1.3 EL PRODUCTO CRUZ

En la sección 1.2 hemos definido un producto de vectores que daba comoresultado un escalar. En esta sección definiremos un producto de vectores que da comoresultado un vector; esto es, mostraremos como dados dos vectores y , podemosa b

producir un tercer vector x , llamado el . Este nuevo vecotra producto cruz de a y bbtendrá la muy agradable propiedad geometría de ser perpendicular al plano generado( ) por y . La definición del esta basada en los conceptos dedeterminado a b producto cruz

matriz determinate y que desarrollaremos primero. Una vez hecho esto podremosestudiar las implicaciones geométricas de la estructura matemática construida.

Definimos una matriz de 2 x 2 como arreglo

” •+ ++ +

"" "#

#" ##

donde y son cuatro escalares. Por ejemplo,+ ß + ß + +"" "# #" ##

” • ” • ” •# " " ! "$ (! % " " ' ""

ß y

son matrices de x . El 2 2 determinante

º º+ ++ +

"" "#

#" ##

de dicha matriz es el número real definido por la ecuación

º º+ ++ +

œ + + + +"" "#

#" ##"" ## "# #"

Ð"Ñ

EJEMPLO

º º º º º º" " " # & '" " $ % ( )

œ " " œ !à œ % ' œ #à œ %! %# œ #Þ

Una matriz de x es un arreglo3 3

Ô ×Õ Ø

+ + ++ + ++ + +

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

donde, de nuevo, cada es un escalar; denota el registro o posición en el arreglo+ +34 34

que está en -ésimo renglón y la -ésima columna. Definimos el de una3 4 determinante

matriz por la regla3 3x

â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º º+ + ++ + ++ + +

œ + + ++ + + + + ++ + + + + +

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

"" "# "$## #$ #" #$ #" ##

$# $$ $" $$ $" $#

Ð#Ñ

Sería difícil memorizar la fórmula (2) sin algún recurso mnemotécnico. La reglaque hay que aprender es que nos movemos a lo largo del primer renglón, multiplicando+"4 por el determinante de la matriz de x obtenida al eliminar el primer renglón y la2 2

j-ésima columna, y después sumando todo esto, pero recordando poner un signo deresta antes del término . Por ejemplo, el determinante multiplicado por termino de+"#

en medio en la formula (2), a saber

º º+ ++ +

#" #$

$" $$

=e obtiene al eliminar el primer renglón y la segunda columna de la matriz dada x :3 3

Ô ×Õ Ø

+ + ++ + ++ + +

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

EJEMPLO 2 â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º º" ! !! " !! ! "

œ " ! ! œ "" ! ! ! ! "! " ! " ! !

â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º º" # $% & '( ) *

œ " # $ œ $ "# * œ !& ' % ' % &) * ( * ( )

Una importante propiedad de los determinantes es que al intercambiar dosrenglones o dos columnas se cambia su signo. Para determinantes de x , esto es una2 2

consecuencia de la definición. Para renglones tenemos

º º º º+ + + ++ + + +

œ + + + + œ Ð+ + + + Ñ œ "" "# #" ##

#" ## "" "#"" ## #" "# #" "# "" ##

y para columnas,

º º º º+ + + ++ + + +

œ Ð+ + + + Ñ œ "" "# "# ""

#" ## ## #""# #" "" ##

Dejamos al lector verificar esta propiedad para el caso 3 x 3. (Ver el ejercicio 1 alfinal de la sección.) Una segunda propiedad fundamental de los determinantes es que podemossacar como factor común a escalar de cualquier renglón o columna. Para determinantesde x esto significa2 2

º º º º º º º º º º! ! ! !

! ! ! !!

+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +

œ œ œ œ"" "# "" "# "" "# "" "# "" "#

#" ## #" ## #" ## #" ## #" ##

De manera análoga, para determinantes de x tenemos3 3

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â! ! ! !

! !

!

+ + + + + + + + ++ + + + + + + + ++ + + + + + + + +

œ œ"" "# "$ "" "# "$ "" "# "$

#" ## #$ #" ## #$ #" ## #$

$" $# $$ $" $# $$ $" $# $$

y así sucesivamente. Estos resultados se siguen de las definiciones. En particular, sicualquier renglón o columna esta formado(a) por ceros, entonces el valor deldeterminante es cero. Un tercer hecho fundamental acerca de los determinantes es el siguiente: sicambiamos un renglón (o columna) mediante la suma de otro renglón (o,respectivamente, columna), no cambia el valor del determinante. Para el caso de x2 2

esto significa que

º º º º º º+ + + , + , + +, , , , , + , +

œ œ" # " " # # " #

" # " # " " # #

œ œ+ + + + + +, , , , , ,º º º º" # # " # #

" # # " # #

Para el caso de x , esto significa que3 3

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â+ + + + , + , + , + + + +, , , , , , , , , ,- - - - - - - - - -

œ œ" # $ " " # # $ $ " # # $

" # $ " # $ " # # $

" # $ " # $ " # # $

y así sucesivamente. De nuevo, se puede probar esta propiedad usando la definicionesde determinante (ver el ejercicio 35).

EJEMPLO 3 Suponer

a ; i.e., aœ , - œ + ß + ß + œ , ß , ß , - ß - ß -! " ! "a b a b a b" # $ " # $ " # $

Mostrar que â ââ ââ ââ ââ ââ â+ + +, , ,- - -

œ !Þ" # $

" # $

" # $

SOLUCIÓN Probaremos el caso , . El caso es trivial, y el caso en! " ! "Á ! Á ! œ ! œque exactamente uno de , es cero, es una modificación sencilla del caso que! "

probamos. Usando las propiedades fundamentales de los determinantes, eldeterminante en cuestión es

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â! " ! " ! " ! " ! " ! "

! ! !

, - , - , - , - , - , -, , , , , ,- - - - - -

œ " " # # $ $ " " # # $ $

" # $ " # $

" # $ " # $

"!

(factorizando en el segundo renglón) "Î!

œ , - , - , - , , , - - -

ˆ ‰Š ‹â ââ ââ ââ ââ ââ â

" "" " # # $ $

" # $

" # $

! "

! " ! " ! "

! ! !

" " "

(factorizando en el tercer renglón) "Î"

œ- - -

, , , - - -

"" # $

" # $

" # $

!"

â ââ ââ ââ ââ ââ â" " "

! ! !

" " " (sumando el segundo renglón al primero)

œ œ !! ! !

, , , - - -

"" # $

" # $

!"

â ââ ââ ââ ââ ââ â! ! !

" " " (sumando el tercer renglón al primero)

Ahora que hemos enunciado las propiedades necesarias de los determinantes yestudiado su historia, estamos listos para proceder con el producto cruz de vectores.Sean a y b vectores en . El de yœ + 3 + 4 + 5 œ , 3 , 4 , 5 V" # $ " # $

$ producto cruz ab, denotado por a b, está definido como el vectorx

a b ,x œ 3 4 5+ + + + + +#, , ," , , ,#º º º º º º# $ " $ "

# $ $ "

o, simbólicamente,

a bx œ3 4 5

+ + +, , ,

â ââ ââ ââ ââ ââ â" # $

" # $

Aunque solo definimos los determinantes para arreglos de números reales, estaexpresión formal que incluye es una ayuda útil para recordar el producto cruz.vectores

Notar que el producto cruz de dos vectores es otro vector, a veces se le llamaproducto vectorial.

EJEMPLO 4 xHallar a b a b$3 4 5 3 #4 5

SOLUCIÓN

a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â

$3 4 5 3 #4 5 œ œ 3 %4 (53 4 5$ " "" # "

x

Ciertas propiedades algebraicas del producto cruz se deducen de la definición. Sia, b y c son vectores y , y son escalares, entonces! " #

a b a bi a x b b x aœ

a b a b a b a biiiii a x b c a x b a x c" # " # œ a b x c a x c b x ca b a b a b! " ! " œ

Notar que a x a a x a , por la propiedad (i). Asi, a x a . En particular,œ œ !a b3 3 œ !ß 4 4 œ !ß 5 5 œ !x x x

Además

3 œ 5ß 4 œ 3ß 5 œ 4x x x4 5 3

lo cual se puede recordar al permutar cíclicamente , y así:3 4 5

Nuestro siguiente objetivo es proporcionar una interpretación geométrica delproducto cruz. Para hacerlo, introducimos primero el triple producto. Dados tresvectores a, b y c, el número real

a (b x c)†

se llama el de a, b y c (en ese orden). Para obtener una fórmula seantriple producto

a b y c c c c . Entoncesœ + 3 + 4 + 5ß œ , 3 , 4 , 5 œ 3 4 5" # $ " # $ " # $

a (b x c)† œ + 3 + 4 + 5 † 3 4 5, , , , , ,- - - - - -

a b Œ º º º º º º" # $# $ " $ " #

# $ " $ " #

œ + + +, , , , , ,- - - - - -" # $

# $ " $ " #

# $ " $ " #º º º º º º

Esto se puede escribir de manera más concisa

a (b x c)† œ Þ+ + +, , ,- - -

â ââ ââ ââ ââ ââ â" # $

" # $

" # $

Supongan ahora que a es un vector en el plano generado por los vectores b y c.Esto significa que el primer renglón en la expresión como determinante de a (b x c) es†de la forma a , y por lo tanto a (b x c) , por el ejemplo 3. En otrasœ , - † œ !! "

palabras, el vector b x c es ortogonal a cualquier vector en el plano generado por b y c,en particular tanto a b como a c. A continuación calculamos la magnitud de b x c. Noten que

m m œ , , , , , ,- - - - - -

b x c # # $ " $ " #

# $ " $ " #

# # #

º º º º º º

œ , - , - , - - , , - - , Þa b a b a b# $ $ # " $ " $ " # " ## # #

Desarrollando esta última expresión, vemos que es igual a

a ba b a b, , , - - - , - , - , -# # # # # #" # $ " # $ " " # # $ $

#

œ m,m m-m# # #sen )

donde es el ángulo entre b y c, ) ) 1! Ÿ Ÿ Þ Combinando nuestros resultados concluimos que b x c es un vector

perpendicular plano generado longitud al por b y c, con sen . Sin embargo, haym,mm-m l l)dos vectores que pueden satisfacer estas condiciones, pues se pueden escoger dosdirecciones que sean perpendiculares (o normales) al plano generado por b y c. EstoTse ve claro en la figura 1.3.1, que muestra las dos posibilidades n y"

T m m œ m m œ m,mm-ml lÞn perpendiculares a , con n n sen" " " )

Figura 1.3.1 n y n son los dos posibles vectores ortogonales a b y a c, ambos con" #

norma senm,mm-ml lÞ)

¿Cuál es el vector que representa a b x c?, ¿n o n ? La respuesta es n b x" " " œc. Resuelvan algunos casos, como x , para verificarlo. La siguiente "regla de la5 œ 3 4mano derecha" determina la dirección de b x c: Si colocan la palma de su mano derechade manera que sus dedos se curven desde b en la dirección de c en un ángulo , el dedo)

pulgar apuntará en la dirección b x c (figura 1.3.2).

Figura 1.3.2. Regla de la mano derecha para determinar en cuál de las dos direccionesposibles apunta b x c.

Si b y c son colineales, sen , de modo que b x c . Si b y c no son) œ ! œ !colineales, entonces generan un plano y b x c es un vector perpendicular a este plano.La de b x c, sen , longitud es simplemente el área del paralelogramo que tienem,mm-ml l)como lados adyacentes a los vectores b y c (figura 1.3.3).

Figura 1.3.3 La longitud de b x c es igual al área del paralelogramo por b y c.

EJEMPLO 5 Hallar un vector unitario ortogonal a los vectores y3 4 4 5Þ

SOLUCIÓN Un vector perpendicular a y a es el vector3 4 4 5

a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â

3 4 4 5 œ œ 3 4 5Þ3 4 5" " !! " "

x

Como , el vectorm3 4 5m œ $È"$È a b3 4 5

es un vector unitario perpendicular a y .3 4 4 5

Usando el producto cruz podemos obtener la interpretación geométrica básicade los determinantes de x y, más adelante, de x . Sean b y2 2 3 3 œ , 3 , 4" #

c dos vectores en el plano. Si denota el ángulo entre b y c, hemos vistoœ - 3 - 4" # )

que b x c sen . Como ya se dijo, sen es el área delm m œ m,mm-ml l m,mm-ml l) )

paralelogramo con lados adyacentes b y c (ver figura 1.3.3). Usando la definición delproducto cruz,

b cx œ œ 5Þ3 4 5, , !- - !

, ,- -

â ââ ââ ââ ââ ââ â º º" #

" #

" #

" #

Así, b x c es el valor absoluto del determinantem m

º º, ,- -

œ , - , - Þ" #

" #" # # "

De aquí se sigue que el valor absoluto del determinante anterior es el área del

paralelogramo que tiene como lados adyacentes a los vectores b yœ , 3 , 4" #

c .œ - 3 - 4" #

EJEMPLO 6 Hallar el área del triangulo con vértices en los puntos (1,1), (0,2), y (3,2)(figura 1.3.4)

SOLUCIÓN Sean a , b y c . Es claro que el triangulo cuyosœ 3 4 œ #4 œ $3 #4vértices son los extremos de los vectores a, b y c tiene la misma área que el triangulocon vértices en 0, b a y c a (figura 1.3.4). En efecto, este último es solo una traslación del triangulo anterior. Como el área de este triangulo trasladado es la mitaddel área del paralelogramos con lados adyacentes b a y c a , œ 3 4 œ #3 4hallamos que el área del triangulo con vértices (1,1), (0,2) y (3,2) es el valor absoluto de

" $# #º º " "

# "œ ß

esto es, .$#

Figura 1.3.4 Problema (a): Hallar el área del triangulo sombreado. Solución:EExpresar los lados como diferencias de vectores (b) para obtener b a xE œ m "

# a ba bc a . m

Hay una interpretación de los determinantes de matrices de x como3 3

volúmenes, que es análoga a la interpretación de los determinantes de matrices de x2

2 como áreas. Sean a b y c ,œ + 3 + 4 + 5ß œ , 3 , 4 , 5 œ - 3 - 4 - 5" # $ " # $ " # $

vectores en . Mostremos que a,V$ el volumen del paralelogramo con aristas adyacentes

b y c (figura 1.3.5) es el valor absoluto del determinante

H œ Þ+ + +, , ,- - -

â ââ ââ ââ ââ ââ â" # $

" # $

" # $

Sabemos que a x b es el área del paralelogramo con lados adyacentes a y b.m mMás aun, a x b c c a x b cos donde es el ángulo agudo que forma c conm † m œ m mm m ßa b < <

la normal al plano generado por a y b. Como el volumen del paralelepípedo con aristasadyacentes a, b y c es el producto del área de la base a x b por la altura c cos sem m m m ß<sigue que el volumen es a x b c . Vimos en la pág. 35 que a b x c . All † l H œ †a b a bintercambiar renglones vemos que c b x a c a x b a x b c; por loH œ † œ † œ †a b a b a btanto, el valor absoluto de es el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes a,Hb y c.

Para concluir esta sección, usaremos métodos vectoriales para determinar laecuación de un plano en el espacio. Sean un plano en el espacio, a un vector queTtermina en el plano, y n un vector normal al plano (ver la figura 1.3.6)Þ

Figura 1.3.5 El volumen del paralelepípedo formado por a, b, c es el valor absolutodel determinante de la matriz de x con renglones a, b y c.3 3

Figura 1.3.6 Los puntos r del plano que pasa por a y es perpendicular a n satisfacen laecuación r a n .a b † œ !

Si r es un vector en , entonces el extremo de r esta en el plano si, y solo si,V T$

r a es paralelo a y, por lo tanto, si, y solo si, r a n (n es perpendicular a T † œ !a bcualquier vector paralelo a ver figura 1.3.6 ). Como el producto interno esT distributivo, esta última condición es equivalente a r n a n. Por lo tanto, si hacemos† œ †a , n y r , se sigue que el extremoœ + 3 + 4 + 5 œ E3 F4 G5 œ B3 C3 D5" # $

de r está en si, y solo si,T

EB FC GD œ † œ † œ E+ F+ G+ Þr n a n " # $

Ð$Ñ

Como n y a se tomaron fijos, el lado derecho de la ecuación (3) es una constante,digamos, . Entonces una ecuación que determina el plano esH T

EB FC GD H œ !ÞÐ%Ñ

donde es normal a ; recíprocamente, si , y no son ceroE3 F4 G5 T E F Gsimultáneamente, el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación (4) es una bBß Cß Dplano con normal . La ecuación (4) es lineal en las res variables , , y E3 F4 G5 B C Dasí corresponde geométricamente a una superficie lineal, esto es, un plano, en .V$

Los cuatro números , , , no están determinados de manera única por .E F G H TPara verlo, noten que satisface la ecuación (4) si, y solo si, además satisface laa bBß Cß Drelación

a b a b a b a b- - - -E B F C - D H œ !

para cualquier constante . Si , , , y , , , determinan el mismo- Á ! E F G H E F G Hw w w w

plano , entonces , , , para un escalar . DecimosT E œ E F œ F G œ G H œ H- - - - -w w w w

que , , , . Recíprocamente,E F G H están determinadas por salvo un múltiplo escalarTdados , , , y , , , determinan el mismo plano si , ,E F G H E F G H ß E œ E F œ Fw w w w w w- -

G œ G H œ H- - -w w, para algún escalar . Este hecho se aclarará en el ejemplo 8. El plano con normal , que pasa por un punto esE3 F4 G5 V œ B ß C ß Da b! ! !

es E B B F C C G D D œ !a b a b a b! ! !

Ð&Ñ

(notar que , , satisface la ecuación (5), entonces, en este caso,B œ B C œ C D œ D! ! !

H œ EB FC GD Þa b! ! ! )

EJEMPLO 7 Determinar la ecuación del plano perpendicular al vector , que3 4 5contiene al punto .a b"ß !ß !

SOLUCION De la ecuación (5), el plano es ; esto"ÐB "Ñ "ÐC !Ñ "ÐD !Ñ œ !es, .B C D œ "

EJEMPLO 8 Hallar la ecuación del plano que contiene a los punto , ya b a b"ß "ß " #ß !ß !a b"ß "ß ! .

SOLUCIÓN Método 1. Cualquier ecuación del plano es de la formaEB FC GD H œ ! "ß "ß " #ß !ß ! "ß "ß !. Como los puntos y y están en ela b a b a bplano, tenemos

E F G H œ !#E H œ !E F H œ !

Mediante eliminación, reducimos este sistema de ecuaciones a la forma

#E H œ ! (segunda ecuación)

#F H œ ! (2 x tercera segunda)

G œ ! (primera tercera)

Como los números , , y están determinados salvo un múltiplo escalar, podemosE F G Hfijar el valor de uno y así los otros quedaran determinados de manera única. Si hacemosH œ # E œ " F œ " G œ !, entonces , , . Así, la ecuación del plano que contienea los puntos dados es .B C # œ !

Método 2. Sean a , b y c . Cualquier vector normal al planoœ 3 4 5 œ #3 œ 3 4debe ser ortogonal a los vectores a b y c b, que son paralelos al plano, ya que sus extremos están en el plano. Así, n a b x c b es normal al plano. Al calcular elœ a b a bproducto cruz tenemos,

n œ œ 3 4Þ3 4 5

" " " " " !

â ââ ââ ââ ââ ââ âAsí, cualquier ecuación del plano es la forma (salvo un múltiplo B C H œ !escalar). Como está en el plano, . Después de sustituir, obtenemosa b#ß !ß ! H œ #B C # œ !.

EJEMPLO 9 Determinar la distancia del punto al plano con ecuaciónI œ B ß C ß Da b" " "

E B B F C C G D D œ EB FC GD H œ !a b a b a b! ! ! .

SOLUCIÓN Considerar al vector

n œ E3F4G5

E F GÈ # # #

que es un vector unitario normal al plano. Bajar una perpendicular de al plano yIconstruir el triangulo mostrado en la figura 1.3.7. La distancia es laVIU . œ lIUl

longitud de la proyección de v (el vector de a ) sobre n; así,œ VI V I→

distancia v n nœ l † l œ lÒ B B 3 C C 4 D D 5 † Ó la b a b a b" ! " ! " !

œ ÞlE B B F C C G D D l

E F G

a b a b a bÈ" ! " ! " !

# # #

Figura 1.3.7 La geometría para determinar el punto E al plano P.

Si el plano está dado en la forma , escogemos un puntoEB FC GD H œ !a b a bB ß C ß D H œ EB FC GD! ! ! ! ! !sobre él y notamos que . Al sustituir en laformula da

distancia œ ÞlEB FC GD Hl

E F G

" " "

# # #È