ESPE-L

ALEX SANTANA Página 1

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

INGENIERIA ELECTRÓNICA

PROCESOS ESTOCASTICOS

PROCESOS ERGÓDICOS

Santana Gallo Alex Mauricio

l_ex_yo@hotmail.com

Resumen: En este documento realizaremos el estudio de los procesos ergodicó si sus

promedios estadísticos coinciden con los respectivos promedios temporales. Por lo tanto,

cualquier estadístico podrá obtenerse a partir de una sola realización del proceso, es decir

que cualquier proceso ergódico de cierto orden, es estacionario en ese mismo orden,

además será ergódico en órdenes inferiores.

PALABRAS CLAVE

Proceso Ergódico

Ergódico

Sistemas Ergódico

INTRODUCCION

Un proceso estocástico es ergodicó si se

puede caracterizar estadísticamente a

partir de una realización

DESARROLLO

PROCESOS ERGÓDICO

Se dice que un proceso estacionario es

ergódico cuando las funciones que

entrañan valores esperados a lo largo de

las realizaciones pueden obtenerse

también a partir de una sola realización.

Es decir que una sola realización es

representativa de toda la familia.

Un ejemplo de proceso ergódico es un

promedio temporal:

Se supone entonces que se tiene una señal

X(t) por analizar. En el caso de un

proceso ergódico X(t) es una de las

funciones muestra del proceso X(t) entonces

𝑋(𝑡) Es un proceso ergódico si y solo si

todas sus medias estadísticas de la familia

pueden ser intercambiadas por sus

correspondientes medias temporales. Es

decir una simple realización temporal es

representativa de todo el proceso. Que un

proceso sea ergódico implica que éste sea

estacionario, pero al revés no.

Por lo tanto: Si la serie de tiempo 𝑋𝑡es

estacionaria y ergódica con 𝐸 𝑋𝑡 = 𝜇,

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entonces el promedio de la serie de

tiempo converge a 𝜇, es decir:

𝑋 𝑡 = 𝑡−1 𝑋𝑖 → 𝜇

𝑛

𝑖=1

En un proceso estocástico uno puede

determinar ciertos parámetros de dos

formas: a) Se toma una muestra completa

del proceso (Ej: 𝑥1(𝑡)) y se realizan

cálculos sobre ella ó b) Se toman los

valores de todas las salidas posibles para

un tiempo fijo 𝑡𝑘 y se calcula el

parámetro deseado. Si el valor del

parámetro resulta igual por los dos

métodos, se dice que el proceso es

ergódico con respecto a ese parámetro.

Por ejemplo, ergodicidad con respecto a

la media sería decir que:

𝐸 𝑥 𝑡 = lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑥𝑘 𝑡 𝑑𝑡

𝑇2

−𝑇2

= 𝑥𝑘 𝑡 𝑝 𝑥 𝑡𝑘 𝑑𝑥(𝑡𝑘)∞

∞

Daría el mismo resultado tomar, por

ejemplo, 𝑥2(𝑡) y promediarla en el

tiempo, o tomar los valores de

𝑥1(𝑡𝑘), 𝑥2(𝑡𝑘), . . . . . . , 𝑥𝑛(𝑡𝑘)

y promediarlos.

Es evidente que si un proceso es ergódico

también es estacionario y si la salida

representa una señal eléctrica, esta será de

potencia y se cumplirá que:

𝐸 𝑥 = 𝑥 = 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷𝐶 𝑑𝑒 𝑥(𝑡)

𝐸 𝑥2 = 𝑥2

= 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑥(𝑡)

𝜎2𝑥 = 𝐸 𝑥2 − 𝐸[𝑥]2

= 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝐴𝐶 𝑑𝑒 𝑥(𝑡)

𝜎𝑥 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑅𝑀𝑆 𝑑𝑒 𝑥(𝑡)

𝐹 { 𝑅𝑥(𝜏) } = 𝐺𝑥 (𝑓)

= 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.

Esta última relación es importantísima ya

que nos dice que a pesar de que la señal

es aleatoria, su auto correlación, y por

ende, su densidad espectral de potencia,

son determinísticas. La demostración es

la siguiente:

Uno puede definir la densidad espectral

de un proceso aleatorio como el promedio

de las densidades espectrales de las

funciones muestras así:

𝐺𝑥 𝑓 = lim𝑇→∞

𝑋𝑇 𝑓 2

𝑇

Donde 𝑋𝑇(𝑓) es la transformada de

Fourier del proceso aleatorio truncado

𝑋(𝑡) 𝛱(𝑡/𝑇). Su módulo al cuadrado es

igual a:

𝑋𝑇(𝑓) 2 = 𝑋𝑇∗ 𝑓 𝑋𝑇 𝑓

= 𝑥(𝑡1)𝑇/2

−𝑇/2

𝑒𝑗𝜔 𝑡1𝑑𝑡1 𝑥(𝑡2)𝑇/2

−𝑇/2

𝑒−𝑗𝜔 𝑡2𝑑𝑡2

Estas dos integrales pueden expresarse

como una integral doble del producto de

x(t1)x(t2), y como la operación de

promediación es otra integral más, puede

realizarse primero; esto último se

expresaría como la promediación previa

del producto x(t1)x(t2) . Queda entonces

que:

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𝐺𝑥 𝑓 = lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑠 𝑡1)𝑥(𝑡2 𝑒(−𝑗𝜔 𝑡2−𝑡1 𝑑𝑡1𝑑𝑡2

𝑇2

−𝑇2

𝑇2

−𝑇2

Si el proceso es estacionario en el sentido

amplio, el promedio del producto

𝑥(𝑡1)𝑥(𝑡2) es la auto correlación

evaluada en la diferencia de tiempos t2 -

t1. La densidad espectral queda entonces

igual a:

lim𝑇→∞

1

𝑇 𝑅𝑋 𝑡2 − 𝑡1 𝑒

(−𝑗𝜔 𝑡2−𝑡1 𝑑𝑡1𝑑𝑡2

𝑇2

−𝑇2

𝑇2

−𝑇2

= lim𝑇→∞

1

𝑇 Φ 𝑡2 − 𝑡1 𝑑𝑡1𝑑𝑡2

𝑇2

−𝑇2

𝑇2

−𝑇2

Ejemplo:

1. Un proceso ergódico x(t) tiene un

valor medio igual a 4v. Si x(t) pasa

por un sistema LIT cuya respuesta

impulsiva es h(t)=4Sinc(t),

determine el valor medio de la

señal de salida.

Solución

Si el proceso x(t) es ergódico entonces es

estacionario y se cumple que

𝐸[𝑥(𝑡)] = 𝐸[𝑥] = 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷. 𝐶. de la señal

eléctrica. De los datos tenemos que:

𝐸[𝑥] = 4𝑣 ⇒ (𝐸[𝑥])2 = 16 𝑊

𝐺𝑦 𝑓 = |𝐻 𝑓 |2 𝐺𝑥(𝑓),

Que es el valor de la densidad espectral

de potencia a la salida del sistema LIT .

Sabemos que 𝐺𝑥(𝑓) tendrá una delta en

el origen de amplitud 16, la cual

representa la potencia D.C. de la señal a

la entrada del sistema LIT, es decir:

𝐺𝑥(𝑓) = 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 + 16 𝛿(𝑓)

La respuesta impulsiva del sistema es

h(t)=4Sinc(t) cuya transformada de

Fourier es

𝐻(𝑓) = 4 𝛱(𝑓) ⇒ |𝐻 𝑓 |2

= 16𝛱(𝑓)

A la salida del sistema LIT tenemos que

la función de densidad espectral de

potencia es

𝐺𝑦(𝑓) = 16 ∗ 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑒ñ𝑎𝑙 +

256 𝛿(𝑓), y como queremos el valor

medio de la señal de salida tenemos que:

(𝐸[𝑦])2 = 256 ⇒ 𝐸[𝑦] = ±16 =

16 = 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷. 𝐶. de la señal a la salida

También hemos podido decir que

𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷𝐶 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎

= 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝐷𝐶 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

∗ 𝐻(0) = 4 ∗ 4 = 16

CONCLUSIONES

Cuando un proceso es ergódico, los

promedios totales son los mismos

promedios de tiempo, luego un

promedio total se puede calcular a

partir de una sola función muestra.

Para que un proceso sea ergódico, la

observaciones nuevas tienen que

aportar suficiente información para

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que la varianza converja a 0. Esto no

ocurre si la dependencia entre las

variables es muy fuerte.

Una condición necesaria pero no

suficiente para que un proceso

estacionario sea ergódico es, que la

correlación entre las observaciones

tienda a 0 al aumentar el retardo, de

manera que las observaciones

suficientemente alejadas sean

prácticamente independientes.

BIBLIOGRAFÍA:

http://cnx.org/content/m41097/late

st/?collection=col11361/latest

http://marga.com.ar/6615/estocasti

cos.pdf

http://prof.usb.ve/cmquiroz/ec142

1/apuntes/procesos_aleatorios.pdf

http://prof.usb.ve/tperez/docencia/

1421/Capi/CAPITULO%20VI.pdf

http://marga.com.ar/6615/estocasti

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