PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE...

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

LUIS FERNANDO HERRERA DÍAZ

31 de agosto de 2005

Índice general

1. GENERALIDADES 61.1. Conceptos generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1. Energía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Tipos de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Mecanismos de transferencia de calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Flujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. CONDUCCIÓN 13

2.1. Ley de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. La conductividad térmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura. . . . . . 162.2.2. Conductividades térmicas de alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3. Per�l de temperaturas en una pared plana. . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Flujo de calor en paredes compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1. Paredes en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2. Paredes en paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Flujo de calor en cilindros huecos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. Flujo de calor en esferas huecas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6. Ecuación general de conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional. . . . . . . . . . . . 342.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones. . . . . . . . . 35

2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario. . . . . . . . . . . . . . 36

ÍNDICE GENERAL 1

3. CONVECCIÓN 443.1. Determinación del coe�ciente convectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. Modelos para la determinación del coe�ciente convectivo en convec-ción forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2. Modelos para la determinación del coe�ciente convectivo en convec-ción natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO 544.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tubería. . . . . . . . . . . . 54

4.2. Super�cies extendidas o aletas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5. CONVECCIÓNYCONDUCCIÓNENREGIMENNOESTACIONARIO 69

5.1. Determinación del per�l de temperaturas de un alimento. . . . . . . . . . . 695.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 74

5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1 . . . . . . . . . . . . 75

ÍNDICE GENERAL 2

INTRODUCCIÓN

Las diferentes operaciones unitarias que tienen lugar en la industria de alimentos im-plican la generación y/o absorción de energía, igualmente los procesos de esterilización yconservación de alimentos requieren de tratamientos térmicos por lo que se hace indispens-able para el ingeniero de alimentos el conocimiento de las leyes que rigen el �ujo de calory su aplicación en el diseño y manejo termodinámico de los equipos que se usan en losprocesos alimenticios para la optimización de tan costoso y apreciado recurso energético

introducción 3

NOTACIÓN

A = área, L2

Bi = número de Biot�hLK

�Cp = capacidad calorí�ca

�EMT

�Fo = número de Fourier ��

L2c

H = entalpia (E)h = coe�ciente convectivo de transferencia de calor

�E

�L2T

�K = conductividad térmica

�E�LT

�KG = conductividad térmica a presión atmosferica ecuación (2.5)L = longitud (L)

longitud de la tuberialog = logaritmo con base e (Ln)M = masa (M)

P = presión�ML3

�2

�Pc = presión reducida P

Pc

PM = peso molecularQ = calor (E)Q = �ujo volumetrico (L3=t) para la ecuación (??)�Q = �ujo de calor

�E�

�R = resistencia eléctricaR = costante de los gases ideales 0;008314 MPa m3

kmolK

r = radio (L)T = temperatura (T )Tr = temperatura reducida T

Tc

t = tiempo (�)

� = volumen molar�L3

mol

�V = velocidad

�L�

�Z = factor de compresibilidad

Letras griegas y simbolos

Notación 4

1 = denota las condiciones del medio� = difusividad térmica�� = calor latente de vaporización

�EM

�� = viscocidad cinemática

�L2

�

�� = densidad

�ML3

��r = densidad reducica

�c�

� = viscosidad�M�L

�Subindices

c = propiedad críticafin = condición �nalini = condición inicialliq = líquidos

Superindices� = indica �ujo. d

d�

Notación 5

1. GENERALIDADES

1.1. Conceptos generales.

Antes de comenzar a estudiar la transferencia de calor se hará un breve repaso sobrelos conceptos básicos.

1.1.1. Energía.

La energía es una abstracción matemática utilizada por los físicos que representa lacapacidad de realizar un trabajo, sin embargo aquí se ampliara el concepto a la capacidadpara producir un cambio o una transformación.

1.1.2. Calor.

A partir de lo anterior se puede de�nir el calor como un tipo de energía que se trans-�ere de un cuerpo a otro en virtud de una diferencia de temperaturas y por lo tanto nopuede ser almacenado.

1.1.3. Temperatura.

La temperatura es asociada con la movilidad de las moléculas de un cuerpo, de talforma que a mayor movilidad mayor temperatura.

GENERALIDADES 6

1.2. Tipos de calor

En la naturaleza cuando se trans�ere calor a un cuerpo, éste puede experimentardiferentes cambios los cuales de�nen el tipo de calor. Los tipos de calor más comunes son:

Calor sensible: Durante la transferencia de calor ocurre un cambio de entalpíadirectamente asociada a un cambio en la temperatura, su expresión matemáticaestá dada por Q =M � Cp��T

Calor latente: El cambio de entalpía es caracterizado por un cambio de fase atemperatura constante. Su expresión matemática esta dada por Q =M � �.

Calor de reacción: El calor es liberado o requerido por una reacción química, suexpresión esta relacionada con las entalpías de los productos y compuestos comosigue Q = � HPr oductos � � HRe activos:

Calor eléctrico: Es el calor que se trans�ere a causa del paso de una corrienteeléctrica a través de un material aislante y su valor esta dado por Q = I2R

1.3. Mecanismos de transferencia de calor.

La termodinámica como ciencia estudia en la primera ley, la naturaleza y transforma-ción de la energía en sus diferentes formas: energía interna, entalpía, trabajo y calor. Enla segunda ley explica porque el calor no puede ser transformado totalmente en trabajo.

La herramienta con la cual se aplican los conceptos de la primera ley de la termod-inámica a los procesos industriales se denomina balance de materia y energía. Sin embargoninguna de las dos explica como se trans�ere el calor de un cuerpo a otro. Dicha expli-cación es trabajada en los Procesos de Transferencia de Calor.

[9] , de�ne la Transferencia de Calor como �el estudio de las velocidades a las cualesel calor se intercambia entre fuentes de calor y receptores�, mientras que los Procesosde Transferencia de Calor están relacionados con las razones de intercambio térmico queocurren en los equipos.

Por el momento se dirá que existen tres formas de transmitir calor, conducción,convección y radiación.

TIPOS DE CALOR 7

En la conducción, dos materiales sólidos a diferente temperatura se ponen en contactodirecto, de tal forma que las moléculas del material a mayor temperatura, con mayormovimiento molecular, trans�eren energía en forma de movimiento a las moléculas delcuerpo a menor temperatura, sin que exista un movimiento aparente de las moléculas delos dos sólidos. Por tal razón la velocidad de transferencia de energía estará dada poruna propiedad de los materiales asociada a la capacidad de transferir la movilidad de susmoléculas, dicha propiedad es conocida como conductividad térmica (K).

En la convección, la transferencia de calor se da entre dos puntos de un �uido, de talforma que debido a la altísima movilidad de sus moléculas, la mezcla entre ellas pasa a serel comportamiento predominante. Dicho comportamiento se puede presenciar cuando sepone a calentar agua en un recipiente, luego de un tiempo determinado se puede observaren la super�cie la creación de remolinos debido a la diferencia de densidades entre puntos�calientes� y �fríos�. Si la mezcla es debido solo a la diferencia de temperaturas dichocomportamiento es conocido como convección natural.

En algunas ocasiones se requiere que el calentamiento se realice más rápidamente, esdecir los puntos �calientes�deben ser distribuidos con mayor velocidad en el �uido, paralo cual se suele recurrir a introducir un agente externo como un agitador para que aumentelos niveles de mezcla, en este caso se habla de convección forzada.

Finalmente el último mecanismo de transferencia de calor es la radiación, que a difer-encia de las dos anteriores no requiere un contacto directo entre los puntos �calientes�y�fríos�, sino que debido a la diferencia de temperatura cada material posee un movimientode partículas determinado, el cual está asociado a un nivel de radiación, la diferencia netaentre las emanaciones de radiación de ambos cuerpos es la transferencia de calor.

1.4. Flujo de calor

Siempre que ocurre una transferencia interactúan dos factores, uno a favor de la trans-ferencia denominada fuerza impulsora o diferencia de potencial y otra que se opone de-nominada resistencia, es así como se puede construir la siguiente relación matemática.

Transferencia �Fuerza impulsoraResistencia

(1.1)

Dicha expresión puede ser expresada en términos de una conductancia así:

FLUJO DE CALOR 8

Transferencia � Conductancia� Fuerza impulsora (1.2)

Figura 1-1 Jean-Louis Marie Poiseuille (1799-1869)

Tomado de: [18]

Esta expresión ha sido desarrollada en diferentes ámbitos según la naturaleza de latransferencia. En el caso de la transferencia de momento en el �ujo de �uidos , Poiseuilleencuentra que en régimen laminar dentro de una tubería el caudal esta determinado porla ecuación (1.3). [3]

�Q = �r4

(P2 � P1)8�l

(1.3)

Figura 1-2 Esquema de �ujo

En el caso del �ujo eléctrico fue George Ohm en 1827 estableció que el �ujo deelectrones sobre un material conductor está dado por la ecuación (1.4) en el documento

FLUJO DE CALOR 9

Figura 1-3 Georg Simon Ohm (1789-1854)

titulado Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. (Trabajos matemáticos sobre loscircuitos eléctricos).

Tomado de: [18]

I =V

R(1.4)

Figura 1-4 Trabajos matemáticos sobre los circuitos eléctricos

Tomado de: [18]

El esquema de �ujo de corriente electrica puede ser esquematizado como:

FLUJO DE CALOR 10

Figura 1-5 Esquema del �ujo de electrones en un material conductor

Figura 1-6 Joseph Fourier (1768�1830)

De la misma forma el matemático francés Fourier propone la ecuación (1.5) para el�ujo de calor.

Tomado de: [2]

�Q = KA

�T

L(1.5)

Dicha expresión puede ser aplicada para el �ujo de calor a través de una pared planacuyos lados se encuentran a diferentes temperaturas, como se muestra en la �gura 1-7

Figura 1-7 Esquema de �ujo de transferencia de calor.

Expresando la ecuación (1.5) en términos de la fuerza impulsora y la resistencia se

FLUJO DE CALOR 11

puede encontrar la ecuación (1.6)

R =L

KA(1.6)

FLUJO DE CALOR 12

2. CONDUCCIÓN

Cuando se transmite calor a través de un sólido, se deben tener en cuenta dos conceptosimportantes, la velocidad de transferencia de calor y el per�l de temperaturasdentro del sólido. La velocidad de transferencia de calor se re�ere al �ujo de entrada osalida de energía en forma de calor y el segundo hace referencia a la forma como cambiala temperatura con respecto a la posición dentro del sólido.

Inicialmente en este capítulo se estudiará la ley de Fourier que relaciona estos dos con-ceptos y sus aplicaciones, aplicadas al �ujo de calor en una sola dimensión para diferentesgeometrías, luego se abordará el tema de la conductividad térmica, su relación con latemperatura y la forma de estimar su valor para los alimentos, �nalmente se desarrollarábrevemente el tema de conducción en más de una dimensión. El estudio de �ujo de caloren estado no estacionario se verá en capítulos posteriores

2.1. Ley de Fourier.

Hace más de un siglo Fourier propuso que la relación entre el �ujo de calor y elgradiente de temperaturas es de carácter lineal, de tal forma que se puede expresar comolo indica la ecuación (2.1)

�Q = �KA�T

L(2.1)

En donde;�Q representa el �ujo de calor, K es la conductividad térmica de los materi-

ales, A es el área de transferencia y �T es la diferencia de temperaturas entre dos puntosdel sólido que se encuentran separados por una distancia L .

Por otra parte el �ujo de calor puede entrar o salir del sólido, por lo tanto es necesariotener un sistema de referencia que permita distinguir entre estos dos eventos. Se creaentonces un sistema de referencia donde el �ujo de calor es positivo si lleva el mismosentido del eje x, como lo indica la �gura 2-1

De esta forma la expresión (2.1) puede ser escrita como�Q = �KAT1 � T2

L

CONDUCCIÓN 13

Figura 2-1 Diagrama de �ujo de calor en una pared plana.

En algunas ocasiones conviene expresar la ecuación (2.1) en forma diferencial, de talforma que la expresión se puede escribir como:

�Q = �KAdT

dx(2.2)

En resumen se puede decir que con el �n de determinar el valor de cada una de lasvariables relacionadas en la ley de Fourier, se pueden seguir las siguientes pautas.

1. Realizar un esquema en donde se especi�que la geometría del sistema y la caída detemperaturas. �gura 2-2.

Figura 2-2 Esquema de �ujo de calor en una pared plana

2. Trazar la línea de �ujo de calor perpendicular a la disminución de la temperatura.(T2 < T1).

LEY DE FOURIER. 14

Figura 2-3 Determinación del área y la longitud para el cálculo del calor por conducción.

3. Encontrar el camino que recorre el �ujo de calor (L1) y el área de�nida por lasuper�cie perpendicular al �ujo de calor. A = L2 � L3

Ejemplo 2.1: Las caras de una pared de ladrillo de caolín (KCaolin = 0;15) se encuen-tran a 932�F y 300�F , si la pared mide 13 � 17 Ft y tiene un espesor de 5 in, ¿Cuantocalor se pierde por la pared?

Solución: Siguiendo el las pautas que permiten reconocer el valor de cada una de lasvariables dentro de la ley de Fourier se puede realizar la �gura.

Figura 2-4 Esquema para el ejercicio 2-1.

Luego:A = 13ft� 17ft = 221ft2

LEY DE FOURIER. 15

L = 5in� 1ft

12in= 0;417ft

�T = (300�F � 932�F ) = �632�F

Aplicando la ecuación (2.1) se encuentra�Q = �0;15 BTU

hft2�Fft

� 221ft2 � �632�F

0;417ft= 50241;727BTU

h

2.2. La conductividad térmica.

Hasta el momento se ha descrito la conductividad térmica como una propiedad de losmateriales que resulta del modelo lineal entre el �ujo de calor y el gradiente de temperat-uras, sin embargo su signi�cado físico puede partir del concepto de temperatura, entendidacomo la magnitud que permite determinar el grado de movilidad de las partículas, poresto la conductividad térmica puede verse como una capacidad para transmitir dichamovilidad de unas partículas a otras, sin embargo éste concepto implica que la conduc-tividad térmica varíe según la naturaleza del material y la temperatura, a continuaciónse estudiarán ambos casos:

2.2.1. Variación de la conductividad térmica con la temperatura.

La conductividad térmica de los materiales varía con la temperatura pero de maneradistinta si es un sólido, líquido o un gas.

En sólidos: Para el caso de los sólidos, según [7], la conductividad térmica varía enforma lineal con la temperatura, como lo indica la ecuación 2.3.

K = K0 [1 + � (T � T0)] (2.3)

En donde:K0 es el valor de la conductividad térmica a la temperatura T0T0 es la temperatura de referencia.

LA CONDUCTIVIDAD TÉRMICA. 16

Figura 2-5 Variacion de la conductividad térmica con la temperatura para algunos sólidos

Cuadro 2.1 Valores de las constantes parala evaluación de la conductividad térmica de loslíquidos

Familia A� � � Hidrocarburos saturados 0;00350 1;2 0;5 0;167Ole�nas 0;03610 1;2 1;0 0;167Ciclopara�nas 0;03100 1;2 1;0 0;167Aromáticos 0;03460 1;2 1;0 0;167Alcoholes 0;00339 1;2 0;5 0;167

Ácidos orgánicos 0;00319 1;2 0;5 0;167

T es la temperatura a la cual se está calculando la conductividad.� es una constante dependiente del material.

Líquidos: Para los líquidos [15] indica como uno de los métodos de estimación parala conductividad térmica el de Latini.

Kliq =A (1� Tr)0;38

T16r

(2.4)

En donde: A =A�T�bPM�T c

y los parámetros A�; �; � y se muestran en la Cuadro 2.1

Tomado de [15].

En la �gura 2-6 se presenta una grá�ca de la variación de la conductividad térmicacon la temperatura para algunos líquidos.


Figura 2-6 Variación de la condictividad térmica de algunos líquidos con la temperatura

Cuadro 2.2 Valores de las constantes para la conductividad de los gasesA B C

�r < 0.5 2.702 0.535 -1.0000.5 < �r < 2.0 2.528 0.670 -1.0692.0 < �r < 2.8 0.574 1.155 -2.016

Gases: Para gases a presión atmosférica, [14] cita el método de Stiel y Thodos, el cualindica que para estimar la conductividad térmica de un gás en el sistema internacional deunidades se tiene la ecuación (2.5):

Kg = KG +A� 10�4 (exp(B�r) + C)

T16c PM

12

P23c

Z5c

(2.5)

Los valores de las constantes estan dados en la Cuadro 2.2.Tomado de: [14].

Mayor bibliogra�a sobre estimación de la conductividad térmica de los gases se puedeencoentrar en: [19],

2.2.2. Conductividades térmicas de alimentos


Según [17]. Los modelos que permiten predecir la conductividad térmica de los alimen-tos están divididos en modelos teóricos y empíricos. Los modelos empíricos relacionan ensu gran mayoría la conductividad térmica con la temperatura para algunos productos de-terminados, los teóricos relacionan la composición pero es necesario considerar una formaespecí�ca de distribución de los componentes constitutivos.Dentro de los modelos teóricosse pueden encontrar:

Modelo en serie: En este modelo los componentes forman láminas en arreglo en serie,como se estudiará en la sección 2.5.1, el valor del inverso de la resistencia corresponde ala sumatoria de los inversos de las resistencias de cada lámina. Es así como:

K =1

NXi=0

�iKi

(2.6)

Donde:Ki es la conductividad térmica de cada componente, �i es la fracción volumétri-ca de cada componente[1] recomienda este modelo para alimentos cuasihomogeneos, como proteínas, geles,

carnicol ya sean congelados o no.Modelo en paralelo: La diferencia con el anterior radica en que las capas siguen la

misma trayectoria del �ujo de calor (ver 2.5.2), de tal forma que la conductividad térmica,se puede evaluar como:

K =NXi=o

Ki�i (2.7)

Modelo aleatorio: En este se considera que varias fases dispersas se encuentrandistribuidas en una mayor. Dentro de estos modelos [17], hace referencia a entre otros a[8]. Quien combina el modelo en serie con el de paralelo de tal forma que:

1

K=

1� f(1� �)Ks + �Kg

+ f

�1� �Ks

+�

Kg

�(2.8)

Donde:Ks =

X!iKi : para todos los compuestos menos el aire.

!i : es la fracción másica de cada componente.� es la porosidad.Kg es la conductividad térmica del aire.f es el factor de distribución, cuyo valor es cero si el arreglo es en paralelo y uno en

serie.


Cuadro 2.3 Valores de las constantes para la conductividad de los gasesA1 A2 A3 A4

a 0;44735 �0;22601 �1;83405 �0;394814b 0;873233 14;3434 �0;619566 �5;44528c �0;43634 �25;5292 75;18500 53;41450d 2;18646 9;22053 53;01440 �41;87700

Para valores intermedios [13] proponen la siguiente ecuación. f = A1 +A2 (�� 0;4) +A3 (�� 0;4)2 + A4 (�� 0;4)3 con Ai = a+ b� + c�2 + d�3

Los valores de a,b,c,d están dados en la Cuadro 2.3:

Si i = 1 y 2 entonces � = X; para i = 3; � = (X � 0;25) y si i = 4 , � = (X � 0;1627)

[10], encontraron las ecuaciones que correlacionan la conductividad térmica de algunosconstituyentes de los alimentos con la temperatura, en la �gura 2-7 se presenta su com-portamiento.

Figura 2-7 Variación de la conductividad térmica con la temperatura para diferentescomponentes de los alimentos

En Colombia se han realizado algunos estudios para determinar las conductividadestérmicas de algunos alimentos como el trabajo de [16].

2.2.3. Per�l de temperaturas en una pared plana.


El per�l de temperaturas para una pared plana como la que se muestra en la �gura2-8, puede ser determinado a partir del balance de energía sobre una lámina de pared deancho �x.

Figura 2-8 Per�l de temperaturas en una pared plana.

Partiendo de la ecuación general de balance.

Entradas� Salidas+Generaci�on� Consumo = Acumulaci�on (2.9)

En donde:Entradas: dadas por el �ujo de calor

�Qx

Salidas: dadas por el �ujo de calor�Qx+�x

Acumulación: Término asociado al calentamiento interno del material, termodinámi-

camente expresado como un cambio en la entalpía1 .�Q =

mCp�T

�

Remplazando en 2.9 se tiene:

�Qx �

�Qx+�x =

�A�xCp�T

�

Rearreglando

�Qx �

�Qx+�x�x

=�ACp�T

�

1Por comodidad expresaremos la masa en términos del volumen m = �� V luego m = ��A��x


Considerando un cambio en x muy pequeño, se puede expresar como el límite cuandox tiende a cero.

l��m�x!0

�Qx �

�Qx+�x�x

=�ACp�T

�

Esto puede ser expresado como:d�Q

dx=�ACp�T

�;si la pared no acumula energía se

tiened�Q

dx= 0:

Remplazando la ecuación 2.2.

d

dx

��KAdT

dx

�= 0

Teniendo en cuenta que K y A son constantes con valores diferentes de cero se tiene

que �KAd2T

dx= 0

LuegodT

dx= C1

Resolviendo por separación de variables.

dT = C1dxZdT =

ZC1dx

T = C1x+ C2

De la �gura 2-8 se pueden tener las siguientes condiciones de frontera Tx=0 = T0 yTx=L = T1. Remplazando.

T0 = C1 (0) + C2C2 = T0

T1 = T0 + C1LC1 = � 1

L(T0 � T1)


Finalmente se tiene que el per�l de temperaturas esta dado por la ecuación:

T = � 1L(T0 � T1)� x+ T0 (2.10)

Si se compara el valor de la pendiente con la ecuación 2.1 se puede encontrar que:

T = ��Q

KA� x+ T0 (2.11)

Dicho grá�co corresponde a una línea recta como la que se muestra en la �gura:

Figura 2-9 Per�l de temperaturas para conducción.

Ejemplo 2 2: Encuentre el per�l de temperaturas para el ejercicio 2-1.Solución: Del ejercicio 2-1 se tiene:T0 = 932

�FT1 = 300

�FL = 5in = 0;417ftA = 221ft2

K = 0;15

Remplazando en la ecuación 2.10 se tiene:

T =300 �F � 932 �F

0;417 ftx+ 932 �F

Dicha ecuación corresponde a la siguiente �gura:


Figura 2-10 Per�l de temperaturas para el ejemplo 2-2

2.3. Flujo de calor en paredes compuestas.

En muchas ocasiones en la industria de alimentos es necesario encerrar espacios queaíslen muy bien un lugar del �ujo de calor externo, tal es el caso de los cuartos fríos,en donde se acostumbra colocar una pared formada de varias capas de material como lomuestra la 2-11(A), en este caso se puede observar que una sola línea de �ujo de caloratraviesa todos los materiales, a este tipo de arreglo se le denomina paredes en Serie.En otras ocasiones las capas de material son colocadas de tal forma que cada una tienesu �ujo de calor propio, como se ve en la 2-11(B), a este tipo de arreglo se le denominaParalelo.

2.3.1. Paredes en serie

Con el �n de analizar las paredes en serie se estudiará una pared compuesta por trescapas como lo muestra la siguiente �gura.

FLUJO DE CALOR EN PAREDES COMPUESTAS. 24

Figura 2-11 Esquema para paredes compuestas.

Figura 2-12 Diagrama para paredes en serie.

Como se puede observar la misma línea de �ujo de calor cruza todas las capas de lapared, por lo tanto el �ujo de calor es el mismo para todas las capas. Las ecuaciones de�ujo de calor para cada pared serán:

�Q = �K1A

�T1�x1

= �K1AT2 � T1�x1

�Q = �K2A

�T2�x2

= �K2AT3 � T2�x2

�Q = �K3A

�T3�x3

= �K3AT4 � T3�x3

Escribiendo las ecuaciones en términos de las resistencias térmicas.


�Q =

T2 � T1�x1�K1A

=T2 � T1R1

(A) :�Q =

T3 � T2�x2�K1A

=T3 � T2R2

(B)

�Q =

T4 � T3�x3�K1A

=T4 � T3R3

(C) :�Q =

T4 � T1RT

(D)

De (d) se tiene:�QRT = T4 � T1

De (c) se tiene:�QR3 = T4 � T3 !

�QR3 + T3 = T4

De (b) se tiene:�QR2 = T3 � T2 !

�QR2 + T2 = T3

De (a) se tiene:�QR1 = T2 � T1 !

�QR1 + T1 = T2

Combinando las ecuaciones anteriores se tiene:

�QR3 +

�QR2 +

�QR1 + T1 = T4

Con la ecuación del calor total (d):

�QR3 +

�QR2 +

�QR1 = T4 � T1

�QR3 +

�QR2 +

�QR1 =

�QRT

Finalmente se tiene .R3 +R2 +R1 = RT

Generalizando se puede decir que para las paredes en serie.

�Qi =

�QT (2.12)

RT =X

Ri (2.13)

Ejemplo 2 3: Una pared compuesta por 2.5 mm de acero (Kacero = 54W=mK) y 1cm de corcho (Kcorcho = 0;043W=mK) separan dos ambientes que se encuentran a 4�C y


Figura 2-13 Esquema para el ejemplo 2-3.

80�C, si el área de la pared es de 2;5m2, ¿cual será el �ujo de calor que �uye a través dela pared y la temperatura entre las láminas de metal y corcho?.

Respuesta:Como se puede observar una misma línea de �ujo de calor cruza las dos secciones de

la pared, por lo tanto se comprueba que se encuentran en arreglo en serie, para lo cual setienen las ecuaciones 2.12,2.13.Se tendrán entonces:

�QAcero =

T3 � 80�CR1

RAcero = �0;0025m

54 Wm�C � 2;5m2

= �1: 851 9� 10�5 �CW

�QCorcho =

4�C � T3R2

RCorcho = �0;01m

0;043 Wm�C � 2;5m2

= �9;302 3� 10�2 �CW

�QT =

4�C � 80�CRT

RT = RAcero +RCorcho =

�1;8519� 10�5 �CW� 9;3023� 10�2 �C

W= �9;3042� 10�2 �C

W

Por lo tanto:

�QT =

4�C � 80�C�9;3042� 10�2 �C

W

= 816;84W

Encontrando T3 con el �ujo de calor para el acero.


816;84W =T3 � 80�C

�1: 851 9� 10�5 �CW

T3 = 79;985�C

Veri�cando con la ecuación del calor para el corcho se encuentra que:

�QCorcho =

4�C � 79;985�C�9;302 3� 10�2 �C

W

= 816;84W

2.3.2. Paredes en paralelo.

En paralelo el �ujo de calor no atraviesa todas las capas sino que cada una tiene supropio �ujo de calor (ver Figura 2 14), por lo tanto el calor que pasa a través de toda lapared será la suma de cada uno de los calores.

Figura 2-14 Diagrama para paredes en paralelo.

Escribiendo las ecuaciones de conducción para cada pared y el total se tiene:

�Q1 =

T2 � T1�x1�K1A

=T2 � T1R1

(A) :�Q2 =

T3 � T2�x2�K1A

=T3 � T2R2

(B)


�Q3 =

T4 � T3�x3�K1A

=T4 � T3R3

(C) :�QT =

T4 � T1RT

(D)

Sabiendo que el calor total es la suma de cada uno de los calores se tiene:

�Q1 +

�Q2 +

�Q3 =

�QT

T2 � T1R1

+T2 � T1R2

+T2 � T1R3

=T2 � T1RT

Luego:

1

R1+1

R2+1

R3=

1

RT

En conclusión se puede decir que para las paredes en paralelo se tiene:

�QT =

X �Qi (2.14)

1

RT=

X 1

Ri(2.15)

Ejemplo 2 4: Un horno en forma de cubo como el que indica la �gura, es construidoen concreto cuya conductividad térmica es 0;81W=m�C, si la geometría y la diferencia detemperaturas están indicadas en la �gura, Encontrar el �ujo de calor que escapa por lasparedes y la resistencia total del sistema.

Respuesta: Como se puede observar en la �gura, hay una línea de �ujo de calor porcada pared del horno, lo cual corresponde al modelo presentado por las paredes en paralelo.Con el �n de realizar más fácilmente el cálculo, se desarmará el horno como lo indica laFigura 2 16.

De acuerdo a la �gura se tienen 6 paredes todas con la misma geometría, por tal razóny según la ecuación 2 14


Figura 2-15 Diagrama para el ejemplo 2-4.

�Q = 6�

�Qpared

�Qpared = �KA

�T

L

Rpared = �L

KA

Remplazando.

Rpared = �0;05m

0;81 Wm�C � (2� 2)m2

= �1;5432� 10�2 �CW

El �ujo de calor por pared es:

�Qpared =

�T

Rpared=

15�C � 120�C�1;5432� 10�2 �C

W

= 6804;0W

Luego el �ujo de calor total.�Q = 6� 6804;0W = 40824:W

De la ecuación 2.15 se tiene:1

RT= 6� 1

�1;5432� 10�2 �CW

= �388: 8W�C


Figura 2-16 Diagrama unidimensional para el ejemplo 2-4

RT = �2;572� 10�3�CW

Comprobando el cálculo del calor total.

�Qpared =

15�C � 120�C�2;572� 10�3 �C

W

= 40824:W

Todos los cálculos realizados hasta el momento consideran la transferencia de calor enparedes planas, a continuación se estudiará el caso de los cilindros huecos.


2.4. Flujo de calor en cilindros huecos.

En muchas ocasiones es necesario calcular el �ujo de calor en un cilindro hueco, comoen el caso de las tuberías. Para poder calcular este �ujo de calor es necesario acudirnuevamente a la ecuación 2 1, que tomaría la forma de la ecuación 2 15.

�Q = �KAdT

dr(2.16)

Esta expresión corresponde a la representación indicada en la siguiente �gura.

Figura 2-17 Esquema para el cilindro hueco.

Como se ve en la �gura el área de transferencia de calor esta dada por A = 2�r, luego

el �ujo de calor es�Q = �K � 2�rdT

dr

Resolviendo por variables separables:

FLUJO DE CALOR EN CILINDROS HUECOS. 32

r1Zr0

dr

r= �

T1ZT0

K � 2��Q

dT

Ln

�r1r0

�= �2�KL�

Q(T1 � T0)

�Q = �2�KL� (T1 � T0)

Ln

�r1r0

� (2.17)

El término de resistencia para los cilindros huecos es:

R = �Ln

�r1r0

�2�KL

(2.18)

2.5. Flujo de calor en esferas huecas.

Realizando un análisis similar al anterior, ver ejercicio 2, se puede encontrar que el�ujo de calor esta dada por:

�Q = �4�r0r1K (T1 � T0)

r0 � r1(2.19)

2.6. Ecuación general de conducción

La ecuación general de conducción puede ser determinada a partir de un balance deenergía sobre un volumen determinado, de la distribución geométrica de las temperaturasy puede ser elaborada en una, dos o tres dimensiones.

A continuación se presentarán los balances de energía por conducción en una y tresdimensiones.

FLUJO DE CALOR EN ESFERAS HUECAS. 33

2.6.1. Ecuación general de conducción unidimensional.

Con el �n de encontrar la ecuación general de conducción en �ujo de calor unidimen-sional, se realiza un balance de energía sobre una fracción de un bloque de materia, comose muestra en la siguiente �gura.

FIGURA

Diagrama de �ujo de calor en una pared plana.

Partiendo de la ecuación general de balance de energía se tiene:

Entradas� Salidas+Generaci�on� Consumo = Acumulaci�on (2.20)

Si los �ujos de calor de entrada y la salida son realizados por conducción entonces: el

calor que entra esta dado por la ecuación 1-2 evaluado en x�Qentra =

�Qx = �KA

dT

dxjxy

el de salida evaluado en x+�x�Qsale =

�Qx+�x = �KA

dT

dxjx+�x

Debido a que el balance está establecido sobre el elemento diferencial de�nido porel volumen V = yz�x y con �ujos de energía, se debe considerar la velocidad de calor

generado�QG =

�Q�yz�x por unidad de volumen el cual será expresado como . Finalmente

el calor �acumulado�2 es�Q = mCp

dT

d�.

Remplazando en el balance general se tiene:

�Qx �

�Qx+�x +

�QG =

�Qacum

�KAdTdx

jx ��KAdT

dxjx+�x

�+

�Q� yz�x = mCpdT

d�

Expresando la masa en términos de densidad:

�KAdTdx

jx ��KAdT

dxjx+�x

�+

�Q� A�x = �A�xCpdT

d�

2Recuerde que según la termodinámica, el calor no se acumula sino que esa energía almacenada esun cambio de entalpía denominada calor sensible.

ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN 34

Reordenando y tomando el límite cuando �x tiende a cero.

�KAdTdx

jx ��KAdT

dxjx+�x

��x

+�Q� A = �ACpdT

d�

l��m�x!0

8>><>>:�KAdT

dxjx �

��KAdT

dxjx+�x

��x

9>>=>>;+�Q� A = �ACpdT

d�

d

0@KAdTdx

1Adx

+�Q� A = �ACpdT

d�

Si la conductividad térmica y el área permanecen constantes se tiene:

KAd2T

dx2+

�Q� A = �ACpdT

d�(2.21)

Conocida como la ecuación general de conducción en una dimensión.

2.6.2. Ecuación general de conducción en tres dimensiones.

Realizando un análisis similar al anterior pero considerando entradas y salidas de caloren x; y y z, se puede encontrar que la expresión resultante es

KA

�@2T

@x2+@2T

@y2+@2T

@z2

�+

�Q� A = �ACpdT

d�(2.22)

Considerando el área constante y reorganizando la expresión puede ser escrita.

n@2T@x2

+ @2T@y2

+ @2T@z2

o+

�Q

K=

1K

�ACp

dT

d�

ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN 35

DondeK

�ACpse conoce con el nombre de difusividad térmica (�).

Según las condiciones bajo las cuales se aplique la ecuación, algunos términos de estapueden desaparecer, para el caso en el que la temperatura del alimento no cambia con eltiempo, es decir cuando el comportamiento es en estado estacionario, el término dellado derecho de la igualdad desaparece, de tal forma que la expresión es:

KA

�@2T

@x2+@2T

@y2+@2T

@z2

�+

�Q� A = 0 (2.23)

Conocida con el nombre de Ecuación de Poisson.

Si además de presentarse en estado estacionario, no hay generación de energía, laecuación es:

KA

�@2T

@x2+@2T

@y2+@2T

@z2

�= 0 (2.24)

Denominada Ecuación de Laplace.

A continuación se estudiará el �ujo de calor por conducción en estado estacionario esdecir cuando la temperatura no cambia con el tiempo.

2.7. Flujo de calor bidimensional en estado estacionario.

Para analizar el �ujo de calor bidimensional puede ser utilizada la ecuaciónn@2T@x2

+ @2T@y2

o,

sin embargo en la mayoría de las ocasiones resulta complicado resolver la ecuación difer-encial. Por esta razón se han desarrollado métodos grá�cos que permiten reducir esteproblema a un sistema unidimensional como lo muestra [7] o [6].

Este método se basa en la construcción de una malla que divide el objeto de estudio enpequeños bloques que se encuentran en arreglo en serie y paralelo, facilitando el cálculo.Para trazar la malla se seguían las siguientes pautas:

FLUJO DE CALOR BIDIMENSIONAL EN ESTADO ESTACIONARIO. 36

1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas delsistema y el �ujo de calor.

2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas.

3. Se trazan líneas de �ujo de calor perpendiculares a las isotermas.

4. Las distancias entre las líneas isotérmicas y las de �ujo de calor deben ser aproxi-madamente iguales.

Con el �n de mostrar el análisis grá�co, suponga un horno cuadrado, con un centrocilíndrico como el que se indica en la �gura 2 19.

Figura 2-18 Diagrama ejemplo para calor bidimensional en estado estacionario

Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito pararealizar la malla.

Tomando la cara frontal del horno, se seguirá el protocolo anteriormente descrito pararealizar la malla.

1. Establecer el diagrama que representa el problema indicando las temperaturas delsistema y el �ujo de calor.

2. Se trazan líneas isotérmicas paralelas a las temperaturas. Teniendo en cuenta loslugares donde se tienen las temperaturas, es de suponer que las líneas de temperaturaconstante se formarán de adentro hacia afuera, inicialmente similares a un circulo y�nalmente formando el cuadro.


Figura 2-19 Determinación del �ujo de calor.

Figura 2-20 Líneas de temperatura constante.

3. Se trazan líneas de �ujo de calor perpendiculares a las isotermas.

Por simetría se puede tomar una de las seis secciones de todo el horno.

Si en el diagrama se tienen las siguientes convenciones.�Tc es el delta de temperatura para un cuadro.�x � �y para cualquier cuadro.K es la conductividad térmica.L es el largo del horno.M número de sendas de �ujo de calor.N número de �Tc que cruzan el cuerpo.�Qc es el �ujo de calor en un cuadro.

Tomando un solo cuadro de toda la malla, se encuentra que:


Figura 2-21 Representación de las líneas de �ujo de calor.

Se puede calcular el �ujo de calor para un cuadro a partir de la ecuación 2.1, de tal

forma que se tiene�Qc = �K�xL�Tc

�y;si el diagrama cumple que �x = �y entonces

�Qc = �KL�Tc:

Como se puede ver en el diagrama, �Tc =T2 � T1N

, luego el �ujo de calor para un

cuadro puede ser escrito como.�Qc = �KL

T2 � T1N

Por otra parte, todas las sendas de calor se encuentran en paralelo, por lo tanto el �ujo

total de calor esta dado por�Qs =M

�Qcluego

�Qs =M�

��KLT2 � T1

N

�Reorganizando.

�Qs = �K

ML

N(T2 � T1)

Considerando todos los aspectos geométricos (L;M;N) y agrupándolos en un solotérmino denominado el factor de forma (S), �nalmente se tendrá la ecuación

�Qs = �KS (T2 � T1) (2.25)

Debido a que existen geometrías como las paredes, los �los y las esquinas muy comunesen la resolución de problemas en dos dimensiones, existen ya tabulados factores de formapara esas geometrías especí�cas, como se muestra en la Cuadro 2 4.

Tomado de: [7]

Ejemplo 2 5. Realice el cálculo del ejercicio 2-4, considerando �ujo de calor en las dosdimensiones.


Figura 2-22 Selección de la simetría en la elaboración de la malla para �ujo de calor en dosdimensiones.

Figura 2-23 Flujo de calor en un cuadro de a malla.

Respuesta: Retomando la geometría de la Figura 2 15, se tiene un horno de paredescuadradas, de longitud 2m y ancho 5cm. El material tiene una conductividad térmicade 0;81W=m�C, con temperatura exterior de 15�C e interior 120�C. Se puede encontrarentonces que el horno tiene 6 paredes, 12 �los y 4 esquinas.

Paredes: teniendo como base el 2.4 se puede decir que:El área de la pared esta dada por la longitud del horno, restando el área de los �los y

las esquinas:

A = (Lhorno � 4� Espesor)2A = (2m� 4� 0;05m)2 = 3;24m2


Cuadro 2.4 Factores de forma de conducción para diferentes geometríasSistema físico Pared plana Filo Esquina

Esquema

Factor de forma S =AL

S = 0;54L S = 0;15�x

RestriccionesFlujo de calorunidimensional

L >15�x

Temp. uniformesen la super�cieinterior y exterior

�x << LL es la longdde la pared

Finalmente el calor de una pared es

�Qpared = �KS (T2 � T1) = �K A

L(T2 � T1) = �0;81 W

m�C �3;24m2

0;05m� (15�C � 120�C)

�Qpared = 5511;2W

El calor por paredes:�Qparedes = 6�

�Qpared = 6� 5511;2W = 33067:W

Filos: por el 2.4 se tiene que el �ujo de calor es:�Qfilo = �K � 0;54L� (T2 � T1)

El valor de la longitud corresponde a la longitud de la arista del horno menos dosveces el espesor de una esquina.

L = Lhorno � 2� Espesor = 2m� 2� 0;05m = 1;9m

Luego el calor de un �lo es:

�Qfilo = �0;81 W

m�C � 0;54� 1;9m� (15�C � 120�C) = 87;261W

Para todos los �los:�Qfilos = 12�

�Qfilo = 12� 87;261W = 1047;1W

Esquinas: por el 2.4 se tiene que �x = 0.05 m:


Figura 2-24 Esquema de las paredes, �los y esquinas del ejemplo 2-5.

�Qesqu ina = �K � 0;15�x� (T2 � T1) = �0;81 W

m�C � 0;15� 0;05m� (15�C � 120�C)

�Qesqu ina = 0;63788W

El total de esquinas es:�Qesqu inas =

�8�Qesqu ina = 8� 0;63788W = 5;103W

El calor total es la suma del calor por paredes, �los y esquinas.

�Qtotal =

�Qparedes +

�Qfilos +

�Qesqu inas = 33067:W + 1047;1W + 5;103W = 34119:W

En comparación con el resultado obtenido del ejemplo 2-4 se tiene:

Diferencia =

��QtotalEj2�5 �

�QtotalEj2�4

�QtotalEj2�5

�� 100Diferencia =

��34119:W � 40824:W34119:W

�� 100 = 19;652%El cálculo del �ujo de calor en dos dimensiones con respecto a la primera aproximación

discrepa en un 19;6%


Ejercicios.

1. Calcular el per�l de temperaturas para una pared plana cuya conductividad térmicavaría linealmente con la temperatura.

2. Demostrar que el �ujo de calor en una esfera hueca puede ser calculado como 2.19:

3. Si se tiene una semiesfera de radio interior rint = 1 ft y exterior rext = 1.2 ft, endonde se almacena amoniaco a �15 �C. encontrar, el �ujo de calor si la conductividadtérmica es de 1.2 Btu/(h ft �F) y la temperatura exterior de la pared es de 12 �C

4. Calcular el �ujo de calor en el siguiente esquema: a = 1 m, espesor 10 cm y K = 1W/m �C. �T = 20 �C


3. CONVECCIÓN

Como se indicó en el capítulo uno la forma predominante de transferencia de calor através de medios �uidos es la convección.Este mecanismo de transferencia consiste en que cuando se tiene una diferencia de

temperatura dentro de un �uido, se produce un movimiento de partículas, las cualestambién trans�eren calor de una parte del �uido a otra, lo cual se denomina convección.Existen dos formas de convección la primera según Manuel [11], �una super�cie se pone

en contacto con un �uido a distinta temperatura se produce, en los primeros instantes,una transmisión de calor por conducción, pero una vez que el �uido en contacto con lasuper�cie modi�ca su temperatura sufre una diferencia de densidad respecto al resto del�uido, que hace que sea desplazado por éste al actuar las fuerzas gravitatorias, lo queincrementa la transferencia del calor en una magnitud muy superior al de la mera con-ducción.�A este tipo de convección se le conoce con el nombre de Convección natural.El segundo tipo de convección se diferencia en que el movimiento del �uido se debe aun mecanismo externo como agitadores, a este fenómeno se le conoce como Convecciónforzada.Debido a que la conducción es un mecanismo enteramente aplicado a los �uidos, se

tienen algunos problemas para la aplicación de la ley de Fourier como son.

¿Cómo determinar la longitud de transferencia de calor?

Si la velocidad de transferencia de calor esta determinada por el grado de movilidadde las partículas, ya no es posible aplicar el concepto de conductividad térmica.

Con el �n de superar estos inconvenientes se estableció un coe�ciente de transferenciade calor (h) denominado coe�ciente convectivo o coe�ciente de película, de forma tal quela expresión de Fourier es expresada como:

�Q = hA�T (3.1)

De tal forma que las dimensiones de h son de energía por unidad de área, tiempo ytemperatura

�E

L2�T

�Aplicando el concepto de resistencia se puede encontrar para convección su valor esta

determinado por la ecuación:

CONVECCIÓN 44

R =1

hA(3.2)

Ejemplo 3 1:Por una tubería de acero (Kacero = 26Btuhft�F ) de 2in de diámetro nominal,

circula vapor saturado a una temperatura de 300oF . Si el tubo está recubierto con 0;5in deaislante para tubería (Kaislante = 0;051

Btuhft�F ) y la temperatura del ambiente es de 70

oF .Encuentre las pérdidas de calor por pie de tubería y la temperatura sobre el aislante, siel coe�ciente convectivo del aire tiene la siguiente expresión h = 1;13 (T3 � T1)0;13Nota: Considere que la temperatura del vapor es igual a la temperatura interna de la

tubería,

Respuesta: Para una tubería de acero de 2inde diámetro nominal se encuentra en latabla 11 de la [9] que DI = 2;067in, DE = 2;38in, si el espesor del aislante es de 0;5inentonces DT = 3;38in:

Analizando el sistema se encuentra que la tubería, el aislante y el aire se encuentrenen serie detal forma que:

�QT =

�Qtuberia =

�Qaislante =

�Qaire

�QT =

�T

RT=

�T

Rtuberia +Raislante +Raire

�Qtuberia =

T2 � T1Rtuberia

;�Qaislante =

T3 � T2Raislante

;�Qaire =

T1 � T3Raire

CONVECCIÓN 45

Rtuberia =log�DEDI

�2�KtuberiaL

;Raislante =log�DTDE

�2�KaislanteL

;Raire =1

hA

Remplazando los valores dados en el enunciado se encuentra que:

Rtuberia =log�2;38in2;067in

�2� � � 26 Btu

hft�F � 1ft= 8;631 2� 10�4 h�F

Btu

Rtuberia =log�3;38in2;38in

�2� � � 0;051 Btu

hft�F � 1ft= 1;094 7h

�FBtu

Finalmente remplazando en las ecuaciones de transferencia de calor se tiene:h = 1;13 (T3 � T1)0;13 [1]

Raire =1

hA=

1

h� 0;8848ft2 [2]

�Qtuberia =

T2 � 300�F8;631 2� 10�4 h�F

Btu

[3]

�Qaislante =

T3 � T21;094 7h

�FBtu

[4]

�Qaire =

70�F � T3Raire

[5]

�QT =

�Qtuberia =

�Qaislante =

�Qaire [6]

De acuerdo a lo anterior se tiene un sistema 6 ecuaciones con 6 variables, lo queindia que es un sistema que tiene solución, sin embargo debido a la naturaleza de lasecuaciones, es difícil aplicar los métodos tradicionales de resolución. Cuando se tienensistemas de ecuaciones con estas características se pueden aplicar varios métodos dentrode los cuales están:

� Ensayo y error

� Grá�co.

Resolución por ensayo y error:Por este método se puede seguir el siguiente protocolo de cálculo.

1. Suponer T3.

2. Calcular el coe�ciente convectivo de calor h .

3. Calcular RAire.

4. Encontrar QAire.

5. Encontrar T2

CONVECCIÓN 46

3.1. Determinación del coe�ciente convectivo.

Como se indico anteriormente el coe�ciente convectivo dependerá del tipo de �uido,es decir de sus propiedades como densidad (�), viscosidad (�), capacidad calorí�ca (Cp) yconductividad térmica (K), también será función de la geometría mediante una longitudcaracterística (L) y la el movimiento del �uido con una velocidad (V ).

De tal forma que h = f (V; �; Cp; L;K; �), si se realiza una combinación de estasvariables se puede generar la siguiente expresión.

h = V a � �b � Cpd � L� �Kf � �g (3.3)

Remplazando las dimenciones de cada variable:

EL2�T

=�L�

�a � �ML3

�b � � EMT

�d � L� � � ELT�

�f � � mL�

�gAgrupando por dimensiones se tiene:

� : �1 = �a� f � g [1]

E : 1 = d+ f [2]

L : �2 = a� 3b+ �� f � g [3]

M : 0 = b� d+ g [4]

T : �1 = �d� f [5]

Del anterior sistema de ecuaciones se encuentra que tiene 5 ecuaciones de las cuales 4son linealmente independientes y 6 incógnitas, luego es necesario establecer dos variablespara poder encontrar una solución.

Tomando a y f como los valores �jos se puede encontrar que:

De [1] g = 1� f � a [6]

De [2] d = 1� f [7]

Remplazando [6] y [7] en [4]se tiene: 0 = b� a;luego b = a [8]

DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CONVECTIVO. 47

De [3] se tiene � = a� 1

Remplazando los valores en la ecuación 3.3 se tiene:

h = V a � �a � Cp1�f � La�1 �Kf � �1�f�a

Agrupando por exponentes se tiene:

hL

K=

�V �L

�

�a��Cp�

K

�1�fSi la longitud característica es equivalente al diámetro (D)

hL

K=

�V �L

�

�a��Cp�

K

�1�f(3.4)

En la ecuación 3.4 se pueden reconocer tres números adimensionales

Nussel: Nu =hL

K, Reynolds Re =

V �L

�; , Prandtl: Pr =

Cp�

KPartiendo de la ecuación 3 3, varios trabajos han desarrollado expresiones que son

ampliamente referenciada para calcular el número de Nussel, como las citadas en [7] y [6],a continuación se presentarán algunas.

3.1.1. Modelos para la determinación del coe�ciente convectivo en convección forzada.

Los modelos más usados para el Nu se encuentran para el �ujo turbulento dentro detubos lisos, algunas correlaciones para el cálculo de Nu con porcentajes de error varíanentre +25 y �40% son:

� Dittus y Boelter. ([6])

Nu = 0;023Re0;8 Pr0;4para calentamiento.

Nu = 0;023Re0;8 Pr0;3para enfriamiento.

Debido a que la viscosidad dentro del �uido cambia con la temperatura, existen otrasexpresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto.

� Colburn. ([6])


Nu = 0;023Re0;8 Pr13

Debido a que la viscosidad dentro del �uido cambia con la temperatura, existen otrasexpresiones que introducen un término que permite evaluar dicho efecto.

� Seider y Tate: ([7])

Nu = 0;023Re0;8 Pr13

��w

�0;14Donde: �w; es la viscosidad a la temperatura de la pared del tubo.

� Petukhov: ([7]): se encuentra dentro de las correlaciones con rangos de error máspequeños de cerca del 5%

Nu =

f

8RePr

1;07 + 12;7

rf

8

�Pr

23 �1

� � ��w�0;14

para calentamiento.

Nu =

f

8RePr

1;07 + 12;7

rf

8

�Pr

23 �1

� � ��w�0;25

para enfriamiento.

Nu =

f

8RePr

1;07 + 12;7

rf

8

�Pr

23 �1

� para �ujo de calor constante o en gases.Donde:f = (1;82 log10Re�1;64)

�2

Según [7] dicha expresión debe ser trabajada dentro de los siguientes rangos:

0;08 � �

�w� 40

5� 103 � Re � 1;25� 105

2 � Pr � 140

Para convección en �ujo laminar se ha encontrado expresiones como:

� Hausen ([6])


Nu = 3;66 +0;0668

�dL

�RePr

1 + 0;04��

dL

�RePr

� 23

� Seider y Tate: ([7])

Nu = 1;86 (RePr)13�dL

� 13

��

�w

�0;14Donde:

L es la longitud de la tubería.

D es el diámetro de la tubería.

Otros modelos se pueden encontrar en:

� Calculation of the individual heat transfer coe¢ cient.http://www.livstek.lth.se/People_list/ulfb/b9_heat.htm

� Forced Convection and Natural Convection Equationshttp://lyre.mit.edu/3.185/2001/handout-nusselt.doc

3.1.2. Modelos para la determinación del coe�ciente convectivo en convección natural.

A diferencia de la convección forzada el número de Nussel en la convección natural esfunción del número de Grashof (Gr) y Prandtl (Pr), de forma tal que la expresión generales: Nu = C � (Gr � Pr)m

Como lo indica [6], los modelos para el cálculo del número de Nussel dependen en granmedida de la geometría del sistema, en la tabla 7.1 del mismo libro se indican los valoresde C y m para diferentes geometrías y valores de Gr y Pr.

Ejemplo 3 2: Con el �n de preparar una salmuera, como líquido de gobierno de unenlatado, se calientan 40kg=s de agua desde 5�C hasta 80�C, haciéndola pasar a travésde un tubo de cobre de 5cm de diámetro interior. Si la temperatura de la pared del tuboes de 90�C y se mantiene constante ¿Cuál será la longitud del tubo?Solución:Organizando la información del ejercicio se tiene que:


�M = 4 Kg/s.D = 5 cm = 0.05 mFluido = agua.Tfin = 80�CTini = 5�CTw = 90�C

Debido a que el agua cambia de temperatura a lo largo de la tubería, es necesariocalcular la temperatura promedio.

T =Tini + Tfin

2=80�C + 5�C

2= 42;5�C

Con el �n de determinar los valores de Re y Pr se determinan las propiedades físicasdel agua a la temperatura promedioDensidad: Para encontrar el valor de la densidad del agua se puede acudir a las tablas

de vapor en donde se tabula el volumen especí�co para el agua a diferentes temperaturas.De Smith, Van Ness, Abbott. 2000. el volumen especí�co es de 1;0085cm3=gr es decir� = 0;9915gr=cm3 o 991;5Kg=m3.

Conductividad térmica: El mismo libro indica que el cambio de la conductividad tér-mica del agua con respecto a la temperatura se puede expresar como:

K = �3;838� 10�1 + 5;254� 10�3 � T + 6;09� 10�6 � T 2

Donde:K: es la conductividad térmica W/(m K)T: es la temperatura en K.

K = �3;838� 10�1 + 5;254� 10�3 � (42;5 + 273;15) + 6;09� 10�6 � (42;5 + 273;15)2

K = 1;8814 WmK

Capacidad calorí�ca: Tomando la expresión de la capacidad calorí�ca de S Smith, VanNess, Abbott. 2000 se tiene que:

Cp

8;314 JmolK

= 8;712 + 1;25� 10�3 � T � 0;18� 10�6T 2

Cp = 8;314 JmolK

��8;712 + 1;25� 10�3 � (315: 65)� 0;18� 10�6 (315: 65)2

�Cp = 75;563 J

Kmol� 1mol

18g= 4;1979 J

Kg


Viscosidad: Según Smith, Van Ness, Abbott. 2000, la expresión de la viscosidad parael agua es:

log (�) = �24;71 + 4;209� 103

T+ 4;527� 10�2T � 3;376� 10�5T 2

log (�) = �24;71 + 4;209� 103

(315;65)K+ 4;527� 10�2 � (315;65)� 3;376� 10�5 � (315;65)2

log (�) = �0;44981

� = 0;63775cP = 0;063775Kgms

Para calcular la velocidad de �ujo se recurre a la ecuación de continuidad�M = A �

V � �: Luego V =�M

A� �

V =40Kg

s

� � (0;05m)2

4� 991;5Kg

m3

= 20;546m

s

Calculando el Re Re = DV ��=

0;05m�20;546m

s�991;5Kg=m3

0;063775Kgms

= 15971:

Re > 10000 el �ujo es turbulento.

Calculando Pr: Pr = Cp�K=

4197;9 JKgK

�0;063775Kgms

1;8814 JsmK

= 142;30

Tomando la expresión de Dittus y Boelter, para calentamiento: Nu = 0;023Re0;8 Pr0;4,se encuentra que:

Nu = 0;023 (15971:)0;8 (142;30)0;4 = 385;19

Sabiendo que: Nu = hDK, entonces: h = K�Nu

D

h =1;8814 W

mK� 385;19

0;05m= 14494

W

Km2

Realizando un balance de energía se encuentra que a perdida de calor sensible dellíquido debe ser igual al calor retirado por convección.

M � Cp��t = hA�T


40Kgs� 4;1979 J

Kg�C � (80�C � 5�C) = 12594;0J

s

hA�T =12594;0J

s

14494 JsKm2 � ((90 + 273;15)K � (42;5 + 273;15)K)

= 1;82287� 10�2m2

Si el área de transferencia de calor se puede determinar como: A = 2�rL , se encuentraentonces que:

2��0;05m2

�L = 1;82287� 10�2m2

L = 0;116m


4. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ES-TADO ESTACIONARIO

Partiendo de los conceptos de conducción y convección tratados anteriormente, sepresentarán a continuación algunos casos para los cuales se requiere el estudio de los dosmecanismos de transferencia de calor simultáneamente, cuando el proceso se lleva a caboen estado estacionario, en el capitulo 5 se abarcaran los casos para sistemas en los cualesla temperatura cambia con el tiempo.

4.1. Cálculo del espesor óptimo para un aislante de tu-

bería.

En muchas ocasiones el la practica de ingeniería es necesario calcular el espesor de unaislante para recubrir una tubería, tal es el caso cuando se necesita llevar vapor desde lacaldera hasta el autoclave por ejemplo.

Para poder realizar este cálculo se hará el siguiente análisis:

Las pérdidas de calor en términos generales puede ser expresada por la ley de Fourier,la cual indica que el �ujo de calor es directamente proporcional a la conductividad termina,a la diferencia de temperaturas, al área de transferencia pero inversamente al recorridodel �ujo de calor.

Sin embargo para el caso del aislante entre mayor sea el espesor, mayor será el áreaexpuesta al aire, de tal forma que se puede intuir, que existen valores para el radio externodel aislante que lejos de disminuir la perdida de calor, logran el efecto totalmente contrario.

Con el �n de realizar un análisis que permita dilucidar algún valor para el radio externose tomara el caso mostrado en la �gura.

Donde:

CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO 54

Figura 4-1 Esquema para el análisis del espesor para una tubería.

T1 Es la temperatura del aire.T1 Es la temperatura del interior de la tubería.rExt Es el radio externo del aislante.rInt Es el radio interno del aislante o el radio externo de la tubería.Q Es el �ujo de calor

Para este caso la pérdida de calor esta dada por dos mecanismos, la conducción en la tu-

bería y el aislante, cuyo �ujo de calor se puede calcular como:�Q = �2�KL� (T1 � T0)

Ln

�r1r0

� ;para

la convección el �ujo de calor es:�Q = hA�T .

Como se ve en la �gura el �ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislantetérmico y con la del aire luego:

Como se ve en la �gura el �ujo de calor de la tubería esta en serie con la del aislantetérmico y con la del aire luego:

CÁLCULO DEL ESPESOR ÓPTIMO PARA UN AISLANTE DE TUBERíA. 55

�QTotal =

�QTub =

�QAis =

�QAire

RTotal = RTub +RAis +RAire

Finalmente si se compara la conductividad térmica de la tubería con la del aislante,se pude decir que KTub >> KAis, luego RTub << RAis, luego la resistencia total se puedeexpresar como: RTotal = RAis +RAire

El problema se reduce entonces a calcular determinar el RExt que reduce al mínimolas perdidas de calor.

Tradicionalmente este problema se ha analizado desde el punto de vista contrario, esdecir, que radio produce la mayor pérdida de calor, de esta forma se estará estableciendoun parámetro que indica cual es el peor espesor del aislante que se puede utilizar.

Para hacer este análisis se puede estudiar directamente el valor de la resistencia totaldel sistema, ya que el mínimo valor de la resistencia, arrojara el máximo �ujo de calor.

El mínimo valor de la resistencia se calcula como sé realiza tradicionalmente en cálculo,determinando el cambio de la resistencia con respecto al rExt y luego igualándolo acero.dRTotaldrExt

= 0

Luego:

RTotal =

Ln

�r

r0

�2�KL

+1

2h�rL

Derivando

d

0BBBBBBB@log

�r

r0

�2�KL

+1

2h�r

1CCCCCCCAdr

= 12�KLr

� 12�hLr2

BUscando el mínimo:1

2�KLr� 1

2�hLr2= 0

Finalmente : r =K

h

Sin embargo hasta el momento se ha acotado el valor del radio de forma tal que se tieneel criterio sobre cual es el radio que no se debe usar ya que causa las mayores pérdidas decalor.


Pero cual es el criterio para determinar el radio óptimo de aislamiento. Las razonespara su de�nición son principalmente de índole económico. En todos los procesos de pro-ducción existen los costos �jos y variables. Los primeros son aquellos que no dependendel volumen de producción, como la depreciación de quipos, los costos variables si depen-den del volumen de producción, como ejemplo se puede indicar los costos dados por elconsumo de combustible para la producción de vapor de esterilización.

En la �gura 4-2 se presenta un esquema del comportamiento de los costos con respectoal radio exterior del aislante.

Figura 4-2 Comportamiento de los costos con respecto al radio externo del aislante.

De acuerdo con la �gura anterior el radio que se debe elegir para el aislamiento de latubería debe ser aquel que produzca los menores costos.


4.2. Super�cies extendidas o aletas.

En algunas ocasiones existen equipos de transferencia de calor que necesitan grandesáreas de transferencia pero que deben ocupar poco espacio. Para poder resolver este tipo deinconvenientes, se diseñaron dispositivos encargados de aumentar el área de transferenciade calor los cuales son llamados super�cies extendidas o aletas.

Las aletas que con mayor facilidad se recuerdan son las de los radiadores para calen-tamiento de ambientes 4-3

Figura 4-3 Radiador para ambientes

Tomado de: http://www.icanpuig.com/calefaccions.htm

Tipos de aletas:Las aletas se pueden dividir así:

Aletas longitudinales: aquellas que tienen el mismo sentido que la tubería.4-4(A)

Aletas Transversales: aquellas que forman un ángulo de 90 grados con respecto ala tubería. 4-4(B)

SUPERFICIES EXTENDIDAS O ALETAS. 58

Figura 4-4 Esquema para el tipo de aletas. (A) longitudinales. (B) transversales.

Aletas de área variable: Mantienen tanto el espesor como su longitud constantes4-4 (A)

Aletas se área variable: O el espesor o la longitud cambian. 4-4 (B)Para calcular el �ujo de calor en una aleta es necesario realizar un balance de energía

diferencial a lo largo de ésta.

Partiendo del balance general y asumiendo estado estacionario, se encuentra que:�Qentrada =

�Qsalida

Si el calor de entrada es,�Qentrada =

�Qx y el calor de salida

�Qsalida =

�Qx+�x

Luego el balance puede ser escrito como:�Qx =

�Qconvecci�on +

�Qx+�x

Si el calor por conducción esta dado por la ecuación 3.1, y el area de transferencia decalor es A = P ��x:se encuentra que

�Qconvecci�on = �h� P ��x� (T1 � T )

Remplazado en la ecuación de balance:

�Qx = �h� P ��x� (T1 � T ) +

�Qx+�x

�Qx �

�Qx+�x = �h� P ��x� (T1 � T )


Figura 4-5 Balance de energía para una aleta.

Pasando �x al lado izquierdo y tomando el límite cuando tiende a cero, se tiene:

l��m

��Qx+�x �

�Qx

��x

= h� P � (T1 � T )

d�Q

dx= h� P � (T1 � T )

Como�Q entra y sale por conducción

d��

�KAdTdx

�dx

= h� P � (T1 � T )

La anterior ecuación determinará el per�l de temperaturas para una aleta con cualquiertipo de geometría.En el caso de una aleta con área constante como en la4-4 (A), se puede encontrar que:

KAd2T

dx2= h� P � (T � T1) (4.1)


Slucionando el per�l de temperaturas para en aleta de area cosntante como en la �gura4-6, se tiene:

Figura 4-6 Esquema para una aleta con área constante.

La ecuación 4.1 se puede expresar de la siguiente forma:

KAd2�

dx2= h� P � �

Donde: � = T � T1

La ecuación tiene la solución general de la siguiente forma:

� = C1 exp�

1AKxpAKPh

�+ C2 exp

�� 1AKxpAKPh

�o

� = C1 exp�xq

PhAK

�+ C2 exp

��xq

PhAK

�Y por ser una ecuación de segundo orden las constantes deben estar de�nidas por dos

condiciones, el la literatura normalmente se reconocen tres casos típicos para aletas, loscuales se explicarán a continuación.

CASO I.

Este caso supone que la longitud de la aleta es in�nita, lo cual implica en la prácticaque el espesor de la aleta es muy pequeño en comparación a su longitud (L1 << L)y quelas temperaturas son: T jx=0= T0 y T jx=L= T1:Ver Ejemplo 1.


Con el �n de calcular C1 y C2 es necesario remplazar las condiciones, de la siguienteforma:Para x =1

(T1 � T1) = C1 exp�1q

PhAK

�+ C2 exp

��1

qPhAK

�(T1 � T1) = C1 exp

�1q

PhAK

�Luago C1 = 0

De la segunda condición se puede encontrar que: x = 0

(T0 � T1) = C2 exp��0q

PhAK

�C2 = T0 � T1

Finalmente:

(T � T1)(T0 � T1)

= exp

�xrPh

AK

!(4.2)

CASO II.

Este caso supone que la longitud de la aleta es �nita, pero se espera que el área rayada

en la �gura 4-7, no sale �ujo de calor por conducción, es decir�Q = �KAdT

dxjx=L= 0, para

lo cual se requiere que dTdxjx=L= 0

Figura 4-7 Representación del esquema de la aleta para el caso 2.


Partiendo de estas condiciones de frontera se puede establecer por un procedimientosimilar al anterior que la expresión del per�l de temperatura esta determinada por:

(T � T1)(T0 � T1)

=exp

�xp

PhAK

�1+exp

�Lp

PhAK

� + exp��xp

PhAK

�exp

��2p

PhAK

�+1

Que puede ser expresada como:

(T � T1)(T0 � T1)

=cosh

�qPhAK(L� x)

�cosh

�qPhAKL� (4.3)

CASO III.

El caso tres es el que se aproxima más a la realidad, ya que supone que en la paredrallada de la �gura 4-7, el �ujo de calor por conducción se iguala al �ujo de calor por

convección, de tal forma que:�Q = �KAdT

dxjx=L= �hA (T1 � T )

El per�l de temperaturas está dado entonces por:

(T � T1)(T0 � T1)

=

cosh�q

PhAK(L� x)

�+

�hpPhAK

K

�sinh

�qPhAK(L� x)

�cosh

�qPhAKL�+

�hpPhAK

K

�sinh

�qPhAKL� (4.4)

Partiendo de los tres casos anteriores es posible evaluar el �ujo de calor disipado poruna aleta, de dos formas diferentes:La primera reconoce que el calor que disipa una aleta, entra por conducción en el

extremo donde x = 0, luego el calor total es:�Q = �KAdT

dxjx=0

La segunda forma consiste en indicar que todo el �ujo de calor que disipa una aletaes liberado por convección, luego será la suma de todos los �ujos de calor por convección

en la super�cie de la aleta:�Q =

R x=Lx=0

�hP (T1 � T ) dx.

A continuación se realiza el procedimiento para el caso I por ambos métodos.

Caso I.

Partiendo de la ecuación4.2 se puede decir que


T = (T0 � T1)�

T1T0�T1 + e

�xp

1AK

Ph�

Si se asume que :�Q = �KAdT

dxjx=0y m =

qhPAK

d�(T0 � T1)

�T1

T0�T1 + e�xm

��dx

= mT1e�mx �mT0e�mx

Evaluado en x = 0 se tiene:dT

dxjx=0= mT1 �mT0

Por tanto:�Q = �KA

qPhAK(T1 � T0) o

�Q = �

pKAPh (T1 � T0)

Mediante el segundo procedimiento se tiene que:

�Q =

R10�hP

�T1 � (T0 � T1)

�T1

T0�T1 + e�xp

1AK

Ph��dx

�Q =

R10�hP

�T1 � (T0 � T1)

�T1

T0�T1 + e�xm

��dx

�Q = hP (T0 � T1)

R10e�mx dx

�Q = hP (T0 � T1)

�� 1m

�(e�m1 � e�m0)

�Q = hP (T0 � T1)

�� 1m

�(�1)

�Q = hP (T0 � T1)

�1pPhAK

��Q = hP (T0 � T1)

qKAPh

�Q =

phpKA (T0 � T1)

Finalmente se encuentra que de ambas formas:

�Q =

phpKA (T0 � T1) (4.5)

Por cualquiera de los procedimientos anteriores pero para los casos II y III se encuentraque:Caso II.

�Q =

phPKA (T0 � T1) tanh (mL) (4.6)

Caso III


�Q =

phPKA (T0 � T1)

"sinh (mL) + h

mKcosh (mL)

cosh (mL) + hmK

sinh (mL)

#(4.7)

Con el �n de evaluar la e�ciencia de la aleta se establece la siguiente relación:

� =Calor real transferido por la eleta

Máximo calor transferido por la aleta

En donde el calor real es determinado por las ecuaciones 4.5, 4.6 y 4.7, que estánsoportadas sobre el per�l de temperaturas y el calor máximo se encontrara cuando la todala super�cie de la aleta este a la temperatura T0, ya que la diferencia de temperaturas en

todos los puntos será la mayor que se puede tener.�Qm�ax = hPL (T0 � T1)

Por tanto para cada caso se tiene:Caso I.

� =

phPKA (T0 � T1)hPL (T0 � T1)

=q

KAhPL2

Caso II

� =

phPKA (T0 � T1) tanh

�qhPKAL�

hPL (T0 � T1)=q

AKL2Ph

tanh�Lq

1AKPh�

Caso III

� =

phPKA (T0 � T1)

�sinh

�phPAK

L�+ hmK

cosh�p

hPAK

L�

cosh�p

hPAK

L�+ hmK

sinh�p

hPAK

L��

hPL (T0 � T1)=

1qhPAKL

264sinh�q

hPAKL�+ h

mKcosh

�qhPAKL�

cosh�q

hPAKL�+ h

mKsinh

�qhPAKL�375

Para analizar cada uno de los modelos y compararlos entre sí, se pueden realizar losper�les de temperatura para cada caso, variando la longitud de la aleta, que se encuentraen la �gura 4-8.

Del análisis de las gra�cas anteriores se puede encontrar que:


Cuadro 4.1 Per�les de temperatura para diferentes relaciones de longitud/espesor para aletas

L1 = 0;002m L = 0;002m

Caso I Caso II Caso IIIQ =208;7W � = 26;06 Q =76;4W � = 0;95 Q = 83;2W � = 0;95

L1 = 0;002m L = 0;002m


L1 = 0;002m L = 0;02m



Figura 4-8 Representación esquematica para la comparación de los per�les de temperaturaen una aleta.

o De�nición de una aleta in�nita: Como se puede ver en la tabla los per�les detemperatura para el caso I solo se parece al caso III (El caso más real), cuando la alturaL1 de 0.002 m es 80 veces más pequeño que el largo, con lo cual se puede determinar uncriterio para la de�nición de una aleta in�nita.o Flujo de calor para cada caso: Para el caso I el �ujo de calor siempre es el

mismo, ya que al considerar longitudes in�nitas, no se tiene realmente encuenta el efectode la longitud sobre el calor disipado. Los casos II y III se diferencian en considerar latransferencia de calor por convección en el área rayada, la cual sera depreciable cuantomayor longitud tenga la aleta, por tal razon a longitudes altas, el �ujo de calor para estosdos casos se iguala (�gura E).o E�ciencia de la aleta para el caso cero: Se puede ver que para las tres ultimas

�guras el valor de la e�ciencia es máyor de 1, para el caso I, sin embargo al ver losper�les de temperatura estos distan mucho de los modelos que más se aproximan a larealidad.o Relación de la e�ciencia y la longitud: Comparando los valores de las e�ciencias

con respecto a la longitud de la aleta, se encuentra que al aumentar la longitud, disminuyeel valor de la e�ciencia, esto debido a que se tendrá una mayor área para la aleta querealmente no está trans�riendo un �ujo de calor importante debido la poca diferencia detemperatura que hay con el ambiente. Esto se puede observar claramente en el per�l E,donde a partir de una longitud de 0.12 m, la temperatura de la aleta es prácticamente ladel ambiente.Con los modelos también se puede analizar el efecto del valor de la relación entre la

conductividad térmica y el coe�ciente convectivo, como se muestra en la siguiente tabla.

Figura


Del análisis de las gra�cas anteriores se puede encontrar que:o Descenso en la temperatura: en la grá�ca A todos los per�les de temperatura

coinciden, esto debido a que al tener una conductividad térmica muy baja, el calor quepierde por conducción es mucho mayor que el se puede transmitir al interior de la aleta,de tal forma que la longitud poco importa.o Comparación de los per�les: Se puede observar que a medida que aumenta el valor

de la conductividad térmica, los per�les de cada uno de los casos discrepan más, en especialel caso I del II y III. Eso se puede explicar debido a que con conductividades térmicasaltas, el calor por conducción es mucho mayor al que se puede disipar por convección.o E�ciencia: Al aumentar la conductividad térmica, la e�ciencia aumenta ya las

temperaturas en la super�cie de la aleta serán más cercanas al To y por ende el calor seacercara al máximo calor que se puede disipar.


5. CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REG-

IMEN NO ESTACIONARIO

En algunas ocasiones, como se indicó anteriormente la transferencia de calor implicaun cambio en la temperatura de los alimentos o materiales con el tiempo, como es el casode la esterilización de alimentos en un autoclave o la evaporación o concentración en unamarmita.

En este capitulo se estudiará básicamente los per�les de temperatura que se puedenobtener al interior de un alimento durante un tratamiento térmico.

5.1. Determinación del per�l de temperaturas de un al-imento.

Con el �n de establecer la variación de la temperatura al interior de un alimento, quese encuentra en un ambiente cuya temperatura es constante, se debe acudir a la ecuación

general de balance de energía.2.22. Teniedo encuenta que el termino de�Q � A = 0;se

tiene:

KA

�@2T

@x2+@2T

@y2+@2T

@z2

�= �ACp

dT

d�(5.1)

Haciendo el análisis para solo una dimensión espacial y la temporal se encuentra que

�d2Tdx2

=dT

d�

Dicha ecuación diferencial puede ser solucionada para el caso de una placa calentadao enfriada, como la mostrada en la �gura 5-1, mediante la siguiente expresión 5-3

CONVECCIÓN Y CONDUCCIÓN EN REGIMEN NO ESTACIONARIO 69

Figura 5-1 Esquema para una placa calentada por convección.

T � T1Ti � T1

=1Xn=1

e��2nFo2 sin (�n) cos

��n�xL

��n + sin (�n) cos (�n)

(5.2)

Donde:

Los valores de �n están determinados por la expresión. cot (�n) =�nhLK

=�nBi

Fo es el número de FourierT es la temperatura evaluada en cualquier punto al interior del alimento y en cualquier

tiempo.T1 es la temperatura del medio.Ti es la temperatura inicial de la placa.X es la posición al interior del la placa.Lc es la la distancia del centro a la super�cie de la placa.

Como se presenta en múltiples libros de transferencia de calor, (Karlecar y Manrique)se pueden determinar los valores de �n, encontrando los puntos de corte entre las siguientes

dos funciones, G (�n) = cot (�n) y F (�n) =�nBi, como se muestra en la siguiente �gura:

DETERMINACIÓN DEL PERFIL DE TEMPERATURAS DE UN ALIMENTO. 70

Figura 5-2 Determinación de los valores de �n para diferentes valores de Bi.

De la �gura se pueden encontrar que:1. Los valores de � aumentan a medida que aumenta n de tal forma que: �1 < �2

< �3 < �4 < . . . .2. En la medida en que Bi tiende a cero, los valores de �1 tienden a cero.

Para estudiar la forma del per�l de temperaturas con respecto al número de Biot, sepuede establecer la relación , la cual muestra diferencia de temperaturas entre la super�ciede la placa y el medio, con respecto a la temperatura en el centro de la placa y el medio,partiendo de la 5.2 se puede establecer que:

TL;� � T1T0;� � T1

=

1Xn=1

e��2nFo

2 sin (�n) cos (�n)

�n + sin (�n) cos (�n)1Xn=1

e��2nFo

2 sin (�n)

�n + sin (�n) cos (�n)

(5.3)

Para calcular los valores de la ecuación 5.3 para diferentes valores del número de Biot,


se puede realizar una aproximación con los primeros cinco valores de la serie, los valoresde � se encuentran en la tabla .

De la �gura 5-3 se puede encontrar que el cambio entre la temperatura super�cial y ladel centro para valores de Bi menores a 0.1, son inferiores al 5%, lo cual demuestra queno hay un cambio signi�cativo en las temperaturas al interior de la placa, por el contrariocuando el número de Biot tiende a in�nito la diferencia interna de temperaturas es muyalta en comparación de la diferencia entre la temperatura super�cial y la del medio.

Figura 5-3 Valores de la ecuación 5.3 para diferentes números de Biot

Del análisis anterior se puede que el parámetro más importante para de�nir el per�lde temperaturas dentro de un alimento es el número de Biot.Para interpretar mejor el concepto del número de Biot, se puede estudiar el balance de

energía, sobre la super�cie de un alimento, el cual indica que le calor que entra o sale delalimento por convección debe ser igual al que se transmite por conducción en la super�ciedel mismo, como lo indica la siguiente ecuación:

hA (T1 � T ) = KA�T

L(5.4)

Donde:�T es le cambio de temperatura al interior del alimento.


Cuadro 5.1 Valores de lamda para diferentes números de BiotBi �1 �2 �3 �4 �5

0,0000125 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 12,64530,000025 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 12,60600,00005 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 12,58230,0001 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 12,57430,0025 0,2218 3,1574 6,2911 9,4301 12,57030.005 0,1575 3,1495 6,2872 9,4274 12,56840.01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 12,56720,025 0,0707 3,1432 6,2840 9,4253 12,56680,05 0,0500 3,1424 6,2836 9,4250 12,56660,1 0,0100 3,1416 6,2832 9,4248 12,56640,2 0,0071 3,1416 6,2832 9,4248 12,56640,5 0,0050 3,1416 6,2832 9,4248 12,56641 0,0035 3,1416 6,2832 9,4248 12,56645 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 12,935210 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 13,214220 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 13,542050 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 13,8666100 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 13,9981200 1,5630 4,6889 7,8149 10,9409 14,0669500 1,5677 4,7030 7,8383 10,9736 14,10901000 1,5692 4,7077 7,8461 10,9846 14,12302000 1,5700 4,7100 7,8501 10,9901 14,13015000 1,5705 4,7114 7,8524 10,9934 14,134310000 1,5706 4,7119 7,8532 10,9945 14,135850000 1,5708 4,7123 7,8538 10,9954 14,1369


A el área super�cial del alimento.h es el coe�ciente convectivo del medio de calentamiento o enfriamiento.K la conductividad térmica del alimento.L el recorrido del �ujo de calor dentro del alimentoT es la temperatura del alimento.T1 es la temperatura del medio.De la cual se puede encontrar la relación entre el cambio en la temperatura interna

del alimento con respecto a la diferencia de temperaturas entre el medio y la super�cie

(T1 � T ); que esta relación puede ser expresada comoLh

K=

�T

(T1 � T ):El término de la

izquierda es número de Biot.Retomando lo estudiando hasta el momento, dependiendo del número de Biot, se

tendran procesos en los que el alimento no presente un per�l de temperatura en su interiory otros en los cuales si se encuentren cambios importantes.

5.1.1. Procesos para números de Biot menores a 0.1

Cuando no existen per�les de temperatura se encuentra que todo el calor que llegapor convección es transformado en calor sensible, como lo indica la siguiente expresión.

mCpdT

d�= hA (T1 � T ) (5.5)

La expresión se puede escribir como: mCpdTd�+ hA (T � T1) = 0

Realizando un cambio de variable de forma tal que (T � T1) = �:por ende mCpd�d� +hA� = 0

Bajo la condición que � = 0; � = �0

Separando variables se tiene:d�

�= � hA

mCpd� cuya solución es: � = C1e

�hA�

mCp Rem-

plazando la condicion inicial �0 = C1:

Finamente se encuentra que�

�0= e

�hA�

mCp en terminos de la temperatura.

(T � T1)(T0 � T1)

= e�hA�

mCp (5.6)


Cuadro 5.2 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en unadimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas

Sistema Coordenado Ecuación diferencial

Cartesianas KAn@2T@x2

o= �ACp@T

@�

Cilíndricas KA�1r@@r

�r @T@r

�= �ACp@T

@�

Esféricas KA�1r2

@@r

�r2 @T

@r

�= �ACp@T

@�

Ejemplo 5 1: Para escaldar papa se utiliza vapor a100�C, si la temperatura inicial dela papa es de 10�C y el diámetro de la papa es de 4cm. Encontrar la temperatura de lapapa transcurridos 7 minutos.

Solución: Tomando las propiedades de la papa en [5]. Cp = 3;43kJ=kg�C, K =1;1W=mK, � =

Falta

5.1.2. Procesos para números de Biot mayores a 0.1

Para este tipo de procesos, se debe resolver la ecuación diferencial parcial del sistema,como se muestra en la tabla

La solución de dichas ecuaciones son:

Tomado [21]

De estas ecuaciones Heissler elaboro las gra�cas que llevan su nombre, las cuales sepresentan en las �guras 5-4 a 5-9

Bibliogra�a

� Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 26.� Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 10 (1964): 275.� Stiel, L. I., and G. Thodos, AIChE J., 7 (1961): 611.


Cuadro 5.3 Ecuaciones diferenciales parciales para calentamiento o enfriamiento en unadimensión espacial y una temporal, según el sistema de coordenadas

CoordenadoTx;� � T1T0;� � T1

�n

Cartesianas1Xn=1

2 sin (�n)

�n + sin (�n) cos (�n)cos��n�xL

��e�(�

2nFo) cot (�n)=

�nBi

Cilíndricas1Xn=1

2J1 (�n)

�n [J20 (�n) + J

21 (�n)]

J20

��n

�r

rm�ax

��e�(�

2nFo) J0 (�n)

J1 (�n)=�nBi

Esféricas1Xn=1

2 (sin (�n)� (�n) cos (�n))�n � sin (�n) cos (�n)

cos��n

�r

rm�ax

��n

�r

rm�ax

� e�(�2nFo) tan (�n)=

�nBi� 1


Bibliografía

[1] Andrieu, J. Gonnet, E. y Laurent, M. 1987. Intrinsic thermal conductivities of basicfood components. High Temp. High Press. 19:323-330.

[2] Adiutori. E. 2005. "Fourier. Is this French mathematician the true father of modernengineering?",. Mechanical Engineering.http://www.memagazine.org/contents/current/features/fourier/fourier.html. Con-sultado Agosto 2005.

[3] Bird R, Lightfoot E y Stewart W. 2002. Transport phenomena. Second edition. JohnWiley & Sons, Inc.

[4] Fonseca, V. López, D. Leal, J. et. all. 2002. Operaciones en la industria de alimentosI. Universidad Nacional Abierta y a distancia.

[5] Hayes, G. 1987. Manual de datos para ingeniería de alimentos. Acribia S.A. España.

[6] Holman. J. P. 1987. Transferencia de calor. Compañía editorial continental, S.A.México.

[7] Karlekar 1982. Transferencia de calor. Mc Graw Hill. México.

[8] Keey, R. 1972. Drying: Principles and practice. Pergamon Press. New York.

[9]

[10] Lewis. T. Nielsen, D. 1970. Dynamic mechanical propierties of particulate �lled poly-mers, J. Appl. Polym. Sci, 14: 1449.

[11] Monroy. M. 2004. Transmisión de calor.http://editorial.cda.ulpgc.es/ambiente/1_calor/4_transm/a143.htm.

[12] Marú M. 2004. Determinación de coe�cientes convectivos de transferencia de calornatural y forzada para aletas radiales en agua y agua de mar. Universidad de lasAméricas, Puebla Escuela de Ingeniería.

[13] Murakami, E. Okos, M. 1986. Predicting the thermal conductivity of dry porousfoods. ASAE Paper 86-6538.

[14] Perry. 1999. Chemical Engineer�s Handbook. Mc. Graw Hill.

[15] Prausnitz. J, Poling. B, O�Conell. J. 2001. Properties of gases & liquids. 5 edición.Mc Graw Hill.

[16] Salamanca, G .G *.; Pérez F. C. 2004. Propiedades térmicas de mieles de algu-nas mieles de Apis mellifera de las zonas de Boyacá consociaciones de bosque

BIBLIOGRAFÍA 77

seco montano bajo y bosque húmedo montano bajo. Departamento de Química-Universidad del Tolima. Escuela de Ciencias Químicas Universidad pedagógicay Tecnológica de Colombia.

http://www.apicultura.com/articulos/salamanca/capacidad_calori�ca_miel.htm

[17] Sing, R. Rotstein, E. Valentas, K. 1997. Handbook of food engineering practice. CRCOpress.

[18] Sparkmuseum. 2004. Ohm´s Law 1827.http://www.sparkmuseum.com/BOOK_OHM.HTM. Consultado julio de 2005.

[19] Telaviv University 2005. Thermal conductivity of Gases.http://www.tau.ac.il/~phchlab/experiments/Thermal_conductivity/. consultado enJulio 2005.

[20] Vesovic, V.2001. Prediction of the Thermal Conductivity of Gas Mixtures at LowPressures International. Journal of Thermophysics, Vol. 22, No. 3

[21] Hermida B. 2000. Fundamentos de ingeniería de procesos agroalimentarios. Mundi-Prensa. 320.

BIBLIOGRAFÍA 78

Índice alfabético

Balance de energía, 21

Calor, 6Flujo de, 8Tipos de, 7eléctrico, 7latente, 7reacción, 7sensible, 7

Velocidad de transferencia de, 13Coe�ciente convectivo, 47

EstimacionColburn, 48Hausen, 49Petukhov, 49Seider y Tate, 49, 50

Conducciónbidimencional, 36en esferas huecas, 33en tuberias, 32Factores de forma en 2D, 39Generalidades, 8Velocidad de transferencia de, 13

Conductancia, 8Conductividad térmica, 13, 16

Alimentos, 18, 19Gases, 18Líquidos, 17Sólidos, 16

Convección, 44Forzada, 8, 44, 48Generalidades, 8Natural, 8, 44, 50

Energía, 6Estado estacionario, 36

Flujo de �uidos, 9Flujo eléctrico, 9Fourier, 11, 13

LaplaceEcuación de, 36

LeyFourier, 13Ohm, 10

Número deGrashof, 50Nussel, 48, 50Prendtl, 48Reynolds, 48

Número deBiot, 74

Ohm George, 9

Paredes Compuestas, 24paredes en paralelo, 24, 28paredes en serie, 24

Poiseuille Jean-Louis Marie , 9Poisson

Ecuación de, 36

RadiaciónGeneralidades, 8

Temperatura, 6Per�l de, 13, 21

79

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE...

Documents

Transcript of PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE...