Productos Notables
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I.E”” MATEMATICA
: minutodematematicas.blogspot.com 1 PAGINA: AYUDA MATE 21 GRUPO: AYUDAMATE21
DEFINICIÓN
Son los resultados de la multiplicación que se obtienen de polinomios, que tienen características especiales y necesidad de realizar la multiplicación.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
a). Binomio al Cuadrado:
(a b)2 = a
2 2ab+b
2
Nota: (a-b)
2 = (b-a)
2
Corolario : "Identidades de Legendre"
(a+b)2 + (a-b)
2 = 2(a
2+b
2)
(a+b)
2 - (a-b)
2 = 4ab
b). Diferencia de Cuadrados:
(a+b)(a-b) = a2-b
2
c). Trinomio al Cuadrado:
(a+b+c)2 = a
2+b
2+c
2+2ab+2bc+2ca
d). Binomio al Cubo:
(a+b)3 = a
3+3a
2b+3ab
2+b
3 = a
3+b
3+
3ab(a+b)
(a-b)3 = a
3-3a
2b + 3ab
2 - b
3 = a
3-b
3-
3ab(a-b)
e). Suma y Diferencia de :Cubos
(a + b)(a2-ab + b
2) = a
3 + b
3
(a - b)(a
2+ab + b
2) = a
3- b
3
f). Trinomio al Cubo:
(a+b+c) 3
= a
3+b
3+c
3+3a
2(b+c)+3b
2(c+a)+3c
2(a+b)+6
abc
También:
(a + b + c) 3
= a3+b
3+c
3 + 3(a + b)(b +
c)(c + a)
(a+b+c) 3
= 3(a+b+c)(a
2+b
2+c
2) - 2(a
3+b
3+c
3)+6abc
(a+b+c)3=
a3+b
3+c
3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ca) -
3abc
g).Producto de Binomios con un Término Común:
(x+a)(x+b) = x
2+(a+b)x+ab
(Identidad de Stevin) (x+a)(x+b)(x+c) = x
3+ (a + b + c)x
2 +(ab + bc + ca)x + abc
problemas propuestos
I. Resuelve los siguientes productos
notables :
a) BINOMIO AL CUADRADO: 1. (a+6)
2 :
............................................
2. (5m+3)2 :
...........................................
3. (2x+1)2:
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...........................................
4. (m7-1)
2:
...........................................
5. (6x5t
-4)2:
...........................................
b) IDENTIDADES DE LEGENDRE: 6. (x+3)
2 + (x-3)
2:
.......................................
7. (a + 1)2 + (a-1)
2:
......................................
8. (a+1)2 – (a-1)
2:
.....................................
c) DIFERENCIA DE CUADRADOS: 9. (y + 6) (y – 6) :
..................................
10. (a5 + 1) (a
5 – 1) :
..................................
11. (m6 – 4)(m
6 + 4) :
..................................
12. (2x3 + 3) (2x
3 – 3) :
.................………......
13. (3xy – 5)(3xy + 5) :
.............……….......
d) BINOMIO AL CUBO: 14. (x + 5)
3:
.......................………..….......
15. (x – 2)3:
..............................................
16. (y5 – 2)
3:
..............................................
17. (3m5 + 1)
3:
..............................................
d) BINOMIOS CON UN TÉRMINO EN COMÚN 18. (x + 6)(x+5):
............................................
19. (x-3)(x+7):
..............................................
20. (m + 5)(m-8):
...........................................
21. (x2 + 2)(x
2 + 5):
…………………………….
22. (ax – 2)(ax-4):
………………………………
II. Problemas propuestos
1).- Si a + b = 3 y ab = 1
Halla : a
2 + b
2
a) 1 b) 3 c) 5
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d) 7 e) 9 2).-Si: a – b = 4 y ab = 2 Halla : a
2 + b
2
a) 16 b) 20 c) 18 d) 28 e) 8
3).-Si : a + b = 2 y ab = 3
Halla : a3
+ b3
a) –10 b) 8 c) -6 d) 15 e) N.A.
4)Reduce :
(x + y) ( x – y) (x2
+ y2) + y
4
a) 0 b) x
2 c) x
4
d) xy e) y2
5).-Si : a + b = 4 y ab=5 Halla : a
2 + b
2
a) 16 b) 25 c) 6 d) 8 e) 20
6)Si: a – b = 8 y ab = 4 Halla : a
2 + b
2
a) 66 b) 72 c) 68 d) 58 e) 78
7).- Efectúa : (5x + 4)(4x + 5) – 20 (x + 1)
2
a) –3x b) –x c) 0 d) x e) 3x 8).-Si : a + b = 2 y ab = 3
Halla : a
3 + b
3
a) 28 b) 38 c) 26 d) 35 e) N.A.
9).-Efectuar:
(x + 2)2 – 2(x + 1)
2 + x
2
a)2 b)4 c)6 d)8 e)10 10).-Si : a + b + c = 0 Calcula :
abc3
cbaA
333
a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 5
11).-Efectúa :
(x + 8)(x + 4) - (x + 4)(x + 5)–3(4x - 3) + 9x a) 18 b) 20 c) 21 d) 23 e) 25
12).-Simplifica :
(a + 2) (a - 2) (a2
+ 22
) + 16 a) 0 b) a
2 c) a
4
d) 16 e) 18 13).- Si : a + b = 5 ab = 2 Calcula : a
2 + b
2
a) 21 b) 17 c) 5 17 d) 17 e) 25 14).-Efectuar:
(x2 – 4x + 16)(x + 4) – x
3
a) 66 b) 16 c) 32 d) 44 e) 64
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15) Si a + b = 5 ; ab = 4 Calcula : a
2 + b
2
a) 20 b) 25 c) 33 d) 16 e) 17
16).- Reduce :
(x + 3)2 - (x + 2)
2 + (x + 4)
2 - (x + 5)
2
a) –4 b) –3 c) –2
d) –1 e) 0 17).- Sabiendo que : x + y = 8 ; xy = 4 Halla el valor de : P = x
2 + y
2
a) 3 2 b) 2 2 c) 52 d) 4 e) 56
18).-Efectúa :
E = (x + 1) (x – 1 ) ( x
2 + 1) + 1
a) x
2 b) x
4 c) x
d) x3 e) 1
19).-Efectúa :
(x + 1)3 + (x – 1)
3 – 2x
3
a) 5 b) 6x c) 2x d) 4x e) N.A.
20).-Desarrolla :
2 842 )12)(12)(12(31
a) 2 b) 2 c) 1
d) 4 e) 8 21).-Simplifica
: 222727
a) 2 7 b) 26
c) 2 14 d) 213
e) 14 22).-Efectuar:
(x + 8)(x + 4) - (x + 4)(x + 5) – 3(x - 3)
a)3 b)21 c)24 d)32 e)41
23) Reduce :
)3x)(16x()9x)(10x(
)5x)(13x()9x(2
a) 7/18 b) 3/20 c) 8/21 d) 9/23 e) 6/25