Prof. Isaías Correa M.Prof. Isaías Correa M.

Triángulos II

Aprendizajes esperados:

• Analizar en el triángulo rectángulo, los teoremas de Pitágoras y Euclides.

• Aplicar los diferentes teoremas y propiedades de los triángulos en la resolución de ejercicios.

• Calcular áreas y perímetros de triángulos.

1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos

Contenidos

1.1 Teorema de Pitágoras

1.2 Teorema de Euclides

2. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo2.1 Triángulo de ángulos interiores iguales a:

30°, 60° y 90°

2.2 Triángulo rectángulo isósceles

2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

4. Triángulos isósceles4.1 Definición

4.2 Propiedades

3.1 Definición

3.2 Propiedades

3. Triángulo equilátero

1. Teoremas válidos para

Triángulos rectángulos

Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces:

hipotenusa

cateto

cate

to

El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado “HIPOTENUSA” , y los lados AC y BC, “CATETOS”.

1.1 Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

(cateto1)2 +(cateto2 )2 =(Hipotenusa)2

ó

De acuerdo a los datos de la figura, el trazo QR mide

Ejemplo:

(Aplicando teorema de Pitágoras)

(Desarrollando)

(Restando)

(Aplicando raíz)

152 + (QR)2 = 252

225 + (QR)2 = 625

(QR)2 = 625 - 225

(QR)2 = 400

QR = 20

(Despejando (QR)2 )

• Números pitagóricos:

Son aquellos tríos de números que cumplen el teorema de Pitágoras.

Los más utilizados son: 3, 4 y 5 5, 12 y 13

Estos tríos, además de satisfacer el teorema de Pitágoras, generan “familias” de números pitagóricos, que corresponden a todos los tríos proporcionales a ellos. Por ejemplo:

3, 4 y 5

6, 8 y 10

9, 12 y 15

12, 16 y 20. . . .

5, 12 y 13

10, 24 y 26

15, 36 y 39 20, 48 y 52

. . . .

Todos los tríos proporcionales a: 3, 4 y 5, satisfacen el Teorema de Pitágoras.

32 + 42 = 52

62 + 82 = (10)2

92 + 122 = (15)2

Consideremos los siguientes casos:

1. Cuando un cateto es el doble del otro

2. Cuando un cateto es el triple del otro

Ejemplo:

Ejemplo:

1.2 Teorema de Euclides

Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces:

Además, se cumple que:

∙hc2 = p q

a2 = c q ∙

b2 = c p ∙

hc = a·b c

De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:

Ejemplo:

Aplicando Teorema de Euclides:

CD2 = AD DB∙ (Reemplazando)

CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)

CD = 4 3∙

CD = 2 3

Además, por Euclides se cumple que:

AC2 = AB AD ∙ (Reemplazando)

(Aplicando raíz)

AC = 2 7

AC2 = 7 4 ∙

2 7

2 3

2. Relaciones Métricas en el triángulo rectángulo

2.1 Triángulo de ángulos interiores: 30°, 60° y 90°

En el triángulo rectángulo, con ángulos agudos de 30° y 60° se cumple que:

Ejemplo:

Determinar el área del triángulo ABC de la figura.

BAC = 30°

El área del triángulo ABC es:

CB = 5 y AB = 5 3

= 25 3

2

5

5 3

Área = 5 5 3

2

∙

30°

Los triángulos con ángulos interiores de 30°, 60° y 90°, corresponden a la “mitad” de un triángulo equilátero.

2.2 Triángulo rectángulo isósceles

A

C

B

En el triángulo rectángulo isósceles de lado “a” de la figura, se cumple que:

Ejemplo:

En la figura, determinar la medida del lado BC (hipotenusa).

CBA = 45°

A

C

BBC = 4 2

Solución:

45°

4 24 AC = 4 y

AM = MB = CM

2.3 Triángulo rectángulo y transversal de gravedad

Si M es punto medio de AB, entonces:

tc : transversal

Ejemplo:

Completando los ángulos, CBA = 40°

Solución:

AD = DB = CD

D es punto medio

CBA = DCB

Por lo tanto, DCB = 40°

40°

40°

Si en la figura, CD es transversal de gravedad, determine el DCB.

Si CD es transversal de gravedad,

El triángulo CDB es isósceles de base BC

3. Triángulo Equilátero3.1 Definición

Polígono regular, ya que tiene sus tres lados y ángulos iguales.

AB = BC = CA

3.2 Propiedades

• Las alturas, transversales, bisectrices y simetrales, son iguales.

ha = hb= hc ba = bb= bcta = tb= tc Sa = Sb= Sc

Además:

ha = ta= ba = Sa hb = tb= bb = Sb hc = tc= bc = Sc

Por lo tanto, el ortocentro, centro de gravedad, incentro y circuncentro coinciden.

Determine el área de un triángulo equilátero, cuya altura mide 3 3.

• Área y altura de un triángulo equilátero:

Sea ABC un triángulo equilátero de lado “a”, entonces su área y altura se expresan como:

A = a2 34

h = a 32

Ejemplo:

Para determinar el área, basta conocer el lado del triángulo.

A partir de la altura determinaremos el lado.

Sea x la medida del lado, entonces:

h = x 32

3 3 = x 32

3 = x2

6 = x

Como el lado del triángulo mide 6 cm, su área será:

A = 36 34

A = 9 3 cm2A = 62 34

• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia circunscrita:

h = r + r2

h = 3r2

• Relación entre el triángulo equilátero y la circunferencia inscrita:

h = 3r

4. Triángulo Isósceles4.1 Definición

Es aquel que tiene dos lados iguales y una “base”.

Los ángulos basales son iguales.

4.2 PropiedadesLa altura, transversal, bisectriz y simetral que caen en la base, coinciden.

Ejemplo:

x= 50°

DBA = 40° y ADB = 90°

40°

90°

= 50°

En la figura, el triángulo ABC isósceles en B y D punto medio de AC. Determine la medida del ángulo x.

Si el triángulo es isósceles en B, entonces la base es AC.

Si D: punto medio, entonces BD es transversal.

BD es altura, bisectriz y simetral.