Prof: Nancy Andrades Derivadas parciales Aproximación por la diferencial.

Prof: Nancy Andrades

Derivadas parciales Aproximación por la

diferencial

Cálculo III (A, C y E)

Definición: Una función f, en n variables es una regla que asigna a cada n-upla (x1,x2,........xn) de números reales, un único número real z, denotado por f (x1,x2,........xn) ; esto es ;

f : n

(x1,x2,......xn) f (x1,x2,......xn)

Definición: Si f es una función en n variables x1,x2,........xn, la derivada parcial de f con respecto a su j-esima variable xj, se obtiene derivando f con respecto a esa variable xj, permaneciendo las demás variables

constantes.

Función en n variables


Notación para una función en dos variables

Sea z = f(x,y), función en las variables x e y

La derivada de f con respecto a la variable x se escribe:

(se lee parcial de z con respecto a x)

La derivada de f con respecto a la variable y se escribe:

(se lee parcial de z con respecto a x)

y)(x,fóxz

x

y)(x,fóyz

y


Ejemplo

Hallar las derivadas parciales fx, fy para las funciones dadas:

1.- f(x,y) = 2x4y3 - xy2

fx(x,y) = 8x3y3 - y2

fy(x,y) = 6x4y2 - 2xy

2.- f(x,y) = xey + ysen(2x)

fx(x,y) = ey + 2ycos(2x)

fy(x,y) = xey + sen(2x)


Ejercicios

Hallar las derivadas parciales fx y fy para cada una de las funciones dadas:

1.- f(x,y) = ex Ln(x2y)

2.- f(x,y,z) = xez - xyex + ze-y

3.- f(x,y) = 2x8y3 + xy5 + 3y + 14

4.- f(r,s,t) = r2e2scost

5.- f(x,y,z) = xez – yex + ze-y

6.-yxyx

Lny)f(x,


Interpretación geométrica(x, y0 , f(x, y0 ))

(x0, y , f(x0, y ))

fx es la pendiente de la recta tangente a la curva, sobre el plano y = yo. Derivada en la dirección de x.

fy es la pendiente de la recta tangente a la curva sobre el plano x = xo. Derivada en la dirección de y.


EjemploSea la función de dos variables, f(x,y) = 9 - x2- y2. Determine la pendiente de dicha superficie en el punto (2, 1, 4), en las direcciones de x e y .

4xf

y-2xxf

(2,1)

Pendiente en la dirección de x

2yf

y-2yyf

(2,1)

¿Como se determina la recta tangente en dicho punto?

Pendiente en la dirección de y


…Continuación

3-3

-3

3

9

z = 9 - x2- y2

Usando la ecuación punto-pendiente: y - y0 = m(x – x0) ya que estamos sobre un plano

La recta tangente sobre el plano y = y0 es:

y – 1 = -4(x – 2) y = -4x + 9

La recta tangente sobre el plano x = x0 es:

y – 1 = -2(x – 2) y = -2x + 5


Derivadas parciales de segundo orden

Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variable x es:

La derivada parcial de fy con respecto a la variable y es:

xxxx2

2

)(ffoxz

xxz

yyyy2

2

)(ffoyz

yyz


Derivadas parciales cruzadas

Si z = f(x,y), la derivada parcial de fx con respecto a la variables y es:

La derivada parcial de fy con respecto a x es:

Estas derivadas cruzadas siempre son iguales puesto que las funciones son continuas

yxxy )(ffoxyz

xz

y

2

xyyx )(ffoyxz

yz

x

2


Ejemplo

Sea la función en dos variables f(x,y) = x3e-2y + y-2cosx , entonces

fx(x,y) = 3x2e-2y - y-2senx

fy(x,y) = -2x3e-2y -2y-3cosx

fxy(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx

fyx(x,y) = -6x2e-2y + 2y-3senx


Ejercicios

1.- Determine las segundas derivadas parciales fxx, fyy, fxy de la función de dos variables: f(x,y) = 3xy2 - 2y + 5x2y2. Calcule el valor de fxy(2, 1).

2.- Pruebe que fxz = fzx y que fxzz = fzzx para la función de tres variables: f(x,y,z) = yex + xLnz


Aplicación (análisis marginal)

Nota: Es la practica de usar una derivada para estimar el cambio producido en el valor de una función al aumentar 1 unidad en su variables independiente.

Recordemos que para la función de una variable: y = f(x), si se incrementa x en 1 unid, la variación de f es:

f = f(x + 1) – f(x) f’(x)

Entonces: Si z = f(x,y) y se tiene una variación de x en 1 unidad permaneciendo y constante se tendrá:

z = f(x + 1,y) – f(x,y) fx(x,y)

Análogamente: z = f(x,y + 1) – f(x,y) fy(x,y)


Ejemplo: Problema 27, pág 506 Producción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades

k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000.

L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.

La inversión actual es de $900.000 y se utilizan 1000 h-t.

Estime el efecto provocado en la producción diaria por una inversión adicional de capital de $1000, si el tamaño de la fuerza laboral no cambia.


…continuaciónEl objetivo es determinar la variación de la producción en

los niveles actuales: k = 900 y L = 1000 si k = 1.

Ahora bien: Q(k,L) Qk(k,L)

Entonces para: Qk(k,L) = 30k-1/2.L1/3

La producción diaria aumentará en 10 unidades aproximadamente, si hay un incremento de mil $ en la inversión de capital.

10(30)

(30)(10)

900

10030(900,1000)Q

3

k


Aproximación por la diferencial totalSupongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y, entonces el correspondiente cambio en z viene dado por:

f fxx + fyy = df (diferencial

total)

fxx es el cambio en f con respecto a x, cuando y no varía

fyy es el cambio en f con respecto a y, cuando x no varía


Ejercicio

Problema 38: pág 521 (Hoffmann)

En cierta fábrica la producción diaria es Q(k,L) = 120k1/2.L1/3 unidades, donde K es la inversión de capital (miles de $) y L es el tamaño de la fuerza laboral (horas-trabajador). Nivel actual de inversión $400.000, tamaño de fuerza laboral 1.000 h-t.

Estime el cambio resultante en la producción si la inversión de capital aumenta en $500 y la mano de obra se incrementa en 4 horas-trabajador.


Solución

Objetivo, determinar el cambio de la producción en los niveles actuales k = 400 y L = 1000 si k = 500 y L = 4 .

Ahora bien: Q(k,L) dQ(K, L) = Qk(k, L) k + QL(k,L) L

4(10)

(20)(40)0,5

20

1060)Q(400,1000

3 32

2

2

3 3

Δ

La producción diaria aumentará en unidades aproximadamente si hay una inversión de capital adicional de $ mil y las horas trabajador se incrementan en 4.


Ejercicios1.- Problema 40: pág 522 (Hoffmann)

Un editor calcula que si invierte x miles de $ en desarrollo e y miles de $ en promoción, se venderán aproximadamente Q(x,y) = 20x3/2y ejemplares de un libro. Actualmente los planes exigen una inversión de $36.000 en desarrollo y $25.000 en promoción.

Estime el cambio resultante en las ventas, si la cantidad invertida en desarrollo aumenta en $500 y la invertida en promoción disminuye en $500.

2.- Para : . Aproxime el valor f(4.1,

1.9, 9.1), 2yx.ezz)y,f(x,


Aproximación porcentual

Supongamos z = f(x,y) función en las variables x e y. Si x representa un cambio pequeño en x y y un cambio pequeño en y entonces el cambio porcentual en z es:

Cambio porcentual en z f

yyfxxf100

f

f100

ΔΔΔ


EjemploProducción diaria: Q(k,L) = 60k1/2 L1/3 unidades

k representa la inversión de capital medida en unidades de $ 1000.

L es el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.

Estime el porcentaje de cambio en la producción diaria si la inversión de capital aumenta en 1% y la fuerza laboral aumenta en 2%. (k = 0,01K y L = 0,02L)

Q

LLQKKQ100

Q

Q100produccionenporcentualCambio

ΔΔΔ

Prof: Nancy Andrades Derivadas parciales Aproximación por la diferencial.

Documents

Transcript of Prof: Nancy Andrades Derivadas parciales Aproximación por la diferencial.