PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN … · más allá o más acá de los formatos escolares...

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR Nº 9-011 "DEL ATUEL"

FORMACIÓN DOCENTE:

PROFESORADO DE EDUCACIÓN

SECUNDARIA EN MATEMÁTICA

PROPUESTA DE ACOMPAÑAMIENTO A LOS

Y LAS INGRESANTES

CICLO LECTIVO 2017

RECTOR:

LIC. MIGUEL ALDAVE

VICE-RECTORA DE ASUNTOS ACADÉMICOS

DRA. SILVANA YOMAHA

VICE-RECTORA DE ASUNTOS ESTUDIANTILES Y ADMINISTRATIVOS

LIC. ADRIANA MANDRILLI

JEFA DE FORMACIÓN INICIAL

COORDINADOR/A DE CARRERA

DOCENTES RESPONSABLES DEL CURSO DE INGRESO:

LIC. SERGIO VIÑOLO (COORDINADOR DE INGRESO)

LIC. EUGENIA

LIFONA

PROF. CLAUDIA

SÁNCHEZ

MG. GRACIELA

SERRANO

LIC. ANALÍA PERUZZI

LIC. DÉBORA SAN

BLÁS

LIC. MA. DEL

CARMEN NAVARRO

LIC. ROBERTO

SÁNCHEZ

GOBIERNO DE MENDOZA DIRECCIÓN GENERAL DE ESCUELAS DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR I.E.S Nº 9-011"DEL ATUEL"

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INDICE DE CONTENIDOS

Carta de bienvenida al IES 9011 Pág. 3

Componente ambientador

Propuesta educativa institucional Pág. 6

Lineamientos fundamentales de la dinámica institucional Pág. 7

Desarrollo histórico Pág. 10

Memoria institucional Pág. 12

Gobierno y organización académica Pág. 17

Funciones del Centro de Estudiantes Pág. 20

Régimen Académico Marco (RAM) Pág. 22

Régimen Académico Institucional (RAI) Pág. 29

Reglamento Marco del campo de la práctica profesional

docente y residencia

Pág. 46

Componente introductorio

Estructura curricular profesorado de educación

secundaria en matemática

Pág. 53

Bienvenida al Profesorado de Ed. Secundaria en

Matemática

Pág. 66

Presentación del equipo docente Pág. 68

Introducción Pág. 69

Fundamentaciones de la propuesta de trabajo para el

curso de ingreso

Pág. 70

Cronograma tentativo y organización del ingreso 2017 Pág. 76

Componente nivelador

Resolución de problemas Pág. 78


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Taller preliminar: De lo aritmético a lo algebraico Pág. 82

Taller preliminar: Sobre construcciones básicas Pág. 86

Taller 1: Iniciación al estudio del Álgebra Pág. 91

Taller 2: Iniciación al pensamiento geométrico Pág. 101

Taller 3: Conceptualización de la noción de Función Pág. 113

Taller 4: Prácticas de lectura, escritura y oralidad Pág. 129

Taller 5: El rol del profesor de Matemática en el aula Pág. 140

Bibliografía consultada y fuentes de referencia Pág. 144

Anexos: Material de Refuerzo para el trabajo en los

talleres

Pág. 148

Acuerdo Pedagógico Pág. 234


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Carta de bienvenida al Instituto de Enseñanza Superior número 9-011 “Del

Atuel”

“Porque toda mirada se produce desde un cierto lugar que determina lo que se ve y

lo que no se ve, lo que se destaca y lo que se omite de acuerdo con las peculiaridades

de quien Mira.” Cecilia Braslavsky

A quienes ingresan a formar parte de la vida de esta comunidad educativa los recibimos con una

voz de esperanza, porque son bienvenidos a la educación pública. El desafío de enfrentar la realidad

cotidiana y el trabajo docente y técnico desde una mirada esperanzada no es una opción, es un

requerimiento fundamental del mandato de nuestra vida institucional.

El camino que emprenden estará signado de retos y vicisitudes, relaciones nuevas y vínculos

fraternos que deseamos y acompañaremos para que se formen.

Desde el equipo de gestión de esta institución, que a partir de ahora es su casa, entendemos

que aun cuando en la tarea de todos los días alternemos sensaciones y situaciones de satisfacción por

los logros obtenidos, con otras de zozobra y angustia frente a la realidad social de la que somos parte y

que a veces parece inabordable; la esperanza es la única actitud posible como educadores. Asumimos

como equipo que el resultado principal de nuestro trabajo, la formación en valores y conocimientos de

las futuras generaciones, sólo se podrá expresar en plenitud en un futuro forjado sobre la base de la

libertad, la democratización de los saberes y el valor de la palabra.

Son ustedes estudiantes del nivel superior, ante todo sujetos de derechos, son adultos/as, con

diversas trayectorias en sus vidas y nos comprometemos a acompañar sus decisiones sobre un pacto

de respeto y tolerancia basado en el diálogo.

Estamos convencidos que es precisamente en el contexto, -aulas y medio socioproductivo-,

donde pueden formarse ciudadanos/as críticos/as y propositivos/as, adquirir un sentido del diálogo y

de la fundamentación, forjar un espíritu crítico y con valores solidarios que les permitan construir una

sociedad más justa y con igualdad de oportunidades; contribuyendo al respeto por la identidad, la

democracia y la integración.


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Acordamos con Paulo Freire cuando propone una educación basada en la esperanza, pero

entendida como necesidad ontológica, esto es, una esperanza que necesita de una teoría y de una

práctica pedagógica pertinente, académicamente válida, crítica de la realidad y de calidad, para que le

permita adquirir concreción histórica con el fin de constituirse en una verdadera herramienta de

transformación social.

Los/as recibimos con los brazos abiertos, con la propuesta de una institución que promueva y

demuestre ´enseñar a aprender´ y con la firme apuesta por generar una actitud positiva frente a la

formación permanente y al cambio continuo.

“No podemos tener la esperanza de predecir el futuro, pero podemos incidir en él. En la medida

en que las predicciones deterministas no son posibles, es probable que las visiones del futuro, y hasta

las utopías, desempeñen un papel importante en la construcción.”

Ilya Prigogine1 El nacimiento del tiempo (1998: 13)

¡BIENVENIDAS Y BIENVENIDOS!

Equipo directivo

1 Premio Nobel de Química en el año 1977.

Lic. Adriana Mandrilli- Lic. Miguel Aldave- Dra. Silvana Yomaha


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PROPUESTA EDUCATIVA INSTITUCIONAL

Carrera Dictamen Resol. Pcial.

Profesorado de Educación Secundaria en

Biología

Aprobac. Plena 0654/ 11


Geografía



Historia



Lengua y Literatura

Aprobac. plena 283/ 12


Matemática

Aprobac. plena 655/ 11

Prof. en Inglés Aprobac. plena

575/ 10

Guía y Técnico Superior en Turismo Aprobac. plena 1257/ 05

Tecnicatura en Obras Viales

Aprobac. plena 1195/14 –

0134/15


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i. COMPONENTE AMBIENTADOR

EL INSTITUTO de ENSEÑANZA SUPERIOR N° 9-011

La gestión en educación superior atiende a visibilizar las capacidades instaladas y a la vez

generar unas dinámicas institucionales que sostengan la formación permanente como un modelo

formativo centrado en el desarrollo y el compromiso de los y las docentes en relación con la

responsabilidad ético-política en tanto agentes del Estado. Un modelo que entiende y asume al docente

como un trabajador intelectual comprometido en forma activa, reflexiva, autónoma y con

responsabilidad, en los procesos de acompañamiento a las trayectorias estudiantiles y profesionales.

El Instituto de Enseñanza Superior “Del Atuel” expresa una trama de relaciones humanas por lo

que resulta importante y necesario puntualizar nuestro desde dónde, es decir, la visión de mundo desde

la cual miramos, pensamos, actuamos y decidimos poner en tensión ‘entre otros’. En efecto,

etimológicamente, el vocablo intervenir significa “venir a ponerse entre dos o más cosas”, esto es,

generar efectos que habiliten los cambios entre actores institucionales a partir del conocimiento de la

dinámica de vivencia y habitación de la institución formadora. Convenimos con Ardoino (1987) acerca

de su concepción de “venir entre” para promover la consolidación de lazos de cooperación y buenas

prácticas formativas. En este sentido, la declaración de principios éticos, teóricos y operacionales tiene

como propósito promover otra mirada, hacer otras preguntas, establecer otras relaciones desde las

cuales preguntarnos por las prácticas, los discursos y las tramas relacionales de las que formamos parte

más allá o más acá de los formatos escolares habituales y hasta por los modelos de asesoramiento a los

que adscribimos (Nicastro, S., Greco, M., 2009). En la intención de gestionar “haciendo que las cosas

sucedan” (Blejmar, 2005), y sobre la base de un saber “hacer” fundado en la intención de “tramar la

acción y el pensamiento” (Davini, M.C., 2016) nos posicionamos en un enfoque que promueva el

acompañamiento situado para la formación docente y técnico profesional, inicial y continua, con

centralidad en la práctica. Para ello, acordamos con María Cristina Davini (2016: 18 y 19) cuando postula


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los tópicos a considerar para efectivizar los “cimientos de la acción”2, tales tópicos operan como

categorías de observación e interpretación del campo observacional de las trayectorias formativas –

estudiantiles y profesionales docentes y técnicas-, a saber:

La valorización de la práctica –profesional y profesionalizante- como fuente de

experiencia y desarrollo

La importancia formativa de los intercambios situados entre los sujetos

El papel del docente como promotor y co- constructor de la experiencia

La diversidad de situaciones en las aulas –y fuera de ellas- y su complejidad, así como

sus dimensiones implícitas

El papel de la reflexión sobre las prácticas

La dimensión artística y singular de la docencia

La mirada política

Estos lineamientos constituyen los orientadores fundamentales para el fortalecimiento de la

dinámica institucional y el ejercicio de las prácticas pedagógicas orientadas a promover la formación de

buenos docentes y técnicos en el marco del proceso de análisis de las condiciones ‘reales’ de los

recorridos formativos. Es por ello que la propuesta desde el equipo directivo de esta institución se

fundamenta en la visión y acción respecto de las trayectorias deseables3 y en la definición de estrategias

y criterios de formación en prácticas de producción y socialización de saberes académicos pertinentes

y situados en los niveles y entornos formativos para los cuales el instituto forma. La Resolución 24 del

año 2007 emitida por el Consejo Federal de Educación4 especifica que “La formación docente inicial

tiene la finalidad de preparar profesionales capaces de enseñar, generar y transmitir los conocimientos

y valores necesarios para la formación integral de las personas, el desarrollo nacional y la construcción

de una sociedad más justa y promoverá la construcción de una identidad docente basada en la

2 La autora refiere al respecto: “(…) la formación inicial representa un importante período que (…) habilita para el ejercicio

de la profesión. Supone una racionalización y una especialización de un determinado saber y de sus prácticas. Aunque luego

continúe la formación permanente en ejercicio, la formación inicial conlleva una primaria responsabilidad pedagógica, social

y política (…) y, si bien aprende siempre a lo largo de su vida laboral (…) la formación inicial genera los cimientos de la

acción.” (Davini, M.C., 2016: 23) 3 Atentos a las denominadas “cronologías de los aprendizajes” (Terigi, F., 2010). 4 En adelante CFE.


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autonomía profesional, el vínculo con las culturas y las sociedades contemporáneas, el trabajo en

equipo, el compromiso con la igualdad y la confianza en las posibilidades de aprendizaje de sus alumnos

(Ley de Educación Nacional5, artículo 71)”. Desde este encuadre referencial, asumimos el desafío

ontológico y la decisión política de concebir a la educación y el conocimiento como un bien público y

un derecho personal y social (Res. CFE 24/ 07) y, en nuestro carácter de miembros integrantes del

equipo directivo de una institución que forma ciudadanos que se desempeñarán como futuros

docentes y técnicos acordamos con el siguiente enunciado de la Resolución 188/12: “(…) las

autoridades jurisdiccionales competentes deben asegurar el cumplimiento de la obligatoriedad escolar

a través de alternativas institucionales, pedagógicas y de promoción de derechos que se ajusten a los

requerimientos locales y comunitarios, urbanos y rurales, mediante acciones que permitan alcanzar

resultados de calidad equivalente en todo el país y en todas las situaciones sociales.” Entendemos que

nuestra propuesta atiende al desarrollo integral de los docentes y los estudiantes de los niveles del

sistema educativo porque se sostiene en la construcción colectiva de los acuerdos y constituye un

dispositivo de empoderamiento para el ejercicio de la profesión y la vida social en general6. La

responsabilidad que el estado nos otorga al constituirnos en agentes del mismo se cristaliza al asumir

el desafío que nos plantea el nivel secundario, en el cual se insertarán mayormente nuestros egresados,

así, como institución formadora somos parte activa y partícipes necesarios en el fortalecimiento de las

condiciones de acceso y permanencia en el sistema educativo de todos los adolescentes y jóvenes (Res.

188/12 CFE).

La participación efectiva se logra a través de la generación de estrategias de apoyo pedagógico

a las escuelas y un acompañamiento recíproco, al cual entendemos aspira contribuir nuestra propuesta

de intervención en tanto modelo de definición de criterios institucionales para la producción,

comunicación y socialización de saberes específicos y situados.

5 En adelante LEN. 6 Cfr. Cuadro de síntesis: Plan de acción. Pág. 15.


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La trayectoria que marca la vida institucional es tan vasta e intensa que sintetizar en unas pocas

líneas una historia de más de veinticinco años es poco más que imposible. Esta memoria, entonces, está

necesariamente incompleta; siempre habrá algo que agregar, modificar, explicar...

En primer lugar, haremos referencia a los Profesorados en su período “normalista”, esto es

como pertenecientes a la Escuela Normal Superior. En 1975 se crean los Profesorados de Geografía y

Ciencias Biológicas, entre otras razones para dar respuesta a la situación geopolítica del sur mendocino.

En el año 1972 se había cerrado el Instituto Superior del Profesorado “Del Carmen”, único hasta

entonces en la modalidad disciplinar en carreras de cuatro años, creándose un vacío educacional en la

ciudad de San Rafael.

Siempre en el ámbito de la Escuela Normal, se crean con posterioridad los Profesorados de Física

y Química y de Ciencias Naturales que cubre el espacio que había dejado el profesorado de Ciencias

Biológicas, cerrado en 1988.

La creciente demanda y diversificación de ofertas disciplinares da lugar a que el Ministerio de

Cultura y Educación de la Nación cree el Instituto Nacional de Enseñanza Superior (I.N.E.S.), el 1° de

julio de 1988.

Aquí podríamos establecer un “corte”, cuando comienza a funcionar en forma independiente

de la Escuela Normal - si bien continúa funcionando en sus instalaciones edilicias-, considerándose ésta

la verdadera fundación del Instituto. Al año siguiente es “bautizado” con el nombre “Del Atuel” en

referencia al vocablo mapuche, que puede traducirse como "quejido", y nos remite a los pueblos

originarios de esta tierra.

Los primeros años de la vida institucional fueron signados por la dependencia de la Jurisdicción

nacional: con debilidades en los marcos teóricos de las diferentes carreras, heterogeneidad de los

planes de estudio; a lo que se sumó la carencia de infraestructura que trae aparejado el funcionamiento

fragmentado. No obstante, la institución generó alternativas para profundizar el proceso de

organización y abrir los caminos académicos que la sociedad sanrafaelina demandaba.

Algunos de los aspectos que merecen destacarse en esta etapa son:


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- La creación de los profesorados de Matemática, Física y Cosmografía y de Castellano, Literatura y

Latín y de la Carrera de Guía y Técnico Superior en Turismo.

- La formación de la Comisión Cooperadora y del Centro de Estudiantes.

- Se realizaron diferentes cursos y jornadas de capacitación y perfeccionamiento; se crea el Centro

Nacional de Capacitación Docente, dependiente del Ministerio de Cultura y Educación, con asiento

en el I.N.E.S. “Del Atuel”.

- Se crean nuevos cargos como el de Vicerrector y de Bibliotecario –y en consecuencia se organiza la

Biblioteca-

- Se implementan cursos de nivelación para los alumnos y se constata un importante incremento en

la matrícula.

A partir de 1993, podría señalarse una nueva etapa, que se inicia en virtud de la transferencia de

los servicios educativos a la jurisdicción provincial, la sanción de la Ley Federal de Educación y Ley de

Educación Superior, así como del inicio del proceso de transformación de la formación docente, que

confieren profundos cambios en la vida institucional.

Desde entonces, el Instituto de Enseñanza Superior - I.E.S.- Nº 9-011 “Del Atuel” dependiente

de la Dirección de Enseñanza Superior, -Dirección General de Escuelas- de la Provincia de Mendoza, ha

implementado numerosas acciones que han enriquecido a la institución. Las relaciones creadas con

unidades académicas varias, tales como universidades, facultades y otras instituciones de nivel

superior; las diversas estrategias vinculadas con la capacitación, el perfeccionamiento y la extensión

sociocomunitaria; el equipamiento de biblioteca y del laboratorio de informática; la concreción de

nuevas carreras; la promoción de la investigación -tanto educativa como disciplinar-; siempre haciendo

frente a las dificultades que generaba la carencia de edificio propio.

En este marco la transformación se presenta como un desafío y como un espacio para generar

propuestas; es una etapa de construcción paulatina y progresiva de una ‘imagen-objetivo’, de discusión


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y toma de decisiones compartidas en el diseño curricular para los nuevos perfiles docentes, de

aprendizaje en nuevos roles y nuevas funciones.

En 1999 la oferta educativa se centró en los Profesorados para Tercer ciclo y Educación

Polimodal en HISTORIA, LENGUA Y LITERATURA, GEOGRAFÍA, MATEMÁTICA Y BIOLOGÍA. En el año 2009

se logró incorporar a la oferta de grado el Profesorado en INGLES y en el 2015 la TECNICATURA

SUPERIOR EN OBRAS VIALES.

La formación inicial de grado tiene una duración de cuatro años y de tres años las Tecnicaturas.

Si bien el instituto avanzaba en el proceso de transformación de la educación superior, comienza

a trabajarse en forma más integral a partir de la inauguración del edificio propio a mediados del mes

de Octubre de 2000. Esto supone refundar el I.E.S. y, entonces, se refuerzan los principios

institucionales.

En el año 2001 se desarrolló el Trayecto Curricular Diferenciado "Coordinador de área",

destinado a docentes de Tercer Ciclo y Polimodal; en el ciclo lectivo 2002 se realizó el T.C.D. "Escuela

domiciliaria-hospitalaria para adolescentes".

También merece destacarse que en el año 2002 egresaron los primeros estudiantes del Postítulo

y de la Licenciatura Extraordinaria en Lengua y Literatura en Convenio I.E.S. Nº 9-011, Universidad

Nacional de Río Cuarto, cursada en nuestra ciudad. En septiembre del 2003 se organizó el Primer Foro

de Educación en Valores, en el que participaron numerosos egresados y estudiantes de diferentes

disciplinas.

Como hito relevante para la vida de la institución se concretó el convenio de Articulación y

Cooperación mutua con la Universidad Nacional de Cuyo, ampliando las perspectivas de prosecución

de estudios de grado, así como el emprendimiento de acciones en torno a la investigación y

capacitación de los y las docentes. Ello fomentó las instancias de trabajo cooperativo de manera

sistemática durante el período 2002 y 2003. En este trabajo se involucraron coordinadores de carreras,

jefaturas de Departamentos, profesores, de manera conjunta con representantes académicos de la

Facultad de Filosofía y Letras de UNC. Los análisis y acuerdos giraron en torno a: problemática del


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alumno que ingresa al Nivel Superior, universitario y no universitario, competencias demandadas como

perfil del ingresante, rendimiento académico de los docentes responsables de la formación en los

profesorados, instancias de capacitación e investigación, etc. En el año 2004 se inicia el cursado de la

Licenciatura en Historia con orientaciones en Historia Mundial e Historia Regional, con sede en el I.E.S.

"Del Atuel". La estructura curricular incluye un tramo formativo, mediado por un Seminario de

Introducción General a la Problemática de la Historia, en tanto propedéutica, para la elección de las

orientaciones, correspondiente al ciclo de Licenciatura propiamente dicho. La más reciente articulación

se concretó con la misma Universidad, pero esta vez con el Instituto de Geografía, desarrollándose

durante el 2007 la Licenciatura en Geografía para los egresados del IES del Atuel. De ambas

articulaciones ya hay egresados con la titulación de licenciados en Historia y en Geografía. Para la

Tecnicatura en Turismo también se llevó a cabo un convenio de articulación con la Universidad de

Congreso, y ya hay egresados de nuestro IES que continuaron y obtuvieron el título de Licenciado en

Turismo.

En lo relativo a la propuesta formativa institucional para el desarrollo profesional continuo -para

los egresados de la institución-, en el año 2005 se inició la implementación del Postítulo de Actualización

docente en Legislación y Administración escolar. En el 2006 y 2007 se desarrollaron postítulos para los

egresados de las carreras de Matemática, Biología y Lengua y Literatura, dos de los cuales poseen el

Nivel de Especialización. En ese año se inició un postítulo en Dramaturgia en articulación con el Instituto

Profesorado de Arte Nº 9-014.

En el año 2006 se desarrolló el 1er. Ateneo de Instituciones de formación docente y técnica del

sur mendocino, constituyendo hasta la actualidad un encuentro de producción, difusión y visibilización

de las prácticas formativas, de enseñanza y de investigación y un ejercicio efectivo de la

democratización de los saberes producidos en y para el nivel superior. En efecto, desde el año 2006, el

Ateneo de Instituciones de Formación Docente y Técnica del sur mendocino constituye una instancia

formativa que pretende instalar prácticas formativas y de investigaciones situadas en y para el Nivel

Superior. En correspondencia con la resolución N° 30/07 del Consejo Federal de Educación (CFE)

tratamos de propiciar situaciones valiosas en torno a la producción de saberes que impacten en la


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formación de los futuros docentes y técnicos, en relación con los entornos socio productivos y los

ámbitos educativos para los que se forma el estudiante del nivel superior.

Consideramos que la producción de saberes específicos en el Nivel Superior se desarrolla

estrechamente con la circulación y distribución de los mismos, asumiendo que el saber no responde a

una lógica de producción lineal y acumulativa sino más bien a una lógica espiralada en construcción

constante y en clave retroalimentativa.

Desde este enfoque, cada año se promueve el intercambio y socialización de saberes

oportunamente producidos. El Ateneo entrama el quehacer de profesionales y estudiantes de los

Institutos de Formación Docente y Técnica así como de las escuelas asociadas, organismos

gubernamentales y no gubernamentales, empresas y entidades vinculadas con el medio socio

productivo y socio comunitario. La presentación de experiencias y saberes situados se desarrolla de

acuerdo con la definición de ejes temáticos vertebradores de las propuestas y diferentes formatos, a

saber: socialización de comunicaciones en mesas temáticas, talleres/intervenciones/experiencias

recreativas, propuestas de articulación con escuelas asociadas, presentación de actividades áulicas y

líneas de trabajo institucionales e interinstitucionales, charlas- debate, conferencias y presentación de

libros. Este proceso de institucionalización de prácticas de enseñanza a través de la investigación que

se expresan en el Ateneo de Instituciones de Formación Docente y Técnica del sur mendocino, atraviesa

la dinámica institucional del IES del Atuel en pos de la democratización y la construcción colectiva de

saberes situados y el fortalecimiento de las trayectorias formativas de nuestros estudiantes.

También es significativo institucionalmente la organización de actividades de envergadura

nacional como lo fue el desarrollo del XVIII Encuentro Nacional de Profesores en Geografía y IV Jornadas

Regionales de Turismo y Geografía, en el mes mayo de 2008, el Primer Congreso Nacional de Enseñanza

de la Matemática y las Cs. Naturales en noviembre de 2009 y en octubre del 2010 el Encuentro

Latinoamericano en la Enseñanza de la Matemática y las Cs. Naturales. También en octubre, la primer

Feria del Libro de Inglés del Nivel Superior.

Con la creación del Instituto Nacional de Formación Docente (INFD) en el año 2007 y la

vinculación con el nivel superior no universitario del Instituto Nacional de Educación Tecnológica –


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organismo creado en 1995- (INET), nos vimos enmarcados en un proceso formativo a nivel nacional y,

así, numerosos proyectos –concursables- y programas nacionales, provinciales e institucionales nos

exigen un trabajo permanente y de participación de alumnos y docentes: Programa de Políticas

Estudiantiles, (con un interesante sistema de becas), Proyectos de Investigación Convocatorias

‘Conocer para incidir en las prácticas pedagógicas’, Proyectos de Mejora Institucional (que entre otros

aspectos ha permitido un significativo equipamiento de la institución), Seguimiento de cohortes, que

propone el acompañamiento de los estudiantes por parte de docentes y alumnos avanzados,

sostenimiento del Grupo de Teatro Tespis, cursos de capacitación para docentes y alumnos, entre

otros.

El camino que recorremos se profundiza en el proceso de resignificación del mandato

fundacional, que sostenemos en forma creciente y continua, ante las demandas de la comunidad del

sur mendocino.

Este proceso se construye “entre trayectorias”, al decir de Greco y Nicastro (2009), con sus

actores, sujetos sociales portadores de historias, saberes, contextos, que presentan características

socio, económicas, culturales, que dan, también, identidad a la institución.

Actualmente, desde la institución asumimos el férreo compromiso de sostener una educación

pública de calidad, comprometida con la comunidad y basada en los principios de la solidaridad

orgánica, el diálogo y el respeto.

GOBIERNO Y ORGANIZACIÓN ACADÉMICA

En lo que respecta a la ambientación, una forma de empezar a sentirse parte, de ir construyendo

el sentimiento de pertenencia al Instituto, es recorrerlo, conocerlo desde adentro.

Veamos cómo es su GOBIERNO:

Está ejercido por el Consejo Directivo, la Rectoría y las Vicerrectorías, y cuenta con la colaboración de

los Jefes de Departamentos y de los Coordinadores de Carreras. De manera que el poder de decisión

está a cargo de su co-gobierno.


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El Consejo Directivo

Es el órgano máximo de gobierno. Está integrado por la Rectoría, un Consejero Directivo, seis docentes,

tres estudiantes, un egresado y un representante no - docente.

Se reúne una vez al mes y en sus sesiones se tratan temas fundamentales para la vida institucional. Por

ejemplo, se elige al Rector y Vicerrectores, se reglamentan las obligaciones del personal y de los

alumnos, se resuelven las cuestiones referidas al ámbito académico - propuestas por el Consejo

Académico -, etc.

Las reuniones del Consejo Directivo tienen carácter público; es decir, cualquier interesado puede

presenciar la sesión, aunque sin derecho a participar en las discusiones ni tampoco a votar las

decisiones. Las sesiones son públicas y en ocasiones y por pedido expreso de la mayoría de los

Consejeros, pueden ser “cerradas”.

La Rectoría

Es la autoridad ejecutiva máxima. Este cargo es concursado y elegido por el Consejo Directivo y dura

cuatro años en sus funciones.

Son atribuciones y deberes de la Rectoría: convocar y presidir las sesiones del Consejo Directivo, asumir

la representación y gestión del Instituto, protocolizar designaciones autorizadas por el Consejo

Directivo, expedir matrículas, permisos, certificados y diplomas de alumnos, entre otras cosas.

Las Vicerrectorías

Reemplazan a la Rectoría cuando ésta se ausenta en forma transitoria o permanente; se diferencian

por sus funciones:

La Vicerrectoría de Asuntos Académicos

Es responsable de coordinar y supervisar la actividad de los Departamentos y Carreras, preside el

Consejo Académico.

Los Departamentos que dependen de la Vicerrectoría de Asuntos Académicos son:


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- Formación Inicial de grado

- Capacitación, Actualización y Perfeccionamiento Docente

- Promoción, Investigación y Desarrollo educativo

La Vicerrectoría de Asuntos Estudiantiles

Entiende en todas las cuestiones relativas a los estudiantes y a las organizaciones estudiantiles,

supervisa las funciones de la biblioteca, es la autoridad administrativa sobre el personal de bedelía

(preceptores) y secretaría, etc. Esta Vicerrectoría coordina el Consejo Administrativo: que es un cuerpo

colegiado, formado por representantes del sector administrativo, biblioteca y laboratorio de ciencia e

informática.

Nos detendremos ahora en su ORGANIZACIÓN ACADÉMICA.

El órgano colegiado, Consejo Académico, está integrado por la Vicerrectoría de Asuntos Académicos,

los Jefes de Departamentos y los Coordinadores de Carrera. Su función es consultiva y asesora al

Consejo Directivo sobre cuestiones pedagógico-didácticas, técnicas y científicas.

Los Departamentos son unidades funcionales a través de los cuales se favorece la formación

inicial de grado, la capacitación y el perfeccionamiento docente y la investigación.

El RÉGIMEN ACADÉMICO, se refiere al conjunto de normativas que regulan la actividad de enseñanza

aprendizaje en el Instituto.

Haremos ahora mención a lo que se ha dado en llamar “Hoja de ruta” del estudiante, esto es el

Diseño Curricular de la Carrera. El Diseño abarca distintos aspectos: fundamentos científicos y

pedagógicos, unidades o espacios curriculares –por cuatrimestre y por año-, crédito horario,

correlatividades, etc. Este documento debe ser bien conocido por ustedes porque pauta la normativa

general de la Carrera.


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FUNCIONES DEL CENTRO DE ESTUDIANTES

El Centro de Estudiantes es -básicamente- el órgano encargado de representar y defender los

intereses de los alumnos en el seno de una institución educativa. Está conformado en su totalidad por

alumnos y sus actividades están orientadas a organizar el claustro estudiantil. Entre algunos de sus

principios se encuentra el de promover la libertad y la igualdad de la enseñanza defendiendo el carácter

democrático, autónomo y popular del Instituto. Garantizar la tolerancia a las ideas ajenas, promoviendo

los valores de la solidaridad y el respeto -como así también la excelencia académica-, luchar contra todo

intento de modificar el carácter social de nuestro instituto (que posibilita la asistencia de los estudiantes

que trabajan) y defender la calidad y gratuidad de la educación pública.

Sus finalidades son: atender la defensa de los derechos de los estudiantes y contribuir para el

cumplimiento de los deberes de los mismos, representar a los estudiantes ante las autoridades y

estimular y promover la unidad del estudiantado.

CÓMO ESTÁ FORMADO EL CENTRO

El Centro de estudiantes está formado por: la Asamblea General, la Comisión Ejecutiva (el CEIES

propiamente dicho) y el Cuerpo de Delegados.

La Asamblea General es la autoridad máxima del Centro y está constituida por todos los

alumnos del Instituto convocados en forma voluntaria en proporción no menor al 50% más uno de la

cantidad total de alumnos. Ella tiene el poder y la facultad de juzgar, reformar y hasta de disolver el

Centro de Estudiantes. Cualquiera puede solicitar que sesione, siempre y cuando esté avalado por la

firma de no menos del 10% del alumnado. Pero hay que recordar que la Asamblea General es solamente

una instancia extraordinaria en la toma de decisiones, y que para ello existe la Comisión Ejecutiva

elegida para tal fin.

La Comisión Ejecutiva está formada por el presidente del Centro de Estudiantes, el

vicepresidente, el secretario general y siete secretarías con sus respectivos responsables y suplentes.

Las secretarías son: de Finanzas, de Cultura, Prensa y difusión, Deportes, Ecología, Acción social y

Defensoría del alumno; cada una tiene funciones específicas.


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Por último, y no menos importante, está el Cuerpo de Delegados, compuesto por los delegados

y vice de cada curso, los que tienen la responsabilidad de trasladar las inquietudes de sus compañeros

a la Comisión Ejecutiva y mantenerlos informados acerca de las decisiones y problemáticas suscitadas

en el Instituto. El papel de los delegados es sumamente importante a la hora de gestionar las becas y

controlar que la distribución de las mismas sea justa y equitativa. Pero no son las únicas funciones que

tienen que desempeñar, si bien las más importantes.


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RÉGIMEN ACADÉMICO MARCO (RAM)

RESOLUCIÓN N° 0258 /2012 DGE. DES

A- ¿QUÉ ES EL RAM?

Es una norma marco de cumplimiento obligatorio para todos los Institutos de Educación

Superior, a cuyas disposiciones deberán adecuarse los Regímenes Académicos Institucionales (RAI)

El presente Régimen Académico Marco (RAM) se aplica a los Institutos de Educación Superior, de

Gestión Estatal y Privada, de Formación Docente y/o Técnica de la Provincia de Mendoza, dependientes

de la Dirección de Educación Superior, quien se constituye en la autoridad de aplicación.

Sobre el Régimen Académico

Es el conjunto de normas que regula las prácticas de los distintos actores institucionales en orden a

posibilitar los recorridos de los/as estudiantes por las diferentes unidades que los Diseños Curriculares

proponen para Ilevar a cabo el proceso de formación.

Principios estructurales

En el presente marco normativo se establecen, de manera general, los requisitos y las

condiciones institucionales que habrán de asegurarse, para posibilitar a quienes aspiran a realizar

estudios superiores:

a. el ingreso a las instituciones y ofertas formativas del nivel, el tránsito por las unidades

curriculares e instancias formativas planteadas, la permanencia como estudiantes regulares

y su promoción a través de las distintas unidades curriculares, la conclusión de los estudios

y la obtención del título o postítulo con la validez

B- EN CUANTO AL INGRESO E INSCRIPCIONES

Sobre la condición de estudiante


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Un/a aspirante a realizar estudios de nivel superior podrá inscribirse como estudiante de un

Instituto de Educación superior, asumiendo las siguientes condiciones:

a. condición de estudiante regular: en el caso en que aspire a Ia conclusión de los estudios a

través del cumplimiento de las obligaciones académicas establecidas en el Diseño Curricular

correspondiente.

b. condición de estudiante vocacional: en el caso en que aspire a la realización de no más del

30 % de la carga horaria total que implica el desarrollo curricular de la oferta a la que se inscribe.

c. condición de estudiante visitante: en el caso que un/a estudiante de otra institución de

Educación Superior aspire a cursar un conjunto de unidades curriculares de una o varias ofertas

formativas.

C- HABLEMOS DEL ALUMNO/A REGULAR

La inscripción como estudiante regular puede asumir provisoriamente el carácter de

condicional hasta tanto se complete Ia documentación requerida, en el lapso del primer cuatrimestre

de cursado. Quienes sean inscriptos como estudiantes regulares en carácter condicional tendrán todos

los derechos y obligaciones de un/a estudiante regular; sin embargo, no podrán acreditar unidades

curriculares hasta tanto completen la documentación exigida.

Su condición de regular existe, en la medida en que acredite al menos una unidad curricular por

ciclo lectivo. Quienes no cumplan este requisito, pierden la condición de estudiante regular. En este

caso, los/as estudiantes podrán solicitar su readmisión hasta tres veces consecutivas o alternadas,

mediante los procedimientos administrativos y las condiciones que se definan institucionalmente.

Para el otorgamiento de la readmisión se tendrá en cuenta Ia fecha de cierre prevista para las

carreras a término.

Con la conclusión de los estudios y Ia obtención del título o postítulo correspondiente se

adquiere Ia condición de egresado y se pierde la condición de estudiante regular.


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1. EL PROCESO DE INGRESO

El curso de ingreso contiene:

I. aspectos introductorios a los saberes disciplinares y profesionales específicos,

II. aspectos nivelatorios respecto de las desigualdades iniciales y a los requerimientos básicos de una

formación de nivel superior,

III. aspectos de ambientación a las particularidades institucionales y académicas en las que se inscriben

los estudios de nivel superior.

Además contempla el desarrollo de estrategias especiales de acompañamiento en los

desempeños académicos iniciales, durante el primer año curricular.

En el proceso de ingreso es responsabilidad de los/as aspirantes recabar toda la información

necesaria sobre la institución, la propuesta formativa y los requerimientos del campo laboral y

profesional, a fin de que, una vez inscriptos como estudiantes del Instituto de Educación Superior,

puedan diseñar un proyecto formativo personal acorde a sus necesidades y posibilidades,

aprovechando las instancias de acompañamiento institucional.

D- HABLEMOS AHORA DE TRAYECTORIA ACADÉMICA

El RAM establece los requisitos y condiciones institucionales relativos al régimen de cursado,

evaluación, acreditación y promoción, comunes a toda la jurisdicción en relación con los distintos

campos de formación a excepción del campo de la práctica.

Sobre el cursado de las unidades curriculares

Se denomina cursado al proceso académico durante el cual se desarrolla el conjunto de

actividades de enseñanza y aprendizaje que los/as docentes hayan planificado para cumplir con los

objetivos pedagógicos de una unidad curricular.

Para cursar, los/as estudiantes deberán inscribirse en cada una de las unidades curriculares al

iniciar el ciclo Lectivo o el cuatrimestre correspondiente.


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El cursado de una unidad curricular implica el cumplimiento de las obligaciones académicas que

los/as docentes establecen para lograr Ia regularidad, en el marco de los Diseños Curriculares de la

propuesta formativa.

Sobre la asistencia, la evaluación y la regularidad en el cursado

Son obligaciones académicas del cursado, que se establecerán según el formato y el tipo de

acreditación de las unidades curriculares:

Asistencia: incluye tanto la concurrencia a clases o a otras instancias formativas, como el

cumplimiento de actividades de aprendizaje que se establezcan al iniciar el desarrollo de la unidad

curricular correspondiente.

Hasta un 30 % de la carga horaria total podrá destinarse a la realización de actividades no presenciales

de aprendizaje auto dirigido o autónomo, que será contabilizado dentro del porcentaje de asistencia

exigido (Cfr. Anexo 1, Cap. Onico, 111.1, Res. 32-CFE-07).

. Evaluaciones de proceso: incluye todas las actividades individuales y/o grupales cuya realización

y aprobación constituyan uno de los requisitos para lograr Ia regularidad y, si fuera el caso, la

acreditación directa de la unidad curricular. La cantidad y tipo de estas evaluaciones constara en las

planificaciones de cada unidad curricular, y deberá ser conocida por los/as estudiantes.

La escala de calificación que se utilizara en los procesos de evaluación de los aprendizajes es

numérica, e ira desde el 0 (cero) coma puntaje mínima, al 10 (diez) coma puntaje máxima. Se

considerara "aprobada" la evaluación que haya obtenido un puntaje de 4 (cuatro) y "desaprobada" la

que haya obtenido un puntaje menor que 4 (cuatro).

La regularidad en el cursado de todas las unidades curriculares de los diseños correspondientes

se obtendrá con el cumplimiento de la asistencia exigida y la aprobación de las evaluaciones de proceso.

En los RAI se podrá establecer como exigencia máxima para obtener la regularidad una asistencia del

60 %. Para la aprobación de cada una de las evaluaciones de proceso se establece como exigencia a los

fines de obtener la regularidad una calificación no menor a 4 (cuatro).


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La regularidad del cursado de cada unidad curricular tendrá una duración de 2 (dos) años

académicas o 7 (siete) turnos ordinarios de examen.

En todas las unidades curriculares deberán asegurarse instancias recuperatorias tanto de la

asistencia coma de las evaluaciones de proceso, de manera que se acredite el logro de los aprendizajes

esperables durante el cursado regular de las unidades curriculares.

Sobre la acreditación

La acreditación es el acto académico-administrativo a través del cual se reconoce la apropiación

por los/as estudiantes de saberes y capacidades en el desarrollo de una unidad curricular.

La acreditación de las unidades curriculares, que deberá quedar debidamente documentada en

la institución, se podrá producir por:

a. el cumplimiento de las obligaciones académicas para lograr la acreditación directa,

cuando así correspondiera;

b. la aprobación del examen final correspondiente, con una calificación no menor a 4

(cuatro);

c. el otorgamiento de equivalencias;

d. el reconocimiento de créditos.

Cuando los Diseños Curriculares determinen la posibilidad de la acreditación directa de una

unidad curricular, se podrá establecer coma exigencia máxima un porcentaje de asistencia del 75 %.

Para la aprobaci6n de cada una de las evaluaciones de proceso, a los fines de la acreditación directa se

establece como exigencia una calificación no menor a 7 (siete). Cumplidos estos requisitos del cursado,

se dará por acreditada la unidad curricular correspondiente.

Sobre el examen final

El examen final de los/as estudiantes regulares de una oferta formativa podrá ser:


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a. En carácter de examen regular: en caso de haber cumplido con las condiciones de

regularidad de la unidad curricular y podrá ser oral o escrito.

b. En carácter de examen libre: en el caso de no cumplir con las condiciones de

regularidad de la unidad curricular y deberá ser escrito y oral.

Los órganos colegiados de los Institutos deberán aprobar las propuestas de unidades

curriculares cuyo examen final pueda realizarse en carácter de libre, excluyendo en todos los casos el

campo de las practicas docentes / practicas profesionalizantes y las unidades curriculares cuyos

formatos impliquen prácticas de taller, laboratorio o trabajo de campo.

Un examen final podrá ser rendido y desaprobado hasta tres veces. Agotadas estas posibilidades el/la

estudiante deberá recursar la unidad curricular. En los RAI se deberá definir la cantidad de veces que

podrá darse curso al pedido de recursado.

Sobre las equivalencias:

Las equivalencias, como modo de acreditación de saberes y capacidades, reconocen los

aprendizajes de Nivel Superior ya realizados por los/as estudiantes como equiparables a los propuestos

en la unidad curricular por la que se solicita acreditación por equivalencia.

Los/as estudiantes que hayan egresado o realizado estudios en instituciones de Educación

Superior podrán solicitar el reconocimiento de sus estudios, como equivalentes a las unidades

curriculares que consideren equiparables en sus objetivos y contenidos.

Corresponde a los Institutos de Educación Superior, conforme a lo que establezcan en sus RAI y

mediante los procedimientos que definan:

a. evaluar la correspondencia entre los estudios realizados por el/la estudiante y las

unidades curriculares por las que se solicitan reconocimiento de equivalencia;

b. cuando los objetivos y contenidos ponderados se correspondan con los estudios

realizados en un 70 % o más, se otorgara la equivalencia total, siempre y cuando la


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acreditación no supere los 5 (cinco) arios al pedido de la equivalencia para los casos de

estudios incompletos;

c. corresponde al Consejo Directivo expedirse sobre la/s equivalencia/s a través de una

norma, y comunicar al/ la interesado/a el resultado de su pedido.

Sobre el reconocimiento de créditos

La jurisdicción podrá definir, a través de normativa específica, modos de acreditación de

conocimientos y capacidades por medio de un sistema de créditos.

Sobre el régimen de promoción

El régimen de promoción busca resguardar los principios de fluidez, asequibilidad y flexibilidad

de las trayectorias académicas que sustentan al presente Régimen Académico Marco, así como la

calidad de los procesos formativos que se requieren impulsar.

La adopción del sistema de correlatividades como régimen de promoción implica que un/a estudiante:

a. para cursar una unidad curricular, deberá tener regularizada la correlativa anterior; b.

para acreditar de manera directa o rendir el examen final de una unidad curricular,

deberá tener acreditada la correlativa anterior.

El régimen de promoción en las propuestas formativas de Educación Superior se establecerá en cada

Diseño Curricular, por un sistema de correlatividades con exigencias mínimas.

E.- CONCLUSIÓN DE LOS ESTUDIOS

Con Ia acreditación de todas las unidades curriculares de una propuesta formativa se darán por

concluidos los estudios correspondientes. Con la conclusión de los estudios, corresponde a los Institutos

de Educación Superior tramitar la emisión de títulos y certificaciones debidamente legalizados y con el

resguardo documental necesario, conforme a los marcos normativos vigentes.


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La cantidad máxima de años para concluir los estudios se estipula en el doble de años que

determine el plan de estudios más el margen que establezcan en el Régimen Académico Institucional,

los Consejos Directivos de los Institutos, el cual no podrá extenderse más de 2 (dos) años.

Prof. MARIA INES ABRILE DE VOLLMER

Lic. LIVIA SANDEZ DE GARRO


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RÉGIMEN ACADÉMICO INSTITUCIONAL (RAI)

APROBADO POR CONSEJO DIRECTIVO ACTA Nº 03/15

-EXTRACTO-

ÍNDICE (completo)

PARTE I: DISPOSICIONES GENERALES

CAPÍTULO 1: Ámbito y autoridad de aplicación del Régimen Académico Institucional

CAPÍTULO 2: Información Institucional

PARTE II: INSCRIPCIONES PARA INGRESO A LAS CARRERAS

CAPÍTULO 3: Condición de los/as estudiantes

CAPÍTULO 4: Estudiante Regular de formación inicial

CAPÍTULO 5: Estudiante Regular de formación posterior

CAPÍTULO 6: Estudiante Vocacional

CAPÍTULO 7: Estudiante Visitante

CAPÍTULO 8: Estudiantes mayores de 25 años

PARTE III: INGRESO A LAS CARRERAS

CAPÍTULO 9: Ingreso

PARTE IV: TRAYECTORIA ACADÉMICA

CAPÍTULO 10: Año Académico

CAPÍTULO 11: Inscripción para el Cursado de unidades/espacios curriculares de la formación inicial

CAPÍTULO 13: Modalidad de cursado para la formación inicial

CAPÍTULO 14: Asistencia, evaluación y regularidad en el cursado de la formación inicial

CAPÍTULO 15: Sobre la Acreditación

CAPÍTULO 16: Recursado de las unidades/espacios curriculares

CAPÍTULO 17: Pérdida de la Condición de Estudiante Regular

CAPÍTULO 18: Readmisión

CAPÍTULO 19: Modalidad de cursado para formación posterior

PARTE V: MESAS ESPECIALES DE EXÁMENES FINALES


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CAPÍTULO 19: Mesas Especiales

PARTE VI: PRÁCTICA PROFESIONAL DOCENTE Y PRÁCTICA PROFESIONALIZANTE

CAPÍTULO 20: Reglamento Práctica Profesional Docente y Práctica Profesionalizante

PARTE VII: CONVIVENCIA INSTITUCIONAL

CAPÍTULO 21: Régimen de convivencia

PARTE VIII: PASES

CAPÍTULO 22: Procedimiento

CAPÍTULO 23: Inscripción y documentación a presentar

PARTE IX: EQUIVALENCIAS

CAPÍTULO 24: Solicitud de Equivalencias

CAPÍTULO 25: Documentación de Equivalencias

CAPÍTULO 26: Actualizaciones académicas

PARTE XI: CARRERAS

CAPÍTULO 27: Duración de las Carreras

PARTE XII: AYUDANTÍAS DE CÁTEDRA

CAPÍTULO 27: Descripción general

CAPÍTULO 28: Ayudantía de cátedra: adscripto

CAPÍTULO 29: Ayudantía de cátedra: asistente

PARTE I: DISPOSICIONES GENERALES

CAPÍTULO 1: ÁMBITO Y AUTORIDAD DE APLICACIÓN DEL RÉGIMEN ACADÉMICO INSTITUCIONAL

Artículo 1: El presente Régimen Académico Institucional (RAI) se aplica al Instituto de Educación Superior 9-011 “Del Atuel” (IES), dependiente de la Dirección de Educación Superior, Dirección General de Escuelas, provincia de Mendoza.

Artículo 2: El RAI es el dispositivo que permite acompañar y sostener, en su complejidad y especificidad, la trayectoria formativa de los/as estudiantes del IES.

Artículo 3: El presente régimen tiene como marco de referencia el Régimen Académico Marco (RAM) de los Institutos de Educación Superior de la provincia de Mendoza.

Artículo 4: El Consejo Directivo resolverá en todas aquellas situaciones que ameriten alguna excepción respecto a lo regulado en el presente RAI, para lo cual se planteará el siguiente procedimiento:

a. presentación escrita de solicitud del/la interesado/a, fundando el pedido que realiza;

b. solicitud de informes a los actores involucrados (docentes, coordinadores de carrera, Consejo


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Académico, etc.);

c. notificación al interesado/a de la resolución del Consejo Directivo;

d. formalización de compromisos por parte del/la interesado/a, en caso de ser aceptada la solicitud;

e. formalización de compromisos de acompañamiento por parte de la institución para superar las dificultades que hubieran ocasionado la solicitud de excepción.

CAPÍTULO 2: INFORMACIÓN INSTITUCIONAL

Artículo 5: La información institucional es considerada un bien público y un derecho personal y social de todos los miembros de la institución, necesaria para alcanzar el derecho a la educación.

A la vez que, garantizado este derecho por todo el equipo de gestión, a través de canales adecuados y efectivos, es obligación de cada uno/a conocer dicha información (incluida toda normativa institucional, jurisdiccional y nacional) y hacer uso responsable de ella.

Artículo 6: El equipo de gestión garantizará la comunicación mediante el uso de diversos canales (físicos y/o virtuales) que deberán ofrecer toda la información necesaria para el buen desenvolvimiento de las actividades institucionales de manera clara y actualizada. Nadie podrá aludir desconocimiento si alguno de estos canales ha sido utilizado, ya que se considerará como válido cualquiera de ellos.

Sin perjuicio de futuras modificaciones o ampliaciones se establecen al menos los siguientes:

a. Físicos: carteleras (para cada Carrera, con información específica; para información general; para la Cooperadora, para el Consejo Directivo y Académico, para el Centro de Estudiantes, para preceptoría, entre otras).

En este caso, será responsabilidad individual la consulta periódica de los diferentes soportes físicos distribuidos en el edificio educativo.

b. Virtuales: sitio web institucional, aulas virtuales, mails, mensajes por telefonía celular, etc.

En este caso, será responsabilidad individual la consulta periódica de dichos canales, así como mantener actualizada la base de datos de contacto institucional notificando cualquier cambio.

Artículo 7: Se habilitarán canales de comunicación específicos para los/as interesados/as en integrar la comunidad educativa del IES, donde podrán recabar toda la información necesaria sobre la institución (propuestas formativas, sus requerimientos, sus ámbitos de acción laboral, concursos docentes, etc.), por medio del sitio web institucional, folletería, carteles, publicaciones periodísticas, ferias educativas, etc.

PARTE II: INSCRIPCIONES PARA INGRESO A LAS CARRERAS

CAPÍTULO 3: CONDICIÓN DE LOS/AS ESTUDIANTES


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Artículo 8: Es aspirante a realizar estudios de nivel superior el/la estudiante que se inscriba bajo alguna de las siguientes condiciones:

a. Condición de estudiante regular: en el caso en que aspire a la conclusión de los estudios a través del cumplimiento de las obligaciones académicas establecidas en el Diseño Curricular correspondiente.

b. Condición de estudiante vocacional: en el caso en que aspire a la realización de no más del 30% de la carga horaria total que implica el desarrollo curricular de la oferta a la que se inscribe.

c. Condición de estudiante visitante: en el caso que un/a estudiante de otra institución de Educación Superior aspire a cursar un conjunto de unidades/espacios curriculares de una o varias ofertas formativas.

CAPÍTULO 4: ESTUDIANTE REGULAR DE FORMACIÓN INICIAL

Artículo 9: La condición de estudiante regular del IES se adquiere cuando se completa el proceso administrativo de inscripción a una oferta formativa que realiza la institución. Este proceso concluye cuando se cumple con los siguientes requisitos:

a. Concluir y aprobar la formación previa exigida para realizar los estudios correspondientes.

b. Completar, es decir cursar y acreditar, las instancias propedéuticas del proceso de ingreso.

c. Presentar la documentación requerida administrativamente.

Artículo 10: Para inscribirse como estudiante regular del IES el/la aspirante deberá presentar la siguiente documentación requerida administrativamente:

a. Acreditación de identidad con el Documento Único. En caso de estudiante extranjero, deberá ajustarse a la normativa nacional (fotocopia autenticada).

b. Acta de Nacimiento (fotocopia autenticada).

c. Certificado definitivo de conclusión de la formación previa exigida para realizar los estudios correspondientes (fotocopia autenticada) o constancia de “Título en trámite” (original). En el caso de estudiante extranjero, realizar la convalidación, reconocimiento o reválida de estudios extranjeros según la normativa nacional.

d. Constancia de CUIL.

e. En el caso de personas mayores de 25 años que aspiren a cursar carreras de formación inicial y que no hayan completado el nivel medio, deberán ajustarse a lo establecido en el Art. 7mo. de la Ley de Educación Superior N° 24.521 y/o regulación vigente.

f. Cédula Sanitaria, expedida por un organismo público (fotocopia autenticada).

g. Ficha de inscripción con los datos personales, la que tiene carácter de Declaración Jurada.

h. Toda otra información o documentación que se considere pertinente para un mejor desarrollo del recorrido académico del /la estudiante.


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Artículo 11: Un/a estudiante podrá inscribirse como estudiante regular en carácter de condicional hasta tanto cumplimente las exigencias del artículo 9.

a. En todos los casos, esta situación de condicionalidad, permite a el/la estudiante tener los derechos y obligaciones de un/a estudiante regular, excepto acreditar unidades/espacios curriculares en el IES.

b. Se establece como fecha límite para esta condicionalidad la duración del primer cuatrimestre del año académico en que se inscribe, vencido dicho plazo el/la estudiante pierde su condición de regular.

CAPÍTULO 6: ESTUDIANTE VOCACIONAL

Artículo 14: La condición de estudiante vocacional se refiere a la inscripción de un/a aspirante en un conjunto de unidades/espacios curriculares de una oferta formativa, no superior al 30 % de la carga horaria total del Diseño Curricular vigente.

Artículo 15: El aspirante a estudiante vocacional deberá demostrar aptitudes y conocimientos suficientes acordes para cursar las unidades/espacios curriculares en la que registra inscripción, mediante presentación de Curriculum Vitae con carácter de declaración jurada.

Artículo 16: Los antecedentes de los/as estudiantes serán analizados por el/la docente a cargo de la unidad/espacio curricular y el/la Coordinador/a de la carrera. Tal consideración será ratificada o rectificada por el Consejo Académico y Consejo Directivo.

Artículo 17: Se excluye de esta posibilidad el Trayecto de la Práctica Profesional Docente y

Practicas Profesionalizantes en las carreras de formación técnica.

Artículo 20: El desarrollo del cursado se ajustará a las condiciones establecidas en el Contrato Pedagógico de cada unidad/espacio curricular.

Artículo 21: La institución documentará y certificará, mediante resolución de Consejo Directivo, el recorrido académico en cada unidad/espacio curricular de los/as estudiantes vocacionales, de acuerdo a las siguientes figuras:

a. Con carácter de oyente: cuando cumpla sólo con la asistencia requerida.

b. Con acreditación de saberes: cuando apruebe las instancias evaluativas institucionalmente establecidas (quedando excluida la instancia de examen libre) en un plazo no mayor a los 2 años desde la finalización del cursado correspondiente.

Artículo 22: Dicha certificación no genera obligaciones de reconocimiento de equivalencia o créditos para el cursado de una oferta educativa en condición de estudiante regular.

CAPÍTULO 7: ESTUDIANTE VISITANTE

Artículo 23: La condición de estudiante visitante surge cuando un/a estudiante de otra institución de Nivel Superior, con convenio interinstitucional vigente firmado, solicita la inscripción en un/a o conjunto de unidades/espacios curriculares de una o varias ofertas formativas.


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Artículo 24: Son requisitos de inscripción como estudiante visitante, ser estudiante regular de otra institución de Educación Superior, demostrar aptitudes y conocimientos suficientes para cursar las unidades/espacios curriculares en las que desee inscribirse y haber completado la documentación requerida.

Artículo 26: Los antecedentes de los/as estudiantes serán analizados por el Docente a cargo de cada unidad/espacio curricular y el Coordinador de la carrera. Tal consideración será ratificada o rectificada por el Consejo Académico y Consejo Directivo.

Artículo 27: Se excluye de esta posibilidad el Trayecto de la Práctica Profesional Docente y Practicas Profesionalizantes en las carreras de formación técnica.

Artículo 28: El desarrollo del cursado se ajustará a las condiciones establecidas en cada Contrato Pedagógico.

Artículo 29: La institución documentará y certificará, mediante resolución de Consejo Directivo, el recorrido académico en cada unidad/espacio curricular de los/as estudiantes visitantes, de acuerdo a las siguientes figuras:

a. Con carácter de oyente: cuando cumpla sólo con la asistencia requerida.

b. Con acreditación de saberes: cuando apruebe las instancias evaluativas institucionalmente establecidas (quedando excluida la instancia de examen libre) en un plazo no mayor a 7 turnos ordinarios de examen desde la finalización del cursado correspondiente.

Artículo 30: Dicha certificación no genera obligaciones de reconocimiento de equivalencia o créditos para el cursado de una oferta educativa en condición de estudiante regular del IES.

Artículo 31: La institución de origen será la responsable del reconocimiento académico de toda certificación emitida por la institución receptora.

CAPÍTULO 8: ESTUDIANTES MAYORES DE 25 AÑOS

Artículo 32: Podrán inscribirse aquellas personas sin titulación de Nivel Secundario que cumplan con los requisitos establecidos en el Art. 7mo. de la Ley de Educación Superior N°24.521y/o regulación vigente, según la normativa institucional y en los períodos establecidos.

Artículo 33: Son aspirantes a ingresar en el IES las personas que no han completado sus estudios de Nivel Secundario, que posean saberes, antecedentes y/o experiencia laboral acorde a los estudios que se proponen iniciar. Además, que a la fecha de hacer su inscripción para el ingreso al IES hayan cumplido los 25 años.

Artículo 34: La evaluación será establecida por el IES y comprende dos instancias, independientemente de los requisitos establecidos para las diferentes carreras que ofrece.


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a. Primera Instancia: inscripción y presentación del currículum personal en el que se acrediten los requisitos de saberes y antecedentes acordes con la carrera que se propone iniciar. El currículum tendrá valor de declaración jurada y la institución verificará las constancias que se presenta.

El currículum deberá contener los siguientes datos:

I. Datos personales

● Nombre y apellido

● DNI

● Edad

● Fecha y lugar de nacimiento

● Estado Civil

● Domicilio y teléfono

II. Estudios realizados, con presentación de certificaciones, en especial de culminación de la educación primaria.

III. Antecedentes laborales, con constancia o notas de recomendación.

IV. Otros datos que considere de interés, conforme los requerimientos de cada carrera.

Los aspirantes seleccionados en esta instancia deberán realizar una entrevista con una comisión coordinada por la Jefatura de Formación Inicial.

b. Segunda Instancia: consiste en un examen de competencias, común a todas las carreras, vinculadas a los saberes y procedimientos necesarios para el cursado satisfactorio. Dicho examen se realizará durante la primera semana de cursado del Ingreso correspondiente.

c. La aprobación de ambas instancias tendrá validez por el año en curso y sólo para la carrera elegida.

PARTE III: INGRESO A LAS CARRERAS

CAPÍTULO 9: INGRESO

Artículo 35: El ingreso, según la Resolución 72/08 Consejo Federal de Educación (CFE), a todas las carreras es directo incluyendo instancias propedéuticas que combinen aspectos de: ambientación, introducción y nivelación.

Artículo 36: El carácter ambientador consiste en dar a conocer una realidad que la mayoría desconoce, la educación superior por un lado y el propio Instituto por otro. En este sentido es importante tanto el análisis como la valorización de la educación superior pública estatal no universitaria, ya que implica exigencias fuertes y continuas.

Artículo 37: El carácter introductorio hace referencia a la especificidad de la Carrera que se ha elegido, para lo cual es ineludible abordar algunas de las principales cuestiones de la práctica profesional (docente o técnica).


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Artículo 38: El carácter nivelador estará dado por la necesidad de desarrollar algunos saberes y capacidades asumidos como importantes para que el/la estudiante pueda comenzar exitosamente su trayecto formativo.

Artículo 39: Se establece como período de realización de las instancias de ingreso de diciembre a marzo en cada año académico.

Artículo 40: Cada carrera, de acuerdo a sus particularidades, definirá:

a. El formato y los contenidos del proceso de ingreso.

b. Porcentaje de asistencia, de acuerdo a lo regulado en el presente régimen.

c. Instancias Evaluativas: acordes al formato establecido; contemplándose las instancias recuperatorias convenientes y necesarias.

Artículo 41: El ingreso será obligatorio y deberá ser acreditado según lo establecido en el Artículo 9 del presente régimen.

Artículo 42: La acreditación del Ingreso tiene un año de validez en la misma Carrera, mientras el Plan de estudios siga vigente. En el caso de los/as estudiantes de Planes anteriores que se inscriban en la misma Carrera, su situación será analizada por el equipo responsable de cada Ingreso y avalado por el Coordinador de la carrera.

Artículo 43: Los/as estudiantes tendrán un acompañamiento por parte del equipo responsable del Ingreso durante el primer año del cursado de su Carrera. Este equipo deberá definir las estrategias de seguimiento para responder a las necesidades específicas de los/las distintos/as estudiantes y elevar un informe al Coordinador con el detalle de la situación de cada estudiante, actualizado mes a mes hasta la finalización del primer cuatrimestre. En este informe deberán consignar las acciones y los tiempos destinados a dicha tarea, el que será presentado por el Coordinador a Vice Rectoría Académica, Vice Rectoría Administrativa y de Asuntos Estudiantiles.

PARTE IV: TRAYECTORIA ACADÉMICA

CAPÍTULO 10: AÑO ACADÉMICO

Artículo 44: Entiéndase como año académico el período comprendido entre el 01 de abril del año calendario en curso y el 31 de marzo del año siguiente.

Artículo 45: Antes de finalizar cada año calendario, se elaborará el Calendario Académico Institucional del año siguiente, donde quedarán organizadas las actividades del IES. La elaboración del mismo se ajustará al Calendario Académico propuesto por la Jurisdicción y será aprobado por el Consejo Directivo.

Artículo 46: Cada estudiante deberá matricularse, actualizando sus datos personales, al comienzo de cada Año Académico ratificando su situación de estudiante regular de la Carrera, por los medios que institucionalmente se disponga para tal fin.

CAPÍTULO 11: INSCRIPCIÓN PARA EL CURSADO DE UNIDADES/ESPACIOS CURRICULARES DE LA FORMACIÓN INICIAL


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Artículo 47: Se denomina cursado al proceso académico durante el cual se desarrolla el conjunto de actividades de enseñanza y aprendizaje que los/las docentes hayan planificado para cumplir con los objetivos pedagógicos de una unidad curricular.

Artículo 48: Para cursar las unidades/espacios curriculares los/as estudiantes deberán inscribirse personalmente antes de iniciar el 1º y/o 2º cuatrimestre según corresponda, por los medios que institucionalmente se disponga para tal fin.

Artículo 49: Los/as estudiantes de primer año para cursar las unidades/espacios curriculares correspondientes deberán inscribirse personalmente al inicio de clases.

Artículo 50: El período de inscripción de estudiantes regulares de 1º, 2º, 3º y 4º año para cursar unidades/espacios curriculares del 1º cuatrimestre y anuales y del 2º cuatrimestre será establecido por el Calendario Académico Institucional.

Artículo 51: Se requiere para la inscripción a las diferentes unidades/espacios curriculares el cumplimiento de las correlatividades correspondientes.

Artículo 52: El estudiante podrá comunicar en preceptoría la baja de la inscripción en unidades/espacios curriculares que no pueda cursar por razones justificadas dentro de las dos primeras semanas del cursado.

CAPÍTULO 13: MODALIDAD DE CURSADO PARA LA FORMACIÓN INICIAL

Artículo 53: La oferta de formación inicial institucional sólo admitirá la modalidad de cursado presencial que exige la coincidencia en tiempo y espacio de estudiantes y docente, ajustada a las condiciones establecidas en el contrato pedagógico de la unidad/espacio curricular. Se podrá destinar hasta un 30% de la carga horaria total a actividades no presenciales de aprendizaje.

CAPÍTULO 14: ASISTENCIA, EVALUACIÓN Y REGULARIDAD EN EL CURSADO DE LA FORMACIÓN INICIAL

Artículo 54: El/la docente responsable de cada unidad/espacio curricular deberá presentar la Planificación y el Contrato Pedagógico ajustándose a lo resuelto oportunamente por Consejo Directivo.

Artículo 55: El desarrollo metodológico, así como las condiciones de regularidad, de cada unidad/espacio curricular se ajustará al formato específico establecido en cada Diseño Curricular, lo que deberá quedar especificado en la Planificación y el Contrato Pedagógico correspondiente.

Artículo 56: La Regularidad se obtendrá, en cada una de las unidades/espacios curriculares, con el cumplimiento de la asistencia exigida y la aprobación de las instancias evaluativas de proceso.

Artículo 57: Todas las unidades/espacios curriculares, independientemente de su formato, deberán asegurar instancias recuperatorias de asistencia y evaluación de proceso. Para acceder a estas instancias, cada estudiante deberá haber alcanzado, al menos, la mitad de cada una de las exigencias establecidas oportunamente para obtener la regularidad correspondiente.

Artículo 58: Las evaluaciones de proceso se calificarán con una escala numérica (número entero), que deberá ir de 0 (cero) como puntaje mínimo al 10 (diez) como puntaje máximo. Dicha evaluación se considera aprobada con un puntaje de 4 (cuatro) o más.


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Artículo 59: La regularidad será comunicada por el responsable de la unidad/espacio curricular a preceptoría al finalizar el cursado correspondiente, respetando el cronograma establecido institucionalmente.

Artículo 60: El/la estudiante deberá constatar su proceso académico al finalizar el cursado de la unidad/espacio curricular. El responsable de la unidad/espacio curricular también hará constar el logro de la regularidad en la libreta del estudiante, donde consignará, de ser pertinente, otra información o aclaración conveniente, certificándola con la fecha, su firma y aclaración, y duración de la regularidad.

Artículo 61: La libreta del estudiante tendrá validez sólo para acreditar la identidad del/la estudiante y contendrá la información de su trayectoria formativa, careciendo de todo valor legal.

Artículo 62: La regularidad obtenida tendrá una duración de 7 (siete) turnos ordinarios de examen.

Artículo 63: En caso de pérdida de la regularidad, por haber desaprobado el examen final en 3 (tres) oportunidades o por haberse vencido la vigencia de la misma, el/la estudiante tendrá la posibilidad de acceder a la instancia de examen final libre. Para ello tendrá un plazo de 3 (tres) turnos ordinarios de examen a partir de la fecha en que perdió dicha regularidad, contando sólo con 3 (tres) instancias para su acreditación. Si no logra acreditar la unidad/espacio curricular bajo esta modalidad deberá recursarla, registrando nuevamente su inscripción.

Artículo 64: La Asistencia incluye la concurrencia a clases o a otras instancias formativas que se establezcan al iniciar el desarrollo de la unidad/espacio curricular correspondiente.

Artículo 65: El porcentaje máximo de asistencia exigido para obtener la regularidad será del 60%.

Artículo 66: Se podrá destinar, en todos los formatos, hasta un 30% del porcentaje máximo de asistencia exigido para actividades no presenciales de aprendizaje.

Artículo 67: La inasistencia prolongada y/o a una instancia evaluativa deberá justificarse mediante presentación escrita a Vice-Rectoría de Asuntos Administrativos y Estudiantiles, dentro de las 48 (cuarenta y ocho) horas de producido el ausentismo.

CAPÍTULO 15: SOBRE LA ACREDITACIÓN

Artículo 68: Los/as estudiantes podrán acreditar las unidades/espacios curriculares en los turnos de exámenes ordinarios y extraordinarios establecidos en el Calendario Académico Institucional.

Artículo 69: La acreditación es el acto académico administrativo a través del cual se reconoce la apropiación por los/as estudiantes de saberes y capacidades en el desarrollo de una unidad/espacio curricular y se podrá producir por:

a. Acreditación Directa: para la aprobación de las unidades/espacios curriculares bajo esta modalidad se exige una calificación no menor a 7 (siete) en las evaluaciones de proceso y un porcentaje de asistencia del 75% como máximo. En todos los casos se deberá fundamentar este sistema en la Planificación correspondiente.

b. Examen Final: éste podrá tener carácter de examen regular o examen libre. Se desarrollan ambos según calendario institucional de exámenes.


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b-1 Examen regular: cuando los/as estudiantes han cumplido con las condiciones de regularidad de la unidad/espacio curricular. Podrá ser oral y/o escrito.

b-2 Examen libre: cuando los/as estudiantes, inscriptos oportunamente, no han cumplido satisfactoriamente con las condiciones de regularidad de la unidad/espacio curricular. El examen libre deberá ser escrito y oral.

Artículo 70: No podrá acreditarse con examen libre cualquier unidad/espacio curricular. Quedan explícitamente excluidas las pertenecientes al campo de las prácticas docentes y prácticas profesionalizantes; así como aquellas cuyos desarrollos impliquen prácticas de taller, seminario, laboratorio o trabajo de campo.

Artículo 71: Para la obtención de la calificación definitiva en exámenes que tienen instancias escrita y oral se deberá:

a. Aprobar cada instancia con una calificación de 4 (cuatro) o más, en cuyo caso se promediarán ambas calificaciones y se redondeará al entero inmediato superior.

b. Aprobar la instancia escrita para pasar a la instancia oral. La aprobación de la instancia escrita no es válida para el próximo examen.

c. En caso de desaprobar la instancia oral no se promediarán las calificaciones y se considerará como calificación definitiva la nota de la instancia desaprobada.

d. En caso de ausencia a la instancia oral, se consignará como calificación definitiva 1 (uno).

Artículo 72: Un examen final (regular o libre) podrá ser rendido y desaprobado hasta 3 (tres) veces, en un plazo no mayor a los 7 (siete) turnos ordinarios posteriores a la finalización del desarrollo de la unidad/espacio curricular.

Artículo 73: En el caso de ausencia por razones de fuerza mayor a la mesa de examen el estudiante deberá notificar la misma en el día que se produzca. Dentro de las 48 (cuarenta y ocho) horas posteriores, deberá solicitar por escrito a Vice Rectoría de Asuntos Administrativos y Estudiantiles una nueva instancia de evaluación, adjuntando la certificación correspondiente.

CAPÍTULO 16: RECURSADO DE LAS UNIDADES/ESPACIOS CURRICULARES

Artículo 74: Se establece que el/la estudiante podrá recursar la unidad/espacio curricular en las siguientes situaciones:

a. Por no obtener la regularidad.

b. Por vencimiento del período de vigencia de la regularidad.

c. Por haber desaprobado por tercera vez la instancia de acreditación.

d. Por decisión propia, renunciando a la regularidad obtenida en esta unidad/espacio curricular mediante la presentación de una nota dirigida a Vice Rectoría Administrativa y de Asuntos Estudiantiles.

Artículo 75: Las unidades/espacios curriculares sólo podrán recursarse tres veces.


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CAPÍTULO 17: PÉRDIDA DE LA CONDICIÓN DE ESTUDIANTE REGULAR

Artículo 76: Los/as estudiantes perderán la condición de regular en la carrera cuando:

a. No acrediten al menos una unidad/espacio curricular en cada año académico.

b. Hayan superado el doble de la duración de la carrera determinada en el Plan de Estudios correspondiente.

c. No hayan cumplimentado su matriculación anual en la carrera.

CAPÍTULO 18: READMISIÓN

Artículo 77: Un/a estudiante podrá solicitar la readmisión cuando no haya acreditado ninguna unidad/espacio curricular en el año académico inmediatamente anterior. La misma podrá ser requerida hasta 3 (tres) veces consecutivas o alternadas.

Artículo 78: El procedimiento administrativo que el/la estudiante deberá realizar para solicitar la readmisión es el siguiente:

a. Completar y presentar, al momento de la matriculación anual, la solicitud de readmisión dirigida a Vice Rectoría de Asuntos Administrativos y Estudiantiles.

b. Una vez resuelta la situación, el/la estudiante deberá notificarse acerca de la resolución de dicho pedido en preceptoría.

PARTE V: MESAS ESPECIALES DE EXÁMENES FINALES

CAPÍTULO 19: MESAS ESPECIALES

Artículo 80: Se constituirán mesas especiales de exámenes finales a solicitud de los/as interesados/as cuando sólo le resten 3 (tres) unidades/espacios curriculares por acreditar para finalizar sus estudios.

Artículo 81: La solicitud se recepcionará en Vice Rectoría de Asuntos Administrativos y Estudiantiles hasta el día 20 de cada mes, en los meses establecidos por Calendario Académico Institucional.

PARTE VIII: PASES

CAPÍTULO 22: PROCEDIMIENTO

Artículo 84: La inscripción como estudiante regular por pase es un procedimiento por el cual el IES reconoce y certifica la trayectoria académica realizada en una oferta formativa de otra institución de Educación Superior que otorga un título idéntico o equivalente, y posibilita la movilidad por el sistema de Educación Superior.

Artículo 85: Se admitirá el pase de estudiantes provenientes de otras carreras de los IES de ésta y otras jurisdicciones acreditadas y/o universidades de gestión estatal /privada reconocidas oficialmente.

Artículo 86: El/la estudiante puede solicitar el pase en cualquier momento del año académico. En todos los casos Consejo Académico evaluará la situación particular y la continuidad de la trayectoria formativa del/la estudiante en cuestión; ad referendum del Consejo Directivo.


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Artículo 87: Se admitirá directamente como estudiante regular de la carrera en que se inscribe, el/la estudiante que certifique haber acreditado, como mínimo el 10% del trayecto de la formación general y 10% del trayecto la formación específica/disciplinar de la carrera en la institución de origen. Esto deberá quedar asentado en la solicitud de inscripción. De no cumplir con este porcentaje deberá registrar su inscripción a la carrera que desea ingresar, cumplimentar con las exigencias estipuladas para el ingreso, y solicitar las equivalencias que correspondan.

Artículo 88: Cuando, para establecer la calificación final de una unidad/espacio curricular, sea necesario tomar en cuenta los contenidos de varias unidades/espacios curriculares, se procederá a realizar un promedio de las calificaciones correspondientes.

PARTE IX: EQUIVALENCIAS

CAPÍTULO 24: SOLICITUD DE EQUIVALENCIAS

Artículo 94: El /la estudiante deberá inscribirse como estudiante regular en la carrera elegida, presentando la documentación solicitada para tal fin y cumplimentando las instancias de ingreso institucionalmente establecidas.

Artículo 95: En el caso de estudiantes que hayan cursado y aprobado estudios en el extranjero deberán ajustarse a la normativa vigente a nivel nacional.

Artículo 96: Las solicitudes de equivalencias serán recepcionadas según cronograma institucional por prosecretaria. En dicha solicitud se incluirá el pedido de equivalencias de todas las unidades/espacios curriculares de la carrera que el estudiante considere equiparables en sus objetivos y contenidos.

Artículo 97: El/la estudiante deberá empezar a cursar la/las unidades/espacios curriculares en cuestión hasta tanto sea notificado/a del otorgamiento o no de la equivalencia.

Artículo 98: Cuando los objetivos y contenidos se correspondan con los estudios realizados en un 70% o más, se otorgará la equivalencia total, siempre y cuando la acreditación no supere los cinco años al pedido de la equivalencia para los casos de estudios incompletos. De no cumplimentar el tiempo establecido deberá cursar la unidad/espacio curricular como estudiante regular y según el régimen de correlatividades.

Artículo 99: En caso de estudios finalizados (carrera completa, de grado o posgrado) se otorgará la equivalencia sin considerar la fecha de acreditación de la/las unidades/espacios curriculares en cuestión.

Artículo 100: Cuando, para otorgar la equivalencia de una unidad/espacio curricular, sea necesario tomar en cuenta los contenidos de varias unidades/espacios curriculares, se procederá a realizar un promedio de las calificaciones correspondientes para establecer la calificación final.

Artículo 101: No podrán otorgarse equivalencias para las prácticas profesionales docentes y las prácticas profesionalizantes del último año de las carreras docentes y técnica respectivamente.

CAPÍTULO 25: DOCUMENTACIÓN DE EQUIVALENCIAS

Artículo 102: La documentación a presentar es la siguiente:


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a. Certificado analítico de las unidades/espacio curriculares acreditadas cuyo reconocimiento solicita.

b. Plan de estudios certificado de la carrera de origen.

c. Programa de las unidades/espacios curriculares acreditadas con indicación del régimen de enseñanza correspondiente, carga horaria, sistema de promoción y bibliografía.

d. Formulario de solicitud de equivalencias.

Artículo 103: Quedan exceptuados de la presentación de programas y plan de estudio los/as estudiantes o egresados de este IES.

Artículo 104: La documentación deberá ser presentada en una carpeta tipo espiral del color de la carrera correspondiente.

Artículo 105: Los certificados deberán ser emitidos por las máximas autoridades de la institución de nivel superior o por unidad académica de origen y autenticadas por quien corresponda.

Artículo 106: El procedimiento a seguir para el otorgamiento de equivalencias será el siguiente:

a. Prosecretaría informará al coordinador de carrera sobre la documentación presentada. Éste la entregará al profesor/a de la unidad/espacio curricular el que realizará el análisis correspondiente. El coordinador deberá finalizar el procedimiento en un tiempo no mayor a 20 días hábiles.

b. Una vez resuelta la equivalencia, prosecretaría elevará las actuaciones a Consejo Directivo para su resolución.

c. Prosecretaría notificará al interesado y archivará la resolución en el libro de Equivalencias.

d. La documentación presentada por el interesado se archivará en su legajo, junto a una copia de la resolución correspondiente.

CAPÍTULO 26: ACTUALIZACIONES ACADÉMICAS

Artículo 107: Se solicitarán actualizaciones de contenidos a aquellos estudiantes que pidan equivalencia de unidades/espacios curriculares aprobadas en esta institución y cuya fecha supere los 5 (cinco) años de acreditación. Para esto se considerará el régimen de equivalencias establecido institucionalmente entre carreras y planes de estudio.

Artículo 108: La modalidad que tomará dicha actualización deberá ser establecida en un contrato pedagógico entre el/la estudiante, el/la docente de la unidad/espacio curricular y el coordinador de la carrera. En éste se explicitará selección de contenidos, metodología, instrumentos de evaluación, bibliografía, asistencia y tiempos para completarla.

Artículo 109: Se podrán realizar actualizaciones de unidades/espacios curriculares en forma conjunta.

PARTE XI: CARRERAS

CAPÍTULO 27: DURACIÓN DE LAS CARRERAS.

Artículo 110: El/la estudiante tiene como plazo máximo para obtener su título, el doble del tiempo de duración de la carrera estipulado por el plan de estudio.


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Artículo 111: Si no lograra su título en el mencionado plazo, podrá solicitar por nota al Consejo Directivo, antes del inicio del año académico inmediato siguiente, su pretensión de cursar y/o acreditar la/las unidades/espacios curriculares que adeude. Si el estudiante no presentara dicha nota, automáticamente se le cancelará su matrícula.

Artículo 112: Ante el pedido de extensión de carrera, el estudiante deberá acreditar la/las unidades/espacios curriculares adeudadas en el tiempo otorgado, el que no deberá exceder el término de 2 (dos) años académicos consecutivos.

Artículo 113: El estudiante será notificado en preceptoría de la resolución del Consejo Directivo.

Artículo 114: Con la conclusión de los estudios y la obtención del título se adquiere la condición de egresado y se pierde la condición de estudiante regular.

PARTE XII: AYUDANTÍAS DE CÁTEDRA CAPÍTULO 27: DESCRIPCIÓN GENERAL

Artículo 115: Los docentes titulares y suplentes de las unidades/espacio curricular del IES podrán contar con uno o más Ayudantes de Cátedra, según la carga horaria de su unidad/espacio curricular, en la siguiente proporción:

a. 2 (dos) Ayudantes de cátedra por cada 4 (cuatro) horas cátedra semanales.

b. 1 (un) Ayudante cada 10 (diez) estudiantes para el Trayecto de las Prácticas profesionales/profesionalizantes.

Artículo 116: Serán objetivos generales de la Ayudantía:

a. Propender al perfeccionamiento de los propios estudiantes y egresados, y de otros profesionales del medio, preparándolos eventualmente para el ejercicio de la docencia en los mismos institutos.

b. Actuar como centros de investigación, estudio, información y difusión en asuntos vinculados con su función específica, atendiendo a las características, aspiraciones y necesidades de la zona de su influencia.

Artículo 117: Podrán ser candidatos a cubrir los cargos de Ayudantes de Cátedra:

a. Adscriptos: os graduados provenientes de Instituciones de Educación Superior (universitarias y/o no universitaria) con reconocimiento oficial, no requiriéndose formación docente para postularse.

b. Asistentes: aquellos/as estudiantes de la Institución que estén o hayan cursado el segundo año de su Carrera, y hayan aprobado la unidad/espacio curricular a la cual se presentan (o una afín en otra Carrera).

Artículo 118: El procedimiento a seguir para la inscripción a cubrir cargos de ayudantes de cátedra es el siguiente: a. El/la interesado/a cubrir Ayudantías de cátedra deberá presentar su curriculum vitae acompañado de una nota donde fundamente su pedido, aclarando en caso de ser necesaria la pertinencia de su título/carrera en relación a la especificidad de la unidad/espacio curricular elegido. b. Las presentaciones serán por prosecretaría de la Institución entre los 10 (diez) días anteriores al comienzo del cursado correspondiente, y los 5 (cinco) días posteriores. c. Para la aprobación de las solicitudes


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se conformará una comisión ad hoc compuesta por el/la responsable de la unidad/espacio curricular en cuestión, el Coordinador de la carrera y algún otro miembro del Consejo Académico. Dicha comisión evaluará los antecedentes presentados por cada candidato/a, considerará la necesidad de una entrevista y elaborará un orden de méritos (dando prioridad los egresados de este IES) definiendo la cantidad final de ayudantes aceptados, todo lo cual será refrendado por el Consejo Académico y Directivo respectivamente.

Artículo 119: El desempeño de todos los Ayudantes de Cátedra será ad honorem.


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REGLAMENTO MARCO DEL CAMPO DE LA PRÁCTICA PROFESIONAL

DOCENTE Y RESIDENCIA7

RES. 1883/14 DGE DES

-EXTRACTO-

PARTE II EL CAMPO DE LA PRACTICA PROFESIONAL Y RESIDENCIA DOCENTE A. CONSIDERACIONES GENERALES 15. La Práctica Profesional y Residencia Docente constituye uno de los campos en la Formación Docente Inicial, orientado al desarrollo de las capacidades para la intervención pedagógica, en las instituciones asociadas y en las aulas, a través de la participación e incorporación progresiva de los estudiantes en distintos contextos educativos. 16. El Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente se concibe como un eje vertebrador y como entidad interdependiente dentro del curricula de la Formación Docente Inicial. 17. La formación en la práctica docente resignifica los saberes de los otros campos curriculares a través del análisis, la reflexión y la acción en la intervención docente contextualizada. 18. Corresponde a los Diseños Curriculares de la Formación Docente, aprobados jurisdiccionalmente por resolución de la Dirección General de Escuelas y con validez nacional, especificar los trayectos y recorridos formativos del Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente. B. FINALIDADES FORMATIVAS 19. El Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente se organiza en torno a las siguientes finalidades formativas: a. Contribuir a la mejora de la formación docente para los niveles y modalidades del sistema educativo provincial. b. Posibilitar que los estudiantes de los ISFD puedan realizar sus prácticas formativas en instituciones dependientes de la DGE u organismos equivalentes. c. Conformar experiencias simbolizantes y subjetivantes, propias del saber practico, susceptibles de transformar, desarrollar y consolidarla identidad docente. d. Propiciar la intervención pedagógica graduada de los estudiantes en formación, por medio de situaciones guiadas y acompañadas, que permitan acceder a la diversidad y complejidad de la realidad educativa. e. Posibilitar la indagación, sistematización, análisis y aprendizajes propios de experiencias y tareas de enseñanza situadas. f. Promover un espacio de trabajo sistemático de las prácticas docentes con el objeto de aportar/construir elementos concretos para el desempeño de la tarea de la enseñanza – aprendizaje.

7 El presente Reglamento se encuentra en proceso de aprobación y aval por parte de la Dirección de Educación Superior y el

mismo será, m ampliado en el transcurso del ciclo lectivo 2017 con el Reglamento de las Prácticas Profesionalizantes.


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C. ORGANIZACION DEL CAMPO DE LA PRACTICA PROFESIONAL Y RESIDENCIA DOCENTE Sobre la organización curricular del CPPRD 20. Corresponde a los Diseños Curriculares de Formación Docente aprobados por la Dirección General de Escuelas, especificar: las unidades curriculares y sus formatos, carga horaria y régimen de cursado del Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente, de acuerdo a las características de los diferentes profesorados según nivel, modalidad, contexto institucional y particularidades de la instituci6n asociada. 21. La carga horaria a cumplimentar en las instituciones asociadas no podrá ser menor al 70% del total de horas determinadas para el Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente en los diseños curriculares de profesorados, pudiendo distribuirse de modo creciente de 1ro. a 4to. año de la carrera, considerando que la Residencia en los distintos niveles y modalidades no podrá ser menor al 80% de la carga horaria prevista para dicha instancia. 22. Los talleres, ateneos y otros formatos posibles del Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente podrán desarrollarse indistintamente en las instituciones formadoras y/o asociadas en el marco del plan interinstitucional de acción de Práctica Profesional y Residencia Docente, definidos en el punto 24, c. Sobre los Convenios de Practica Profesional y Residencia Docente (CvPPRD) 23. Los Convenios de PPRD son acuerdos explícitos entre partes que convienen acciones formativas en el marco de la práctica profesional, concebida ésta como un conjunto de procesos complejos y multidimensionales asociados a las tareas que un docente realiza en su puesto de trabajo. 24. Los convenios de PPRD comprenden distintos ámbitos de concreción: a. Ámbito de concreción Jurisdiccional: Actas Acuerdos que establecen propósitos de las acciones conjuntas y compromisos de colaboración mutua entre la Dirección de Educación Superior y las Direcciones de Línea de Dirección de Escuelas, organismos públicos y organizaciones sociales. b. Ámbito de concreción Institucional: Convenio Interinstitucional (CI) de PPRD comprende los acuerdos de trabajo cooperativo entre las autoridades del IFD y supervisores o autoridades equivalentes de las instituciones asociadas. Definirá los criterios de selección de escuelas e instituciones asociadas vinculadas al IFD de modo de validar y acompañar los procesos de formación en la PPRD. c. Ámbito de concreción curricular: Plan Interinstitucional de Acciones (PIA) de PPRD especificara agenda de intervenciones formativas y será acordado entre el responsable del Coordinación de PPRD y las autoridades de cada institución asociada. Sobre las responsabilidades de la institución formadora 31. Son responsabilidades de la institución formadora a. Colaborar en el diseño y desarrollo de iniciativas socioeducativas, disciplinares, pedagógicas y didácticas que promuevan la formación docente inicial y continua así como el acceso equitativo al conocimiento, que se realicen en el marco del campo de la PP. b. Fortalecer la formación inicial de los estudiantes dentro del Campo de la Formación en la PPRD para el desarrollo de las capacidades que impliquen apropiarse con integralidad y significatividad de la complejidad de lo escolar y otros contextos educativos en escenarios reales con alumnos reales.


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c. Informar a las supervisiones y escuelas asociadas de las acciones en proceso de desarrollo del IFD en áreas de interés mutuo, en particular aquellas relativas al Campo de la Formación en la PPRD. d. Programar en la agenda pedagógica institucional encuentros con la supervisión (o autoridad equivalente) y autoridades responsables de las instituciones asociadas para analizar, reflexionar y resignificar aspectos relacionados con la Práctica Profesional y Residencia Docente. Responsabilidades de las instituciones asociadas 32. Las instituciones asociadas tendrán las siguientes responsabilidades: a. Colaborar en iniciativas socioeducativas, disciplinares, pedag6gicas y didácticas, que promuevan la formaci6n docente inicial y continua así como el acceso equitativo al conocimiento, que se realicen en el marco del campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente. b. Brindar, a través de las instituciones educativas a su cargo, apoyo profesional a los estudiantes del IFD y docentes responsables de la Práctica Profesional y Residencia Docente para el fortalecimiento de la formación inicial. c. Recomendar al IFD las acciones o actividades que pudiesen contribuir al mejor desempeño de docentes y estudiantes en la relación entre instituciones asociadas y docentes del Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente, en el marco de inclusión e igualdad de oportunidades en el acceso al conocimiento. Sobre las responsabilidades compartidas entre instituciones formadoras y asociadas. 33. Identificar acciones socioeducativas para el fortalecimiento del rol docente en el marco de la PPRD. 34. Promover una educación permanente ofreciendo acciones que favorezcan el mejor desempeño de los docentes y estudiantes, el fortalecimiento de las trayectorias estudiantiles, la actualización disciplinar, pedagógica y didáctica y la articulación interniveles. 35. Desarrollar redes de intercambio y su fortalecimiento de manera sostenida con el fin de enriquecer construcciones intersubjetivas, reconocidas y compartidas institucional y socialmente. 36. Consolidar una comunicación fluida que habilite a la construcción democrática de los procesos formativos relacionados con el campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente. Sobre la organización del Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente en la institución formadora 38. El Campo PPRD de todos los profesorados será gestionado y coordinado por el Coordinaci6n de Practica Profesional y Residencia Docente cuya responsabilidad será transversal a todas las carreras docentes la institución formadora y con nivel de decisión equivalente a las coordinaciones de carrera. 39. El responsable de gestionar y coordinar el Campo de Practica Profesional y Residencia Docente deberá cumplimentar los requisitos y procedimientos de acceso y duración correspondiente a los cargos de gestión de las instituciones de educación superior, dependientes de la DGE, estipulados en Ia normativa correspondiente. 40. La carga horaria a asignar al responsable de gestionar y coordinar el Campo de la Práctica Profesional y Residencia Docente se estipula entre un mínimo de 12 horas catedra y un máximo de 24 dependiendo de la cantidad de carreras docentes de la institución formadora, y/o


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la cantidad de estudiantes en el CPPRD de 1ro; al 4to. año de formación de las carreras docentes y/o a la distribución geográfica de las instituciones asociadas. EQUIPOS DOCENTES RESPONSABLES DEL CPPRD. Sobre los docentes formadores del CPPRD en el IFD. 42. El equipo docente del IFD estará constituido por los/las docentes a cargo de las unidades curriculares del Campo de la Formación en la PPRD de todos los profesorados del IFD de la totalidad de las carreras docentes del IFD. 43. La designación de docentes a cargo del CPPRD de 1ro. Al último año se realizara de acuerdo a las disposiciones legales vigentes y por grupo de estudiantes, considerando: a. En 1er. y 2do año un docente formador cada 20 (veinte) estudiantes o fracción mayor o igual a 15 (quince) indistintamente. b. En 3ro. y 4to. año un docente formador cada 12 (doce) estudiantes o fracción mayor o igual a 8 (ocho) indistintamente. 44. La carga horaria total que disponen los docentes miembros del equipo del CPPD de todas las carreras de profesorados que implementa el IFD, deberá ser distribuida por la cantidad de grupos de estudiantes de CPPRD de manera equitativa y considerando la particularidad de cada año de formación. 45. El equipo docente a cargo del CPPRD deberá estar integrado por perfiles correspondiente a las áreas de saberes vinculados con: a. El nivel y sujetos para el que se forma; b. Las disciplinas y/o lenguajes implicados y sus didácticas; c. La realidad educativa del contexto; d. La complejidad de la tarea docente; e. La institución educativa, el currículo especifico, entre otros. 46. Los docentes formadores que accedan al CPPRD deberán comprometer su disponibilidad de tiempo y traslado en relación con las características de la formación, los convenios interinstitucionales y las acciones de acompañamiento a los estudiantes en las instituciones asociadas. 47. Serán responsabilidades de los docentes formadores integrantes del equipo de PPRD las siguientes: a. Acordar lineamientos para la organización y planificación de las instancias de práctica y residencia en el marco de los CIA. b. Garantizar el desarrollo de talleres, ateneos, foros y otras instancias formativas, propuestas para el Campo de la PPRD en cada diseño curricular, indistintamente en el instituto formador o en la institución asociada. c. Desarrollar las temáticas vinculadas con la gestión curricular de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los niveles para el que se forma. d. Acompañar, supervisar y evaluar el proceso formativo y desempeño de los estudiantes en las prácticas docentes en conjunto con los docentes de las instituciones asociadas. e. Establecer criterios de evaluación y acreditación del Campo de la PPRD. f. Asistir a las diferentes reuniones del Campo de la PPRD convocadas por el Coordinaci6n de PPRD.


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g. Participar de la revisión de la evaluación de la PPRD y de otros documentos relacionados cuando se le solicite. h. Realizar el acompañamiento necesario al desempeño de los estudiantes en las distintas actividades programadas en el CPPRD. i. Informar a la Coordinación del CPPRD sobre la trayectoria de los estudiantes. j. Cumplimentar los requisitos y procedimientos administrativos que den cuenta de las acreditaciones de los estudiantes en el Campo de la PPRD. 48. Al menos el 50% de las horas de gestión curricular dispuestas en todas y cada una de las unidades curriculares de los profesorados, deberán cumplirse las diversas tareas del CPPRD, asegurando la articulación del mismo con los Campos de Formación General y Especifico. Sobre los docentes y/o formadores del CPPRD en las instituciones asociadas. 49. El equipo docente de la institución asociada será constituido por: a. Equipos de supervisores o responsables regionales equivalentes. b. Equipos directivos y/o autoridades de las instituciones asociadas. c. Los docentes a cargo de los cursos, grados o grupos de las instituciones asociadas. 50. Serán responsabilidades de los directivos y/o autoridades de las instituciones asociadas: a. Participar en las distintas instancias del Convenio Interinstitucional. b. Firmar el PIA, en acuerdo con los docentes formadores y asociados. c. Posibilitar tiempos y espacios de trabajo en la institución asociada. d. Establecer redes de articulación e integración en el IFD. e. Promover el desarrollo de experiencias formativas significativas para los estudiantes de profesorado. f. Designar a los docentes asociados a la formación. 51. Los/as docentes responsables de la PPRD en las instituciones asociadas serán designados por el/la directora/a o autoridad equivalente considerando: a. Perfiles con experiencia docente relevante para el nivel, modalidad o contexto de práctica pedagógica. b. Estabilidad y continuidad como miembro del equipo de docentes asociados. c. Disponibilidad para el trabajo en equipo articulado con los docentes del IFD. 52. Serán responsabilidades de los docentes asociados integrantes del equipo de PPRD las siguientes: a. Orientar respecto al trabajo y la dinámica institucional. b. Participar en entrevistas, reuniones, talleres y propuestas para el Campo de la PPRD en cada diseño curricular. c. Orientar con relación a la documentación, bibliografía, recursos y materiales didácticos. d. Definir los contenidos para la planificación y desarrollo de las instancias de práctica y residencia de los estudiantes, en el marco de los PIA. e. Acompañar, supervisar y evaluar el proceso formativo y desempeño de los estudiantes en las prácticas docentes durante su etapa en la institución asociada. f. Participar en las diferentes reuniones convocadas por la Coordinación del CPPRD. g. Realizar el acompañamiento necesario al desempeño de los estudiantes en las distintas actividades en la institución asociada programadas en el PIA. h. Cumplimentar los requisitos y procedimientos administrativos que den cuenta de las acreditaciones de los estudiantes en el CPPRD.


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53. Los docentes asociados que reciban estudiantes de profesorados durante un ciclo lectivo y cumplimenten satisfactoriamente con las responsabilidades especificadas en el apartado anterior tendrán derecho a una certificación con puntaje. 54. Las características y puntaje de la certificación docente del CPPRD será definido en resolución específica de la Dirección General de Escuelas independientemente de otras instancias de reconocimiento que puedan promoverse a futuro. PARTE III REGIMEN ACADEMICO DE LAS PRACTICAS DOCENTES Y RESIDENCIA 55. Este apartado del presente marco normativo, establece de manera general, los requisitos y condiciones institucionales que posibilitaran a los estudiantes acceder, cursar y acreditar la formación en el CPPRD. Condiciones para el acceso de los estudiantes al CPPRD 56. Para acceder al CPPRD el estudiante deberá haber cumplimentado los requisitos institucionales de ingreso e inscripción como estudiante regular, vocacional o visitante, según el caso. 57. Sobre las condiciones de estudiantes que acceden al CPPRD se distinguen los siguientes: a. Estudiante con trayectoria formativa en el IFD: comprende al conjunto de estudiantes cuya formación se encuadra solamente desde las prácticas y dinámicas del instituto formador e instituciones asociadas. b. Estudiante en ejercicio de trabajo docente: comprende al conjunto de estudiantes que durante su formación docente inicial, ocupan puestos docentes en el sistema educativo y por lo mismo requieren de un dispositivo específico para sostener su trayectoria formativa en el CPPRD. Régimen de cursado y acreditación del CPPRD 58. Teniendo en cuenta las lógicas propias del saber practico, las unidades curriculares que integran el CPPRD, en los diseños de profesorados aprobados jurisdiccionalmente, tendrán, para su desarrollo y acreditación, una duración máxima de hasta un ciclo lectivo completo. 59. El proceso formativo de cada una de las unidades curriculares del CPPRD adquiere relevancia sustantiva durante el desarrollo de las diversas instancias: trabajos de campo, intervenciones pedagógicas, talleres, ateneos, foros, coloquios; por lo mismo, la acreditación, vinculada directamente a este proceso, no podrá disociarse del mismo, ni concentrarse exclusivamente en una instancia final, sino que deberá darse de modo progresivo, continuo y de complejidad creciente. 60. El estudiante alcanzará la acreditaci6n de cada unidad curricular del CPPRD con la aprobación de al menos el 80 % de las instancias que componen el recorrido formativo. 61. El régimen de promoción y correlatividades del CPPRD será definido en los diseños curriculares jurisdiccionales y/o regulaciones especificas atendiendo a los criterios de transito de estudiantes definidos en el RAM. 62. Los estudiantes, acompañados por los docentes formadores y los docentes del nivel o institución asociada, deberán cumplimentar los porcentajes de carga horaria en las instituciones asociadas, especificados en el punto 21 de la presente normativa. 63. Para los casos en los que los estudiantes se encuentren ejerciendo la tarea docente, se especifica que:


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a. El sistema educativo y formador, en cuanto ámbito de desempeño, deberá proveer, a través de sus agentes propios, las condiciones indispensables para que el estudiante pueda concluir sus estudios docentes. b. El estudiante en estas condiciones, tendrá derecho a solicitar el reconocimiento, a través de créditos u otras instancias, de sus desempeños profesionales para la acreditaci6n del CPPRD. c. A tales efectos, el estudiante deberá solicitar explícitamente que su trabajo docente sea considerado parte de la residencia, con el compromiso fehaciente por parte de las autoridades de la institución asociada, de asumir el acompañamiento formativo, e incorporando una propuesta de recorrido formativo de residencia según las condiciones de la institución formadora. d. El reconocimiento de los desempeños profesionales en el CPPRD deberá corresponderse con las, actividades de campo en las instituciones asociadas especificadas en el respectivo diseño curricular. e. Para acreditar el CPPRD, el estudiante deberá cumplimentar las actividades no incluidas en el reconocimiento de desempeños profesionales. 64. El estudiante tendrá derecho a recursar la residencia, mientras se encuentre vigente el plan de estudios para la cohorte correspondiente, según lo establecido en el punto 64 del Reglamento Académico Marco e Institucional. 65. La residencia docente constituye la etapa final de la carrera de profesorado, por lo mismo, se ha de ubicar en los años finales del plan de estudios. 66. La acreditación de la Residencia Docente en el CPPF'D concluye la Formación Inicial y es condición para el egreso y titulación docente. Tratamiento de excepciones 67. Los casos de excepciones no contemplados en este reglamento podrán ser resueltos con norma específica por los Consejos Directivos, preservando el trayecto formativo del CPPRD en todas sus instancias. 68. El procedimiento para resolver casos de excepciones deberá ajustarse a lo normado por los puntos 65, 66 y 67 del Reglamento Académico Marco. 69. Resguardando los procesos de debate, acuerdos y construcción colaborativa, los ISFD deberán elaborar y/o adecuar el Reglamento Institucional de Práctica y Residencia en un todo de acuerdo con lo pautado por la jurisdicción y dentro de un plazo máximo de 6 (seis) meses a partir de la publicación de la presente norma; 70. El Reglamento Institucional de Práctica y Residencia Docente aprobado por el Consejo Directivo (u Órgano equivalente) será remitida a la Dirección de Educaci6n Superior para su correspondiente consideración. 71. El proceso de adecuación de la estructura orgánica y redistribución del CPPRD en los ISFD se realizará en forma gradual, conforme en primer término a la disponibilidad presupuestaria jurisdiccional; y en segundo término las dinámicas institucionales e instancias de trabajo conjunto con las instituciones asociadas. 72. Todos aquellos aspectos no especificados en el presente reglamento tendrán como norma sustituta, el Reglamento Orgánico Marco y el Reglamento Académico Marco de la Educación Superior Provincial.


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ii. COMPONENTE INTRODUCTORIO

ESTRUCTURA CURRICULAR PROFESORADO DE EDUCACIÓN

SECUNDARIA EN MATEMÁTICA


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En el marco de los Lineamientos Curriculares Nacionales, el Diseño Curricular Provincial del

Profesorado de Educación Secundaria en Matemática se organiza en tres Campos de Formación: Campo

de la Formación General, Campo de la Formación Específica y Campo de Formación en la Práctica

Profesional Docente. Se entienden como estructuras formativas que reúnen un conjunto de saberes

delimitados por su afinidad lógica, metodológica o profesional, y que se entrelazan y complementan

entre sí. Están regidos por un propósito general que procura asegurar unidad de concepción y de

enfoque curricular para todos sus elementos constitutivos. A su vez, al interior de cada campo de

formación, se proponen trayectos formativos que permiten un reagrupamiento de las unidades

curriculares por correlaciones y propósitos. Los trayectos posibilitan un recorrido secuencial y

transversal de contenidos a lo largo de la carrera.

o CAMPO DE LA FORMACIÓN GENERAL

Está dirigido a desarrollar una sólida formación humanística y al dominio de los marcos

conceptuales, interpretativos y valorativos para el análisis y comprensión de la cultura, el tiempo y

contexto histórico, la educación, la enseñanza, el aprendizaje, y a la formación del juicio profesional

para la actuación en diversos contextos socio- culturales. Se distinguen en este campo de formación

dos trayectos formativos: el Trayecto de Actualización Formativa y el Trayecto de Fundamentos

Educativos, y dos Unidades Curriculares de Definición Institucional que pueden variar anualmente.

Trayecto de Actualización Formativa

Este trayecto se orienta a profundizar aspectos de la formación previa que se constituyen en

necesarios para transitar la formación docente inicial. Se pretende resolver la tensión entre las

condiciones de ingreso de los estudiantes a la formación docente inicial y las que hacen posible el

recorrido de la misma. En este trayecto se busca fortalecer los conocimientos, las experiencias, la

formación cultural, las prácticas necesarias para transitar con solvencia estudios de nivel superior, para

participar activamente en la vida cultural de sus comunidades así como para optimizar y enriquecer los

procesos de profesionalización de los futuros docentes. Se pretende formar a los/as futuros/as

docentes como lectores críticos, usuarios seguros de la lengua oral y escritores que puedan

comunicarse por escrito con corrección, adecuación, coherencia y pertinencia, además de introducirlos

a obras valiosas y movilizadoras de la literatura universal. A su vez, es central que los/as estudiantes se

apropien de los nuevos lenguajes de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, necesarios

para la búsqueda, selección y procesamiento de la información. Conocer la historia de Latinoamérica

permitirá al futuro docente comprender, analizar, conocer y utilizar categorías de análisis que permitan

comprender la realidad como una construcción social.


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Se promueve la salud y la incorporación de hábitos saludables, reflexionando sobre el cuidado

de la salud física y mental, el cuidado de la voz, instrumento necesario para el trabajo docente, la

postura corporal, el manejo del estrés, la nutrición y aspectos relativos a la educación sexual.

Trayecto de Fundamentos Educativos

Este Trayecto se enfoca a la recuperación del sentido y el valor que en el mundo actual y en la

sociedad latinoamericana y argentina tienen la educación y la docencia, incluyendo saberes que

aportan al conocimiento y comprensión del fenómeno educativo como proceso social, ético, político,

histórico y económico. “Es fundamental tomar en cuenta que el trabajo docente está inscripto en

espacios públicos y responde a propósitos sociales. La enseñanza, aún en el marco restringido del aula,

tiene efectos a largo plazo en la trayectoria posterior de los estudiantes y alcanza al conjunto de la

sociedad. Actuar y pensar en estos espacios requiere de marcos conceptuales, interpretativos y

valorativos que se integran a diferentes campos disciplinares” (Recomendaciones para la elaboración

de diseños curriculares. INFD) Resulta de importancia estratégica incluir la perspectiva del discurso

pedagógico moderno, sus debates, desarrollo y evolución en diferentes contextos históricos. Se

propone también un recorrido por la historia de la educación argentina, permitiendo a los futuros

docentes ubicarse en un marco histórico y político de la educación argentina, conocer el sistema

educativo y las leyes que lo rigen. La perspectiva sociológica, por su parte, constituye un aporte

fundamental para la comprensión del propio trabajo de enseñar, los procesos de escolarización y sus

efectos en la conservación y transformación de la sociedad. La Didáctica General conforma un espacio

de formación fundamental para el desempeño de la tarea docente, dado que aporta marcos

conceptuales, criterios generales y principios de acción para la enseñanza. El trabajo docente es una

práctica social enmarcada en una institución como la escuela, por lo tanto, es necesario conocer su

organización y sus regulaciones. Por su parte, la Psicología Educacional permite comprender a los

sujetos de la educación focalizando en los procesos de desarrollo subjetivo y los diferentes modelos

psicológicos de aprendizaje. La Filosofía, como campo de saber y modo de conocimiento de carácter

crítico y reflexivo, se constituye en un ámbito de importante valor formativo para los/as futuros/as

docentes.

o EL CAMPO DE LA FORMACIÓN ESPECÍFICA

Este campo aporta los conocimientos específicos que el docente debe saber para enseñar

Matemática en la Educación Secundaria. “Posibilitará a los futuros docentes aproximaciones diversas y

sucesivas –cada vez más ricas y complejas- al objeto de conocimiento, en un proceso espiralado de

redefiniciones que vaya ampliando y profundizando las significaciones iniciales. (…)”

((Recomendaciones para la elaboración de diseños curriculares. INFD). Se distinguen en este campo de

formación tres trayectos formativos: el Trayecto de los Fundamentos de la Matemática, el trayecto del


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Lenguaje Matemático y sus vinculaciones y el Trayecto de la Formación Orientada. Incluye asimismo

dos Unidades Curriculares de definición institucional.

Trayecto de los Fundamentos de la Matemática.

En este trayecto, los/as futuros/as docentes se apropiarán de los contenidos que deben enseñar,

y las estrategias de intervención pedagógicas y didácticas, pertinentes para enseñar Matemática en la

Educación Secundaria. Posibilitará una formación didáctica – disciplinar con adecuado nivel de

profundidad y complejidad que deberá luego integrarse con saberes que analicen las adecuaciones

pedagógicas necesarias para enseñarles a adolescentes, jóvenes y adultos. Este trayecto “fomentará

las relaciones matemáticas que les proporciones herramientas para cuestionar la naturalidad de los

objetos de la Matemática escolar y persigan respuestas a estos cuestionamientos…” (Proyecto de

Mejora para la formación Inicial de los profesores para el Nivel Secundario. INFD) Álgebra, Cálculo,

Geometría, Probabilidad y Estadística y Tics para la enseñanza de la Matemática, conforman un área

curricular en la que se pretende enseñar a los/as futuros docentes, los marcos conceptuales,

herramientas matemáticas y metodologías de enseñanza para que los/as adolescentes, jóvenes y

adultos puedan comprender determinados aspectos de la realidad como una totalidad.

Trayecto del Lenguaje Matemático y sus vinculaciones

Este trayecto se organiza en torno a las vinculaciones de la Matemática como lenguaje

modelizador de otras ciencias y sus posibles aplicaciones. Así se presentan unidades curriculares como

Matemática Aplicada, Modelos Matemáticos y Física. La Historia de la Matemática permite reconocer

el escalonado proceso de la abstracción a través de las sucesivas etapas de la matemática; comprender

cómo se originan algunos contenidos matemáticos para, así comprender la naturaleza de los

problemas, las propiedades que los definen y las resoluciones entre los mismos con los de otras

disciplinas y conocer la fundamentación de la aritmética, el álgebra, el análisis, la geometría y la

estadística, su evolución individual y también cómo en algún momento el desarrollo de alguno de ellos

permitió el avance de otro. En Epistemología de la Matemática se reconoce el papel que juega la génesis

de las ideas en la construcción del conocimiento matemático, su incidencia en el proceso de aprendizaje

del mismo y analiza el alcance y fundamentación de las distintas corrientes epistemológicas

matemáticas como así también su influencia en la enseñanza.

Trayecto de la Formación Orientada

Se propone que la formación disciplinar esté estrechamente acompañada por el conocimiento

pedagógico específico, que tenga especialmente en cuenta las posibilidades y problemas de aprendizaje

inherentes a cada uno de los núcleos de la Matemática. Por ello las expectativas de logro y descriptores

propuestos para las diversas unidades curriculares de este trayecto están pensados desde la Didáctica


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de la Matemática, la integración de saberes, la articulación con otras disciplinas, los campos del

conocimiento y las actividades humanas donde se apliquen las leyes y principios de la Matemática.

Se organiza en torno a la particularidad de los sujetos a los que atiende. Ofrece un abordaje

exhaustivo sobre los sujetos de la Educación Secundaria. Esto es, analiza la configuración de los

procesos subjetivos e intersubjetivos en diferentes contextos y diferentes itinerarios a partir de

propuestas teóricas actualizadas y complementarias. La formación didáctica específica se orienta a

promover el análisis crítico sobre el quehacer concreto que cotidianamente desarrollan los profesores

de matemática, a develar los sentidos y fundamentos en que efectivamente se cimienta, así como los

obstáculos más recurrentes, a fin de iniciar un proceso de búsqueda que permita cualificarlo, mediante

la creación colectiva de alternativas didácticas. Estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje del

conocimiento matemático proporciona elementos sobre los errores sistemáticos de los estudiantes,

interpretaciones posibles del origen de los mismos, conocimientos que los alumnos usan en situación

en forma implícita y explícita, relaciones que establecen o no entre conocimientos y que movilizan en

la resolución de problemas. El trayecto asume la responsabilidad de una formación pedagógico y

didáctica fundamentada e integrada, que garantice el rol transformador pensado para el futuro

profesor.

o EL CAMPO DE LA FORMACIÓN EN LA PRÁCTICA PROFESIONAL DOCENTE

Este campo se organiza en torno a la práctica profesional docente. Busca resignificar la práctica

docente desde las experiencias pedagógicas y conocimientos de los otros campos curriculares a través

de la incorporación progresiva de los estudiantes en distintos contextos socioeducativos

(Recomendaciones para la elaboración de diseños curriculares. INFD). Resignificar el lugar de la práctica

en la formación docente (Terigi, 2004) requiere:

En primer lugar, actualizar la historia aprendida como alumnos/as en el curso de la trayectoria escolar

previa, lo que implica una disposición personal de los estudiantes y los docentes formadores para

analizar aquellas matrices que pueden constituirse en obstáculo epistemológico y pedagógico en la

formación como futuros/as docentes de Matemática. Esto es, generar los dispositivos que posibiliten

revisar en forma insistente la experiencia formativa previa de los estudiantes;

tempranamente a los/as estudiantes a la práctica, por medio de

situaciones guiadas y acompañadas que permitan acceder a la diversidad y complejidad de la realidad

de la Educación Secundaria. Esto es, ampliar los ámbitos de la práctica de los futuros docentes al

conjunto de instituciones de nivel secundario y a la variedad de situaciones de aproximación a la tarea

del docente inicial. Se hace necesario diseñar un complejo dispositivo de construcción de la práctica

docente que incluya trabajos de campo, trabajos de diseño, micro –experiencias, primeros

desempeños, etc.


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Educación Secundaria asociadas, en tanto el espacio y las prácticas escolares se constituyen en ámbitos

para reconstruir y elaborar el saber pedagógico desde un proceso dialéctico y en dinamismo

permanente.

En este sentido, el Campo de Formación en la Práctica Profesional Docente (CFPPD) se concibe

como un eje vertebrador y como una entidad interdependiente dentro del Currículo de la Formación

Docente para la Educación Secundaria en Matemática, y tiene como fin permitir a quienes están

“aprendiendo a ser profesores de Matemática”, la oportunidad de probar y demostrar el conjunto de

capacidades que se van construyendo en su tránsito por la carrera, a través de simulaciones y de

intervenciones progresivas en las instituciones educativas que les permitan participar, realizar el

análisis y proponer soluciones o mejoras a situaciones o casos que integren variadas dimensiones de la

práctica y profesión docente, en múltiples escenarios o contextos socio-educativos que a posteriori

constituirán su espacio real de trabajo y de desarrollo profesional.

Trayectos del Campo de la Formación en la Práctica Profesional Docente

El currículo presenta cuatro trayectos, uno por cada año de la formación docente, que articulan

en su recorrido los conocimientos aportados por los otros campos de la formación: 1) Problemáticas de

los sujetos y los contextos en la Educación Secundaria, 2) Primeras intervenciones en instituciones de

Educación Secundaria, 3) Pasantías: La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en la Educación

Secundaria, 4) La Residencia Docente de Matemática en la Educación Secundaria.

Cada trayecto aborda problemáticas específicas que guardan relación con los contenidos

desarrollados en las unidades curriculares del Campo de Formación General y del Campo de Formación

Específica. La organización de la propuesta para el CFPPD en el currículo requiere pensar en un diseño

integrado e integrador, de complejidad creciente, previendo:

a) que el mismo se desarrollará durante toda la formación, desde una concepción amplia sobre el

alcance de las “prácticas docentes”, considerando todas aquellas tareas que un docente realiza

en su contexto de trabajo.

b) situaciones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en el ámbito de las “escuelas asociadas”

y la comunidad, en los espacios reales de las prácticas educativas.

c) situaciones de enseñanza y aprendizaje desarrolladas en el Instituto Superior, de distinto

formato (talleres, seminarios, ateneos, etc.) en torno a la práctica docente situada en las

instituciones de Educación Secundaria.


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d) la articulación de los conocimientos prácticos y de los brindados por los otros campos

curriculares y la sistematización a través de un taller integrador anual.

Las propuestas educativas se desarrollan en el ISFD y en las escuelas asociadas y comunidades

de referencia y responden a una secuencia anual:

Primer cuatrimestre:

1) Talleres, seminarios, ateneos en el ISFD.

2) Trabajo de campo en las instituciones de Educación Secundaria asociadas.

Segundo cuatrimestre:

3) Talleres, seminarios, ateneos en el ISFD.

4) Trabajo de campo en las instituciones de Educación Secundaria asociadas.

5) Taller final anual integrador.

Los/as estudiantes realizarán biografías escolares, trabajos de registro, narraciones, informes,

análisis de documentación, producciones pedagógicas y didácticas, reflexiones, consultas bibliográficas,

etc., que incorporarán en el portafolios de evidencias de su proceso educativo. Cada año se realizará

un coloquio final integrador en el que deberá analizar el portafolio y dará cuenta de los aprendizajes

realizados. El eje de la práctica de cada año recupera, completa y complejiza las miradas sobre el

portafolios del año anterior, posibilitando espacios de reflexión metacognitiva y de articulación de

saberes.

UNIDADES CURRICULARES

Los Campos de Formación se organizan en Trayectos Formativos que están integrados por

Unidades Curriculares, concebidas como aquellas instancias curriculares que, adoptando distintas

modalidades o formatos pedagógicos, forman parte constitutiva del plan, organizan la enseñanza y los

distintos contenidos de la formación y deben ser acreditadas por los estudiantes.

Unidades Curriculares de Definición Jurisdiccional.

Se organizan en torno a los campos y trayectos que por decisión jurisdiccional y en orden a los

lineamientos propuestos por el INFD se estipulan como estructurantes básicos de la formación docente


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inicial del Profesorado. Por ello éstas unidades curriculares deberán desarrollarse en todas las ofertas

de Profesorados de Educación secundaria en Matemática que se implementen en la provincia de

Mendoza respetando los descriptores mínimos de contenidos y las instancias de formación que estipula

el diseño.

Unidades Curriculares de Definición Institucional.

La inclusión de unidades curriculares de definición institucional se enmarca en la concepción de

un currículo flexible y permite a los ISDF realizar una oferta acorde con sus fortalezas y las necesidades

de los/as estudiantes. El presente diseño curricular propone a los ISFD una serie de unidades cuyas

temáticas puede ampliar o incluir otras correspondientes a ámbitos de saber teóricos y/o prácticos no

contempladas en este documento. Se definirán anualmente en acuerdo con la DES. Se presentan dos

tipos de unidades de definición institucional: las de cursado obligatorio para todos los estudiantes y las

electivas.

Sobre las Unidades Curriculares de Definición Institucional (UDI)

Se consideran Unidades Curriculares de Definición Institucional a aquellas definidas por la IFD y

de cursado obligatorio para todos los/as estudiantes del Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática. Se consideran complemento de las Unidades Curriculares de Definición Jurisdiccional y se

orientan a articular los campos de saber abordados en estas últimas con las realidades socio educativas

de la región de incumbencia del IFD. Cada IFD deberá definir las unidades curriculares de definición

institucional por campo, especificadas en el Diseño, y optar por una temática por año para cada una.

Sobre las Unidades Curriculares de Definición Institucional Electivas

Las unidades curriculares electivas están orientadas a fortalecer la propia trayectoria formativa

del estudiante del profesorado. Se relacionan con el sistema de crédito y la flexibilidad del currículo.

Dichas unidades curriculares electivas serán ofrecidas por los profesores y no podrán superar en ningún

caso las 36 hs cátedra ni ser menos a 12 hs. cátedra. Se organizarán con relación a temáticas concretas

y se desarrollarán con formato de taller o trabajo de campo. Se acreditarán a través de coloquios,

ateneos, foros, producciones, etc., quedando explícitamente excluida en este caso la instancia de

examen final con tribunal. Se dictarán con las horas contracuatrimestre que dispongan los docentes o

bien con las horas previstas para gestión curricular, según lo defina la organización académica

institucional. El IFD podrá ofrecer varias propuestas electivas simultáneamente, según la disposición de

los profesores, permitiendo así la opción de los/as estudiantes para elegir las mismas. Deberán dictarse

en el transcurso de un cuatrimestre (nunca implicando el cuatrimestre completo) y podrán

desarrollarse con un cursado intensivo. Se sugiere que los grupos de estudiantes cursantes en las

electivas no sean mayores a 25 (veinticinco). Es conveniente aclarar que no necesariamente todas las


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unidades curriculares electivas se deberán cursar en el Instituto Formador. A través del sistema de

créditos, y habiendo acuerdos interinstitucionales (entre IFD debidamente acreditados en el sistema

público) que garanticen la calidad académica de los mismos, los/as estudiantes del Profesorado podrán

cumplimentar por el sistema de crédito hasta un 30% de las horas de formación prevista para los

electivos (Desde un mínimo 80 hs. cátedra hasta un máximo 180 hs cátedra). El cursado deberá

garantizar la carga horaria prevista pudiéndose distribuir semanalmente (2 o 3 hs. cát. semanales), o a

través de un cursado intensivo (ej. 4 sábados de 6 hs cátedra), o bien desarrollando tareas y acciones

en las escuelas asociadas. Estas modalidades de cursado se organizarán según disponibilidad de

docentes, estudiantes y espacios institucionales. Los/as estudiantes de profesorado podrán cursar las

electivas durante el desarrollo de los años formativos. Aunque están ubicadas (por razones de

presentación de la estructura curricular) en años y cuatrimestres, se podrán dictar indistintamente en

los diferentes momentos del año y el/la estudiante podrá cursarlas en cualquier momento de su

trayectoria formativa (una o dos por año, o bien en forma concentrada tres o cuatro por año). En todas

las instancias el/la estudiante deberá cumplimentar la carga horaria mínima de electivos como

condición de egreso.

o FORMATOS DE LAS UNIDADES CURRICULARES

A continuación se presentan los formatos de las unidades curriculares. La variedad de formatos pone de manifiesto la concepción de un diseño curricular que presenta a los/as estudiantes diferentes modelos y formas de organización de la enseñanza, que “modelizan” el trabajo docente que luego ellos realizarán en sus prácticas docentes, que promueve la articulación de saberes de los diferentes campos del conocimiento, la interacción con las instituciones de Educación Secundaria asociadas y la reflexión sobre la práctica en terreno. Sin duda, esto implica un importante trabajo coordinado de los equipos docentes para la gestión institucional del currículo en los ISFD.

Materias o Asignaturas Definidas por la enseñanza de marcos disciplinares o

multidisciplinares y sus derivaciones metodológicas

para la intervención educativa de valor troncal para la

formación.

Brindan conocimientos y, por sobre todo, modos de

pensamiento y modelos explicativos de carácter

provisional, evitando todo dogmatismo, como se

corresponde con el carácter del conocimiento científico

y su evolución a través del tiempo necesarios para

orientar, resolver o interpretar los desafíos de la

producción.


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Seminarios

Promueven el estudio de problemas relevantes para la

formación profesional. Incluyen la reflexión crítica de

las concepciones o supuestos previos sobre tales

problemas, que los/as estudiantes tienen incorporados

como resultado de su propia experiencia, para luego

profundizar su comprensión a través de la lectura y el

debate de materiales bibliográficos o de investigación.

Estas unidades, permiten el cuestionamiento del

“pensamiento práctico” y ejercitan en el trabajo

reflexivo y en el manejo de literatura específica, como

usuarios activos de la producción del conocimiento.

Talleres

Trabajos de Campo

Se orientan a la producción e instrumentación requerida para la acción profesional. Promueven la resolución práctica de situaciones de alto valor para la formación docente. El desarrollo de las capacidades que involucran desempeños prácticos envuelve una diversidad y complementariedad de atributos, ya que las situaciones prácticas no se reducen a un hacer, sino que se constituyen como un hacer creativo y reflexivo en el que tanto se ponen en juego los marcos conceptuales disponibles como se inicia la búsqueda de aquellos otros nuevos que resulten necesarios para orientar, resolver o interpretar los desafíos de la producción.

Espacios sistemáticos de síntesis e integración de

conocimientos a través de la realización de trabajos de

indagación en terreno e intervenciones en campos

acotados para los cuales se cuenta con el

acompañamiento de un profesor/tutor. Permiten la

contrastación de marcos conceptuales y conocimientos

en ámbitos reales y el estudio de situaciones, así como

el desarrollo de capacidades para la producción de

conocimientos en contextos específicos.


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Prácticas Docentes

Módulos

Trabajos de participación progresiva en el ámbito de la

práctica docente en las instituciones educativas y en el

aula, desde ayudantías iniciales, pasando por prácticas

de enseñanza y actividades delimitadas hasta la

residencia docente con proyectos de enseñanza

extendidos en el tiempo.

Estas unidades curriculares se encadenan como una

continuidad de los trabajos de campo, por lo cual es

relevante el aprovechamiento de sus experiencias y

conclusiones en el ejercicio de las prácticas docentes.

Representan unidades de conocimientos completas en

sí mismas y multidimensionales sobre un campo de

actuación docente, proporcionando un marco de

referencia integral, las principales líneas de acción y las

estrategias fundamentales para intervenir en dicho

campo. Su organización puede presentarse en

materiales impresos, con guías de trabajo y

acompañamiento tutorial, facilitando el estudio

independiente.

Ateneos Didácticos Permiten profundizar en el conocimiento, a partir del

análisis de la singularidad que ofrece un “caso” o

situación problemática, con los aportes de docentes de

ISFD, docentes de las instituciones educativas asociadas

y estudiantes de la formación. El ateneo se caracteriza

por ser un contexto grupal de aprendizaje, un espacio

de reflexión y de socialización de saberes en relación

con variadas situaciones relacionadas con las prácticas

docentes. Docentes y estudiantes abordan y buscan

alternativas de resolución a problemas específicos y/o

situaciones singulares, que atraviesan y desafían en

forma constante la tarea docente: problemas

didácticos, institucionales y de aula, de convivencia

escolar, de atención a las necesidades educativas

especiales, de educación en contextos diversos, etc.


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Este intercambio entre pares, coordinado por un

especialista y enriquecido con aportes bibliográficos

pertinentes, con los aportes de invitados como

profesores de Matemática, directivos, supervisores,

especialistas, redunda en el incremento del saber

implicado en las prácticas y permite arribar a

propuestas de acción o de mejora.


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UNA HISTORIA DE AMOR

Vamos a comenzar con la historia de una princesa, cuya mano es disputada por un gran número

de pretendiente. El cuento - extraído de una serie checa de dibujos animados-muestra en cada uno de

los distintos episodios las tentativas de seducción desplegadas por alguno de los galanes, de lo más

variadas e imaginativas. Así, empleando diferentes recursos, unos más sencillos y otros verdaderamente

magníficos, uno tras otro pasan los pretendientes sin que nadie logre conmover siquiera un poco a la

princesa. Quien conozca el dibujo acaso recordará haber visto a uno de ellos mostrar una lluvia de luces

y estrellas; a otro, efectuar un majestuoso vuelo y llenar el espacio con sus movimientos.

Nada. La conclusión invariable de cada capítulo es un primer plano del rostro de la princesa, que

nunca deja ver gesto alguno. Pero el episodio que cierra la serie nos proporciona el impensado final: en

contraste con las maravillas ofrecidas por sus antecesores, el último de los pretendientes sólo atina a

extraer de su capa, con humildad, un par de anteojos que da a probar la princesa; la princesa se los

pone, sonríe, y le brinda su mano.

Más allá de las posibles interpretaciones, la historia es muy atractiva y cada episodio por

separado resulta de gran belleza. Sin embargo, sólo la resolución final nos deja la sensación de que todo

termina por articularse. Existe un interesante manejo de la tensión, que hace pensar en cierto punto que

nada conformará a la princesa: con el paso de los episodios y, por consiguiente, el agotamiento de los

artilugios de seducción, comenzamos a enojarnos con esta princesa insaciable. ¿Qué cosa tan

extraordinaria es lo que está esperando? Hasta que, de pronto, aparece el dato que desconocíamos: la

princesa no se emocionaba ante las maravillas ofrecidas, pues no podía verlas. Así que ese era el

problema. Claro, si el cuento mencionara este hecho un poco antes, el final no nos sorprendería:

podríamos admirar igualmente la belleza de las imágenes pero encontraríamos algo tontos a los

galanes y sus múltiples intentos, ya que nosotros sabríamos que la princesa es miope. NO lo sabemos;

suponemos que la falla está en los pretendientes que le ofrecen demasiado poco. Lo que hace el último,

conocedor del fracaso de los otros, es cambiar el enfoque del asunto. Mirar el problema de otra manera.

La explicación del cuento está a cargo de Pablo Amster, argentino, doctor en Matemática, nacido

en 1968 y lo cuenta en su libro de divulgación llamado “La Matemática como una de las bellas artes”.

Si algunos o muchos de Uds. han leído el libro de Adrián Paenza, Matemática ¿estás ahí? , también él

toma este relato de Pablo Amster. Este último considera el cuento para referirse a la matemática como

un arte y si no sabemos esto nos puede pasar como el final de la historia, sorprendernos. El poeta

Fernando Pessoa dijo “El Binomio de Newton es tan hermoso como la Venus de Milo; lo que pasa es

que muy poca gente se da cuenta.-

Muchas veces a los profesores de matemática nos pasa como a los matemáticos, nos sentimos

en el lugar del enamorado, esforzándonos por exponer las más bellas cuestiones, sin tener la respuesta

esperada de nuestros estudiantes. ¿Cómo hacer para transmitir la belleza a quienes, por la razón que


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sea, nunca la han experimentado? Tratemos de acercarnos a la solución propuesta por el “galán

humilde”, que nos muestra que en ocasiones incluso una situación irresoluble tiene, en definitiva, una

solución: basta con mirar el problema de otra manera. Y la mayoría de las veces el mirar de otra manera,

es pensar, idear, cómo vamos a presentar un Teorema, un nuevo conjunto numérico, un análisis

estadístico, y cuántas otras maravillas matemáticas a los estudiantes. Hoy entran en este gran desafío.

Comienzan a recorrer un camino que no sólo consiste en aprender matemática, tienen que aprender a

transmitir la belleza matemática porque aquí se prepararán para ser Profesores en Matemática.-

Hoy la concepción de la enseñanza de la matemática es muy diferente de la que tienen muchos

aún. Hay que tender a que los estudiantes no solamente operen, sino que piensen y razonen en y con

la matemática: esta es una concepción formativa de la enseñanza de la matemática, la cual debe ir de

la mano de una enseñanza activa: los estudiantes deben participar en el aprendizaje: los

conocimientos no deben ser embuchados a presión sino adquiridos a través de la curiosidad del

estudiante. El estudiante se acostumbra más fácilmente a recordar que a razonar: la memoria es pasiva,

el razonamiento es acción, que supone esfuerzo.8 … De ninguna manera hay que pensar que la

matemática actual descuida el cálculo. Todo lo contrario. Lo que trata es, por un lado, huir del cálculo

rutinario sin comprensión de lo que se está haciendo y, por otro lado, tratar problemas realmente

prácticos y menos idealizados.9

Estimados estudiantes, la matemática está en todas partes: en nuestro cuerpo, en la naturaleza,

en el supermercado, en la economía, en el arte, en la fotografía, en la literatura, y en ¡cuántas partes

más!, sólo debemos agudizar nuestros sentidos y nuestro pensamiento: cuando descubran en cada

rincón a la matemática, entonces serán capaces de poder ofrecer a sus estudiantes el día de mañana

las lentes apropiadas para verla, para apasionarse estudiándola, aprendiéndola y enseñándola.

Lic. Prof. María del Carmen Navarro

¡Bienvenidos al ciclo lectivo 2017 del Profesorado de Matemática del IES 9-011 “Del Atuel”!

8 Santaló, Luis A. Enfoques. Hacia una didáctica humanística de la matemática. 9 Ibid 1


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Nuestro equipo docente del Ingreso 2017 al Profesorado de Educación

Secundaria en Matemática


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INTRODUCCIÓN

Atendiendo al Perfil del Egresado del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática,

explicitado en el Diseño Curricular de tal carrera, y pretendiendo resignificar la labor docente:

“Se aspira a formar un/a profesor/a para la Educación Secundaria en Matemática

que sea a la vez persona comprometida, mediador intercultural, animador de una

comunidad educativa, garante de la Ley y organizador de una vida democrática,

intelectual y conductor cultural.”

Es por ello que se pretende formar un docente con la capacidad de:

o Asumirse como un ser autónomo, comprometido con la realidad sociocultural en la cual está

inserto: Esto implica concebirse como un sujeto en proceso de construcción dinámica sujeto a

una historia, a un contexto, delimitado por una institución y una comunidad y en convivencia

con otros actores sociales, entre ellos los alumnos destinatarios de la Educación Secundaria con

quienes deba entablar relaciones y vínculos positivos y de confianza a los fines de promover la

tarea de enseñar y de aprender.

o Construir dinámicamente una identidad como profesional docente: Esto es entender y valorar

a la Matemática como un constructo social e histórico, por ello promover un espacio en donde

aprender Matemática en la escuela implique una construcción activa de los propios alumnos -

con la diversidad de pensamiento, realidades, matrices cognitivas, experiencias que ello implica-

a fin de comprender la importancia y utilidad de la misma.

o Desplegar prácticas educativas: Estas deben reconocer el sentido socialmente significativo de la

Matemática y promover tal valoración en sus prácticas áulicas. Para ello es necesario poseer un

sólido dominio de la disciplina, seleccionar y generar estrategias didácticas tendientes a lograr

significatividad y funcionalidad en el aprendizaje matemático y mediar los procesos de enseña

y aprendizaje a los efectos de que los propios alumnos se apropien de ella desarrollando

habilidades tales como la resolución de problemas, la comunicación, el pensamiento crítico-

reflexivo, la creatividad entre otros.

Atendiendo a las políticas educativas que propician una Educación Inclusiva para el acceso al

derecho innegable que constituye una Educación de Calidad, y atendiendo también a las características

de esta calidad educativa que se manifiestan en el Perfil del Egresado del Profesorado de Educación


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Secundaria en Matemática, el cual supone también responsabilidades para quienes deseen acceder a

esta formación, se establece como necesidad:

Diseñar y ejecutar un Ingreso al Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática que garantice el derecho a adquirir una educación superior con

igualdad de oportunidades y poseyendo dominio sobre los saberes disciplinares

indispensables para transitar, permanecer y concluir esta formación, pero

transmitiendo también el sentido de compromiso con la profesión que un alumno

debe asumir como futuro docente.

FUNDAMENTACIONES DE LA PROPUESTA DE TRABAJO PARA EL CURSO DE INGRESO

Entendiendo a la Matemática como un producto social y cultural, es que la reforma de su

enseñanza aboga por una Matemática al alcance de todos los alumnos que se propongan a aprenderla

y por un método más participativo de enseñanza, con mayor protagonismo del alumno, ya que se pone

el énfasis en el proceso de hacer matemáticas, más que considerar el conocimiento matemático como

un producto acabado.

Por ello, se encuentra en el hacer matemático una forma de aprender matemática construyendo

conceptos a través de problemas y planteando nuevos problemas a partir de los conceptos así

construidos, para significar el conocimiento. Así es que los estudiantes deben ingresar al universo

matemático no sólo para conocer los conceptos fundamentales, sino también para familiarizarse con

los modos de construcción propios de esta ciencia cuya actividad gravita sobre la resolución de

problemas.

Este enfoque didáctico de la Matemática que sienta sus bases en la resolución de problemas

desde un punto de vista formativo, señala en ella la activación de capacidades básicas del individuo

como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo, adaptarlo,

generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de la solución, comunicar la solución, etc.

En estas líneas el proyecto PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos) de la

Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE) concibe a la formación matemática

como la capacidad de identificar, comprender e implicarse en las Matemáticas como elemento

necesario para la vida privada, laboral y social, actual y futura de un individuo, como ciudadano

constructivo, comprometido y capaz de razonar.


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G. Polya (1954) plantea que el principal objetivo de la enseñanza de la Matemática debe ser

enseñar a pensar, y para ello debe dársele lugar al saber hacer, que en Matemática es la habilidad de

resolver problemas, de encontrar pruebas, de criticar argumentos favorables, de usar el lenguaje

matemático con fluidez, de reconocer conceptos matemáticos en situaciones concretas, etc. Este hacer

matemático se plantea y concretiza en competencias.

El proyecto de la OCDE, denominado Definición y Selección de Competencias (DeSeCo),

referente básico del enfoque comprensivo de las competencias básicas, entiende a estas como:

“la capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas diversas de forma

adecuada. Supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación,

valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que

se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.”

El planteamiento de la actividad educativa desde las competencias básicas exige un nuevo

enfoque que afecta a todos los ámbitos de la acción educativa. En el caso del currículo actual, supone

que tanto la formulación de los objetivos, como los contenidos y, sobre todo, los criterios de evaluación

deben alcanzar una nueva dimensión que dé respuesta al objetivo de ensenar a adquirir las

competencias básicas.

Entre estas competencias básicas se encuentran las competencias matemáticas, entendiendo

por ellas:

“la capacidad de un individuo para identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en

el mundo, emitir juicios bien fundamentados y utilizar las matemáticas en formas que le

permitan satisfacer sus necesidades como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo.”

En el proyecto PISA, de la OCDE, el dominio de la competencia matemática comprende tres ejes

principales:

Las situaciones o contextos en que se ubican los problemas.

El contenido matemático que se requiere para resolver los problemas, organizado de acuerdo a

ciertas nociones claves, y, sobre todo.

Las competencias que deben ser aplicadas para conectar el mundo real, en el que se generan

los problemas, con las matemáticas, para resolver asá los problemas.

Para evaluar el nivel de competencia matemática de los alumnos, OCDE / PISA se basa en las

ocho competencias matemáticas específicas identificadas por Niss (1999):


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Pensar y razonar. Incluye plantear preguntas características de las matemáticas (“¿Cuántas …

hay?”, “¿Cómo encontrar …?”); reconocer el tipo de respuestas que las matemáticas ofrecen

para estas preguntas; distinguir entre diferentes tipos de proposiciones (definiciones, teoremas,

conjeturas, hipótesis, ejemplos, condicionales); y entender y manipular el rango y los límites de

ciertos conceptos matemáticos.

Argumentar. Se refiere a saber qué es una prueba matemática y cómo se diferencia de otros

tipos de razonamiento matemático; poder seguir y evaluar cadenas de argumentos

matemáticos de diferentes tipos; desarrollar procedimientos intuitivos; y construir y expresar

argumentos matemáticos.

Comunicar. Involucra la capacidad de expresarse, tanto en forma oral como escrita, sobre

asuntos con contenido matemático y de entender las aseveraciones, orales y escritas, de los

demás sobre los mismos temas.

Modelar. Incluye estructurar la situación que se va a modelar; traducir la “realidad” a una

estructura matemática; trabajar con un modelo matemático; validar el modelo; reflexionar,

analizar y plantear críticas a un modelo y sus resultados; comunicarse eficazmente sobre el

modelo y sus resultados (incluyendo las limitaciones que pueden tener estos últimos); y

monitorear y controlar el proceso de modelado.

Plantear y resolver problemas. Comprende plantear, formular, y definir diferentes tipos de

problemas matemáticos y resolver diversos tipos de problemas utilizando una variedad de

métodos.

Representar. Incluye codificar y decodificar, traducir, interpretar y distinguir entre diferentes

tipos de representaciones de objetos y situaciones matemáticas, y las interrelaciones entre

diversas representaciones; escoger entre diferentes formas de representación, de acuerdo con

la situación y el propósito particulares.

Utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas. Comprende decodificar e

interpretar lenguaje formal y simbólico, y entender su relación con el lenguaje natural; traducir

del lenguaje natural al lenguaje simbólico / formal, manipular proposiciones y expresiones que

contengan símbolos y fórmulas; utilizar variables, resolver ecuaciones y realizar cálculos.


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Utilizar ayudas y herramientas. Esto involucra conocer, y ser capaz de utilizar diversas ayudas

y herramientas (incluyendo las tecnologías de la información y las comunicaciones TIC) que

facilitan la actividad matemática, y comprender las limitaciones de estas ayudas y herramientas.

Por su parte, en el marco de la ley N°26.206 se define una perspectiva pedagógica de desarrollo

de capacidades que establece dentro de los fines y objetivos de la política educativa nacional la

necesidad de “desarrollar las capacidades y ofrecer las oportunidades de estudio y aprendizaje

necesarias para la educación a lo largo de toda la vida”.

Para esto, el CFE ha promulgado resoluciones de carácter nacional que buscan desarrollar en los

distintos niveles educativos dispositivos pedagógicos que permitan concretar los principios de esta ley.

Así en la resolución N°201/13, se presenta el Plan Nacional de Formación Permanente como una política

de Estado que “enlaza la jerarquización de la formación docente y la calidad de los aprendizajes,

articulando procesos de formación con mecanismos de evaluación y fortalecimiento de la unidad

escuela; como ámbito privilegiado de desempeño laboral y a la vez espacio de participación,

intercambio y pertenencia”.

El Plan de Formación pretende instalar una cultura de la formación permanente centrada en la

escuela al promover la generación de espacios para la construcción colectiva del saber pedagógico. El

plan de formación se organizó en dos componentes: uno centrado en las Instituciones Educativas y el

actual centrado en los destinatarios específicos.

De esta forma, se le da continuidad a lo realizado en el PNFP, con el Programa de Formación

Situada, en el cual se promueve un trabajo de reflexión sobre las formas de trabajo con los saberes y

con el desarrollo de capacidades en la escuela generando un saber pedagógico que permite enriquecer

los enfoques y diseñar las estrategias de enseñanza con el fin de mejorar los aprendizajes de todos los

alumnos en el aula. Esta propuesta pedagógica propone la valoración, integración y organización

significativa de los campos disciplinares a cargo de los docentes con una orientación explícita hacia el

desarrollo de capacidades de los estudiantes. Se entiende que las capacidades son constructos que

permiten referirse a la manera en que se combinan los potenciales, las disposiciones y saberes en

maneras diversas y en grados crecientes de complejidad.

Las capacidades generales y transversales que se han seleccionado son: Comprensión Lectora,

Uso de conceptos y teorías para entender y explicar algún aspecto de la realidad, Resolución de

situaciones complejas, Autorregulación del propio proceso de participación y aprendizaje y, trabajo con

otros para un fin compartido.

Para finalizar, podemos afirmar que desde el Enfoque de Desarrollo de Capacidades (Labate, H.,

2016) se invita a pensar la enseñanza como un proyecto humanista de formación de sujetos capaces de

protagonizar trayectorias vitales en contextos cambiantes.


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Por ello, para poner en correspondencia a la propuesta del curso de ingreso del Profesorado

de E.S. en Matemática con la propuesta pedagógica del PNFS, es que se han asociado competencias

definidas por Niss a fin de incluirlas en las capacidades matemáticas que el plan vigente de formación

propone:

Capacidades cognitivas PNFS Competencias Niss

Resolver situaciones a partir de modelos convencionales o

no: incluye desde estrategias personales a modelos más

“expertos”, anticipando y verificando su adecuación y sus

límites.

Plantear y resolver problemas.

Modelar.

Utilizar ayudas y herramientas.

Comprender y producir textos en matemática: comprender

consignas, enunciados (identificando preguntas y datos),

comprender textos producidos por otros, comprender

informaciones en diferentes registros simbólicos, comprender

una explicación dada por otro o en un libro de texto,

definiciones.

Comunicar.

Representar.

Utilizar lenguaje y operaciones

simbólicas, formales y técnicas.

Pensar críticamente: analizar los procedimientos propios y de

otros para determinar su validez y elaborar argumentos que

la justifiquen.

Pensar y razonar.

Argumentar.

Además, el PNFS ha definido competencias matemáticas intrapersonales e interpersonales:

Interpersonales Intrapersonales

Trabajar con otros, comunicar y producir

colectivamente.

Estudiar matemática. Desafío, compromiso,

esfuerzo, asumir la responsabilidad.

Es en este sentido y con estas concepciones de Matemática ya explicitadas y de cómo debe

abordarse la Matemática en las escuelas, que a los fines de una educación de calidad no puede no

vivenciarse esta formación en los Profesorados de Matemática. El papel del profesor en el aprendizaje

de la Resolución de Problemas comienza por la experiencia personal de “hacer Matemáticas” y nada

puede reemplazar esta experiencia.

Bajo esta visión es que ya desde el Ingreso al Profesorado de Educación Secundaria en

Matemática, debe abordarse una Matemática basada en la resolución de problemas como medio de

construcción del propio conocimiento matemático a través del desarrollo de las capacidades

propuestas por el PNFS y las competencias citadas por Niss.

Para ello se establecen prioridades de trabajo como:


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Ayudar al alumno a aceptar los retos: un problema cuando se plantea puede suponer un gran

desafío para el alumno.

Enseñar las Matemáticas cargadas de relaciones y como conocimiento a encontrar. Es conocido

el hecho que se aprende más rápido y se retiene más tiempo cuando se establecen conexiones.

La profundidad de la fijación no es más que la propiedad de conectarse con la realidad vivida.

Se trata de que lo que se va aprendiendo sirva para conectar diversos campos de conocimiento

y que permitan al alumno hacer descubrimientos propios.

Crear un ambiente de confianza en la clase que prepare a los alumnos a enfrentarse a

situaciones no familiares y que les ayude a no sentirse demasiado agobiados, angustiados,

ansiosos cuando se bloquean.

Establecer una posibilidad real de que el alumno vaya verdaderamente creando Matemáticas,

favoreciendo que los alumnos desarrollen sus propias ideas para encontrar una solución y

ayudarles, cuando sea necesario, sin darles directamente la respuesta.

Propiciar un marco en el que los alumnos puedan reflexionar acerca de los procesos en que están

inmersos (pensar, discutir, comunicar, escribir sobre) y, de esta forma, aprender de la

experiencia.

Explicitar y comunicar a los alumnos los procesos involucrados cuando se hacen y aplican las

Matemáticas, de manera que puedan adquirir un vocabulario que les ayude a pensar y aprender

sobre ello. Los alumnos aprenden mucho más eficazmente cuando el profesor dirige

explícitamente su atención a las estrategias y procesos implicados en la Resolución de

Problemas.


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CRONOGRAMA TENTATIVO Y ORGANIZACIÓN DEL INGRESO 2017

ENERO 2017

En Enero y hasta el inicio del cursado presencial del Ingreso al Profesorado de E.S. en Matemática, se llevará adelante el período de trabajo no presencial e individual. Para ello el alumno tendrá que resolver, a modo de prerrequisito para el abordaje, comprensión y construcción de las nociones que se trabajarán a lo largo de los distintos talleres del curso de Ingreso, tres trabajos:

1. Taller preliminar: “De lo aritmético a lo algebraico” (pág. 82);

2. Taller preliminar: “Sobre construcciones básicas” (pág. 86);

3. Pre tarea del Taller 5: “El rol del profesor de Matemática en el aula” (pág. 140 y 210);

Además se sugiere: a. Leer el cuadernillo en su totalidad, deteniéndose en el Régimen Académico Marco (RAM), la organización

del diseño curricular y los fundamentos de la propuesta de trabajo para el Ingreso a la carrera;

b. Revisar nociones en relación a expresiones algebraicas y ecuaciones;

c. Revisar nociones en relación a triángulos y razones trigonométricas;

d. Revisar nociones en relación a función lineal y función cuadrática;

(Para todas las revisiones de nociones matemáticas que realice deje debidamente identificada la fuente

de información ya sea libro de texto, páginas web, videos, apuntes, etc.)

e. Leer el artículo: “Resolución de problemas” (pág. 78).

FEBRERO 2017

D L M M J V S

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17

18

19 20 21

22 23

24 25

26 27 28

MARZO 2017

D L M M J V S

1 2

3 4

5 6 7 8 9

10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

TALLER INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

TALLER CONCEPTUALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN

TALLER ROL DEL PROF. DE MATEMÁTICA EN EL AULA

TALLER INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

TALLER TIC TALLER P.L.E.O.


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En Febrero- Marzo se llevará adelante la instancia presencial del curso de Ingreso 2017 a la carrera; durante

dicho curso el alumno asistirá a seis talleres en los que se abordarán nociones específicas que hacen a una

primera aproximación a la carrera visualizando aspectos del rol del profesor de Matemática hoy, como así

también vivenciando procesos de construcción de nociones matemáticas concernientes a tres dominios

específicos: algebraico, geométrico y funcional.

1. Taller de TIC: “Explorando GeoGebra” a cargo del Lic. Roberto Sánchez. Para el cursado de este taller,

se dividirá el grupo de aspirantes a ingresar en dos según se informará el primer día de clases. Es

necesario que para el dictado de este taller, el alumno tenga descargado y explorado el software

GeoGebra tal como se indica al finalizar el taller preliminar “Sobre construcciones básicas”.

2. Taller de la Formación Orientada “El rol del profesor de Matemática en el aula” a cargo de la Lic. Ma.

Del Carmen Navarro. Este taller se desarrollará a lo largo de tres instancias presenciales y algunas

intervenciones virtuales. Para el primer día de este cursado se requiere haber resuelto la pre tarea

indicada el el material del Taller 5.

3. Taller de la Formación General “Práctica de Lectura, Escritura y Oralidad (P.L.E.O.)” a cargo de la Lic.

Analía Peruzzi.

4. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Iniciación al estudio del Álgebra” a cargo de la Mg.

Graciela Serrano y Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es preciso que se haya resuelto el

taller preliminar “De lo aritmético aa lo algebraico” y revisado conceptos en relación a expresiones

algebraicas y ecuaciones. Desde el primer día de cursado presencial, se iniciará la puesta en común.

5. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Introducción al pensamiento geométrico” a cargo de la

prof. Claudia Sánchez, la Lic. Débora San Blas y el Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es

preciso que se haya resuelto el taller preliminar “Sobre construcciones básicas” y revisado conceptos en

relación a triángulos y razones trigonométricas. Desde el primer día de cursado presencial, se iniciará la

puesta en común.

6. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Conceptualización de la noción de función” a cargo de la

Lic. Eugenia Lifona y el Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es preciso que se hayan revisado

conceptos en relación a función lineal y función cuadrática. Desde el primer día de cursado presencial,

se iniciará la puesta en común.

Además queda a definir la fecha de “Examen final: Haciendo matemática” (estimativamente el 16 de marzo), y

las jornadas de trabajo con Políticas Estudiantiles, S.O.E. y Centro de Estudiantes.


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iii. COMPONENTE NIVELATORIO

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Diferenciemos un EJERCICIO de un PROBLEMA. El primero

únicamente demanda la aplicación de un método rutinario para

lograr resolverlo; en cambio un problema debe presentar una

verdadera dificultad, obstáculo para la persona que lo va a

resolver –lo cual lo constituye subjetivo- y esto hace que su

resolución no sea inmediata sino que amerite una reflexión

sobre la cuestión planteada.

Es por ello que resolver un problema supone de un hacer

matemático, de poner en práctica diversas competencias

matemáticas –en particular-, es un medio para construir

conocimientos.

George Polya en su libro “Cómo enseñar y resolver problemas”

(1945) identifica cuatro fases de resolución y en ellas

interrogantes necesarios para arribar al objetivo buscado. Debe

comprenderse que estos pasos no son una receta, sino una

orientación para que cada resolutor encuentre en su propio

hacer su propia estrategia de resolución.

Primera Fase: ENTENDER EL PROBLEMA

Para poder resolver un problema primero hay que comprenderlo. Se debe leer con mucho cuidado y explorar hasta entender las relaciones dadas en la información proporcionada. Para eso, se puede responder a preguntas como:

¿Entiendes todo lo que dice?

¿Puedes replantear el problema en tus propias

palabras?

¿Distingues cuáles son los datos?

¿Sabes a qué quieres llegar?


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¿Hay suficiente información?

¿Hay información extraña?

Segunda Fase: CONFIGURAR UN PLAN

En este paso se busca encontrar conexiones entre los datos y la

incógnita o lo desconocido, relacionando los datos del problema.

Se debe elaborar un plan o estrategia para resolver el problema.

Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce

a un final. Hay que elegir las operaciones e indicar la secuencia en

que se debe realizarlas. Estimar la respuesta.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

¿Recuerda algún problema parecido a este que pueda

ayudarle a resolverlo?

¿Puede enunciar el problema de otro modo? Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.

¿Usó todos los datos?, ¿usó todas las condiciones?, ¿ha tomado en cuenta todos los conceptos esenciales

incluidos en el problema?

¿Se puede resolver este problema por partes?

Intente organizar los datos en tablas o gráficos.

¿Hay diferentes caminos para resolver este problema?

¿Cuál es su plan para resolver el problema?


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Tercera Fase: EJECUTAR EL PLAN

Se ejecuta el plan elaborado resolviendo las operaciones en el orden establecido, verificando paso a paso si los

resultados están correctos. Se aplican también todas las estrategias pensadas, completando –si se requiere– los

diagramas, tablas o gráficos para obtener varias formas de resolver el problema. Si no se tiene éxito se vuelve a

empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.


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Cuarta Fase: MIRAR HACIA ATRÁS O HACER LA VERIFICACIÓN.

En el paso de revisión o verificación se hace el análisis de la solución obtenida, no sólo en cuanto a la corrección del resultado sino también con relación a la posibilidad de usar otras estrategias diferentes de la seguida, para llegar a la solución. Se verifica la respuesta en el contexto del problema original. En esta fase también se puede hacer la generalización del problema o la formulación de otros nuevos a partir de

él.

Algunas preguntas que se pueden responder en este paso son:

¿Su respuesta tiene sentido?

¿Está de acuerdo con la información del problema?

¿Hay otro modo de resolver el problema?

¿Se puede utilizar el resultado o el procedimiento que ha empleado para resolver problemas

semejantes?

¿Se puede generalizar?


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TALLER PRELIMINAR: 10

A cargo de: Lic. Prof. Sergio Viñolo, Lic. Prof. Graciela Serrano y Prof. Claudia Sánchez

a) De lo aritmético a lo algebraico

1. Decida, sin hacer los cálculos de forma escrita, cuáles de las siguientes cuentas dan el mismo resultado

que 36x21 (a estas cuentas se las denomina equivalentes). Expliquen sus respuestas.

36x3x7 30x6x3x7 2x2x9x21 18x42

2. Decida, sin hacer los cálculos propuestos, si los siguientes pares de cuentas dan el mismo resultado, es

decir si son equivalentes. Justifiquen sus respuestas.

a. 21x15 7x3x5;

b. 18x15 9x5x2x3;

c. 33x24 11x12x6

3. Escriba otras cuentas equivalentes a 48x15, que le permitan responder si el resultado es:

a. Múltiplo de 15; b. Múltiplo de 6; c. Múltiplo de 7;

d. Múltiplo de 30; e. Múltiplo de 20; f. Múltiplo de 50.

En la actividad 3 se habla de “múltiplo”, ¿cómo puede definir tal concepto? ¿qué relación existe con el concepto de divisor? ¿cómo puede identificar si un número es divisible por 2, 3, 5, 6, 9, 10, 100? ¿qué es un número primo? Cite la fuente de donde extrajo información para poder responder a estos interrogantes.

4. Sin hallar los resultados de los siguientes cálculos, decidan si las afirmaciones son verdaderas o falsas y

explique su decisión.

a. 2x15673 + 4 da como resultado un número par;

b. 3x15673 + 6 da como resultado un número par;

c. 374x15 + 21 es múltiplo de 5;

d. 374x15 + 21 es múltiplo de 3;

e. 7x174+132 es múltiplo de 7;

f. 2x174 + 5x174 + 2 es múltiplo de 7;

g. 9x237 + 5x237 +35 es múltiplo de 7;

10 Este taller preliminar está diseñado para ser resuelto previo al inicio del cursado del ingreso2017, y será socializado

durante el curso presencial de ingreso.


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h. 11x385 + 7x385 -5x385 es múltiplo de 7.

5. Sin hacer los cálculos, estudie qué números se pueden sumar o multiplicar en cada caso para que la

afirmación sea verdadera. ¿Puede encontrar más de un número? Explique su respuesta.

a. 17x53 + … es un número par.

b. 6x … es un número impar.

c. 5x … + 11 es un número impar.

d. … x4 + 22 es un número par.

6. Analice:

a. ¿Es cierto que si en 16x15 + a se reemplaza la letra a por el número 44, el resultado es múltiplo de

4? ¿y si se reemplaza por 154?

b. ¿Con qué otros números se podría reemplazar la letra a para que el resultado de 16x15 + a sea

múltiplo de 4?

c. ¿Cuáles son todos los valores por los que se la puede reemplazar a la letra para que sea múltiplo de

4 el resultado?

7. Si es posible…

a. Encontrar tres valores de la letra b para los cuales 2.b + 1 sea impar, y tres valores para los que no lo

sea. Explique su respuesta. (en esta oportunidad, el punto “.” simboliza una multiplicación)

b. Encontrar tres valores de la letra c para los cuales 2.c + 4 sea múltiplo de 4, y tres valores para que

no lo sea. Explique su respuesta.

c. Encontrar tres valores de la letra d para los cuales 9.d + 3 sea múltiplo de 3, y tres para los que no lo

sea. Explique su respuesta.

8. Complete cada frase con una de estas tres opciones, de manera que quede una afirmación verdadera:

(i) para todo valor que tome la letra a; (ii) para ningún valor que tome la letra a; (iii) para algunos valores

que tome la letra a.

a. 15.a + 6 es un múltiplo de 3 …

b. 15.a + 6 es un múltiplo de 2 …

c. 15.a + 6 es un múltiplo de 12 …

d. 15.a + 6 es un múltiplo de 6 …

9. En cada caso estudie para qué valores de la letra n se cumple:

a. 8n + 2n termina en 0.


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b. 3n + 2n es múltiplo de 5.

c. 3n + 2n + 1 es par.

d. 3n + 3 + n es múltiplo de 4.

10. Decida si los siguientes pares de expresiones son equivalentes. Justifique su respuesta.

a. 13p + 7p 20p

b. 4(m + 7) m + m + m + m + 7

c. (k + 2).21 21k + 42

d. 15t – 6 3(5t – 1)

e. 2(3n + 3) – 2n 2(2n + 1) - 4

f. 5(d + 2) – (d + 2) 4(d + 2)

En la actividad 10 se habla de “expresiones equivalentes”, ¿cómo puede definir tal concepto?

Cite la fuente de donde extrajo información para poder responder a estos interrogantes.

11. Decida si estas afirmaciones son verdaderas o falsas. Explique su decisión.

a. Si k toma el valor -10, entonces 8 + k = -18

b. Si m toma el valor 3, entonces 8 + 3m = 2m + 11

c. La expresión 3 + 5t es igual a la expresión 8t para cualquier valor que tome t.

d. La igualdad 3t + 5t = 8t es verdadera para cualquier valor de t.

e. La igualdad 10m + 3 = 8m + 2m es verdadera para algunos valores de m.

12. Estudie si las siguientes igualdades son verdaderas siempre, a veces o nunca. En el caso de que tu

respuesta sea “a veces”, encuentre el o los valores en que se cumple la igualdad. Explique su respuesta.

a. r – 3 = 19 b. 31 = -31y c. 6 – n = 26

d. 3x + 2x = 5x e. 4 – 3t = 37 f. 3n + 16 – n = 2n

g. 2(m + 7) = m + m +7 h. 5a = 3a + 12 i. 5(y + 4) = 2(y + 4)

13. Para encontrar para qué valor de r resulta verdadera la igualdad -15 + 4r = 7r, Alejo propuso lo siguiente:

a. Analice si la estrategia de Alejo le permitió encontrar verdaderamente la solución al problema.

Escribe -15 + 4r = 3r + 4r para ver qué tienen de igual ambas expresiones. Como 4r está en ambos lados, esa parte da lo mismo para cualquier valor de r. Entonces solo hay que asegurarse de que -15 = 3r. De esa igualdad leo que la solución es r= -5.


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b. Estudie cómo se puede usar el procedimiento de Alejo si se tuviese que analizar para qué valores de

r se cumple que 14 + 7r = 5r + 2. ¿Y si fuese -14 + 7r = 5r + 27?

c. Explique cómo se puede usar el procedimiento de Alejo para hallar la solución problema si se

estuviese analizando la igualdad -3n + 1 = -7n – 23.

14. Analice la estrategia de Violeta para hallar el valor de n para el que se cumple la igualdad

8n – 5 = -7n + 25.

a. Explique cómo se puede hacer uso de este procedimiento de Violeta si la igualdad que se está

analizando fuese 16 – 8n = -12 + 3n.

15. En cada caso, explique cómo puede usar el procedimiento de Alejo o Violeta para hallar la solución que

satisface que las siguientes igualdades se cumplan:

a. 27 – 2x = -3 – 17x

b. 11r + 5 = -2r + 18

En estas últimas actividades se propone alizar casos para que una igualdad sea posible, esto supone el concepto de “ecuación”, ¿cómo puede definirla? ¿qué es entonces la solución de una ecuación?


Sumo 7n a ambos lados del igual, porque para cualquier valor de n estoy sumando el mismo número y, por lo tanto, no estoy cambiando las soluciones. Entonces queda: 8n – 5 + 7n = -7n + 25 + 7n

Con esto logré que solo quede buscar la solución para la que sea verdadera la igualdad 15n – 5 = 25. Como n = 2

es solución a este problema, entonces también lo será para la primer igualdad planteada.


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b) Sobre construcciones básicas

1. María tiene en la hoja del libro el siguiente segmento AB:

a) Si solo dispone de una regla que tiene borrada la escala de medición y

un compás, ¿de qué manera puede trazar con estos instrumentos un

segmento de igual longitud que el AB –aunque no se respete la posición- en

su hoja de carpeta?

b) Si quisiera además trazar un segmento con esos instrumentos, pero que

tenga tres veces su longitud, ¿cómo lo podría hacer?

c) Si quisiera trazar otro segmento en su hoja y con esos instrumentos, pero que tenga la mitad de

su longitud, ¿cómo lo haría?

d) Finalmente, María quiere hallar la ubicación de los puntos que equidisten de los extremos del

segmento AB. ¿dónde estarían esos puntos? ¿cuántos son esos puntos?

En esta actividad se ha planteado trazar segmentos de igual medida, ¿cómo se dicen ser esos segmentos en términos de la Geometría?

Además, se pone en juego el concepto de “mediatriz” y “punto medio”, ¿cómo puede definirlo?


2. Teniendo como referencia la recta “m” y el punto “P”:


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a) Proponga un instructivo que permita a cualquier otro trazar una recta perpendicular a la recta “m” y que

pase por el punto “P”, pero haciendo uso exclusivo de una regla sin graduación y compás.

b) Proponga un instructivo que permita a cualquier otro trazar una recta paralela a la recta “m” y que pase

por el punto “P”, pero haciendo uso exclusivo de una regla sin graduación y compás.

3. Reproduzca en su hoja de carpeta haciendo uso único de regla no graduada y compás, aunque no respete

la posición, la figura de la imagen.

ABCD es un rectángulo;

La medida de BC es 2,5 veces la

medida de AB.

E es el punto medio de AB.

4. Observe la siguiente imagen y describa lo que observa

nombrando cada elemento geométrico que se observa

representado.

5. Observe la siguiente figura:

a) Describa la figura observada.

b) Reproduzca la figura en su carpeta, pero respete la posición de

la misma (inclinación).


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En las actividades anteriores se han puesto en juego objetos geométricos tales como “segmento, recta y semirrecta”, ¿cuál es la diferencia entre éstos? También se han trazado “ángulos”, ¿cómo los definiría? ¿cómo medir su amplitud?

En la actividad 4, la recta m divide a los ángulos en dos ángulos de igual medida, ¿qué nombre recibe esa recta?

Por otro lado han aparecido tres tipos de figuras geométricas: “triángulo, rectángulo y cuadrado”, ¿qué tienen en común y qué tienen de distinto estas tres figuras? ¿cómo definiría a cada una de ellas?


6. A continuación se encontrará con agrupamientos de triángulos, en cada apartado se ha establecido un

criterio específico para agruparlos:

Primera situación:

A1: A2: A3:


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Segunda situación:

a) Martín quiere agregar los triángulos de la imagen a alguno de los

grupos de la primera situación, ¿irán en la misma colección?

Y si lo quisiera agregar en algún grupo de la segunda situación,

¿dónde lo pondría?

b) Si se quiere agregar un ejemplo de triángulo en cada colección

(A1, A2, A3, B1, B2, B3), distinto a los que ya están, ¿cuál podría

ser?

c) Ramiro dice que él ha construido un triángulo que no puede

ubicarse en ningún grupo de los realizados. ¿Es correcta la afirmación de Ramiro? Explique su respuesta.

d) Marcelo dice que cualquier triángulo de la familia A1, necesariamente pertenece a B1. ¿Es correcta la

afirmación de Marcelo? ¿Por qué?

e) Luis quiere proponer un triángulo que pertenezca a A2 y a B3 simultáneamente, ¿es posible? En tal caso,

¿cuál podría ser un ejemplo?

f) Si tuviese que inventar un nombre a cada grupo que se adecúe al criterio que se ha tenido para

agruparlos, ¿cuál podría ser? Explique.

B1: B2: B3:


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En esta última las actividades se han establecido criterios de clasificación de triángulos según sus lados y según sus ángulos interiores. Busque en distintas fuentes a qué se denomina cada tipo de triángulos según estos criterios de clasificación, y cite dichas fuentes.

6) Lucía quiere explicarle por teléfono a su

compañera Katy cómo construir una figura

similar a la mostrada, y le comunica: “construí

un triángulo ABC y traza las alturas FC, DB y EA

respecto de los lados AB, AC y BC

respectivamente, éstas se cortan en el punto

O”.

a) ¿Por qué habla de “las” alturas? (en plural)

¿es correcto? ¿cómo definiría altura?

b) ¿Cree que Katy siempre podrá cumplir con

lo que informa Lucía en su mensaje?

Explique.

MUY IMPORTANTE:


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TALLER 1: Iniciación al estudio del Álgebra

A cargo de: Lic. Prof. Graciela Serrano y Lic. Prof. Sergio Viñolo

ACTIVIDAD N°1

Parte 111

En la imagen se muestran cuadrados cuadriculados en

los que están sombreados los cuadraditos que

bordean a cada figura:

a. ¿Cuántos cuadraditos contiene en el borde

cada uno de los cuadrados de la figura 1 y 2?

b. ¿Cuántos cuadraditos contiene en el borde un cuadrado de 37 cuadraditos de lado?

Parte 2

Reunidos con otros 3 o 4 compañeros, compartan las respuestas anteriores. Escojan un método para calcular la

respuesta “Parte 1 (b)”, redacten la explicación pertinente del método y piensen si es posible adaptarlo para

otros casos similares.

Socialicen al resto de los grupos el método escogido y compartan las explicaciones redactadas.

Parte 3

Para pensar con el grupo armado:

¿Qué entienden por fórmula?

Escriban una fórmula que refleje el método de cálculo que prefieran (el propio, o el de otro equipo) para

calcular ¿Cuántos cuadraditos contiene en el borde un cuadrado de 37 cuadraditos de lado?

Analice ejemplos de aplicación de la fórmula realizada. Es decir, considere si se cumple para la figura 1 y

2 dadas al comienzo, y proponga otro caso diferente para decidir si la fórmula hallada permite dar cuenta

de la cantidad de cuadraditos que hay en el borde de la figura.

Proponga su fórmula al resto de la clase; explique cómo llegaron a la misma y muestre la eficacia de la misma.

11Trabajo Individual.


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ACTIVIDAD N°2

Parte 1

Observe las siguientes

figuras armadas con

fósforos:

La secuencia se completa agregando un cuadrado en la siguiente posición. Este cuadrado, que se agrega, debe

compartir un solo fósforo. (Revise el mecanismo de construcción de las figuras a partir de la anterior)

a. ¿Cuál será la figura que sigue en esta secuencia? Dibújela.

b. ¿Cuántos fósforos son necesarios para armar la figura que ocupa el 7º lugar? ¿Y el 10º lugar? Justifique

su respuesta. ¿Necesita dibujarla?

c. Para la posición 100, ¿cuántos fósforos se necesitan? Justifiquen la respuesta. ¿Necesita dibujarla?

Parte 2

Siguiendo con la secuencia anterior, responda:

Explique si es posible que, en alguna ubicación, se necesiten 154 fósforos

¿Cómo harían para saber cuántos fósforos se necesitan para las figuras que ocupan las diferentes

posiciones?

Escriban la respuesta del punto anterior mediante una fórmula. Explique cómo arribó a esta fórmula.

Parte 3

Teniendo en cuenta la fórmula hallada anteriormente:

Si “f” representa la cantidad de fósforos que hay en cada una de las posiciones, y “p” la posición correspondiente

a esa cantidad, ¿cómo quedaría expresada la relación establecida por ustedes en la fórmula que hallaron en la

parte anterior?

Teniendo en cuenta la nueva expresión de la fórmula, indica la cantidad de fósforos que se necesitarían

para las siguientes posiciones: 9, 27, 48, 98 y 182. Explique en forma general cómo da respuesta a esta

consigna.

Analiza si las cantidades que se detallan a continuación corresponden –o no- a posibles “posiciones” de

la secuencia: 19, 33, 49, 61 y 145.Explique en forma general cómo da respuesta a esta consigna.


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Si tengo 1550 fósforos y armo una figura de la secuencia de manera tal que se emplee la mayor cantidad

de éstos: ¿me sobra alguno? ¿cuántos cuadrados me quedan formados?

Parte 4

Reúnase con algunos compañeros, comparta lo resuelto en toda esta actividad.

Con todo lo trabajado, realicen una síntesis de lo resuelto en esta actividad. Comente al resto de la clase el

trabajo integrado por todo su equipo.

Parte 5 12

Realice un análisis similar al anterior con las siguientes secuencias de figuras armadas con fósforos:

ACTIVIDAD N°3

Para separar un patio de un lavadero se colocan

en línea canteros cuadrados rodeados de

baldosas de la misma forma como muestra el

dibujo:

12Para reforzar el trabajo.


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a. Propongan una fórmula que permita calcular la cantidad de baldosas que se emplearán para una

cantidad “x” de canteros (x natural).

b. Comparta su fórmula con la de sus compañeros y analicen la validez de todas las propuestas. Concluya

sobre éstas.

c. Repiense el problema si las baldosas y los canteros son todos hexagonales –todos congruentes-:

Realice el dibujo;

Produzca su fórmula;

Comparta su resultado con sus compañeros. ¿Se concluye lo mismo que con los canteros

cuadrados?

ACTIVIDAD N°4

Armar equipos de 4 compañeros para trabajar con el siguiente juego a resolver en principio sin calculadora:

Parte 1

Dados 10 números consecutivos y debe encontrarse cuál es la suma de los mismos.

Primera Partida: 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.

Segunda Partida: 783, 784, 785, 786, 787, 788, 789, 790, 791, 792.

Piensen en alguna estrategia que les permita ganar rápidamente. (No la cuente al resto de los grupos)

Tercera Partida: 6985, 6986, 6987, 6988, 6989, 6990, 6991, 6992, 6993, 6994.

Parte 2

Escriban por grupo la estrategia ganadora -y más rápida- para sumar diez números consecutivos

cualesquiera. Formule cuáles son los argumentos que justifican la validez y eficacia de su estrategia.

Socialice su estrategia y argumentos.

Parte 3

Discutan y propongan una fórmula que permita, dado el primero de los diez números consecutivos -

cualquiera sea-, obtener como resultado la suma de esos 10 números.

Un representante del grupo deberá socializar y defender la fórmula producida al interior de su equipo.


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Parte 4

Teniendo en cuenta las siguientes fórmulas en las que n es el primero de los 10 números consecutivos:

Suma= 45+10.n

Suma=(n+n+9).5

Suma=[(n+4)+(n+5)]:2.10

Suma= (5n+10)+[5.(n+5)+10]

a. ¿Cuáles de estas fórmulas permiten encontrar la suma de los 10 números consecutivos cualesquiera?

b. ¿Cuáles son las razones que les permite asegurarse que las fórmulas escogidas son correctas?

c. ¿Elabore otra fórmula, distinta a las ya trabajadas, que responda a la tarea propuesta?

Comente sus respuestas al resto de los equipos.

Parte 5

a. ¿Es posible que la suma de los 10 números consecutivos dé por resultado 735245? ¿Por qué? Si la

respuesta es afirmativa, ¿cuáles son los números que se han sumado?

b. ¿Es posible que la suma de los 10 números consecutivos dé por resultado 18450? ¿Por qué? Si la

respuesta es afirmativa, ¿cuáles son los números que se han sumado?

ACTIVIDAD N°5

Parte 1

(Para jugar contra el compañero de banco) Cada uno debe escoger dos números naturales que sumen 3000 y

hacer los cálculos indicados. Gana el que obtiene el mayor resultado final.

Cálculos:

1) Multiplicar los números elegidos.

2) Sumar 7 al primero y multiplicar este resultado por el segundo número escogido.

3) Restar al número obtenido en (2) el número obtenido en (1).

Parte 2

¿Hay alguna estrategia que permita ganar siempre este juego?

En caso de existir, explique cuál es y por qué están seguros de que siempre les permitirá ganar. En caso contrario,

explique por qué la estrategia no existe.


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Parte 3

(Para jugar con el compañero de banco y en contra de otra dupla) Cada equipo debe escoger dos números

naturales que sumen 3000 y hacer los cálculos indicados. Gana el que obtiene el resultado final más grande.

Cálculos:

1) Multiplicar los números elegidos.

2) Sumar 7 a cada uno de los números elegidos, luego multiplicar esos nuevos resultados.

3) Restar al resultado de (2) el número obtenido en (1).

Parte 4

¿Hay alguna estrategia que permita ganar siempre este juego?

En caso de existir, explique cuál es y por qué están seguros de que siempre les permitirá ganar. En caso contrario,

explique por qué la estrategia no existe.

ACTIVIDAD N°6

Para pensar de a dos compañeros:

a. Si se suman tres números naturales consecutivos cualesquiera, ¿el resultado es siempre múltiplo de 3?

Si se suman cinco números naturales consecutivos cualesquiera, ¿el resultado es siempre múltiplo de 5?

¿Será cierto que si se suman k números naturales consecutivos cualesquiera, el resultado es siempre

múltiplo de k? (k es un número natural)

b. Analicemos el juego de los cuadrados mágicos:

Complete de manera que la suma de columnas, filas y diagonales sea 9.

3

2 1



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4

1 5


4

2 3

Analice porqué hay casos de estos cuadrados mágicos que no pueden resolverse. Explique.

ACTIVIDAD N°7

Parte 1

Un mago dispuesto a adivinar el número que eligen sus espectadores toma al azar a uno de ellos, Juan, y le dice:

- Juan, pensá en un número, sumale 7, dividí todo por 3. Luego restale 2 y a lo que te dio multiplicalo

por 6. ¿Qué número obtuviste? Juan le responde, 18. Entonces el mago le adivina el número

pensado.

¿Qué número fue el que había pensado Juan y el mago lo adivinó?

Si el resultado final hubiese sido 6,6, ¿podría el mago haber adivinado el número pensado por Juan?

Explique.

Luego llama a otro espectador, Miguel, y le dice:

- Miguel, pensá en un número, sumale 7, dividilo por 3. Luego restale 2 y a lo que te dio multiplícalo

por 6. ¿Qué número obtuviste? Miguel le responde, buscando confundir al mago, le responde: -la

mitad del número que había pensado.

¿Podría el mago encontrar el número que había escogido Miguel? Si no pudo, explique las razones. Si lo

halló, ¿cómo lo hizo?


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Así fueron pasando varios participantes, y el mago seguía luciéndose. En un momento levanta la mano una mujer

que desde lo lejos venía estudiando al mago. La mujer lo desafía al mago:

- Pensé en un número, le sumé 7, lo dividí por 3. Luego resté 2 y a lo que me dio lo multipliqué por 6. Al

resultado, le resté el doble del número que había pensado inicialmente. Con todo ello, me dio 3. ¿Qué

número pensé? El mago, para nada intimidado, logra dejar sorprendida a la mujer.

¿Qué le respondió el mago?

Si el resultado final hubiese sido 2, ¿podría el mago haber hallado el número que pensó la mujer?

Parte 2

Imagínese ser el mago, proponga un truco similar al de la parte 1 para poder encontrar el número que

un espectador piensa.

Comente todo lo resuelto al resto de la clase.

ACTIVIDAD N°8

En un salón de fiestas hay mesas rectangulares, todas iguales, para 8 personas. Un cierto día de banquete, se

ubican una a continuación de la otra, como se ve en la figura y en cada lugar se coloca una silla: (La imagen es

simplemente un ejemplo con 3 mesas)

El mozo encargado de los preparativos ha llevado 2760 copas de tres tipos distintos: agua, gaseosa y

vino. Si se colocan una de cada tipo en cada uno de los lugares de la mesa, no dejando ningún lugar vacío,

¿Cuántos invitados a cenar se esperan en este banquete? ¿y cuántas mesas?

Analice la misma situación que la anterior pero llevando 2100 copas.

En otro banquete, en que se dispusieron las mesas también una a continuación de la otra, el mozo lleva

una caja con copas de los tres tipos. En la caja contiene más de 1500 copas con la misma cantidad de

cada variedad.

X X X X X X X X X

X X X X X X X X X

X X


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Al momento de distribuirlas –tal como se había indicado antes- nota que quedaban lugares sin ocuparse

pero que no sobraban mesas. ¿Cuántas copas de cada tipo llevaba en la caja? ¿Su respuesta es única?

¿Cuántas posibles respuestas hay?

ACTIVIDAD N°9

Analice en pareja los siguientes procedimientos de resolución de una ecuación.

1. Para resolver la ecuación 2(x+8)=10 se utilizaron tres procedimientos:

PROCEDIMIENTO 1 PROCEDIMIENTO 2 PROCEDIMIENTO 3

Como al hacer 2(x+8) debe

dar 10, entonces x+8 tiene

que ser 5. Y para que un

número sumado a 8 de 5,

ese número tiene que ser

negativo. Como -3+8=5

entonces x=-3

2.(x+8)=10

x+8=10:2

x+8=5

x=5-8

x=-3

2.(x+8)=10

2x+16=10

2x=10-16

2x=-6

x=-6:2

x=-3

a. ¿Es cierto que el valor hallado para x es solución de la ecuación?

b. Analicen los procedimientos 2 y 3 ¿Cuál de ellos expresa las mismas ideas que el procedimiento 1?

2. Las siguientes son dos maneras de buscar la solución de la ecuación 5x+10=x+90:

PROCEDIMIENTO 1 PROCEDIMIENTO 2

5. x+10=x+90

5. x+10-10=x+90-10

5.x=x+80

5.x-x=x+80-x

4.x=80

(4.x) :4=80 :4

x=20

5.x+10=x+90

5.x+10-90=x+90-90

5.x-80=x

5.x-80 -5.x=x-5.x

-80=x-5.x

-80=-4.x

-80:(-4)=(-4.x):(-4)

20=x


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a) ¿Es cierto que el valor hallado para x es solución de la ecuación?

b) Expliquen los pasos de cada forma de resolución.

3. ¿Es cierto que para resolver la ecuación 𝑦

3+ 𝑦 = −11 conviene triplicar toda la expresión? ¿Por qué?

Si la ecuación fuese 𝑦

3+

𝑦

2= −11, ¿por cuánto convendría multiplicar a toda la expresión? ¿Por qué?

ACTIVIDAD N°10

Una empresa de turismo dispone de dos tipos de vehículos: tipo A y tipo B. Para trasladar 80 turistas usa 4

vehículos tipo A y 6 vehículos tipo B. Sabiendo que no quedan asientos vacíos, ¿cuántos asientos para turistas

pueden tener cada tipo de vehículo?

ACTIVIDAD N°12

Reunidos en equipos de trabajos, realice una síntesis de los saberes que se pusieron en juego a lo largo de este

taller.


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TALLER 2: Iniciación al pensamiento geométrico

A cargo de: Prof. Claudia Sánchez, Lic. Prof. Débora San Blas y Lic. Prof. Sergio Viñolo

ACTIVIDAD N°1

Parte 1

Lucas, Marcos y Florencia discuten en la clase de

matemática sobre la posibilidad de construir un

triángulo haciendo uso de tres de estos segmentos

como lados del triángulo.

Lucas cree que cualquier terna de lados permitirá

construir un triángulo.

Por su parte, Marcos opina que de todas las posibles

agrupaciones de tres de los cuatro lados, solo existe un caso en que se puede construir un triángulo.

Florencia opina que el triángulo que se construya haciendo uso de tres de estos cuatro segmentos como sus

lados, difiere dependiendo de cuál sea el lado del que se parte para hacer la construcción.

a) ¿Qué opinas sobre cada una de las afirmaciones que plantean estos tres compañeros?

b) Si en lugar de haberse dado como datos posibles lados del triángulo, se hubiesen dado posibles ángulos

interiores del triángulo, una con SIEMPRE- A VECES - NUNCA según se pueda construir el triángulo: “Se

sabe que…”

Sus ángulos son todos agudos. SIEMPRE

Sus ángulos miden todos 60°.

Tiene dos ángulos rectos. A VECES

Uno de sus ángulos mide 179°.

Tiene dos ángulos que miden 35°. NUNCA

Tiene un ángulo recto y los otros dos son

agudos.


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c) En los casos que dijo que la construcción siempre se puede realizar, ¿la construcción es única? ¿a qué

debe esta respuesta?

ACTIVIDAD 2

Parte 1

Juego: “Dígalo con triángulos”

Materiales:

55 tarjetas, todas con la imagen de un triángulo y datos sobre los mismos. Entre éstas habrá:

· 10 que den información sobre la medida de los tres lados;

· 10 que den información sobre la medida de dos lados y la amplitud del ángulo comprendido entre estos;

· 10 que den información sobre la medida de un lado y la amplitud da cada uno de los ángulos adyacentes

a ese lado;

· 5 que den información sobre la medida de un lado;

· 5 que den información sobre la medida de dos lados;

· 5 que den información sobre la medida de un lado y un ángulo;

· 5 que den información sobre la amplitud de un ángulo;

· 5 que den información sobre la amplitud de dos ángulos;

Instrumentos geométricos manuales o software de geometría dinámica (GeoGebra)

Organización de la clase:

Se divide a la clase de a seis alumnos, y en cada grupo se hacen dos equipos de a tres.

Cada equipo tendrá a su disposición los instrumentos geométricos.

Las tarjetas se ponen, mezcladas, todas boca abajo.

Reglas de juego:

Por turno, un integrante de cada equipo saca una carta en la que observará la información brindada sobre el

triángulo. Luego da las instrucciones indicadas en la tarjeta para que su equipo y el equipo contrario construyan

un triángulo que responda a las condiciones dadas. Para la construcción tendrán 5 minutos; el equipo que haga

la construcción primero detiene el tiempo e informa sobre su construcción. Si la construcción es correcta este

equipo gana 2 puntos, y si es equivocada pierde 1 punto. Por su parte, el otro equipo tiene la posibilidad -en lo

que resta de tiempo- de ganar 1 punto en caso de que haya realizado una construcción correcta y distinta a la

realizada por los contrincantes. Si ninguno de los equipos construye el triángulo en el tiempo estipulado, no

suman puntos.


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El juego se repite hasta que uno de los dos equipos gane llegando primero a los 10 puntos.

Parte 2

Para después de jugar.

Después de jugar, resuelvan:

a. Daniela luego de una partida de este juego, afirma que para su tarjeta en la que se daba como

dato que el triángulo tenía dos lados que medían 5 cm y 7 cm, solo se podía construir un único triángulo.

Por su parte, Valentín considera que no es cierto y que si se conociera la medida del tercer lado sí sería

único. ¿Quién tiene razón? ¿por qué?

b. En una jugada, salieron como datos que un lado del triángulo medía 3 cm y dos de los ángulos

interiores medían 50° y 100°, ¿es posible que ambos equipos sumen puntos? Explicite las razones por las

que está de acuerdo o no.

c. Si en la tarjeta hubiese aparecido el dato de que el triángulo fuese equilátero, ¿alcanzaría para

que solo un equipo gane puntos? Si es así explique; de lo contrario incluya otro dato para que sea

suficiente.

d. Mariano cree que si en la tarjeta solo hay dos datos, ambos equipos podrán sumar puntos. ¿te

parece acertada su idea? ¿por qué?

Parte 3

En otra oportunidad se agregaron cartas “comodines” al juego en las que si salían, el jugador inventaba los datos

de un triángulo.

Lucía, quien está jugando con estas nuevas reglas, está muy confiada de su equipo y cree que será capaz de

construir correctamente y más rápido que cualquier contrincante. Por ello está pensando en una estrategia

ganadora que le permita solo sumar puntos a su equipo cuando salga el comodín.

¿Cuáles podrían ser los datos que de cuando salga la tarjeta comodín?

Parte 4

Reúnase en grupos de 4 personas, comparta las respuestas anteriores y a partir de ellas complete la siguiente

tabla:


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Dada una colección de datos para construir un triángulo, pueden aparecer las siguientes

situaciones:

Datos a partir de los cuales no

se pueden construir ningún

triángulo

Datos a partir de los cuales se

puede construir un único

triángulo

Datos a partir de los cuales la

construcción del triángulo no

es única

ACTIVIDAD 3

Parte 1

En el grupo debatan sobre cuál debería ser un protocolo de construcción para los siguientes tipos de triángulos:

o Que tiene dos lados congruentes.

o Que tiene sus tres lados congruentes.

o Que tiene sus tres lados no congruentes.

o Que tiene un ángulo interior recto.

o Que tiene un ángulo interior obtuso.

o Que tiene todos sus ángulos interiores agudos.

Escojan un representante del grupo para socializar los resultados obtenidos.

Parte 2

a. Los siguientes enunciados propician la construcción de triángulos; ¿cómo son entre sí? Explicite los

criterios empleados para compararlos.

ABC es un triángulo que tiene un lado de 6cm de longitud y las amplitudes de los ángulos

adyacentes son 50° y 80°.

DEF es un triángulo cuyas amplitudes de sus ángulos son 50°, 80° y 50°.

GHI es un triángulo que tiene dos lados de 6cm de longitud, y el ángulo comprendido entre ellos

mide 80°.

JKL es un triángulo isósceles para el que uno de los ángulos mide 80°.

MNO es un triángulo cuyos lados miden 6cm, 7,5cm y 6cm.


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b. Pruebe que los siguientes triángulos son congruentes especificando sus razones:

c. Sea ABC un triángulo cualquiera, si se ubican los puntos M y N en los lados AB y AC respectivamente tal

que MN //BC, ¿Qué tienen en común y qué distinto los triángulos ABC y el AMN?

ACTIVIDAD 4

Para trabajar individualmente y luego compartirlo con su compañero de banco:

o Desafío 1: Para trabajar con GeoGebra.

Dados los segmentos AB y DC, ¿se puede construir un triángulo para

el que DC sea uno de sus lados y AB sea su respectiva altura?

En caso afirmativo, ¿la construcción será única? Explique.

En caso negativo, ¿cuáles son las razones por las que estos datos son insuficientes? ¿qué datos podría agregar

para que cualquier par de triángulos que se construyan a partir de esta información sean congruentes?

o Desafío 2: Para trabajar con GeoGebra

a) Construir ángulos con las siguientes amplitudes sin usar el transportador: 15°, 30°, 45°, 60° y 90°.

b) Justificar el procedimiento para construir un hexágono regular sin hacer uso del transportador.


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o Desafío 3:

Teniendo en cuenta que la recta bisectriz divide a un ángulo en

dos ángulos congruentes:

¿Es posible construir un triángulo en el cual el ángulo formado

por dos de sus bisectrices sea recto? Explique.

ACTIVIDAD 5

Para seguir razonando construcciones en base a datos:

Parte 1

Construya un paralelogramo en el cual un lado mida 6cm y otro mida 4cm.

Reflexione sobre el siguiente interrogante: ¿Habrá un único paralelogramo que cumpla estas

condiciones?

Comparta su construcción con la de sus compañeros y vuelva a analizar la pregunta planteada. ¿De qué

depende la cantidad de paralelogramos, ya sea por ser una o más de una, que satisfaga las condiciones

planteadas?

Si a los datos iniciales se le agrega que el ángulo comprendido entre esos lados mida 40°, ¿cuántos

paralelogramos satisfacen estas condiciones?

Si se cambia el ángulo comprendido entre los lados de 6cm y 4cm de longitud, ¿qué otros elementos del

paralelogramo se modifican? ¿cuáles se mantienen?

Parte 2

Con el compañero de banco, construyan un paralelogramo en el cual uno de los lados mida 7cm, el otro

4cm y la diagonal mida 11cm. Comente sus resultados a otros compañeros.

Parte 3

Reúnanse en grupos de 4 alumnos, construyan un paralelogramo en el cual uno de sus lados mida 6cm

y los ángulos adyacentes a dicho lado midan 30° y 150°.

¿Qué sucede si los ángulos adyacentes miden 40° y 120°?

Emitan una conclusión y coméntenla al resto de la clase.


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Parte 4

Para pensar en grupo: Si se pide construir un paralelogramo para el que se conocen las longitudes de sus

lados y la longitud de una de las alturas respecto de uno de los lados;

a. ¿En qué casos la construcción es posible?

b. En caso de ser posible la construcción, ¿cuántos resultados son definibles con esas condiciones?

c. ¿Qué sucede si la altura mide lo mismo que el lado no correspondiente a ella (el que no es

perpendicular a la altura)?

Reunidos en grupo analicen, en algunos casos, la unicidad, existencia o infinitud de construcciones de

paralelogramos de los que se conocen una terna de datos combinando: longitudes de lados, de alturas,

diagonales, amplitudes de ángulos entre lados, entre diagonales, entre un lado y una diagonal, etc.

ACTIVIDAD 6

Parte 1 Para trabajar con GeoGebra.

a. Trace una recta que pase por dos puntos A y B. Luego por A, trace una perpendicular a la antes trazada.

b. Ubique sobre la segunda recta un punto C.

c. Con la herramienta “Polígono”, construya el polígono ABC. ¿de qué tipo de polígono se trata? ¿por qué?

d. En la barra de herramientas, ingrese a la opción “Vista” y agregue una “hoja de cálculo”. Esta hoja de

cálculo estará vinculada con la construcción realizada; en ella arme una tabla en la que se muestre la

medida de los lados AB, AC y BC del polígono construido (basta con poner en el casillero =AB, para que

automáticamente aparezca la medida de dicho lado), y los cuadrados de estas medidas (debe ingresar

en la celda =AB^2, y automáticamente se completará).

e. ¿Qué relación encuentra entre las tres medidas? ¿y entre sus cuadrados? Mueva alguno de los puntos

vértices del polígono, ¿su conclusión sigue siendo válida?

f. Comparta sus conjeturas con las de otros compañeros y comenten los resultados.


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g. En la misma hoja de cálculo, arme una nueva tabla como la siguiente:

Cociente entre las medidas de AB y de BC Cociente entre las medidas de AC y de BC Cociente entre las medidas de AB y de AC

h. Ubique un nuevo punto D que sea colineal con A y B, y trace una recta paralela a BC que pase por D.

Llame E al punto de intersección de esta nueva recta y el segmento AC. Con estos nuevos puntos, arme

y complete la siguiente tabla:

Cociente entre las medidas de AD y de DE Cociente entre las medidas de AE y de DE Cociente entre las medidas de AD y de AE

¿Qué observa? Mueva el punto D, ¿sigue siendo válida su observación? ¿Sus compañeros observan lo

mismo?

i. Entonces, ¿cómo son entre sí los triángulos ABC y ADE?

¿Cómo son entre sí los ángulos AED y ACB? Verifique esto último con GeoGebra y haciendo uso de la

herramienta “Ángulo”:


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Parte 2 Para trabajar con la calculadora.

a. Usando la calculadora, verifica que el seno, coseno y tangente del ángulo trabajado en el ítem “i”,

coincide con las razones expresadas en las tablas de cálculo. Si es necesario, en GeoGebra puede reducir

errores de aproximación; para ello debe ingresar en la barra de herramientas a “Opciones”, “Redondeo”

y especificar la cantidad de cifras con las que sesea trabajar.

b. Use la calculadora y redondee hasta los centésimos para calcular:

𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟓º 𝒕𝒂𝒏 𝟏𝟒º 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟓º

𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓º 𝒕𝒂𝒏 𝟔𝟎º 𝟐𝟎’ 𝟏𝟎’’ 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝟓º

¿Cómo haría para calcular con calculadora el seno de un ángulo cuya amplitud es 80° 15´´?


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c. ¿Qué relación existe entre un par de ángulos cuyas amplitudes son 75° y 15°? ¿y entre el seno del primero

y el coseno del segundo?

¿Puede afirmar lo mismo para el par de ángulos de amplitudes 35° y 55°? En tal caso proponga otro

ejemplo.

Formule una conclusión e intente explicar desde las definiciones de razones trigonométricas en el

triángulo rectángulo.

ACTIVIDAD 7

Parte 1

a. Sea el triángulo LMN rectángulo en el M, tal que el ángulo 𝑚(𝑀𝐿�̂�) = 30° y el lado MN mide 5cm:

Construya dicho triángulo y señale los datos. ¿Cuántos datos han sido explicitado?

Calcule la longitud de los otros lados y amplitudes de ángulos que se desconocen. Deje

constancia de todos los pasos de resolución.

b. Analice la siguiente afirmación: “Conociendo la amplitud de un ángulo agudo y una de las medidas de los

lados del triángulo rectángulo, alcanza para poder hallar el resto de las medidas de ángulos y lados”.

c. Calcule el perímetro y área del triángulo rectángulo representado. (la hipotenusa

está medida en cm)

d. Si ABC es un triángulo rectángulo en A tal que uno de sus ángulos interiores mide

40° y el cateto adyacente a este ángulo mide 8 cm, halla las medidas de los lados

y ángulos de ABC.

e. Sea PQRS un rectángulo y SQ una de sus diagonales. Si el ángulo SQR mide 36° y sabiendo que el cateto

adyacente es 1cm más largo que el cateto opuesto, ¿cuáles son las dimensiones de este rectángulo?

f. En la imagen se ha representado a un triángulo equilátero DBC y A es

el punto medio del lado BD. Si se traza una recta perpendicular al

lado BC que pase por A, queda determinado el segmento AE=2,3u.

¿Cuál es la amplitud de cada ángulo interior de BCD?

Calcule la longitud de cada lado del triángulo equilátero.

¿Cuál es el área de este triángulo?


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Parte 2

a. Reunidos en equipos de trabajo, analice y explique los siguientes interrogantes:

Si se conocieran únicamente las medidas de los tres lados de un triángulo,

¿podría afirmarse si se trata o no de un triángulo rectángulo?

¿Será cierto que en el siguiente triángulo rectángulo en B el ángulo α mide

35°? ¿y cuál es la longitud del cateto BC?

b. ¿Cuáles son las amplitudes de un triángulo rectángulo isósceles?

c. En la imagen está representado un triángulo ABC tal que la longitud indicada por

“a” es 3,5u.

¿Cuál es el área de ABC?

El triángulo ABC ¿es triángulo rectángulo?

¿Cuáles son las amplitudes de los ángulos interiores de ABC?

d. Calcule la amplitud de los ángulos interiores de un rombo del que se conoce que sus diagonales miden

12cm y 16 cm.

e. ¿Podría resolverse un triángulo rectángulo del que solo se conocen las amplitudes de los ángulos?

Explique.

ACTIVIDAD 8

Reunidos en equipos de trabajos y siguiendo un protocolo de resolución similar al propuesto por Polya (material

del cuadernillo), resuelva los siguientes problemas y luego socialice sus resultados.

Problema 1. Sea P8 un octógono regular de perímetro 19,2cm, ¿cuál es su área?

Problema 2. Dos puentes levadizos que tienen la misma longitud se han

elevado ambos a 33°. Si ambos se unen formando un único puente de

18m, ¿a qué distancia se encuentran los extremos A y B?


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Problema 3. Sabiendo DB y CB son perpendiculares y que A pertenece al segmento DB.

Calcule la longitud de BC si sabe que el ángulo de elevación en A

a C es de 60° y que el ángulo de elevación se reduce a la mitad

cuando se aleja de A 2u hasta llegar a D.

ACTIVIDAD 9


taller.


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TALLER 3: Conceptualización de la noción de Función

A cargo de: Lic. Prof. Eugenia Lifona y Lic. Prof. Sergio Viñolo

ACTIVIDAD 1

Parte 1

Los alumnos de 3° año de una escuela de Varela están

preparando una excursión. Todavía no eligieron el lugar, pero

deciden averiguar los precios ofrecidos por empresas de turismo

de la zona.

A la salida de la escuela, se dirigen a una agencia de turismo para

conocer los precios. Como está cerrada, anotan los precios

expuestos en la vidriera.

En el precio se incluyen un cargo fijo por viaje y un precio por

cada km recorrido, que es el mismo para cualquier destino.

El viaje se cobra por micro, no por persona. (Capacidad del micro 40 personas).

¿Cuánto costará el viaje a Temaikén que se encuentra a 120 km de Varela?

Parte 2

Un barril tiene una capacidad de 100 litros. El barril

se encuentra sobre una balanza y al echarle distintas

cantidades de un aceite, se puede tomar el peso que

muestra la misma. En la siguiente tabla se registran

algunos valores observados en la balanza al cargar el

barril con aceite.

a) Completar los lugares vacíos de la tabla.

¿Qué cambio se producirá en la balanza cuando se le agregue al barril 5 litros?

b) Para cada uno de los siguientes gráficos, decidan si puede ser o no un gráfico posible que represente la

variación del registro de la balanza en función de la cantidad de aceite en el barril.


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Parte 3

Una empresa de remises cobra el viaje por kilómetro recorrido, más una cantidad fija. El siguiente gráfico

muestra la relación del precio del viaje en función de los kilómetros recorridos:

a) ¿Cuánto cobra la empresa si se recorrieron: 30 km; 60 km; 45 km?

b) ¿Es posible que un viaje haya costado $371? En ese caso, ¿se puede saber qué distancia recorrió?

c) ¿Cuánto cobra la empresa por kilómetro recorrido?

d) Explica qué cálculos habría que hacer para determinar el costo del viaje sabiendo la distancia recorrida.

ACTIVIDAD 2

La tabla muestra el área de varios rectángulos con el mismo perímetro pero de distinta base.

Base (cm) 1 2 3 4 5 6

Área (cm2) 6 10 12 12 10 6

a- Dibuja algunos rectángulos que cumplan estas condiciones.

b- ¿Cuáles es el perímetro de todos ellos?


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c- ¿Habrá otros rectángulos que cumplan estas condiciones? Si creés que sí, determina cuántos; si pensás

que no, explicá por qué.

d- ¿Con qué valores de base y altura de un rectángulo de estas características el área será máxima?

e- ¿Cuáles son las variables en esta situación?

f- ¿Se tratará de una función esta situación? Justifica tu respuesta.

g- ¿Entre qué valores se puede tomar la medida de la base de los rectángulos de estas características? ¿Y

entre valores queda determinada el área de estos rectángulos?

ACTIVIDAD 3

Parte 1

Observe la siguiente gráfica que muestra el vaciamiento de una pileta que se encuentra inicialmente llena.

Escoja tres puntos cualesquiera de la gráfica, e interprételos en términos de la situación. Identifique

cuáles son las variables.

¿Cuál es la capacidad de la pileta? ¿Entre qué valores varía la cantidad de agua que contiene la pileta?

¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse la pileta? ¿Entre qué valores varía el tiempo de vaciamiento?

¿Qué sucede entre las 12 y las 16 horas posteriores al inicio del vaciamiento?


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¿En qué momento, entre que comenzó y finalizó el vaciamiento, la cantidad de agua que salía por hora

fue mayor? Explique.

Parte 2

Observe el nuevo gráfico de otra pileta:

Identifica las variables que se relacionan en esta situación.

¿Es posible saber si la pileta estaba vacía al inicio de la situación? Explica tu respuesta.

¿Se podría saber si la pileta se está llenando? Si pensás que sí, explica cómo; si creés que no, indica por

qué.

¿Entre qué valores oscila el tiempo y la cantidad de agua que posee la pileta durante toda la situación?

¿Será cierto que, por cada hora que pasa, la cantidad de agua que sale de la pileta es la misma? Si pensás

que sí, calcula cuántos litros de agua salen por hora; si creés que no, explica por qué.

Proponga una ecuación que permita representar a la situación expresada por la gráfica.

Parte 3

¿Qué puede decir de la situación si la ecuación que relaciona a la cantidad de agua en litros que la pileta tiene

(y) mientras transcurre el tiempo en horas (x) es: y= 40+20.x, sabiendo que esta relación se observa durante un

día?


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ACTIVIDAD 4

Parte 1

a. Sea ABCD un cuadrado cuya longitud del lado es 8cm y M es un

punto del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tal que la medida m(𝐴𝑀̅̅̅̅̅)= x

Exprese algebraicamente, individualmente, el área A del

cuadrilátero MBCD cuando M varía sobre el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Con

ésta, halle al menos dos posibles valores de A.

b. Reúnase con dos o tres compañeros, comparta sus valores hallados de A y completen la tabla siguiente:

Área (A)

Medida 𝑨𝑴̅̅ ̅̅ ̅ (x)

c. Analicen la tabla anterior y respondan:

¿Hay valores que no deberían estar en esta tabla? ¿Cuáles y por qué?

¿Cuáles son los valores que puede tomar A? Explicar cómo los obtuvo.

¿Cuál es el valor mínimo y el máximo que puede tomar x?

Parte 2

ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 10 cm y en este hay una

parte rectangular sombreada como se muestra en la imagen. Se

construye un cuadrado DMPN, siendo M un punto del segmento

𝐷𝐶̅̅ ̅̅ tal que m(𝐷𝑀̅̅ ̅̅ ̅)= x. Además sea I el punto medio de 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .

Exprese el área A de la parte sombreada, ubicada dentro del

cuadrado DMPN, cuando M varía sobre el lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ .

Identifique entre qué valores varía x y A.


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ACTIVIDAD 5

o Sabiendo que la siguiente representación gráfica corresponde a una función:

a. Transfiera a registro coloquial dejando debidamente identificado el Dominio de la función.

b. Transfiera a Registro algebraico.

o Sabiendo que las siguientes tablas representan a una función:

X 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0 1,25 5 11,25 20 31,25 45 61,25

X 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0 2,5 5 7,5 9 10,5 12 13,5

X 0 50 100 150 200 250 300 350

f(x) 22,222 20,987 19,752 18,517 17,282 16,047 14,812 13,577

a. ¿Cuáles pueden representar a funciones lineales? Para estas proponga una representación algebraica.

o Observe la imagen y determine las coordenadas del punto A. Explique su razonamiento:


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ACTIVIDAD 6

Primera 1

Si el punto de equilibrio del mercado corresponde al precio para el cual coinciden la cantidad (q) de producto

ofrecido O(q) y demandado D(q), determine dicho punto para la siguiente situación de mercado:

𝐷(𝑞) = −𝑞 + 2,9 ; 𝑂(𝑞) = 0,6𝑞 − 0,3

Parte 2

Dados los puntos A=(-3;1), B=(-1;-2), C=(2;0) y D=(0;3) verificar que en el cuadrilátero ABCD:

o Los lados opuestos son paralelos;

o Los lados consecutivos son perpendiculares;

o Las diagonales son perpendiculares;

o Las diagonales se intersecan en su punto medio.

ACTIVIDAD 7

Parte 1

Un prisma tiene dos caras cuadradas de 6 cm de arista. Sus otras caras son rectángulos de 8 cm x 6 cm. La arista

de 8 cm se puede alargar una cierta cantidad x.

Si f(x) representa el volumen del prisma en función de la longitud x que se incrementa su arista, ¿es cierto que

f(x) es una función lineal? Justifique y argumente en diferentes registros.


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Parte 2

Analizamos el siguiente problema de modelización:

Un depósito de agua se vacía mediante una bomba. El caudal de agua extraída por la bomba es “parejo”, es decir,

en cada hora extrae la misma cantidad de agua. La bomba fue encendida a las 6:00 de la mañana. Además se

sabe que a las 8:00 el depósito tenía 1000 litros mientras que a las 10:00 todavía había 600 litros.

a) ¿Cuántos litros habrá en el tanque a las 12:00 del mediodía?

b) ¿Cuántos litros de agua había en el depósito al encender la bomba, es decir, a las 6:00?

c) ¿A qué hora se terminó de vaciar el depósito?

d) ¿Cuántos litros quedaban en el depósito a las 7:00? ¿Y a las 7:30?

e) ¿Cuál o cuáles de las siguientes fórmulas pueden usarse para determinar la cantidad de agua que queda en el

depósito () dependiendo de la hora del día?

ACTIVIDAD 8

Parte 1

Dado un cuadrado ABCD de 25 cm de lado, se considera el cuadrado EFGH, cuyos

vértices están a la misma distancia de los vértices del cuadrado original, como se

indica en la figura.

a) ¿Cuál es el área de EFGH cuando la distancia de E a A es 2 cm?

b) ¿Habrá algún cuadrado construido de esta forma cuya área sea mayor al del

ítem a)? Si lo hay, encontrar alguno y decir cuál es la distancia que consideraste para encontrarlo.

c) ¿Habrá algún cuadrado construido de esta forma cuya área sea menor? Si lo hay, encontrar alguno y

decir cuál es la distancia que consideraste para encontrarlo.

d) Repite la actividad a) para distintos valores de la distancia de E a A.

1))

2))

3)

) 4)

5)

)


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Parte 2

Juan y María confeccionaron la siguiente tabla de valores, donde la

primera columna corresponde al valor de la distancia de E a A, y la

segunda columna es el área del cuadrado EFGH.

a- Observa la tabla anterior. Analiza con tus compañeros cada

situación planteada por Juan y María.

b- Realiza una tabla similar a la anterior, tomando otros valores

para la longitud del segmento EA.

c- Juan y María, luego de armar la tabla de valores llegaron a

distintas conclusiones, justifica cada una de ellas.

✓ María dice que a medida que EA aumenta, el área del cuadrado va aumentando.

✓ Juan: “Si la distancia de E a A es 19,5cm, entonces el área del cuadrado EFGH es 410,5 cm2”

✓ María: “Para alguna medida del segmento AE, el área del cuadrado EFGH es nula”.

✓ María: “Para distintas longitudes del segmento EA el área del cuadrado EFGH coincide”

✓ Juan: “La distancia de E a A no puede tomar cualquier valor, sólo puede tomar casi hasta 25”

✓ Juan: “El área máxima del cuadrado EFGH es igual a 625 cm2 y el área mínima es 312,5 cm2”

d- A Juan y a María se les presentaron las siguientes

gráficas como posibles representaciones de la

variación del área del cuadrado EFGH (eje de las

abscisas) en función de la distancia EA (eje de

ordenadas):

María asegura que los gráficos 6, 10 y 12 podrían

ser los candidatos, sin embargo Juan considera que

los únicos gráficos posibles de representar tal

relación son el 10 y 12. ¿Con quién están de

acuerdo? ¿Por qué se María y Juan han descartado

a todo el resto de las representaciones?

Argumenten sus respuestas.

e- Hallen una fórmula que permita calcular el área del cuadrado EFGH en función de la distancia de E a A.


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Parte 3

a- ¿Cuáles son las variables en juego? ¿A cuál de ellas le asignamos distintos valores en las actividades

anteriores?

b- ¿Podrías determinar cuál de estas variables es independiente? ¿cuál dependiente? Justifica.

c- ¿Ambas variables pueden tomar cualquier valor real? En caso negativo determina qué valores pueden

tomar cada una de ellas, escríbelo en intervalos.

d- ¿Cómo están relacionadas ambas variables? ¿Dicha relación se puede escribir algebraicamente? ¿Cómo?

e- ¿Estamos trabajando con una función matemática? En caso afirmativo escribir el dominio y la imagen de

la misma. ¿Cómo te diste cuenta que es una función? ¿Cómo es su representación gráfica?

Parte 4

En un terreno un granjero quiere delimitar una región para sembrar hierbas aromáticas de forma rectangular

con un alambre de 40m para hacer una zona de cultivos. Este terreno limita con un único vecino que tiene

construida su medianera de más de 40m de largo (ver esquema). Sobre dicha medianera se quiere apoyar uno

de los bordes que delimitan la zona de cultivos. Todo el recinto será bordeado por el alambre, incluso el lado que

está contra la medianera.

Como el dueño de la medianera es el vecino, el granjero deberá solicitarle autorización para hacer uso de la

misma, indicándole qué parte de ella será ocupada.

a. ¿Cómo diseñarías la región si quisieras maximizar el área de cultivo? ¿Qué deberías informarle al vecino

en ese caso?

b. Proponga un gráfico que describa el área de los distintos rectángulos que representan al terreno de

cultivo en función de la longitud del lado apoyado contra la medianera. Indicar en él el área máxima.

Parte 5

Se quiere construir figuras con la misma forma pero de distinto

tamaño, formadas por un cuadrado y un rectángulo unidos. La base

del rectángulo tiene la misma medida que el lado del cuadrado, y su

altura mide la mitad de la base. Aquí se muestra uno de esos dibujos.

a- Si el lado del cuadrado midiera 9 cm, ¿Cuál sería su área?

b- Completa la tabla. Los valores representan la relación entre el lado del cuadrado y el área de la figura.


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L (cm) 1 2 3 4 5

Área

(cm2)

c- Decidí si la situación representa a una función lineal. Justifica tu respuesta.

d- ¿Es posible averiguar cuánto mide el lado L si se sabe que el área de la figura es 216 cm2? Si creés que sí,

calcúlalo; si pensás que no, explica por qué.

ACTIVIDAD 9

o Sabiendo que las siguientes tablas representan a una función:

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 2 3 6 11 18 27

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 1 3 5 7 9 11

x 0 1 2 3 4 5

F(x) 0 3 12 27 48 75

¿Cuáles pueden representar a funciones lineales?

o Completar para que la frase sea correcta:

a. Sea k un número real, si f es una función cuya representación algebraica es f(x)=k.x2+6.x+1, para que

f tenga una única raíz entonces k es …………………………………….

b. Si r es un número real, f es una función representada algebraicamente mediante la ecuación f(x)=4x2-

6.r.x+2 y f(-0,5)=3, entonces r es ………………………………………………..

c. Si g es una función cuadrática tal que sus raíces son x1=3 y x2=-2, entonces su ecuación es

………………………………….……………………………………………………………………………..

d. Si g es una función cuadrática tal que sus raíces son x1=3 y x2=-2 y que g(1)=5, entonces su ecuación

es ……………………………………………………………………………………………………………..


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ACTIVIDAD 10

El siguiente dibujo representa el plano de una casa:

a- ¿Cuánto mide la superficie cubierta de esta casa, si la longitud de L es 20

metros?

b- Escribí una fórmula que permita calcular la superficie cubierta S de una casa con la misma forma,

cualquiera fuera el valor de la longitud L.

c- ¿Es cierto que la superficie también puede calcularse con la fórmula S = 3,2.L2? ¿Por qué? Justifica.

ACTIVIDAD 11

Parte 1

La ecuación y = 100 – 5x2 permite describir aproximadamente la variación de la altura y (en metros) a la que se

encuentra un objeto que se deja caer desde una altura de 100 metros en función del tiempo x (en segundos)

desde que se lo suelta.

a- Representen gráficamente la información dada en la ecuación anterior utilizando el programa GeoGebra.

¿Qué parte del gráfico representa la situación de caída del objeto? ¿Por qué?

b- Marquen sobre el gráfico el punto que representa el momento en el que el objeto se encuentra a 20

metros del piso. ¿Cuántos segundos pasaron desde que se lo dejó caer?

c- ¿En qué momento el objeto llega al piso?

Parte 2

Un objeto se arroja hacia arriba en forma vertical. La variación en la altura y (en metros), a medida que transcurre

el tiempo x (en segundos), desde que se lanza el objeto puede describirse aproximadamente con la ecuación:

y = 80.x -5.x2

a- Grafica la función utilizando el programa GeoGebra.

b- ¿Cuánto tiempo tarde el objeto en volver al suelo?

c- ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?

d- ¿En qué instante se encuentra a 140 metros del suelo? ¿Y a 240 metros?

e- Se sabe que el objeto estará a 108,75 metros luego de 1,5 segundos. Determiná en qué otro

instante se encontrará a la misma altura.


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Parte 3

a- Representá en tablas, la variación del perímetro y del área de un cuadrado cuando cambia la longitud

del lado.

b- ¿Es cierto que al aumentar la longitud del lado del cuadrado (1 cm cada vez) el perímetro se incrementa

siempre de la misma manera? ¿Y el área? ¿Por qué?

c- Utilizando el programa GeoGebra realiza la representación gráfica de cada tabla ¿Qué tipo de funciones

representa cada gráfico? ¿Por qué?

ACTIVIDAD 14

Dadas las siguientes fórmulas de funciones y gráficas de parábolas, decidan cuál/les de las gráficas podrían

servir como representación gráfica de cada una de las fórmulas


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ACTIVIDAD 15

Parte 1

Expresar la variación del área coloreada en función de la longitud x;

determinar qué valores puede tomar x y hallar para qué valor de x el área

es 132m2.

Parte 2

Encontrar un número real p que satisfaga que 𝑝 + √𝑝 = 5

Parte 3


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Un punto P se mueve sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ABC.

Para distintas posiciones de P se puede definir un rectángulo como se muestra

en la imagen.

¿Para qué posición de P el rectángulo definido tiene área máxima? ¿Cuál es ese

valor?

ACTIVIDAD 16


taller.


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TALLER 4: Prácticas de lectura, escritura y oralidad

A cargo de: Lic. Analía Peruzzi

La explicación

Los textos expositivos-explicativos tienen por finalidad transmitir un conocimiento sobre un tema,

informar. Para ello, presentan información de manera clara a fin de que el lector se apropie de dicho

conocimiento.

Un texto expositivo no solo proporciona datos sino que además agrega explicaciones, describe con

ejemplos y analogías, con el fin de guiar y facilitar la comprensión de determinado tema. Entonces, podemos

decir que los textos expositivos tienen diversas funciones:

son informativos porque presentan datos o información sobre hechos, fechas, personajes, teorías, etc.;

son explicativos porque la información que brindan incorpora especificaciones o esclarecimientos

significativos sobre los datos que aportan;

son directivos porque funcionan como guía de la lectura, presentando claves explícitas (introducciones,

títulos, subtítulos, resúmenes) a lo largo del texto. Estas claves permiten diferenciar las ideas o los

conceptos fundamentales de los que no lo son.

Entre las características más destacables figuran:

se apoyan en una serie de paratextos (títulos, subtítulos, imágenes, gráficos, diferentes tipografías, etc.)

que orientan al lector acerca de la organización y el tipo de información que va a encontrar;

se escriben en tercera persona;

Saberes: La explicación. Estructura base del texto expositivo.

Recursos de la explicación. Estructuras expositivas.

Estructuras expositivas.

La argumentación. Estructura del texto argumentativo. Conectores habituales.

Recursos de la argumentación.


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utiliza un lenguaje técnico –estilo formal- y remite a fuentes bibliográficas que avalan sus

consideraciones.

Estructura base del texto expositivo

La estructura general y básica de un texto expositivo consta de tres partes: introducción, desarrollo y

conclusión.

La introducción: en ella se da a conocer el tema del texto, se expone el propósito del autor, los

procedimientos a seguir y hechos a desarrollar. Debe predominar un tono ameno y sugerente con el

objeto de despertar el interés del lector.

El desarrollo: en esta parte, se ordenan lógicamente las ideas, de acuerdo al tipo de organización

expositiva que escojas. Se establece un análisis objetivo de los hechos proporcionando datos, ejemplos,

distintos puntos de vista sobre el tema, etc.

La conclusión: es una breve síntesis de lo expuesto. En ella se recapitula lo más relevante del tema

tratado y se entrega una conclusión derivada de lo anterior que puede plantearse como una opinión

personal. También, es posible incluir sugerencias y proyecciones.

Recursos de la explicación

Para facilitar la comprensión, este tipo de textos emplea diferentes recursos entre los que podemos

mencionar la definición, la clasificación, la reformulación, la ejemplificación, la analogía, entre otros.

Veamos algunos de ellos:

La definición es un procedimiento habitual de los discursos expositivos, ya que para explicar un objeto

muchas veces es necesario definirlo previamente. Una definición debe incluir el género y la diferencia

específica, es decir, la clase de objetos a la que pertenece lo definido, y las características que lo

Material audiovisual: “La explicación”.

En: https://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver.


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diferencian de esa clase de objetos. Por ejemplo, en la definición de Lápiz (instrumento de escritura

formado por una barra de grafito envuelta en madera) la primera parte (instrumento de escritura...) es

el género, y la segunda (... formado por una barra de grafito envuelta en madera) es la diferencia

específica.

La ejemplificación se utiliza para aclarar mediante un caso particular o concreto una idea muy compleja

o abstracta que fue expuesta anteriormente. El ejemplo suele insertarse a continuación del concepto

que se ejemplifica y se introduce mediante diversos marcadores.

La analogía consiste en poner en relación un concepto con otro de distinto campo, con el fin de aclarar

o explicar.

La reformulación consiste en un enunciado que explica de un modo más sencillo lo dicho en el segmento

anterior, aclara en qué sentido debe interpretarse a añade información.

Estructuras expositivas

En los textos explicativos la información puede presentarse de modos diferentes, conforme a ciertas

estructuras que permiten organizar mejor la exposición.

Descripción: consiste en la agrupación de ideas por mera asociación.

Seriación: presenta componentes organizativos referidos a un determinado orden o gradación.

Causalidad: expone las razones o fundamentos por los que se produce la sucesión de ideas.

Problema – solución: presenta primero una incógnita, luego datos pertinentes y finalmente brinda

posibles soluciones.

Comparación u oposición: presenta semejanzas o diferencias entre elementos diversos.

La argumentación

En el discurso argumentativo, el enunciador toma una postura ante los hechos o temas, se propone persuadir

o convencer al destinatario y, para decir su verdad apela a una serie de estrategias argumentativas. A diferencia

de los textos preponderantemente explicativos o expositivos, en los de carácter argumentativo el enunciador

Material audiovisual: “Las definiciones”, “La

reformulación” y “Los conectores causales”.

En: https://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver.


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tiene una presencia muy marcada en el discurso –uso de la primera persona–, se compromete y se “hace cargo”

de lo que sostiene. El enunciador argumentativo puede desarrollar su discurso desde diferentes lugares: como

experto, como experimentado, como testigo de un hecho, como víctima, etc. El tipo de discurso utilizado no es

objetivo ya que el enunciador tiene una valoración o subjetividad manifiesta respecto de los hechos sobre los

que opina.

Cuando los textos argumentativos se presentan como polémicas, que se desencadenan a partir de un tema

de debate, de juicios contrapuestos, afirmando posiciones y desechando otras, se intenta refutar o descalificar

la palabra de otro enunciador. La polémica puede ser más o menos explícita y más o menos desarrollada, pero

siempre está presente.

Estructura del texto argumentativo

El texto argumentativo, por lo general, se estructura de la siguiente forma:

Introducción: se enuncia el tema que se tratará y la postura que se va a defender. Puede haber citas de

personajes reconocidos por el público o narrar hechos relacionados para llamar la atención de los

receptores y comprometerlos con la lectura.

Tesis: es un enunciado breve a partir del cual se estructura la argumentación, consiste en expresar lo

que se quiere demostrar. Es una afirmación que se pone en debate para ser aceptada o refutada

(rechazada). Puede ser explícita (está escrita en el texto o la dice el orador) o implícita (no está expresada

pero se la puede "leer" porque se la insinúa).

Argumentación: los argumentos conforman la serie de razones que el emisor presenta para convencer

al receptor de que la tesis es verdadera o válida. Para esto, el emisor utiliza diversas estrategias

discursivas como: la ejemplificación, la analogía, la pregunta retórica, la cita de autoridad, etc.

Conclusión: aquí se sintetizan las ideas principales del discurso, se enuncian cuáles son las consecuencias

de lo expresado, se propone una determinada actitud o plan de acción a seguir y se señala cuáles son los

puntos que aún quedan pendientes con respecto al tema.

Es muy importante tener en cuenta que la estructura de los textos argumentativos es flexible. Las partes que

aquí indicamos suelen estar presentes en la mayoría de los textos, pero en muchos casos su ubicación dentro de

cada texto varía de acuerdo a los intereses de su emisor.

Observemos cómo se visualiza todo esto en un texto concreto.

En el siguiente texto argumentativo están señaladas las partes de la estructura. Leelo con mucha atención y

observá cómo está constituida cada una de sus partes:


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Conectores habituales en la argumentación

Los conectores son nexos que unen y organizan la información de un texto. Al cumplir con esta función

de "unir", los conectores proporcionan un significado a la información que relacionan, por esa razón existen

diversos tipos de conectores: algunos unen una causa con su consecuencia, otros indican una relación de tiempo,

otros sirven para organizar el discurso, entre otras clases de conectores.

ž Los tipos de conectores más frecuentes en los textos argumentativos son:

Organizadores: son los que ordenan las ideas, algunos de ellos son: en principio, en primer lugar; en

segundo lugar; en síntesis, en suma, para concluir, en resumen, etc.

Ejemplo: “En primer lugar les corresponde de manera exclusiva la educación y concientización de todos los

ciudadanos que habitan el territorio de esta Nación. (...) En segundo lugar deben utilizar los medios necesarios

para detectar los delitos producidos en las rutas y calles y sancionar a los responsables de manera severa y con

las penas correspondientes”.

Causales: ž explican el porqué de lo que se afirma, es decir, remiten a la causa. Estos son: porque, puesto

que, ya que, debido a, a causa de, etc.

Ejemplo: “Las redes sociales contribuyeron a la solución del problema porque se sumaron a la campaña de

difusión”. En este ejemplo el efecto o consecuencia es que las redes sociales contribuyeron a solucionar el

problema y la causa es que se sumaron a la campaña de difusión.

Consecutivos: indican el efecto producido por una determinada causa. Algunos conectores consecutivos

son: por lo tanto, en consecuencia, por consiguiente, así pues, etc.

Ejemplo: “El tema no fue tratado en la última reunión del año, por lo tanto no se podrá aumentar el valor de la

inscripción”.

Adversativos: estos conectores señalan una oposición, un impedimento a la idea que la precede; pero,

sin embargo, no obstante, etc.

Ejemplo: “Los nuevos montos de las multas son muy elevados, sin embargo no se disminuyeron las infracciones”.


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Recursos de la argumentación

El discurso argumentativo, generalmente, expone una idea o posición sobre algún tema o

acontecimiento (llamada tesis), que se fundamenta con argumentos. En ocasiones, la argumentación se puede

cerrar mediante una conclusión que reafirme la tesis y resuma los argumentos expuestos.

La eficacia de la argumentación depende en buena parte de la forma en que se presentan los

argumentos. Aunque existen diferentes modos de argumentar, se pueden precisar algunos procedimientos o

estrategias de los cuales se valdrá el buen argumentador para intentar persuadir al destinatario.

Para proponer ejemplos, trabajamos sobre un tema general, “la discriminación”, y a partir de la siguiente

tesis: “En la Argentina, la discriminación está presente en la sociedad y se expresa en varias situaciones

cotidianas”.

Por acumulación:

Se fundamenta con más precisión una posición si se presentan distintas expresiones que se refieran a lo

mismo y refuercen la argumentación.

“Podemos encontrar manifestaciones de la discriminación en hechos mínimos: un cruce de palabras en la

calle, un gesto en un negocio, una mirada en una plaza”.

A través de la cita de autoridad:

Se pueden citar, de modo directo o indirecto, dichos de una persona reconocida, así como nombres o

instituciones, que permitan sostener una posición.

“Como afirmó Nelson Mandela en 1964: “Mi ideal más querido es el de una sociedad libre y democrática en

la que todos podamos vivir en armonía y con iguales posibilidades”. (Discurso directo)

Según el INADI (Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo), que presentó un

informe recientemente, las prácticas sociales discriminatorias no se explican por ninguna característica que posea

la víctima. (Discurso indirecto)

A través de la cita refutativa:

Es una cita (a través del discurso directo o indirecto) que se incluye para demostrar que su aserción es falsa

y contraponer otra idea. No es necesario que tenga un referente preciso.

“Algunos dicen que 'los argentinos somos solidarios'. Sin embargo, no es cierto en cuanto a la forma de

comportarse con muchos inmigrantes”.

A través de la concesión:


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Primero se presenta una idea, y se concede que es en parte válida, pero luego se opone otro argumento que

es el que prevalece. En general se utilizan los conectores: si bien, pero, sin embargo, aunque, a pesar de que, etc.

“Si bien es cierto que este país recibió inmigrantes de orígenes diferentes durante muchos años, las más

diversas formas de discriminación están a la orden del día”.

A través de la generalización:

Por medio de la generalización se refuerza la afirmación presentada, que adquiere un valor universal.

“La intolerancia es un problema de todos y cada uno de nosotros”.

A través de ejemplos:

Se utilizan para defender de manera específica y concreta una posición.

“Hace mucho tiempo que se presta atención a este problema en otros lugares, por ejemplo, en Europa o en

varios países de América”.

A través de la comparación:

De este modo ponemos en relación dos elementos para establecer algún tipo de semejanza o diferencia. En

general aparece la conjunción como.

“Como no ocurría en el pasado reciente, en la actualidad aumenta constantemente el número de personas

que perciben que son víctimas de un hecho de discriminación”.

Otras estrategias que pueden emplearse en la argumentación son:

La definición: fija con precisión el significado o naturaleza de un objeto.

Las preguntas retóricas: otra voz que el emisor incluye en el texto es la del receptor al que desea

convencer. Uno de los procedimientos para hacerlo consiste en formular preguntas retóricas, que no se

plantean para que el lector responda a ellas, sino que ya tienen implícita la respuesta.

El planteo de causas y consecuencias: en los textos de opinión, el emisor intenta convencer al receptor

que su postura respecto de algún tema en particular es la más razonable. Para ello, plantea relaciones

de razón-consecuencia entre ideas o hechos, de modo que su opinión aparezca como lógica conclusión

y no como un simple punto de vista. Los conectores que se utilizan para plantear relaciones de este tipo

son “por lo tanto”, “por eso”, “en consecuencia”, “consecuentemente”, “dado que”, en razón de que”,

“porque”, entre otros…


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Para sintetizar:

TEXTO EXPOSITIVO TEXTO ARGUMENTATIVO

Intención comunicativa

Explica de forma objetiva unos hechos. Defiende ideas y expresa opiniones.

Responden a: ¿Por qué es así? ¿Qué pienso? ¿Qué te parece?

Modelos Libros de texto, artículos de divulgación, enciclopedias...

Artículos de opinión, editorial, críticas de prensa...

Tipo de lenguaje

Lenguaje claro y directo. Verbos que expresan opinión: creo, considero, pienso…

¡IMPORTANTE!

Material audiovisual: “Texto argumentativo”; “Ejemplo de

texto argumentativo”.

En: https://www.youtube.com/watch?v=PMFiooFtNrc

En: https://www.youtube.com/watch?v=FDbSHWSvZCU

https://www.youtube.com/watch?v=PMFiooFtNrc

https://www.youtube.com/watch?v=FDbSHWSvZCU


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TALLER 5: El rol del profesor de Matemática en el aula

A cargo de: Lic. Prof. Navarro, Ma. del Carmen

En este módulo que pretende ser un inicio del recorrido en el camino de la formación docente que

involucra saber qué se enseña, cómo se enseña y conocer a quiénes se va a enseñar como así saber

en qué contexto se hará. Para ello comenzaremos este camino con algunas herramientas que

deberemos incluir en nuestra valija con la que comenzamos el viaje por la formación de Profesor

de Matemática en el IES 9-011 Del Atuel.

Armaremos nuestra valija virtual. Para ello participaremos en foros del Aula virtual.

Habrá dos foros en el Aula Virtual de Ingreso para que participen. La participación en tiempo y forma en ambos

foros son de carácter obligatorio para aprobar este módulo. Solo hay una instancia de recuperación a través de

un tercer foro para aquellos que no cumplan con los requisitos correspondientes.

PRE TAREA

LECTURA PREVIA: Deberán leer el siguiente artículo para la primera clase: (pág. 210)

Se realizará la puesta en común durante el cursado de este módulo para analizar qué mitos, problemas y

realidades se presentan en nuestra Realidad Educativa.

Tarea 1

Nos vamos a presentar ( 30 min)

Técnica: Muestro a mis compañeros la imagen que traje y que me representa .

Para ello cada uno dice su nombre y explica en un máximo de 1 minuto por qué eligió esa imagen para

presentarse a sus compañeros y docente.


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Finalmente en una hoja formato A3 ( 148 x 210 mm) la doblará de la siguiente forma para diseñar un cartel con

su nombre que colocará en su banco y lo traerá los días del ingreso así nos vamos aprendiendo todos los nombres

de cada uno, nombre que nos identifica.

Tarea 2

Bienvenidos estudiantes al Curso de Ingreso, nivelación y ambientación y del Profesorado en Educación

Secundaria en Matemática, ciclo lectivo 2017

¿Cuál es la clave del éxito para recibirte de profesor de matemática?

https://www.youtube.com/watch?v=os0_1xkAXgU

Luego de la charla TED de la prof. Duckworth, cada uno de Uds. ingresará al foro del Aula Virtual: El viaje por el

Profesorado de matemática. En dicho foro se presentarán con una foto personal y luego para incluir en la valija

lo que considera será la clave del éxito para lograr concluir la carrera y egresar como Profesor de Matemática.

Pueden escribir el borrador en Word, lo compartimos y luego con conectividad lo suben al foro.

JUAN

AA



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Tarea 3

¿Qué rol debería cumplir un profe de matemática en el aula de secundaria?

Lectura del capítulo 1:

DONDE TRATO DE REVELAR LAS MARCAS DE UNA ENSEÑANZA

Philip W. Jackson. (1999). Enseñanzas implícitas. Buenos Aires: Editorial Amorrortu

Luego de la lectura, en forma personal cada uno escribirá cuáles son las marcas que les ha dejado algún o todos

los profesores de matemática. La colocarán luego dentro de un sobre. Fuera del sobre escriban su nombre y

apellido.

Tarea 4

¿Frente a esas marcas, cómo piensan Uds. construir su rol docente?

Tarea 5

Ahora bien vamos a escuchar la charla TED de Dan Meyer, profesor

Las Clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen

https://www.youtube.com/watch?v=JXywsNXH6J0

DAN MEYER:



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Uds. han hecho un largo recorrido en la escuela con docentes que tienen características diferentes al momento

de enseñar. Luego de escuchar esta charla TED, ¿qué esperan de los profesores del Profesorado de Matemática

y a qué se comprometen Uds. como estudiantes en este camino que es una construcción en el rol docente?

Ingresarán al Foro: Rol docente del Aula Virtual y participarán para responder a las cuestiones planteadas en el

mismo y que se relaciona con las tareas realizadas.

BILIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

¿Cuál es la clave del éxito para recibirte de profesor de matemática? Recuperado en


Las Clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen. Recuperado en


Maciel de Oliveira, C. La Formación Docente: Mitos, problemas y realidades. Revista PRELAC, N° 1/Julio de 2005.

Protagonismo docente en el cambio educativo. UNESCO

Philip W. Jackson. (1999). Enseñanzas implícitas. Buenos Aires: Editorial Amorrortu.Cap.1




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ANEXOS: Material de Refuerzo para el trabajo en los talleres13

1. TALLER INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Introducción

La historia de Diofanto…

Ingresa al sitio:


Y luego de leer el texto …

¿Por qué se lo reconoce a Diofanto en la historia de la Matemática?

Traduce el epitafio de Difanto al lenguaje algebraico.

Responde: ¿a qué edad murió Diofanto?

…Abordaremos el Álgebra como instrumento para conocer propiedades sobre los números, para resolver

problemas extramatemáticos en los que hay que reconocer una o más condiciones sobre una o más variables,

para modelizar procesos a través de funciones y para representar relaciones geométricas. Esto implica trabajar

con diferentes objetos algebraicos como funciones, ecuaciones, expresiones y fórmulas, y poner en juego

distintos significados para las letras: variable, incógnita, indeterminada.

…En Álgebra se emplean expresiones numéricas en las que uno o más cantidades son desconocidas

(incógnitas) y se representan por letras. Este tipo de lenguaje llamado simbólico, o lenguaje algebraico, es

utilizado para resolver cualquier problema enunciado en el lenguaje natural, es decir: nos permite transcribir

un enunciado verbal (coloquial) al lenguaje algebraico.

13 Los materiales anexos de los Talleres de Álgebra, Geometría y Funciones, están sujetos a adecuaciones del lenguaje

matemático empleado, solo se constituye como un insumo de refuerzo que puede complementar lo abordado en el curso

de Ingreso.



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Actividad 1

Primera parte: Traduce del lenguaje verbal al simbólico las expresiones siguientes: Considera que a, b y c

representan número reales:

El doble de a:

El triple de la suma entre a y c:

El producto de a por la quinta parte de c

El cubo de a disminuido en 3 unidades.

El área de un círculo de radio c:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b:

Segunda parte: Problema de los cuadritos…. (Adaptado de Les debuts de l´algèbre au collège. Combier,

Guillaume y Pressiat (1996)

Considera el dibujo que se muestra, y luego responde:

1) ¿Cuál es la cantidad de cuadritos del borde?

2) ¿Cuántos cuadritos tendrá el borde de un cuadrado de 37 cuadritos de lado?

¿Aplicaste algún método? ¿Cuál?

3) Escribe una fórmula que permita reflejar el método usado en el punto 2), es decir:

traduce al lenguaje simbólico o algebraico

4) ¿Cuál será la fórmula para generalizar el resultado para una figura con n cuadraditos en uno de sus lados?

Actividad 2

Para practicar:

Parte 1

Observe las siguientes figuras armadas con fósforos:


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La secuencia se completa agregando un cuadrado en la siguiente posición. Este cuadrado, que se agrega, debe

compartir un solo fósforo.

a) ¿Cuál será la figura que sigue en esta secuencia? Dibújela.

b) ¿Cuántos fósforos son necesarios para armar la figura que ocupa el 7º lugar? ¿Y el 10º lugar? Justifique

su respuesta. ¿Necesita dibujarla?

c) Para la posición 100, ¿cuántos fósforos se necesitan? Justifiquen la respuesta. ¿Necesita dibujarla?

Parte 2

Siguiendo con la secuencia anterior, responda:

a) ¿Cómo haría para saber cuántos fósforos se necesitan para las figuras que ocupan las diferentes

posiciones?

b) Escriba la respuesta del punto anterior mediante una fórmula.

c) Explique si es o no es posible que, en alguna ubicación, se necesiten 154 fósforos

Parte 3

Teniendo en cuenta la fórmula hallada anteriormente:

a) Indica la cantidad de fósforos que se necesitarían para las siguientes posiciones: 9, 27, 48, 98 y 182.

Explique en forma general cómo da respuesta a esta consigna.

b) Analiza si las cantidades que se detallan a continuación corresponden –o no- a posibles “posiciones” de

la secuencia: 19, 33, 49, 61 y 145.Explique en forma general cómo da respuesta a esta consigna.

c) Si tengo 1550 fósforos y armo una figura de la secuencia de manera tal que se emplee la mayor cantidad

de éstos: ¿me sobra alguno? ¿cuántos cuadrados me quedan formados?


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Actividad 3

Para practicar:

Realice un análisis similar al anterior con las siguientes secuencias de figuras armadas con fósforos:

I) Expresiones algebraicas

Se llama expresión algebraica a una combinación de números representados por letras, o por letras y

cifras, relacionadas entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y la potenciación.

Al traducir un enunciado verbal al lenguaje simbólico aparecen, muchas veces, las expresiones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

3𝑥2𝑦3

2𝑥3 + 2√𝑥

8𝑥2 − 4𝑥3 + 0,1𝑥 + 2

• Revisa la condición planteada en «la historia de Diofanto», ¿es una expresión algebraica?

• Traduce el siguiente enunciado al lenguaje simbólico:

a) La suma entre un número natural y su consecutivo.

b) El producto de un número par cualquiera y un número impar cualquiera


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Clasificación de expresiones algebraicas

Actividad 4

Primera parte:

• Expresa en lenguaje simbólico y luego clasifica las expresiones algebraicas resultantes:

1) La diferencia entre un número cualquiera y su cuadrado.

2) La diferencia entre el cuadrado de un número entero cualquiera y el siguiente de dicho número.

3) La medida del largo de un salón de clases rectangular es 3 metros menos que el doble del ancho.

• ¿Cuál de las expresiones resuelve el problema? (Adaptado de UBA 2005)

enteras• Ejemplo: 3𝑥2𝑦3

racionales• Ejemplo: 3𝑥2/(1 + 𝑦)3

irracionales• Ejemplo: 2𝑥3 + 2 𝑥


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Segunda parte: Aplicar propiedades e identificar expresiones algebraicas, Adaptado de Olmedo et als, 2005.

Para las expresiones algebraicas siguientes:

1) Aplica propiedades para llevarlas a una forma más simple, escribiendo el nombre de la propiedad

2) Clasifica la expresión algebraica.

3) Analiza: ¿qué valores NO puede tomar «x» en los ejercicios b), c) y e)? ¿Por qué es así?

II) Expresiones algebraicas enteras: los polinomios

• Polinomios: Son expresiones algebraicas enteras

• Polinomio en una indeterminada, x, es la expresión de la forma:

donde 𝑎𝑖 son números reales, llamados coeficientes, x es la indeterminada. El número 𝑎0 se llama término

independiente y el número 𝑎𝑛 se llama coeficiente principal.

Los exponentes de 𝒙 son números enteros no negativos y el grado del polinomio es el mayor exponente de la

variable cuyo coeficiente es diferente de cero.

n es un número natural (o cero) que indica el grado de un polinomio.

Un polinomio especial: el polinomio cero o polinomio nulo

Un polinomio que tiene todos sus coeficientes cero se llama polinomio nulo o polinomio cero. Este polinomio

no tiene grado.


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Actividad 5

a) Decide cuáles expresiones algebraicas son polinomios. Para los que son polinomios indica:

coeficiente principal, grado, término independiente. Además, COMPLETALOS y ordénalos en

orden DECRECIENTE

𝑃(𝑥) = 1 +1

2𝑥3 + √2𝑥4; 𝑄(𝑥) = √32𝑥 −

3

2 ; 𝑆(𝑥) = √𝑥 −

1

2; 𝑇(𝑥) =

3

2𝑥 − 1; 𝑅(𝑥) = 3

b) Decida fundamentando su respuesta, cuáles de las expresiones siguientes corresponden a polinomios. Para

las que lo sean, dé su grado, coeficiente principal y término independiente:

a) 𝑞(𝑥) = 9𝑥 − 8𝑥2 − 3

b) 𝑟(𝑥) = 0

c) 𝑡(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥−1

d) 𝑠(𝑥) = 9

e) 𝑣(𝑥) = 2 − 9𝑥 + 4𝑥5 + 0𝑥6

f) 𝑤(𝑥) = 9√𝑥

c) Las siguientes formulas: ¿corresponden a polinomios? Argumenta tu respuesta.

Volumen de un cilindro: 𝜋𝑟2ℎ

Área lateral de un cilindro: 2𝜋𝑟ℎ

Capital final producido por un capital “𝑐” durante “𝑡” meses al 𝑖% de interés anual, 𝑐 +𝑐.𝑖

1200𝑡

La altura que alcanza en un tiempo “t” una piedra que es lanzada hacia arriba con rapidez 𝑣0: 𝑣0𝑡 + 4.9 𝑡2

Para practicar

I) Traduce al lenguaje verbal o al simbólico algebraico según corresponda.

a) La mitad de un número.

b) 1/5 𝑥

c) El 15% de una cantidad de dinero.

d) 2.x 2


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e) (2.x) 2

f) El cuadrado de: un número dividido 2

g) El opuesto de un número

h) 3 (a+1)

II) Simplifica y expresa solamente con exponentes positivos: Adaptado de Olmedo et als, 2012.

¿En qué casos se trata de expresiones algebraicas enteras? ¿Por qué? ¿Cuál es su grado?

III) Operaciones con polinomios

Suma y diferencia de polinomios:

Se suprimen paréntesis y se agrupan términos semejantes (es decir con la misma parte literal)

Ejemplos

Multiplicación de polinomios:

• Se tiene en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, y el producto de

potencias de igual base.


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Actividad 6

Primera parte:

Dados los siguientes polinomios:

I) Calcula lo que se expresa a continuación:

a) − 5. 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥). 𝐹(𝑥) = b) 𝐸(𝑥) – 3𝐺(𝑥) =

c) [H(x)]2 = d) [H(x)]3=

II) Sin hacer las cuentas, ¿puedes decir cuánto valdrá el coeficiente principal y el término independiente de…:

𝐹(𝑥). 𝐺(𝑥) 𝐹(𝑥) – 𝐺(𝑥) 5 𝐺(𝑥)

Segunda parte:

I) Resuelve los siguientes productos y asígnales nombre

1) (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) =

2) (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) =

3) (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) =


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II) Expresa como polinomio la expresión para calcular el volumen de una pileta de forma de prisma de lados

𝑥, 𝑥 + 2 y 𝑥 + 3.

División de polinomios

Actividad 7

I) Accede al sitio http://www.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE y realiza las divisiones

propuestas como ejercicios.

Recuerda que para dividir Ambos polinomios se ordenan en forma decreciente. Si falta

algún término se completa el polinomio colocando los coeficientes nulos en los términos

faltantes

Debemos tener en cuenta el Teorema de la división: Dados los polinomios P(x) y Q(x) 0, llamados dividendo y

divisor respectivamente, existen y son únicos los polinomios C(x) y R(x) llamados cociente y resto, que verifican:




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P(x) = C(x) Q(x) + R(x)

R(x) = 0 ó gr R(x) < gr Q(x)

II) Otra forma de dividir es aplicando la Regla de Ruffini, ingresa a

http://www.youtube.com/watch?v=nLhT2jET7WY&feature=endscreen&NR=1 y responde:

¿Qué debe cumplir el polinomio divisor para poder aplicar esta Regla?

Si P(X) = 4𝑥2 + 8𝑥 + 1, ¿cuánto vale el resto y el cociente de la división de P(x) por x – 2?

¿Puedes decir por que sí o por qué no la división anterior es exacta?

III) Muchas veces nos interesa solamente el resto de la división….Cuando se aplica la Regla de Ruffini puede

calcularse directamente el resto con el Teorema del Resto. Ingresa a

http://www.youtube.com/watch?v=8a4KrNkFR6M y responde:

Cuánto vale el resto de la división de 𝑥2 + 8𝑥 por 𝑥 − 2

¿El polinomio 𝑥2 + 8𝑥 es múltiplo de 𝑥 + 2?

¿Para qué valores de 𝑘 el polinomio 𝑥3 − 𝑘 es múltiplo de 𝑥 – 1?

IV) Hallar el cociente y el resto de la división de 𝑃(𝑥): 𝑄(𝑥). Luego verificar

𝑃(𝑥) = 4 − 3𝑥2 + 2𝑥3 − 𝑥5; 𝑄(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥4 + 6𝑥5 − 𝑥

V) Hallar el valor de 𝑘 para que al dividir 5𝑥2 − 𝑘𝑥 + 3 por 𝑥 + 2 sea cero.

IV) Factorización de polinomios

Conceptos preliminares:

Raíz o cero de un polinomio: El número 𝑎 es raíz o cero del polinomio 𝑃(𝑥) si 𝑃(𝑎) = 0.

Ejemplo: −1 es raíz de P(x) = 𝑥2 -1 pues 𝑃(−1) = 0

1 también es raíz de 𝑃(𝑥) = 𝑥2 -1 pues 𝑃(1) = 0

2 no es raíz de 𝑃(𝑥) = 𝑥2 -1 pues 𝑃(2) = 3

2) Divisibilidad de polinomios: El polinomio P(x) es divisible por Q(x) si el resto de la división de P por Q es el

polinomio nulo. También se dice que P(x) es múltiplo de Q(x).

Ejemplo: P(x) = 𝑥2 -1 es divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥 − 1 pues el resto de la división P : Q es 0. Puedes chequearlo

con el Teorema del Resto o haciendo la división.

P(x) = 𝑥2 -1 no es divisible por 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 pues el resto de la división P : Q es 3 0

Una relación fundamental: Dado el polinomio 𝑃(𝑥), 𝒂 es raíz de 𝑷(𝒙) si y sólo sí:

P(x) es divisible por (x – a)






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Equivalentemente: P(x) es múltiplo de (x – a)

Es decir: 𝑷(𝒙) = (𝒙 – 𝒂)𝑪(𝒙)

Caso particular: Raíces de polinomios de grado uno y dos:

Ejemplo 1: P(x) = 3x – 4 tiene una única raíz (TFA) x1 = 4/3

P(x) = 3 (x - x1 ) P(x) = 3 (x – 4/3 ) polinomio factorizado

Ejemplo 2: P(x) = x2 +5x – 6 tiene dos raíces (TFA) x1 = 6 x2 = -1

P(x) = (x - x1 ) (x – x2 ) P(x) = (x – 6) (x + 1) polinomio factorizado

Ejemplo 3: P(x) = x2 - 5x tiene dos raíces (TFA) x1 = …. x2 = ….

P(x) = (x - x1 ) (x – x2 ) P(x) = …………………… polinomio factorizado

Ejemplo 4: P(x) = x2 -4 ¿cuáles son sus raíces? ¿tiene dos raíces (TFA)?

P(x) = …………………… polinomio factorizado

Ejemplo 5: P(x) = x2 + 1 ¿cuáles son sus raíces? ¿tiene dos raíces (TFA)?

P(x) = …………………… polinomio factorizado


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I) Algunas consecuencias del TFA….las raíces no reales de un polinomio

Propiedad: Las raíces no reales de un polinomio siempre vienen en parejas

1) Halla con la calculadora las raíces del polinomio P(x) = x3 + x

2) Según el Teorema fundamental del álgebra (TFA), si un polinomio tiene grado 3,

¿puede tener todas sus raíces no reales?

3) Según el Teorema fundamental del álgebra (TFA), si un polinomio tiene grado 3,

¿siempre tiene por lo menos una raíz real?

4) Para qué valores de k el polinomio P(x) = x2 +4 x + k tiene:

Todas sus raíces reales

Todas sus raíces no reales

Factorización de polinomios: casos de factoreo


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Actividad 7

De aplicación:

I) Factoriza los siguientes polinomios, completando la tabla:

II) Dados los polinomios factorizados, escríbelos de manera desarrollada:

M(x) = 2 (x-3) (x+1) (x-1)

R(x) = - x (x+2)

Q(x) = -3 (x- 1)2

III) Completa los trinomios para que resulten trinomios cuadrados perfectos. Luego factorea:

….. + 2x + 1 4x2 - 12x + ……. 36 x2 + ……. + 4 b2

Puedes revisar la factorización ingresando a los siguientes sitios.

Factorización de polinomios de grado 2:


Factorización de polinomios de grado mayor a dos:


También el siguiente sitio puede ayudarte a relacionar estos temas:


II) Algunas consecuencias del TFA…..La conexión con las funciones….

Dada la gráfica de la función f : IR IR / f(x) = x4 – 4 x2









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(extraído de http://www.slideshare.net/mestherosa/grficas-de-funciones-polinmicas-y-racionales

1) Indica las raíces reales del polinomio P(x) = x4 – 4 x2

2) Según el Teorema fundamental del álgebra (TFA), ¿cuántas raíces tiene el

polinomio P(x)?

3) Escribe la factorización del polinomio, empleando el TFA.

V) Expresiones algebraicas fraccionarias

Ejemplo 1: 𝑥2−4

3𝑥−6=

(𝑥−2)(𝑥+2)

3(𝑥−2)=

𝑥+2

3, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≠ 2

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Actividad 8

Factorea los polinomios numerador y denominador y luego simplifica las siguientes expresiones algebraicas, en

cada caso indica para qué valores no está definida:

http://www.slideshare.net/mestherosa/grficas-de-funciones-polinmicas-y-racionales

http://www.slideshare.net/mestherosa/grficas-de-funciones-polinmicas-y-racionales


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𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥=

𝑥3 + 27

𝑥4 − 81=

𝑥 − 3

13

(3 − 𝑥)=

Multiplicación y división de expresiones algebraicas racionales:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Suma y resta de expresiones algebraicas racionales

Ejemplo 3:

Actividad 9

Resuelve:

𝑥 − 3

𝑥 + 3−

𝑥 + 3

𝑥 − 3+

12𝑥

𝑥2 − 9=


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3 − 𝑥

𝑥 + 3.

27 + 𝑥3

9 − 3𝑥 + 𝑥2.

1

9 + 𝑥2=

𝑥3 − 8

𝑥2 − 5𝑥:

𝑥2 + 2𝑥 + 4

𝑥2 − 10𝑥 + 25=

ECUACIONES

Hace tres años, el triple de la edad de Milena, era exactamente 30. ¿Cuántos años tiene hoy Milena?

Muchos de uds. seguramente pueden resolver esta situación aritméticamente sin necesidad de recurrir al

álgebra para dar respuesta.

En muchas ocasiones, resolver una ecuación, se hace de forma mecánica. Resolver una ecuación en forma

algorítmica, no garantiza interpretación de los procesos.

Si al triple de un número se lo reduce en tres unidades da el mismo resultado que si al doble de ese número se lo

incrementa 4 unidades. ¿Cuál es el número entero que cumple con esa condición?

Esta situación es presentable por una ecuación del tipo ax + b = cx + d, la resolución algebraica aparece más

operatoria que la resolución aritmética.

Trataremos de definir qué es una ecuación:

En los libros de texto abunda la siguiente definición de ecuación:

“ Igualdad entre dos expresiones algebraicas”

“Igualdad con una incógnita”

Traten con las estrategias logradas en la educación secundaria, resolver las siguientes ecuaciones:

a) ¿Hay algún número entero que sumado a 27 dé como resultado -47?

b) ¿Existe algún número entero que multiplicado por 9 dé como resultado -946?

Ahora bien, traten de aplicar cualesquiera de las definiciones anteriores de ecuación, a las resoluciones obtenidas

de las dos situaciones intramatemáticas propuestas, ¿qué pueden concluir al respecto? ¿Podemos asegurar que

esas definiciones son adecuadas?

Para practicar http://campus.colegioyapeyu.edu.ar/wp-

content/uploads/2012/03/Expresiones_fraccionarias.pdf





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En el profesorado Uds. no solo resolverán, se preguntarán sobre las situaciones planteadas en contextos intra o

extramatemáticos para construir saberes sino que también deberán analizar marcos teóricos construidos en la

escuela muchas veces erróneamente y a partir de ellos reconstruir nociones. Por ello una sugerencia es:

“No coma entero, piense críticamente”

(Hipólito González, Ph.D en Educación de la Universidad del Estado de la Florida)

J. Colera Jiménez y Miguel de Guzmán Ozamiz definen ecuación como Una igualdad algebraica en la que se desea

conocer el valor de la incógnita (o los valores de las incógnitas) para que se cumpla la igualdad. De modo que,

más que una igualdad, es “una pretendida igualdad”.

En esta definición dada puede observarse la diferencia con las anteriores, ya que no toda ecuación tiene solución

(recuerde la situación b) ¿Existe algún número entero que multiplicado por 9 dé como resultado -946?)

La solución de la ecuación es el valor de la incógnita ( o los valores de la incógnita) que hacer verdadera la

igualdad.

Resolver una ecuación es hallar la solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene solución.

Tipos de ecuaciones

Durante el cursado de la escuela secundaria seguramente aprendiste diferentes tipos de ecuaciones como:

- lineales

- cuadráticas

- exponenciales

- logarítmicas

- trigonométricas

- ………

y las recuperarás nuevamente durante el cursado y por supuesto, aprenderás otras.

En esta oportunidad recuperaremos las ecuaciones polinómicas de primer grado denominadas lineales y de

segundo grado llamadas cuadráticas.

¿Cómo resolver una ecuación lineal?

Soluciones de una ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es una expresión del tipo ax + b= 0 siendo a ≠ 0, o bien es una expresión más

compleja que luego de simplificar, se llega a la anterior. El rasgo fundamental de este tipo de ecuaciones es que


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la incógnita (en este caso x) sólo aparece elevada a la primera potencia. Una ecuación de primer grado tiene,

necesariamente, una única solución

A veces nos encontramos con expresiones que “parecen” ecuaciones de primer grado que, sin embargo, no

tienen solución o tienen infinitas soluciones.

Por ejemplo

3x – 5= 3. (x + 1) ⇒ 3x – 5 = 3x + 3 (aplicando propiedad distributiva de la multiplicación respecto de

la adición en el segundo miembro)

Queda 0.x = 8 evidentemente, no tiene solución.

Otro ejemplo

3x – 5 = 3. (x – 2) + 1 ⇒ 3x – 5 = 3x – 6 + 1 ⇒ 0.x = 0 en este caso tiene infinitas soluciones, pues 0.x = 0

cualquiera que sea x

Ecuaciones equivalentes

En general, dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.

Para resolver una ecuación aplicaremos las propiedades de las operaciones de los conjuntos numéricos revisadas

en el módulo 1 Numeración. Ellas nos permiten ir construyendo una nueva ecuación, equivalente a la primera

hasta llegar a la solución.

Aplicar las propiedades de las operaciones nos permite mantener la igualdad para los mismos valores de la

incógnita (es decir que lo que se conserva es el conjunto solución)

Analizaremos un ejemplo de una ecuación cuyo conjunto solución son los racionales

5.x + 2 = 1

2+ 3 𝑥

Aplicando la propiedad del inverso aditivo tenemos: - 2 es el inverso aditivo de + 2 y de 3x el inverso aditivo es

( - 3x) en ambos miembros (propiedad uniforme), para luego aplicar la propiedad cancelativa tenemos:

5x +2 + (-2) + ( - 3 x) = 1

2 + 3 x + ( - 2) + ( - 3 x)

Resolviendo, queda la siguiente ecuación equivalente:

2x = 1

2 – 2 luego para que podamos averiguar el valor de x, usaremos la propiedad del inverso multiplicativo

en racionales (2 está multiplicando a x, por lo tanto el inverso multiplicativo de 2 es 1

2) en ambos miembros, y la

propiedad cancelativa nos queda:


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1

2. 2 . 𝑥 =

1

2. (

1

2− 2)

x= 1

2 . (

1

2−

4

2 )

x= 1

2 . (−

3

2)

x = −3

4

El valor de la incógnita averiguado es la solución de la ecuación, es decir que hace verdadera la igualdad.

Podemos realizar la verificación:

Reemplazo en la ecuación original 5.x + 2 = 1

2+ 3 𝑥 el valor de incógnita obtenido

5. (−3

4) + 2 =

1

2+ 3. (−

3

4 ) (continúa la verificación)

……

IDENTIDADES

A continuación intente resolver la siguiente situación:

¿Para qué valores de a, b y n se cumple esta igualdad: ( a . b )n = an . bn?

Puede visibilizarse que para cualesquiera que sean los valores a, b y n, se verifica la igualdad.

Estamos en presencia de una identidad. Puede definirse como una igualdad algebraica para valores cualesquiera

de las indeterminadas que intervienen.

Las identidades sirven para transformar una expresión algebraica en otra más cómoda de manejar.

Les propongo resolver la siguiente situación en un contexto geométrico:

En un triángulo isósceles, cada uno de sus lados iguales mide la tercera parte del tercer lado. Si su perímetro

mide 45 cm, ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

a. Realiza un dibujo esquemático donde ubiques los datos del problema.

b. Encuentra una ecuación que represente al problema.

c. ¿Qué representa la incógnita en el contexto del problema?

d. Encuentra el valor de los lados del triángulo isósceles.

e. ¿Es cierto que el valor hallado para x es solución de la ecuación? Justifica.


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SISTEMAS DE ECUACIONES

Los problemas con varias incógnitas suelen dar lugar a varias ecuaciones y debemos encontrar la solución común

a todas ellas: sistemas de ecuaciones.

Les proponemos la siguiente situación en el contexto de la geometría nuevamente:

Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de

largo que de ancho.

El perímetro está dado por P = 2 a + 2 b (siendo a y b sus lados), consideremos que la medida de a es mayor que

la de b, entonces podemos encontrar la relación entre ellos como a = 52 m + b

Entonces las ecuaciones quedan de la siguiente manera: 2 a + 2 b = 392 m

a = 52 m + b

Para averiguar lo que se pregunta en el problema, las dimensiones de los lados del rectángulo dado, hay que

tener en cuenta las dos ecuaciones, ya que los valores de a y b han de ser la solución de ambas ecuaciones. Por

ello decimos que forman un sistema de ecuaciones y se indica agrupándolos con una llave:

La clasificación de los sistemas de ecuaciones y métodos de resolución los pueden hallar en la siguiente página web: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/apuntes/sistemas.pdf

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Son ecuaciones en las cuales el grado máximo de la incógnita es dos.

La forma general de una ecuación de 2º grado, es

Para resolver esta ecuación hemos de despejar la incógnita, en este caso x.

a y b se denominan coeficientes.

a.x2 se denomina término cuadrático

a.x2 + b.x + c = 0

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/apuntes/sistemas.pdf

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~29700989/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/apuntes/sistemas.pdf


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b.x se denomina término lineal

c se denomina término independiente.

Diferentes tipos de ecuaciones de 2º grado

Ecuaciones sin el término lineal

Si b= 0 ⇒ ax2 + c = 0

En este caso es fácil despejar x2 y obtener los valores que puede tomar x

Por ejemplo:

3x2 – 75 = 0 ⇒ 3x2 – 75 + 75 = 75

3x2 = 75 ⇒ 3.1

3 x2 =

1

3 . 75

x2 = 25

√𝑥2 = √25 ⇒ x = ± 5

Es decir que x puede valer 5 o bien – 5

Si c= 0, ax2 + bx = 0

En este caso, se extrae factor común x en el primer miembro, con lo que la ecuación queda como un producto

igualado a cero. Para que el producto será cero, alguno de los factores debe ser cero.

Ecuaciones Completas

a.x2 + b.x + c = 0 siendo a ≠ 0 y la forma general de la solución es:

x1,2 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

El doble signo que precede a la raíz significa que puede haber dos soluciones cuyas expresiones son:


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Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz

cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas

también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que

posee:

Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones en el conjunto de los números reales

Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales

Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución en el conjunto de los números reales

Factorización de una ecuación de segundo grado

¿Cómo se factoriza una ecuación de segundo grado?

Por ejemplo, para resolver la ecuación (2x -4) . (x – 3) = 0 hacemos

2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2

X – 3= 0 ⇔ x = 3

Entonces las soluciones son: x1 = 2 y x2= 3

Si una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 tiene como soluciones a x1 y x2, puede escribirse en la forma factoreada: a (x – x1) . ( x – x2) = 0


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2. TALLER INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

MEDIDAS

No debemos confundir magnitudes con medida.

Las magnitudes son entes abstractos susceptibles de ser medidos.

Existen magnitudes

a) escalares: aquellas que quedan definidas mediante una cantidad

(ej.: longitud, tiempo; volumen; área; etc.)

b) vectoriales: son aquellas que necesitan de un vector para quedar

caracterizadas, (geométricamente es un segmento orientado que

tiene 4 elementos: módulo, sentido, dirección y pto. de

aplicación) para definirse. Por ej.: fuerza; velocidad; desplazamiento; etc.)

c) Cantidad: es una expresión numérica de la magnitud que está formada por la medida y la unidad.

Por ej. 30 m

Comprender la noción de medida implica comprender el proceso de medir, la inexactitud de los resultados, el

concepto de error de medición y a qué puede ser atribuible, y la importancia de la selección de la unidad y del

instrumento adecuado para lograr la precisión requerida por la situación planteada.

Definición: Una unidad de medida es una cantidad preestablecida, convencional o no, de una determinada

propiedad o magnitud de objetos o eventos. Una unidad de medida convencional toma su valor a partir de un

patrón inmodificable bajo ciertas condiciones o surgido como una composición de otras unidades definidas

previamente.

Cada propiedad o magnitud tiene sus unidades de medida específicas.

Si medimos longitud, por ejemplo, sabemos que las unidades de medida convencionales son muchas

dependiendo del orden de longitud que queramos medir, para caminos usamos km, para el ancho de una casa

usamos metros, para el largo del lápiz usamos cm, para distancia entre microbios usamos milímetros…

Las mediciones permiten que las descripciones puedan ser comunicadas a otros de manera concreta y objetiva.

Una definición de medición es la siguiente:

Definición : Medición es una asignación de números a objetos o eventos de acuerdo a reglas establecidas.


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Unidades de Longitud

La unidad que se utiliza para medir longitudes es el metro, que se simboliza m. Existen múltiplos y submúltiplos

del metro:

Múltiplos UNIDAD Submúltiplos

Km hm dam M Dm cm mm

kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro Milímetro

1000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m

Para reducir de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por 10, tantas veces como unidades existan entre

ellas. Para reducir de una unidad menor a otra mayor, se divide por 10 tantas veces como unidades existan entre

ellas.

Ejemplo 1: Reducir 15 km a metros

Como se va a reducir una unidad mayor a otra menor debo multiplicar por 10.

Entre km y metro hay tres unidades lineales, es decir que se deberá multiplicar 3 veces por 10:

15. 10. 10. 10 = 15000 m así, 15 km equivale a 15000 metros

Ejemplo: Reducir 3 m a hectómetro

Como se va a reducir de una unidad menor a otra mayor se dividirá por 10.

Entre metro y hectómetro hay dos unidades lineales, es decir que se deberá dividir 2 veces por 10:

3: 10: 10= 0,03 hm así, 3 m equivale a 0,03 hectómetros

Otra forma de reducir de una unidad a otra es utilizando la regla de tres simple directa o bien operando con

proporciones.

En esta regla a partir de tres datos se encuentra la incógnita.

Ejemplo: reducir 1150 m a kilómetro.

Se debe hallar la relación entre metro y kilómetro: 1 km equivale a 1000 m

mx

mkm

1150_____________________

1000__________________1

Para hallar el valor de x, que representa la cantidad de kilómetros que son 1150 m, multiplico los valores cruzado

y divido por el que queda:

1. 1150:1000 = 1,15 km así, 1150 m son 1,15 km


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Unidades de superficie

La superficie es el producto entre dos longitudes. La unidad que se estableció para medir superficies es el metro

cuadrado, que se simboliza m2.


Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

kilómetro

cuadrado

hectómetro

cuadrado

decámetro

cuadrado

metro

cuadrado

decímetro

cuadrado

centímetro

cuadrado

milímetro

cuadrado

1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por 100, tantas veces como unidades existan entre

ellas. Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide por 100 tantas veces como unidades existan entre

ellas.

También puedo pasar de una unidad a otra utilizando la regla de tres simple como hemos visto anteriormente.

Unidades de Volumen

El volumen es una magnitud derivada, ya que es el producto entre tres longitudes: el largo, el ancho y el alto. La

unidad fundamental es el metro cúbico (m3).


km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

kilómetro

cúbico

hectómetro

cúbico

decámetro

cúbico

metro

cúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

1.000.000.000

m3

1000.000 m3 1000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001

m3

Para pasar de una unidad mayor a otra menor, se multiplica por 1000, tantas veces como unidades existan entre

ellas. Para pasar de una unidad menor a otra mayor, se divide por 1000 tantas veces como unidades existan entre

ellas.

VOLUMEN DE CUERPOS

CUERPO VOLUMEN

Prisma Superficie de la base. h

Pirámide 3

1 . Superficie de la base. h

Cilindro . r2. h


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Recuerda: el diámetro de un círculo es igual al doble del

radio. La medida del radio se ha simbolizado por “r”

La medida de la altura de un cuerpo está simbolizada

por “h”

Aproximación por truncamiento y redondeo Una empresa de productos en conserva debe etiquetar 30.000 tarros para un nuevo producto que lanzará al

mercado. Las etiquetas deben quedar a 0,2 cm de las bases del tarro y cubrir de la manera más exacta posible

la superficie que muestra la figura. Sí el radio de la base del tarro mide 4 cm y el alto del tarro es 12 cm, ¿qué

dimensiones deben tener las etiquetas?

Como la etiqueta debe quedar a 0,2 cm de las bases del tarro, el ancho debe ser: 12 cm – 2 cm – 0,2 cm = 12 cm – 0,4 cm = 11,6 cm Para saber el largo de las etiquetas, debemos calcular el perímetro de una de las bases:

P = 2 · · 4 cm = 8 cm

Pero como el número es igual a 3,14159265... y es un número infinito no periódico, se llama número

IRRACIONAL, y aproximaremos su valor a 3,142.

Entonces P = 8 cm = 8 · 3,142 cm = 25,136 cm. Entonces, el largo de la etiqueta será aproximadamente 25,136

cm.

En esta y en situaciones que requieren diferentes cálculos y donde debemos utilizar números decimales o

números irracionales, se hace necesario aproximar.

En el cálculo anterior utilizamos una manera de aproximar muy común que se llama redondeo.

Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su derecha:

Si esta es mayor a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda. (1)

Si esta es menor que 5, la cifra anterior no se altera. (2)

Si esta es igual a 5, entonces nos fijamos en la cifra anterior, si esta es número par, se deja la misma cifra, y si

es número impar, se deja en la cifra par siguiente. (3)

Cono 3

1 . . r2. h

Esfera 3

4. . r3

IMPORTANTE Cuando operamos con medidas debemos tener siempre la

precaución de unificarlas, es decir, pasar todo a una

misma medida.


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En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la redondeada.

Ejemplos:

Al redondear 72,36 en décimos, nos queda 72,4 (porque al 3 le sigue 6 que es mayor que cinco, por (1))

Al redondear 7,462 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue 2 que es menor que 5, por (2))

Al redondear 7,465 en centésimas, nos queda 7,46 (porque al 6 le sigue un 5 y el 6 es par, por (3))

Al redondear 7,475 en centésimas, nos queda 7,48 (porque al 7 le sigue un 5 y el 7 es impar, por (3))

Al redondear 72,8 a unidades, queda 73.

Al redondear 116.500.000 a millones, quedaría 116.000.000

Al redondear 117.500.000 a millones, quedaría 118.000.000

Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada,

consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha.

Ejemplos:

Al aproximar 7,475 en décimas, nos queda 7,4.

Al aproximar 7,447 en décimas, nos queda 7,4.

Cuando hacemos una aproximación numérica por redondeo o truncamiento, siempre existirá un error, porque

los cálculos no son exactos. Por esto la aproximación por redondeo minimiza el error con la regla (3), en

acumulaciones de operaciones.

Redondeado Truncado

3,475 3,48 3,47

3,45 3,4 3,4

3,85 3,8 3,8

3,86 3,9 3,8

3,75 3,8 3,7

Ayúdate con este cuadro…


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ÁNGULOS: Propiedades

Si trazamos una recta sobre un plano, este queda dividido en dos sectores. Cada uno de ellos es un semiplano.

Si trazamos dos rectas en un plano, llamadas R y S que se corten entre sí, el plano queda dividido en cuatro

partes. Cada una de ellas es un Ángulo. En cada ángulo podemos distinguir vértice, que es el punto de

intersección de las dos rectas, y los lados, que son las semirrectas que sirven de borde al ángulo.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos se clasifican según su amplitud en:


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Dos ángulos se pueden clasificar también según:

Bisectriz de un ángulo

Toda semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales, se denomina bisectriz.

Sistema Sexagesimal. Operaciones

En el Sistema Sexagesimal de medición de ángulos la unidad de medida es el grado sexagesimal (º). Existen otras

unidades como el minuto (´) y el segundo (´´).

1º = 60´ 1´= 60´´

SU

POSICIÓN

Opuestos por el vértice: cuando tienen el vértice en

común y sus lados son semirrectas opuestas

SU MEDIDA

Complementarios: cuando la suma de sus

amplitudes es 90º, es decir, un recto

Consecutivos: cuando tienen un

lado y un vértice en común

Suplementarios: cuando la suma de sus

amplitudes es 180º, es decir, un llano

Adyacentes:

cuando son

consecutivos y

suplementario

s


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Tener en cuenta:

Para sumar ángulos sumamos por separado grados, minutos y segundos. Si la suma de los segundos es

mayor que 60 restamos 60’’ (1’ = 60’’), y agregamos 1’ a los minutos. Procedemos en forma similar con

los minutos cuando la suma haya resultado mayor que 60, sumamos 1º a los grados y restamos 60’ a los

minutos

Para restar ángulos, cuando uno de los valores de los grados, minutos o segundos, resulta menor que el

valor que se le va a restar, como en el ejemplo los minutos, le quito 1º a los agrados y sumo 60´ a los

minutos, y luego resto por separado.

Para multiplicar ángulos, multiplicamos por separado grados, minutos y segundos por el número

correspondiente. Luego observo las medidas de los minutos y segundos, si alguna resulta mayor que 60,

en el ejemplo los segundos, le resto 60 y sumo 1 a la anterior.

Para dividir ángulos:

1. Divido los grados

2. Al resto de dicha división, lo expreso en minutos multiplicando por 60 y el resultado lo sumo

a los minutos que ya tenía.

3. Divido los minutos

4. Al resto de dicha división, lo expreso en segundos multiplicando por 60 y el resultado lo sumo

a los segundos que ya tenía.

5. Divido los segundos.


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Ángulos determinados por dos rectas y una secante

Ángulos correspondientes: son los pares de ángulos no adyacentes que están en el mismo semiplano

respecto de la secante, siendo uno interno y el otro externo

Ángulos alternos: son los pares de ángulos no adyacentes que están en distintos semiplanos respecto

de la transversal. Pueden ser internos o externos

Ángulos conjugados: son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano respecto de la

transversal. Pueden ser internos o externos.

En el dibujo:

Correspondientes: 4̂ y 5̂ ; 2̂ y 7̂ ; 1̂ y 6̂ ; 3̂ y 8̂

Alternos internos: 2̂ y 6̂ ; 3̂ y 5̂

Alternos externos: 4̂ y 8̂ ; 1̂ y 7̂

Conjugados internos: 2̂ y 5̂ ; 3̂ y 6̂

Conjugados externos: 4̂ y 7̂ ; 1̂ y 8̂

Si las rectas son paralelas, los pares de ángulos cumplen las siguientes propiedades:

Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes

Los ángulos alternos entre paralelas son congruentes

Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.

En el dibujo anterior: Si A // B entonces:

Correspondientes: 4̂ = 5̂ ; 2̂ = 7̂ ; 1̂ = 6̂ ; 3̂ = 8̂

Alternos internos: 2̂ = 6̂ ; 3̂ = 5̂

Alternos externos: 4̂ = 8̂ ; 1̂ = 7̂


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Conjugados internos: 2̂ + 5̂ = 180º; 3̂ + 6̂ = 180º

Conjugados externos: 4̂ + 7̂ = 180º; 1̂ + 8̂ =180º

TRIÁNGULOS

Definición: es una figura plana formada por la intersección de tres semiplanos, determinados por rectas no

paralelas dos a dos.

Elementos: vértices, lados, ángulos (interiores y exteriores)

Propiedades:

1.- “La longitud de cualquiera de los lados de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros

dos lados y mayor que su diferencia”.

2.- “La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 2 rectos o un llano”.

3.- “La amplitud de todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las amplitudes de los ángulos

interiores no adyacentes a él”.

PROPIEDAD TRIANGULAR

“En todo triángulo la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que

la diferencia”.


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Clasificación de Triángulos

Según sus ángulos

Acutángulo: todos sus ángulos son agudos

Rectángulo: tiene un ángulo recto

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso

Según sus lados

Escaleno: todos sus lados miden distinto

Isósceles: tiene dos lados congruentes

Equilátero: todos sus lados son congruentes

En todo triángulo:

A lados congruentes se oponen ángulos congruentes

Al mayor de los lados se opone el mayor de los ángulos

Puntos notables del triángulo

Definición: Las alturas de un triángulo son los segmentos de

perpendicular trazados desde un vértice al lado opuesto o a su

prolongación. El punto donde intersecan las tres alturas de llama

ortocentro.


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Definición: Las MEDIATRICES de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados que los

cortan por sus puntos medios.

El circuncentro (C) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres mediatrices.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.

Definición: Las BISECTRICES de un triángulo son las rectas que dividen cada uno de sus ángulos en otros dos

iguales.

El incentro (I) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

Definición: Las MEDIANAS de un triángulo son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de

sus respectivos lados opuestos.


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El baricentro (B) de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres medianas

Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente

congruentes.

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo

comprendido entre dichos lados.

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos pares de ángulos y además

un par de lados congruentes. Dichos lados pueden ser adyacentes a los ángulos congruentes u opuestos

a los mismos.

Relación pitagórica En todo triángulo rectángulo se cumple el conocido TEOREMA DE PITÁGORAS, que dice: “En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de las mediad de los catetos”


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La relación pitagórica es muy útil para encontrar, en un triángulo rectángulo, la medida de un lado cuando se conocen los otros dos. Por ejemplo:

Pero también es muy importante saber que, si se conocen las medidas de los tres lados del triángulo es posible

reconocer si se trata o no de un triángulo rectángulo. Basta con verificar si se cumple o no el Teorema de

Pitágoras.

Teorema de Thales

“Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón de las

longitudes determinados en una de ellas, es igual a la razón de las

longitudes de los segmentos correspondientes de la otra”

ef

de

bc

ab ;

ef

df

bc

ac ;

df

de

ac

ab ; etc.

Como consecuencia del Teorema de Thales se establece que:

“Toda recta paralela al lado de un triángulo, que corte a los otros dos

lados o a sus prolongaciones, determina sobre estos, segmentos proporcionales”

nc

an

mb

am ;

nc

ac

mb

ab ; etc.


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bm

cb

bn

ab

Semejanza de triángulos

Se dice que dos triángulos son semejantes si cumple con las siguientes condiciones:

a) Tienen sus lados homólogos proporcionales. c`

c

a b a’ b’

b) Tienen los ángulos que se corresponden, congruentes.

a=c a` b=c b’ c=c c’

Criterios de Semejanza de triángulos:

Primer criterio: “Si dos triángulos tienen sus tres lados homólogos proporcionales, entonces son semejantes”.

Segundo criterio: “Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes, entonces son

semejantes”.

Tercer criterio: “Si dos triángulos tienen dos lados homólogos proporcionales y el ángulo comprendido entre

ellos congruentes, entonces son semejantes”.

CUADRILÁTEROS

'''''' ca

ac

cb

bc

ba

ab


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PARALELOGRAMOS

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

Se llama diagonal de un paralelogramo al segmento que une dos vértices opuestos. Todo paralelogramo tiene

dos diagonales.

Los segmentos y DBAC son las diagonales del paralelogramo ABCD.

Propiedades

o Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

o Todo cuadrilátero cuyos lados opuestos son congruentes es un paralelogramo.

o En todo paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes y los ángulos adyacentes son

suplementarios.

o Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en sus puntos medios.


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Paralelogramos especiales

Rectángulos

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son rectos.

El cuadrilátero ABCD es un rectángulo.

Los segmentos y DBAC son las diagonales del rectángulo

Observaciones

o Los triángulos ABC y ACD son congruentes, por lo tanto los segmentos y DBAC son.................................

o Llamando o al punto de intersección de las diagonales del rectángulo ABCD resulta que los triángulos AOB

y COD son congruentes. También lo son los triángulos..........................


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ÁREA DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

Área del rectángulo

El área del rectángulo ABCD se define como el producto de la medida de la base y la de la altura.

Área de triángulos

Área del triángulo rectángulo

Al trazar una diagonal de un rectángulo, éste queda dividido en dos triángulos rectángulos congruentes:


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Los triángulos……… y ………… son congruentes. Por lo tanto,

sus áreas son iguales.

Sea A1 = área (ACB) y A2 = área (ACD) . Entonces resulta A1 = A2

El área del rectángulo ABCD es

A = A1 + A2

Como A1 = A2

A = 2 A1 = 2 A2

A1 = A2 = 2

A

Entonces el área de cada triángulo rectángulo es A1 = A2 = 2

h · b

Y en general, el área de todo triángulo se calcula como el semi-producto de la medida de la base y la de su

respectiva altura.

POLÍGONOS

Una serie de segmentos consecutivos forman una poligonal, que se denomina simple si los segmentos no se

cruzan entre sí, y cerrada si los extremos del primero y del último segmento coinciden.

Un polígono está formado por una poligonal cerrada simple y la región del plano que ella encierra.

Los segmentos de la poligonal son los lados del polígono

El punto de unión de dos lados es un vértice del polígono


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Un polígono es cóncavo cuando algún segmente que une dos puntos del polígono no está totalmente contenido

en el polígono

Un polígono es convexo cuando todo segmento que une dos puntos del polígono está contenido en el polígono.


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Ángulos en los Polígonos

Los lados que tienen un extremo en común se denominan consecutivos.

Los segmentos que tienen por extremos dos vértices no consecutivos se

denominan diagonales.

Se denomina apotema al segmento perpendicular al lado del polígono cuyos

extremos son el punto medio del lado y el centro del polígono.

Centro: punto que se encuentra a igual distancia de los vértices

Un polígono es regular cando tiene todos sus lados y ángulos congruentes.

Según la cantidad de lados que tengan los polígonos más sencillos reciben los

siguientes nombres:

Triángulo 3 lados

Cuadrilátero 4 lados

Pentágono 5 lados

Hexágono 6 lados

Heptágono 7 lados

Octógono 8 lados

Eneágono 9 lados

Decágono 10 lados


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Construcción de polígonos

Para construir un polígono regular se parte de una circunferencia de centro o. Se divide 360º en la cantidad de

lados del polígono que se quiera dibujar, para obtener el ángulo con vértice o, donde la intersección de sus lados

con la circunferencia determinarán el lado del polígono.

Luego repetir el procedimiento hasta determinar todos los lados del polígono deseado.

Observa la imagen siguiente que te permitirá ver los pasos para construir un polígono regular:


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Área y Perímetro de Polígonos

El PERÍMETRO de un polígono es igual a la suma de las medidas de todos sus lados.

TRIGONOMETRÍA

Razones trigonométricas

Se llaman razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo con los

ángulos del mismo.

En un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado que queda

hipotenusa.

En un triángulo rectángulo, de acuerdo con el ángulo agudo que se considere, los catetos se denominan opuesto

y adyacente.


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Las razones trigonométricas son seno, coseno, y tangente, se definen de la siguiente manera:

En el triángulo anterior: ac

cbsen ;

ac

abcos ;

ab

cbtg

Cuando se conoce la razón trigonométrica, pero no el ángulo, este sería la incógnita, y se obtiene despejándolo,

usando las inversas de las razones trigonométricas:

ARCO SENO (arcsen): inversa del seno

ARCO COSENO (arccos): inversa del coseno

ARCO TANGENTE (arctg): inversa de la tangente

Ejemplo:

sen x = 0,5

x = arcsen 0,5 despejando x

x = 30º entonces el ángulo vale 30º

RECORDAR: las razones trigonométricas

solamente se calculan respecto a un ángulo,

por ello siempre tendremos el seno, coseno o

tangente de un ángulo


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Uso de la calculadora

Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo significa hallar el valor de los tres lados y el valor de los dos ángulos agudos.

Para ellos se utilizan tres propiedades:

Teorema de Pitágoras: “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos”

Recordar que primero se plantea el teorema y luego despejamos la incógnita, es decir que lo único que

hay que saber es el cómo aplicar el teorema.

Propiedad de los triángulos rectángulos: “la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es

de 90º”

Razones trigonométricas seno, coseno y tangente, y sus inversas.

La razón trigonométrica de un ángulo se obtiene en la calculadora de la siguiente forma:

sen 30º = 0,5

Cuando se conoce la razón trigonométrica, el ángulo se obtiene con la calculadora de la

siguiente forma:

sen x = 0,5 x = 30 = 30º

3 0 SIN

0 . 5 SHIFT SIN


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3. TALLER CONCEPTUALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN

La alternativa de enseñanza del tema función (y en particular función lineal) que pretendemos superadora de la

clásica, se sostiene sobre los siguientes pilares:

reconocimiento de las representaciones mentales de los alumnos adquiridas previamente al ingreso a

la Universidad;

poder modelizador del concepto de función, basado en sus elementos constitutivos de dependencia y

variabilidad que le otorgan su carácter dinámico;

diferenciación del concepto de función de sus representaciones en los distintos registros;

resolución de situaciones problemáticas contextualizadas, que promuevan la articulación entre los

diferentes registros.

Cuando se relacionan dos variables es posible saber si una depende de la otra. Por ejemplo, si se considera la

temperatura y la hora en que se registró, puede decirse que la temperatura depende del tiempo, ya que esta

podría tomar diferentes valores dependiendo el momento del día. En este caso se dice que la temperatura es la

variable dependiente y que el tiempo es la variable independiente.

Cuando entre dos cantidades variables, donde una depende de la otra, y se verifica que a cada valor de la primer

variable (variable independiente) le corresponde un único valor de la segunda variable (variable dependiente),

se dice que la relación entre ambas variables es función. Entonces, decimos que y es función de x, y lo

representamos por f(x)=y.

Uno de los conceptos constitutivos de la noción de función entendida como herramienta apta para Modelizar

fenómenos de cambio es la noción de dependencia. La noción de dependencia implica la existencia de un vínculo

entre cantidades y conlleva la idea de que un cambio en una de las cantidades tendrá efectos sobre las otras.

Pero la noción de dependencia es difícilmente identificable sin otra noción que constituye el verdadero punto

de partida del concepto de función la variabilidad. En efecto, el único medio de percibir que una cosa depende

de otra es hacer variar cada una por vez y constatar el efecto de la variación.


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Los principales elementos que integran la noción de función son:

La variación

La correspondencia

La simbolización y la expresión de la dependencia

Las distintas formas de representación.

El COPREM (Comisión para la Reflexión sobre la Enseñanza de la Matemática) formuló la siguiente

recomendación (1978): “Una función no es ni una estadística de valores ni una representación gráfica ni un

conjunto de cálculos ni una fórmula, sino todo ello al mismo tiempo”. El concepto de función permite Modelizar

múltiples situaciones del mundo real, relacionando variables diversas. De esta manera, se posibilita el análisis de

las situaciones desde un punto de vista dinámico, lo que permite sacar conclusiones y formular generalizaciones.

El concepto de función puede admitir representaciones en diferentes registros, con diversos alcances y

limitaciones. Un registro no está ligado ni a objetos ni a conceptos particulares; está constituido por los signos,

en el sentido más amplio del término: trazos, símbolos, íconos. Los registros son medios de expresión y de

representación y se caracterizan precisamente por las posibilidades ligadas a su sistema semiótico. Un registro

da la posibilidad de representar un objeto, una idea o un concepto, no necesariamente matemático.

La noción de función puede representarse en diferentes registros:

Registro verbal: En este registro la función admite como representación una descripción en lenguaje natural.

Si se quiere estudiar un fenómeno utilizando una función como modelo, se cuenta generalmente, en principio,

con una descripción de este tipo.

Registro tabla: En este registro, una función se representa con una tabla de valores que pone en juego la

relación de correspondencia. Este registro tiene limitaciones ya que en una tabla sólo puede incluirse un número

finito de pares de valores.

Registro gráfico: En este registro, una función se puede representar por medio de una curva (continua o no)

en el plano cartesiano. Se pone en juego la noción de grafo de una función. También presenta limitaciones, ya

que como en el caso de la tabla, es necesario imaginar que continúa más allá de lo que es posible observar.


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Registro algebraico: En este registro, una función se puede representar por una expresión algebraica o

fórmula, que permite calcular la imagen f(x) para toda x perteneciente al dominio de la función, por lo tanto esta

representación tiene pocas limitaciones y son aquellas que provienen del cálculo.

Registro algorítmico: en este registro, la representación de una función es un programa o un procedimiento,

como los que utilizan las calculadoras o computadoras. Representa el proceso para calcular la imagen a partir de

los valores del dominio.

Para que las funciones puedan ser una verdadera herramienta de modelización, es necesario que no se oscurezca

su esencial significado de dependencia entre variables, perdiendo su carácter dinámico para transformarse en

algo puramente estático.

Las variables pueden ser reales o bien estar definida en otros conjuntos numéricos.

El conjunto que incluye los valores de la variable independiente se le denomina Dominio de la función.: Df. El

conjunto de valores correspondiente a la variable dependiente se denomina Imagen de la función: If .

En los gráficos la variable independiente se representa en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje

vertical.

En algunas relaciones entre variables ocurre que a variaciones iguales de una variable corresponden variaciones

iguales de la otra. En estos casos se dice que la situación es de variación uniforme.

Cuando se estudian las variaciones dentro de un proceso, a veces es conveniente encontrar un modo

matemático de representarlos. Para ello se considera un recorte de la situación, se identifican las variables

relacionadas, se las vincula de alguna manera (mediante expresiones matemáticas, tablas, gráficos, etc.) y se

utilizan diversos conocimientos matemáticos para analizar estas relaciones, lo que contribuye a entender el

fenómeno. Si una cantidad y se relaciona con otra cantidad x, y esta relación puede representarse mediante una

fórmula del tipo y = m.x + b, donde m y b son números cualesquiera, se dice que la relación entre x e y es lineal.


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Este tipo de relación recibe el nombre de función lineal, y suele escribirse así: f(x) = m.x + b para indicar que los

valores de y dependen de los valores que tome x.

La función lineal es un buen modelo para analizar situaciones de variación uniforme.

Puntos que pertenecen a un gráfico

En un sistema de coordenadas, cada punto está asociado a un par de

valores. Para indicar este par, los valores se ponen entre paréntesis

y separados con punto y coma. En una función, el primer valor

siempre corresponde a la variable independiente representada en el

eje horizontal y el segundo, a la representada en el vertical. Por eso

el par de valores se llama “par ordenado”.

Los valores de y están en el eje vertical y son los que va adquiriendo

la función este par, los valores se ponen entre paréntesis f(x).

Ecuación lineal

La expresión y = a.x + b en la que x e y son variables, a y b son constantes, es una ecuación lineal.

Resolver una ecuación de la forma a.x + b = c, en la que a, b y c son números cualesquiera, significa encontrar el

valor de x que hace verdadera la igualdad. Por ejemplo, si la ecuación es 3.x + 11 =35, el valor x = 8 es solución

de la ecuación, porque 3.8 + 11 = 35; en cambio, x = 5 no es solución de la ecuación, porque 3.5 +11 ≠ 35.

Un punto pertenece al gráfico de una función lineal cuando al remplazar el valor de la variable x en la ecuación,

se obtiene el valor de y, o cuando el par (x;y) es solución de la ecuación.

La expresión y = m.x + b se denomina ecuación de la recta y está asociada a la función f(x) = m.x +b.

En una función lineal representada por f(x) = m.x + b, cuyo gráfico es una recta, al número m se lo llama

pendiente de la recta. La pendiente indica la variación del valor de f(x) cuando la cantidad x aumenta 1 unidad.

Si la pendiente es un número positivo, se dice que la función es creciente, dado que un aumento en 1 la variable

x implica un incremento de la variable y.


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Si la pendiente es un número negativo, se dice que la función es decreciente puesto que un aumento en 1 de la

variable x implica una disminución de la variable y. La pendiente de la recta también puede ser cero; esto ocurre

cuando la variable y mantiene siempre el mismo valor a pesar de la variación de la variable x, para todos los

valores de x.

El número b se llama ordenada al origen e indica cuál es el valor de la función cuando el valor de la variable x es

cero. En el gráfico, la ordenada al origen es el valor de y en el que la recta corta el eje de las ordenadas. Para

encontrarlo basta considerar x = 0.

Las funciones cuadráticas, son un muy buen modelo para analizar situaciones en las cuales una de las variables

en juego se relaciona con el cuadrado de la otra. Suele escribirse así: f(x) = a.x2 + b.x + c, donde a, b y c son

números cualesquiera, con a ≠ 0, x identifica una de las variables y f(x) es el valor que se obtienen para cada x a

través de la función f. El punto (x; f(x)) pertenece al gráfico de la función.

Gráficos de las funciones cuadráticas

El gráfico de una función cuadrática es una curva simétrica llamada

parábola. Su eje de simetría es una recta vertical que divide la curva

en dos partes exactamente iguales. El eje de simetría es la mediatriz

de cualquier segmento cuyos extremos son puntos de la parábola

que tienen la misma ordenada. El punto en el que el eje de simetría

corta a la parábola se llama vértice. Salvo el vértice, para cada punto

de una parábola se puede encontrar sobre la misma curva otro punto

que es su simétrico. Los puntos simétricos son aquellos que tienen el

mismo valor de la variable dependiente (y), pero valores diferentes

de la variable independiente (x).

Se llaman raíces o ceros de una función a los valores que toma la variable independiente (x) cuando la variable

dependiente (y) es cero.


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Las raíces de una función se representan gráficamente con los puntos donde la curva corta el eje x.

Otra forma de expresar la ecuación de la función cuadrática

Forma canónica

La fórmula de una función cuadrática también puede expresarse en forma canónica, así:

F(x) = a.(x – xv)2 + yv

donde a es el coeficiente cuadrático y (xv;yv) son las coordenadas del vértice. Si conocemos las coordenadas del

vértice y las de otro punto perteneciente a la parábola, podemos hallar el valor de a y obtener la fórmula de la

función.

Forma factorizada

Una función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c con raíces reales x1 y x2 puede expresarse en forma factorizada

de la siguiente manera:

F(x) = a. (x-x1).(x-x2)


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4. ORGANIZADORES GRÁFICOS

Descripción.

Un organizador Gráfico es una representación visual de conocimientos que presenta información rescatando

aspectos importantes de un concepto o materia dentro de un esquema usando etiquetas. Puede diseñare de

variadas formas, como: mapa semántico, mapa conceptual, organizador visual, mapa mental etc.

Habilidades que desarrollan.

o El pensamiento crítico y creativo.

o Comprensión.

o Memoria.

o Interacción con el tema.

o Empaque de ideas principales.

o Comprensión del vocabulario.

o Construcción de conocimiento.

o Elaboración del resumen, la clasificación, la gráfica y la categorización.

Los organizadores gráficos (O.G.) se enmarcan en el cómo trabajar en el aula de acuerdo con el modelo

constructivista del aprendizaje.

Moore, Readence y Rickelman (1982) describen a los O.G como el suministro de una estructura verbal y visual

para obtener un nuevo vocabulario, identificando, clasificando las principales relaciones de concepto y

vocabulario dentro de una unidad de estudio.

Un organizador gráfico es una presentación visual de conocimientos que presenta información rescatando

aspectos importantes de un concepto o materia dentro de un armazón usando etiquetas. Los denominan de

diferentes formas como: mapa

semántico, organizador visual,

cuadros de flujo, cuadros en

forma de espinazo, la telaraña de

historias o mapa conceptual, etc.

Los organizadores gráficos

presentan información de

manera concisa, resaltando la

organización y relación de los

conceptos. Pueden usarse con

cualquier materia y en cualquier

nivel. Daniel A. Robinson (1998) realizó una investigación sobre organizadores gráficos y sugiere que los maestros

e investigadores usen sólo aquellos organizadores creados para principiantes y los que se adaptan al contenido.


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¿Por qué debo usar O.G en el proceso de enseñanza y aprendizaje?

1.- Ayudan a enfocar lo que es importante porque resaltan conceptos y vocabulario que son claves y las

relaciones entre éstos, proporcionando así herramientas para el desarrollo del pensamiento crítico y creativo

(BROMLEY, IRWIN DE VITIS, MODLO, 1995).

2.- Ayudan a integrar el conocimiento previo con uno nuevo.

3.- Motivan el desarrollo conceptual.

4.- Enriquecen la lectura, la escritura y el pensamiento.

5.- Promueven el aprendizaje cooperativo. Según Vygotsky (1962) el aprendizaje es primero social; sólo

después de trabajar con otros, el estudiante gana habilidad para entender y aplicar el aprendizaje en forma

independiente.

6.- Se apoyan en criterios de selección y jerarquización, ayudando a los aprendices a “aprender a

pensar”.

7.- Ayudan a la comprensión, remembranza y aprendizaje.

8.- El proceso de crear, discutir y evaluar un organizador gráfico es más importante que el organizador

en sí.

9.- Propician el aprendizaje a través de la investigación activa.

10.- Permiten que los aprendices participen en actividades de aprendizaje que tiene en cuenta la zona

de desarrollo próximo, que es el área en la que ellos pueden funcionar efectivamente en el proceso de

aprendizaje (Vygotsky, 1962).

11.-Sirven como herramientas de evaluación.


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¿Qué tipos de O.G. hay?

Para Bromley, Irwin De Vitis y Modlo (1999), la gran variedad y combinaciones posibles de organizadores

gráficos están dentro de las siguientes categorías básicas.

Mapas Conceptuales:

El mapa conceptual es una técnica creada por Joseph D. Novak (1988) para organizar y representar información

en forma visual que debe incluir conceptos y relaciones que al enlazarse arman proposiciones.

Propone la posibilidad de comprender un concepto nuevo relacionándolo con aquellos que ya se poseen. El mapa

conceptual es una representación esquemática de las relaciones de esos contenidos. Es un recurso que permite

seleccionar los conceptos más importantes de un tema, jerarquizarlos desde los más generales hasta los menos

abarcativos y luego relacionarlos por medio de flechas. El mapa puede incluir o no conectores, pero lo más

importante es que solamente puede leerse de arriba hacia abajo, es decir de lo general a lo particular. Además,

los conceptos que aparecen encerrados en los recuadros, siempre o casi siempre son sustantivos.

Son valiosos para construir conocimiento y desarrollar habilidades de pensamiento de orden superior, ya que

permiten procesar, organizar y priorizar nueva información, identificar ideas erróneas y visualizar patrones e

interrelaciones entre diferentes conceptos.

Cuadros Sinópticos:

Los cuadros sinópticos presentan una caracterización de temas y subtemas, organizando jerárquicamente la

información en un diagrama mediante el sistema de llaves o por medio de tablas. Brindan una estructura global

coherente de una temática y sus múltiples relaciones.

Principalmente existen dos formas de realizarlos. La más conocida es por medio de llaves, donde se presenta la

información de lo general a lo particular, respetando una jerarquía, de izquierda a derecha. También pueden

presentarse mediante tablas, sin embargo, el esquema de llaves o cuadro sinóptico es el más indicado para


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aquellos temas que tienen muchas clasificaciones y tiene la ventaja de ser el más gráfico de todos, por lo que

favorece el ejercicio de la memoria visual. Para organizar la información con el sistema de llaves, podemos

hacerlo siguiendo la guía que se muestra a continuación:

Mapas Semánticos (Redes conceptuales)

Los mapas semánticos han sido creados sobre todo para el análisis de textos. Se han aplicado a todos los niveles

de la educación. Pueden utilizarse como apoyo previo a la lectura o como organizadores de la información que

contiene un texto.

Se trata de organizadores gráficos que parten de una idea central a partir de la que surgen varias líneas de trabajo

con diferentes aspectos complementarios entre sí.

En el caso de las redes conceptuales suele colocarse conectores. Puede leerse de diferentes formas.


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Mapas Mentales:

Los mapas mentales son representaciones gráficas de una idea o tema y sus asociaciones con palabras clave, de

manera organizada, sistemática, estructurada y representada en forma radial.

Los mapas mentales como herramienta permiten la memorización, organización y representación de la

información con el propósito de facilitar los procesos de aprendizaje, administración y planeación organizacional

así como la toma de decisiones.

Para Tony Buzán, el mapa mental “es una representación gráfica de un tema, idea o concepto empleando dibujos

sencillos; escribiendo palabras clave propias, utilizando colores, códigos, flechas, de tal manera que la idea

principal quede al centro del diagrama y las ideas secundarias fluyan desde el centro como las ramas de un árbol.

En los mapas mentales se pueden identificar cuatro características esenciales:

1. El asunto o motivo de atención, se cristaliza en una imagen central.

2. Los principales temas del asunto irradian de la imagen central en forma ramificada.

3. Las ramas comprenden una imagen o una palabra clave impresa sobre una línea asociada. Los puntos

de menor importancia también están representados como ramas adheridas a las ramas de nivel superior.

4. Las ramas forman una estructura nodal conectada.

Los mapas conceptuales se desarrollan a partir de conceptos, los mapas mentales a partir de ideas o imágenes,

aprovechan la lluvia de ideas y las palabras clave como recurso.

De esta manera, "...un mapa mental consiste en una palabra o idea principal; alrededor de esta palabra se asocian

5 - 10 ideas principales relacionadas con este término. De nuevo se toma cada una de estas palabras y a esa se

asocian 5 - 10 palabras principales relacionadas con cada uno de estos términos. A cada una de estas ideas se

pueden asociar otras tantas.


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Diagramas Causa-Efecto:

El Diagrama Causa-Efecto que usualmente se llama Diagrama de “Ishikawa”, por el apellido de su creador;

también se conoce como “Diagrama Espina de Pescado” por su forma similar al esqueleto de un pez. Está

compuesto por un recuadro (cabeza), una línea principal (columna vertebral) y 4 o más líneas que apuntan a la

línea principal formando un ángulo de aproximadamente 70 grados (espinas principales). Estas últimas poseen a

su vez dos o tres líneas inclinadas (espinas), y así sucesivamente (espinas menores), según sea necesario de

acuerdo a la complejidad de la información que se va a tratar.

El uso de este organizador gráfico resulta apropiado cuando el objetivo de aprendizaje busca que los estudiantes

piensen tanto en las causas reales o potenciales de un suceso o problema, como en las relaciones causales entre

dos o más fenómenos.

Mediante la elaboración de Diagramas Causa-Efecto es posible generar dinámicas de clase que favorezcan el

análisis, la discusión grupal y la aplicación de conocimientos a diferentes situaciones o problemas, de manera

que cada equipo de trabajo pueda ampliar su comprensión del problema, visualizar razones, motivos o factores

principales y secundarios de este, identificar posibles soluciones, tomar decisiones y, organizar planes de acción.


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Diagramas de Flujo:

Se conocen con este nombre las técnicas utilizadas para representar esquemáticamente bien sea la secuencia

de instrucciones de un algoritmo o los pasos de un proceso. Esta última se refiere a la posibilidad de facilitar la

representación de cantidades considerables de información en un formato gráfico sencillo. Un algoritmo está

compuesto por operaciones, decisiones lógicas y ciclos repetitivos que se representan gráficamente por medio

de símbolos estandarizados por la ISO: óvalos para iniciar o finalizar el algoritmo; rombos para comparar datos y

tomar decisiones; rectángulos para indicar una acción o instrucción general; etc. Son Diagramas de Flujo porque

los símbolos utilizados se conectan en una

secuencia de instrucciones o pasos

indicada por medio de flechas.

Utilizar algoritmos en el aula, para

representar soluciones de problemas,

implica que los estudiantes: se esfuercen

para identificar todos los pasos de una

solución de forma clara y lógica

(ordenada); se formen una visión amplia y

objetiva de esa solución; verifiquen si han

tenido en cuenta todas las posibilidades

de solución del problema; comprueben si hay procedimientos duplicados; lleguen a acuerdos con base en la


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discusión de una solución planteada; piensen en posibles modificaciones o mejoras (cuando se implementa el

algoritmo en un lenguaje de programación, resulta más fácil depurar un programa con el diagrama que con el

listado del código).

Adicionalmente, los diagramas de flujo facilitan a otras personas la comprensión de la secuencia lógica de la

solución planteada y sirven como elemento de documentación en la solución de problemas o en la

representación de los pasos de un proceso.

Diagramas de Venn:

Este es un tipo de Organizador Gráfico que permite entender las relaciones entre conjuntos. Un típico Diagrama

de Venn utiliza círculos que se sobreponen para representar grupos de ítems o ideas que comparten o no

propiedades comunes. Su creador fue el matemático y filósofo británico John Venn quién quería representar

gráficamente la relación matemática o lógica existente entre diferentes grupos de cosas (conjuntos),

representando cada conjunto mediante un óvalo, círculo o rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores

figuras geométricas, la región en que confluyen indica la existencia de un subconjunto que tiene características

que son comunes a ellas; en el área restante, propia de cada figura, se ubican los elementos que pertenecen

únicamente a esta. En ejemplos comunes se comparan dos o tres conjuntos; un diagrama de Venn de dos

conjuntos tiene tres regiones claramente diferenciadas: A, B y [A y B]:

Los diagramas de Venn tienen varios usos en educación. Ejemplos de lo anterior son: en la rama de las

matemáticas conocida como teoría de conjuntos; su uso como herramienta de síntesis, para ayudar a los

estudiantes a comparar y contrastar dos o tres conjuntos, uso este en el que como ya se dijo, se incluyen dentro

de cada componente, las características exclusivas y, en las intersecciones, las comunes.


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5. MATERIAL DEL TALLER DEL ROL DEL PROF. DE MATEMÁTICA EN EL AULA


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Reflexiones sobre la sensación de estar en deuda con un antiguo maestro La señora Theresa Henzi fue mi profesora de álgebra del primer año del colegio secundario en Vineland, New Jersey, en 1942. Era una mujer corpulenta, más baja que el promedio, de apariencia casi regordeta y de vestir poco distinguido –vestidos inclasificables con el dobladillo a media pierna, alfiler de camafeo en el cuello y zapatos “discretos” de tacón bajo y cordones–. Tenía tobillos gruesos y llevaba unos anteojos octogonales sin marco cuyos cristales reflejaban la luz la mayor parte del tiempo, lo cual hacía difícil leer la expresión de su mirada. Tenía una cara redonda y agradable enmarcada por un pelo castaño ondulado, veteado de gris. Supongo que aquel año en que fue mi profesora tendría unos cincuenta y cinco años o quizás algo más. Lo que recuerdo más vívidamente de las tempranas clases matutinas de la señora Henzi es el modo que tenía de revisar las tareas para el hogar, que nos había asignado. Hacía pasar a la pizarra, situada al frente del aula, a tres o cuatro alumnos para que estos resolvieran los problemas que nos había encargado el día anterior. Normalmente se trataba de ejercicios de ecuaciones extraídos del libro de texto en los que se pedía simplificar las operaciones y despejar el valor de x. La señora Henzi, de pie junto a la pared opuesta a las ventanas, con sus anteojos resplandeciendo por el reflejo de la luz, leía el problema en voz alta para que los estudiantes que estaban junto a la pizarra lo copiaran y resolvieran mientras el resto de la clase observaba. A medida que cada alumno terminaba sus cálculos se volvía hacia la clase y se corría un poco para permitir que los demás vieran su trabajo. La señora Henzi revisaba cuidadosamente cada solución (como hacíamos todos los demás que nos hallábamos sentados), y prestaba atención no sólo al resultado sino también a cada paso dado para llegar a él. (Todos los cálculos debían exponerse en detalle sobre la pizarra.) Si todo estaba bien, la profesora enviaba al


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alumno de regreso a su banco con una palabra de elogio y asintiendo brevemente con la cabeza. Si el alumno había cometido un error, lo instaba a revisar su trabajo para ver si él mismo podía descubrirlo. “Allí hay algo que está mal, Robert”, decía. “Míralo de nuevo.” Si después de unos pocos segundos de escrutinio, Robert no podía detectar su error, la señora Henzi pedía un voluntario (normalmente se ofrecían muchos voluntarios) para que señalara dónde se había equivocado su desventurado compañero. La parte más memorable de esta rutina diaria habitualmente ocurría en medio de cada una de esas rondas de cálculos en la pizarra antes de que mi siquiera el más veloz de los alumnos hubiera terminado su trabajo. En algún momento, la señora Henzi ladraba una orden que ya se había convertido en hábito. Sin embargo, el instante preciso en que la daría siempre era inesperado, además el volumen de esa exclamación hacía que toda la clase reaccionara con un sobresalto. “¡MUCHO OJO!”, tronaba. Al principio, rara vez estaba uno seguro de a quién se dirigían esas palabras, si es que se dirigían a alguien en particular. A menudo sonaban como si estuvieran destinadas a todos nosotros. Pero otras veces la dirección de la mirada de la señora Henzi hacía evidente que ella había detectado un error en el desarrollo del ejercicio y advertía al perpetrador que estaba por descarriarse y que marchaba hacia un Waterloo algebraico. Como no siempre estaba claro cuál de los alumnos era el que había cometido la falta, el efecto de cada una de esas exclamaciones, además de sobresaltar a todos, era impulsar a quienes permanecíamos sentados a examinar con renovado fervor la pizarra en busca del error que la señora Henzi con su mirada de rayos X parecía haber captado casi antes de que se cometiera. En respuesta a esas advertencias inesperadas, los alumnos que se hallaban junto a la pizarra no siempre mejoraban su atención. A veces, uno o más de ellos, convencidos de ser el blanco del estallido de la señora Henzi, volvían a revisar los cálculos que ya habían completado y en el proceso se ponían tan nerviosos que terminaban agregando errores donde no habían cometido ninguno. Aun cuando no pudieran encontrar ninguna falla en el trabajo previo, a veces persistían en su búsqueda durante algún tiempo antes de volver al punto adonde habían dejado, y a todo esto perdían un buen rato. No obstante, en una perspectiva más general, la exclamación de la señora Henzi ejercía un efecto positivo. Cada vez que ella repetía aquel estribillo “¡MUCHO OJO!”, era la clase, en su conjunto, la que elevaba su nivel de atención. El recuerdo de lo que ocurrió durante aquel año en la clase de la señora Henzi se ha vuelto ahora borroso e impreciso en su mayor parte. Recuerdo que hacíamos muchos ejercicios sentados en nuestros asientos y creo que semanalmente, los viernes, se nos tomaba un examen, por lo menos eso es lo que mi memoria me permite evocar en cuanto a hechos específicos. Es bastante extraño que no retenga yo ninguna imagen visual de la señora Henzi en el acto de realizar lo que hoy a veces se conoce como “enseñanza frontal”, es decir, el profesor de pie frente a la clase, con una tiza en la mano, dando instrucciones directas sobre cómo hacer esto o aquello. Trato de imaginármela en esa postura, que –estoy seguro– ella debe de haber adoptado en innumerables ocasiones, pero todo lo que obtengo es esa imagen de la señora Henzi parada a un costado del aula supervisando la revisión diaria de las tareas que habíamos realizado en casa, con los cristales de sus lentes octogonales relampagueando como dos espejos gemelos al reflejar la luz de las ventanas. Al mismo tiempo puedo recordar con facilidad una considerable cantidad de sustancia académica de lo que ocurrió aquel año. Recuerdo, por ejemplo, varias de las reglas que empleábamos para resolver las ecuaciones. Esa era la manera en que se enseñaba álgebra por aquellos días o por lo menos esa era la manera en que la aprendíamos. No se hacía ningún esfuerzo por inculcarnos el entendimiento que hoy procuran los profesores de matemática. Aprendíamos a resolver ecuaciones y punto. Y lo hacíamos aplicando reglas. “Separar en términos”, “Simplificar las expresiones”, “Eliminar los paréntesis”, “Cambiar de signo al pasar al otro lado”, eran algunas de esas reglas. Tales máximas eran bastante fáciles de recordar y lo lindo era que surtían efecto. Uno nunca se molestaba en preguntar por qué. Lo fundamental era “averiguar el valor de x” y, mientras uno llegara a la respuesta correcta, ¿a quién le importaban los principios sobre los que se basaba esa respuesta? Años después, cuando fui a la universidad, comencé a comprender por qué algunas de aquellas reglas que había aprendido en el colegio secundario


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funcionaban tan bien como lo hacían. Pero mientras duró mi permanencia en la clase de la señora Henzi, el álgebra era como un automóvil que uno podía conducir sin saber nada en absoluto de lo que ocurría debajo del capó. En el término de unos pocos meses logré convertirme en un conductor bastante bueno de la máquina de “averiguar el valor de x” de la señora Henzi. Terminé el año con un sobresaliente en álgebra y, lo que es más importante, salí de aquella experiencia con el firme deseo de continuar estudiando matemática. (Ese deseo fue temporalmente aplastado al año siguiente, es triste decirlo, pero no hace falta relatar aquí los detalles de ese capricho del destino; baste mencionar que, retrospectivamente, culpo de ello a una mala enseñanza.) ¿Qué parte le correspondió a la señora Henzi en mi éxito inicial y en alimentar mi deseo de saber más matemática? ¿Qué más, aparte de las reglas de álgebra, aprendí durante su tutela? La verdad es que no lo sé con certeza. Aquel año la señora Henzi fue, sin reservas, mi profesora favorita, eso lo recuerdo con claridad y muchos años después seguía refiriéndome a ella como tal. En realidad, aún hoy ciertamente la incluiría entre los profesores más memorables que tuve a lo largo de mi vida. Pero, con absoluta honestidad, no estoy del todo seguro de las razones por las cuales la recuerdo tan vívidamente ni de por qué sigo pensando en ella, tantos años después, con una mezcla tan curiosa de simpatía y desconcierto. Que aquel año yo aprendiera mucho de álgebra seguramente tuvo alguna relación con la parte de la simpatía; no guardo dudas en ese sentido. Pero me sorprendería que la explicación concluyera allí. Es más: creo que sería difícil determinar qué fue primero, si mi agrado por la señora Henzi o el éxito que obtuve dominando la materia que ella enseñaba. Sospecho que ambas cosas estuvieron estrechamente entretejidas y no tengo la menor idea de cómo desenmarañarlas. No obstante, me siento impulsado a reflexionar sobre esa maraña y sobre todos los sentimientos que aún experimento asociados al recuerdo de la señora Henzi. Me parece que tales cuestiones conciernen a ciertos aspectos cruciales de la enseñanza que rara vez se indagan. También conciernen a un asunto mucho más ambicioso: en el plano nacional, ¿cómo concebimos a nuestras escuelas y la misión que estas deben cumplir? En la raíz de mi incertidumbre sobre cómo interpretar mi persistente recuerdo de la señora Henzi y los sentimientos mezclados que lo acompañan, subyace la profunda sospecha de que lo que aprendíamos en su clase no se limitaba en modo alguno al álgebra. Al mismo tiempo, sin embargo, como ya lo reconocí, no puedo describir ese aprendizaje adicional (si es que se lo puede llamar así), del mismo modo en que puedo describir mi conocimiento de álgebra, como tampoco puedo afirmar con seguridad que en realidad existió. Entonces, ¿por qué persisto en pensar que sí? Sigo creyendo en la adquisición de ese aprendizaje adicional en parte porque sé que así es como opera la influencia humana. En otras esferas de mi vida, a menudo tuve la experiencia de advertir tardíamente que alguien o algo me había dejado su huella sin que yo lo supiera. Seguramente esto es algo que nos ha ocurrido a todos. ¿Quién no se ha sentido impulsado en uno u otro momento a decir algo así como: “Sólo ahora me doy cuenta de lo que tal y cual significó para mí” o “Ahora veo cuánto cambié desde que ocurrió aquello”? A veces esta toma de conciencia es más casual y no la acompaña la sensación de haber descubierto las fuerzas ocultas que nos formaron. Nos encontramos charlando sobre algo y súbitamente nos damos cuenta de que utilizamos una expresión que pertenece a un amigo o a una relación cualquiera, o, de manera aún más sutil, alguien hace ese descubrimiento por nosotros. “Parecías tu madre cuando dijiste eso”, nos señala la persona que está con nosotros y, “Entre paréntesis, ¿te diste cuenta de que te mordisqueas el labio cuando estás preocupado, exactamente como hacía ella?”. Tales experiencias habitualmente nos sorprenden. Si nos molestáramos en examinarlas un poco más tal vez terminaríamos preguntándonos qué otras cosas hemos heredado de la misma fuente o de otros y aún no hemos descubierto. ¿Qué otras fuerzas modeladoras han influido en nuestra vida y todavía no lo sabemos? ¿Estarán entre ellas nuestros maestros casi olvidados? ¿Estará incluida la señora Henzi? Era muy seria. O por lo menos así la recuerdo. Ciertamente el álgebra no era broma. Y no se hacían chistes en su clase. ¿Qué puede tener de divertido averiguar el valor de x? Los chistes se hacían en el patio o en el autobús de


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camino a la escuela. A veces sus vestigios eran contrabandeados hasta el aula y pasaban de escritorio en escritorio o eran telegrafiados por todo el salón a través de una red no demasiado sutil de guiños, susurros y risitas disimuladas. Pero tales intercambios rara vez se prolongaban. Pronto teníamos que dedicarnos a los quehaceres formales. “Esther, Raymond, Paul y Phyllis. A la pizarra, por favor”, decía la señora Henzi. Y mientras los cuatro pasaban al frente, el resto de nosotros, salvo unos pocos impacientes y solícitos castores, lanzábamos un suspiro de alivio y agradecíamos a nuestra buena estrella que nos había permitido evadir el inflexible escrutinio del ojo penetrante de la señora Henzi, por lo menos en la primera ronda. De todos modos, nuestro turno pronto llegaba. ¿Era eso lo que nos enseñaba la señora Henzi? ¿A tomarnos seriamente el álgebra? ¿O fue la propia álgebra la que nos enseñó tal cosa? Si así fuera, sin duda la señora Henzi reforzó esa enseñanza. En su clase no se perdía el tiempo en bromear. A nadie se le ocurría simular que sabía la respuesta si no la sabía. Y, por supuesto, esa era la parte más hermosa de la materia, o por lo menos así me parecía a mí en aquella época. Siempre había una respuesta, y una respuesta correcta. Todo era tan imparcial. No tenía importancia quién fuera uno m con cuánta nitidez escribiera en la pizarra ni con qué suficiencia sonriera al terminar su trabajo y volverse hacia la profesora. Allí estaba el resultado para que todos lo vieran: x = 6. ¿Estaba bien? ¿O estaba mal? Tema que ser una cosa o la otra. No había ningún “si” ni ningún “pero” ni ningún “tal vez”. ¿Era esa una de las enseñanzas implícitas? Quizá, pero es difícil comprender por qué esa enseñanza tenía mucha más fuerza en una clase de álgebra que, por ejemplo, en una clase de aritmética de primer grado. El hecho de que dos más dos siempre es cuatro y nunca cinco nos enseña tanto sobre la precisión y la imparcialidad de los números como puede hacerlo cualquier lección de álgebra. O por lo menos es lo que parece. Tal vez una comprensión más esencial tenía algo que ver con el hecho de darse cuenta de que las cosas difíciles pueden llegar a ser fáciles si uno las va dominando paso a paso. Porque ciertamente en la clase de la señora Henzi también aprendíamos eso. Nuestro dominio del álgebra avanzaba lenta y firmemente, como un tren que recorre una vía gradualmente ascendente. Había pocos huff y puff y la pendiente apenas se advertía. Pero si uno perdía un día o dos ¡BRUM!: el camino hacia la recuperación se empinaba en un ángulo que hacía acelerar los latidos del corazón. Por lo tanto, sólo unos pocos perdían alguna clase si podían evitarlo, y si la perdíamos, tratábamos de que algún compañero nos diera las tareas asignadas para el hogar junto con una explicación sobre el modo de resolver el conjunto de ecuaciones cada vez más complicadas. Cuando yo me sentaba en casa a hacer las tareas después de la escuela, normalmente hacía primero las de álgebra. No recuerdo ahora si era más agradable completarlas que a las tareas de las demás materias o si yo tenía más miedo a las consecuencias si no las hacía; lo que recuerdo bien es que no era una buena idea rehuir las tareas de álgebra, independientemente de qué quedara sin hacer. ¿Debo aprobar o culpar a la señora Henzi por ordenar de ese modo mis prioridades? En cierto sentido, ciertamente. ¿Se transfirió ese hábito de dejar muy rara vez de cumplir mis tareas de álgebra a las demás asignaturas escolares y posiblemente hasta a mi vida en general? ¿Quién sabe? Por cierto, álgebra no era la única materia en la que yo cumplía mis tareas debidamente. ¿Qué huella dejó –si es que dejó alguna– la realización responsable de aquellas tareas en mi carácter? ¿Cómo podríamos responder a semejante pregunta? ¿Por qué querríamos responderla? ¿Qué diferencia habría? El Tractatus de Wittgenstein termina con las siguientes palabras: “Wovon man nicht sprechen kann, darüber mu man schweigen” (“Aquello de lo que no podemos hablar, debemos pasarlo por alto en silencio”). Parece un buen consejo. Quizá deberíamos tomarlo al pie de la letra al referirnos a personas como la señora Henzi y a su influencia real o imaginada. Ya que somos incapaces de hablar de esa influencia con alguna certeza, ¿por qué no dejarla pasar en silencio? Por supuesto, eso es precisamente lo que hacemos la mayor parte del tiempo. ¿Con cuánta frecuencia pensamos en los cambios que marcaron –si es que marcaron algunos– tales docentes en nuestra vida? ¿Con cuánta frecuencia piensan los propios docentes en esos términos? Tiendo a suponer que no muy a menudo.


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En realidad, sospecho que la mayor parte de los adultos apenas si recuerda los nombres de muchos de los docentes que tuvieron a lo largo de su vida, y que aún menos pueden señalar con precisión lo que aquellos tutores ahora anónimos pueden haber hecho por ellos durante los meses o hasta los años de su tutela. ¡Oh!, por supuesto, hay notables excepciones. Algunas personas son capaces de recordar a cada uno de los docentes que tuvieron y quizá todos podamos recordar a uno o dos docentes excepcionales (o más, si fuimos afortunados), aquellos que marcaron, como decimos, “un cambio real en nuestra vida” y que tal vez lo hicieron con una precisión tan dramática que todavía podemos rememorar el hecho específico o las palabras exactas que marcaron ese cambio. Pero de los docentes promedio, adocenados, de esos cuyos nombres podemos haber olvidado, ¿qué se puede decir aparte de que “los tuvimos” en tal o cual materia o en tal o cual año? No obstante, ¿hay mucha diferencia con el resto? La señora Henzi fue sin duda una de esas docentes memorables de las cuales la mayoría de nosotros tuvo unas pocas si fue afortunado. Sin embargo, cuando hoy trato de encontrar indicios de su influencia, no puedo decir con certeza qué le debo, si es que le debo algo. Todo lo que se me aparece es ese tonto asunto de que ella solía exclamar “¡MUCHO OJO!” cuando los alumnos revisaban las tareas para el hogar en la pizarra. ¿Cómo deberíamos tomarlo? ¿Deberíamos considerarlo una prueba de mi débil memoria o es posible que yo me engañara a mí mismo todos estos años y que la señora Henzi no ha ya tenido en mi vida un rol más importante que el que tuvo la señorita cómo-se llamaba que enseñaba inglés en segundo año del mismo colegio secundario o el señor no-se-cuánto-stein que enseñaba física? Por cierto estoy dispuesto a aceptar la posibilidad de que yo haya estado engañándome a mí mismo durante todo este tiempo, entregándome a una forma de sentimentalismo decididamente pasada de moda y que a esta altura de mi vida ya debí superar, pero antes de relegar a la señora Henzi a la lista de los profesores cuyos nombres uno ya no puede recordar, me siento impulsado por una obra filosófica que leí recientemente a intentar otra perspectiva. Para poder adoptarla debo apartarme de mis recuerdos de la señora Henzi y de mis pensamientos sobre tales recuerdos, por lo menos a una distancia que me permita advertir la semejanza que tienen con un fenómeno muy conocido e históricamente significativo con el que todo adulto educado está familiarizado al menos casualmente. Me refiero a la tradición de escepticismo que aflora de forma recurrente en la historia de la filosofía y lo ha hecho durante milenios. En el marco de lo que se llama la “filosofía moderna”, Descartes es la persona con la que la mayor parte de nosotros asocia inmediatamente el escepticismo como punto de vista. Todo estudiante secundario conoce su famoso “cogito ergo sum” por haber sido esta frase la defensa última interpuesta por el filósofo francés contra la insidiosa invasión de una duda que lo consumía todo. Pero difícilmente el escepticismo terminaría con Descartes. De una forma u otra continuó perturbando el sueño de casi todos los filósofos importantes desde aquellos días hasta los nuestros. Además, como una especie de dolencia física, el escepticismo no es en modo alguno privativo de los filósofos. Se sabe que, en diferentes versiones, ha atacado a críticos literarios, a analistas políticos y a artistas de todo tipo. Los deconstructivistas actuales, que ponen el foco de la duda en la significación correspondiente a las palabras, son sus víctimas más recientes. Es más, el escepticismo tiene un modo no sólo de desbordar sus límites e invadir otras esferas del pensamiento humano, sino también de propagarse como un reguero de pólvora allí donde puede asirse. Comentando esa ingobernabilidad en lo que concierne a la explosión de ironía (una forma de escepticismo) que hay en la literatura, Paul de Man (1983) observa: “En el momento en que la inocencia o la autenticidad de nuestra sensación de estar en el mundo se pone en tela de juicio, entra en acción un proceso para nada inofensivo. Este proceso puede comenzar como un jugueteo casual con una hebra suelta del tejido, pero pronto toda la textura del yo se desenmaraña y deshace por completo. Todo el proceso se da a una velocidad inquietante. La ironía posee una tendencia propia a ganar impulso y a no detenerse hasta haber completado plenamente su trayecto; desde la breve y aparentemente inocua [y hasta potencialmente terapéutica] revelación de un pequeño autoengaño, pronto alcanza las dimensiones de lo absoluto” (pág. 215).


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Aunque la duda escéptica se ha presentado con variadas formas en distintas épocas, dos de sus formas más conocidas en filosofía son las que ponen en tela de juicio la realidad de un mundo exterior y la existencia de otras mentes. La más radical de las dos es el escepticismo respecto de la existencia del mundo exterior que afirma nuestra incapacidad de entrar en contacto directo con una realidad exterior a nosotros justamente porque sólo podemos experimentar el mundo a través de nuestros sentidos. El escepticismo acerca del alter ego sostiene que somos incapaces de experimentar el mundo de los otros desde otra perspectiva que no sea la propia, una condición que inevitablemente cuestiona la validez de lo que los demás nos cuentan sobre sus experiencias y, en última instancia, cuestiona la realidad de su vida psíquica, que es sobre lo que aparentemente nos informan. Difícilmente este sea el lugar adecuado para ofrecer siquiera un panorama de manual elemental sobre un tema tan importante, pero existen otros dos rasgos de la posición escéptica que merecen un breve comentario. El primero es que las dudas del escéptico son contraintuitivas. A la mayor parte de la gente le dan la impresión de ser un ataque contra el sentido común. En realidad, esa es la impresión que casi siempre causan a los propios escépticos. Y ahí está precisamente la fuente de su atracción y también de su revulsión. Por un lado, parecen ridículas; y por el otro, lógicamente convincentes. David Hume (1969 [1739]) una vez comentó de manera memorable lo que le había provocado el pensamiento escéptico y cómo lo había afrontado. Esos pensamientos, decía: “me impresionaron tanto y enardecieron mi cerebro hasta el punto de que estoy dispuesto a rechazar toda creencia y todo razonamiento, y no puedo considerar que ninguna opinión sea más probable o más admisible que otra. ¿Dónde estoy o qué soy? ¿A qué causas debo mi existencia y a qué condiciones regresaré? ¿Los favores de quiénes debo solicitar y la ira de quiénes debo temer? ¿Qué seres me rodean? y ¿sobre quién tenga influencia o quién ejerce influencia en mí? Me siento confundido por todas estas preguntas y comienzo a percibirme en la más deplorable de las condiciones imaginables, rodeado por la más profunda oscuridad y completamente privado del uso de mis miembros y mis facultades. “Por fortuna ocurre que, puesto que la razón es incapaz de disipar estas nubes, la naturaleza misma satisface ese propósito y me cura de esta melancolía filosófica y este delirio, ya sea aflojando esta inclinación del espíritu, ya sea mediante alguna distracción que impresiona vívidamente mis sentidos, lo cual destruye todas estas quimeras. Ceno, juego una partida de backgammon, converso y me regocijo en compañía de mis amigos; y cuando, después de tres o cuatro horas de esparcimiento, reanudo estas especulaciones, estas parecen tan frías, tan forzadas y ridículas que ya no puedo encontrar el entusiasmo para continuar adentrándome en ellas” (pág. 316). ¡Vaya con la celebrada cura de Hume! Un remedio seguro para los aficionados al backgammon, supongo. Otros procuraron disipar ese tipo de dudas, propias o de aquellos escépticos con quienes conversaban, pateando guijarros, pellizcándose o levantando un puño ante la nariz de su oponente gritando: “¡Mira!”. En suma, la propensión natural parece ser desembarazarse de tales aprensiones mucho antes de que estas se apoderen de nosotros o, si ya nos han atrapado, liberarnos de ellas en cuanto las circunstancias lo permitan. Como lo ilustra claramente el ejemplo de Hume, es sabido que la proximidad de un amigable pub ayuda. Un segundo rasgo del escepticismo como posición filosófica, que quiero resaltar, es que el escéptico no pone en duda nuestra creencia en un mundo exterior o en las mentes de los otros, sino nuestro conocimiento de que tales cosas existan. La duda, en otras palabras, es fundamentalmente epistemológica. No es una expresión de incertidumbre sobre la manera en que nos gustaría que fueran las cosas ni sobre cómo nos parece que son. Antes bien, concierne a las enunciaciones sobre la realidad y a los fundamentos del conocimiento que tenemos de ella. Entre los múltiples esfuerzos encaminados a despejar las dudas del escéptico, una solución muy reciente es la propuesta por Stanley Cavell, el filósofo de Harvard cuyos escritos prueban la relación entre filosofía y literatura. Fueron precisamente las ideas de Cavell las que me hicieron reflexionar sobre una posible conexión entre mis


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propios recelos sobre la influencia ejercida por la señora Henzi y aquellas dudas clásicas que perturbaron a los filósofos a través de los siglos. Difícilmente sea este el lugar adecuado para desarrollar una exposición sobre el manejo que Cavell hace de la cuestión del escepticismo, que resulta ser el eje central de todos sus escritos, pero tengo que decir una o dos palabras sobre la tendencia general de su argumentación. En esencia, Cavell recomienda abandonar todo esfuerzo por refutar el escepticismo radical de un plumazo. En cambio, nos insta a aprender a vivir con las dudas recurrentes que periódicamente desencadenan la angustia del escéptico. Al mismo tiempo, nos ofrece una interpretación de aquellas dudas, que busca averiguar lo que podría llamarse su naturaleza patológica, una interpretación, desafortunadamente, demasiado complicada para que nos internemos a fondo en ella en esta ocasión. A lo que deberíamos renunciar, concluye Cavell, es a la idea de un conocimiento irrefutable. En su opinión, ambos tipos de escepticismo hacen demandas irrazonables. “Puesto que no podemos saber que el mundo existe”, sostiene, “su presentación ante nosotros no puede ser una función del conocimiento. El mundo debe ser aceptado; así como la presencia de otras mentes no debe ser conocida, sino reconocida” (Cavell, 1976, pág. 324). Aceptar el mundo y reconocer la presencia de los otros. Esa es la esencia del consejo de Cavell. ¿Cómo se logra eso? Actuando responsablemente, expresando abiertamente el sentido que uno tiene de la afinidad con los demás. “¿No podría ser”, se pregunta Cavell (1979) retóricamente, “que precisamente ese estado del mundo fortuito, sin padre; que precisamente esa radiación de relaciones, de mis preocupaciones y compromisos, me proporcionen el ámbito en el que mejor pueda expresarse mi conocimiento de los demás? Precisamente eso: digamos, esperar a alguien para tomar el té; o retribuir un favor; o despedirse cariñosamente de alguien; ir de compras, de mala gana o con alegría, para un amigo que está en cama con un resfriado; sentirse reprendido y sentir que sería humillante admitir ese sentimiento; simular no comprender que el otro ha interpretado mi expresión –con cierta razón– como si esta hubiese querido decir algo más de lo que yo sinceramente quería significar; refugiarse en el seno del matrimonio; refugiarse fuera del matrimonio; tal vez precisamente de ese tipo de cosas se trate, en su mayor parte, el conocimiento que tenemos de los demás; o de eso se trata para mí” (pág. 439). Michael Fischer (1989), que es un benévolo expositor de los puntos de vista de Cavell, los resume de la manera siguiente: “El escéptico en la existencia del alter ego construye nuestra distancia de los otros en los términos de una ignorancia, con lo cual convierte nuestra finitud metafísica –nuestra separación de los demás– en una falla o un problema intelectual insoluble (no podemos conocerlos). Cavell, en cambio, si bien contempla nuestro solipsismo, lo concibe en los términos de un rechazo y un reconocimiento, que destacan nuestra responsabilidad recíproca con los demás, el papel que desempeñamos en lo que nos une o nos separa” (pág. 74). Ha llegado el momento de establecer la conexión que intuyo entre el escepticismo filosófico en general, el intento de Cavell para resolverlo y mi dificultad para expresar la influencia que ejerció en mí hace tanto tiempo la señora Henzi. En primer lugar, debo apresurarme a rechazar toda pretensión intelectual que pudiera leerse erradamente en improvisado tratamiento del escepticismo filosófico. Sería francamente tonto de mi parte pretender que mis dudas sobre la influencia de la señora Henzi sean siquiera remotamente equivalentes, en importancia filosófica o en gravedad psicológica, a la denodada búsqueda emprendida por Descartes en pos de un fundamento epistemológico o a la ambiciosa lucha de David Hume por extender el territorio de la racionalidad newtoniana. Sin embargo, hay una similitud entre la postura del escéptico y la mía: el deseo compartido de tener alguna certeza, de saber algo en lugar de simplemente creer en ese algo, deseo combinado con la lacerante sospecha de que la empresa de procurar ese conocimiento es fundamentalmente errónea porque no sólo representa una afrenta al sentido común, sino que además, en el largo plazo, sus efectos son abiertamente perniciosos. ¿Esas sospechas compartidas se justifican? Así parece en el caso de las dudas del escéptico sobre la existencia de un mundo exterior o sobre la presencia de otras mentes. Pero, ¿qué podemos decir de un lugar tan común como es la búsqueda de pruebas concretas de la influencia de una antigua docente? ¿Qué hace que ese


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sea un afán errado? ¿Por qué debería tener efectos perniciosos? En mi opinión, lo que resulta desacertado no es la reflexión en sí misma, sino la dirección que toma esa meditación cuando introducimos la exigencia de obtener pruebas rigurosas. Es más, creo que lo que puede tener efectos perniciosos es insistir en estar seguro acerca de tales asuntos, lo cual se parece mucho a la pretensión de certeza del escéptico. En este punto es donde entra en juego la solución recomendada por Cavell. Su repudio de la búsqueda del conocimiento emprendida por el escéptico me lleva a preguntarme si mi exigencia de obtener pruebas o evidencias concluyentes en estas cuestiones no es igualmente irrazonable, sin contar con que además es imposible satisfacerla. Cavell me alienta a confiar en lo que creo, a aceptar mis sentimientos de estar en deuda con la señora Henzi y a reconocerlos por otros medios que no sean el seguimiento de las huellas que pueda haber dejado en mí su legado. ¿Por qué otros medios? Mediante actos de gratitud, quizá. Enviarles una carta a los hijos de la señora Henzi, si es que tuvo hijos, podría haber sido uno de esos gestos. Comprometerme a tratar de ejercer una influencia positiva en la vida de mis propios alumnos, podría ser otro. (Una fantasía se entremete. Por alguna razón, la posibilidad de que yo continúe la obra de mi antigua profesora y lo haga en su honor me trae el recuerdo de una oración pronunciada ante el postrado Ronald Reagan en The Knute Rockne Story: “Esta es por el Gipper”. Me imagino a mí mismo en una postura similar, deteniéndome un instante antes de entrar en el aula. “Esta es por usted, señora Henzi”, susurro con los ojos cerrados mientras giro el picaporte de la puerta. Pero, por supuesto, nunca podría hacer semejante cosa. Mi fantasía es una expresión de cinismo. ¿De dónde procede esa visión cínica? ¿Es nuestro viejo amigo Escepticismo el que me habla con una voz diferente? Me temo que sí.) Para volver a reflexiones más sensatas, quizá la manera más eficaz que tenga yo de hacerme cargo de mi responsabilidad en estas cuestiones sea continuar meditando sobre lo que me brindó la señora Henzi, como lo estoy haciendo ahora. Tal vez si una cantidad suficiente de nosotros se dedicara a considerar estas cuestiones, alcanzaríamos una mejor comprensión de lo que todos los docentes, para bien o para mal, dejan en sus alumnos y hacen por ellos. Al menos esa es mi esperanza y la razón de que dedique todo este tiempo a un conjunto tan lejano y personal de recuerdos. El tipo de reflexión a la que me refiero no implica necesariamente una búsqueda de pruebas concluyentes, aunque tampoco desconocería esas evidencias si existieran. Se trata más bien de llegar a apreciar algo, llegar a comprender la realidad de su significación. “Realizar” es la palabra que más se parece a lo que propongo. ¿Qué significa realizar algo? “Hacer real y efectiva una cosa.” El diccionario Webster dice: “Convertir lo imaginario o ficticio en real”. También agrega: “Hacer que algo parezca real; impresionar en el espíritu como real” (Webster’s New International, 1937, pág. 2072). Precisamente es esa conversión de lo imaginario o ficticio en real, ese hacer que “parezca real”, lo que se me presenta como el punto capital de la cuestión. ¿Cómo ocurre esto? ¿Qué hace que algo tan sutil como la influencia de una persona en otra parezca real? ¿Sólo puede darse mediante la acumulación de pruebas? Ya he dicho que creo que no y he dado como respuesta a la pregunta sobre qué da realidad a tales cosas una sola palabra: reflexión. Otro nombre para el mismo proceso podría ser: meditación. Y sin duda hay otros. ¿Cómo funciona este proceso? Bueno, tomemos como ejemplo el caso de la señora Henzi. Al pensar en la influencia que ella tuvo en mí, al meditar sobre esa influencia, en cierto sentido la he revitalizado. He contribuido a hacerla real, por lo menos para mí. He comenzado a hacer real (en el sentido radical de la expresión) más plenamente lo que ella hizo por mí. Lo que se siente al emprender este proceso es algo que no puede describirse en unas pocas palabras. No conozco ninguna metáfora que lo capte en toda su plenitud. Es como estar buscando un objeto y de pronto encontrarlo, pero no del todo. También se parece a descubrir algo inesperadamente, pero tampoco es eso. Por cierto no se parece a tomar algo de un arcón, ni a desenterrar el cofre de un tesoro. Es más como construir una casa en un árbol aprovechando materiales desparramados al azar en el jardín trasero y los terrenos vecinos, un proceso que, si mal no recuerdo, requiere considerables dosis de ingenio e imaginación. El resultado puede no ser resistente al agua y seguramente no será habitable en todas las estaciones del año, pero


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está allí, cielo santo, está allí arriba para perdurar; eso es seguro. Son testigos las ardillas y los pájaros que picotean su techo con curiosidad y exploran cautelosamente su interior. Como hemos visto, semejantes propósitos siempre entrañan riesgos. Uno es el riesgo del fracaso, que es el mismo riesgo de volverse un escéptico, el riesgo de ver esfumarse ante los propios ojos ese sentimiento inicial de estar en deuda, como el que yo siento hacia la señora Henzi. También se corre un peligro en el otro extremo del espectro: el de crear algo que es absolutamente falso y tratarlo como si fuera verdadero, construyendo un castillo en el aire en lugar de una casa en el árbol. Este último riesgo es el antiguo peligro del autoengaño. Esto es lo que tenemos: la duda escéptica, por un lado, y el autoengaño, por el otro; las Escila y Caribdis del proyecto constructivo por el que abogo aquí. ¿Estos riesgos son iguales y opuestos? ¿Es posible eludir a los dos? En cuanto a la igualdad entre ambos, me parece que cuando la actitud predominante es de gratitud y afecto, como lo es en este caso, el riesgo de renunciar a ella tiene un costo mayor y consecuencias más negativas, tanto en términos psicológicos como sociales, que el riesgo correspondiente de creer lo que es falso. Por lo tanto, mucho mejor si continúo pensando afectuosamente en la señora Henzi, aunque exagere lo que ella hizo por mí, que abandonar todo pensamiento de ella. ¿Por qué digo que es mucho mejor? Simplemente porque vivir en un mundo en el que las personas piensen bien de las demás, aun cuando a veces estas no lo merezcan, resulta ser mucho más deseable que vivir en un mundo en el que no ocurra eso. Pero aunque el autoengaño sea en estas cuestiones Preferible al escepticismo, ¿no hay posibilidad de rehuir ambos peligros? Resulta triste decirlo, pero el panorama no es muy alentador. Si, como afirma Carvell, no es posible refutar el escepticismo de manera concluyente, la tentación de caer en su red de dudas será siempre un peligro. Escila, el legendario monstruo que amenazaba a los marinos en la Antigüedad, nunca se apartará de su roca, al menos no durante el tiempo suficiente para permitir que los seres humanos nos contemos entre quienes logran pasar por el estrecho que ella vigila. Es muy poco lo que podemos hacer en este sentido, continúa sosteniendo Cavell, salvo luchar contra sus consecuencias. A las semillas de la duda las llevamos en lo más profundo de nuestro ser. John Dewey (1929), aunque no llega a decir que el mal del escéptico sea incurable, en su libro The quest for certainty alcanza, como podrán recordarlo fácilmente quienes hayan leído esa obra, una conclusión bastante semejante. “El hombre que vive en un mundo de riesgos se siente obligado a buscar seguridad”, anuncia Dewey al comienzo (pág. 3). Y continúa diciendo que hay dos modos de hacerlo. Uno es “cambiando el mundo mediante la acción”; el otro es “cambiando el propio ser en emoción y en ideas” (pág. 3). Dewey elige el camino de la acción e insta a los demás a hacer lo propio. Pero en ambos casos, aun en la perspectiva optimista de Dewey, los individuos aparecemos caracterizados como seres que aspiramos casi invariablemente a una seguridad mayor y a una base más firme para nuestro hacer y acontecer, como dice el propio Dewey, de las que pueden proporcionarnos nuestros esfuerzos humanos. Lo que esto significa, en otras palabras, es que nuestro anhelo de certeza es poco más o menos insaciable, lo cual deja continuamente entreabierta la puerta al escepticismo. ¿Y qué puede decirse del autoengaño? ¿Puede acaso eludirse por completo? Al decir que no existe ninguna posibilidad de ahuyentar a Escila de su roca, hemos contestado indirectamente la pregunta referida al remolino de Caribdis. Porque si la duda es la condición con la cual debemos vivir, incluirá el riesgo de engañarnos de vez en cuando. Como en el caso de los errores de Tipo I y de Tipo II de que hablan los estadígrafos, los dos tipos de peligro se vinculan entre sí. Cuando uno se acrecienta, el otro correspondientemente disminuye, aunque ninguno desaparezca nunca por completo. Ya he revelado mi inclinación personal cuando se trata de reflexionar sobre los efectos positivos que puedan ejercer los docentes en nuestra vida. En caso de no estar seguro de tales efectos –como hasta cierto punto ha de ocurrirnos siempre–, concedo al docente el beneficio de la duda. Esta me parece una sensata regla empírica que se asemeja a la actitud de buena intención que encuadra nuestro sistema legal y obliga a considerar inocente a toda persona hasta que se compruebe su culpabilidad. Pero, como sabemos, en nuestro sistema legal esa buena intención es sólo preliminar. Precede a la ejecución de justicia. Busca cubrir el


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período de indecisión durante el cual se realizan los procedimientos legales, antes de que el jurado anuncie su veredicto. ¿Qué ocurre en el caso de la enseñanza? ¿Debería aplicarse el mismo razonamiento? Bueno, sí, por supuesto. Siempre deberíamos estar preparados para retirar la confianza a los demás, incluidos los docentes, cuando las convicciones en su contra alcancen la fuerza suficiente. Con todo, cuando nos ponemos a juzgar a los docentes, nuestra buena intención habitualmente no se ve contrarrestada por un aura correspondiente de sospecha y acusación que amenace con imponerse y que por lo tanto se burle de nuestra inicial amabilidad. Después de todo, la enseñanza es una profesión en la cual quienes la practican –por lo menos en su mayor parte– quieren hacer el bien. Esto no significa, desde luego, que todos lo consigan, pero sí implica que esa búsqueda del bien que ellos emprenden no necesariamente debe verse atormentada, al menos no desde el comienzo, por la amenaza de un veredicto culpable. Retomo la imagen de la señora Henzi por última vez. La luz de aquellos cristales octogonales que usaba continúa resplandeciendo en mi espíritu como un faro intermitente cuya fuente está ahora a años luz de distancia. ¿Qué debería hacer yo con ese resplandor intermitente? ¿Contienen algún mensaje esos puntos y rayas? ¿Me están advirtiendo ¡MUCHO OJO, PHILIP!? Eso suena muy apropiado, por supuesto. También lo sería algo referente a que no pierda el rumbo o por lo menos a que lo siga por el camino recto. Soy portador de marcas del año que pasé con la señora Henzi. A esta altura, eso debería quedar profusamente aclarado. Sin embargo, cuando procuro revelar esas marcas, decir cuáles son, ponerlas de manifiesto para que todos puedan verlas, advierto que soy incapaz de hacerlo de un modo que convenza al escéptico, incluso, como debo reconocerlo a la luz de todo lo dicho, al escéptico que hay en mí. Lo que me hace sentir que esta incapacidad mía es importante, lo que la vincula con toda la iniciativa educativa, es que no soy el único que la experimenta. Todos la compartimos, los estudiantes, los padres, los ciudadanos en general y hasta los propios docentes; en realidad, los docentes quizá más que los demás. ¿Quién sabe? Todos, en algún nivel, estamos convencidos de que la enseñanza produce un cambio, a menudo un cambio enorme, en la vida de los estudiantes, y lo hace por alguno de los caminos que he intentado expresar aquí. Sin embargo, con frecuencia nos cuesta mucho convencer a los demás de ese hecho. Por consiguiente, cuando llega el momento de hablar del grado de eficacia con el que funcionan nuestras escuelas o de lo bien que hace su trabajo un grupo particular de docentes, parece que olvidáramos lo que nos ha enseñado la experiencia personal y termináramos invocando pruebas tales como las notas alcanzadas en los tests de rendimiento, actitud que ignora por completo casi todo aquello sobre lo que he venido hablando y a lo que me he referido aquí. Cuando nuestra unidad de interés son las escuelas de toda una ciudad o de todo un estado o cuando se pretende desarrollar pruebas de aptitud para los docentes, aplicables en todo el país, tal vez no haya otra forma de proceder. Pero el hecho (suponiendo que sea un hecho) de que en tales circunstancias debamos limitar nuestra perspectiva hasta el punto de excluir toda consideración de la mayor parte del bien que los docentes en verdad hacen (y quizá también la mayor parte del mal) no disminuye en lo mínimo el terrible peligro que implica hacerlo. Si en los años venideros no somos capaces de reflexionar más profundamente que hoy acerca de algunas de las complejidades que habitan el corazón mismo de la enseñanza, si no somos capaces de apreciar más plenamente el papel que pueden desempeñar y desempeñan los docentes en nuestra vida, estamos condenados a tener aquellas escuelas y aquellos docentes cuyas potencialidades formativas nunca llegan a realizarse. Esta es la premisa cuyas consecuencias continuaré indagando en los siguientes capítulos. Listo. Finalmente, terminé. (Me doy vuelta desde la pizarra y miro a mi profesora.) “¿Está bien, señora Henzi? ¿Es esto lo que debía descubrir? ¿Es este el valor de la incógnita x en la ecuación educativa de hoy?” Ahora puedo verla, asintiendo con la cabeza, mientras el reflejo de un día soleado repite sus destellos en el cielo raso, la pizarra y el suelo.


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6. TUTORIALES PARA EL USO DEL AULA VIRTUAL


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EN EL AULA VIRTUAL: INGRESO MATEMÁTICA ENCONTRARÁ TUTORIALES

SOBRE CÓMO PARTICIPAR DE FOROS Y WIKIS, Y SOBRE CÓMO EDITAR EL

PERFIL PERSONAL.


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CONTRATO PEDAGÓGICO-DIDÁCTICO

IES N° 9-011 Del Atuel

Profesorado para la Educación Secundaria en Matemática

Coordinación del curso de Ingreso: Lic. Prof. Viñolo Sergio D.

Equipo docente del Ingreso:

Mg. Serrano Graciela Prof. Sánchez, Ma. Claudia

Lic. Lifona Ma. Eugenia Lic. Navarro Ma. Del Carmen

Lic. Peruzzi Analía Lic. Sánchez Roberto

Lic. San Blas Débora


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CONTRATO PEDAGÓGICO DIDÁCTICO PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA

INGRESO PM

● Año: Ingreso - Primero ● Campo De la Formación Específica ● Talleres de la Formación Específica:

De los Fundamentos de la Matemática “Iniciación al estudio del Álgebra” “Introducción al pensamiento geométrico” “Conceptualización de la noción de función” “TIC: Explorando GeoGebra”

De la Formación Orientada “El rol del profesor de Matemática en el aula”

● Talleres de la Formación General: De Actualización Formativa

“Práctica de Lectura, Escritura y Oralidad (P.L.E.O.)” ● Formas de Acreditación: Examen Final: “Haciendo matemática” ● Régimen de cursado: Diciembre 2016 - Marzo 2017 ● Aula virtual: Ingreso Matemática ● Coordinación: VIÑOLO Sergio D.

En la ciudad de San Rafael, a los veintidós días del mes de Diciembre del año 2016, los docentes que conforman el equipo del curso introductorio, de ambientación y nivelación: Lic. Prof. Viñolo Sergio D., Mg. Serrano Graciela, Prof. Sánchez, Ma. Claudia, Lic. Lifona Ma. Eugenia, Lic. Navarro Ma. Del Carmen, Lic. Peruzzi Analía, Lic. Sánchez Roberto y Lic. San Blas Débora, y los/las estudiantes, aspirantes a ingresar a la carrera Profesorado de Educación Secundaria en Matemática del IES Nº 9-011, convienen en celebrar el siguiente contrato pedagógico-didáctico , enmarcado en el Reglamento Académico Institucional – Res. 101-DES-15. (RAI). Se enumeran a continuación los criterios aunados por el/la docente y los estudiantes en base a la normativa institucional, sobre los requisitos de cursado, evaluación y pautas de convivencia de la presente unidad curricular. 14

14 Es un derecho del estudiante conocer al comienzo del cursado de la Unidad Curricular la planificación presentada por el/la docente, el programa

de estudios, las condiciones de cursado y los criterios de evaluación para la obtención de la regularidad y la acreditación.


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o Cronograma tentativo y organización del Ingreso PM 2017

DICIEMBRE 2016- ENERO 2017

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MARZO 2017

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TALLER INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

TALLER CONCEPTUALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN

TALLER ROL DEL PROF. DE MATEMÁTICA EN EL AULA

TALLER INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

TALLER TIC TALLER P.L.E.O.

El 22 de Diciembre de 2016 se realizará la Reunión Informativa con los aspirantes a ingresar a la carrera; en la misma se les dará a conocer algunas concepciones inherentes a la carrera (concepto de aprender y enseñar Matemática hoy), pautas de trabajo en relación al curso introductorio, de nivelación y ambientación, material de trabajo, contrato pedagógico-didáctico, etc. En Enero y hasta el inicio del cursado presencial del Ingreso al Profesorado para la E.S. en Matemática (PM), se llevará adelante el período de trabajo no presencial e individual. Para ello el alumno tendrá que resolver, a modo de prerrequisito para el abordaje, comprensión y construcción de las nociones que se trabajarán a lo largo de los distintos talleres del curso de Ingreso, tres trabajos:

1. Taller preliminar: “De lo aritmético a lo algebraico”

2. Taller preliminar: “Sobre construcciones básicas”

3. Pre tarea del Taller 5: “El rol del profesor de Matemática en el aula”

Todos estos se encuentran en el Cuadernillo del curso introductorio, de nivelación y ambientación.

Además se sugiere: a. Leer el cuadernillo en su totalidad, deteniéndose en el Régimen Académico Marco (RAM),la organización del diseño

curricular y los fundamentos de la propuesta de trabajo para el Ingreso a la carrera;

b. Recuperar saberes abordados en relación a: expresiones algebraicas y ecuaciones; triángulos y razones

trigonométricas; función lineal y función cuadrática;

(Para todas las revisiones de nociones matemáticas que realice debe dejar debidamente identificada la fuente de

información ya sea libro de texto, páginas web, videos, apuntes, etc.)

c. Leer el artículo: “Resolución de problemas” del Cuadernillo introductorio, de nivelación y ambientación.


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En Febrero- Marzo se llevará adelante la instancia presencial del curso de Ingreso 2017 a la carrera; durante dicho curso el

alumno asistirá a seis talleres en los que se abordarán nociones específicas que hacen a una primera aproximación a la

carrera visualizando aspectos del rol del profesor de Matemática hoy, como así también vivenciando procesos de

construcción de nociones matemáticas concernientes a tres dominios específicos: algebraico, geométrico y funcional.

1. Taller de TIC: “Explorando GeoGebra” a cargo del Lic. Roberto Sánchez. Para el cursado de este taller, se dividirá el

grupo de aspirantes a ingresar en dos según se informará el primer día de clases. Es necesario que para el dictado de

este taller, el alumno tenga descargado y explorado el software GeoGebra tal como se indica al finalizar el taller

preliminar “Sobre construcciones básicas”.

2. Taller de la Formación Orientada “El rol del profesor de Matemática en el aula” a cargo de la Lic. Ma. Del Carmen

Navarro. Este taller se desarrollará a lo largo de tres instancias presenciales y algunas intervenciones virtuales. Para el

primer día de este cursado se requiere haber resuelto la pre tarea indicada el el material del Taller 5.

3. Taller de la Formación General “Práctica de Lectura, Escritura y Oralidad (P.L.E.O.)” a cargo de la Lic. Analía Peruzzi.

4. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Iniciación al estudio del Álgebra” a cargo de la Mg. Graciela Serrano y

Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es preciso que se haya resuelto el taller preliminar “De lo aritmético

aa lo algebraico” y revisado conceptos en relación a expresiones algebraicas y ecuaciones. Desde el primer día de

cursado presencial, se iniciará la puesta en común.

5. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Introducción al pensamiento geométrico” a cargo de la prof. Claudia

Sánchez, la Lic. Débora San Blas y el Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es preciso que se haya resuelto el

taller preliminar “Sobre construcciones básicas” y revisado conceptos en relación a triángulos y razones

trigonométricas. Desde el primer día de cursado presencial, se iniciará la puesta en común.

6. Taller de los Fundamentos de la Matemática “Conceptualización de la noción de función” a cargo de la Lic. Eugenia

Lifona y el Lic. Sergio Viñolo. Para el cursado de este taller es preciso que se hayan revisado conceptos en relación a

función lineal y función cuadrática. Desde el primer día de cursado presencial, se iniciará la puesta en común.

Además queda a definir la fecha de “Examen final: Haciendo matemática” (estimativamente el 16 de marzo), y las

jornadas de trabajo con Políticas Estudiantiles, S.O.E. y Centro de Estudiantes.

Condiciones de cursado, regularización y acreditación de la UC

Del cursado y regularización:

Según el art. 65 de la Res.101-DES-15, para la obtención de la REGULARIDAD se podrá exigir alcanzar un máximo de:15

a) ASISTENCIA: El alumno inscripto para cursar este espacio deberá cumplir un mínimo de 60% de asistencia

a las clases presenciales de cada taller (implica que la asistencia no es sumativa entre talleres) para poder

obtener la regularidad del mismo.

15 Las condiciones para recuperar asistencia y requisitos académicos, se sustenta en el art. 57 del RAI; en éste se

contempla para todos los formatos, que el estudiante tendrá derecho a recuperación de todas las instancias evaluables, como parte de las posibilidades para obtener la regularidad de la Unidad Curricular. Asimismo en el mismo art. 57 se especifica que para acceder a estas instancias de recuperatorio cada estudiante deberá haber alcanzado, al menos, la mitad de cada una de las exigencias establecidas oportunamente para obtener la regularidad correspondiente.


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Para alumnos que trabajen, dicho porcentaje se reducirá al 50%, previa presentación de certificado de trabajo

correspondiente.

Quienes no hayan alcanzado el mínimo establecido de asistencia a clase, y posea al menos la mitad de ese porcentaje,

podrá recuperar la asistencia mediante actividades relativas a los temas tratados durante sus inasistencias, con la

presentación obligatoria de las mismas en tiempo y forma para poder regularizar la asistencia. Dichas actividades

deberán poner en juego el logro de las competencias vinculadas al taller en cuestión.

b) TRABAJOS TEÓRICOS PRÁCTICOS Y ACTIVIDADES DE PROCESO:

Otro requisito que hace a la regularización del espacio es la presentación en tiempo y forma de todas las actividades

solicitadas escritas, orales, presenciales o virtuales según lo convenga el docente responsable de cada taller. Los

mismos deberán ser aprobados con el 60% o más del puntaje otorgado dando cuenta del proceso de aprendizaje.

c) EVALUACIONES SUMATIVAS:

El alumno deberá rendir las instancias de evaluación que se establezcan en los diferentes talleres (exámenes escritos

u orales, trabajos de integración y síntesis, o formato convenido por el docente responsable de cada taller), las cuales

serán aprobadas con el 60% o más del puntaje otorgado.

Si algún examen resultara con menos del 60%, el alumno tendrá derecho a recuperarlo –a uno o más- en una única

fecha a pactar. La instancia de recuperación se aprobará con el mismo criterio definido.

Las fechas de evaluaciones de proceso serán acordadas con el docente responsable de cada taller.

El alumno que haya estado ausente a alguna instancia de evaluación, perderá todo derecho a la instancia de

recuperación, excepto que la inasistencia haya sido por motivos de salud justificados en tiempo y forma (es decir:

informada a Secretaría, Coordinación de Ingreso o Preceptoría la causal de inasistencia, en el día de producida la

misma, y presentando también el correspondiente certificado dentro de las 24 horas de producida la inasistencia).

Este alumno tendrá derecho a recuperar la instancia evaluativa.

De la acreditación:

Para ACREDITAR:

Es condición necesaria para la acreditación, reunir las condiciones de regularidad en asistencia y evaluaciones. El

examen final consiste en:

Examen final: “Haciendo matemática”: el alumno regular acreditará el curso de Ingreso al PM mediante un trabajo

grupal de entre 3 y 4 integrantes (escogidos por el equipo docente) en donde se resuelva uno o dos problemas que

integren los distintos talleres que lo conforman. Dicho trabajo contempla una producción grupal extra clase y una

socialización de la misma en la que se valorará el desarrollo de capacidades matemáticas citadas por el PNFS en el

Cuadernillo del curso introductorio, de nivelación y ambientación y aspectos referidos al rol docente que hayan sido

abordados en el taller de Rol del profesor de Matemática en el aula.

Capacidades cognitivas PNFS Competencias Niss

Resolver situaciones a partir de modelos convencionales o no:

incluye desde estrategias personales a modelos más “expertos”,

anticipando y verificando su adecuación y sus límites.

Plantear y resolver problemas.

Modelar.

Utilizar ayudas y herramientas.

Comprender y producir textos en matemática: comprender

consignas, enunciados (identificando preguntas y datos), comprender Comunicar.

Representar.


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textos producidos por otros, comprender informaciones en diferentes

registros simbólicos, comprender una explicación dada por otro o en

un libro de texto, definiciones.

Utilizar lenguaje y operaciones

simbólicas, formales y técnicas.

Pensar críticamente: analizar los procedimientos propios y de otros

para determinar su validez y elaborar argumentos que la justifiquen. Pensar y razonar.

Argumentar.

Capacidades Interpersonales (PNFS) Capacidades Intrapersonales (PNFS)

Trabajar con otros, comunicar y producir

colectivamente.

Estudiar matemática. Desafío, compromiso,

esfuerzo, asumir la responsabilidad.

La valoración del examen final es individual, aun cuando las producciones sean grupales. Se aprueba el mismo

consiguiendo por lo menos el 60% del puntaje obtenido, en tal caso el alumno ingresa a la carrera con la acreditación

al Ingreso al PM.

Cabe aclarar que para la instancia de evaluación final se ofrecerán clases de consulta en las que el alumno podrá

solucionar dudas referidas al examen final con los docentes de los distintos talleres.

El alumno que no alcanzara en primera instancia la acreditación del examen final y haya cumplimentado las condiciones de regularidad, tendrá derecho a instancia recuperatoria con el mismo formato definido anteriormente y con fecha a pactar dentro del primer semestre del año en curso.

o Obligaciones de cursado:

Son obligaciones del alumno:

Concurrir a clases con el material necesario para trabajar en el aula: cuadernillo, carpeta, textos, instrumentos matemáticos

(instrumentos geométricos, software GeoGebra, calculadora) y computadora.

Respetar los horarios de ingreso, permanencia y egreso de clases y de consulta.

Escuchar respetuosamente la opinión de los demás.

Contribuir al mantenimiento de un ambiente agradable de trabajo responsable y de diálogo fluido.

Procurar resolver al interior del grupo toda situación que se presente.

Cumplir con las normas de convivencia pactadas al interior del espacio.

Informar con la anticipación pertinente inasistencias a instancias evaluativas y presentar certificación probatoria.

Son obligaciones del docente:

Avisar en secretaría ante la inasistencia a clase o modificación de horario de cursado.

Proveer con tiempo del material de trabajo para las clases.

Entregar en tiempo las correcciones de actividades y evaluaciones.

Respetar los horarios de ingreso, permanencia y egreso de clases y de consulta.

Escuchar respetuosamente la opinión de los demás.

Contribuir al mantenimiento de un ambiente agradable de trabajo responsable y de diálogo fluido.

Procurar resolver al interior del grupo toda situación que se presente.

Cumplir con las normas de convivencia institucionales y las pactadas al interior del espacio.

EL PRESENTE CONTRATO ESTÁ SUJETO A REVISIÓN Y CAMBIO

CONSENSUADO Firman de conformidad, al pie del presente, conociendo y comprendiendo el contenido de éste en su totalidad.-

PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN … · más allá o más acá de los formatos escolares...

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