Proceso Politrópico 2015
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8/19/2019 Proceso Politrópico 2015
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PROCESOS POLITRÓPICOS
1. Proceso o transformación politrópica
Los procesos politrópicos son importantes porque a menudo, en las aplicaciones
técnicas, resulta que la trayectoria que representa la sucesión de estadostermodinámicos por los que pasa un fluido entre la entrada y la salida de un
sistema abierto (Volumen de control) o la trayectoria que representa la sucesión
de estado termodinámicos por los que pasa un sistema cerrado (Masa de
control), es justamente un proceso politrópico.
Los procesos politrópicos se utilizan para representar procesos reversibles,
internamente reversibles y irreversibles (reales).
Dado dos estados termodinámicos en el diagrama p v , entonces pasará por los
dos estados únicamente un proceso politrópico.
2. Ecuación del proceso politrópico
El diferencial de entropía se definen como:
internamentereversible
qds
T
/kJ kg (2.1)
Las ecuaciones de Gibbs o Tds se expresan como:
Tds dh vdp (2.2)
Tds du pdv (2.3)
Sustituyendo la (2.1) en la (2.2) y (2.3) se obtiene:
q dh vdp (2.3)q du pdv (2.4)
El diferencial del calor q se puede sustituir como el producto de un calor específico
c por el diferencial de temperatura absoluta dT como:
cdT dh vdp (2.5)
cdT du pdv (2.6)
Para el caso de un gas ideal v pdu c dT y dh c dT se tiene:
pcdT c dT vdp (2.7)
vcdT c dT pdv (2.8)Reordenando los términos se obtiene:
pvdp c dT cdT pvdp dT c c (2.9)
v pdv c dT cdT v pdv dT c c (2.10)
El exponente del proceso politrópico n se obtiene dividiendo la (2.9) entre la
(2.10) como:
p p
v v
dT c c c cvdpn
pdv dT c c c c
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Procesos politrópicos – 2015
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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 2
p
v
c cvdpn
pdv c c
(2.11)
Para la determinación de la ecuación de un proceso politrópico se obtiene de la (2.11)
como:
vdpn
pdv
npdv vdp
0vdp npdv
0dp dv
n p v
ln ln n p v cte
n pv cte ,n (Para sistemas abiertos o volúmenes de control) (2.12)
donden
es el exponente del proceso politrópico y es un número real.
En caso de sistemas cerrados o masas de control, la ecuación de la politrópica se define
como:
n pV cte ,n (Para sistemas cerrados o masas de control) (2.13)donde V es el volumen del sistema cerrado o masa de control.
3. Exponente del proceso politrópico
Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso politrópico. Por lo
tanto, el exponente del proceso politrópico se obtiene como:
1 1 2 2n n p v p v
1 1 2 2n nln p v ln p v 1 1 2 2lnp nlnv lnp nlnv
1 2 2 1lnp lnp n lnv lnv
1 2
2 1
/
/
ln p pn
ln v v (3.1)
El valor de la constante de la ecuación del proceso politrópico se puede determinar
como:
1 1 2 2n ncte p v p v (3.2)
4. Procesos politrópicos particulares
A continuación se demuestra que varios de los procesos termodinámicos comunes
son casos particulares del proceso politrópico.
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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 3
Proceso Descripción Demostración Proceso politrópicoIsobárico Proceso a presión
constante p cte pc c
0 p p
v p
c cn
c c
El proceso isobárico es un
proceso politrópico con
0n .
Isócoro Proceso a volumenconstante v cte
vc c
p v
v v
c cn
c c
El proceso isócoro es un proceso politrópico con
n .
Isotérmico Proceso a temperatura
constante T cte c
1 p
v
cn
c
El proceso isotérmico es un
proceso politrópico con
1n .
Isentrópico Proceso a entropía
constante s cte 0c
0
0
p p
v v
c cn k
c c
El proceso isentrópico es
un proceso politrópico con
n k .
En los diagramas p v , p T y T v se representan solo estados termodinámicos
en equilibrio de sustancias puras. Por lo tanto, si se desea trazar la trayectoria de un
proceso en dichos diagramas, el proceso se debe realizar necesariamente en
cuasiequilibrio o en forma cuasiestática. Los únicos procesos que se llevan a cabo en
cuasiequilibrio son los procesos reversibles e internamente reversibles. Por lo
consiguiente serán los únicos procesos que pueden trazarse directamente en dichos
diagramas.
En los diagramas T s y h s se pueden trazar trayectorias de procesos reversibles,
internamente reversibles y reales (procesos irreversibles). En los diagramas T s yh s , las trayectorias de los procesos isobáricos e isócoros son curvas divergentes en ladirección creciente de la entropía. En el diagrama T s o h s la trayectoria de unaisocora tiene mayor pendiente que la de una isóbara. Para demostrarlo, de las
ecuaciones de Gibbs o Tds se obtiene que:
Tds dh vdp (4.1)
Tds du pdv (4.2)
Para el caso de un gas ideal v pdu c dT y dh c dT se tiene:
pTds c dT vdp (4.3)
vTds c dT pdv (4.4)
Para el caso de un proceso isobárico, la (4.3) se expresa como:0
pTds c dT vdp
p cte p p cte
dT T m
ds c
(4.5)
Para el caso de un proceso isócoro, la (4.4) se expresa como:0
vTds c dT pdv
v ctevv cte
dT T m
ds c
(4.6)
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Material didáctico interno elaborado por el Dr. Ing. Rafael Saavedra Garcia Zabaleta 4
Puesto que el valor del calor específico a presión constante pc es siempre mayorque el de volumen constante vc , se puede observar de la (4.5) y la (4.6) que la
pendiente de una isóbara, en el diagrama T s o h s , es menor que la pendiente de la
isocora
p cte v ctem m .
5. Procesos de compresión
En las figuras 5.1 y 5.2 se muestran distintos procesos de compresión en los
diagramas p v y T s , respectivamente. Sea el número 1 y los números 2, los estados
termodinámicos inicial y finales de los distintos procesos de compresión.
Para poder comparar los distintos procesos de compresión deberán tener el mismo
estado termodinámico inicial y la presión estática de salida.
Proceso Descripción Exponente delproceso
politrópicoIsócoro
1 2V Proceso de incremento de presión a
volumen constante con adición de calor
v cte
n
Proceso politrópico
con adición de calor
1 2 P
Proceso de compresión politrópico con
adición de calorn k
Isentrópico
1 2S Proceso de compresión a entropía constante
s cte n k
Proceso politrópico
con rechazo de calor
1 2 M
Proceso de compresión politrópico con
rechazo de calor1 n k
Isotérmico
1 2T Proceso de compresión a temperatura
constante con rechazo de calor T cte 1n
Es interesante notar que en un diagrama T s o h s , un proceso con adición de
calor avanza en la dirección de entropía creciente, uno con rechazo de calor avanza enla dirección de entropía decreciente y uno isentrópico (reversible, adiabático) avanza aentropía constante (Ver figura 5.2).
Durante un proceso de compresión la presión, temperatura y densidad aumentan
mientras que el volumen específico disminuye. En el caso de un proceso de compresión
isotérmico la temperatura permanece constante.
El proceso de incremento de presión a volumen constante con adición de calor
1 2V se debe realizar en un contenedor rígido para que su volumen no varíe durante
el proceso de incremento de presión. La presión aumentará gracias a la adición de caloral contenedor.
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Figura 5.1 Procesos de compresión en el diagrama p – v
Figura 5.2 Procesos de compresión en el diagrama T – s
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6. Procesos de expansión
En las figuras 6.1 y 6.2 se muestran distintos procesos de expansión en los diagramas
p v y T s , respectivamente. Sea el número 3 y los números 4, los estados
termodinámicos inicial y finales de los distintos procesos de expansión.
Para poder comparar los distintos procesos de expansión deberán tener el mismo
estado termodinámico inicial y la presión estática de salida.
Proceso Descripción Exponente delproceso
politrópicoIsócoro
3 4V Proceso de disminución de presión a
volumen constante con rechazo de calor
v cte
n
Proceso politrópicocon rechazo de calor
3 4 M
Proceso de expansión politrópico conrechazo de calor
n k
Isentrópico
3 4S Proceso de expansión a entropía constante
s cte n k
Proceso politrópico
con adición de calor
3 4 P
Proceso de expansión politrópico con
adición de calor1 n k
Isotérmico
3 4T
Proceso de expansión a temperatura
constante con adición de calor T cte
1n
Es interesante notar que en un diagrama p v , un proceso con adición de calor avanza en la dirección de volumen específico creciente y se encontrará en el lado
derecho del proceso isentrópico n k , uno con rechazo de calor avanza en ladirección de volumen específico creciente y se encontrará en el lado izquierdo del
proceso isentrópico n k (Ver figura 6.1). Así mismo, en un diagrama T s o h s ,un proceso con adición de calor avanza en la dirección de entropía creciente hacia ellado derecho del proceso isentrópico n k , uno con rechazo de calor avanza en la
dirección de entropía decreciente hacia el lado izquierdo del proceso isentrópico n k y uno isentrópico n k (reversible, adiabático) avanza a entropía constante (Verfigura 6.2).
Durante un proceso de expansión la presión, temperatura y densidad disminuye
mientras que el volumen específico aumenta. En el caso de un proceso de expansión
isotérmico la temperatura permanece constante.
El proceso de disminución de presión a volumen constante con rechazo de calor
3 4V se debe realizar en un contenedor rígido para que su volumen no varíe durante
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el proceso de disminución de presión. La presión disminuirá gracias al rechazo de calor
del contenedor.
Figura 6.1 Procesos de expansión en el diagrama p – v
Figura 6.2 Procesos de expansión en el diagrama T – s
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7. Ecuaciones de Poisson
La combinación de la ecuación de estado de gas ideal y la ecuación de un proceso
politrópico dan origen a las ecuaciones de Poisson.
Aplicando la ecuación del proceso politrópico entre los estados termodinámicos 1 y 2 seobtiene:
1 1 2 2n n p v p v (7.1)
Las relaciones 2
1
v
v y 2
1
p
p se expresan, respectivamente, como:
1/
2 2
1 1
nv p
v p
(7.2)
2 1
1 2
n p v
p v
(7.3)
Aplicando la ecuación de estado de gas ideal se obtiene:
2 2 2
1 1 1
T p v
T p v (7.4)
Sustituyendo la (7.2) en la (7.4) se obtiene:1
1/
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
nn
nT p v p p p
T p v p p p
(7.5)
Sustituyendo la (7.3) en la (7.4) se obtiene:1 1
2 2 2 1 2 1 1 1
1 1 1 2 1 2 2 2
n n nT p v v v v v v
T p v v v v v v
(7.6)
Agrupando la (7.5) y la (7.6) se obtiene:1
1 1
2 2 1 2
1 1 2 1
nn n
nT p v
T p v
(Proceso politrópico y gas ideal o perfecto) (7.7)
8. Determinación de la integral2
1vdp para un proceso politrópico
8.1 Para un proceso politrópico cualquiera 1n y un gas en general
Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso politrópico. Por lo
tanto, la integral2
1vdp se puede determinar para el proceso politrópico de un gas en
general como:n pv const C
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1/
1/ 1/
n
n nC v C p
p
(8.1.1)
1/
1/ 1/n
n n nC pv p v 1/ 1/
1/1 1 2 2
n nnC p v p v (8.1.2)
Sustituyendo la (8.1.1) en la integral se obtiene:2 21/ 1/
1 1
n nvdp C p dp 1 1
2 1/2 11
1
n n
n n nn
vdp C p pn
(8.1.3)
Sustituyendo la (8.12) en la (8.1.3) se obtiene:11 1 1
2
2 1 12 2 11 1
n
n n
n n nn
vdp p v p p v pn
2
2 2 1 11
11
nvdp p v p v n
n
(Para un gas en general) (8.1.4)
En el diagrama p v , para un sistema abierto, el área bajo la curva de la trayectoria
de un proceso reversible o internamente reversible con respecto al eje de la presión
representa el valor absoluto de la integral2
1vdp . El valor absoluto de la integral se
debe a que el área será siempre una magnitud positiva mientras que el valor de la
integral puede ser positivo o negativo, es decir si se realiza un proceso de compresión
0dp , el valor de la integral será positivo mientras que durante un proceso de
expansión 0dp , el valor la integral será negativo.
En el diagrama p V , para un sistema cerrado, el área bajo la curva de la trayectoria
de un proceso reversible o internamente reversible respecto al eje del volumen
representa el valor absoluto de la integral2
1 pdV . El valor absoluto de la integral se
debe a que el área será siempre una magnitud positiva mientras que el valor de la
integral puede ser positivo o negativo, es decir si se realiza un proceso de compresión
0dV , el valor de la integral resultará negativa mientras que durante un proceso de
expansión 0dV , el valor de la integral será positiva.
8.2 Determinación de la integral2
1vdp para un proceso de compresión
Sea 1 y 2 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso de compresión. De
la (8.1.4) el valor de la integral2
1vdp para un proceso politrópico cualquiera 1n
y un gas en general se expresa como:
2
2 2 1 11
11
nvdp p v p v n
n
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22 2
1 11
1 1
11
p vnvdp p v
n p v
(8.1.1)
De la ecuación de Poisson se deduce que:
1/ 1/
2 1 2
1 2 1
n nv p p
v p p
(8.2.2)
Sustituyendo la (8.2.2) en la (8.2.1) se obtiene:1/
22 2
1 11
1 1
11
n p pn
vdp p vn p p
1
22
1 111 11
n
n pn
vdp p vn p
(8.2.3)
En un compresor, la relación de compresión se define como:
2
1
c
p
p (8.2.4)
Sustituyendo la (8.2.4) en la (8.2.3) se obtiene:1
2
1 11
1 1
1
n
nc
nvdp p v n
n
(Para un gas en general) (8.2.5)
Si el gas que se comprime se comporta como un gas ideal o perfecto, la (8.2.5) se puede
expresar como:1
2
11
1 11
n
nc
nvdp RT n
n
(Para un gas ideal o perfecto) (8.2.6)
8.3 Determinación de la integral4
3vdp para un proceso de expansión
Sea 3 y 4 los estados termodinámicos inicial y final de un proceso de expansión.
Aplicando la (8.1.4) a los estados termodinámicos 3 y 4 se obtiene:
4
4 4 3 33 1
nvdp p v p v
n
(8.3.1)
Cambiando el signo de la (8.3.1) , la integral4
3vdp para el caso de un proceso de
expansión de un gas en general se expresa como:
4
3 3 4 43 1
nvdp p v p v
n
(8.3.2)
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44 4
3 33
3 3
11
p vnvdp p v
n p v
4
3 33 3 3
4 4
11
1
nvdp p v
p vn p v
(8.3.3)
De la ecuación de Poisson se deduce que:1/ 1/
3 34
4 3 4
n nv p p
v p p
(8.3.4)
Sustituyendo la (8.3.3) en la (8.3.4) se obtiene:
4
3 3 1/3
3 3
4 4
11
1 nn
vdp p vn p p
p p
4
3 3 13
3
4
11
1 nn
nvdp p v
n p
p
(8.3.5)
Para una turbina, la relación de expansión se define como:
3
4
e
p
p (8.3.6)
Sustituyendo la (8.3.6) en la (8.3.5) se obtiene:
4
3 3 13
11 1
1 nn
e
nvdp p v n
n
(Para un gas en general) (8.3.7)
Si el gas que se expande se comporta como un gas ideal o perfecto, la (8.3.8) se puede
expresar como:
4
3 13
11 1
1 nn
e
nvdp RT n
n
(Para un gas ideal o perfecto) (8.3.8)
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9. Proceso o transformación isotérmico
Para un proceso isotérmico, el exponente de la politrópica es igual a uno 1n . Porconsiguiente, la ecuación de la politrópica se reduce a:
1 1 2 2
C p v p v (9.1)
2 22
1 11
ln pC
vdp dp C p p
(9.2)
Sustituyendo la (9.1) en la (9.2) se obtiene:
22 2
1 1 2 21
1 1
ln ln p p
vdp p v p v p p
(9.3)