Profa. Caroline Rodríguez UPRA MECU 3031 · •Determinar asíntotas horizontales. •Determinar...
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Funciones racionales
Profa. Caroline Rodríguez
UPRA
MECU 3031
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Una función racional es una función que se
puede expresar de la forma
)(
)()(
xg
xfxp
donde f(x) y g(x) son funciones
polinómicas.
Ejemplos:
xx
xxg
x
xxf
xy
9
4)(
3
2)(
2
1
3
2
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Ejemplos:
1
4)(
1
12)(
2
xxg
xxf
Toda función polinómica es una función
racional ya que se puede expresar con un
denominador igual a 1.
1
13)(
1
42)(
34
3
xxxq
xxxp
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Dominio de funciones racionales
• Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida.
• En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.
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Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
14
2)( )1
xxf
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Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
4
5)( )2
2
x
xxf
os.factorizam ceros, losencontrar Para 042 x
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Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
623
32)( )3
23
2
xxx
xxxf
.agrupaciónpor osFactorizam 0623 23 xxx
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Determinar el dominio de una
función racional
Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).
1
5)( )4
2
x
xxf
perfectos. cuadrados deSUMA una es 12 x
No existe un valor que se le puede asignar a x tal que x2 + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, _____________________
___ __________ :D
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Interceptos • Un intercepto en x de f(x) se define como el (los)
punto (s) donde el valor de f(x) es igual a cero.
• Para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero.
• El intercepto en y se puede encontrar evaluando la función para x igual a cero.
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Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
2
1)(
xxf
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
2
1 -
20
1)0(
f El numerador de f(x) es 1.
1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x)
NO tiene interceptos en x. El intercepto en y es
(0, - ½ ).
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Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x x
xxf
3
2)(
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Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
xx
xxg
9
4)(
3
2
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
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Interceptos • Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x 2
532)(
2
2
x
xxxh
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Interceptos
• Hallar los interceptos de la función.
(a) intercepto – y: b) intercepto - x
122
99)(
34
23
xxx
xxxxp
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Soluciones de funciones racionales • Un par ordenado (a,b) es una solución para f(x) si
cuando se sustituye x por a , y es igual a b.
• Dicho en notación de funciones, si f(a) = b.
Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5
12)(
x
xxf
)6(f
Como 𝑓 6 = 1, entonces (6, 1) SI es una solución
de f(x).
5)6(
1)6(2
11
1121
11
11
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Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de
3
23)(
2
2
x
xxxf
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Soluciones de funciones racionales
Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una
solución de
x
xxf
3
25)(
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Consideremos la función racional: 2
1)(
xxf
Hasta ahora sabemos que:
• El dominio de f(x) es D:
• Numéro de interceptos en x:
• El intercepto en y es:
),2()2,(
No podemos trazar la gráfica correctamente con
un sólo punto.
Gráficas de funciones racionales
en x. sintercepto tieneNo
(0, - ½).
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Aunque x=2 NO
pertenece al dominio
podemos observar lo
que ocurre con valores
que están muy cerca de
x=2 (un poco mayor o
un poco menor).
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2
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La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
Si se eligen valores para
la x un poco mayores
que 2 (2.01, 2.001, etc) ,
los valores de la función
se hacen muy grandes.
Si se eligen valores para
la x un poco menores
que 2 (1.9, 1.99, etc) , los
valores de la función se
hacen muy pequeños.
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La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
Estos puntos los podemos
unir con una curva,
desconectada, suave que
se extiende en
direcciones opuestas.
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• Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.
• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas.
• x=2 se llama una asíntota vertical
La gráfica de 𝑓 𝑥 =1
𝑥−2 (cont.)
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Veamos que ocurre con
los valores de la
gráfica a medida que x
se hace muy grande o
muy pequeño.
(Comportamiento en
los extremos)
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
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A medida que los
valores de x se hacen
más negativos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
A medida que los
valores de x se hacen
más positivos, los
valores de la función
(y) se acercan más y
más a cero.
2
1)(
xxf
, Cuando x 0y
, Cuando x 0y
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En este caso, la
línea y=0 se llama
una asíntota
horizontal, porque
los valores de la
función se quedan
bien cerca de esta
línea a medida que
x aumenta o
disminuye
grandemente..
2
1)(
xxf
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Hallar las asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical
cuando el denominador de la función simplificada
es igual a 0.
Una función racional está simplificada si NO existen
factores comunes, distintos de uno, entre el
numerador y denominador.
Asíntotas Verticales
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Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)
asíntota(s) vertical(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0 x = -1
La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.
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Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:
1. El grado del numerador es menor que el
grado del denominador. En este caso, la
asíntota es la recta horizontal y = 0.
16
1)(
153
3)(.
2
x
xxg
xxfEj El eje de x (y=0) es la
asíntota horizontal de
las gráficas de f(x) y
g(x)
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Asíntotas horizontales 2. El grado del numerador es igual al grado del
denominador. En este caso, la asíntota es la recta
horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
principal del numerador y b es el del
denominador.
2
2
16
14)(
153
19)(.
x
xxg
x
xxfEj
La asíntota horizontal
de la gráfica de
f(x) es
g(x) es
33
9y
41
4
y
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Asíntotas horizontales
3. Cuando el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador la función NO
tiene asíntota horizontal.
1
16)(
153
745)(.
2
3
x
xxg
x
xxxfEj Las gráficas de f(x) y
g(x) NO tienen
asíntota horizontal
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Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)
horizontal(es) si existe(n).
x
xxf
22
52 .1
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Gráficas de funciones racionales
Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:
•Determinar asíntotas verticales.
•Determinar asíntotas horizontales.
•Determinar interceptos.
•Determinar comportamiento alrededor de las
asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos
puntos adicionales.
•Unir puntos con curvas suaves.
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Construir la gráfica de una función racional
x
xxf
22
52
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Trazar la gráfica de: x
xxf
3
2)(
Intercepto - y:
Intercepto - x
Asíntota vertical:
Asíntota horizontal:
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Puntos adicionales
x
-5
0
2.5
3
3.5
5
10
50
x
xy
3
2
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Trazar la gráfica de: xx
xxg
2
4)(
2
2
Las asíntotas verticales son los valores que hacen
cero el denominador en una expresión racional
simplificada, por lo que debemos simplificar g(x)
antes de determinar sus asíntotas..
x2x
4xy
2
2 2xx
2x2x
x
2x
Las funciones x2x
4x)x(g
2
2
y
x
xy
2
son equivalentes para todo número real excepto , en
x = 2.
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xx
xxg
2
4)(
2
2
• Tienen la misma asíntota vertical.
x = ?
• Tienen la misma asíntota horizontal
y = ?
• Son equivalentes en todos los puntos
excepto en x = 2.
La gráfica de g(x) tiene un hueco en
(?, ?).
x
2xy
Las gráficas de las funciones:
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Gráficas de funciones racionales
xx
xxg
2
4)(
2
2
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Primero simplicamos la función.
3x3x
4x23x
9x
12x10x22
2
La asíntota vertical de esta
función es
Trazar la gráfica de: 9
121022
2
x
xxxf
La asíntota horizontal de
esta función es .
3
42
x
x
x = ?.
y =?
f(x) tiene un hueco cuando
(? ,?)
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Determinemos el intercepto en y.
Trazar la gráfica de: usando 9
121022
2
x
xxxf
3x
4x2y
… intercepto en x
… puntos adicionales
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Práctica • Hallar el dominio y los interceptos de cada una
de las siguientes funciones.
4
8162)(
32
1)(
3
4842)(
2
34
2
2
x
xxxxh
xx
xxg
x
xxxf
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Práctica • Hallar el valor de a, si existe, tal que (a,1) es una
solución de f(x)
34
2)(
3
94)(
2
xx
xxf
x
xxf
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Soluciones • Dominio:
4
8162)(
2
34
x
xxxxh
x
xxxf
3
4842)(
2
32
1)(
2
xx
xxg
),0()0,(:D
),3()3,1()1,(:D
),2()2,2()2,(:D
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Soluciones • Interceptos:
4
8162)(
2
34
x
xxxxh
x
xxxf
3
4842)(
2
32
1)(
2
xx
xxg
(4,0) -6,0),( :int
existe No:int
-x
y
1,0)( :int
),0(:int31
-x
y
-2 x,- x:int
0,-2:int
21
-x
y
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Soluciones
13
0)1)(3(
032
342
134
2
34
2)(
2
2
2
2
xx
xx
xx
xxx
xx
x
xx
xxf
x
xxf
3
94)(
13
94
x
x
9
394
x
xx
(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones
de f(x)