Profesora: L.E.S. Gemma Hernández Escobar

Escuela Secundaria General «Justo sierra Méndez»

Matemáticas

3° grado

«Álgebra»

«Productos

Notables»

Productos Notables

Son Ciertos productos que se efectúan

directamente, basándose en reglas notables

que al memorizarse su aplicación, nos

permiten llegar al resultado sin necesidad de

realizar la multiplicación.

Pro

du

cto

s

No

tab

les

:

Productos Notables

Productos

Notables

El Producto de la Suma y la Diferencia de

dos Números

El Cuadrado de un

Binomio

El Cuadrado de un

Polinomio

El Producto de dos

Binomios con Términos

Semejantes

El Cubo de un Binomio

a) Con Término

Común

b) Con Término

Semejante

Si tenemos la suma de dos términos multiplicados por su

diferencia, resulta:

Productos Notables

El Producto de la Suma y Diferencia de dos Números:

( m + n ) ( m – n )

=

m - m n + m n - n 2 2

= m 2 -

n

2

Regla:

«El producto de la suma y la diferencia de dos términos es igual al

cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo

término»Esta operación, también se denomina: «Producto de Binomios

Conjugados», porque dos términos de éstos son iguales y los otros

son simétricos.

( 2x + y ) ( 2x - y )

=

4x 2 - y

2

Términos Iguales

Términos

Semejantes

Elevar el cuadrado el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a

multiplicarlo por sí mismo, resultando:

Productos Notables

El Cuadrado de un Binomio:

( m + n ) = m + 2mn +

n

2 2=

2

Regla:

«Al desarrollar el cuadrado de un binomio, se obtiene como

resultado un *Trinomio*», cuyos términos se determinan de

acuerdo a los siguientes pasos:

1. El cuadrado del primer término del binomio.

2. El doble producto del primer término por el segundo término.

3. El cuadrado del segundo término del binomio.

( m + n ) ( m + n

)( m - n ) = m - 2mn +

n

2 2=

2

( m - n ) ( m - n )

a)

b)

Ejemplos:

Productos Notables

El Cuadrado de un Binomio:

( 2a + 3b ) = 4a + 12ab + 9b 2 2

2

a)

Doble

( xy + 2z )

=

x

y

+ 4xyz + 4z 2 2

2

b)

Doble

2

( 4 + 3x ) = 16 + 24x + 9x 2

2

c)

Doble

(5ax + by )

=

25a x + 10abxy + b y 2 2

2

d)

Doble

2 2

A estos resultados se les

denomina «Trinomio

Cuadrado Perfecto»

Elevar el cuadrado de un polinomio, equivale a multiplicarlo por sí

mismo, resultando:

Productos Notables

El Cuadrado de un Polinomio:

( k + l + m )

=

K + 2kl2

=2

( k + l + m ) ( k + l + m

)a)

=

K2 2 2

2 2

+ kl + km+ kl + l + lm + km + lm + m

+ l + m + 2km + 2lm

( p - q + r - s )

=

p - 2pq2

=

2( p - q + r - s ) ( p - q + r -

s)a)

=

p2 2 2

2 2

- pq + pr - pq +

q

- qr + pr - qr + r

+ q + r + 2pr - 2ps

-

ps

+ qs - rs2

- ps + qs - rs + s

2+ s - 2qr + 2qs - 2rs

Productos Notables

El Cuadrado de un Polinomio:

Regla:

«Elevar al cuadrado un polinomio, tiene como resultado, la suma de

los cuadrados de cada término del polinomio, más el doble

producto de todos los términos tomados de dos en dos»

Ejemplos:

( a + 2b – 3c ) = 2a + 4ab2 2 2+ 4b + 9c - 6ac - 12bc

2

( 2x + 3y – 5z ) =4x - 12xy2 2 2+ 9y + 25z - 20xz +

30yz

2

( u – v + w + 1 ) =2

u - 2uv2 2 2+ v + w + 2uw + 2u+ 1 - 2vw - 2v + 2w

a) Producto de Binomios con Término Común:

Productos Notables

El Producto de dos Binomios con Términos

Semejantes:

Tienen la siguiente forma (a + x) (a + y) ó (2 + m) (5 + m), cuyo

producto es:

(a + x) (a + y) =a + ax+ ay + xy2

= a + (x + y) a + xy

(2 + m) (5 + m) =10+ 2m + 5m + m = m + 7m + 102

2

2

Término Común

Término No Común

Productos Notables

Regla:

«Al desarrollar el producto de dos binomios con término común, es

igual al cuadrado del término común, más el producto de la

suma algebraica de los términos no comunes por el término

común, más el producto de los términos no comunes»

Ejemplos:

a) Producto de Binomios con Término Común:

(x + 6) (x - 3) = x + 3x - 18 2

(a - 2) (a - 5) = a - 7a - 10 2

(3ax + 1) (3ax + 4) =9a x + 15ax + 4 22

(4 - x y) (6 – x y) = + x y- 10x y24 222 2 2

b) Producto de Binomios con Término Semejante:

Productos Notables

Tienen la siguiente forma (ax + by) (mx + ny) ó (2 + m) (5 +

m), cuyo producto es:

(ax + by) (mx + ny) =amx + anxy+ bmxy+ bny2

= amx + (an + bm) xy2

2

+ bny2

Productos Notables

Regla:

«Al desarrollar el producto de dos binomios con términos

semejantes, se obtiene como resultado un *Trinomio*, cuyos

términos se determinan de acuerdo a los siguientes pasos:»

1. Se multiplican los primeros términos de los binomios dados.

2. Se multiplican los términos extremos y los términos interiores

de los binomios dados: por reducción de términos semejantes,

obtenemos el resultado.

3. Se multiplican los segundos términos de los binomios dados.

b) Producto de Binomios con Término Semejante:

(3x - 4y) (2x - y) = 6x - 11 xy2

+ 4y2

Ejemplo: -8xy

-3xy

Productos Notables

b) Producto de Binomios con Término Semejante:

(2a + 5b) (a – 3b) = 2a - ab2

- 15b2

Ejemplos:

5ab

-6ab

(7m – 2n) (3m + 4n) = 21m + 22mn2

+ 8n2

- 6mn

28mn

(3 + 4xy) (2 + 3xy) =6 + 17 xy+ 12x y2

8xy

9xy

2

A estos resultados se

les denomina

«Trinomio» que no

son cuadrados

perfectos

Elevar al cubo el binomio (m + n) ó (m – n), equivale a multiplicarlo

por sí mismo tres veces, resultando:

Productos Notables

El Cubo de un Binomio:

( m + n ) =

m + 2mn3

=3

( m + n

)a)

=2 2

+ m n + 2m n + mn + n

m + 2mn + n2 2

( )( m + n

)

( m + n

)

( m + n

)

2 2 3

m= + 3m n+ 3mn + n3 32 2

Productos Notables

El Cubo de un Binomio:

( m - n ) =

m + 2mn3

=

3

( m - n )

a)

=2 2

- m n - 2m n + mn - n

m - 2mn + n2 2

( )( m - n ) ( m - n ) ( m - n )

2 2 3

m= - 3m n+ 3mn - n3 32 2

( m - n ) ( m - n )2

=

Productos Notables

Regla:

«Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un

«Polinomio de cuatro términos», cuyos términos se determinan

de acuerdo a los siguientes pasos:

1. El cubo del primer término del binomio.

2. El triple producto del cuadrado del primer término por e

segundo término.

3. El triple producto del primer término por el cuadrado del

segundo término.

4. El cubo del segundo término del binomio.

El Cubo de un Binomio:

( a - 1 ) =3

a - 3a + 3a - 13 2

Ejemplo:

Productos Notables

El Cubo de un Binomio:

( x - 5y )

=

3x - 15x y+ 75x

y- 125y

6 4

Ejemplo:

( 2a + 3 )

=

8a + 36a + 54a + 273 23

22 2 3

( -m - n )

=

3- m - 3m n - 3m n -

n

6 422 2 62

2

( a + b )

=

3a + 3a b + 3a b + b

9 633 6 93

3

a)

b)

c)

d)

Productos Notables

Ejercicio:

Contesta correctamente las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es un binomio?

2. ¿A qué se le conoce como binomio conjugado?

3. ¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

4. Escribe la regla para el producto de la suma y la diferencia de

dos términos.

5. Escribe la regla para el cuadrado de un binomio.

6. Escribe la regla para el cuadrado de un polinomio.

7. Escribe la regla para el producto de binomios con término

común.

8. Escribe la regla para el producto de binomios con términos

semejantes.

9. Escribe las reglas para el cubo de un binomio.

10. ¿Elevar al cubo un binomio, equivalente a?

Productos Notables

Tarea:

Contesta correctamente los siguientes ejercicios y escribe el

nombre del producto notable:

( 7x + 5yz )

=

2

( 3x + 2y ) ( 3x – 2y )

=

( 3m + 2q + z ) =

(a - x ) (7a + 2x ) =22

(11 + pq) (3 + pq) =

( 2mn - 4 ) =3

2

2 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)