Programa

Centro de Capacitación y Asesoría EspecializadaSubdirección Académica

Departamento de MatemáticasPrograma de Cálculo Diferencial

Nombre de la Asignatura: Cálculo Diferencial

Clave de la Asignatura: MAT-1309

Temas: 5 Créditos: 3-3-6

Modalidad: Presencial, No escolarizada.

Justificación

La importancia de esta asignatura es el estudio de conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variable, función y límite.-Los conceptos que se estudiarán en esta asignatura son básicos y esenciales para cualquier área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el alumno un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico.-Contribuye a que el alumno desarrolle su capacidad de análisis, de observación y creatividad que le permita crear y resolver modelos matemáticos sobre sistemas de planeación y control para la administración de la producción de bienes y servicios, así como el diseño del proceso de transformación de materias primas hasta convertirse en productos elaborados.

Competencias específicas a desarrollar (Objetivo (s) General (s) del Curso)

Repasar, afianzar o aprender algunos de los conceptos fundamentales necesarios para el cálculo.Conocer los conceptos y herramientas del cálculo diferencial y relacionarlos unos con otros y con el álgebra, para poder aplicarlos en la solución de problemas de diferentes disciplinas.Desarrollar una estructura lógica de pensamiento para aplicarla en la resolución de problemas de su disciplina y para poder comunicarse de manera coherente en forma oral y escrita.Afianzar una metodología de estudio eficiente y una disciplina de trabajo que le permita ser autodidacta.

Tema: UNO Nombre: NÚMEROS REALES

Competencias Genéricas a desarrollar en la unidad Criterios de evaluación

Competencia específica(Objetivo Educacional)

Actividades de Aprendizaje

Actividades de Enseñanza

Portafolio de Evidencia (Producto de Aprendizaje)

A partir de los números reales y sus propiedades generará las demostraciones de los

Elaborar un mapa conceptual de los números reales a partir de sus características.

• *Relacionar la información de diversas fuentes bibliográficas el concepto de número números reales y sus

Actividad 1.*Resumen de conceptos como número, números reales, propiedades de los números reales*Mapa conceptual de los Números reales*Banco de ejercicios: Ejercicios prácticos donde aplicará

Procesar e interpretar datos.• Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica y verbal.• Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.• Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.• Resolución de problemas de desigualdades• Reconocimiento de conceptos o principios integradores acerca de los números reales, en cuanto a su entorno, así como enlazar conocimientos previos.• Trabajo en equipo.

EXAMEN, PROYECTO O TRABAJO EN CLASE 70 %

PARTICIPACION O ACTITUD 20 %

INVESTIGACION EXTRACLASE 10 %

teoremas que ellos cumplen.

Dominará el concepto de intervalo y resolverá desigualdades (hasta de segundo grado)

Plantear situaciones en las que se reconozcan las propiedades básicas de los números reales: orden, tricotomía, transitividad.

*Contrastar la resolución de desigualdades y ecuaciones lineales.

*Discutir los diferentes métodos para la resolución de desigualdades cuadráticas.

Identificar los números reales en la recta numérica trazada

Resolver ejercicios de desigualdades lineales, cuadráticas, valor absoluto

propiedades• Proporcionar información sobre los números reales para que sea analizada y discutida posteriormente en el grupo.• Ejemplificar y guiar al estudiante en la solución de ejercicios para identificar las propiedades de los números reales y su representación en la recta numérica.• Ejemplificar y guiar al estudiante en la solución de desigualdades de primer grado y de segundo grado con una incógnita, y de desigualdades con valor absoluto y la representación de su conjunto solución de forma gráfica en la recta numérica.•

las propiedades y definición de números reales, así como ejercicios donde utilicen la recta numérica Ejercicios para hallar desigualdades en la recta numérica, identificación de números en la recta numérica, Identificar intervalos y corregirlos.

Actividad 2

* Banco de ejercicios: desigualdades, donde incluyan, la resolución, graficación, e interpretación mediante intervalos.

Tema: DOS Nombre: FUNCIONES

Competencias Genéricas a desarrollar en la unidad Criterios de evaluación del Tema





Identificará los diferentes tipos de funciones y sus propiedades.Realizará operaciones confunciones e interpretará surepresentación gráfica.

• Comprender el concepto de función estableciendo relaciones entre conjuntos.• Identificar el dominio, el codominio y rango de una función y representarla en el plano cartesiano. (Gráfica de una función).• Representar funciones algebraicas de cada uno de sus tipos y aprender a identificarlas y graficarlas.• Representar funciones algebraicas definidas por partes e identificar su dominio,

• Organizar equipos para analizar y discutir información sobre los temas involucrados en la unidad. Construcción del conocimiento.• Formalizar y establecer los conceptos de función, dominio, codominio y rango al término de la discusión.• Ejemplificar y guiar al estudiante en la solución de ejercicios para obtener el dominio, codominio y rango de una función.

Actividad 1Resumen de la presentación oral de los siguientes temas:Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función, función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. Función real de variable real y surepresentación gráfica, funciones algebraicas: función polinomial,racional e irracional, trascendentes:trigonométricas y funciones exponenciales, definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto. Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. Función inversa. Función logarítmica.Funciones trigonométricas inversas. Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. Función implícita.

Actividad 2Banco de ejercicios de gráficas removibles, discontinuas, continuas, de salto.

Actividad 3 y 4

• Procesar e interpretar datos.• Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica y verbal.• Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.• Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.• Trabajo en equipo.• Uso de SW




codominio y rango.• Reconocer las gráficas de las funciones trascendentes.• Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones.• Reconocer el cambio gráfico de una función cuando ésta se suma con una constante.• Reconocer cuándo una función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva• Determinar si una función tiene inversa, utilizando el concepto de función biyectiva y obtener la inversa.• Identificar la relación entre la gráfica de una función y la gráfica de su inversa.• Identificar de un conjunto de arreglos ordenados de números reales, cuáles corresponden a una sucesión.• Identificar funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales.Reconocer funciones implícitas en un conjunto de ecuaciones

• Exponer al estudiante ejemplos sobre la representación gráfica de funciones algebraicas y de funciones definidas por partes.• Proporcionar al estudiante una lista de funciones definidas por partes para que obtenga su gráfica.• Proporcionar al estudiante diversas gráficas para que las clasifique.• Exponer al estudiante ejemplos para que aprenda a obtener la inversa de una función y para que identifique la diferencia en sus gráficas.• Analizar y establecer el concepto de sucesiones infinitas.• Mostrar al estudiante ejemplos ecuaciones que representen funciones implícitas.• Utilizar hojas

milimétricas y proporcionar información acerca del SW Gaphmatica para representar gráficas, analizar la diferencia.

Elaboración de gráficas algebraicas y trascendentes en hojas milimétricas y software graphmatica.

Tema: TRES Nombre: LIMITES Y CONTINUIDAD

Competencias Genéricas a desarrollar en la unidad Criterios de evaluación del tema

Competencia específica(Objetivo Educacional) Actividades de

AprendizajeActividades de

EnseñanzaPortafolio de Evidencia (Producto de Aprendizaje)

Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

• Proponer una sucesión de tipo geométrico o una progresión aritmética o geométrica y determinar el valor al que converge la sucesión cuando la variable natural tiende a infinito.• Extrapolar el concepto de límite de una función de variable natural al de una función de variable real.• Calcular “de manera práctica” el límite de una función (sustituyendo directamente el valor al que tiende la variable).• Calcular el límite de una función utilizando las propiedades básicas de los límites.

• Analizar y definir los conceptos de sucesión y límite de una sucesión.• Analizar y establecer la convergencia de una sucesión.• Ejemplificar y guiar al estudiante en la solución de ejercicios para determinar la convergencia de una sucesión.• Mediante ejemplos, mostrar al estudiante como se determina el Límite de una función aplicando las propiedades de los límites.• Definir y aplicar los conceptos de límites laterales, al infinito e

Actividad 1Resumen de conceptos como: límite, sucesión, infinito.

Actividad 2Banco de ejerciciosEjercicios de convergencia de una sucesiónEjercicios para la aplicación de propiedades de los límitesEjercicios para determinación del límite de una funciónEjercicios acerca de límites laterales al infinito e infinitos Ejercicios para determinar la continuidad de una función e identificar la discontinuidad esencial y removible.Ejercicios de funciones que determinen la asíntota vertical y horizontal.

*Discutir en grupos para intercambiar ideas argumentadas así como analizar conceptos y definiciones.• Desarrollar la inducción, deducción, síntesis y análisis para fomentar las cualidades de investigación.




• Plantear una función que requiere para el cálculo de un límite, el uso de límites laterales.• Identificar límites infinitos y límites al infinito.• Reconocer a través del cálculo de límites, cuándo una función tiene asíntotas verticales y/o cuándo asíntotas horizontales.Plantear funciones donde se muestre analítica y gráficamente diferentes tipos de discontinuidad

infinitos.• Ejemplificar y guiar al estudiante en la solución de ejercicios para determinar los límites laterales y los límites infinitos de funciones.• Establecer la definición de continuidad de una función e identificar la discontinuidad esencial y removible.• Mostrar funciones que permitan comprender los conceptos de asíntota vertical y horizontal y guiar al estudiante en la solución de ejercicios.

Tema: CUATRO Nombre: DERIVADAS






Comprenderá el concepto de la derivada; su interpretacióngeométrica y física.Desarrollará la capacidad de derivar funciones algebraicas y trascendentesmediante reglas dederivación y la técnica de derivación

• Demostrar con una situación real el concepto de incremento de una variable y reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razón de cambio.• Demostrar que el valor de la pendiente de la tangente a una curva en un punto se puede obtener

• Mostrar al estudiante la interpretación geométrica y física de la derivada y motivarlos a que definan el concepto de derivada.• Ejemplificar y guiar al alumno en la derivación de funciones algebraicas y

BANCO DE EJERCICIOS

Actividad 1Ejercicios de derivación con la aplicación de fórmulas o reglas

Actividad 2Ejercicios de derivación con aplicación de la regla de la cadena.

Actividad 3Ejercicios de aplicación del Teorema L´Hopital.

Actividad 4

Utilizar software de matemáticas para facilitar la comprensión de conceptos, la resolución de problemas y la interpretación de resultados• Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.• Pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.• Resolución de problemas • Toma de decisiones para la resolución de derivadas.• Reconocimiento de conceptos o principios integradores.• Trabajo en equipo.




implícita. calculando la derivada de la función que corresponde a la curva en dicho punto.• Definir la diferencial de la variable dependiente en términos de la derivada de una función.• Demostrar, recurriendo a la definición, la derivada de la función constante y de la función identidad.• Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el cálculo de funciones.• Plantear una expresión en la que se tenga una función compuesta y calcular la derivada mediante el uso del cambio de variable y de la regla de la cadena.• Calcular la derivada de funciones trigonométricas.• Calcular la diferencial haciendo uso de fórmulas de derivación.• Establecer una función que requiera para el cálculo de su derivada el uso de derivadas laterales.• Calcular la derivada de funciones definidas por más de una regla de correspondencia.•Graficar la función

derivada.

trascendentes mediante el uso de las reglas básicas.• Ejemplificar y guiar al alumno en la derivación de funciones algebraicas y trascendentes mediante el uso del cambio de variable y de la Regla de la cadena.• Ejemplificar y guiar al alumno en la derivación de funciones trigonométricas y funciones implícitas• Aplicar la derivación Logarítmica o de Bernoulli.• • Ejemplificar la derivación de orden superior de una función.•. Mediante ejemplos, aplicar el Teorema de L´Hôpital en la solución de ejercicios.

Ejercicios de derivación usando el software graphmatica o derive

Tema: CINCO Nombre: APLICACIONES DE LA DERIVADA






Aplicará los conceptos dederivadas y los utilizará en la graficación de funciones y en la solución deproblemas reales.

• Utilizar la derivada para calcular la pendiente de rectas tangentes a una curva en puntos dados.• Aplicar la relación algebraica que existe entre las pendientes de rectas perpendiculares para calcular, a través de la derivada, la pendiente de la recta normal a una curva en un punto.• Determinar si dos curvas son ortogonales en su punto de intersección.• Aplicar el teorema de Rolle en funciones

• Definir y mostrar al estudiante como hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a una curva y guiarlo en la solución de ejercicios.• Solicitar al estudiante que realice una investigación y análisis sobre la aplicación de las derivadas para obtener los máximos y mínimos de una función.• Guiar al alumno en la solución de

Banco de ejercicios

Actividad 1Ejercicios para hallar ecuaciones de la recta, tangente y normal a una curva.

Actividad 2. Ejercicios para definir los intervalos en los que lafunción es creciente y decreciente.

Actividad 3.• Ejercicios para aplicar el Teorema del valor medio y elteorema de Rolle en la solución deproblemas, así como la regla de L’Hôpital a los problemas de límites donde aparezcan formas indeterminadas.

Actividad 4

Fomentar al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y solución de problemas.Reforzar la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias posteriores.Modelar y resolver situaciones reales mediante conceptos propios de la asignatura.Fomentar el carácter de investigación para profundidad de los conceptos.




definidas en un cierto intervalo y explicar su interpretación geométrica.• Aplicar el teorema del valor medio del cálculo diferencial en funciones definidas en un cierto intervalo y explicar su interpretación geométrica.• Determinar, a través de la derivada, cuándo una función es creciente y cuándo decreciente en un intervalo.• Obtener los puntos críticos de una función.• Explicar los conceptos de punto máximo, punto mínimo y punto de inflexión de una función.• Determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión (criterio de la primera derivada).• Explicar la diferencia entre máximos y mínimos relativos y máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo.• Mostrar la importancia del teorema de Rolle para la existencia de un máximo o de un mínimo en un intervalo.• Mostrar, a través de la derivada

ejercicios para definir los intervalos en los que la función es creciente y decreciente, cóncava y convexa.• • Aplicar el Teorema del valor medio y el teorema de Rolle en la solución de problemas.• • Aplicar la Regla de L’Hôpital a los problemas de límites donde aparezcan formas indeterminadas.• • Demostrar al estudiante como se puede obtener el bosquejo de la gráfica de una función mediante la aplicación de los conceptos de derivadas y límites.• Guiar al alumno en la solución de problemas reales en donde se haga uso de las derivadas. (Razones de cambio).

Ejercicios donde se aplique el concepto de laprimera derivada y su graficación con el uso de los software vistos, y ejercicios de los intervalos en losque la función es cóncava.

Actividad 5• Ejercicio donde se apliquen los conocimientos vistos en un problema de la vida real.

Fuentes de información Apoyos didácticos

TEMAS

1. Números reales.1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales.1.3 Propiedades de los números reales.1.3.1 Tricotomía.1.3.2 Transitividad.1.3.3 Densidad.1.3.4 Axioma del supremo.1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita.1.6 Valor absoluto y sus propiedades.1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

1. James – Stewart Cálculo de una variable. Edit. Thomson Editores.2. Zill Dennis G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica3. Swokowski Earl W. Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica4. Ayres, Frank Jr. Fundamentos de Matemáticas. Edit. McGraw-Hill5. C. Peterson, John. Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Edit. C.E.C.S.A.6. Allendoerfer y Oakley. Fundamentos de Matemáticas Universitarias. Edit. . McGraw-Hill.7. Larson.8. Fuente Internet

PLATAFORMA MOODLE www.cecapyes.gnomio.com

MATERIAL DIDÁCTICO INTERACTIVO

2. Funciones.2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto.2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas.2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.2.10 Función implícita

3.Límites y continuidad.3.1 Límite de una sucesión.3.2 Límite de una función de variable real.3.3 Cálculo de límites.3.4 Propiedades de los límites.3.5 Límites laterales.3.6 Límites infinitos y límites al infinito.3.7 Asíntotas.3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.3.9 Tipos de discontinuidades.

4. Derivadas.4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.4.2 La interpretación geométrica de la derivada.4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.4.4 Propiedades de la derivada.4.5 Regla de la cadena.4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.4.8 Derivada de funciones implícitas.

5.Aplicaciones de la derivada.5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.5.4 Análisis de la variación de funciones5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

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