Producto vectorial y su aplicación en el área de la física

Introducción.

En el presente trabajo hablaremos del producto vectorial y su aplicación en el área de la física el estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física.

El producto vectorial se define como una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos y físicos.

Desarrollo.

El producto vectorial es la forma de multiplicar vectores que se realizan en la mayoría de las aplicaciones de Física. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos. La magnitud del producto vectorial se representa de la forma:

Si los vectores se expresan por medio de sus vectores unitarios i, j, y k en las direcciones x, y, y z, entonces el producto vectorial, se expresa de esta forma:

El producto vectorial se representa de forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensión 3x3 tiene un desarrollo matemático conveniente:

A partir de esta forma familiar, podemos desarrollarlo para obtener su forma expandida:

Geométricamente, el producto vectorial es útil como método de construcción de un vector perpendicular al plano, si se tiene dos vectores en ese plano.

Físicamente, aparece en el cálculo de par de fuerza y en el cálculo de la fuerza magnética de una carga en movimiento.

Producto vectorial v a = {x1; y1; z1} y b = {x2; y2; z2} ven el sistema cartesiano de coordenadas – es un vector, cuyo valor se puede calcular, utilizando las fórmulas siguientes:

a × b = i j k = i(y1z2 - z1y2) - j(x1z2 - z1x2) + k(x1y2 - y1x2)

x1 y1 z1

x2 y2 z2

или

a × b = {y1 z2 - z1 y2; z1 x2 - x1 z2; x1 y2 - y1 x2}

Propiedades del producto vectorial

Interpretación geométrica geométrico del producto vectorial. Módulo del producto vectorial de dos vectores a y b equivale al área del paralelogramo construido en estos vectores.

Producto vectorial de dos vectores que no son nulos a y b equivale a cero sólo cuando los vectores son colineales

Si el vector c equivale al producto vectorial de los vectores a y b, entonces es perpendicular a estos vectores.

a × b = -b × a

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)

(a + b) × c = a × c + b × c

Ejemplo 1. Calcular producto vectorial de los vectores a = {1; 2; 3} y b = {2; 1; -2}.

Решение

a × b = i j k =

1 2 3

2 1 -2

= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) = {-7; 8; -3}

Conclusión

Leslie Lillian Cruz Marquez:

Gracias a esta investigación sobre el Producto Vectorial, es claro que el Cálculo Vectorial nos ayude a tener bases para comprender mejor la Física, ya que ambas comparten un campo similar. Esto nos ayudó tanto para conocer su concepto como su forma de realizarse, como observamos los vectores en el plano cartesiano con su magnitud se tienen que multiplicar con su cierto proceso para obtener la magnitud y otro vector perpendicular. Todo es necesario para conocer y calcular la fuerza o distancia de dicho objeto.