3 coincide con el valor de n 1 7 10 para que al acumular resulte N=10 2 12 22 acumulando 12 3 8 30 para que al acumular resulte N=30 4 20 50 Última acumulada =N=50 y n=20 por diferencia con la anterior

Calcular la amplitud semi-intercuartílica de la distribución de las edades de 400 niños, representada a la izquierda.

Conocidos los porcentajes y el total de observaciones (N=400), podemos construir la distribución de frecuencias absolutas :

n = p . N / 100

x p n P 2 6 24 6 3 12 48 18 4 12 48 30 ⇐ Primer cuartil (percentil 25) 5 15 60 45 6 24 96 69 7 31 124 100 ⇐ Tercer cuartil (percentil 75) 400

La amplitud o rango semi-intercuartílico será pues : Q Q3 1

27 4

21 5

−=

−= '

Una variable X tiene por media 12 y desviación típica 3. Si elevamos todos los valores al cuadrado construimos la nueva variable Y = X2 . ¿ Cuál es el valor de su media aritmética ?.

Observemos la expresión de la varianza : 21

2

2.

xN

xns

n

iii

x −=∑=

La primera parte de la expresión contiene los cuadrados de los valores de la variable X; es decir, los valores definidos como la nueva variable Y.

Con esto : 153123.

222222212 =+=+=⇒−=⇒−=∑= xsyxysx

N

yns xx

n

iii

x

Una variable X tiene como media 8 y varianza 4. ¿ Qué transformación lineal hemos de realizar con ella, para obtener una nueva variable Y que tenga por media 42 y desviación típica 10 ?.

Se entiende por transformación lineal a una relación del tipo : Y = a + b.X Hemos de calcular los parámetros a y b desconocidos. Haciendo uso de las propiedades de la media y la desviación típica, resulta : Sobre la media Y = a +b. X ⇒ = +42 8a b. En relación con la desviación típica s b s b b aY X= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − =. . .10 2 5 42 5 8 2

La transformación realizada fue : Y = 2 + 5.X

Las calificaciones de un alumno en dos test de conocimientos fueron 5'4 y 41. El primer test dio como media 5 con varianza 2 y, el segundo, media 38 con varianza 12. ¿ En qué test obtuvo mejor calificación con relación al grupo total de alumnos ?.

Nos encontramos con dos distribuciones de calificaciones medidas en distintas escalas. Para poder comparar tendremos que referir ambas series de valores a otras equivalentes entre sí (igual media y desviación típica).

El proceso de tipificación nos proporciona lo que deseamos (siempre obtendremos una distribución con media 0 y desviación típica 1).

Tipificando ambas calificaciones se obtiene :

Nota del test 1º : 5 4 5 4 52

0 2831' ' '→ =−

=z

Nota del test 2º : 41 41 3812

0 8661→ =−

=z '

La nota obtenida en el segundo test es superior a la del primero en términos comparativos.

a) Determinar la frecuencia desconocida, sabiendo que la

estatura media es de 151’5 cm. b) Calcule la amplitud semi-intercuartílica. c) Moda de la distribución y coeficiente de asimetría que la

utiliza. d) Percentil correspondiente a una estatura de 153 cm..

Explique su significado. e) ¿ Entre qué estaturas se encuentran las 25 centrales ?. f) Porcentaje de alumnos que miden más de 157 cm.

a)

La tabla de cálculos de la media conduce a :

151515787 5 157 5

105'

' ' .=

++

ff

Resolviendo deducimos que : f = 20

b)

Lugar Q1 = 125 . 25 / 100 = 31’25 Q1 se encuentra en [145,150)

Q1 1453125 12

355 147 75= +

−=

'. '

Lugar Q3 = 125 . 75 / 100 = 93’75 Q3 se encuentra en [150,155)

Q3 1509375 47

515 154 5833= +

−=

'. '

Luego : QQ Q

=−

=−

=3 1

2154 5833 147 75

234167

' ''

c) 1º) Moda en [150,155) : Mo = ++

=15020

35 205 1518182. '

s

s

Asx Mo

s

= −

=

=−

= −

287218125125

1515

502

0'0634

2''

'

d) 153 se encuentra en [150,155)

Pk

k = +−

=150

125100

47

515 153

..

Resolviendo : k = 62’08 ≈ 62

e)

Lugar = 125 . 40 / 100 = 50 ; en [150,155) :

P40 15050 47

515 150'29= +

−=.

Lugar = 125 . 60 / 100 = 75 ; en [150,155) :

P60 15075 47

515 152 75= +

−=. '

Entre 150’29 y 152’75

Estatura en cm. Alumnos [140,145) 12 [145,150) 35 [150,155) 51 [155,160) ? [160,165) 7

x n n.x [140,145) 142’5 12 1710 [145,150) 147’5 35 5162’5 [150,155) 152’5 51 7777’5 [155,160) 157’5 f 157'5.f [160,165) 162’5 7 1137’5

105+f 15787’5+157'5.f

n N [140,145) 12 12 [145,150) 35 47 [150,155) 51 98 [155,160) 20 118 [160,165) 7 125

N=125

x n n.x n.x2 142’5 12 1710 243675 147’5 35 5162’5 761468’75 152’5 51 7777’5 1186068’75 157’5 20 3150 496125 162’5 7 1137’5 184843’75

125 18937’5 2872181’25

n N [140,145) 12 12 [145,150) 35 47 [150,155) 51 98 [155,160) 20 118 [160,165) 7 125

N=125

f) 157 se encuentra en [155,160)

Pk

k = +−

=155

125100

98

205 157

.. Resolviendo : k = 84’8% (porcentaje inferiores a 157)

Luego, miden más de 157 cm. : 100% - 84’8% = 15’2%

a) Determine el número de hombres con edades

comprendidas entre los 11 y 15 años. b) ¿ Cuál de los dos grupos de edades está más disperso ?. c) Con relación al grupo integrado por los del mismo sexo,

¿quién resulta más joven, un hombre o una mujer de 20 años ?.

Hombre Mujer

x n N n.x n.x2 n n.y n.y2 [10,13) 11’5 8 8 92 1058 2 23 264’5 [13,16) 14’5 11 19 159’5 2312’75 9 130’5 1892’25 [16,19) 17’5 5 24 87’5 1531’25 6 105 1837’5 [19,22) 20’5 9 33 184’5 3782’25 5 102’5 2101’25 [22,25) 23’5 7 40 164’5 3865’75 3 70’5 1656’75

40 688 12550 25 431’5 7752’25

a) 11 pertenece al intervalo [10,13) : Pk

kk = +−

= ⇒ =10

40100

0

83 11 667%

.. '

15 pertenece al intervalo [13,16) : Pk

kk = +−

= ⇒ =13

40100

8

113 15 3833%

.. '

Entre 11 y 15 el 38’33-6’67 = 31’66%. Luego hay : 40 . 31’66 / 100 = 12’664 ≈ 13 hombres

b) Calculamos las varianzas de ambos grupos :

x s sx x= = = − = = =68840

17 212550

4017 2 17 91 17 91 4 2322 2' ; ' ' ; ' '

y s sy y= = = − = = =4315

2517 26

7752 2525

17 26 121824 12 1824 3492 2'' ;

'' ' ; ' '

Siendo 17’91 > 12’1824 ⇒ Grupo hombres más disperso de forma aboluta

Pese a ser las medias prácticamente iguales, debemos emplear el coeficiente de variación para estudiar la variabilidad relativa de ambos grupos :

CV CVx y= = = =4 23217 2

100 24 605%349

17 26100 20 220%

''

. ' ;''

. ' ⇒ hombres más disperso

c) Tipificamos 20 en ambos grupos :

Z Zbre mujerhom'

'' ;

''

'=−

= =−

=20 17 2

17 910 662

20 17 26121824

0 785

Como 0’662 < 0’785 ⇒ Hombre más joven

Edad Hombres Mujeres 22 a 25 7 3 19 a 22 9 5 16 a 19 5 6 13 a 16 11 9 10 a 13 8 2

La tabla siguiente nos muestra las calificaciones de 10 alumnos, en un test de cálculo matemático, al inicio del curso y al finalizar el mismo.

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Inicio 4 5 1 5 2 3 2 1 1 3 Final 6 8 5 9 3 6 7 6 4 9

a) Determine la media, desviación típica, mediana y moda de las calificaciones al inicio y al final del curso.

b) Calcule la media y desviación típica del incremento o mejora de la calificación obtenida. a)

Inicio x 4 5 1 5 2 3 2 1 1 3 27 x2 16 25 1 25 4 9 4 1 1 9 95

x sx= = = − =2710

2 79510

2 7 14872' ; ' '

Ordenando valores :

1 1 1 2 2 3 3 4 5 5

Mediana = 2’5 Moda = 1

Final y 6 8 5 9 3 6 7 6 4 9 63 y2 36 64 25 81 9 36 49 36 16 81 433

y sy= = = − =6310

6 343310

6 3 192' ; ' '

Ordenando valores :

3 4 5 6 6 6 7 8 9 9

Mediana = 6 Moda = 6 b)

Mejora d 2 3 4 4 1 3 5 5 3 6 36 d2 4 9 16 16 1 9 25 25 9 36 150

d sd= = = − =3610

3 615010

3 6 14282' ; ' '

Media de la diferencia : d y x= − = − =6 3 2 7 36' ' ' ( No es válido para dispersiones )

a) Determine la media, desviación típica, coeficiente de variación,

mediana y moda del número de suspensos. b) Coeficiente de asimetría de Fisher. c) Puntuación diferencial y tipificada correspondiente a 2 suspensos.

a) De la siguiente tabla de cálculos obtenemos :

x s CV= = = − = = =15880

197549680

1975 15164151641975

100 76'78%2' ' '''

.

Mediana : N/2 = 40 ⇒ Me = 2 Moda = 1

x n N n.x n.x2 xx − 3).( xxn −0 16 16 0 0 -1’975 -123’2598 1 20 36 20 20 -0’975 -18’5372 2 14 50 28 56 0’025 0’0002 3 15 65 45 135 1’025 16’1534 4 10 75 40 160 2’025 83’0377 5 5 80 25 125 3’025 138’4032 80 158 496 95’7975

b)

3434'05164'1807975'95).(

33

3

==

−

=

∑

sN

xxn

As Ligeramente asimétrica a la derecha (o positiva)

c) x

d x xz

x xs

== − = − =

=−

= =

22 1975 0 025

0 02515164

0 016' '

''

'

Nº Suspensos Alumnos 0 16 1 20 2 14 3 15 4 10 5 5

La altura en cm. de los niños de 12 años, examinados durante la última semana en la unidad de crecimiento del centro hospitalario “Crecebien”, viene representada en la tabla de la izquierda. Sabiendo que la altura media de los mismos es 147’75 cm., calcular : a) La frecuencia A del tercer intervalo. b) La simetría de la distribución a partir de la comparación de media,

mediana y moda. c) El percentil correspondiente a un niño que mide 1’43 m..

b) Calculemos la mediana y la moda de la distribución :

Intervalos n N [129’5 , 134’5) 1 1 [134’5 , 139’5) 2 3 [139’5 , 144’5) 8 11 [144’5 , 149’5) 12 23 [149’5 , 154’5) 13 36 [154’5 , 159’5) 4 40

Utilizando los coeficientes de asimetría : As x Mos

As x Mes2 3

3=

−=

−.( )

y siendo siempre positiva la desviación típica ,concluiremos que la simetría resultará del análisis del signo del numerador.

x Mox Me− = − = − <

− = − = − <147 75 150 75 3 0

3 3 147 75 148 25 1 5 0' '

.( ) .( ' ' ) '

Luego es asimétrica izquierda (o negativa).

c) La altura 1’43 m. (= 143 cm.) se encuentra en el intervalo [139’5 , 144’5) :

P

kk k kk = = +

−⇒ =

−⇒ + = ⇒ = =143 139 5

40100

3

85 3 5 0 4 3

85 3 5 8

53 0 4 8 6

0 421 5'

.

. ' ' . . ' . ' . ''

'

Luego corresponde al percentil 21’5.

Estatura Niños 155-159 4 150-154 13 145-149 12 140-144 A 135-139 2 130-134 1

a) x AA

= =++

147 75 4774 14232

' .

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos el valor de A : 147’75.(32+A)=4774+142.A → → 4728+147’75.A=4774+142.A → → 5’75.A = 46 → A = 8

x n n.x 132 1 132 137 2 274 142 A 142.A 147 12 1764 152 13 1976 157 4 628

TOTAL 32+A 4774+142.A

Moda en [149’5 , 154’5) :

Mo = ++

=149 5 44 12

5 150 75' . '

Lugar que ocupa la mediana = 40/2 = 20

Mediana en [144’5 , 149’5) : Me = +−

=144 5 20 1112

5 148 25' . '

Dada la siguiente distribución de frecuencias., calcular : a) Media y desviación típica. b) Número de observaciones comprendidas entre las puntuaciones

directas 3’5 y 9’5. c) Puntuaciones típicas de los percentiles 20 y 80.

Ordenamos los intervalos de menor a mayor, expresándolos mediante sus extremos reales.

Intervalos n x n.x n.x2 N [ 0’5 , 3’5 ) 30 2 60 120 30 [ 3’5 , 6’5 ) 60 5 300 1500

90

[ 6’5 , 9,5 ) 100 8 800 6400 190

[ 9’5 , 12’5 ] 10 11 110 1210

200

Totales 200 1270 9230

a) x s s= = = − = = =1270200

6 359230200

6 35 58275 58275 2 4142 2' ' ' ' '

b) De la observación directa de la tabla se concluye que es 160 (60+100).

c) Percentil 20 : Lugar = 20 x 200 / 100 = 40 (Observando N) se encuentra en [ 3’5 , 6’5 )

P z20 3540 30

603 4

4 6 352 414

0 9735= +−

= → =−

= −' .'

''

Percentil 80 : Lugar = 80 x 200 / 100 = 160 (Observando N) se encuentra en [ 6’5 , 9,5 )

P z80 6 5160 90

1003 8 6

8 6 6 352 414

0 9321= +−

= → =−

=' . '' '

''

X n 10-12 10 7-9 100 4-6 60 1-3 30

Haciendo uso de coeficientes basados en medidas de posición, estudie la asimetría y el apuntamiento de la distribución.

Tales coeficientes son el de asimetría de Yule y el de curtosis de Kelley.

Obtengamos los percentiles que intervienen en su cálculo a través de la columna de porcentajes acumulados (P) : Cuartil 1º : (25%) 1 Cuartil 3º : (75%) 2 Mediana : (50%) 2 Percentil 10 : (10%) 0 Percentil 90 : (90%) 3

Con ellos :

YQ Me Q

Q Q=

− +−

=− +−

= −3 1

3 1

2 2 2 2 12 1

1. . (asimétrica a la izquierda o negativa)

KQ

P P

Q Q

P P=

−− =

−

−− =

−

−− = −

90 10

3 1

90 100 263 2 0 263

2 12

3 00 263 0 0963' ' ' ' (ligeramente platicúrtica o aplastada)

x n 0 6 1 12 2 21 3 11

x n r p P 0 6 0’12 12 12 1 12 0’24 24 36 2 21 0’42 42 78 3 11 0’22 22 100

50

Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de la variable X que toma los valores siguientes :

5 , 1 , 5 , 4 , 8.

Media aritmética : xx

Ni= =

+ + + += =

∑ 5 1 5 4 85

235

4 6'

Media geométrica : x x x xG NN

= = = = = =

1 25 5 1

5 0 25154 8 800 800 800 3807. . ... . . . . . '' Media armónica : x

N

x

A

i

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=+ + + +

= =

∑ 15

15

11

15

14

18

51775

2 817'

'

Determine las medias aritmética, geométrica y armónica de la distribución.

Generalizamos las expresiones correspondientes al figurar frecuencias :

Media aritmética : 2'22044

203.72.101.3.

==++

== ∑N

xnx ii

Media geométrica :

077'2223948822394882239488

3.2.1......05'020

120

20 710321

21

====

=== N nn

nnG

nxxxx

Media armónica : 935'1

333'1020

37

210

13

20==

++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∑i

iA

xn

Nx

x n 1 3 2 10 3 7 20

Con el fin de estudiar la edad media y la dispersión de edades en un centro educativo, el director solicita estos datos a los responsables de los distintos niveles, resultando : • 200 alumnos de Primaria con media 11 años y varianza 2’5. • 140 alumnos de Secundaria con media 14’6 años y varianza 2. • 165 alumnos de Bachillerato con media 17’1 años y varianza 0’9. ¿ Cuál es la edad media y la varianza del colectivo total de alumnos del centro ?.

Media conjunta de los 3 grupos X

n xni i

i= =

+ ++ +

= =∑∑

. . . ' . ' ''

20011 14014 6 165171200 140 165

70655505

1399

Varianza conjunta de los 3 grupos

( )S

n Sn

n x Xn

i i

i

i i

i

22 2

2 2 2200 2 5 140 2 1650 9505

200 11 1399 140 14 6 1399 165 171 1399505

9285505

3436 0105505

1839 6804 8 643

= +−

=

=+ +

+− + − + −

=

= + = + =

∑∑

∑∑

. .

. ' . . ' .( ' ) .( ' ' ) .( ' ' )

' '' ' '

De las 10 observaciones de dos variables X , Y, conocemos : ΣX = 114 ; ΣX2 = 1410 ; ΣY = 34 ; ΣY2 = 154 ; ΣXY = 398 .

Determine la media y varianza de la variable V = X - Y.

Calculemos la media y varianza de X, la media y varianza de Y, así como la covarianza.

X = =11410

114' Y = =3410

3 4' SX2 21410

10114 1104= − =' ' SY

2 215410

34 384= − =' '

SX YN

X YXYi i= − = − =

∑ .. ' . ' '

39810

114 34 104

Con ello : V X Y= − = − =114 34 8' '

S S S SV X Y XY2 2 2 2 1104 384 2 104 12 8= + − = + − =. ' ' . ' '

El estudio de las faltas de asistencia a clase de alumnos de un grupo de 3º de Secundaria produjo los resultados siguientes :

Faltas 1 2 3 4 5 6 7 8 Alumno

s 4 3 3 2 3 2 1 2

Determine la mediala y estudie analítica y gráficamente el grado de concentración de la distribución. Los cálculos de la mediala, índice de Gini y curva de Lorenz, se obtienen a partir de la siguiente tabla auxiliar:

xi ni Ni = Σ ni. Pi = (Ni.. /N).100 ti = ni. xi Ti = Σ ti. Qi = (Ti.. /T).100 Pi - Qi

1 4 4 20 4 4 5'195 14'805 2 3 7 35 6 10 12'987 22'013 3 3 10 50 9 19 24'675 25'325 4 2 12 60 8 27 35'065 24'935 5 3 15 75 15 42 54'545 20'455 6 2 17 85 12 54 70'130 14'870 7 1 18 90 7 61 79'221 10'779 8 2 20 100 16 77 100 0

N = 20 TP = 515 T = 77 TD =133'182

Uniendo el origen del rectángulo (0 , 0) con los sucesivos puntos (Pi , Qi) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Las sumas TD y TP permiten obtener el índice de Gini :

GTD

TP=

−=

−=

100133182

515 1000 3209

''

Concluimos la presencia de una cierta concentración (lo cuál también se advierte con la gráfica).

Mediala = 5

ya que el primer valor que iguala o supera a 50 en la columna Qi es 54'545, el cuál corresponde a x = 5.

Un análisis del pago de impuesto en el sector de hostelería ofreció los resultados siguientes (importes mensuales por 10.000 pesetas) :

Importe [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] Empresas 2 6 26 40 21 5

Determine la mediala y estudie analítica y gráficamente el grado de concentración de la distribución.

Los cálculos de la mediala, índice de Gini y curva de Lorenz, se obtienen a partir de la siguiente tabla auxiliar:

xi ni Ni = Σ ni. Pi = (Ni.. /N).100 ti = ni. xi Ti = Σ ti. Qi = (Ti.. /T).100 Pi - Qi [0,2) 1 2 2 2 2 2 0'297 1'703 [2,4) 3 6 8 8 18 20 2'967 5'033 [4,6) 5 26 34 34 130 150 22'255 11'745 [6,8) 7 40 74 74 280 430 63'798 10'202 [8,10) 9 21 95 95 189 619 91'840 3'160

[10,12] 11 5 100 100 55 674 100 0 N =100 TP = 313 T = 674 TD =31'843

Con TD y TP obtenemos el índice de Gini :

GTD

TP=

−=

−=

10031843

313 10001495

''

Concluimos que existe una concentración muy baja (lo cuál manifestará también la gráfica de Lorenz).

Uniendo el origen del rectángulo (0 , 0) con los sucesivos puntos (Pi , Qi) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha.

Mediala en el intervalo [6 , 8)

ya que el primer valor que iguala o supera a 50 en la columna Qi es 63'798, el cuál corresponde al intervalo indicado.

De aquí :

Ml eQ

Q Qai

i

i ii= +

−−

= +−−

=−

−

506

50 22 25563 798 22 255

2 7 33571

1.

'' '

. '

x f Haciendo uso del cálculo de momentos ordinarios de órdenes 1º al 4º, determine

el valor de 0 2 la media, varianza, asimetría y curtosis de la distribución de la izquierda. 1 8 2 10 3 3 4 1

Tabla de cálculo de momentos ordinarios :

a1 a2 a3 a4 x n n.x n.x2 n.x3 n.x4 0 2 0 0 0 0 1 8 8 8 8 8 2 10 20 40 80 160 3 3 9 27 81 243 4 1 4 16 64 256

Totales : 24 41 91 233 667

Orden

Nxn

xNna

kk

k∑∑ ==

..

mk

1 a1

4124

17083= = '

m1 0=

2 a2

9124

37917= = '

m a a2 2 12 23 7917 17083 0 8734= − = − =' ' '

3 a3

23324

9 7083= = '

m a a a a3 3 2 1 133 2 0 2468= − + = =. . . ... '

4 a4

66724

27 7917= = '

m a a a a a a4 4 3 1 2 12

144 6 3 2 2954= − + − = =. . . . . ... '

Con los momentos calculados :

Media µ = = =x a1 17083' Varianza σ2 2

2 08734= = =s mx ' Coeficiente de asimetría

( ) ( )As

m

m= = =3

23 3

0 2468

087340 3024

'

''

Coeficiente de curtosis

Kmm

= − = − =4

22 23

2 295408734

3 0 0091''

'

26 Haciendo uso del coeficiente de variación, compare la dispersión o variabilidad relativa de las dos variables descritas en cada uno de los apartados siguientes : a) El peso medio de los toros de una ganadería es de 410 kg. con desviación típica de 1 kg. y, el peso

medio de los perros de una granja es de 8 kg. con igual desviación típica. b) Dos fábricas producen tornillos con igual longitud media (50 mm.), siendo la desviación típica de la

primera de 2 mm. y de 12 mm. la de la segunda.

a) CV CVT P= = = = ⇒1

410100 0 2439%

18

100 12 5%. ' . ' El peso de los perros tiene mayor

variabilidad

b) CV CVA B= = = = ⇒2

50100 4%

1250

100 24%. . Los de la 2ª tienen mayor variabilidad

La tabla muestra la comprensión lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en niveles socioculturales altos (A) y bajos (B). Si a partir de la puntuación X=19 se considera una comprensión lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensión

lectora. b) ¿ Cuál de los dos grupos presenta mayor variabilidad ? (Razone

adecuadamente su respuesta).

Expresamos los intervalos con extremos reales, obteniendo la tabla de cálculos de percentiles, media y varianza de ambos grupos.

x nA NA nA.x nA.x2 nB NB nB.x nB.x2 [-0'5,6'5) 3 4 4 12 36 4 4 12 36 [6'5,13'5) 10 6 10 60 600 7 11 70 700 [13'5,20'5) 17 9 19 153 2601 9 20 153 2601 [20'5,27'5) 24 12 31 288 6912 8 28 192 4608 [27'5,34'5] 31 9 40 279 8649 2 30 62 1922 40 792 18798 30 489 9867

a) Calculemos el orden k del percentil que es igual a 19. Este nos da el porcentaje de los que tienen menos de 19 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superiores a 19, la respuesta será su diferencia hasta 100. El valor 19 se encuentra en el intervalo [13'5,20'5) :

En el grupo A :

P

k

kk = = +−

→ =19 135

40100

10

97 42 68'

.

. '

Luego el 57'32% (100 - 42'68) tienen buena comprensión lectora en el grupo A.

En el grupo B :

P

k

kk = = +−

→ =19 135

30100

11

97 60 24'

.

. '

Luego el 39'76% (100 - 60'24) tienen buena comprensión lectora en el grupo B. b)

Mayor variabilidad la presentará aquel grupo que posea mayor dispersión entre sus valores. Con mayor rigor, si la media es representativa de las observaciones (no existen valores extremos exageradamente distanciados de la mayoría), es el coeficiente de variación el más adecuado para medir la variabilidad relativa entre dos series estadísticas (mayor coeficiente indica menor homogeneidad; un menor valor indicará menor dispersión o variabilidad).

Si comparamos mediante las varianzas :

X S X SA A B B= = = − = = = = − =79240

19 818798

4019 8 77 91

48930

16 39867

3016 3 63212 2 2 2' ; ' ' ; ' ; ' '

el grupo A presenta una mayor variabilidad.

Si comparamos mediante los coeficientes de variación :

CVSX

CVSXA

A

AB

B

B= = = = = =.

''

. ' .''

. '10077 9119 8

100 44 58% 10063 2116 3

100 48 78%

luego, concluimos que el grupo B presenta una mayor variabilidad relativa (44'58 < 48'78), en contra de lo obtenido comparando varianzas.

X nA nB 0-6 4 4 7-13 6 7

14-20 9 9 21-27 12 8 28-34 9 2

La tabla muestra la comprensión lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en niveles socioculturales altos (A) y bajos (B). Si a partir de la puntuación X=19 se considera una comprensión lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensión

lectora. b) ¿ Cuál de los dos grupos presenta mayor variabilidad ? (Razone

adecuadamente su respuesta).

Expresamos los intervalos con extremos reales, obteniendo la tabla de cálculos de percentiles, media y varianza de ambos grupos.

x nA NA nA.x nA.x2 nB NB nB.x nB.x2 [-0'5,6'5) 3 4 4 12 36 4 4 12 36 [6'5,13'5) 10 6 10 60 600 7 11 70 700 [13'5,20'5) 17 9 19 153 2601 9 20 153 2601 [20'5,27'5) 24 12 31 288 6912 8 28 192 4608 [27'5,34'5] 31 9 40 279 8649 2 30 62 1922 40 792 18798 30 489 9867

a) Calculemos el orden k del percentil que es igual a 19. Este nos da el porcentaje de los que tienen menos de 19 puntos, luego, como deseamos saber el porcentaje de los superiores a 19, la respuesta será su diferencia hasta 100.

El valor 19 se encuentra en el intervalo [13'5,20'5) :

En el grupo A :

P

k

kk = = +−

→ =19 135

40100

10

97 42 68'

.

. '

Luego el 57'32% (100 - 42'68) tienen buena comprensión lectora en el grupo A.

En el grupo B :

P

k

kk = = +−

→ =19 135

30100

11

97 60 24'

.

. '

Luego el 39'76% (100 - 60'24) tienen buena comprensión lectora en el grupo B.

b) Mayor variabilidad la presentará aquel grupo que posea mayor dispersión entre sus valores. Con mayor rigor, si la media es representativa de las observaciones (no existen valores extremos exageradamente distanciados de la mayoría), es el coeficiente de variación el más adecuado para medir la variabilidad relativa entre dos series estadísticas (mayor coeficiente indica menor homogeneidad; un menor valor indicará menor dispersión o variabilidad).

Si comparamos mediante las varianzas :

X S X SA A B B= = = − = = = = − =79240

19 818798

4019 8 77 91

48930

16 39867

3016 3 63212 2 2 2' ; ' ' ; ' ; ' '

el grupo A presenta una mayor variabilidad.

Si comparamos mediante los coeficientes de variación :

CVSX

CVSXA

A

AB

B

B= = = = = =.

''

. ' .''

. '10077 9119 8

100 44 58% 10063 2116 3

100 48 78%

luego, concluimos que el grupo B presenta una mayor variabilidad relativa (44'58 < 48'78), en contra de lo obtenido comparando varianzas.

X nA nB 0-6 4 4 7-13 6 7

14-20 9 9 21-27 12 8 28-34 9 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Las edades de los alumnos que asisten a clase de repaso en una academia son las siguientes.

14 16 16 19 17 17 15 17 17 15 19 15 15 16 17 14 15 16 17 16 16 15 16 18 14 15 14 17 13 18 16 16 15 16 17 15 17 14 16 16 18 18 16 18 17 17 17 17 15 16

a) Construir la tabla completa de frecuencias. b) Calcular la moda. c) Determinar su media aritmética, varianza y desviación típica. d) Obtener el valor de la mediana, del percentil 29 y de la amplitud semi-intercuartílica.

2 La tabla siguiente contiene los pesos en kg. de los alumnos de un curso.

40 43 58 48 47 41'5 40'5 43 47 52 51'5 57 43 44 56 44 50 50'5 46 42 44 40 45 50 50'5 49'5 41 55 58 51 50 45 43'5 45'5 53 59 39 40 38 39'5

a) Agrupar los valores en intervalos de 5 kg. de amplitud, comenzando por 35 kg., realizando un recuento de los mismos y confeccionando la tabla completa de frecuencias

b) Calcular la moda de dicha distribución de pesos. c) Determinar su media aritmética, varianza y desviación típica. d) Obtener el valor de la mediana, y del 8º decil.

3 Sea la siguiente distribución de frecuencias: x n 1 10 2 15 3 12 4 8

a) Calcular la media de esta distribución. b) Si se suma a los valores de xi la cantidad A, ¿qué relación guarda la media de la nueva distribución con la

de la anterior ?. Generalizar este resultado y demostrar que si en una distribución de frecuencias de media m, se sustituyen los valores xi por xi + A, manteniendo las frecuencias, la media m' de la nueva distribución verifica : m'= A + m

c) Utilizando la igualdad obtenida, ¿cómo podría calcularse más fácilmente la media de la distribución siguiente ?

x n 2752 36 2754 54 2756 24 2758 18

4 Una serie familias se han clasificado por su número de hijos, resultando :

Nº de hijos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nº de familias 11 13 20 25 14 10 4 2 1

Se pide: a) Calcular la tabla completa de frecuencias. b) Representaciones gráficas. c) Calcular la media, mediana y moda. d) Hallar el recorrido, varianza y desviación típica.

5 Ordenar las cuatro distribuciones siguientes de mayor a menor dispersión.

6 Los precios de una chaqueta en once establecimientos fueron (en pts.): 5000 5200 5300 5600 6000 6400 6500 7200 7300 8400 9000 Calcular la desviación media respecto de la mediana y respecto de la media.

7 Si en una distribución de frecuencias duplicamos las amplitudes de los intervalos, ¿ qué sucederá, aproximadamente, con los valores de las frecuencias ?.

8 Represente el histograma correspondiente a la siguiente distribución de edades de los trabajadores de una fábrica.

Edades Nº de trab. de 20 a menos de 25 15 de 25 a menos de 35 20 de 35 a menos de 45 48 de 45 hasta 65 24

9 Ponga un ejemplo sencillo de una distribución de frecuencias simétrica. Calcule su moda, media y mediana, verificando que los tres parámetros coinciden.

10

A la izquierda se muestra el gráfico representativo de las frecuencias absolutas acumuladas de la distribución de edades de 40 individuos. a) Obtenga su media, mediana y moda. b) ¿ Cuántos tienen edades inferiores a cinco años y medio ?

11 Una variable X tiene como media 21 y varianza 9. Si se obtiene una nueva variable Y multiplicando los elementos de X por 4 y restándoles 8 unidades, ¿ cuál es el valor del coeficiente de variación de Y ?.

12 Una variable X toma los valores :

2 5 5 6 7 Realizada una transformación lineal con ella, se generó una nueva variable de la que conocemos que su media era 15 y que la puntuación X=2 se transformó en Y=13. Calcule las cuatro puntuaciones Y desconocidas.

13 X n Estudie la simetría y el apuntamiento (curtosis) de la distribución de la izquierda. 0 3 1 9 2 13 3 25 NOTA : 4 16 Obtenga los distintos coeficientes conocidos. Compare los resultados. 5 14

14

La tabla de la izquierda nos muestra la distribución de calificaciones de los 32 alumnos de un curso. a) Determine su media, mediana y moda. b) ¿ Qué porcentaje de observaciones tienen nota inferior a 1’62 ?. c) ¿ Entre qué valores se encuentra el 70% de las notas centrales ? d) Obtenga el coeficiente de variación y la amplitud semi-intercuartílica.

15

Nota n N De la distribución de notas de 20 alumnos, calcular : [0 , 1) 1 a) Frecuencias absolutas simples (f) y acumuladas (F) que faltan en la tabla. [1 , 2) 1 b) Coeficiente de variación. [2 , 3) 5 c) Porcentaje de alumnos con notas inferiores a 2'6. [3 , 4) 3 d) ¿ Entre qué notas se encuentra el 10% de las calificaciones centrales ?. [4 , 5) 11 e) Momentos ordinarios y centrales hasta el 4º orden. [5 , 6) 6 f) Coeficientes de asimetría y curtosis, utilizando los momentos calculados en e). [6 , 7) 19 [7 , 8]

16

Con el fin de estudiar la distribución de fallos en una pieza de tela, se realizó un recuento de los contenidos en cada metro. Los resultados fueron los siguientes :

Fallos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nº de metros 25 8 4 1 1 1 2 1 3 4

a) Estudie el grado de concentración de la distribución de fallos a lo largo de la pieza de tela. b) Calcule su media y su mediala.

17

La tabla siguiente muestra los fallos cometidos por alumnos en la realización de un test de 120 items.

Errores [0 , 10) [10 , 20) [20 , 30) [30 , 40) [40 , 50) [50 , 60) [60 , 70) [70 , 80) Alumnos 25 20 22 16 29 24 38 26

a) Estudie el grado de concentración de la distribución de preguntas con respuesta errónea. b) Calcule su mediala.

Nota Alumnos 9 - 10 2 7 - 8 0 5 - 6 4 3 - 4 14 1 - 2 12

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 a) x n r p N R P 13 1 0'02 2 1 0'02 2 14 5 0'10 10 6 0'12 12 15 10 0'20 20 16 0'32 32 16 14 0'28 28 30 0'60 60 17 13 0'26 26 43 0'86 86 18 5 0'10 10 48 0'96 96 19 2 0'04 4 50 1'00 100

b) Mo = 16 c) x = 16'12 ; s2 = 1'7856 ; s = 1'3363 d) Me = 16 ; P29 = 15 ; Q = 1

2 a) Intervalo n r p N R P [35,40) 3 0'075 7'5 3 0'075 7'5 [40,45) 14 0'350 35'0 17 0'425 42'5 [45,50) 8 0'200 20'0 25 0'625 62'5 [50,55) 9 0'225 22'5 34 0'850 85'0 [55,60] 6 0'150 15'0 40 1'000 100'0

b) Mo = 43'636 c) x = 47'625 ; s2 = 36'859 ; s = 6'071 d) Me = 46'875 ; D8 = 53'889

3 a) x = 2'4 b) 2'4 + A

c) Realizando el cambio : y x=

− 27542

4 a) x n r p N R P 0 11 0'11 11 11 0'11 11 1 13 0'13 13 24 0'24 24 2 20 0'20 20 44 0'44 44 3 25 0'25 25 69 0'69 69 4 14 0'14 14 83 0'83 83 5 10 0'10 10 93 0'93 93 6 4 0'04 4 97 0'97 97 7 2 0'02 2 99 0'99 99 8 1 0'01 1 100 1'00 100

b)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

113%

220%

325%

414%

510% 6

4% 72%

81%

011%

c) x = 2'8 ; Me = 3 ; Mo = 3 d) R = 8 ; s2 = 3'14 ; s = 1'772

5 A , D , C , B.

6 D DMe x= = 870

7 Se dividen por dos.

8 Las alturas deben ser proporcionales al área. Dividimos las frecuencias según sea la amplitud del intervalo. Alturas : 15 10 (20/2) 24 (48/2) 6 (24/4)

9 x n 0 2 1 8 2 20 x = Me = Mo = 2 3 8 4 2 40

10 a) x = 4'7 ; Me = 5 ; Mo = 6 b) 20

11 CV = 15'789

12 15 , 15 , 15'667 , 16'333

13

( )

3

3.

σN

xxn

As

ii∑ −

= = - 0'299561 ligeramente asimétrica a la izquierda

σ−

=MoxAs1 = 0'036786 ligeramente asimétrica a la derecha (prácticamente

simétrica).

σ−

=)Mdx.(3As2 = - 0'110357 ligeramente asimétrica a la izquierda

Los coeficientes basados en la moda y la mediana hacen uso de una relación teórica entre los parámetros de centralización. Generalmente no conducen a la misma conclusión, salvo distribuciones claramente asimétricas.

( )3

.

4

4

−

−

=

∑

σN

xxn

K

ii

= - 0'620240 ligeramente aplastada (mesocúrtica)

14 a) 3’375 ; 3’0714 ; 3 b) 21% c) 1’3 y 5’1 d) 60'9707% ; 1’1905

15 a) n = 1, 0, 4, 3, 3, 6, 2, 1 N = 1, 1, 5, 8, 11, 17, 19, 20 b) 38'6364 c) 17 d) 4'333 y 5 e) a1 = 4'4 ; a2 = 22'25 ; a3 = 121'7 ; a4 = 703'0625 m1 = 0 ; m2 = 0 ; 2'89 ; m3 = -1'6320 ; m4 = 21'2737 f) A = -0'3322 ; K = -0'4529 ⊗

16 Índice de Gini = 0'6567 Media = 2'14 ; Mediala = 8

17 Índice de Gini = 0'394 Mediala = 60'5263

REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

DISTRIBUCIONES BIVARIANTES

El estudio de la relación existente entre dos variables X e Y conduce a la consideración simultánea de ambas variables estadísticas. Tal distribución de las dos variables se denomina bivariante. La presentación de los datos experimentalmente observados puede hacerse :

a) Mediante los pares (Xi , Yi) : (X1 , Y1) , (X2 , Y2) , (X3 , Y3) , ...

b) Tabla simple de frecuencias : c) Tabla de frecuencias de doble entrada :

X Y n Y X1 Y1 n1 Y1 Y2 .... Ym X2 Y2 n2 X1 n11 n12 .... n1m .... .... .... X X2 n21 n22 .... n2m Xn Yn nn .... .... .... .... .... Xn nn1 nn2 .... nnm

Distribuciones marginales : Son las obtenidas de la distribución bivariante, al considerar de forma independiente cada una de las dos variables. De ellas obtendremos los parámetros de centralización y dispersión característicos : media y desviación típica.

X s s Y s sX X Y Y, , , , ,2 2

Covarianza : Este índice de variación conjunta de X e Y se define como :

( )( )YX

N

YXn

N

YYXXns i

iiii

iii

XY .....

−=−−

=∑∑

para tablas simples de frecuencias

( )( )YX

N

YXn

N

YYXXns i j

jiiji j

jiij

XY .....

−=−−

=∑∑∑∑

para tablas de frecuencias de doble

entrada.

Si sXY = 0 expresará que las variables X e Y son independientes.

RECTAS DE REGRESIÓN

Representando los pares de observaciones (X,Y) como puntos en un plano cartesiano, obtenemos el denominado diagrama de dispersión o nube de puntos. Por recta de regresión o de ajuste entendemos la recta que más se aproxima a los puntos representativos de las observaciones (X,Y). El método de los mínimos cuadrados proporciona un sistema de obtención de tales rectas, estableciendo que sea mínima la suma de los cuadrados de las separaciones existentes entre cada punto y la recta.

Según se consideren estas separaciones en vertical (lo representado en la figura) o en horizontal, se obtienen, respectivamente, las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X

Y' = a + b.X a = ordenada en el origen b = coeficiente de regresión de Y sobre X = pendiente de la recta de regresión = tangente del ángulo que forma con el eje horizontal. Y' = predicciones de Y para el valor X observado.

Los coeficientes a y b de la recta de regresión de Y sobre X se obtienen resolviendo el sistema :

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

YXnXnbXfaYnXnbNa......

....2

el cuál tiene como solución : bss

a Y b XXY

X

= = −2 .

RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y

X' = a' + b'.Y a' = ordenada en el origen b' = coeficiente de regresión de X sobre Y = pendiente de la recta de regresión. X' = predicciones de X para el valor Y observado.

Los coeficientes a' y b' de la recta de regresión de X sobre Y se obtienen igualmente al resolver :

⎭⎬⎫

=+=+

∑∑∑∑∑

YXnYnbYfaXnYnbNa...'..'.

..'.'.2

o directamente : bss

a X b YXY

Y

' ' ' .= = −2

Otro procedimiento de cálculo simplificado permite obtener los coeficientes de regresión del siguiente modo : ( )( )( )22.

...

∑∑∑∑∑

−

−=

XXN

YXYXNb

( )( )( )22.

...'

∑∑∑∑∑

−

−=

YYN

YXYXNb

Si utilizamos puntuaciones diferenciales : x X X= − y Y Y= − , las rectas de regresión pierden el término independiente (ordenadas en el origen a y a' ) al ser las medias nulas, siendo su expresión : y' = b.x x' = b'.y

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON

La recta de regresión es la que pasa más cerca de las observaciones, pero no nos indica si pasa muy cerca o no de ellas. Hemos de definir una medida del grado de asociación o relación entre ambas variables, lo cuál, en términos de recta de ajuste, indicará la bondad de la misma. Tal coeficiente se denomina coeficiente de correlación, definido por Pearson del siguiente modo :

r b bs

s sXY

X Y

= =. '.

ya que : r b bss

ss

ss s

ss s

XY

X

XY

Y

XY

X Y

XY

X Y

= = = =. ' .. .2 2

2

2 2

Según las expresiones finales obtenidas para b y b', podemos también calcularlo como : ( )( )

( )[ ] ( )[ ]2222 ...

...

∑∑∑∑∑∑∑

−−

−=

YYNXXN

YXYXNr

La expresión conduce a las siguientes relaciones (sin más que multiplicar y dividir por sX o por sY ) :

r bss

r bss

X

Y

Y

X

= =. ' .

De aquí resulta que, si se trabaja con puntuaciones tipificadas (las desviaciones típicas son iguales a 1) :

r = b = b' y las rectas de regresión son : z'Y = r.z'X ; z'X = r.z'Y

El coeficiente de correlación toma siempre valores comprendidos entre -1 y 1 : -1 ≤ r ≤ 1

Interpretación :

r Asociación de las variables Bondad del ajuste próximo a 0 Variables independientes o no relacionadas

linealmente Mala recta de ajuste. No pasa cerca de las observaciones.

próximo a 1 Variables relacionadas directamente (cuando una aumenta la otra también)

Buena recta de ajuste. Creciente (pendientes b y b' positivas)

próximo a -1 Variables relacionadas inversamente (cuando una aumenta la otra disminuye)

Buena recta de ajuste. Decreciente (pendientes b y b' negativas)

CURVA DE REGRESIÓN DE LA MEDIA

Este método es aplicable cuando una de las dos variables (o las dos) contiene un bajo número de valores distintos.

Curva de regresión de la media de Y condicionada a X :

El procedimiento consiste en sustituir todos los pares de observaciones que tienen el mismo valor de X por un único par que tiene por componentes dicho valor de X y la media de los valores de Y.

De igual modo puede establecerse la curva de regresión de la media de X condicionada a Y.

Así, por ejemplo, la figura muestra los pares siguientes: X=1 : (1,1) , (1,3) sustituidos por el par (1,2) , al ser 2 la media de 1 y 3. X=2 : (2,1) , (2,4) , (2,5) sustituidos por el par (2,3'33) , al ser 3'33 la media de 1, 4 y 5. ... etc ... Con los pares (1,2) , (2,3'33), ... obtenemos la recta de regresión por el procedimiento ya descrito.

Razón de correlación :

∑−= 2

22 .

.11Y

yi

ssn

Niη

Toma valores comprendidos entre 0 y 1 y siempre verifica que η2 ≥ r2 (r=coef. de correlación lineal). La relación entre las variables X , Y será de tipo lineal, cuanto más próximo sea η2 a r2.

OTROS PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN r

Coeficiente de correlación ϕ (phi) :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando las dos variables X e Y son dicotómicas.

Y 1 0 Asignemos los valores 0 y 1 a ambas variables y realicemos el recuento

X 1 a b representado en la tabla de la izquierda. 0 c d El coeficiente de correlación ϕ toma el valor :

( )( )( )( )dbcadcbabcad

++++−

=...

ϕ

Coeficiente de correlación biserial puntual rbp :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando una variable es continua y la otra dicotómica. Supuesta X continua :

rX X

sp qbp

X=

−1 0 . . Siendo : X1 la media de los valores de X que se corresponden con un 1 en Y.

X0 la media de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y. sX la desviación típica de X (considerados sus valores globalmente). p la proporción de unos en Y. q=1-p la proporción de ceros en Y.

Coeficiente de correlación por rangos de Spearman ρ :

El siguiente procedimiento se puede utilizar cuando las dos variables son ordinales (reordenaciones de una serie de elementos).

( )1..6

1 2

2

−−= ∑

NNd

ρ Siendo d las diferencias entre los valores de X e Y.

Los coeficientes de correlación anteriores no son más que una adaptación del coeficiente de correlación de Pearson para tipos especiales de variables. En consecuencia, su valor coincide con el que habríamos obtenido siguiendo el procedimiento de Pearson (r); por ello, su interpretación es la establecida para r .

OTROS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN NO BASADOS EN EL PEARSON

Coeficiente de correlación tetracórica:

Puede utilizarse cuando ambas variables son continuas , pero ambas pueden dicotomizarse artificialmente.

Y 1 0 Asignemos los valores 0 y 1 a ambas variables y realicemos el recuento que se

X 1 a b representa en la tabla de la izquierda. 0 c d

A) Método abreviado (aproximado) :

1º Calculamos los productos : a.d y b.c. 2º Si a.d > b.c , calculamos el cociente : C = a.d / b.c (el coeficiente de correlación será

positivo) 3º Si a.d < b.c , calculamos el cociente : C = b.c / a.d (el coeficiente de correlación será

negativo) 4º Consultando la tabla de cálculo del coeficiente de correlación tetracórico, localizamos el cociente C en el

intervalo que lo contiene (con extremos A y B). A su derecha encontramos el coeficiente de correlación tetracórico (rt), como un valor numérico (n) más R. De aquí :

( )r n R con RC A

B At = + =−−

:.100

B) Método exacto :

El coeficiente de correlación tetracórico rt será el resultado de resolver la siguiente ecuación :

( ) ( ) ( ) ( )r z zr

z zr

z z z zr a d b c

n f z f ztt t t+ + − − + − − + =

−. ' .

!. ' .

!. ' ' .

!...

. .. ( ). ( ' )

22 2

33 3

4

221 1

33 3

4

Como es lógico, la mayor exactitud en el cálculo rt , se obtiene al considerar un mayor número de sumandos del desarrollo en serie anterior. Esta dificultad aconseja seguir el método abreviado descrito anteriormente.

En la ecuación que permite calcular rt : • z valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las

cantidades (a+c)/n o (b+d)/n. • z' valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las

cantidades (a+b)/n o (c+d)/n. • f(z) y f(z') ordenadas de la curva normal, correspondientes a los valores z y z' anteriores. Tabuladas

para cada m. Coeficiente de correlación biserial rb :

Puede utilizarse cuando ambas variables son continuas , pero una de ellas puede dicotomizarse artificialmente.

Supuesta X continua y Y dicotomizada (valores 1 y 0) , el coeficiente de correlación biserial se calcula del modo siguiente :

rX X

sp qf zb

X=

−1 0 ..( )

Siendo : X1 la media de los valores de X que se corresponden con un 1 en Y.

X0 la media de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y.

La ordenada f(z) :

sX la desviación típica de X (considerados sus valores globalmente).

p la proporción de unos en Y. q=1-p la proporción de ceros en Y. z el valor normal tipificado (N(0,1)) que deja a su derecha (o a su izquierda) el área p. f(z) la ordenada correspondiente a z en la curva normal.

NOTA : Los cálculos de z y f(z) no es preciso realizarlos ya que, para cada valor de la probabilidad p (o q indistintamente), se encuentran tabulados los valores de p.q/f(z).

Coeficiente de correlación τ (tau) de Kendall :

Como el de rangos de Spearman, este coeficiente es aplicable cuando las dos variables son ordinales (reordenaciones de una serie de elementos).

Procedimiento de cálculo :

a) Reordenamos los pares de observaciones de modo que la variable X (primer elemento del par) quede en orden ascendente.

b) Comparamos cada valor de Y con los Yi siguientes, contando una permanencia si Y < Yi y una inversión si Y > Yi.

τ =−−

N Nn n

p i

.( )12

Siendo : • n el número de pares de valores (X , Y) • Np el número total de "permanencias" • Ni el número total de "inversiones"

Utilización e interpretación de los coeficientes estudiados en este epígrafe:

Los coeficientes tetracórico y biserial parten de variables continuas que pueden dicotomizarse (ambas o sólo una). Para su aplicación rigurosa es necesario que :

1. la distribución de la variable o variables consideradas continuas debe ser "normal". 2. la relación que suponemos existe entre ambas variables es de tipo "lineal".

Sus valores no tienen porqué coincidir con el del coeficiente de correlación de Pearson, si bien verifican las mismas propiedades que éste. Es decir : • Los coeficientes tetracórico y τ toman valores comprendidos entre -1 y 1 : -1 ≤ coeficiente ≤ 1. • El coeficiente biserial puede ser mayor que 1 y menor que -1. En valor absoluto, será mayor que el biserial

puntual. • Valores próximos a cero implican falta de relación entre las variables (independencia).

FUENTES DE VARIANZA EN LA CORRELACIÓN

Expresemos la desviación de Y respecto de su media como : ( ) ( ) ( )YYYYYY −+−=− ''

( )'YY − es el error cometido en la predicción. Representa la porción de información no asociada a X.

( )YY −' representa, en consecuencia, la información asociada a X.

En términos de varianzas : ( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=− 222 '' YYYYYY

( )∑ − 2YY

= ( )∑ − 2'YY

+ ( )∑ − 2' YY

Varianza total Varianza no explicada por X (varianza de los errores o residual)

Varianza explicada por X

Dividiendo los sumandos anteriores por la varianza de Y obtendremos la proporción de varianza de Y no explicada y explicada por la variable X. La manipulación de esta operación conduce a las expresiones y definiciones siguientes :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

22

2

2

2

2

2

2

2 '''1 r

YY

YY

YY

YY

YY

YY

YY

YY+

−

−=

−

−+

−

−==

−

−

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

Varianza de las predicciones Y' = ( )

NYY

sY∑ −

=2

2'

'

Proporción de varianza de las predicciones Y' = ss

rY

Y

'2

22=

Proporción de varianza explicada por X = r2 = Coeficiente de determinación ( R2 ) Proporción de varianza no explicada por X = 1 - r2

Varianza de los errores o residual = ( ) ( ) ( )

( )( )22

2

2222

.2 1.

'.

'rs

YY

YYN

YYN

YYss YXYe −=

−

−−=

−==

∑∑∑∑

La raíz cuadrada de la varianza residual se denomina error típico de la predicción : s s rY X Y. .= − 1 2 IMPORTANTE : Observe los diferentes significados e interpretaciones de r2.

FORMULARIO - RESUMEN DEL TEMA

xf x

N=∑ .

sf xN

xx2

22= −

∑ . y

f yN

=∑ .

sf yN

yy2

22= −

∑ . s

f x yN

x yxy = −∑ . .

.

Recta de regresión de y sobre x

(puntuaciones directas) y a b x' .= +

Predicciones : y y'=

a N b f x f ya f x b f x f x y

. . . .. . . . . .

+ =+ =

⎫⎬⎭

∑ ∑∑ ∑ ∑2

bss

a y b x

xy

x=

= −

2

.

Recta de regresión de x sobre y

(puntuaciones directas) x a b y' ' '.= +

Predicciones : x x'=

a N b f y f xa f y b f y f x y

'. '. . .' . . ' . . . .

+ =+ =

⎫⎬⎭

∑ ∑∑ ∑ ∑2

bss

a x b y

xy

y'

' ' .

=

= −

2

Coeficiente de correlación (de Pearson y equivalentes) :

Pearson Phí Biserial puntual Rangos de Spearman

r b bs

s sxy

x y= =. '

.

r bss

bss

x

y

y

x= =. ' .

ϕ =−

+ + + +ad bc

a b c d a c b d( ).( ).( ).( )

rx x

sp qbp

x=

−1 0 . .

ρ= −−

∑16

1

2

2.( )

dN. N

Coeficiente de correlación no basados en el de Pearson :

Tetracórico Biserial Tau de Kendall

(Tabulado)

( )r n R con RC A

B At = + =−−

:.100

rX X

sp qf zb

X=

−1 0 ..( )

τ =−−

N Nn n

p i

.( )12

Puntuaciones directas

(x,y)

Puntuaciones diferenciales

(d x x d y yx y= − = −, )

Puntuaciones tipificadas

zx x

sz

y ysx

xy

y=

−=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

y a b x' .= +

d d s s s s s sx y dx x dy y dxdy xy= = = = =0 0, , , ,

(a = 0 ; b se mantiene)

z z

s s ss

s sr

x y

zx zy zxzyxy

x y

= =

= = = =

0 0

1 1

,

, ,.

(a = 0 ; b = r)

rs

s sxy

x y=

.

d b dy x' .=

z r zy x' .=

Relación fundamental : Varianza de y =

= Varianza residual (de errores) + Varianza de las predicciones.

s s sy e y2 2 2= + '

Varianza de las predicciones : ( )s

y yNy''2

2

=−∑

Proporción de varianza explicada o asociada a la regresión, o proporción de varianza de las predicciones, o coeficiente de determinación :

s

sry

y

'2

22=

Varianza de los errores (o residual) : ( ) ( )s sy yN

s re y x y2 2

22 21= =

−= −

∑.

'.

Error típico de la predicción (raíz de la varianza de los errores):

sy.x = −s ry . 1 2

Proporción de varianza no explicada o no asociada a la regresión, o proporción de varianza de los errores :

ss

re

y

2

221= −

Signo de b = signo de b’ = signo de r = signo de la covarianza

r = 0 ⇔ absoluta independencia -1 ≤ r ≤ 1 r = 1 o r = -1 ⇔ absoluta dependencia (directa o

inversa) 0 ≤ r2 ≤ 1

EJERCICIOS RESUELTOS

1 La tabla siguiente contiene los resultados de las calificaciones en Matemáticas (X) y Lengua (Y) de un grupo de 40 alumnos de Secundaria.

X Y n 3 4 3 a) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. 3 5 5 b) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. 5 5 12 c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. 6 6 4 d) Obtenga el error típico de la predicción. 6 7 5 e) ¿ Qué proporción de varianza de Y no queda explicada por X ?. 6 8 3 7 7 6 8 8 2 Tabla de cálculos :

X Y n n.X n.Y n.X2 n.Y2 n.X.Y 3 4 3 9 12 27 48 36 3 5 5 15 25 45 125 75 5 5 12 60 60 300 300 300 6 6 4 24 24 144 144 144 6 7 5 30 35 180 245 210 6 8 3 18 24 108 192 144 7 7 6 42 42 294 294 294 8 8 2 16 16 128 128 128 40 214 238 1226 1476 1331

a) Recta de regresión de Y sobre X.

X Y= = = =21440

5 35 23840

5 95' '

( )( )( )

71'032442308

2141226.40238.2141331.40

.

...222

==−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

XXN

YXYXNb

a Y b X= − = − =. ' ' . ' '5 95 0 7115 5 35 2 1436

Recta de regresión de Y sobre X :

Y' = 2'1436 + 0'7115.X

b) Recta de regresión de X sobre Y.

( )( )( )

96'023962308

2381476.40238.2141331.40

.

...' 222

==−

−=

−

−=

∑∑∑∑∑

YYN

YXYXNb

a X b Y' ' . ' ' . ' '= − = − = −5 35 0 9633 5 95 0 3815

Recta de regresión de X sobre Y :

X' = -0'3815 + 0'9633.Y

c) Coeficiente de correlación de Pearson.

Conocidos los coeficientes de regresión puede calcularse como : r b b= = =. ' ' . ' '0 7115 0 9633 0 8279

Existe una elevada relación entre las calificaciones en Matemáticas y Lengua. Dicha relación es positiva (directa); es decir, alumnos con altas calificaciones en Matemáticas se corresponden con altas calificaciones en Lengua, y a la inversa.

Podemos afirmar que las rectas de regresión obtenidas son buenas rectas de ajuste. Es decir, expresan con una elevada aproximación la relación matemática (lineal) existente entre las calificaciones en Matemáticas y Lengua.

d) Error típico de la predicción.

Calculada la varianza de Y : sf Y

NYY

i ii2

2

2 2147640

5 95 1 4975= − = − =∑ .

' '

s s rY X Y. . ' . ' '= − = − =1 1 4975 1 0 8279 0 68642 2

e) Proporción de varianza no explicada por X.

La proporciona : 1 - r2 = 1 - 0'82792 = 0'3146. Es decir el 31'46%.

2 De la distribución bivariante siguiente :

Y 0 1 2 X 2 0 1 5 4 0 9 0 6 8 0 0

a) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. b) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. d) Calcule su varianza residual. e) Calcule e interprete el coeficiente de determinación.

Obtenemos las distribuciones marginales de X y de Y totalizando las frecuencias en filas y columnas :

Y 0 1 2 Σ X 2 0 1 5 6 4 0 9 0 9 6 8 0 0 8 Σ 8 10 5 23

X n n.X n.X2 Y n n.Y n.Y2 2 6 12 24 0 8 0 0 4 9 36 144 1 10 10 10 6 8 48 288 2 5 10 20 23 96 456 23 20 30

La suma de los productos de X por Y hemos de obtenerla directamente de la tabla proporcionada :

==∑∑∑i j

jiij YXnYX ... 0.2.0 + 1.2.1 + 5.2.2 + 0.4.0 + 9.4.1 + 0.4.2 + 8.6.0 + 0.6.1 + 0.6.2 = 58

Como puede observarse, sólo realizamos los productos correspondientes a frecuencias y valores de variables no nulos. X Y.∑ = 1.2.1 + 5.2.2 + 9.4.1 = 58

Utilicemos las medias y varianzas de X e Y, así como la covarianza, en los cálculos solicitados.

X Y s sX Y= = = = = − = = − =9623

4 1739 2023

0 8696 45623

4 1739 2 4045 3023

0 8696 0 54822 2 2 2' ' ' ' ' '

Covarianza = 1078'18696'0.1739'42358.

..

..−=−=−=−= ∑∑∑

YXN

YXYX

N

YXns i j

jiij

XY

a) Recta de regresión de Y sobre X :

bss

a Y b XXY

X

= =−

= − = − = − − =2

1 10782 4045

0 4607 0 8696 0 4607 4 1739 2 7925''

' . ' ( ' ). ' '

Y' = 2'7925 - 0'4607 . X

b) Recta de regresión de X sobre Y : b

ss

a X b YXY

Y

' ''

' ' ' . ' ( ' ). ' '= =−

= − = − = − − =2

1 10780 5482

2 0207 4 1739 2 0207 0 8696 5 9310

X' = 5'9310 - 2'0207 . Y

c) Coeficiente de correlación : Utilizando la expresión ( )( ) 9648'00207'2.4607'0'. ±=−−== bbr podemos tener duda en cuanto al signo del coeficiente de correlación. Este signo es el de b y b', ya que es el que proporciona la covarianza.

Calculado como rs

s sXY

X Y

= =−

= −.

'' . '

'1 10782 4045 0 5486

0 9648 no se planteará tal dificultad.

d) Varianza residual : ( ) ( )( ) 0379'09648'01.5482'01. 2222

.2 =−−=−== rsss YXYe

e) Coeficiente de determinación :

Es el cuadrado del coeficiente de correlación, representando la proporción de varianza explicada por la variable X (en el ajuste de Y sobre X).

( ) 9309'09648'0 222 =−== rR La variable X explica el 93'09% de la varianza de Y. Sólo el 6'91% no es atribuible a X.

3 De la siguiente distribución bivariante :

Y [0,1) [1,2) [2,3] X 2 1 2 1 3 3 6 3 4 1 2 1

a) Calcule e interprete el valor de la covarianza. b) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. c) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. d) Calcule el coeficiente de correlación lineal y el de determinación. e) De la varianza total de Y , determine la proporción atribuible a la variable X.

Totalizando filas y columnas obtendremos las distribuciones marginales de X e Y :

Y 0'5 1'5 2'5 X 2 1 2 1 4 3 3 6 3 12 4 1 2 1 4 5 10 5 20

X n n.X n.X2 Y n n.Y n.Y2 2 4 8 16 0'5 5 2'5 1'25 3 12 36 108 1'5 10 15 22'5 4 4 16 64 2'5 5 12'5 31'25 20 60 188 20 30 55

==∑∑∑i j

jiij YXnYX ... 1.2.0'5 + 2.2.1'5 + 1.2.2'5 + 3.3.0'5 + 6.3.1'5 + 3.3.2'5 + 1.4.0'5 + 2.4.1'5 + 1.4.2'5 = 90

a) Covarianza : X Y= = = =

6020

3 3020

1 5'

Covarianza = 05'45'45'1.32090.

..

..=−=−=−=−= ∑∑∑

YXN

YXYX

N

YXns i j

jiij

XY

Interpretación : Las variables son independientes. Siendo nula la covarianza, también los serán los coeficientes de regresión, el coeficiente de correlación y el de determinación, dado que en sus cálculos interviene la covarianza en el numerador.

Al ser nulos los coeficientes de regresión, a coincidirá con la media de Y y a' con la de X.

b) Recta de regresión de Y sobre X : b

ss s

a Y b XXYX X= = = = − = − =2 20 0 1 5 0 3 1 5. ' . ' ⇒ Y' = 1'5

c) Recta de regresión de X sobre Y : b

ss s

a X b YXY

Y Y

' ' ' . . '= = = = − = − =2 2

0 0 3 0 1 5 3 ⇒ X' = 3

d) Coeficiente de correlación y de determinación :

Como se indicó en el apartado a), al ser nula la covarianza, ambos coeficientes también lo son :

r b b= = =. ' .0 0 0 rs

s s s sXY

X Y X Y

= = =. .

0 0 R r2 2 0= =

e) Proporción de varianza explicada por X :

Proporción de varianza explicada por X = r2 = Coeficiente de determinación = 0

4 Se desea estudiar la relación entre las calificaciones obtenidas en un test (puntuado de 0 a 5) y el sexo del alumno que lo realiza. Los resultados observados fueron :

Test Sexo Nº de alumnos 1 Varón 3 1 Hembra 1 2 Varón 2 2 Hembra 4 3 Varón 3 4 Hembra 5 4 Varón 1 5 Hembra 1 5 Varón 2

a) Mida el grado de asociación existente entre las dos variables mediante el coeficiente más adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

a) Siendo dicotómica la segunda variable, calcularemos el coeficiente de correlación biserial puntual :

Denominando Y a la variable sexo (asignamos : 1=Hombre ; 0=Mujer) y X a la variable puntuación en el test, procederemos a los cálculos necesarios para su obtención. Ello nos conduce a calcular las medias de los valores de X que se corresponden con un 1 y con un 0 en Y (X1 y X0) de forma separada, así como la desviación típica de X. Las siguientes tablas facilitan nuestras operaciones :

X Y n n.X n.X2 X1 n n.X1 X0 n n.X0 1 1 3 3 3 1 3 3 1 1 1 1 0 1 1 1 2 2 4 2 4 8 2 1 2 4 8 3 3 9 4 5 20 2 0 4 8 16 4 1 4 5 1 5 3 1 3 9 27 5 2 10 11 34 4 0 5 20 80 11 30 q 4 1 1 4 16 p 5 0 1 5 25 5 1 2 10 50 N= 22 64 226

X13011

2 7273= = ' X03411

3 0909= = ' p = =1122

0 5' q p= = = −1122

0 5 1'

X = =6422

2 9091' s sX X2 2226

222 9091 1 8099 1 8099 1 3453= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X

=−

=−

= −1 0 2 7273 3 09091 3453

0 5 0 5 0 1351. . ' ''

. ' . ' '

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

El propósito de este apartado no es otro que comprobar que efectivamente coinciden los coeficientes de correlación de Pearson y biserial puntual. Calculemos la media y desviación típica de Y, así como la covarianza:

X Y f f.Y f.Y2 f.X.Y 1 1 3 3 3 3 1 0 1 0 0 0 2 1 2 2 2 4 2 0 4 0 0 0 3 1 3 3 3 9 4 0 5 0 0 0 4 1 1 1 1 4 5 0 1 0 0 0 5 1 2 2 2 10 22 11 11 30

Y = =1122

0 5' s sY Y2 211

220 5 0 25 0 25 0 5= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = − ⇒ =−

= −3022

2 9091 0 5 0 0909 0 09091 3453 0 5

0 1351' . ' ' '' . '

'

5 La siguiente tabla nos muestra la distribución por sexo de un grupo de 167 personas, indicando si fuman o no.

Fuma No fuma Hombre 85 12 Mujer 10 60

a) Calcule el coeficiente de más adecuado para medir el grado de asociación existente entre el sexo y el ser o no fumador.

b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

a) Las dos variables son dicotómicas. El coeficiente específico para esta situación es el coeficiente de correlación ϕ (phi) . Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y 1 (Fuma) 0 (No fuma) X 1 (Hombre) a = 85 b = 12 97 0 (Mujer) c = 10 d = 60 70 95 72

( )( )( )( )7307'0

72.95.70.9710.1260.85

...=

−=

++++−

=dbcadcba

bcadϕ

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

X Y n n.X n.Y n.X2 n.Y2 n.X.Y 1 1 85 85 85 85 85 85 1 0 12 12 0 12 0 0 0 1 10 0 10 0 10 0 0 0 60 0 0 0 0 0 167 97 95 97 95 85

X = =97

1670 5808' s sX X

2 297167

0 5808 0 2435 0 2435 0 4934= − = ⇒ = =' ' ' '

Y = =95

1670 5689' s sY Y

2 295167

0 5689 0 2453 0 2453 0 4952= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = ⇒ = =85

1670 5808 0 5689 0 1786 0 1786

0 4934 0 49520 7307' . ' ' '

' . ''

Coincidente con el calculado en el apartado anterior, como era de esperar.

6 Doce atletas (A, B, C, ..., L) participan en una carrera de 100 metros y en otra de lanzamiento de peso. Las clasificaciones en dichas pruebas fueron :

100 metros : A , B , C , D , E , F , G , H , I , J , K , L Peso : K , I , J , L , G , H , F , D , E , B , C , A

a) Determine la relación existente entre las dos clasificaciones en las pruebas descritas, mediante el coeficiente más adecuado. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior.

Nos encontramos ante dos reordenaciones distintas de los 12 individuos. Calcularemos pues el coeficiente de correlación por el método de los rangos de Spearman.

a) Coeficiente de correlación ρ :

( ) ( ) 9301'0112.12

552.611.

.61 22

2

−=−

−=−

−= ∑NN

dρ (Ver tabla siguiente)

A continuación se ofrecen las tablas auxiliares de cálculos de ρ y r , calculados para comprobar que coinciden.

Para el cálculo de ρ Para el cálculo de r X Y d d2 X Y X2 Y2 X.Y 1 11 -10 100 1 11 1 121 11 2 9

-7 49 2 9 4 81 18

3 10 -7

49 3 10 9 100 30 4 12

-8

64 4 12 16 144 48 5 7

-2

4 5 7 25 49 35 6 8

-2

4 6 8 36 64 48 7 6

1

1 7 6 49 36 42 8 4

4

16 8 4 64 16 32 9 5

4

16 9 5 81 25 45 10 2

8

64 10 2 100 4 20 11 3

8

64 11 3 121 9 33 12 1

11

121 12 1 144 1 12 78 78 0 552 78 78 650 650 374

b) Coeficiente de correlación de Pearson :

X = =7812

6 5' s sX X2 2650

126 5 11 9167 11 9167 3 4521= − = ⇒ = =' ' ' '

Y = =7812

6 5' s sY Y2 2650

126 5 11 9167 11 9167 3 4521= − = ⇒ = =' ' ' '

s rXY = − = − ⇒ =−

= −37412

6 5 6 5 11 0833 11 08333 4521 3 4521

0 9301' . ' ' '' . '

'

En efecto coinciden los coeficientes de correlación obtenidos por los dos métodos.

Su alto valor negativo (próximo a -1) nos indica que existe una fuerte relación entre las dos clasificaciones en las pruebas atléticas, quedando mejor clasificados en una los peor clasificados en la otra.

7 De los archivos de la Dirección provincial de Tráfico se han seleccionado los expedientes de 64 conductores, realizando el siguiente recuento en función del sexo (M = mujer ; H = hombre) y el número de multas impuestas durante el último año.

Sexo M H Nº de multas 1 9 0 en el último año 2 7 0 3 6 2 4 1 9 5 1 11 6 0 18

¿ Qué conclusión puede deducirse acerca de la relación existente entre sexo y número de denuncias ?. Utilice para ello el índice de asociación más apropiado.

Al ser dicotómica la variable sexo, obtendremos el coeficiente de correlación biserial puntual :

Y Y=1 Y=0 M = 1 H = 0 n n.X n.X2 n.X1 n.X0

X 1 9 0 9 9 9 9 0 2 7 0 7 14 28 14 0 3 6 2 8 24 72 18 6 4 1 9 10 40 160 4 36 5 1 11 12 60 300 5 55 6 0 18 18 108 648 0 108 24 40 N=64 255 1217 50 205

X15024

2 0833= = ' X020540

5 125= = ' p = =2464

0 375' q p= = = −4064

0 625 1'

X = =25564

3 9844' s sX X2 21217

643 9844 3 1404 3 1404 1 7721= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X

=−

=−

= −1 0 2 0833 5 1251 7721

0 375 0 625 0 831. . ' ''

. ' . ' '

Es decir existe una fuerte relación, de sentido inverso, entre ambas variables. Algo que podía advertirse al analizar el recuento de las observaciones.

8 Para analizar si existe o no relación entre las calificaciones en materias científicas y las del área literaria, seleccionamos ocho alumnos a los que sometemos a dos pruebas (una de cada área). Clasificados por orden de puntuación resultó :

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 P. Científica 3º 6º 7º 1º 2º 8º 5º 4º P. Literaria 3º 5º 7º 4º 1º 8º 2º 6º

Utilizando el índice adecuado establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones de dichas áreas de conocimiento.

Calcularemos el coeficiente de correlación ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos variables ordinales (dos reordenaciones de los 8 alumnos). Denominamos X e Y a las variables que proporcionan, respectivamente, las clasificaciones en la prueba científica y en la literaria . Ordenadas las primeras, calculemos sus diferencias :

X Y d d2 1 4 -3 9 2 1

1 1

3 3 0

0 4 6

-2

4 5 2

3

9 6 5

1

1 7 7

0

0 8 8

0

0 24

Con ello : ( ) ( ) 7143'018.8

24.611.

.61 22

2

=−

−=−

−= ∑NN

dρ

Es decir, existe una alta relación entre las calificaciones. Generalmente un alumno con altas calificaciones en el área científica tendrá altas calificaciones en el área de conocimientos literarios.

9 Un grupo de COU integran 17 alumnos de Ciencias y 14 de Letras. De ellos repiten curso 16 de Ciencias y sólo 2 de Letras. Calcule el coeficiente de correlación más adecuado para medir el grado de asociación existente entre las variables descritas.

Se trata de analizar la relación que puede existir entre la especialidad (Ciencias o Letras) y el ser repetidor o no serlo. Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) .

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y 1 (Repite) 0 (No repite) X 1 (Ciencias) a = 16 b = 1 17 0 (Letras) c = 2 d = 12 14 18 13

( )( )( )( )⇒=

−=

++++−

= 8051'013.18.14.172.112.16

... dbcadcbabcadϕ alta relación entre las variables.

10 Se somete a 10 alumnos a dos test diferentes encaminados a medir su percepción visual. Los resultados fueron los siguientes :

Test A 3 4 5 5 6 7 8 9 10 12 Test B 4 5 5 6 7 8 8 10 11 14

a) Obtenga las ecuaciones de las rectas de regresión del test A sobre el B, en puntuaciones directas, diferenciales y típicas.

b) Determine la proporción de varianza residual que se presenta en dicho ajuste. Denominando Y a las puntuaciones en el test A (variable dependiente en el ajuste) y X a las correspondientes al text B, procedemos a realizar los cálculos necesarios :

X Y X2 Y2 X.Y 3 4 9 16 12 4 5 16 25 20 5 5 25 25 25 5 6 25 36 30 6 7 36 49 42 7 8 49 64 56 8 8 64 64 64 9 10 81 100 90 10 11 100 121 110 12 14 144 196 168 69 78 549 696 617

( )( )( )

0809'169549.10

78.69617.10.

...222

=−−

=−

−=

∑∑∑∑∑

XXN

YXYXNb

a Y b XY

Nb

XN

= − = − = − =∑ ∑. . ' . '7810

1 0809 6910

0 3416

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )( ) 9861'0

78696.10.69549.1078.69617.10

...

...222222=

−−

−=

−−

−=

∑∑∑∑∑∑∑

YYNXXN

YXYXNr

a) Rectas de regresión :

1º.- En puntuaciones directas : Y' = a + b . X Y' = 0'3416 + 1'0809 . X

2º.- En puntuaciones diferenciales : y' = b . x y' = 1'0809 . x

3º.- En puntuaciones tipificadas: zy' = r .zx zy' = 0'9861 .zx

b) Proporción de varianza residual :

Cuando se habla de proporción siempre se refiere al cociente entre la varianza total de Y; es decir, a la proporción de varianza de Y que representa la varianza solicitada.

Siendo la varianza de los errores (residual) : ( )222.

2 1. rsss YXYe −==

( ) 0277'09861'0111. 222

22

2

2. =−=−=

−= r

srs

ss

Y

Y

Y

XY

Sólo representa un 2'77% de la varianza del test A (Y), siendo la proporción de varianza no explicada por el test B (X).

11 A partir de los seis pares de valores, correspondientes a una variable bidimensional (X,Y) ,

(1 , 4) , (2 , 5) , (3 , 5) , (4 , 6) , (5 , 7)

a) Calcule la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. b) Represente gráficamente el diagrama de dispersión y la recta de regresión. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación.

Cálculos necesarios (realizados en este ejemplo a partir de las medias y varianzas de X e Y y de la covarianza) :

X Y X2 Y2 X.Y 1 4 1 16 4 2 5 4 25 10 3 5 9 25 15 4 6 16 36 24 5 7 25 49 35 15 27 55 151 88

X s Y s sX Y XY= = = − = = = = − = = − =155

3 555

3 2 275

5 4 1515

5 4 1 04 885

3 5 4 1 42 2 2 2' ' ' . ' '

a) b a= = = − =1 42

0 7 5 4 0 7 3 3 3' ' ' ' . ' Y = 3'3 + 0'7 . X

b) Para X = 0 Y = 3'3 (0 , 3'3) Para X = 5 Y = 6'8 (5 , 6'8)

Enlazando los dos puntos anteriores obtenemos la gráfica de la recta. Observe que el punto que tiene por coordenadas las medias de X e Y (3 , 5'4) , es un punto contenido en la recta de regresión. Apreciamos la proximidad de los puntos a la recta de ajuste, así como que dicha recta es creciente (r > 0).

c) r = =1 4

2 1 040 9707'

. ''

Elevada relación entre las variables y de signo positivo. La recta de regresión es una buena función de ajuste, siendo creciente (r > 0).

Para representar gráficamente la recta de regresión, localizamos dos puntos cualesquiera de ella : Y = 3'3 + 0'7 . X

12 La recta de regresión de Y sobre X, calculada en el estudio de la relación existente entre dos variables, tiene por ecuación Y' = 5'4 - 0'9 . X , siendo la varianza de la variable dependiente Y igual a 1'84. Si la distribución de las predicciones de Y tiene como media 3'6 y varianza 1'619936, a) calcule la media y varianza de X b) determine la ecuación de la recta de regresión de X sobre Y c) obtenga el valor del coeficiente de correlación.

Iniciamos aquí una serie de ejemplos que requieren para su resolución el empleo de las diferentes relaciones funcionales (fórmulas para entendernos) tratadas en el tema.

Resulta de utilidad escribir las expresiones en las que intervienen los datos suministrados, sustituyendo sus valores conocidos. Tal vez así podamos obtener los que nos pida el problema.

1º.- ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==+=−=−= 9'0.9'04'5..9'04'5' 2

X

XY

ssbXYXbYaXY

2º.- s sY Y2 1 84 1 84 1 3565= = =' ' '

3º.- Y' = Y = 3'6 s = 1'619936Y'2

Siendo 3'6 la media de Y, la expresión de a nos permite obtener la media de X :

5 4 0 9 5 4 3 6 0 9 5 4 3 60 9

2' ' . ' ' ' . ' ''

= + = + ⇒ =−

=Y X X X

La varianza de X no puede obtenerse de momento (para extraerla del valor del coeficiente de regresión b necesitamos conocer antes la covarianza o el coeficiente de correlación).

Partiendo, por ejemplo, de la proporción de varianza explicada (hace referencia a la varianza de las predicciones) :

rss

rY

Y

22

2

1 6199361 84

0 8804 0 8804 0 9383= = = ⇒ = = ±' ''

' ' '

El coeficiente de correlación será negativo, ya que lo es el coeficiente de regresión b (b = -0'9), luego : r = 0'9383 .

La expresión r bss

X

Y

= . nos permitirá calcular la desviación típica de X :

r bss

ss sX

Y

XX X= ⇒ − = − ⇒ =

−−

= ⇒ = =. ' ' .'

' . ''

' '0 9383 0 91 3565

0 9383 1 35650 9

1 4142 1 4142 22 2

Finalmente, calculemos la recta de ajuste de X sobre Y :

bss

rss

a X b YXY

Y

X

Y

' . ' . ''

' ' ' . ( ' ). ' '= = = − = − = − = − − =2 0 9383 1 41421 3565

0 9783 2 0 9783 3 6 5 5217

Su ecuación es : X' = 5'5217 - 0'9783 . Y

13 La recta de regresión de Y sobre X corta a los ejes coordenados en los puntos (0'5,0) y (0,-0'4), siendo la proporción de varianza no explicada por X del 25'58%. a) Calcule los coeficientes de correlación y de determinación. b) Siendo X = 5, ¿ qué pronóstico diferencial corresponde a una puntuación directa X = 4 ?.

a) Los coeficientes de correlación y de determinación se obtienen directamente de la proporción de varianza no explicada :

1 - r2 = 0'2558 ⇒ r2 = 1 - 0'2558 = 0'7442

Luego : Coeficiente de determinación : R2 = r2 = 0'7442 Coeficiente de correlación : r = = ±0 7442 0 8627

' '

Para determinar si el coeficiente de correlación es positivo o negativo se pueden seguir distintos procedimientos. Uno podría consistir en dibujar la recta de regresión (enlazando los dos puntos conocidos) observando si es creciente (b > 0 y r > 0) o decreciente (b < 0 y r < 0). Así resulta que es creciente y, por tanto, r = 0'8627.

b) Determinemos la recta de regresión en puntuaciones directas y diferenciales :

Si la recta de regresión Y' = a + b.X pasa por (0'5,0) y (0,-0'4) , significa que : - para X = 0'5 Y' = 0 : 0 = a + b.0'5 - para X = 0 Y' = -0'4 : -0'4 = a + b.0 ⇒ -0'4 = a ⇒ 0 = -0'4 + b.0'5 ⇒ b = 0'4 / 0'5 = 0'8

La recta de regresión es : en puntuaciones directas : Y' = -0'4 + 0'8 . X en puntuaciones diferenciales : y' = 0'8 . x

A la puntuación directa X = 4 , le corresponde una puntuación diferencial : x X X= − = − = −4 5 1 luego el pronóstico diferencial correspondiente es :

y' = 0'8 . x = 0'8 . (-1) ⇒ y' = -0'8 NOTA :

Calculado b = 0'8 > 0, concluiremos que el coeficiente de correlación es también positivo (r = 0'8627), tal como se dedujo en el apartado a).

14 A las puntuaciones directas 2 y 6 de la variable X le corresponden predicciones 3'2 y 7'2 respectivamente. Si la proporción de varianza asociada a X es del 70'42% y los valores de la variable dependiente Y son: 1 , 3 , 5 , 6 y 11 a) obtenga las ecuaciones de las dos rectas de regresión b) calcule el coeficiente de correlación c) un pronóstico tipificado 1'1868 , ¿ a qué puntuación directa de X corresponde ?.

a)

En la recta de regresión de Y sobre X : Y' = a + b.X - Para X = 2 , Y' = 3'2 : 3'2 = a + 2.b - Para X = 6 , Y' = 7'2 : 7'2 = a + 6.b

Resolviendo el sistema obtenemos : a = 1'2 b = 1 Y' = 1'2 + X

Para el cálculo de la recta de regresión de X sobre Y no disponemos de elementos suficientes de momento.

b) Con los valores conocidos de Y calculamos su media, varianza y desviación típica :

Y s sY Y=+ + + +

= =+ + + +

− = = =1 3 5 6 11

55 2 1 3 5 6 11

55 2 11 36 11 36 3 37052

2 2 2 2 22' ' ' ' '

Si la proporción de varianza asociada es del 70'42%, deducimos que : r2 = 0'7042 y, siendo b = 1 > 0 , el coeficiente de correlación r también será positivo. Es decir :

r = + =0 7042 0 8392' '

De la recta de regresión de Y sobre X deducimos (para las medias) : Y Y X X Y' ' ' ' '= = + ⇒ = − = − =1 2 1 2 5 2 1 2 4

La desviación típica de X la podemos obtener ahora de la relación :

r bss

sr s

bsX

YX

YX= ⇒ = = = ⇒ = =.

. ' . ' ' '0 8392 3 37051

2 8284 2 8284 82 2

a bis) Estamos en condiciones de calcular la recta de regresión de X sobre Y :

r bss

br ss

a X YY

X

X

Y

= ⇒ = = = ⇒ = − = − =' . '. ' . '

'' ' . ' . ' '0 8392 2 8284

3 37050 7042 0 7042 4 0 7042 5 2 0 3380

La recta de regresión de X sobre Y tiene por ecuación : X' = 0'3380 + 0'7042 . Y

c) La recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones típicas es : z r z z zY X Y X' '. ' .= = 0 8392 Para el pronóstico tipificado 1'1868 deduciremos el valor tipificado de X. Teniendo en cuenta el proceso de tipificación, deduciremos la puntuación directa de X

z z X Xs

X XY XX

' ' ''

''

' . '= = = =−

=−

⇒ = + =1 1868 1 18680 8392

1 4142 42 8284

1 4142 2 8284 4 8

15 En un grupo de 10 sujetos se han aplicado dos pruebas (X,Y). Las puntuaciones obtenidas en X fueron dicotomizadas por la Mediana formándose dos categorías: altos (A) y bajos (B). Los resultados son los siguientes :

Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X B A B A A B B A A B Y 5 3 3 0 1 3 2 0 1 2

Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir la relación existente entre X e Y.

X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 2 4 2 2 4 8 3 1 3 2 6 3 3 9 27 4 0 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 1 5 5 1 5 25 5 5 5 15 10 20 62

X X X SA B X= = = = = = = − =55

1155

32010

26210

2 14832; ; ; '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−= −. .

'. . '

1 31483

510

510

0 674

Cierta relación entre las variables, de signo inverso. A mayor puntuación en la prueba Y menor nivel en X.

16 La puntuación estimada de la variable Y para un valor 0 de la variable X es 0’5454, siendo la varianza de esta variable 16’5. Sabiendo que el porcentaje de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es 4’545% y que la varianza del error es 0’318297, hallar :

a) la correlación de Pearson entre X e Y. b) la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X. c) la varianza de las puntuaciones pronosticadas.

Datos :

Y a b X a b a SSS

r SXe

ye' . ' . ' ; ' ; ' ; '= + → = + → = = = − = =05454 0 05454 165 1 0 04545 0 3182972

2

22 2

a) 1 - r2 = 0’04545 ⇒ r2 = 1 - 0’04545 = 0’95455 ⇒ r = 0’977

b) a = 0’5454

0 318297

0 04545 7 003 2 64622'

' ' 'S

S SY

Y Y= ⇒ = ⇒ =

r bSS

br SS

Y XX

Y

Y

X= ⇒ = = = ⇒ = +.

. ' . ''

' ' ' ' .0 977 2 646

1650 6364 0 5454 0 6364

c) S S S S S SY e Y Y Y e2 2 2 2 2 2 7 003 0 318297 6 684703= + → = − = − =' ' ' ' '

17 Las puntuaciones estimadas de la variable Y para los valores 3 y 5 de la variable X son 2’4545 y 3’7272 respectivamente. El coeficiente de correlación entre X e Y es 0’977, y la varianza de la variable X es 16’5. Con estos datos calcular :

a) la ecuación de la recta de regresión. b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas. c) la proporción de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X.

Datos :

Y a b Xa ba b

r SX' .' .' .

' '= + →= += +

⎧⎨⎩

= =2 4545 337272 5

0 977 1652

a) Resolviendo el sistema anterior : a = 0’54545 b = 0’63635 Y’ = 0’54545 + 0’63635.X

b) rss

s r sy

yy y

22

22 2 2= ⇒ =

'' .

r bSS S

S SX

Y YY Y= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = =. ' ' .

'' ' ' . ' ''0 977 0 63635

1650 6364 2 656594 0 977 2 656594 6 73662 2 2

c) 1 - r2 = 1 - 0’9772 = 0’045471 (4’5471%)

18 Las puntuaciones directas obtenidas por 5 sujetos en la escala LKS (Escala de Lucas) y las obtenidas por esos mismos sujetos en el factor C (Control Social) del PSI son las que figura en la tabla final.

a) Encuentre la puntuación pronosticada en LKS de un sujeto cuya puntuación directa en C es 15. b) Encuentre la parte de la varianza de LKS asociada a la variación de C. c) Interprete el resultado obtenido al calcular el estadístico que expresa la relación entre LKS y C.

Sujetos A B C D E LKS 49 40 43 31 37 C 8 16 14 20 12

Y = LKS X = C

X Y X2 Y2 X.Y 8 49 64 2401 392 16 40 256 1600 640 14 43 196 1849 602 20 31 400 961 620 12 37 144 1369 444 70 200 1060 8180 2698

X Y S S

S S S

X X

Y Y XY

= = = = = − = =

= − = = = − = −

705

142005

401060

514 16 4

81805

40 36 62698

514 40 20 4

2 2

2 2

; ; ;

; ; . '

b = -20’4 / 16 = -1’275 a = 40 - (.1’275).14 = 57’85 a)

Y’ = 57’85 - 1’275.X = 57’85 - 1’275 . 15 = 38’725

b) r = -20’4 / 4 . 6 = -0’85 ⇒ r2 = 0’7225 (72’25%)

c) Alta relación entre las dos pruebas (r=-0’85) y de signo inverso. Es decir, un sujeto con alta puntuación en LKS tendrá baja puntuación en C

19

La empresa de publicidad “VENDEBIEN” quiere saber si la aceptación o rechazo dependen del sexo. Para ello se encuesta a 200 personas de las cuáles el 50% son mujeres; 40 hombres rechazan el producto mientras que 30 mujeres lo aceptan. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos.

ϕ =−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .

. . .'

60 70 30 4090110100100

0 3015

Escasa relación entre la aceptación y el sexo. De aceptarla, el mayor rechazo se produce en mujeres.

20 La ecuación de la recta de regresión que permite pronosticar las calificaciones en Psicología Matemática II (Y) a partir de las calificaciones en Psicología Matemática I (X) es la siguiente : Y’ = 0’8.X - 0’25 Sabiendo que Sx = (4/5).Sy ; Sy = 3 y que X Y− = 174' , calcule :

a) r X Yxy , , . b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas. c) la proporción de varianza error cometida al pronosticar, utilizando la recta de regresión anterior.

H M Aceptan a=60 b=30 Rechazan c=40 d=70

Datos :

Y X S S S X YX Y Y' ' . ' ; . ; ; '= − = = − =0 8 0 2545

3 174

a)

b

S r bSS

a Y b X Y XX Y

XY

X

X

Y

=

= =

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ = = =

= − − = −− =

⎫⎬⎭⇒

==

⎧⎨⎩

0845

3 2 4 082 43

0 64

0 25 08174

7 45571

'

. ' . ' .'

'

. ' ' .'

''

b) rss

s r sy

yy y

22

22 2 2 2 20 64 3 3 6864= ⇒ = = =

'' . ' . '

c) 1 - r2 = 1 - 0'642 = 0'5904 (59'04%)

21 La recta de regresión de Y sobre X, que permite el pronóstico en el rendimiento en un trabajo manual a partir de las puntuaciones en un test de destreza manual, corta al eje de ordenadas en Y’ = 8 y al de abscisas en X = -4, en puntuaciones directas.

a) Calcule la ecuación de la recta de regresión anterior en puntuaciones directas. b) Represente gráficamente la recta de regresión anterior. c) Calcule el coeficiente de correlación entre X e Y sabiendo que la varianza de los errores es la cuarta parte de la varianza de Y.

a) Para X = 0 , Y’ = 8 y, para X = -4, Y’ = 0

Y a b Xa

a bab Y X' . . ' .= + →

== −

⇒==

→ = +⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

80 4

82 8 2

b)

c) ( )S S S S r rSS

S

Sre Y e Y

e

Y

Y

Y

2 2 2 2 2 22

2

2

214

1 1 1

14 3

40866= ⇒ = − ⇒ = − = − = ⇒ =. .

.'

22 Estudiando la relación entre las variables X e Y se obtuvieron los siguientes datos :

X Y S S r nx Y xy= = = = = =119 130 10 0 55 0 70 10, ' , , ' , ' , a) Elena C. obtuvo una puntuación de 130 en X. Estime su puntuación en Y. b) Se estimó la puntuación 1’28 en la variable Y para Gonzalo S.. ¿ Cuál fue su puntuación en la

variable X ?. c) Determinar el valor de Sy.x y la desviación típica de las puntuaciones pronosticadas (Sy’).

a) b rss

a x Y X

Y

y

x= = = = − = − ⇒ = − + ⇒

⇒ = − + =

. ' .'

' ; ' ' ' ' ' ' .

' ' ' . '

0 70 5510

0 0385 130 0 0385 119 32815 32815 0 0385

32815 0 0385130 1 7235

b) 1’28 = -3’2815+0’0385.X ⇒ X = 118’48

c) S S r

S S S SY X Y

Y Y Y X Y

.

' . '

. ' . ' '

' ' ' '

= − = − =

= − = − = ⇒ =

1 055 1 0 7 0 3928

0 3025 01543 01482 0 385

2 2

2 2 2

23 La siguiente gráfica muestra las calificaciones obtenidas

por dos grupos de alumnos que han estudiado con dos métodos de enseñanza distintos (A y B). Elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación más adecuado para estudiar la relación entre el método de enseñanza y las calificaciones.

XA XB 2 2 4 4 6 5 8 6 9 10

20 36

X 2 4 6 8 2 4 5 6 9 10 56

X2 4 16 36 64 4 16 25 36 81 100 382

Biserial puntual (rbp). Una cuantitativa (calificación) y la otra dicotómica (método).

X X X SA B X= = = = = = = − =204

5366

65610

5638210

56 2 612; ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−= −. .

'. . '

5 62 61

410

610

0187

r2 = 0’035 (3’5%)

Existe una relación muy baja (del 3’5%) entre el método seguido y las calificaciones. De aceptarse la relación diríamos que los alumnos que siguen el método B obtienen mejores resultados (signo negativo de r).

24 Sabemos que las puntuaciones diferenciales pronosticadas (y’) son cinco veces las puntuaciones diferenciales de la variable X, y que la proporción de varianza asociada entre X e Y es igual a 0’25. Calcular : a) La pendiente de la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas y diferenciales. b) La pendiente de la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones típicas. c) La pendiente de la recta de regresión de X sobre Y en puntuaciones directas.

Datos : y’ = 5x rs

sy

y

22

2 0 25= =' '

a) b = 5

b) r2 = 0’25 ⇒ r = 0’5

c) b.b’ = r2 ⇒ 5.b’ = 0’25 ⇒ b’ = 0’25 / 5 = 0’05

25 Para un grupo de 100 sujetos y en dos variables X e Y, disponemos de los siguientes datos :

Σxy=480 ; Σx2=400 ; Σy2=ΣY=900. Sabiendo además que X e Y son dos variables cuantitativas que mantienen una relación lineal y que, lógicamente,

Σx = Σy = 0 a) ¿Cuánto valdrá el coeficiente de correlación de Pearson entre X e Y ?. b) ¿Cuánto valdrá la desviación típica de los errores cometidos al pronosticar Y a partir de X ?. c) ¿ Qué puntuación directa pronosticaremos en Y a un sujeto que ha obtenido una puntuación x=-2 ?.

Se sigue en el enunciado la notación usual de representación de puntuaciones directas (mayúscula) y diferenciales (minúscula).

Recordemos que :

En puntuaciones directas En puntuaciones diferenciales

( ) ( )S

f X X Y Y

N

f X Y

NX YXY

i i ii

i i ii=

− −= −

∑ ∑. . . .. S

f x y

NXY

i i ii=∑ . .

( )S

f X X

N

f X

NXX

i ii

i ii2

2 2

2=−

= −∑ ∑. .

Sf x

NX

i ii2

2

=∑ .

a) Para puntuaciones diferenciales :

sxy

ns

xn

sy

nxy x y= = = = = = = = =∑ ∑ ∑480

1004 8

400100

2900100

32 2

'

r = 4’8 / 2'3 = 0’8

b) s s s re y y= = − = − =.x . . ' '1 3 1 08 182 2

c) En puntuaciones diferenciales : y’ = b.x , con b rss

y

x= = =. ' . '0 8

32

12

Para x = -2 : y’ = 1’2 . (-2) = -2’4

Como : y Y Y Y y Y yY

N' ' ' ' ' ' ' '= − ⇒ = + = + = − + = − + =

∑2 4

900100

2 4 9 6 6

26 La empresa de publicidad “VENDEBIEN” quiere

saber si existe relación entre la duración de un anuncio en T.V. y la aceptación o rechazo del mismo. Los resultados de la encuesta se incluyen en la siguiente tabla. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos.

Duración Aceptación Rechazo 5 - 9 3 0 10 - 14 4 1 15 - 19 4 2 20 - 24 1 3 25 - 29 0 2

X nA nA.X nR nR.X X n n.X n.X2 5-9 7 3 21 0 0 7 3 21 147

10-14 12 4 48 1 12 12 5 60 720 15-19 17 4 68 2 34 17 6 102 1734 20-24 22 1 22 3 66 22 4 88 1936 25-29 27 0 0 2 54 27 2 54 1458

12 159 8 166 20 325 5995

X X X SA R X= = = = = = = − =15912

1325166

820 75

32520

16 25599520

16 25 5 9742' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A R

X=

−=

−= −. .

' ''

. . '13 25 20 75

5 9741220

820

0 615

Cierta relación entre las variables, de signo inverso. A mayor duración mayor rechazo.

27 El gabinete de estudios sobre “Malestar Social” desea conocer si existe relación entre la consumición de drogas y la comisión de delitos sobre la propiedad. Para ello se selecciona una muestra y se comprueba que 50 individuos han consumido algún tipo de droga y a la vez han estado implicados en delitos contra la propiedad. Teniendo en cuenta que un 20% de la muestra ha cometido delitos contra la propiedad, que 250 no consumen drogas ni han estado implicados en delitos contra la propiedad y que la muestra constaba de 500 individuos, ¿ qué conclusión obtendrá el gabinete de estudios ?. (Elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado).

ϕ=−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .. . .

'50 250 50150100 400 200 300

0144

Escasa relación entre consumo de drogas y comisión de delitos. De aceptarla, la mayor comisión de delitos se produce en consumidores de drogas.

28 Un grupo de hombres y mujeres responde a una

prueba (X). Los datos obtenidos aparecen en la siguiente tabla. Elija razonadamente, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado, para estudiar la relación entre las puntuaciones de la prueba y la variable sexo.

X Mujeres Hombres 11 - 13 8 3 8 - 10 6 5 5 - 7 5 6 2 - 4 1 6

X nM nM.X nH nH.X X n n.X n.X2 2-4 3 1 3 6 18 3 7 21 63 5-7 6 5 30 6 36 6 11 66 396 8-10 9 6 54 5 45 9 11 99 891

11-13 12 8 96 3 36 12 11 132 1584 20 183 20 135 40 318 2934

X X X SM H X= = = = = = = − =18320

91513520

6 7531840

7 952934

407 95 31862' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

M H

X=

−=

−=. .

' ''

. . '915 6 75

31862040

2040

0 377

Muy débil relación entre las variables, de signo directo. De aceptarse, la mayor calificación se produce en mujeres.

29 Elija el coeficiente de correlación más apropiado

entre las variables “puntuaciones en un test de inteligencia” (X), y “prejuicio antiprotestante” (Y), teniendo en cuenta el cuadro adjunto. En este cuadro, fA significa frecuencia con alto prejuicio y fB frecuencia con bajo. Calcule el coeficiente de correlación elegido y comente brevemente el resultado obtenido.

Y fA fB 9 - 11 40 0 X 6 - 8 40 0 3 - 5 0 10 0 - 2 0 10

X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0-2 1 0 0 10 10 1 10 10 10 3-5 4 0 0 10 40 4 10 40 160 6-8 7 40 280 0 0 7 40 280 1960 9-11 10 40 400 0 0 10 40 400 4000

80 680 20 50 100 730 6130

X X X SA B X= = = = = = = − =68080

8 55020

2 5730100

7 36130100

7 3 2 832' ; ' ; ' ; ' '

rX X

Sp qbp

A B

X=

−=

−=. .

' ''

. . '8 5 2 5

2 8380

10020

1000 848

Elevada relación entre las variables, de signo directo. A mayor puntuación en el test mayor prejuicio antiprotestante.

Droga SI Droga NO Delito SI a=50 b=50 Delito NO c=150 d=250

30 Estudiando la relación entre las variables X e Y se obtuvieron los siguientes datos :

X Y S S r nx Y xy= = = = = =50 6 6 2 0 8 5, , , , ' , a) ¿ Qué puntuación directa en Y pronosticaremos a un sujeto que obtuvo una puntuación directa en X

de 52 ?.) b) ¿ Cuánto valen Sy'

2 y Sy x. ?.

a) b rss

a x

Y X Y x

y

x= = = = − = − ⇒

⇒ = − + ⇒ = − + =

. ' . ' ; ' '

' ' ' . ' ' ' '

0 826

0 267 6 0 267 50 7 35

7 35 0 267 7 35 0 267 52 6534

b) S S r S S SY Y Y Y Y.X ' .X. . ' ' ' '= − = − = = − = − =1 2 1 08 12 4 144 2 562 2 2 2 2

31 Estudiando una muestra de 50 alumnos de BUP se observó que una proporción de 0’10 estaba compuesta por alumnos hijos únicos. De los 50 alumnos, una proporción de 0’6 comían en el Colegio. Si sabemos que una proporción de 0’04, con respecto al total, son hijos únicos que no comen en el Colegio. ¿ Existe una relación entre ser hijo único o no y comer o no en el Colegio ?. Halle el coeficiente de correlación que corresponda e interprete el resultado.

ϕ=−

+ + + +=

−=

ad bca b c d a c b d( ).( ).( ).( )

. .. . .

318 27 230 20 5 45

0

Las variables son independientes. No existe ningún tipo de relación entre ser hijo único y comer en el colegio.

32 La desviación típica de un determinado grupo de personas en la variable ansiedad (X) es igual a 2. También conocemos para esta variable la media de los varones (10) y la de las mujeres (5). Sabiendo que el índice de asociación entre las variables ansiedad y sexo es igual a +1, y que el número de varones es superior al de mujeres : a) ¿ Qué coeficiente de correlación habrá sido utilizado ?. b) Interprete el valor del coeficiente de correlación. c) Calcule la proporción de varones que componen nuestra muestra.

a) Biserial puntual (rbp). Una cuantitativa y la otra dicotómica.

b) Relación perfecta. Los varones presentan altas puntuaciones en ansiedad y las mujeres bajas.

c) r

x xs

p q p q p q p q

p p p p p p ppp

bpv m

x=

−= =

−⇒ = = ⇒ =

− = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ =± −

=±

===

⎧⎨⎩

. . . . . ' . '

.( ) ' ' '' ' '

'

110 5

225

0 4 016

1 016 016 016 01 1 0 64

21 0 6

2080 2

2 2

La solución es 0’8 al indicar que hay más varones que mujeres.

33 Y Con la presente distribución bivariante obtenga : [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] a) recta de regresión de la media de Y condicionada a X 0 0 1 0 16 b) coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X X 1 0 5 20 3 c) recta de regresión de Y sobre X 2 5 18 6 0 d) coeficiente de correlación lineal (de Y sobre X) 3 3 2 1 0 e) razón de correlación.

Compare los resultados obtenidos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el significado de la razón de correlación calculada.

Único SI Único NO Comen SI a=3 b=27 Comen NO c=2 d=18

a) b) Para cada valor de la variable X, determinamos la media de los correspondientes valores de Y. Obtendremos también las varianzas de cada valor Y para calcular posteriormente la razón de correlación (apartado e).

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 0 f 0 1 0 16 Σ = 17

f.y 0 15 0 560 Σ = 575 f.y2 0 225 0 1960 Σ = 2185

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 1 f 0 5 20 3 Σ = 28

f.y 0 75 500 105 Σ = 680 f.y2 0 1125 12500 3675 Σ = 17300

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 2 f 5 18 6 0 Σ = 29

f.y 25 270 150 0 Σ = 445 f.y2 125 4050 3750 0 Σ = 7925

[0,10) [10,20) [20,30) [30,40]

y 5 15 25 35 X = 3 f 3 2 1 0 Σ = 6

f.y 15 30 25 0 Σ = 70 f.y2 75 450 625 0 Σ = 1150

Con las tablas de cálculos anteriores obtenemos : X Y (*) n X = 0 y1 338= ' sy1

2 22 1453= ' 0 33'8 17

X = 1 y2 24 3= ' sy2

2 28 0612= ' 1 24'3 28

X = 2 y3 15 3= ' sy3

2 37 8121= ' 2 15'3 29

X = 3 y4 117= ' sy4

2 555556= ' 3 11'7 6 (*) Medias de cada Y condicionado a X

Con esta distribución procedemos a calcular la recta de regresión y el coeficiente de correlación (omitimos la tabla de cálculos) :

Σ n.X = 104 Media de X = 1'3 Recta de regresión de la media de Y condicionada a X Σ n.X2 = 198 Varianza de X = 0'785 Y' = 32'8998 - 8'2989.X Σ n.Y = 1768'9 Media de Y = 22'11 Coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X Σ n.Y2 = 43565'15 Varianza de Y = 55'657 r = -0'9856 (r2 = 0'9714) Σ n.X.Y = 1778'4 Covarianza = -6'5146

c) d) X Y n n.X n.X² n.Y n.Y² n.X.Y0 5 0 0 0 0 0 00 15 1 0 0 15 225 00 25 0 0 0 0 0 00 35 16 0 0 560 19600 01 5 0 0 0 0 0 01 15 5 5 5 75 1125 751 25 20 20 20 500 12500 5001 35 3 3 3 105 3675 1052 5 5 10 20 25 125 502 15 18 36 72 270 4050 5402 25 6 12 24 150 3750 3002 35 0 0 0 0 0 03 5 3 9 27 15 75 453 15 2 6 18 30 450 903 25 1 3 9 25 625 753 35 0 0 0 0 0 0

80 104 198 1770 46200 1780

Media de X = 1'3 Recta de regresión de Y sobre X Varianza de X = 0'785 Y' = 32'91 - 8'2962.X Media de Y = 22'125 Coeficiente de correlación lineal Varianza de Y = 87'9844 r = -0'7836 (r2 = 0'6141) Covarianza = -6'5125

e) Razón de correlación :

6317'09844'87

5556'55.68121'37.290612'28.281453'22.17.8011

..11 2

22 =

+++−=−= ∑

Y

yi

ssn

Niη

Conclusiones :

• Comprobamos que η2 toma un valor comprendido entre 0 y 1 y verifica que η2 ≥ r2 (0'6317 ≥ 0'6141). • Al ser muy próximo η2 a r2, concluimos que la relación entre las variables X , Y es de tipo lineal.

• Esta última conclusión habríamos deducido al comprobar que las rectas de ajuste de Y sobre X y la de la media de Y condicionada a X prácticamente coinciden :

Y' = 32'91 - 8'2962.X Y' = 32'8998 - 8'2989.X

• La sustitución de las observaciones Yi por su promedio, ha permitido aumentar el valor del coeficiente de correlación :

r = -0'7836 r = -0'9856

incrementando así la proporción de varianza explicada por el ajuste : r2 = 0'6141 (61'41%) r2 = 0'9714 (97'14%)

34 De un grupo de COU, integrado `por 40 alumnos, conocemos sus calificaciones finales en Matemáticas y en Filosofía. El número de aprobados en ambas ascendió a 15, suspendiendo 12 las dos materias, mientras que sólo aprobó Matemáticas el 10% de los alumnos. a) Calcule el coeficiente de correlación más adecuado para medir el grado de asociación existente

entre las variables descritas. b) Asumiendo que las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía se distribuyen normalmente,

determine otro coeficiente que estudie el nivel de asociación y no esté basado en el concepto de correlación de Pearson

Se trata de analizar la relación que puede existir entre las calificaciones en las dos materias.

a) Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) .

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y - Filosofía 1 (Aprueban) 0 (Suspenden) X 1 (Aprueban) a = 15 b = 4 19 Matemáticas 0 (Suspenden) c = 9 d = 12 21 24 16

( )( )( )( )⇒=

−=

++++−

= 3679'016.24.21.199.412.15

... dbcadcbabcadϕ baja relación entre las variables.

El aprobar o suspender una materia no condiciona el resultado final en la otra. b)

Siendo las dos variables dicotómicas (normalmente distribuidas inicialmente), calculamos el coeficiente de correlación tetracórica (rt).

1º Calculamos los productos : a.d = 15 . 12 = 180 y b.c = 4 . 9 = 36. 2º Como a.d > b.c , calculamos el cociente : C = a.d / b.c = 180 / 36 = 5 (rt será positivo) 3º Consultamos la tabla XXV, para el cálculo del coeficiente de correlación tetracórico, localizando el cociente

C=5 en el intervalo (A,B) = (4'8305 , 5'0075), al cuál corresponde un coeficiente 0'56 + R.

De aquí :

( ) ( ) 56958'000958'056'056'000958'08305'40075'5.100

8305'45.100

=+=+=⇒=−

−=

−−

= RrAB

ACR t

NOTA : Generalmente se verifica que el coeficiente de correlación tetracórica y el coeficiente ϕ verifican la relación :

rt ≈ 1'5 . ϕ (con mayor rigor para valores del coeficiente tetracórico, menores o iguales a 0'5).

En nuestro caso : 1'5 . ϕ = 1'5 . 0'3679 = 0'55185 ≈ rt

Esto permite tener una referencia sobre el intervalo (-1 , 1), a la hora de interpretar el valor obtenido con el coeficiente de correlación tetracórica. Calculando el valor aproximado de ϕ , podremos medir el grado de asociación :

ϕ ≈ = =rt

15056958

150 37972

''

'' ⇒ baja relación entre las variables

35 Con el fin de estudiar si existe o no relación entre las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía de COU, seleccionamos seis alumnos. Clasificados por orden de puntuación final en cada materia resultó :

Alumno 1 2 3 4 5 6 Matemáticas 3º 6º 4º 1º 2º 5º Filosofía 3º 5º 6º 4º 1º 2º

a) Utilizando el índice adecuado, basado en el concepto de correlación de Pearson, establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones de las dos asignaturas.

b) Resuelva lo solicitado en el apartado anterior mediante un índice que no esté basado en el concepto de correlación de Pearson

a)

Calcularemos el coeficiente de correlación ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos variables ordinales (dos reordenaciones de los 8 alumnos).

Denominamos X e Y a las variables que proporcionan, respectivamente, las clasificaciones en Matemáticas y en Filosofía. Ordenando las primeras (X), calculamos sus diferencias con las segundas :

X Y d d2 1 4 -3 9 2 1

1 1

3 3 0

0 4 6

-2

4 5 2

3

9 6 5

1

1 24

Con ello : ( ) ( )ρ = −−

= −−

=∑

16

11

6 246 6 1

0 31432

2 2

..

..

'd

N N

Es decir, apenas existe relación entre las calificaciones.

b) Procede ahora el cálculo del coeficiente de correlación τ (tau) de Kendall :

Reordenamos los pares de observaciones de modo que la variable X (primer elemento del par) quede en orden ascendente y comparamos cada valor de Y con los Yi siguientes, contando una permanencia (P) si Y < Yi y una inversión (I) si Y > Yi. :

X Y 1 4 2 1 (4,1) I 3 3 (4,3) I (1,3) P 4 6 (4,6) P (1,6) P (3,6) P 5 2 (4,2) I (1,2) P (3,2) I 6 5 (4,5) P (1,5) P (3,5) P (2,5) P

En total hemos encontrado 8 permanencias (P) y 4 inversiones (I). Con ello :

τ =−− =

−− = =

N Nn n

p i

.( ) .( ) '12

8 46 6 1

2

415

0 2667

Es decir, como ocurrió con el coeficiente ρ, existe una escasa relación entre las calificaciones en Matemáticas y Filosofía.

36 Con el fin de estudiar si existe o no relación entre las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía de COU, seleccionamos 30 alumnos analizando la puntuación final en cada materia . Teniendo en cuenta que se nos proporcionó en Filosofía solamente si el alumno aprobó (A) o suspendió, establezca el grado de relación que existe entre las calificaciones en dichas materias.

Y Filosofía

A S 2 2 1 X 3 5 0 Matemáticas 4 10 2 5 4 0 6 3 1 8 1 1

a) utilizando el índice adecuado, basado en el concepto de correlación de Pearson. b) mediante un índice que no esté basado en el concepto de correlación de Pearson.

a)

Al ser dicotómica la 2ª variable, obtendremos el coeficiente de correlación biserial puntual :

Y Y=1 Y=0 A = 1 S = 0 n n.X n.X2 n.X1 n.X0 X 2 2 1 3 6 12 4 2 3 5 0 5 15 45 15 0 4 10 2 12 48 192 40 8 5 4 0 4 20 100 20 0 6 3 1 4 24 144 18 6 8 1 1 2 16 128 8 8 25 5 N=30 129 621 105 24

X110525

4 2= = ' X0245

4 8= = ' p = =2530

0 833' q = =530

0167'

X = =12930

4 3' s sX X2 2621

304 3 2 21 2 21 1487= − = ⇒ = =' ' ' '

Con esto : rX X

sp qbp

X=

−=

−= −1 0 4 2 4 8

148708330167 01505. .

' ''

. ' . ' '

Es decir apenas existe relación entre ambas variables.

b) Calculemos ahora el coeficiente de correlación biserial rb :

Tomando el menor de los valores de p y q : min (p,q) = min (0'833 , 0'167) = 0'167

obtenemos el valor tabulado del cociente p qf z

.( )

(Tabla XXIII), que resulta ser igual a 0'55609 .

Con esto : rX X

sp qf zb

X=

−=

−= −1 0 4 2 4 8

14870 55609 0 2244.

.( )

' ''

. ' '

Aunque no coincide su valor con el coeficiente de correlación biserial puntual, también podemos concluir que apenas existe relación entre ambas variables.

37 Hemos encontrado, utilizando el criterio de mínimos cuadrados, que las rectas de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas y típicas son, respectivamente :

Y' = 1'2 . X + 4 zy' = 0'8 . zx Sabiendo que : X = 5 , Y = 10 , S = 2 , S = 3X Y , calcular : a) La varianza de las puntuaciones pronosticadas en Y. b) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 5 a todos los valores de

X. c) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 3 a todos los valores de Y

y multiplicamos por 2 todos los valores de X.

La recta de ajuste en puntuaciones típicas nos proporciona el coeficiente de correlación : r = 0'8 En consecuencia, sobra del enunciado el conocer una de las dos desviaciones típicas. Conocido r = 0'8 ; b = 1'2 y una de las desviaciones típicas (de X o de Y), la otra la habríamos calculado a partir de la relación :

r bSS

X

Y= .

Su conocimiento permite obtener la covarianza (cuyo cálculo tampoco resulta imprescindible) :

rS

S SS r S SXY

X YXY X Y= ⇒ = = =

.. . ' . . '0 8 2 3 4 8

a) Varianza de los pronósticos : SY'2

Obtenida de la relación que proporciona la proporción de varianza explicada por el ajuste :

SS

r S S rY

YY Y

'' . . ' '

2

22 2 2 2 2 23 0 8 5 76= → = = =

b) Si a los valores de X les sumamos 5, la nueva media se incrementa en 5, pero las medidas de dispersión se mantienen inalterables. Resulta así : X = 5 +5 = 10 , Y = 10 , S = 2 , S = 3, S = 4' 8X Y XY

Luego : bSS

a Y b X Y XXY

X= = = − = − = − → = − +2 12 10 12 10 2 2 12' . ' . ' ' .

c) Si a los valores de Y les sumamos 3, la nueva media se incrementa en 3, pero las medidas de dispersión se mantienen inalterables. Si los valores de X los multiplicamos por 2, la nueva media se multiplica por 2, y las medidas de dispersión también (la varianza por el cuadrado). Resulta así : X = 5 . 2 = 10 , Y = 10 + 3 = 13 , S = 2 . , S = 3, S = 4' 8.X Y XY2 4 2 9 6= = ' Luego :

bSS

SS

b a Y b X Y XXY

X

XY

X= → = = = − = − = → = +2 2 2

22

24

0 6 13 0 6 10 7 7 0 6..

. ' . ' . ' ' .

38 Se desea estudiar si existe relación entre `padecer diabetes y ceguera en la tercera edad. Para ello se analiza una muestra de 1000 personas del INSERSO encontrándose que de todas ellas un 50% presentan simultáneamente diabetes y ceguera, el 40% no presentan ninguna de ambas deficiencias y el resto presentan en la misma medida sólo una u otra deficiencia. Con estos datos elija, calcule e interprete el coeficiente de correlación adecuado a dicho estudio.

Se trata de analizar la relación que puede existir entre las dos enfermedades.

Siendo las dos variables dicotómicas, calculamos el coeficiente de correlación ϕ (phi) . • Padecen ambas 50% de 1000 500 • No padecen ninguna 40% de 1000 400 • Padecen sólo diabetes La mitad de los 100 restantes 50 • Padecen sólo ceguera La mitad de los 100 restantes 50

Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos :

Y - Ceguera 1 (Padece) 0 (No padece) X 1 (Padece) a = 500 b = 50 550 Diabetes 0 (No padece) c = 50 d = 400 450 550 450

( ) ( ) ( ) ( )ϕ =

−

+ + + +=

−= ⇒

ad bca b c d a c b d. . .

. .. . .

'500 400 5050550 450550 450

0 798 alta relación entre las variables.

El padecer o no una dolencia condiciona el padecer la otra.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 X Y n De la presente distribución conjunta de las dos variables (X,Y) : 4 0 3 4 1 5 b) Obtener la recta de regresión de Y sobre X en puntuaciones diferenciales. 5 2 6 b) Obtener la recta de regresión de X sobre Y en puntuaciones típicas.. 6 2 2 c) Calcular e interpretar la proporción de varianza residual. 6 3 8 6 4 1

2 Y De la presente distribución conjunta de las variables (X,Y) : 2 4 6 8 a) Obtener la recta de regresión de Y sobre X. 0 3 1 0 0 b) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación. X 1 0 6 4 0 c) Calcular su varianza residual. 2 0 2 4 5

3

De los 10 pares de valores que se representan en el diagrama de dispersión de la izquierda, a) Calcular la recta de regresión de Y sobre X. b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación

lineal c) Determinar la proporción de varianza asociada a X.d) Calcular la media y varianza de las predicciones Y'..

4 Y De la presente distribución conjunta de las variables (X,Y) : 0 1 2 3 a) Calcular la frecuencia que falta sabiendo que la me- 3 0 1 5 12 dia de X es igual a 4. X 4 3 7 15 2 b) Obtener la recta de regresión de Y sobre X en 5 5 1 0 puntuaciones diferenciales. c) Calcular la proporción de varianza residual.

5 Edad Hermanos n De la distribución de edades y número de hermanos de 40 jóvenes : [10,15) 0 3 [10,15) 1 5 a) Obtener las rectas de regresión en puntuaciones directas, [10,15) 2 9 diferenciales y tipificadas. [15,20) 1 5 c) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal. [15,20) 2 10 [20,25] 1 3 [20,25] 2 5

6 Las siguientes distribuciones bivariantes pretenden estudiar el grado de relación existente entre las variables : a) Puntuación en un test de agresividad y sexo. b) Clasificación (de mayor a menor) según la nota media obtenida en las asignaturas del curso y en una

prueba tendente a determinar su coeficiente intelectual. c) Ser bebedor y ser fumador.

Determine y calcule en cada caso el índice adecuado que permite medir el grado de relación entre las variables descritas.

(I) Puntos Sexo (II) test Hombre Mujer Alumno 1 2 3 4 5 6 [ 0,10) 0 2 Nota media 2º 4º 5º 1º 6º 3º [10,20) 5 3 C.I. 3º 4º 6º 1º 5º 2º [20,30) 11 9 [30,40) 20 22 (III) Fuman [40,50) 14 9 Sí No [50,60) 6 6 Beben Sí 4 31 No 41 14

7 La proporción de varianza residual, en un ajuste de Y sobre X, es del 22'12%. a) Determine dicha recta de ajuste sabiendo que a una puntuación directa X=2 corresponde una predicción 2'1 y que dicha recta corta al eje de ordenadas en el punto (0,0'3). b) Calcule el coeficiente de correlación. c) ¿ Qué pronóstico diferencial corresponde a una puntuación directa X=5, si X = 0 ?.

8 En el estudio de la relación lineal existente entre dos variables X e Y se observó que eran independientes. Sabiendo que sus respectivas medias son iguales a 2 y 1, y que tienen por varianzas 0'1538 y 0'6154, a) calcule las ecuaciones de las dos rectas de regresión b) determine el error típico de la predicción.

9 De los cálculos realizados para estudiar la relación existente entre las variables X e Y, se conoce que : - la recta de ajuste de Y sobre X pasa por el punto (2,2) - las media de X es igual a 1 y la de Y vale 4 - la varianza de la variable dependiente es igual a 2'2857, y la de las predicciones es 1'9047. A la vista de estos datos, calcule : a) Ecuaciones de las dos rectas de regresión en puntuaciones directas, diferenciales y típicas. b) Proporción de varianza no asociada a X.

10 Determinar las ecuaciones en puntuaciones diferenciales de las rectas de regresión correspondientes a la distribución bivariante (X,Y), sabiendo que las varianzas de ambas variables son 4 y 9 respectivamente y que existe una relación lineal perfecta y directa entre ellas.

11 En el estudio de la relación lineal existente entre dos variables X e Y, sabemos que a las puntuaciones directas 0 y 2 de X le corresponden unos pronósticos respectivos 3’3243 y 7’7567. Sabiendo que la proporción de varianza asociada al ajuste es del 94’65% y que la variable dependiente tiene por media 8’2 y varianza 15’36, calcular : a) Ecuación de la recta de ajuste. b) Coeficiente de correlación. c) Media y varianza de la variable X. d) Varianza residual y de las predicciones.

12 Analizamos las edades de 8 personas que acuden a un examen para la obtención del carnet de conducir. Sabiendo que aprueban 5 con edades : 28, 24, 32, 45 y 30 y que los que suspenden tienen 23, 21 y 27 años, determine el coeficiente más adecuado para medir el grado de relación de la edad con la superación o no del examen.

13 Para los siguientes pares de valores de las variables X e Y :

(12 , 4) , (10 , 7) , (12 , 5) , ( 11 , 6’5) , (14 , 2) , (11, 8’5) , (12, 3) , (14 , 1’5) , (10, 9) , ( 11, 7) calcular la proporción de varianza que explica el ajuste de Y sobre X.

14 Determine la varianza de los errores y de las predicciones, correspondientes al ajuste de Y sobre X en la distribución anterior.

X 0 1 1 1 2 3 3 5 Y -6 -2 -1 1 3 8 9 12 f 3 6 11 16 3 1 4 2

15 En un grupo de 10 alumnos se han obtenido las calificaciones en Anatomía, separando el ejercicio teórico del práctico. El profesor encargado ordenó tales calificaciones de mayor a menor puntuación, encontrando los resultados siguientes :

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Clasificación teoría 6 2 7 10 4 1 8 5 9 3 Clasificación práctica 6 10 4 3 9 7 2 5 1 8

Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir si existe relación o no entre las calificaciones en las dos partes del examen.

16 Para los valores 0 y 2 de la variable X se obtuvieron unos pronósticos de la variable dependiente iguales a 6’8617 y 14’0531 respectivamente. Sabiendo que la proporción de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es del 17’32%, y la varianza de la variable independiente es 2’9375, calcular :

a) la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas y la varianza residual. c) el coeficiente de correlación entre X e Y

17 Y Con la presente distribución bivariante obtenga : 1 2 3 4 5 a) recta de regresión de la media de Y condicionada a X 0 6 8 3 0 1 b) coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X X 1 0 7 10 1 0 c) recta de regresión de Y sobre X 2 2 0 5 8 6 d) coeficiente de correlación lineal (de Y sobre X)

e) razón de correlación. f) Compare los resultados obtenidos en los apartados a), b) con los de los apartados c), d). Interprete el

significado de la razón de correlación calculada.

18 Determine y calcule en cada uno de los siguioentes supuestos, el índice adecuado (no basado en el concepto de correlación de Pearson) que permita medir el grado de asociación entre las variables X e Y.

(I) Y (II) (ordinales) X 0 1 X A B C D E F -2 6 1 Y C F D E A B -1 4 4 0 2 6 1 0 5 (III) Y 2 1 8 1 0 X 1 2 40 0 50 8

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1

X =5'12 sX

2 = 0'7456

Y =1'96 sY

2 = 1'1584 sXY = 0'8448 a) b = 1'133 y' = 1'133 . x b) r = 0'909 zy' = 0'909 . zx c) 1 - r2 = 0'1737 La proporción de varianza no explicada por X supone el 17'37% de la de Y.

2

X =1'28 sX

2 = 0'5216

Y =5'2 sY

2 = 3'52 sXY = 1'024 a) a = 2'6871 b = 1'9632 Y' = 2'6871 + 1'9632 . X b) R2 = r2 = 0'5711 Representa la proporción de varianza de Y explicada por X (el 57'11%) c) sY X.

2 = 1'5097

3

X =5'5 sX

2 = 8'25

Y =4'05 sY

2 = 1'8225 sXY = 3'175 a) a = 1'9333 b = 0'3848 Y' = 1'9333 + 0'3848 . X b) r = 0'8188 Elevada relación entre las variables (de tipo directo) c) R2 = r2 = 0'6704 d)

Y Y'= = 4’05 sY'2 =1'2218

4

X =4 sX

2 = 0'5714

Y =1'6508 sY

2 = 0'9257 sXY = -0'5238 a) f = 12 b) b = -0'9167 y' = -0'9167 . x c) 1 - r2 = 0'4813

5

X =16'375 sX

2 = 14'3594

Y =1'525 sY

2 = 0'3994 sXY = 0'4656 a = 0'994 b = 0'0324 a' = 14'597 b' = 1'1659 r = 0'1944

a) Y' = 0'994 + 0'0324 . X y' = 0'0324 . x zy' = 0'1944 . zx X' = 14'597 + 1'1659 . Y x' = 1'1659 .y zx' = 0'1944 . zy

b) r = 0'1944 Las variables no están relacionadas linealmente (son independientes)

6 (I) Coeficiente biserial puntual rbp = 0'0389 (II) Coeficiente ρ de los rangos de Spearman ρ = 0'8857 (III) Coeficiente ϕ ϕ = - 0'6154

7 a) Y = 0'3 + 0'9 . X b) r = 0'8825 c) y' = 4'5

8 a) Y' = 1 X' = 2 b) sY.X = sY = 0'7845

9 a) Y' = 6 - 2 . X y' = -2 . x zy' = -0'9129 . zx

X' = 2'6667 - 0'4167 . Y x' = -0'4167 .y zx' = -0'9129 . zy b) 1 - r2 = 0'1667

10 y' = 1'5 . x x' = 0'6667 . y

11 a) Y’ = 3’3243 + 2’2162.X b) 0’9729 c) 2’2, 2’96 d) 0’8216, 14’5384

12 rbp = 0’56

13 0’8331 (o bien el 83’31%)

14 1’9543 ; 15’5069

15 ρ = -0’8667

16 a) Y’ = 6’8617 + 3’5957 . X b) 39’98 y 7’96 c) 0’9093

17 a) YM’ = 1'9317 + 0'9049 . X b) rM = 0'9924 c) Y’ = 1'9268 + 0'8862 . X d) r = 0'6067 e) η2 = 0’3749 (próximo a r2 = 0'3681)

18 (I) Coeficiente biserial rb = - 0'7250 (II) Coeficiente τ de Kendall τ = - 0'3333 (III) Coeficiente tetracórico rt = - 0'7744

Cálculo del coeficiente de correlación biserial

La tabla proporciona, para el menor de los valores p y q, la cantidad : p qf z

.( )

min(p,q) 0'000 0'001 0'002 0'003 0'004 0'005 0'006 0'007 0'008 0'009

0'00 0'29788 0'31576 0'32772 0'33699 0'34469 0'35133 0'35722 0'36253 0'367380'01 0'37186 0'37603 0'37994 0'38363 0'38712 0'39044 0'39360 0'39663 0'39954 0'402330'02 0'40502 0'40762 0'41014 0'41257 0'41493 0'41722 0'41945 0'42162 0'42373 0'425790'03 0'42781 0'42977 0'43169 0'43357 0'43540 0'43720 0'43897 0'44069 0'44239 0'444060'04 0'44569 0'44729 0'44887 0'45042 0'45195 0'45345 0'45492 0'45638 0'45781 0'459220'05 0'46061 0'46198 0'46333 0'46466 0'46597 0'46726 0'46854 0'46980 0'47105 0'472280'06 0'47349 0'47469 0'47587 0'47704 0'47820 0'47934 0'48047 0'48159 0'48270 0'483790'07 0'48487 0'48594 0'48700 0'48804 0'48908 0'49011 0'49112 0'49213 0'49312 0'494110'08 0'49508 0'49605 0'49701 0'49795 0'49889 0'49982 0'50074 0'50166 0'50256 0'503460'09 0'50435 0'50523 0'50611 0'50697 0'50783 0'50868 0'50953 0'51036 0'51120 0'512020'10 0'51284 0'51365 0'51445 0'51525 0'51604 0'51682 0'51760 0'51838 0'51914 0'519900'11 0'52066 0'52141 0'52215 0'52289 0'52362 0'52435 0'52507 0'52579 0'52650 0'527210'12 0'52791 0'52860 0'52929 0'52998 0'53066 0'53134 0'53201 0'53268 0'53334 0'534000'13 0'53465 0'53530 0'53595 0'53659 0'53723 0'53786 0'53849 0'53911 0'53973 0'540340'14 0'54096 0'54156 0'54217 0'54277 0'54336 0'54396 0'54454 0'54513 0'54571 0'546290'15 0'54686 0'54743 0'54800 0'54856 0'54912 0'54967 0'55023 0'55078 0'55132 0'551860'16 0'55240 0'55294 0'55347 0'55400 0'55453 0'55505 0'55557 0'55609 0'55660 0'557110'17 0'55762 0'55812 0'55862 0'55912 0'55962 0'56011 0'56060 0'56109 0'56157 0'562050'18 0'56253 0'56301 0'56348 0'56395 0'56442 0'56488 0'56534 0'56580 0'56626 0'566710'19 0'56716 0'56761 0'56806 0'56850 0'56895 0'56938 0'56982 0'57025 0'57069 0'571110'20 0'57154 0'57196 0'57239 0'57281 0'57322 0'57364 0'57405 0'57446 0'57487 0'575270'21 0'57568 0'57608 0'57647 0'57687 0'57726 0'57766 0'57805 0'57843 0'57882 0'579200'22 0'57958 0'57996 0'58034 0'58071 0'58109 0'58146 0'58182 0'58219 0'58256 0'582920'23 0'58328 0'58364 0'58399 0'58435 0'58470 0'58505 0'58540 0'58574 0'58609 0'586430'24 0'58677 0'58711 0'58745 0'58778 0'58811 0'58845 0'58878 0'58910 0'58943 0'589750'25 0'59007 0'59039 0'59071 0'59103 0'59134 0'59166 0'59197 0'59228 0'59258 0'592890'26 0'59319 0'59350 0'59380 0'59410 0'59439 0'59469 0'59498 0'59528 0'59557 0'595850'27 0'59614 0'59643 0'59671 0'59699 0'59727 0'59755 0'59783 0'59811 0'59838 0'598650'28 0'59892 0'59919 0'59946 0'59973 0'59999 0'60025 0'60051 0'60077 0'60103 0'601290'29 0'60154 0'60180 0'60205 0'60230 0'60255 0'60280 0'60304 0'60329 0'60353 0'603770'30 0'60401 0'60425 0'60449 0'60472 0'60496 0'60519 0'60542 0'60565 0'60588 0'606110'31 0'60633 0'60656 0'60678 0'60700 0'60722 0'60744 0'60765 0'60787 0'60808 0'608300'32 0'60851 0'60872 0'60893 0'60913 0'60934 0'60954 0'60975 0'60995 0'61015 0'610350'33 0'61055 0'61074 0'61094 0'61113 0'61132 0'61151 0'61170 0'61189 0'61208 0'612260'34 0'61245 0'61263 0'61281 0'61299 0'61317 0'61335 0'61353 0'61370 0'61388 0'614050'35 0'61422 0'61439 0'61456 0'61473 0'61489 0'61506 0'61522 0'61538 0'61554 0'615700'36 0'61586 0'61602 0'61618 0'61633 0'61649 0'61664 0'61679 0'61694 0'61709 0'617240'37 0'61738 0'61753 0'61767 0'61781 0'61796 0'61810 0'61824 0'61837 0'61851 0'618650'38 0'61878 0'61891 0'61904 0'61917 0'61930 0'61943 0'61956 0'61969 0'61981 0'619930'39 0'62006 0'62018 0'62030 0'62042 0'62053 0'62065 0'62077 0'62088 0'62099 0'621110'40 0'62122 0'62133 0'62143 0'62154 0'62165 0'62175 0'62186 0'62196 0'62206 0'622160'41 0'62226 0'62236 0'62245 0'62255 0'62264 0'62274 0'62283 0'62292 0'62301 0'623100'42 0'62319 0'62328 0'62336 0'62345 0'62353 0'62361 0'62369 0'62377 0'62385 0'623930'43 0'62401 0'62408 0'62416 0'62423 0'62430 0'62437 0'62444 0'62451 0'62458 0'624650'44 0'62471 0'62478 0'62484 0'62490 0'62496 0'62502 0'62508 0'62514 0'62520 0'625250'45 0'62531 0'62536 0'62541 0'62547 0'62552 0'62556 0'62561 0'62566 0'62571 0'625750'46 0'62579 0'62584 0'62588 0'62592 0'62596 0'62600 0'62603 0'62607 0'62611 0'626140'47 0'62617 0'62620 0'62623 0'62626 0'62629 0'62632 0'62635 0'62637 0'62640 0'626420'48 0'62644 0'62646 0'62648 0'62650 0'62652 0'62654 0'62655 0'62657 0'62658 0'626590'49 0'62660 0'62661 0'62662 0'62663 0'62664 0'62664 0'62665 0'62665 0'62665 0'626660'50 0'62666

PROBABILIDAD Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

REPASO DE COMBINATORIA

VARIACIONES ORDINARIAS Características :

No se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos tiene influencia.

Número : )!(

!, pn

nV pn −=

VARIACIONES CON REPETICIÓN Características :

Se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos tiene influencia.

Número : ppn nVR =,

COMBINACIONES ORDINARIAS Características :

No se pueden repetir los elementos El orden de colocación de los elementos no influye.

Número : )!!.(

!, pnp

npn

C pn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

NOTA : Factorial de un número n = n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2 . 1 5! = 5.4.3.2.1 = 120 0! = 1

SUCESOS ALEATORIOS

EXPERIENCIA ALEATORIA es aquella que no está sometida a una ley concreta. Su ocurrencia sólo depende del azar. ESPACIO MUESTRAL (E) es el conjunto de las posibles ocurrencias (sucesos elementales) de una experiencia aleatoria. SUCESO ALEATORIO es cualquier subconjunto o parte del espacio muestral. OPERACIONES : UNIÓN DE SUCESOS A ∪ B A o B INTERSECCIÓN DE SUCESOS A ∩ B A y B SUCESO CONTRARIO A no A SUCESOS ESPECIALES : SUCESO SEGURO E siempre se verifica SUCESO IMPOSIBLE φ nunca se verifica SUCESOS COMPATIBLES A ∩ B ≠ φ tienen algo en común SUCESOS INCOMPATIBLES A ∩ B = φ no tienen nada en común EJEMPLO : Lanzar un dado es una experiencia aleatoria (nunca podremos asegurar el valor que se obtiene al lanzarlo). El conjunto de las posibles ejecuciones constituye el espacio muestral E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } . A = { salga cifra par } = { 2 , 4 , 6 } B = { ser múltiplo de 3 } = { 3 , 6 } C = { ser múltiplo de 5 } = { 5 }

A ∪ B = { 2 , 3 , 4, 6 } A ∩ B = { 6 } A = { salga cifra impar } = { 1 , 3 , 5 } A y B son compatibles A ∩ B = { 3 } ≠ φ A y C son incompatibles A ∩ C = φ

PROBABILIDAD

DEFINICIÓN : Probabilidad es una ley que asocia a cada suceso un valor numérico, sometida a las siguientes condiciones : 1ª La probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y 1 : 0 ≤ Pr(A) ≤ 1 2ª La probabilidad del suceso seguro es igual a 1 : Pr(E) = 1 3ª Axioma de probabilidades totales : Si dos sucesos A y B son incompatibles ( A ∩ B = φ ) , se verifica que Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B)

PROPIEDADES ELEMENTALES : I. Pr (A) = 1 - Pr(A ) II. La probabilidad del suceso imposible es igual a 0 : Pr(φ) = 0

REGLA DE LAPLACE : La probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de situaciones en que puede presentarse dicho suceso y el número total de situaciones posibles.

TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES :

Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A ∩ B) Generalizando :

Pr( . . . ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) . . .A A A A A A A A Ai i j i j k1 2 3∪ ∪ ∪ = − ∪ + ∪ ∪ −∑ ∑ ∑

Así, por ejemplo : Pr(A∪B∪C∪D) = Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) - - Pr(A∩B) - Pr(A∩C) - Pr(A∩D) - Pr(B∩C) - Pr(B∩D) - Pr(C∩D) + + Pr (A∩B∩C) + Pr (A∩B∩D) + Pr(A∩C∩D) + Pr(B∩C∩D) - - Pr(A∩B∩C∩D) PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS : B/A = suceso B condicionado al A ( ocurrir B habiendo ocurrido A ).

Pr( / ) Pr( )Pr( )

Pr( ) Pr( ).Pr( / )B A A BA

A B A B A=∩

∩ =

Generalizando : Pr( . . . ) Pr( ).Pr( / ).Pr( / ). . . .A A A A A A A A A1 2 3 1 2 1 3 1 2∩ ∩ ∩ = ∩

TEOREMA DE BAYES :

Sean n causas independientes Ai con probabilidades Pr(Ai) conocidas y sea B un suceso que puede presentarse en cada una de ellas, siendo conocidas las probabilidades Pr(B/Ai). Se verifica entonces que :

Pr( / )Pr( ).Pr( / )

Pr( ).Pr( / )A B

A B A

A B Ak

k k

i ii

n=

=∑

1

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Al extraer al azar una ficha del juego del dominó, calcular la probabilidad de que sume un número de

puntos múltiplo de 3. En situaciones como la presente nos vemos obligados a desarrollar el espacio muestral, contando, posteriormente, las situaciones que se ajustan al problema (casos favorables).

Probabilidad de sumar múltiplo de 3 = 9 / 28 = 0'32143

2

Al lanzar al aire cuatro monedas, calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras. En este caso podríamos contar las distintas situaciones, si bien puede efectuarse un desarrollo previo del espacio muestral :

CCCC Se obtienen 4 caras CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtienen 3 caras y 1 cruz CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtienen 2 caras y 2 cruces C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtienen 1 cara y 3 cruces ++++ Se obtienen 4 cruces

Del total de 16 situaciones posibles, en 11 de ellas se obtienen al menos dos caras. Así : Pr = 11/16 = 0'6875

Sin proceder al desarrollo de todas las posibilidades : a) Situaciones posibles : VR2,4 = 24 = 16 b) Se obtienen cuatro caras en 1 solo caso Se obtienen tres caras en C4,3 = 4 casos Se obtienen tres caras en C4,2 = 6 casos

3 Una caja contiene seis bolas blancas, tres rojas y dos negras. Al extraer simultáneamente dos bolas de

ella, calcular la probabilidad de que sean : a) las dos blancas b) las dos del mismo color

2727'05515

21126

)Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=a 3453'05519

211

22

23

26

)Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=b

4 Una caja contiene seis bolas blancas (B), tres rojas (R) y dos negras (N). Al extraer sucesivamente dos

bolas de ella, calcular la probabilidad de que sean de distinto color: a) supuesta la extracción con devolución de la bola extraída b) supuesta la extracción sin devolución de la bola extraída

Las posibles situaciones que se ajustan al problema son : BR , BN , RB , RN , NB , NR

a) Pr . . . . . . '= + + + + + = =611

311

611

211

311

611

311

211

211

611

211

311

72121

0 595

b) Pr . . . . . . '= + + + + + = =611

310

611

210

311

610

311

210

211

610

211

310

72110

0 6545

5 La siguiente tabla nos muestra la distribución del alumnado de un Centro en función del curso y del sexo.

Hombre Mujer Seleccionado un alumno al azar, calcular la probabilidad 1º 15 25 a) de que sea mujer o estudie 2º 2º 10 30 b) de que no estudie 1º y sea hombre 3º 25 45 c) de que sea mujer sabiendo que no es de 2º a)

Pr '= =110150

0 733

b)

Pr '= =35

1500 233

c)

Pr '= =70110

0 6364

6 Al extraer simultáneamente tres cartas de la baraja española, calcular la probabilidad de que :

a) todas sean de oros b) al menos dos sean figuras c) sean del mismo palo d) sean de distinto palo e) no sean del mismo palo

a) Las tres de oros : 0121'09880120

340

310

Pr ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

b) Dos figuras o tres figuras : 2093'098802068

340

312

128

.2

12

Pr ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

c) Las tres de oros o de copas o de espadas o de bastos :

0486'09880480

340

310

310

310

310

Pr ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Antes de efectuar lo solicitado en los apartados d) y e) , veamos su diferencia. Ser de distinto palo significa que, por ejemplo, una sea de oros, otra de espadas y otra de bastos. No ser del mismo palo se presenta cuando, por ejemplo, dos son de oros y la otra de copas.

El apartado d) se verifica al obtener : oro-copa-espada ; oro-copa-basto ; oro-espada-basto ; copa-espada-basto.

El apartado e) es aconsejable resolverlo a partir del suceso contrario (ser del mismo palo).

d) 4049'098804000

340

110

.1

10.

110

.4Pr ==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

e) Pr = 1 - Pr(ser del mismo palo) = 1 - 0'0486 = 0'9514

7

Una rata se mueve libremente por los compartimentos dibujados en el esquema de la izquierda. Supuesto que parte inicialmente del identificado con el número 1, calcular : a) probabilidad de que alcance el compartimento 4, después de realizar tres desplazamientos. b) probabilidad de que alcance un compartimento par después de realizar tres desplazamientos, sabiendo que el primer desplazamiento lo hace al compartimento 2.

a) Desplazamientos posibles Probabilidad Total

1-2 ; 2-5 ; 5-4 13

14

14

. .

1-2 ; 2-1 ; 1-4

13

14

23

. .

1-4 ; 4-5 ; 5-4

23

13

14

. . 13

14

14

13

14

23

23

13

14

23

23

23

. . . . . . . .+ + +

1-4 ; 4-1 ; 1-4

23

23

23

. . Pr = 0'4282

b) Si observamos las distintas posibilidades, siempre se acaba en un compartimento par. La probabilidad es pues igual a 1. Si no se advierte tal circunstancia, el problema se traduce en alcanzar un compartimento par, partiendo del 2, en dos desplazamientos.

Desplazamientos 2-1 ; 1-2

2-3 ; 3-2 2-5 ; 5-2 2-1 ; 1-4 2-3 ; 3-6 2-5 ; 5-4 2-5 ; 5-6

Pr . . . . . . .= + + + + + + =+ + + + + +

= =14

13

24

24

14

14

14

23

24

24

14

14

14

24

4 12 3 8 12 3 648

4848

1

8 La tabla nos muestra la distribución final del

alumnado de Bachillerato. a) Hallar la probabilidad de que un alumno no apruebe todas las asignaturas o sea en la actualidad de 2º de BUP.

b) Si un cierto alumno debe repetir curso, calcule la probabilidad de que actualmente sea de 2º de BUP. c) Preguntamos a los tres primeros alumnos que salen del Centro. Hallar la probabilidad de que sean del mismo curso.

a)

Pr '= =140210

0 667

b)

Pr '= =1843

0 4186

Por las características del enunciado, puede pensarse en una aplicación del Teorema de Bayes.Resuelto por este método, el suceso B es repetir curso y los sucesos A1 , A2 y A3 , ser de 1º, de 2º y de 3º respectivamente. La probabilidad se calcularía :

Pr( ) Pr( ) Pr( )

Pr( / ) Pr( / ) Pr( / )

A A A

B A B A B A

1 2 3

1 2 3

70210

70210

70210

1570

1870

1070

= = =

= = =

Pr( / ).

. . .'A B3

70210

1870

70210

1570

70210

1870

70210

1070

1843

0 4186=+ +

= =

c) Probabilidad de ser los tres de 1º o de 2º o de 3º :

Pr . . . . . . . . . '= + + = =70210

69209

68208

70210

69209

68208

70210

69209

68208

3 70210

69209

68208

0 1079

9 Una experiencia consiste en lanzar una bola por el laberinto inclinado de la figura.

Hallar la probabilidad de que : a) la bola no salga por B . b) la bola salga por C , sabiendo que pasó por la bifurcación 2 . c) la bola pase por la bifurcación 3 .

Indicamos a-b el paso desde el nudo o bifurcación a a la b.

a) Determinemos la probabilidad del suceso contrario (salir por B). Esto se produce si la bola realiza el recorrido ( 1-2 ; 2-4 ; 4-B ) o bien el ( 1-2 ; 2-5 ; 5-B ). La probabilidad pedida es :

75'021.

21.

21

21.

21.

211)Pr(1)Pr( =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= BB

b) El camino recorrido será ( 2-5 ; 5-C ). La probabilidad pedida es :

Pr . '= =12

12

0 25

c) Al salir de 1, la bola puede pasar por 2 o por 3. La probabilidad pedida es :

Pr '= =12

0 5

10 Una fábrica funciona las 24 horas del día con tres turnos de 30 trabajadores cada uno. En el primer

turno el 40 % son mujeres; en el segundo hay 18 mujeres y, en el tercero, sólo el 10 % son mujeres. a) Seleccionadas al azar dos fichas de empleados de la fábrica (de forma simultánea), determine la probabilidad de que pertenezcan a trabajadores del mismo turno. b) Tomamos una ficha al azar y corresponde a una mujer. Calcule la probabilidad de que sea la de una de las que trabajan en el turno 3º.

Detallemos previamente el número de mujeres y hombres de cada turno, sabiendo que en total hay 30 :

Turno 1º Turno 2º Turno 3º Mujeres 12 18 3

Hombres 18 12 27

a) Probabilidad de ser ambos del turno 1º o del 2º o del 3º :

3259'040051305

290

230

230

230

Pr ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

b) Nos encontramos en este caso en una aplicación del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B = ser mujer. Tal suceso se puede dar o puede proceder del primer turno (A1), del 2º (A2) o del 3º (A3).

Pr( ) Pr( ) Pr( )A A A1 2 33090

13

= = = =

Pr( / ) Pr( / ) Pr( / )B A B A B A1 2 31230

1830

330

= = =

La probabilidad pedida es : Pr( / ).

. . .'A B3

13

330

13

1230

13

1830

13

330

333

0 0909=+ +

= =

11

Disponemos de tres urnas con la distribución de bolas blancas y rojas indicada en el gráfico de la izquierda.

a) b)

Extraída una bola de una de las urnas, hallar la probabilidad de que sea blanca. Extraída una bola de una de las urnas resultó ser blanca, hallar la probabilidad de que proceda de la 2ª urna.

a) La pregunta es preciso detallarla con mayor precisión. Se trata de elegir la 1ª urna y extraer bola blanca o seleccionar la 2ª y extraer bola blanca o seleccionar la 3ª y extraer bola blanca. Con esto, la probabilidad pedida será :

Pr . . . '= + + = =13

25

13

45

13

35

915

0 6

b) Aplicación del Teorema de Bayes. El suceso B que conocemos se ha presentado es B = ser blanca. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la primera urna (A1), de la 2ª (A2) o de la 3ª (A3).

Pr( ) Pr( ) Pr( )A A A1 2 313

= = =

Pr( / ) Pr( / ) Pr( / )B A B A B A1 2 325

45

35

= = =

La probabilidad pedida es : Pr( / ).

. . .'A B2

13

45

13

25

13

45

13

35

49

0 444=+ +

= =

Sería correcto, en este caso, resolver el problema en base al conocimiento simple de que la bola extraída es blanca. La probabilidad de que proceda de la 2ª urna (teniendo en cuenta que hay 2 bolas blancas en la 1ª, 4 en la 2ª y 3 en la 3ª) sería igualmente:

Pr( / ) 'A B24

2 4 349

0 444=+ +

= =

12 Un arquero acierta en el centro de una diana en 7 de cada 10 lanzamientos. Calcule la probabilidad de

dar en el centro de la diana si dispara 6 flechas. Al realizar los 6 disparos puede que dé en el centro de la diana 1, 2, ... , 6 veces. Se trata de calcular la probabilidad de dar en el centro de la diana alguna vez. Es decir, lo contrario de no dar en ninguna ocasión. La probabilidad de dar en el centro de la diana, en cada disparo, es 7/10 = 0'7. La de no dar : 3/10=0'3.

999271'03'01103.

103.

103.

103.

103.

1031)Pr(1)lgPr( 6 =−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−= darnovezunaadar

13 En las pruebas de acceso a la Universidad, el 45% son alumnos de la opción A, el 10% de la B, el 30%

de la C y el resto de la opción D. Se sabe que aprueban el 80% de los alumnos de la opción A, la mitad de los que cursaron las opciones C y D y el 60% de los de la opción B. Si un cierto alumno aprobó la prueba, calcule la probabilidad de haber cursado la opción C.

Ejemplo clásico de aplicación del Teorema de Bayes.

El suceso B que conocemos se ha presentado es B = aprobar la prueba. Tal suceso se puede dar o puede proceder de la opción A (A1), de la B (A2), de la C (A3) o de la D (A4). Pr( ) ' Pr( ) ' Pr( ) ' Pr( ) 'A A A A1 2 3 40 45 0 10 0 30 0 15= = = = Pr( / ) ' Pr( / ) ' Pr( / ) ' Pr( / ) 'B A B A B A B A1 2 3 40 80 0 60 0 50 0 50= = = = La probabilidad pedida es :

Pr( / ) ' . '' . ' ' . ' ' . ' ' . '

''

'A B30 30 0 50

0 45 0 80 0 10 0 60 0 30 0 50 0 15 0 500 150 645

0 23256=+ + +

= =

14 En un examen de Psicología Matemática I se les proponen a los alumnos tres problemas (A, B y C), de los que han de elegir uno. La mitad de los alumnos eligen el problema A, y de éstos aprueban el 60%. El 30% eligen el B, suspendiendo el 25%. Por último, entre los que eligen el C aprueban el 30%. a) Considerando a todos los alumnos, ¿ cuál es la probabilidad de aprobar el examen ?. b) Sabiendo que un alumno ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema A

?. c) Sabiendo que un alumno suspendió, ¿ cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema C ?.

El problema puede resolverse siguiendo dos procedimientos:

1º.- Utilizando propiedades del cálculo de probabilidades (especialmente el Teorema de Bayes). 2º.- Aplicando el puro y simple sentido común. Para ello es aconsejable exponer de forma clara los datos del problema:

A B C Aprueban 60% de 50 30 75% de 30 22’5 30% de 20 6

Suspenden 40% de 50 20 25% de 30 7’5 70% de 20 14 TOTAL 50% 50 30% 30 20% 20

Método 1º : a) Pr(aprobar) = Pr(elegir A y aprobar o elegir B y aprobar o elegir C y aprobar) = 0’50 . 0’60 + 0’30 . 0’75 + 0’20 . 0’30 = = 0’585. b) Teorema de Bayes :

Pr( / ) Pr( ).Pr( / )Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / )

' . '' . ' ' . ' ' . '

''

'

A aprobado A aprobado AA aprobado A B aprobado B C aprobado C

=+ +

=

=+ +

= =0 50 0 60

0 50 0 60 0 30 0 75 0 20 0 300 300 585

0 5128

c) Teorema de Bayes :

Pr( / )Pr( ).Pr( / )

Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / )' . '

' . ' ' . ' ' . '''

'

C suspensoC suspenso C

A suspenso A B suspenso B C suspenso C=

+ +=

=+ +

= =0 20 0 70

0 50 0 40 0 30 0 25 0 20 0 700 140 415

0 3373

Método 2º : a) Pr(aprobar) = (30+22’5+6) / 100 = 58’5 / 100 = 0’585. b) Observando sólo los aprobados (en total 58’5) : Pr(A/aprobó) = 30 / 58’5 = 0’5128 c) Observando sólo los suspensos (en total 41’5) : Pr(C/suspendió) = 14 / 41’5 = 0’3373

15 La E.M.T. de Madrid dispone de 8 líneas de autobuses para ir de la ciudad al campus universitario. Calcular de cuántas formas puede un estudiante hacer el viaje de ida y vuelta, si : a) Los autobuses de ida y vuelta pueden ser de la misma o diferente línea. b) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de diferente línea. c) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de la misma línea.

a) 8x8 = 64 (por cada línea de ida puede tomar las ocho de vuelta) b) 8x7 = 56 (por cada línea de ida puede tomar lsólo siete de vuelta)

c) 8 (las ocho líneas)

16 Sabemos que de cada 10000 mujeres 25 sufren de daltonismo y 5 de cada 100 hombres también tienen la misma anomalía. Suponiendo que existe igual número de hombres que de mujeres, y que elegimos aleatoriamente de ésta una persona, ¿ cuál es la probabilidad de que sea varón, supuesto que sufre daltonismo ?.

Hombre Mujer Trabajamos sobre 10000 individuos

Daltónico 500 25 No daltónico 9500 9975 Prob = 500 / 525 = 0’9524

17

En un experimento de condicionamiento se sitúa a una rata en el centro de un laberinto como el de la figura. En cada uno de los ensayos la rata elige siempre uno de los tres caminos (A, B, C) con igual probabilidad (P(A)=P(B)=P(C)=1/3). El suelo de cada uno de estos tres caminos es una rejilla eléctrica que dispensa una descarga (D) de 5V a la rata, una vez que lo ha pisado, con distinta probabilidad : ¾ para A, ¼ para B y 0 para C. En un determinado ensayo la rata no recibió la descarga eléctrica. ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido el camino A ?. ¿Y el B ?. ¿Y el C ?

Teorema de Bayes. (B = NO recibir descarga)

P(A1) = P(A) = 1/3 P(B/A1) = 1/4 P(A2) = P(B) = 1/3 P(B/A2) = 3/4 P(A3) = P(C) = 1/3 P(B/A3) = 1

P A B P A B( / ).

. . .' ( / )

.

. . .'1 2

13

14

13

14

13

34

13

10125

13

34

13

14

13

34

13

10 375=

+ += =

+ +=

P A B( / ).

. . .'3

13

1

13

14

13

34

13

105=

+ +=

Puede resolverse sin necesidad de aplicar el Teorema de Bayes. Sobre un total de 300 salidas o movimientos de la rata, el problema plantea que • sale 100 veces por cada camino (probabilidad = 1/3) • recibe descarga : 75 veces en A (3/4 de 100) ; 25 veces en B (1/4 de 100) ; 0 veces en C

Descarga SI Descarga NO Camino A 75 25 100 Camino B 25 75 100 Camino C 0 100 100 100 200

Luego : Pr(Camino A / NO descarga) = 25 / 200 = 0'125 Pr(Camino B / NO descarga) = 75 / 200 = 0'375 Pr(Camino C / NO descarga) = 100 / 200 = 0'5

18 Disponemos de dos métodos A y B para enseñar una cierta habilidad técnica. El 20% de los enseñados con el método A y el 10% de los enseñados con el método B no aprenden la mencionada habilidad. No obstante, el método B es más caro y se aplica sólo al 30% de las personas, mientras que el A se aplica al 70%. Una persona ha aprendido la habilidad, ¿ cuál es la probabilidad de que haya seguido el método A ?.

A B Trabajamos sobre 100 individuos

Aprende 56 27 No aprende 14 3 Prob = 56 / (56+27) = 0’6747

70 30

19 Cierto profesor tiene por costumbre guardar todos los calcetines (limpios)en un cajón y cada mañana elige consecutivamente al azar tres de ellos. Sólo tiene tres colores de calcetines: grises (G), azules (A) y blancos (B). Si en las tres primeras extracciones los tres calcetines son de diferente color, decide no ponérselos y se calza unas sandalias. Una mañana cualquiera tiene en el cajón 8 calcetines grises, 4 azules y 6 blancos. a) ¿ Cuál es el espacio muestral de que dispone ese profesor esa mañana ?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que esa mañana salga a la calle con sandalias ?. c) ¿ Es igual la probabilidad de que saque dos calcetines grises y uno azul que la de que saque dos

grises y uno blanco ?. Calcule ambas probabilidades.

a) E = { (GGG) , (GGA) , (GGB) , (GAA) , (GAB) , (GBB) , (AAA) , (AAB) , (ABB) , (BBB) }

b) Pr(GAB o GBA o AGB o ABG o BAG o BGA) =68

184

175

1601961. . . '=

c) Pr(2G y 1A) = Pr(GGA o GAG o AGG) = 38

187

17416

01373. . . '=

Pr(2G y 1B) = Pr(GGB o GBG o BGG) = 38

187

176

160 2059. . . '=

20 Un profesor indeciso dispone de 5 problemas, de los que utilizará sólo dos, para elaborar un examen. Los tres primeros corresponden a la primera parte y los dos siguientes a la segunda. Tampoco tiene muy claro si dejar utilizar o no material didáctico a sus alumnos. Para resolver sus dudas utiliza una urna que contiene tres bolas rojas, numeradas del 1 al 3, y dos blancas, numeradas con 4 y 5. Extrae al azar, y sin reposición, dos bolas. a) ¿ Cuál es la probabilidad de que los ejercicios sean de distinta parte ?. b) Si los alumnos sólo pueden utilizar material cuando las bolas sean del mismo color, ¿ cuál es la

probabilidad de que puedan utilizarlo ?.

a) Pr(RB o BR) = 3/5 x 2/4 + 2/5 x 3/4 = 0’6 b) Pr(RR o BB) = 3/5 x 2/4 + 2/5 x 1/4 = 0’4 (o bien, utilizando el apartado anterior : 1 - 0’6 = 0’4)

21 De los 50 alumnos matriculados en un determinado Centro Asociado en la asignatura de Psicología Matemática, 30 son varones. Para participar en un experimento de percepción visual, seleccionamos sin reposición a dos de ellos. Calcular, justificando adecuadamente su respuesta, la probabilidad de que : a) Los dos sean varones. b) Los dos sean del mismo sexo. c) Al menos uno sea mujer. NOTA : Representamos el término "y" por el símbolo intersección (∩) y el término "o" por el de la unión (∪).

a) La extracción sin reposición modifica el grupo en las extracciones sucesivas.

Pr( ) Pr( ) Pr( ).Pr( / ) . 'º º º º º º ºV V V y V V V V1 2 1 2 1 2 13050

2949

0 355102∩ = = = =

b) Pueden ser los dos varones o las dos mujeres :

( ) ( ) ( )Pr ( ) ( ) Pr Pr . . 'º º º º º º º ºV V M M V V M M1 2 1 2 1 2 1 23050

2949

2050

1949

0510204∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = + =

c) Pueden ser un varón y una mujer o las dos mujeres :

( ) ( ) ( ) ( )Pr ( ) ( ) ( ) Pr Pr Pr

. . . '

º º º º º º º º º º º ºV M M V M M V M M V M M1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3050

2049

2050

3049

2050

1949

0 6449

∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ + ∩ =

= + + =

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Sabiendo que Pr(B)=2.Pr(A) , Pr(A∪B)=0'8 y Pr(A∩B)=0'1, calcule : Pr(A) , Pr(B) , Pr(A') , Pr(B-A) y Pr(A-B)

2 Al extraer dos cartas simultáneamente de una baraja española, calcule la probabilidad de que : a) las dos sean del mismo palo b) ambas sean figuras c) alguna sea de oros.

3 Disponemos de cuatro cajas con la siguiente composición de bolas blancas y negras :

la 1ª contiene 3 bolas de cada color la 2ª y la 4ª contienen 5 bolas blancas y 2 negras la 3ª está constituida por 1 bola blanca y 2 negras.

a) Seleccionada una urna al azar, hallar la probabilidad de extraer una bola blanca de ella. b) Se extrajo una bola de una de las urnas que resultó ser blanca. Calcule la probabilidad de haberla extraído de la 4ª urna.

4 La siguiente tabla muestra la distribución de los trabajadores de una empresa según su estado civil y el ser o no fumadores.

Fuman No fuman Solteros 14 16 Casados 8 35 Viudos 6 1

a) Seleccionados 3 trabajadores al azar, determine la probabilidad de que todos fumen. b) Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa esté casado o fume. c) Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa no esté casado o fume. d) Si un cierto trabajador fuma, ¿ qué probabilidad tiene de ser soltero ?. e) Si un trabajador es viudo, calcule la probabilidad de que no sea fumador.

5 Una urna contiene tres bolas con las letras A , A y N. Otra contiene las letras A , A , A , N y N. Seleccionamos tres bolas sucesivamente y con devolución. ¿ Qué urna ofrece mayor probabilidad de obtener la palabra ANA?.

6 Un alumno sólo estudió uno de los cuatro temas de un examen. Si el examen consta de diez preguntas, calcule la probabilidad de que pueda contestar a alguna de ellas.

7 1º 2º 3º 4º 5º Hombres 34 21 40 12 21 Mujeres 42 50 15 14 8

La tabla anterior nos muestra la distribución por sexo de los alumnos de los 5 cursos de una Carrera. Seleccionados al azar dos alumnos, calcule la probabilidad de que : a) sean del mismo curso. b) alguno sea de 1º c) los dos sean hombres o estudien 3º.

8 De un grupo de alumnos, la mitad son de primero, la quinta parte de 3º y el resto de 2º. De los de 1º, la cuarta parte son repetidores y, de los otros cursos, la mitad repiten. Si un cierto alumno es repetidor, calcule la probabilidad de que sea de 2º curso.

9 Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras. a) Seleccionado un grupo de tres bolas, determine la probabilidad de que ninguna sea negra. b) Seleccionadas sucesivamente y sin reposición tres bolas, determine la probabilidad de que sean del mismo color. c) Seleccionadas sucesivamente y con reposición tres bolas, determine la probabilidad de que alguna sea negra.

10 De los 80 alumnos de tres grupos de COU de un centro, la mitad pertenecen al grupo A y el 15% al C. Sabiendo que aprueban el curso el 40% de los alumnos del grupo A, 8 alumnos del grupo B y la tercera parte de los del C, determine la probabilidad de que : a) un alumno de COU suspenda. b) un cierto alumno pertenezca al grupo B, sabiendo que aprobó.

11 Una caja contiene 6 bolas blancas, 2 negras y 4 rojas. a) Si tomamos dos bolas simultáneamente de la caja, calcule la probabilidad de que sean del mismo color. b) Al tomar sucesivamente y sin reposición tres bolas de la caja, hallar la probabilidad de que todas sean

blancas, sabiendo que ninguna es negra.

12 En relación con la opción cursada por los alumnos de COU, el 25% se matriculó en la A, el 35% en la B, coincidiendo los matriculados en las opciones C y D. Finalizado el curso, aprobaron : la mitad de los alumnos de la opción A y C, el 60% de la B y sólo un 20% de los de la opción D. a) Si un alumno seleccionado aprobó, calcule la probabilidad de ser de la opción C. b) Calcule la probabilidad de que un alumno suspenda, sabiendo que no pertenece a la opción A.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Pr(A) = 0'3 Pr(B) = 0'6 Pr(A') = 0'7 Pr(B-A) = 0'5 Pr(A-B) = 0'2

2 a) 0'2308 b) 0'0846 c) 0'4423

3 a) 0'5655 b) 0'3158

4 a) 0'0399 b) 0'7875 c) 0'5625 d) 0'5 e) 0'1429

5 La primera (0'1481) más que la segunda (0'144)

6 0'9437

7 a) 0'2295 b) 0'5048 c) 0'2685

8 0'4

9 a) 0'4667 b) 0'0917 c) 0'488

10 a) 0'65 b) 0'2857

11 a) 0'3333 b) 0'1666

12 a) 0'2105 b) 0’5333

VARIABLES ALEATORIAS Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

Variable aleatoria, asociada a una experiencia aleatoria, es la ley que hace corresponder a cada suceso aleatorio un valor numérico. Así, por ejemplo, la expresión "lanzamos tres monedas observando el número de caras que se obtienen" está definiendo la variable aleatoria que permite asociar al suceso Cara-Cruz-Cara el valor 2 (dos caras).

Como en el caso de las variables estadísticas, las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. Nos centraremos en el estudio de las primeras.

FUNCIÓN DE DENSIDAD O LEY DE PROBABILIDAD

Es el conjunto de los valores de la variable aleatoria X y sus probabilidades respectivas f(x) = Pr(X=x). Para el caso discreto se suele adoptar la forma de representación siguiente :

X

x1

x2

x3 . . . .

xi

. . . .

xn

f(X)

p1

p2

p3

. . . .

pi

. . . .

pn

Ante la equivalencia entre frecuencias relativas y probabilidades, se verifica que : pii

n

=∑ =

1

1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Del mismo modo que se definían las frecuencias acumuladas, denominamos función de distribución a :

F(x) = Pr(X≤x)

MOMENTOS. ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA, ASIMETRÍA Y CURTOSIS Momento ordinario de orden k : αk i i

k

i

n

p x==∑ .

1

Momento central de orden k : ( )μk i ik

i

n

p x E X= −=∑ . ( )

1

En particular :

Esperanza matemática : Es el momento ordinario de orden 1 (α1) , equivalente a la media aritmética.

E X p xi ii

n

( ) .= ==∑α1

1

Varianza : Es el momento central de 2º orden.

( )V X p x E X p x E Xi ii

n

i ii

n

( ) . ( ) . ( )= = − = − = −= =∑ ∑μ α α2

2

1

2

1

22 1

2

Desviación típica : Es la raíz cuadrada de la varianza. D X V X( ) ( )=

Coeficiente de asimetría : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

[ ]A X

D X( )

( )=

μ33

Coeficiente de curtosis : (similar a lo estudiado en el análisis descriptivo de una variable)

[ ]K X

D X( )

( )= −

μ44 3

Expresión de algunos momentos centrales en función de momentos ordinarios :

μ μ α α α αμ α α μ α α α α α α

1 3 3 1 2 13

2 2 12

4 4 1 3 12

2 14

0 3 24 6 3

= = − += − = − + −

. . .. . . . .

OTRAS MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN

Moda : es el valor de la variable aleatoria que posee probabilidad máxima. Mediana : es el valor Md de la variable aleatoria para el cuál :

F(Md) ≥ 0'5 y 1 - F(Md) < 0'5 (siendo F la función de distribución)

PROPIEDADES

• E(X + Y) = E(X) + E(Y) • E(α.X) = α.E(X) , para cualquier número α. • Si las dos variables son independientes , se verifica que :

• E(X . Y) = E(X) . E(Y) • V(X + Y) = V(X) + V(Y)

TEOREMA DE TCHEBYCHEV

Establece la probabilidad máxima de que la variable aleatoria tome valores en los alrededores de la esperanza matemática (media de la distribución).

Teorema :

Para toda variable aleatoria X para la que existe su esperanza y su varianza, se verifica que, para cualquier valor numérico positivo k :

( )Pr ( )( )

X E X kV X

k− < < −1 2

Gráficamente :

La probabilidad de que cualquier valor de la variable X pertenezca al intervalo sombreado es inferior a :

1 2−V X

k( )

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Lanzadas cuatro monedas, consideremos el número de cruces obtenidas. Calcular, de la variable aleatoria así definida : a) Ley de probabilidad b) Función de distribución c) Esperanza matemática y varianza d) Mediana y moda de la distribución e) Determine la probabilidad de obtener más de 1 y menos de 3 caras. Compruebe el teorema de Tchebychev.

CCCC Se obtienen 0 cruces CCC+ CC+C C+CC +CCC Se obtienen 3 caras y 1 cruz CC++ C+C+ C++C +CC+ +C+C ++CC Se obtienen 2 caras y 2 cruces C+++ +C++ ++C+ +++C Se obtienen 1 cara y 3 cruces ++++ Se obtienen 4 cruces

Ley de probabilidad o función de densidad :

X 0 1 2 3 4 f(x)=Pr(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

Función de distribución :

X 0 1 2 3 4 f(x)=Pr(X=x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 F(x)=Pr(X≤x) 1/16 5/16 11/16 15/16 16/16 = 1 Más correctamente se expresará :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥<≤

<≤

<≤

<≤<

=

414316

153216

112116

51016

100

)(

xparaxpara

xpara

xpara

xparaxpara

xF

Gráficamente : Ley de probabilidad

Función de distribución

Para el cálculo de la esperanza matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta, se aconseja construir la siguiente tabla auxiliar :

X 0 1 2 3 4 Totales P 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1

α1 P.X 0 4/16 12/16 12/16 4/16 32/16 = 2 α2 P.X2 0 4/16 24/16 36/16 16/16 80/16 = 5

De aquí : E(X) = α1 = 2 V(X) = α2 - α12 = 5 - 4 = 1

Definida la desviación típica como la raíz cuadrada de la varianza : D(X) = 1 Observando la ley de probabilidad o función de densidad, deducimos que :

Moda = 2 (al tener X=2 la mayor probabilidad (6/16) ) Observando la función de distribución, deducimos que :

Mediana = 2 (al ser X=2 el valor para el que F(X) (=11/16) primero iguala o supera a 0'5)

Comprobemos el teorema de Tchebychev para el caso reseñado :

• Pr (1 < X < 3) = Pr(X=2) = 6/16 = 0'375 • Siendo E(X) = 2 , la esperanza se encuentra en el centro del intervalo definido (1 , 3), luego su amplitud es k=2.

Recordando que V(X) =1, tenemos :

( ) 75'02112)(Pr 2 =−<<− XEX

• La probabilidad calculada es en efecto inferior a 0'75.

2

En la extracción simultánea de tres bolas de una urna que contiene 6 bolas blancas y cuatro negras, observamos el número de bolas blancas extraídas. De la variable aleatoria así definida, calcular : a) ley de probabilidad b) función de distribución c) esperanza matemática , varianza y desviación típica. d) mediana y moda de la distribución.

033'01204

31034

)30Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=grasneyblancas 3'0120

6.6

310

24

.16

)21Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=grasneyblanca

5'0120

4.15

310

14

.26

)12Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=graneyblancas 167'012020

31036

)03Pr( ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=grasneyblancas

Una vez calculadas las probabilidades de las distintas situaciones posibles, obtenemos : Ley de probabilidad o función de densidad :

X 0 1 2 3 Prob. 0'033 0'3 0'5 0'167 Función de distribución : 0 x < 0 0'033 0 ≤ x < 1 F(x)

= 0'333 1 ≤ x < 2

0'833 2 ≤ x < 3 1 x ≥ 3 Esperanza matemática , varianza y desviación típica :

X 0 1 2 3 Prob. = P 0'033 0'3 0'5 0'167 Totales P.X 0 0'3 1 0'5 1'8 P.X2 0 0'3 2 1'5 3'8

E(X) = 1'8 V(X) = 3'8 - 1'8 = 0'562 D(X) = 0'56 = 0'748 Mediana y Moda :

Observando la función de distribución, deducimos que : Mediana = 2 (al ser X=2 el valor para el que F(X) (= 0'8333) primero iguala o supera a 0'5)

Observando la ley de probabilidad o función de densidad, deducimos que : Moda = 2 (al tener X=2 la mayor probabilidad (0'5) )

3 Complete la ley de probabilidad siguiente, sabiendo que su esperanza matemática es igual a 1'8 :

X 0 1 2 3 Prob. 0'2 a b 0'3

De una parte, sabiendo que se verifica que pii

n

=∑ =

1

1 , resulta : 0'2 + a + b + 0' 3 = 1 ⇒ a + b = 0'5

Conocida la esperanza matemática : E X p x a bi ii

n

( ) . . ' . . . ' '= = + + + ==∑

1

0 0 2 1 2 3 0 3 1 8 ⇒ a + 2.b = 0'9

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de a y b : a + b = 0'5 a = 0'5 - b a + 2.b = 0'9 0'5 - b + 2.b = 0'9 ⇒ b = 0'4 ⇒ a = 0'1

4 Calcular la esperanza matemática, varianza, asimetría y curtosis de la variable aleatoria que tiene como función de distribución :

0 x < 2 0'2 2 ≤ x < 4 F(x)

= 0'55 4 ≤ x < 6

0'85 6 ≤ x < 8 1 x ≥ 8

La ley de probabilidad o función de densidad será :

x 2 4 6 8 p 0'2 0'35 0'3 0'15

Cálculo de momentos :

α1 p.x 0'4 1'4 1'8 1'2 α1 = 4'8 (Σ) α2 p.x2 0'8 5'6 10'8 9'6 α2 = 26'8 (Σ) α3 p.x3 1'6 22'4 64'8 76'8 α3 = 165'6 (Σ) α4 p.x4 3'2 89'6 388'8 614'4 α4 = 1096 (Σ)

Luego :

• esperanza matemática :

E X p xi ii

n

( ) . '= = ==∑

11 4 8α

• varianza : ( )V X D X( ) ' ' ' ( ) ' '= = − = − = = =μ α α2 2 1

2 2268 4 8 376 376 19391

• coeficiente de asimetría :

( )

μ α α α αμ

3 3 1 2 13 3

33 3

3 2 1656 34 8 268 2 4 8 086400864019391

01185

= − + = − + =

= = =

. . . ' . ' . ' . ' '

( )( )

''

'A XD x

• coeficiente de curtosis :

( )

μ α α α α α αμ

4 4 1 3 12

2 14 2 4

44 4

4 6 3 1096 4 4 81656 6 4 8 268 34 8 28 7872

328 787219391

3 0 9638

= − + − = − + − =

= − = − = −

. . . . . . ' . ' . ' . ' . ' '

( )( )

''

'K XD x

5 Realizada una apuesta de 100 pts., un jugador extrae una bola de una caja que contiene 2 bolas blancas, 3 rojas y 5 negras. Si la bola extraída es negra pierde lo apostado y finaliza el juego; si es roja recibe lo apostado y deja de jugar, y finalmente, si es blanca, cobra 200 pts. si al lanzar una moneda obtiene cruz y 400 pts. si sale cara. Si el jugador participa en 12 ocasiones en dicho juego, ¿ qué beneficio o pérdida tendrá ?.

Las situaciones posibles son :

Beneficio Probabilidad Extrae bola negra -100 pts. (5/10) 0'5 Extrae bola roja 100 - 100 = 0 pts. (3/10) 0'3 Extrae bola blanca y cruz 200 - 100 = 100 pts. (2/10).(1/2) 0'1 Extrae bola blanca y cara 400 - 100 = 300 pts. (2/10).(1/2) 0'1

La esperanza matemática de la variable aleatoria "beneficio en el juego" , nos indica lo que cabe esperar que ocurra en cada jugada. Una cantidad negativa se interpreta como la pérdida media que el jugador tendrá en cada jugada. Si la esperanza es positiva indicará que el jugador, promediando jugadas, ganará dicha cantidad. En ambos casos se dice que el juego no es equitativo o que es injusto. Cuando la esperanza matemática del beneficio en un juego es igual a cero, diremos que dicho juego es equitativo o justo.

En nuestro caso : E(X) = -100.0'5 + 0.0'3 + 100.0'1 + 300.0'1 = -10 pts.

Realizadas 12 jugadas, lo más probable (lo esperado) es que haya perdido 120 pts. [12 . (-10) ] .

6 Lanzando dos dados y sumando los puntos obtenidos, los premios que ofrece el juego son los siguientes : - Devolución de lo apostado : si la suma es inferior a 4 o superior a 10. - Doble de lo apostado : si se obtiene 5 o 9. - Cuatro veces lo apostado : si la suma de puntos es 7 Analice si el juego es equitativo o no.

Análisis de las situaciones posibles :

1-1 2 2-1 3 3-1 4 4-1 5 5-1 6 6-1 7 1-2 3 2-2 4 3-2 5 4-2 6 5-2 7 6-2 8 1-3 4 2-3 5 3-3 6 4-3 7 5-3 8 6-3 9 1-4 5 2-4 6 3-4 7 4-4 8 5-4 9 6-4 10 1-5 6 2-5 7 3-5 8 4-5 9 5-5 10 6-5 11 1-6 7 2-6 8 3-6 9 4-6 10 5-6 11 6-6 12

Al apostar x pts., los beneficios o pérdidas son :

Situaciones Nº de veces Beneficio Probabilidad Devolución de lo apostado 2, 3, 11, 12 6 0 6/36 Doble de lo apostado 5 , 9 8 x 8/36 Cuatro veces lo apostado 7 6 3x 6/36 Pérdida de lo apostado 4, 6, 8, 10 16 -x 16/36 36

Determinemos su esperanza matemática :

E(X) = 0. 636

836

636

1636

8x +18x - 16x36

1036

+ + − = =x x x x. . . .3

Siendo la esperanza matemática positiva, el juego siempre dará beneficio al jugador . No es equitativo, siendo desfavorable para la banca.

Parece claro que el dueño del local de juego no tiene vista comercial o no sabe estadística.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Determine la función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica de las variables aleatorias definidas por las siguientes funciones de densidad :

a) x 1 2 3 4 5 f(x) 0'1 0'25 0'05 0'3 0'3

b) x -2 0 2 4 6 8 f(x) 0'05 A 0'15 A 0'2 2.A

2 Determine la ley de probabilidad, esperanza matemática, mediana, moda, varianza, desviación típica, asimetría y curtosis de la variable aleatoria que tiene como función de distribución :

0 si x < 1 0'15 si 1 ≤ x < 2 F(x)

= 0'35 si 2 ≤ x < 3

0'35 si 3 ≤ x < 4 0'7 si 4 ≤ x < 5 1 si x ≥ 5

3 Determine la ley de probabilidad, función de distribución, esperanza matemática, varianza y desviación típica de la variable aleatoria definida por el número de bolas blancas resultantes de la extracción de dos bolas de una urna, que contiene 3 bolas blancas y dos negras, y una bola de otra urna, que posee 5 bolas de cada color.

4 La participación en un juego nos lleva a lanzar una moneda y un dado. Si sale cara al lanzar la moneda perdemos lo apostado. Si sale cruz, recibimos el doble de la apuesta si el número del dado es múltiplo de 3, tres veces la apuesta si sale 5 y, lo apostado, en el resto de los casos. Si un jugador participa 20 veces en el juego, apostando 1000 pts. en cada ocasión, ¿ qué beneficio obtendrá con mayor probabilidad ?.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 a) 0 si x < 1 0'1 si 1 ≤ x < 2 F(x) = 0'35 si 2 ≤ x < 3 E(X) = 3'45 0'4 si 3 ≤ x < 4 V(X) = 1'9475 0'7 si 4 ≤ x < 5 D(X) = 1'3955 1 si x ≥ 5 b) 0 si x < -2 0'05 si -2 ≤ x < 0 F(x) = 0'2 si 0 ≤ x < 2 E(X) = 4'4 0'35 si 2 ≤ x < 4 V(X) = 10'24 0'5 si 4 ≤ x < 6 D(X) = 3'2 0'7 si 6 ≤ x < 8 1 si x ≥ 8

2 x 1 2 3 4 5 E(X) = 3'45 f(x) 0'15 0'2 0 0'35 0'3 V(X) = 2'1475 D(X) = 1'4654

Moda = Mediana = 4 Asimetría = A(X) = -0'5212 Curtosis = K(X) = -1'254

3 Urna 1ª Urna 2ª Prob. Total x 0 1 2 3 0 blancas 0 blancas 0'1.0'5 = 0'05 0 blancas f(x) 0'05 0'35 0'45 0'15 0 blancas 1 blanca 0'1.0'5 = 0'05 1 blanca 1 blanca 0 blancas 0'6.0'5 = 0'30 1 blanca 1 blanca 1 blanca 0'6.0'5 = 0'30 2 blancas 1 blancas 0 blancas 0'3.0'5 = 0'15 2 blancas 1 blancas 1 blanca 0'3.0'5 = 0'15 3 blancas

0 si x < 0 0'05 si 0 ≤ x < 1 E(X) = 1'7 F(x) = 0'4 si 1 ≤ x < 2 V(X) = 0'61 0'85 si 2 ≤ x < 3 D(X) = 1'7 1 si x ≥ 3

4 Beneficio : X -1000 0 1000 2000 P = Probabilidad 0'5 0'25 0'167 0'083

E(X) = -167 En 20 jugadas perderá 3340 pts.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

CURVA NORMAL

Gran número de distribuciones tienen la forma de una campana; es decir, alejándonos de la media, a derecha e izquierda, el número de observaciones decrece de forma similar. Esto genera una curva simétrica.

Se estudió su ecuación, resultando en función de la media y desviación típica de la distribución. Ante las infinitas posibles medias y desviaciones, nos encontramos con una infinidad de posibles distribuciones normales pero, el proceso de tipificación, permite reducirlas a una única con media 0 y desviación típica 1. Tal distribución se denomina normal tipificada y se representa N(0,1).

En términos de probabilidad, definimos igualmente la variable aleatoria normal, como aquella que tiene por gráfica de su función de densidad la representada a la izquierda.

El área bajo la curva será igual a la unidad y, con este criterio se confeccionaron tablas estadísticas que calculan el área para un cierto intervalo de valores de la variable.

Recordemos pues que la curva normal : a) es simétrica respecto a la media b) se establece que el área bajo su gráfica es igual a 1. Consecuencia de ello es , por ejemplo, que el área a la derecha de la media (o a la izquierda es 0'5) y que el área desde la media a un valor -v coincide con el área desde la media a v.

TIPIFICACIÓN. MANEJO DE TABLAS

Se ha indicado que los valores de las áreas bajo la curva normal se encuentran tabulados con referencia a la distribución normal tipificada N(0,1).

Por ello, nos veremos obligados a tipificar previamente cualquier otro tipo de distribución normal que deseemos estudiar. Recordemos el procedimiento de tipificación :

( ) ( )1,0Ns

xxzs,xNxx

x ∈−

=⇒∈

Suelen utilizarse dos tipos de tablas :

I) Proporcionan el área a la izquierda de un valor.

II) Ofrecen el área comprendida entre la media (0) y un valor.

En los dos casos, la tabla fija en la primera columna el valor de z con una cifra decimal y, la segunda cifra decimal de z condiciona la columna que ha de seleccionarse. En el cruce encontramos el área buscada.

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda de cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes : a) Pr(z<1'35) b) Pr(z<-0'338) c) Pr(z>2'1) d) Pr(z>-1) e) Pr(-1'39<z≤-0'44) f) Pr(-1'52≤z≤0'897)

Observe que, en el cálculo de áreas (probabilidades) en variables continuas, Pr(x≤a) equivale a Pr(x<a). Tendremos que referir los cálculos a probabilidades del tipo Pr(z < a) , estando expresado el valor a con dos cifras decimales :

a)

Pr(z<1'35) = 0'91149

b)

Pr(z<-0'338) ⇒ Pr(z<-0'34) = 0'36693

c)

Pr(z>2'1) ⇒ Pr(z>2'10) = 1 - 0'98214 = 0'01786

d)

Pr(z>-1) ⇒ Pr(z>-1'00) = 1 - 0'15866 = 0'84134

e)

Pr(-1'39<z≤-0'44) = - = 0'32997 - 0'08226 = 0'24771

f)

Pr(-1'52≤z≤0'897) ⇒ Pr(-1'52≤z≤0'90) =

= - = 0'81594 - 0'06426 = 0'75168

2 Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor z y la media 0 de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes : a) Pr(z≤0'22) b) Pr(z<-1'8) c) Pr(z>1'0092) d) Pr(z>-1'61) e) Pr(-2'06<z<-0'24) f) Pr(-0'02≤z≤1'7)

En este caso, tendremos que establecer probabilidades del tipo Pr(0 < z < a) , estando expresado el valor a con dos cifras decimales :

a)

Pr(z≤0'22) = 0'5 + 0'08706 = 0'58706

b)

Pr(z<-1'8) ⇒ Pr(z<-1'80) = Pr(z>1'80) = = 0'5 - 0'46407 = 0'03593

c)

Pr(z>1'0092) ⇒ Pr(z>1'01) = 0'5 - 0'34375 = 0'15625

d)

Pr(z>-1'61) ⇒ Pr(z<1'61) = = 0'5 + 0'44630 = 0'94630

e)

Pr(-2'06<z≤-0'24) = Pr(0'24<z<2'06)

= - = = 0'48030 - 0'09483 = 0'38547

f)

Pr(-0'02≤z≤1'70) = = Pr(-0'02<z<0) + Pr(0<z<1'70) = = Pr(0<z<0'02) + Pr(0<z<1'70) =

= + = = 0'00798 + 0'45543 = 0'46341

3 Para la distribución normal tipificada, calcular :

a) Percentil 21 b) Cuartil 3º c) Valores centrales entre los que quedan comprendidas la cuarta parte de las observaciones.

a)

Hemos de calcular el valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'21 (el 21% del área total [= 1]) . Si consultamos las tablas que dan el área a la izquierda, encontramos como valor más próximo al área 0'21 , el área 0'20897 que corresponde a la puntuación :

z = -0'81

Utilizando las tablas de áreas comprendidas entre 0 y z, el razonamiento a seguir será : El área a la izquierda igual a 0'21 corresponde a un valor negativo (-z) al ser menor que 0'5. Entre dicho valor z y la media (0) hay un área igual a 0'29 (0'5-0'21). Consultando las tablas encontramos el valor más próximo a 0'29 para la puntuación z = 0'81 (área = 0'29103 ). El percentil 21 es pues : z = -0'81.

b)

Procediendo como en a) , hemos de calcular el valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'75. Dicho valor es : z = 0'67 (área = 0'74857)

c)

La mitad de la cuarta parte (25%) es el 12'5%. Son los valores que dejan un 12'5% de las observaciones a la izquierda de la media (0) y otro 12'5% a su derecha. En términos de áreas a la izquierda, son los valores que dejan un área de ese tipo igual a 0'375 (0'5-0'125) y 0'625 (05+0125) respectivamente. Consultando las tablas encontramos :

z = -0'32 (área = 0'37448) z = 0'32 (área = 0'62552)

Por la simetría de la distribución, bastaría con calcular uno de tales valores, ya que el otro es su opuesto.

4 Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4. a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos. b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos. c) ¿ Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos ?.

Nos encontramos ante una distribución normal ( ) ( )2,5'6N4,5'6N = a)

Tipificamos el valor 8 : z = −=

8 6 52

0 75' '

La probabilidad pedida es el área a la derecha de z = 0'75. Consultando las tablas obtenemos : 0'22663

b)

Tipificamos el valor 5 : z = −= −

5 6 52

0 75' '

Calculemos el área (probabilidad) a la izquierda de z = -0'75. Consultando las tablas obtenemos : 0'22663 En términos de porcentajes será 0'22663 x 100 :

el 22'663 %

c)

Tipificamos los valores 5 y 7'5 :

z = −= −

5 6 52

0 75' ' z = −=

7 5 6 52

0 5' ' '

El área comprendida entre ambos es , consultando las tablas : Pr(5 < X < 7'5) = Pr(-0'75 < z < 0'5) = 0'46483

Multiplicando la probabilidad por el total de aspirantes, obtenemos el número de ellos que tienen calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5 puntos :

0'46483 x 500 = 232'415 ≅ 232 aspirantes

5 Sólo 24 de los 200 alumnos de un Centro miden menos de 150 cm. . Si la estatura media de dichos alumnos es de 164 cm., ¿ cuál es su varianza ?.

Siendo 24 / 200 = 0'12 , sabemos que el 12% de los alumnos tienen estaturas inferiores a 150.

Consultando las tablas de la distribución normal tipificada, obtenemos el valor z que deja a su izquierda un área 0'12.

Dicho valor es : z = -1'175 (para z = -1'17 encontramos 0'12100 y para z = -1'18 encontramos 0'11900).

Luego : z x xs s

s sx x

x x=−

⇒ − =−

⇒ =−

−= ⇒ = =1 175 150 164 14

1 17511 915 11 915 141 9652 2'

'' ' '

6 El percentil 70 de una distribución normal es igual a 88, siendo 0'27 la probabilidad de que la variable tenga un valor inferior a 60. ¿ A qué distribución normal nos estamos refiriendo ? .

Se nos pide determinar la media y desviación típica de una distribución normal que verifica las condiciones del enunciado.

Gráficamente :

Consultando las tablas obtenemos : a) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'70 :

z = 0'52 (valor más próximo 0'69847) b) Valor de z que deja a su izquierda un área igual a 0'27

z = -0'61 (valor más próximo 0'27093)

Con esto :

z x xs

xs

x sx x

x=−

⇒ =−

⇒ = −0 52 88 88 0 52' ' .

z x xs

xs

x sx x

x=−

⇒ − =−

⇒ = +0 61 60 60 0 61' ' .

Resolviendo el sistema determinaremos los valores de la media y la desviación típica :

78'2428.13'1.61'060.52'088.61'060.52'088

=⇒=⇒+=−⇒⎭⎬⎫

+=−=

xxxxx

x sssssxsx

11'7578'24.52'088.52'088 =−=−= xsx

Se trata de una distribución N(75'11 , 24'78).

7 Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con media 15 puntos. La puntuación A ha sido superada por un 23% de los alumnos. La puntuación B está situada a 5 puntos diferenciales por debajo de la media. Entre B y la media se encuentra el 30% de los alumnos. Calcular : a) La desviación típica de las notas. b) Las puntuaciones directas de A y B. c) El porcentaje de alumnos entre A y B.

a) La puntución B=10, deja a su izquierda un área 0’20. Consultando las tablas obtenemos un valor z = -0’84. De aquí :

95'5)85'0/(55151084'0 =−−=→−

=−

=−= sss

z

b) La puntución A, deja a su izquierda un área 0’77 (1-0’23). Consultando las tablas obtenemos un valor z = 0’74. De aquí :

21'201595'5.74'095'51574'0 =+=→

−== AAz

(El valor B=10 ya se determinó)

c) Observando la figura resulta un área 0’57 (0’30+0’27); es decir, el 57%.

8 Las puntuaciones de 1000 personas en un determinado test se distribuyen normalmente. Sea X1 la puntuación directa que supera el 84’13% de la distribución y X2 la puntuación directa que es superada por el 84’13% de la distribución. Sabiendo que X1 - X2 = 20, calcular : a) Número de observaciones comprendidas entre las puntuaciones típicas 1’5 y -0’2. b) La desviación típica de la distribución. c) La amplitud semi-intercuartíl.

a) Directamente de la tabla N(0,1) :

Pr (-0’2 < z < 1’5) = = 0’93319 - 0’42074= 0’51245 Hay 1000 x 0’51245 = 512’45 ≈ 512 observaciones.

b) x xx x= += −

⎧⎨⎩

2

1

1010

Tablas : z = 1 deja a su izquierda un área 0’8413 :

zx x

sx x

s ss

= =−

=− −

=

⇒ =

110 10

10

1 1 1( )

c)

− =−

→ = −

=−

→ = +

0 6710

6 7

0 6710

6 7

11

33

' '

' '

Q xQ x

Q xQ x

La amplitud semi-intercuartil es :

( ) ( )Q

Q Q x x=

−=

+ − −=

= =

3 1

26 7 6 7

213 4

26 7

' '

' '

9

En un estudio realizado sobre los ingresos familiares en los que los dos cónyuges trabajan, se ha observado que el salario mensual, en miles de pesetas, de las mujeres (X) se distribuye normalmente con media 100, en tanto que el de los hombres (Y) tiene la siguiente transformación Y = X + 20. Sabiendo además que el 15% de los hombres no superan el percentil 75 de las mujeres, se pide : a) Representar gráficamente el enunciado del problema. b) El salario medio de los hombres. c) La desviación típica del salario de los hombres y de las mujeres. a) Si la media de las mujeres es 100, la de los hombres queda

definida por la relación Y = X+20, luego es 120. Dicha transformación (al no multiplicar o dividir por ningún valor) no modifica las desviaciones típicas. En consecuencia, las desviaciones de la distribución de mujeres y hombres coinciden. En la distribución correspondiente a las mujeres el valor que tipificado (Zm) deja a su izquierda un área 0'75 (75%) coincide con el de la de los hombres (Zh) que tipificado deja a su izquierda un área 0'15 (no supera el valor anterior). Estas conclusiones se muestran a la derecha.

b) Ya se justificó anteriormente que la media de la distribución de ingresos de los hombres es 120 (en miles de pesetas). c) Con la tabla de la distribución normal determinamos los valores Zm y Zh , y recordando que coinciden Xm y Xh :

ZX

SX S

ZX

SX

SX S

S S S S

mm

m

hh m

m

= =−

→ = +

= − =−

=−

→ = − +⇒

⇒ + = − + → = → =

0 67100

0 67 100

104120 120

104 120

0 67 100 104 120 171 20 11696

' ' .

' ' .

' . ' . ' . '

Luego las desviaciones típicas coinciden y valen 11'696 (miles de pesetas).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1 Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas a la izquierda de cada valor z de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes : a) Pr(z<0'1052) b) Pr(z<-2) c) Pr(z≥2'1009) d) Pr(z>-0'1) e) Pr(0'31≤z≤2'084) f) Pr(-0'5<z≤2'07)

2 Haciendo uso de la tabla que proporciona áreas entre cada valor z y la media 0 de la distribución normal tipificada, calcular las probabilidades (áreas) siguientes : a) Pr(z≤2'32) b) Pr(z≤-0'38) c) Pr(z>2'2) d) Pr(z>-0'876) e) Pr(-3'02≤z≤0'499) f) Pr(0'51≤z≤1'83)

3 Para la distribución normal tipificada, calcular :

a) 6º decil b) Cuartil 1º c) Valores centrales entre los que queda comprendido el 40% de las observaciones.

4 Analizadas 240 determinaciones de colesterol en sangre, se observó que se distribuían normalmente con media 100 y desviación típica 20. a) Calcule la probabilidad de que una determinación sea inferior a 94. b) ¿ Qué proporción de determinaciones tienen valores comprendidos entre 105 y 130 ?. c) ¿ Cuántas determinaciones fueron superiores a 138 ?.

5 El percentil 60 de una distribución normal de varianza 80 es igual a 72. ¿ Cuál es su media ?. Si el número de individuos que la integran es 850, ¿ cuantos tienen entre 50 y 80 puntos ?.

6 Determine la media y la desviación típica de las puntuaciones de un test de agresividad que se aplicó a 120 individuos, sabiendo que 30 alcanzaron menos de 40 puntos y que el 60% obtuvieron puntuaciones comprendidas entre 40 y 90 puntos.

7 Los 460 alumnos de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 81 cm. a) Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm. b) ¿ Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm. ?

8 La desviación típica de la distribución de estaturas de los 200 alumnos de un centro es igual a 4 cm. Si 42 miden menos de 150 cm., determine el promedio de la distribución.

9 Las edades de un grupo de 320 individuos tienen como media 24 y desviación típica 5. ¿ Cuantos tendrán menos de 27 años?.

10 El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica.

11 312 de los 1200 tornillos producidos durante una hora en una factoría miden más de 11’28 cm.. Sabiendo que el primer decil de la distribución es igual a 7’44, calcule su media y su desviación típica.

12 Aplicado un test a 80 individuos, se obtuvo un promedio de 28 puntos.

a) Sabiendo que el percentil 40 de la distribución es igual a 25'466 puntos, determine su desviación típica.

b) ¿ Cuántos poseen calificación entre 25 y 30 puntos ?.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1 a) 0'54380 b) 0'02275 c) 0'01786 d) 0'53983 e) 0'35952 f) 0'67223

2 a) 0'98983 b) 0'35197 c) 0'01390 d) 0'81075 e) 0'69015 f) 0'27141

3 a) Decil 6º = 0'25 b) Cuartil 1º = -0'67 c) Entre -0'52 y 0'52 .

4 a) 0'38209 b) 32'053% c) 7 determinaciones

5 Media = 69'76 730 individuos.

6 Media = 59'59 Desviación típica = 29'24

7 a) 32’997% b) 98 alumnos (98’3894)

8 Media = 153’24

9 232

10 Desviación típica = 7’143

11 Media = 10 Desviación típica = 2

12 a) 10 b) 15'772 ≈ 16

TABLA I (A) DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 , 1)

La tabla proporciona, para cada valor de z, el área que queda a su izquierda.

z 0'00 0'01 0'02 0'03 0'04 0'05 0'06 0'07 0'08 0'09

-4'4 0'00001 0'00001 0'00001 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000 0'00000

-4'3 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001

-4'2 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001 0'00001

-4'1 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002 0'00001

-4'0 0'00003 0'00003 0'00003 0'00003 0'00003 0'00003 0'00002 0'00002 0'00002 0'00002

-3'9 0'00005 0'00005 0'00004 0'00004 0'00004 0'00004 0'00004 0'00004 0'00003 0'00003

-3'8 0'00007 0'00007 0'00007 0'00006 0'00006 0'00006 0'00006 0'00005 0'00005 0'00005

-3'7 0'00011 0'00010 0'00010 0'00010 0'00009 0'00009 0'00009 0'00008 0'00008 0'00008

-3'6 0'00016 0'00015 0'00015 0'00014 0'00014 0'00013 0'00013 0'00012 0'00012 0'00011

-3'5 0'00023 0'00023 0'00022 0'00021 0'00020 0'00019 0'00019 0'00018 0'00017 0'00017

-3'4 0'00034 0'00033 0'00032 0'00030 0'00029 0'00028 0'00027 0'00026 0'00025 0'00024

-3'3 0'00049 0'00047 0'00045 0'00044 0'00042 0'00041 0'00039 0'00038 0'00036 0'00035

-3'2 0'00069 0'00067 0'00064 0'00062 0'00060 0'00058 0'00056 0'00054 0'00052 0'00050

-3'1 0'00097 0'00094 0'00091 0'00088 0'00085 0'00082 0'00079 0'00077 0'00074 0'00071

-3'0 0'00135 0'00131 0'00127 0'00123 0'00119 0'00115 0'00111 0'00107 0'00104 0'00101

-2'9 0'00187 0'00181 0'00175 0'00169 0'00164 0'00159 0'00154 0'00149 0'00144 0'00139

-2'8 0'00256 0'00248 0'00240 0'00233 0'00226 0'00219 0'00212 0'00205 0'00199 0'00193

-2'7 0'00347 0'00336 0'00326 0'00317 0'00307 0'00298 0'00289 0'00280 0'00272 0'00264

-2'6 0'00466 0'00453 0'00440 0'00427 0'00415 0'00402 0'00391 0'00379 0'00368 0'00357

-2'5 0'00621 0'00604 0'00587 0'00570 0'00554 0'00539 0'00523 0'00508 0'00494 0'00480

-2'4 0'00820 0'00798 0'00776 0'00755 0'00734 0'00714 0'00695 0'00676 0'00657 0'00639

-2'3 0'01072 0'01044 0'01017 0'00990 0'00964 0'00939 0'00914 0'00889 0'00866 0'00842

-2'2 0'01390 0'01355 0'01321 0'01287 0'01255 0'01222 0'01191 0'01160 0'01130 0'01101

-2'1 0'01786 0'01743 0'01700 0'01659 0'01618 0'01578 0'01539 0'01500 0'01463 0'01426

-2'0 0'02275 0'02222 0'02169 0'02118 0'02068 0'02018 0'01970 0'01923 0'01876 0'01831

-1'9 0'02872 0'02807 0'02743 0'02680 0'02619 0'02559 0'02500 0'02442 0'02385 0'02330

-1'8 0'03593 0'03515 0'03438 0'03362 0'03288 0'03216 0'03144 0'03074 0'03005 0'02938

-1'7 0'04457 0'04363 0'04272 0'04182 0'04093 0'04006 0'03920 0'03836 0'03754 0'03673

-1'6 0'05480 0'05370 0'05262 0'05155 0'05050 0'04947 0'04846 0'04746 0'04648 0'04551

-1'5 0'06681 0'06552 0'06426 0'06301 0'06178 0'06057 0'05938 0'05821 0'05705 0'05592

-1'4 0'08076 0'07927 0'07780 0'07636 0'07493 0'07353 0'07214 0'07078 0'06944 0'06811

-1'3 0'09680 0'09510 0'09342 0'09176 0'09012 0'08851 0'08692 0'08534 0'08379 0'08226

-1'2 0'11507 0'11314 0'11123 0'10935 0'10749 0'10565 0'10383 0'10204 0'10027 0'09853

-1'1 0'13567 0'13350 0'13136 0'12924 0'12714 0'12507 0'12302 0'12100 0'11900 0'11702

-1'0 0'15866 0'15625 0'15386 0'15150 0'14917 0'14687 0'14457 0'14231 0'14007 0'13786

-0'9 0'18406 0'18141 0'17879 0'17619 0'17361 0'17106 0'16853 0'16602 0'16354 0'16109

-0'8 0'21186 0'20897 0'20611 0'20327 0'20045 0'19766 0'19489 0'19215 0'18925 0'18673

-0'7 0'24196 0'23885 0'23576 0'23270 0'22965 0'22663 0'22363 0'22065 0'21770 0'21476

-0'6 0'27425 0'27093 0'26763 0'26435 0'26109 0'25785 0'25463 0'25143 0'24825 0'24510

-0'5 0'30854 0'30503 0'30153 0'29806 0'29550 0'29116 0'28774 0'28434 0'28096 0'27760

-0'4 0'34446 0'34090 0'33724 0'33360 0'32997 0'32636 0'32276 0'31918 0'31561 0'31207

-0'3 0'38209 0'37828 0'37448 0'37070 0'36693 0'36317 0'35942 0'35569 0'35197 0'34827

-0'2 0'42074 0'41683 0'41294 0'40905 0'40517 0'40129 0'39743 0'39358 0'38974 0'38591

-0'1 0'46017 0'45620 0'45234 0'44828 0'44433 0'44038 0'43644 0'43251 0'42858 0'42465

-0'0 0'50000 0'49601 0'49202 0'48803 0'48405 0'48006 0'47608 0'47210 0'46812 0'46414

TABLA I (B) DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 , 1)

La tabla proporciona, para cada valor de z, el área que queda a su izquierda.

z 0'00 0'01 0'02 0'03 0'04 0'05 0'06 0'07 0'08 0'09

0'0 0'50000 0'50399 0'50798 0'51197 0'51595 0'51994 0'52392 0'52790 0'53188 0'53586

0'1 0'53983 0'54380 0'54766 0'55172 0'55567 0'55962 0'56356 0'56749 0'57142 0'57535

0'2 0'57926 0'58317 0'58706 0'59095 0'59483 0'59871 0'60257 0'60642 0'61026 0'61409

0'3 0'61791 0'62172 0'62552 0'62930 0'63307 0'63683 0'64058 0'64431 0'64803 0'65173

0'4 0'65554 0'65910 0'66276 0'66640 0'67003 0'67364 0'67724 0'68082 0'68439 0'68793

0'5 0'69146 0'69497 0'69847 0'70194 0'70450 0'70884 0'71226 0'71566 0'71904 0'72240

0'6 0'72575 0'72907 0'73237 0'73565 0'73891 0'74215 0'74537 0'74857 0'75175 0'75490

0'7 0'75804 0'76115 0'76424 0'76730 0'77035 0'77337 0'77637 0'77935 0'78230 0'78524

0'8 0'78814 0'79103 0'79389 0'79673 0'79955 0'80234 0'80511 0'80785 0'81075 0'81327

0'9 0'81594 0'81859 0'82121 0'82381 0'82639 0'82894 0'83147 0'83398 0'83646 0'83891

1'0 0'84134 0'84375 0'84614 0'84850 0'85083 0'85313 0'85543 0'85769 0'85993 0'86214

1'1 0'86433 0'86650 0'86864 0'87076 0'87286 0'87493 0'87698 0'87900 0'88100 0'88298

1'2 0'88493 0'88686 0'88877 0'89065 0'89251 0'89435 0'89617 0'89796 0'89973 0'90147

1'3 0'90320 0'90490 0'90658 0'90824 0'90988 0'91149 0'91308 0'91466 0'91621 0'91774

1'4 0'91924 0'92073 0'92220 0'92364 0'92507 0'92647 0'92786 0'92922 0'93056 0'93189

1'5 0'93319 0'93448 0'93574 0'93699 0'93822 0'93943 0'94062 0'94179 0'94295 0'94408

1'6 0'94520 0'94630 0'94738 0'94845 0'94950 0'95053 0'95154 0'95254 0'95352 0'95449

1'7 0'95543 0'95637 0'95728 0'95818 0'95907 0'95994 0'96080 0'96164 0'96246 0'96327

1'8 0'96407 0'96485 0'96562 0'96638 0'96712 0'96784 0'96856 0'96926 0'96995 0'97062

1'9 0'97128 0'97193 0'97257 0'97320 0'97381 0'97441 0'97500 0'97558 0'97615 0'97670

2'0 0'97725 0'97778 0'97831 0'97882 0'97932 0'97982 0'98030 0'98077 0'98124 0'98169

2'1 0'98214 0'98257 0'98300 0'98341 0'98382 0'98422 0'98461 0'98500 0'98537 0'98574

2'2 0'98610 0'98645 0'98679 0'98713 0'98745 0'98778 0'98809 0'98840 0'98870 0'98899

2'3 0'98928 0'98956 0'98983 0'99010 0'99036 0'99061 0'99086 0'99111 0'99134 0'99158

2'4 0'99180 0'99202 0'99224 0'99245 0'99266 0'99286 0'99305 0'99324 0'99343 0'99361

2'5 0'99379 0'99396 0'99413 0'99430 0'99446 0'99461 0'99477 0'99492 0'99506 0'99520

2'6 0'99534 0'99547 0'99560 0'99573 0'99585 0'99598 0'99609 0'99621 0'99632 0'99643

2'7 0'99653 0'99664 0'99674 0'99683 0'99693 0'99702 0'99711 0'99720 0'99728 0'99736

2'8 0'99744 0'99752 0'99760 0'99767 0'99774 0'99781 0'99788 0'99795 0'99801 0'99807

2'9 0'99813 0'99819 0'99825 0'99831 0'99836 0'99841 0'99846 0'99851 0'99856 0'99861

3'0 0'99865 0'99869 0'99873 0'99877 0'99881 0'99885 0'99889 0'99893 0'99896 0'99899

3'1 0'99903 0'99906 0'99909 0'99912 0'99915 0'99918 0'99921 0'99923 0'99926 0'99929

3'2 0'99931 0'99933 0'99936 0'99938 0'99940 0'99942 0'99944 0'99946 0'99948 0'99950

3'3 0'99951 0'99953 0'99955 0'99956 0'99958 0'99959 0'99961 0'99962 0'99964 0'99965

3'4 0'99966 0'99967 0'99968 0'99970 0'99971 0'99972 0'99973 0'99974 0'99975 0'99976

3'5 0'99977 0'99977 0'99978 0'99979 0'99980 0'99981 0'99981 0'99982 0'99983 0'99983

3'6 0'99984 0'99985 0'99985 0'99986 0'99986 0'99987 0'99987 0'99988 0'99988 0'99989

3'7 0'99989 0'99990 0'99990 0'99990 0'99991 0'99991 0'99991 0'99992 0'99992 0'99992

3'8 0'99993 0'99993 0'99993 0'99994 0'99994 0'99994 0'99994 0'99995 0'99995 0'99995

3'9 0'99995 0'99995 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99996 0'99997 0'99997

4'0 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99997 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998

4'1 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99998 0'99999 0'99999

4'2 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999

4'3 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999 0'99999

4'4 0'99999 0'99999 0'99999 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000 1'00000

TABLA II DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0 , 1)

La tabla proporciona el área que queda comprendida entre 0 y z.

z 0'00 0'01 0'02 0'03 0'04 0'05 0'06 0'07 0'08 0'09

0'0 0’00000 0’00399 0’00798 0’01197 0’01595 0’01994 0’02392 0’02790 0’03188 0’03586

0'1 0’03983 0’04380 0’04766 0’05172 0’05567 0’05962 0’06356 0’06749 0’07142 0’07535

0'2 0’07926 0’08317 0’08706 0’09095 0’09483 0’09871 0’10257 0’10642 0’11026 0’11409

0'3 0’11791 0’12172 0’12552 0’12930 0’13307 0’13683 0’14058 0’14431 0’14803 0’15173

0'4 0’15554 0’15910 0’16276 0’16640 0’17003 0’17364 0’17724 0’18082 0’18439 0’18793

0'5 0’19146 0’19497 0’19847 0’20194 0’20450 0’20884 0’21226 0’21566 0’21904 0’22240

0'6 0’22575 0’22907 0’23237 0’23565 0’23891 0’24215 0’24537 0’24857 0’25175 0’25490

0'7 0’25804 0’26115 0’26424 0’26730 0’27035 0’27337 0’27637 0’27935 0’28230 0’28524

0'8 0’28814 0’29103 0’29389 0’29673 0’29955 0’30234 0’30511 0’30785 0’31075 0’31327

0'9 0’31594 0’31859 0’32121 0’32381 0’32639 0’32894 0’33147 0’33398 0’33646 0’33891

1'0 0’34134 0’34375 0’34614 0’34850 0’35083 0’35313 0’35543 0’35769 0’35993 0’36214

1'1 0’36433 0’36650 0’36864 0’37076 0’37286 0’37493 0’37698 0’37900 0’38100 0’38298

1'2 0’38493 0’38686 0’38877 0’39065 0’39251 0’39435 0’39617 0’39796 0’39973 0’40147

1'3 0’40320 0’40490 0’40658 0’40824 0’40988 0’41149 0’41308 0’41466 0’41621 0’41774

1'4 0’41924 0’42073 0’42220 0’42364 0’42507 0’42647 0’42786 0’42922 0’43056 0’43189

1'5 0’43319 0’43448 0’43574 0’43699 0’43822 0’43943 0’44062 0’44179 0’44295 0’44408

1'6 0’44520 0’44630 0’44738 0’44845 0’44950 0’45053 0’45154 0’45254 0’45352 0’45449

1'7 0’45543 0’45637 0’45728 0’45818 0’45907 0’45994 0’46080 0’46164 0’46246 0’46327

1'8 0’46407 0’46485 0’46562 0’46638 0’46712 0’46784 0’46856 0’46926 0’46995 0’47062

1'9 0’47128 0’47193 0’47257 0’47320 0’47381 0’47441 0’47500 0’47558 0’47615 0’47670

2'0 0’47725 0’47778 0’47831 0’47882 0’47932 0’47982 0’48030 0’48077 0’48124 0’48169

2'1 0’48214 0’48257 0’48300 0’48341 0’48382 0’48422 0’48461 0’48500 0’48537 0’48574

2'2 0’48610 0’48645 0’48679 0’48713 0’48745 0’48778 0’48809 0’48840 0’48870 0’48899

2'3 0’48928 0’48956 0’48983 0’49010 0’49036 0’49061 0’49086 0’49111 0’49134 0’49158

2'4 0’49180 0’49202 0’49224 0’49245 0’49266 0’49286 0’49305 0’49324 0’49343 0’49361

2'5 0’49379 0’49396 0’49413 0’49430 0’49446 0’49461 0’49477 0’49492 0’49506 0’49520

2'6 0’49534 0’49547 0’49560 0’49573 0’49585 0’49598 0’49609 0’49621 0’49632 0’49643

2'7 0’49653 0’49664 0’49674 0’49683 0’49693 0’49702 0’49711 0’49720 0’49728 0’49736

2'8 0’49744 0’49752 0’49760 0’49767 0’49774 0’49781 0’49788 0’49795 0’49801 0’49807

2'9 0’49813 0’49819 0’49825 0’49831 0’49836 0’49841 0’49846 0’49851 0’49856 0’49861

3'0 0’49865 0’49869 0’49873 0’49877 0’49881 0’49885 0’49889 0’49893 0’49896 0’49899

3'1 0’49903 0’49906 0’49909 0’49912 0’49915 0’49918 0’49921 0’49923 0’49926 0’49929

3'2 0’49931 0’49933 0’49936 0’49938 0’49940 0’49942 0’49944 0’49946 0’49948 0’49950

3'3 0’49951 0’49953 0’49955 0’49956 0’49958 0’49959 0’49961 0’49962 0’49964 0’49965

3'4 0’49966 0’49967 0’49968 0’49970 0’49971 0’49972 0’49973 0’49974 0’49975 0’49976

3'5 0’49977 0’49977 0’49978 0’49979 0’49980 0’49981 0’49981 0’49982 0’49983 0’49983

3'6 0’49984 0’49985 0’49985 0’49986 0’49986 0’49987 0’49987 0’49988 0’49988 0’49989

3'7 0’49989 0’49990 0’49990 0’49990 0’49991 0’49991 0’49991 0’49992 0’49992 0’49992

3'8 0’49993 0’49993 0’49993 0’49994 0’49994 0’49994 0’49994 0’49995 0’49995 0’49995

3'9 0’49995 0’49995 0’49996 0’49996 0’49996 0’49996 0’49996 0’49996 0’49997 0’49997

4'0 0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49997 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998

4'1 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49998 0’49999 0’49999

4'2 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999

4'3 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999 0’49999

4'4 0’49999 0’49999 0’49999 0’50000 0’50000 0’50000 0’50000 0’50000 0’50000 0’50000

Series cronológicas Componentes:

Tendencia Evolución general de la serie Variación estacional Variaciones regulares en función de la estación del año Variación cíclica Variaciones periódicas (anuales o en períodos de pocos años) Variación accidental Pequeñas variaciones (ruidos) que no afectan a las anteriores. No se suelen tener

en cuenta. Determinación de la tendencia:

Suavizado: Cálculo de medias móviles (3, 5, … elementos) Función de ajuste Estimación o predicción: intervalo utilizando el error típico

Variaciones cíclicas. Índice estacional: Índice estacional = (Valor medio estación) / (Valor medio global) Porcentaje de variación = (Índice estacional – 1) x 100 (%)

Año Valor Media móvil (3) Media móvil (5)1990 70 1991 105 105 1992 140 181,7 181 1993 300 243,3 237 1994 290 313,3 288 1995 350 333,3 324 1996 360 343,3 330 1997 320 336,7 352 1998 330 350 406 1999 400 450 434 2000 620 506,7 490 2001 500 573,3 2002 600

0

100

200

300

400

500

600

700

0

100

200

300

400

500

600

700

0

100

200

300

400

500

600

Año Primavera Verano Otoño Invierno Media 1990 8190 18247 6369 5520 9581 1991 8606 19541 6961 5022

10033

1992 9552 19670 7167 5616 10501

1993 9412 18911 7220 5721 10316

1994 10289 19394 7573 5675

10734

Media 9210 19153 7058 5511

10233

Índ. Estacional 0,900 1,872 0,700 0,538

% variación -10% +87,2% -30% -46,2%

5000

7000

9000

11000

13000

15000

17000

19000

Números índices Índice simple: Cociente entre el valor actual y el tomado como base. Opcionalmente se puede multiplicar por 100.

100.0x

xI ii =

Variación simple: Cociente entre la diferencia del valor actual y el tomado como base y éste último. Opcionalmente se puede multiplicar por 100.

100100.0

0 −=−

=∆ ii

i Ix

xxI

Año 2000 2001 2002 2003 Precio 135 150 200 240 Índice simple Base 2000 100 111,11 148,15 177,78 Variación simple Base 2000 0 11,11 48,15 77,78

Índices compuestos: Aplicables a series cronológicas sobre las que se toman varias mediciones (generalmente valor o índice [p, I] y cantidad o peso [q, ω])

Índice compuesto no ponderado: nI

I iCNP

∑= en variaciones: n

II i

CNP∑∆

=∆

Índice compuesto ponderado: ∑∑=

i

iiCP

II

ωω.

en variaciones: ∑∑∆

=∆i

iiCP

II

ωω.

Índice de Laspeyres: ∑∑=

00

0

..

ii

iijL qp

qpI

Índice de Paasche: ∑∑=

iji

ijijP qp

qpI

..

0

A B C

p q p q p q CNP CP L P 1990 80 10 82 20 80 50 80,67 80,50 1,0000 1,0000 1991 85 15 85 20 85 60 85,00 85,00 1,0559 1,0569 1992 90 17 95 25 92 50 92,33 92,45 1,1491 1,1478

CNP (1992) 33,923

929590=

++

CP (1992) 45,92502517

50.9225.9517.90=

++++

L (1992, base 1990) 1491,150.8020.8210.8050.9220.9510.90

=++++

P (1992, base 1990) 1478,150.8025.8217.8050.9225.9517.90

=++++

Lectura recomendada:

Estadística para Relaciones Laborales. Ángel Alcalá. Hespérides Tema 9: El índice de precios al consumo (9.6) y Otros indicadores económicos y sociales (9.7). Tema 10: Estadísticas laborales. Tema 11: Otras estadísticas de interés.

MODELO DE EXÁMEN

APELLIDOS NOMBRE

Firma

1. En el proceso de selección de personal, se somete a los aspirantes a dos pruebas con diferente grado de dificultad, cumplimentando además un cuestionario con sus datos personales. El sexo de cada candidato es una variable:

a) cualitativa ordenable b) discreta c) dicotómica d) cuantitativa continua

2. En la prueba realizada en el proceso de selección de personal, las mujeres obtienen una calificación media de 6 puntos, siendo de 6,4 la obtenida por los hombres. Sabiendo que ambas series tienen la misma desviación típica, ¿cuál de las dos series de calificaciones es más dispersa?:

a) La de las mujeres b) La de los hombres c) Es necesario conocer el valor de la desviación típica d) Ambas son igualmente dispersas

3. En el proceso de negociación salarial se decide incrementar en un 3% el salario de todos los trabajadores de la empresa. En la nueva serie de retribuciones:

a) La coeficiente de correlación disminuye b) La media se mantiene constante c) La varianza se mantiene inalterada d) El coeficiente de variación no sufre modificación

4. En la prueba realizada en el proceso de selección de personal, las mujeres obtienen una calificación media de 6 puntos con varianza 4, siendo de 5,8 la media obtenida por los hombres con desviación típica 1,6. Si Una mujer obtiene 7 puntos y un hombre 6’6, ¿cuál de los dos tiene una mejor puntuación relativa dentro del colectivo determinado por el sexo?:

a) Hemos de conocer la media y la varianza conjunta b) La mujer tiene una mejor puntuación relativa c) El hombre tiene una mejor puntuación relativa d) Ambos tienen la misma calificación relativa

5. Una fábrica funciona las 24 horas del día con tres turnos de 30 trabajadores cada uno. En el primer turno el 60 % son mujeres; en el segundo hay 12 mujeres y, en el tercero, sólo el 20 % son mujeres. Seleccionada una mujer, la probabilidad de que trabaje en el segundo turno es:

a) 1/3 b) 0’40 c) 0’65 d) del 50%

6. En un proceso de selección se ofrece a los participantes tres ejercicios alternativos. Cada aspirante elige siempre uno de los tres ejercicios (A, B, C) con igual probabilidad (P(A)=P(B)=P(C)=1/3). El índice de dificultad de cada uno de estos tres ejercicios es variable, siendo 5 si elige el A, 2 si selecciona B y 1 si realiza el C. Un determinado participante realizó una prueba con un índice de dificultad inferior a 3. ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido el ejercicio A?:

a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 0

7. Finalizada la prueba anterior, preguntamos sobre el ejercicio elegido a los dos primeros aspirantes que salen del recinto. ¿Cuál es la probabilidad de ambos realizaran el supuesto A?:

a) 1/4 b) 1/3 c) 1/9 d) 1

8. Para conocer el nivel de relación existente entre el tipo de contrato (temporal o fijo) y el número de hijos de los trabajadores de una empresa, podemos utilizar el:

a) Coeficiente de Spearman b) Coeficiente Φ (phi) c) Coeficiente de exceso de Fisher d) Coeficiente biserial puntual

9. En el estudio de la relación existente entre los pares de valores observados de dos variables X e Y, se sabe que sus varianzas respectivas son iguales a 25 y 16, siendo 20 el valor de su covarianza. Con ello podemos afirmar que:

a) Los datos son erróneos b) El coeficiente de determinación es del 5% c) El coeficiente de variación de la segunda es mayor d) Las variables X e Y están perfectamente correlacionadas

10. Indique cuál de las siguientes afirmaciones sobre el IPC (índice de precios al consumo) es correcta:

a) Es un índice simple basado en los precios de una serie de productos. b) Es un índice compuesto del tipo Laspeyres. c) Es un índice compuesto del tipo Paasche. d) Es la pendiente de la serie cronológica de periodicidad mensual.

Las contestaciones dadas fuera de la siguiente tabla se considerarán inválidas. Calificación:

- Respuesta correcta: + 1’5 puntos - Respuesta incorrecta: - 0’5 puntos - Sin respuesta: No puntúa

A la calificación obtenida se sumará la de las prácticas (0’25 por práctica con un máximo de 2’5 puntos).

El examen se aprueba con una calificación final superior o igual a 7’5 puntos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a X X

b X

c X X

d X X X X X

MODELO DE EXÁMEN

APELLIDOS NOMBRE

Firma

1.

Edad Personas De la distribución de edades de la izquierda, calcule: [10,12) 5 1) Media y desviación típica. [12,14) 11 2) Moda y Coeficiente de variación. [14,16) 19 [16,18) 21

3) ¿Entre qué edades se encuentra el 30% de las observaciones centrales?

[18,20] 4 2.

De la siguiente distribución bivariante:

Hijos [0,2) [2,4) [4,6] Categoría 1 (Técnico) 1 3 2 (Mando intermedio) 2 7 1 3 (Directivo) 4 2

1) Obtenga la ecuación de la recta de ajuste a dicha distribución. 2) Calcule e interprete el valor del coeficiente de correlación lineal. 3) De la varianza total del número de hijos, determine la proporción que no es atribuible a la

categoría. 3.

Los resultados de una encuesta de satisfacción en el desempeño de la actividad laboral, sometidos a la consideración de 420 trabajadores, se distribuyen normalmente con media 4'5 y varianza 4. 1) Calcule la probabilidad de que un trabajador cuantifique su grado de satisfacción con más de

5’5 puntos. 2) ¿Cuántos trabajadores otorgaron calificaciones comprendidas entre 3 y 7 puntos?.

Puntuación de cada apartado: 0’75 puntos (Total 6 puntos)

1.

1. Media 15,27 Desviación típica 2,11 2. Moda 16,35 Coef. Variación 13,84 3. P(35) 14,53 P(65) 16,38

2. 1. b = -1,16 a = 5,14 o bien: b = -0’27 a = 2,83 2. r = -0’5606 (31’42%) interpretación 3. 1 – r2 = 0’6858 (68’58%) 3.

1. z = 0’5 p = 1 – 0’69146 = 0’30854 2. z1 = -0’75 ; z2 = 0’75 p1 = 0’22663 ; p2 = 0’77337

N = 420 x 0’54674 = 229,63 (230)