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PROGRAMA ANALÍTICO
DEPARTAMENTO: CIENCIAS BÁSICAS
CARRERAS: INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES
INGENIERÍA ELECTRICISTA
INGENIERÍA MECÁNICA
INGENIERÍA QUÍMICA
ASIGNATURA: CÁLCULO II
CÓDIGO: 0402
AÑO ACADÉMICO: 2014
PLANES DE ESTUDIOS: 2010-2004-2005-1994 UBICACIÓN EN EL PLAN DE ESTUDIO: 1er. CUATRIMESTRE DE 2do. AÑO DOCENTE A CARGO: Dr. Guillermo Bossio – Profesor Adjunto EQUIPO DOCENTE: Dr. Guillermo Bossio – Profesor Adjunto
Ing. Alba Lema – Profesora Adjunta Dr. Daniel Forchetti – Profesor Adjunto Ing. David Palumbo – Profesor Adjunto Mg. Ing. Javier Zizzias – Jefe de Trabajos Prácticos Ing. Leticia Firman – Ayudante de Primera Alumno Alvaro Aguilar– Ayudante de Segunda RÉGIMEN DE ASIGNATURAS: ASIGNACIÓN DE HORAS: Semanales: 6 Totales Teóricas: 45 Prácticas Resolución de problemas: 45 Laboratorio: - Proyecto: - Trabajo de campo: - CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Obligatoria
Aprobada Regular
0401 0404
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OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA: Los objetivos más relevantes de la asignatura son los siguientes:
Que el alumno reconozca las principales funciones y superficies que se utilizan en diversas cuestiones de física e ingeniería.
Que el alumno sea capaz de resolver problemas de optimización restringida y no restringida.
Que el alumno interprete la utilidad de los operadores gradiente, divergencia, rotor, laplaciano, etc.
Que el alumno desarrolle alguna destreza en el cálculo de integrales de línea, de superficie y múltiples en general, interpretando el valor que poseen en las aplicaciones.
Que el estudiante adquiera habilidad en la resolución de problemas y capacidad de análisis en la colección y organización de datos, así como la estimación de los resultados que se presentan en el estudio del cálculo vectorial.
Que el alumno se apoye en la utilización de fenómenos físicos de modo que le permitan comprender el concepto de vectores y funciones de varias variables.
Establecer estrategias que le permitan al alumno el estudio del cálculo vectorial con el nivel requerido.
APORTES DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO
INGENIERÍA ELECTRICISTA
Establecer las bases necesarias que permiten la comprensión de la electricidad y magnetismo y la técnica electromagnética, base fundamental de todas las áreas de la Ingeniería Eléctrica.
INGENIERÍA MECÁNICA
Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos.
INGENIERÍA QUÍMICA
Proporciona las herramientas indispensables para investigar, diseñar, controlar y optimizar diferentes procesos.
INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES
Aplicar el cálculo vectorial en la solución de problemas y actividades que impliquen la optimización de sistemas, diseño y evaluación de proyectos, así como desarrollar el pensamiento abstracto.
En todos los casos los conocimientos adquiridos permitirán al egresado desarrollar las habilidades necesarias en procedimientos matemáticos, para aplicarlos en la solución de problemas de Ingeniería.
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CONTENIDOS: CONTENIDOS GENERALES
Los contenidos de las unidades se organizaron de manera que ofrezcan suficiente oportunidad para
el razonamiento y la reflexión, buscando eficientemente problemas de aplicación.
A modo de introducción, se realiza un breve repaso de vectores y de las ecuaciones de la recta y el
plano. Se estudian las superficies cuádricas en general y se describen los sistemas de coordenadas
más usados en el espacio bi y tridimensional. Finalmente, se presentan las funciones que serán
objeto de estudio en el presente curso, esto es, funciones escalares de variable vectorial y funciones
vectoriales, exponiéndose sobre la representación de las mismas. Los contenidos que restan se
presentan en dos secciones diferentes, diferenciadas por la naturaleza de las funciones involucradas.
Una de ellas está destinada al estudio de las funciones escalares de varias variables. Se las estudia
desde el punto de vista analítico y mediante gráficas y conjuntos de nivel. Se presentan nociones
básicas sobre límite y continuidad generalizando estos conceptos al caso de funciones vectoriales.
Se abordan temas como: derivada parcial, derivada direccional, gradiente y diferencial, asociando a
este último la idea de aproximación lineal. Se analiza la regla de la cadena de varias variables y se
enuncia el Teorema de la función implícita. Se estudian las derivadas parciales de orden superior y
su aplicación a aproximaciones mediante el uso de la serie de Taylor. Las ideas y conceptos
anteriores se aplican a problemas de optimización restringida y no restringida. Se aborda el estudio
de la integral definida de varias variables, como así también en diferentes sistemas de coordenadas
y se estudian las aplicaciones más frecuentes.
En la otra sección se aborda el estudio de las funciones vectoriales, estudiando la representación
paramétrica de curvas. Se definen y analizan geométricamente la velocidad y la aceleración, como
así también la curvatura y torsión. Se estudian las superficies parametrizadas y a continuación se
presenta el concepto de integrales a lo largo de trayectorias y sobre superficies, cómo calcularlas y
sus aplicaciones más frecuentes. Se expone la divergencia y el rotacional, en término de densidad
de flujo y de circulación respectivamente. Luego encontramos su expresión para diferentes sistemas
de coordenadas. Por último, se analizan los tres teoremas fundamentales del cálculo vectorial y se
los utiliza en numerosas aplicaciones.
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CONTENIDOS ANALÍTICOS
PRIMERA PARTE: INTRODUCCIÓN.
Tema I Geometría analítica en el espacio.
I.1 Breve repaso de vectores. I.1.1 Representación geométrica de los vectores.
I.1.2 Longitud de un vector.
I.1.3 Producto escalar, producto vectorial y producto mixto.
I.2 Ecuaciones de la recta y el plano. I.2.1 Ecuaciones de la recta. I.2.2 Ecuaciones del plano.
I.3 Superficies cuádricas. I.3.1 Ecuación general de las cuádricas. I.3.2 Representación gráfica de las cuádricas. I.3.3 Esfera I.3.4 Elipsoide I.3.5 Paraboloide I.3.5.1 Paraboloide elíptico I.3.5.2 Paraboloide hiperbólico I.3.6 Hiperboloide I.3.6.1 Hiperboloide de una hoja I.3.6.2 Hiperboloide de dos hojas I.3.7 Cono
I.4 Superficies cilíndricas
I.5 Superficies de revolución
I.6 Invariantes.
I.7 Sistemas de coordenadas.
I.7.1 Sistemas de coordenadas en 2 : cartesianas y polares.
I.7.2 Sistemas de coordenadas 3 : cartesianas, esféricas y cilíndricas. I.7.3 Ecuación de las superficies cuádricas en otros sistemas de coordenadas.
Tema II Funciones en cálculo vectorial.
II.1 Funciones en cálculo vectorial. II.1.1 Funciones escalares. II.1.2 Funciones vectoriales.
II.2 Representación de curvas y superficies. II.2.1 Conjunto de puntos. II.2.2 Las curvas y superficies como gráficas e imágenes de funciones.
II.2.3 Representación de curvas en 2
II.2.4 Representación de curvas en 3
II.2.5 Representación de superficies en 3
II.2.6 Representación de superficies en 2
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II.3 Conjuntos de nivel. II.3.1 Curvas de nivel II.3.2 Superficies de nivel
SEGUNDA PARTE: FUNCIONES ESCALARES.
Tema III Límite y continuidad.
III.1 Límite y continuidad.
III.1.1 Definición de límite para funciones de n 1 . III.1.2 Límites sucesivos y restringidos III.1.3 Funciones contínuas
III.2 Generalización de los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.
III.2.1 Definición de límite para funciones de n m . III.2.2 Continuidad de funciones vectoriales
Tema IV Diferenciación de funciones escalares de varias variables.
IV.1 Derivadas parciales. IV.1.1 Interpretación geométrica. IV.1.2 Cálculo de derivadas parciales.
IV.2 Linealidad local y el diferencial. IV.2.1 Interpretación geométrica de la linealidad local. IV.2.2 Plano tangente. IV.2.3 Diferenciabilidad.
IV.3 Gradiente y derivadas direccionales. IV.3.1 Derivada direccional. Interpretación geométrica. IV.3.2 Cálculo de derivadas direccionales. IV.3.3 Vector gradiente. IV.3.4 Propiedades del vector gradiente IV.3.5 Aplicaciones sencillas
IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas. IV.4.1 Composición de funciones. IV.4.2 Regla de la cadena. Matriz jacobiana. IV.4.3 Teorema de la Función Implícita. IV.4.4 Función inversa.
IV.5 Diferenciales de orden superior.
IV.6 Fórmula de Taylor de varias variables. IV.6.1 Contacto de orden n IV.6.2 Polinomio aproximante IV.6.3 Fórmula de Taylor para 2 variables. IV.6.4 Fórmula de Taylor para más variables.
Tema V Optimización.
V.1 Extremos locales: Optimización no restringida. V.1.1 Funciones de dos variables. Condiciones necesarias. V.1.2 Condiciones suficientes de extremo relativo.
V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida. V.2.1 Métodos de resolución: Composición de funciones – Multiplicadores de Lagrange.
Tema VI Integrales múltiples.
VI.1 Integrales dobles.
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VI.1.1 Definición de integral doble. VI.1.2 Propiedades de la integral doble. VI.1.3 Interpretación geométrica de la integral doble - Teorema de Fubini VI.1.4 Integrales dobles sobre rectángulos. VI.1.5 Integrales dobles sobre regiones más generales. VI.1.6 Cambio en el orden de integración.
VI.2 Integrales triples. VI.2.1 Definición de integral triple. VI.2.2 Propiedades de la integral triple. VI.2.3 Integrales triples sobre regiones rectangulares. VI.2.4 Integrales triples sobre regiones más generales.
VI.3 Cambio de Variables. Fórmula del cambio de variables. VI.3.1 Cambio de variables en Integrales simples VI.3.2 Cambio de variables en Integrales dobles VI.3.3 Cambio de variables en Integrales triples – Fórmula del cambio de variables
VI.4 Aplicaciones de las integrales dobles.
VI.5 Aplicaciones de las integrales triples. TERCERA PARTE: FUNCIONES VECTORIALES.
Tema VII Curvas y superficies parametrizadas.
VII.1 Curvas parametrizadas. VII.1.1 Longitud de arco. VII.1.2 Reparametrización.
VII.1.3 El sistema de referencia ˆ ˆ ˆT N B .
VII.1.4 Componentes de la aceleración. VII.1.5 Curvatura de flexión, círculo osculador y curvatura de torsión.
VII.2 Superficies parametrizadas. VII.2.1 Área de una superficie y el versor normal.
Tema VIII Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficies.
VIII.1 Campos vectoriales.
VIII.1.1 Definición. VIII.1.2 Representación gráfica. Líneas de flujo. VIII.1.3 Algunos ejemplos de campos vectoriales.
VIII.2 Integrales de trayectoria. VIII.2.1 Definición. VIII.2.2 Aplicaciones.
VIII.3 Integrales de línea. VIII.3.1 Definición. VIII.3.2 Trabajo y circulación.
VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies. VIII.4.1 Definición. VIII.4.2 Aplicaciones.
VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies. VIII.5.1 Orientación de una superficie. VIII.5.2 Flujo. Tema IX Operadores diferenciales sobre campos vectoriales.
IX.1 Divergencia.
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IX.1.1 La divergencia del campo v
, como una densidad volumétrica de flujo. IX.1.2 Cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas.
IX.2 Rotor. IX.2.1 Densidad superficial de circulación alrededor de una dirección n
(normal al plano de circulación).
La componente del rotor de v
en esa dirección. IX.2.2 Cálculo del rotor en coordenadas cartesianas.
IX.3 Propiedades de los operadores divergencia y rotor
IX.4 Aplicaciones.
IX.5 Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas.
IX.6 Interpretación gráfica de la divergencia y rotor de un campo vectorial.
IX.7 Campos vectoriales conservativos.
Tema X Teoremas integrales del cálculo vectorial.
X.1 Teorema de Stokes.
X.2 Teorema de Green.
X.3 Teorema de Gauss - Ostrogradski o de la divergencia.
X.4 Teorema de la divergencia en 2 .
X.5 Aplicaciones de los teoremas Integrales
METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA:
Las clases tendrán modalidad teórico – práctica y serán del tipo expositivas, pretendiendo que las mismas sean una herramienta más para la comprensión y el aprendizaje. En el transcurso de las clases se alentará a los estudiantes a pensar en forma visual y numérica. Se desarrollarán fundamentos conceptuales y estrategias para la resolución de problemas.
Las guías de trabajos prácticos contendrán ejercicios y preguntas de repaso. Los ejercicios estarán orientados a estimular el pensamiento crítico y se pretende que ofrezcan una revisión de los métodos, ideas y aplicaciones claves. Para responder las preguntas de repaso, el estudiante deberá reflexionar sobre los conceptos y verbalizar su comprensión, sin calcular respuestas numéricas, siendo estas preguntas apropiadas para ejercicios de redacción.
Por último, se concertarán dos clases semanales de tres horas cada una, y se trabajará en dos comisiones.
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MODALIDAD DE EVALUACIÓN: Exámenes escritos I (parciales)
Se concertarán tres exámenes parciales en las fechas señaladas en el cronograma.
Consistirán en la resolución de problemas teórico – prácticos o ejercicios prácticos sobre los
temas que se evalúen en cada parcial y preguntas o desarrollos teóricos.
La calificación de cada examen será
APROBADO (si se resuelve correctamente entre un 50% y un 70% del examen)
DESAPROBADO (si no se logra resolver correctamente al menos un 50% del examen)
PROMOCIONADO (Nota) (si se resuelve correctamente 70% o más del examen, la nota
será 10%obtenido )
Exámenes escritos II (recuperatorios) Se podrá acceder a un examen recuperatorio por cada parcial, con la finalidad de mejorar la
calificación obtenida en los mismos.
El examen tendrá características similares al parcial que se recupera.
La calificación obtenida en el recuperatorio (sea mayor, igual o menor que la obtenida en el
parcial que se recupera) será la definitiva.
Los recuperatorios tendrán lugar al final del cuatrimestre en la fecha indicada en el
cronograma.
La calificación de los recuperatorios tendrá iguales características que la de los parciales.
Trabajos Prácticos Consistirán en la resolución de problemas teórico – prácticos o ejercicios prácticos sobre los
temas de cada unidad que serán asignados por los docentes de cada comisión y deberán ser
entregados dentro de los plazos preestablecidos.
Condiciones para regularizar la materia
Estarán en condiciones de regularizar la materia quienes hayan aprobado y/o promocionado los tres parciales y los trabajos prácticos.
Condiciones para promocionar la materia
Estarán en condiciones de promocionar la materia quienes hayan obtenido la calificación
“promocionado” en los tres parciales y hayan aprobado los trabajos prácticos. La nota final será un promedio de las notas obtenidas en los parciales.
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MODALIDAD DE EVALUACIÓN EN EXÁMENES FINALES
Examen final escrito (final teórico práctico) Consistirá en la resolución de ejercicios prácticos y/o teórico-prácticos sobre diferentes temas
de la materia.
Cada ejercicio tiene asignado un porcentaje y para aprobar hace falta tener al menos un 50%
sobre cada una de las partes fundamentales de la asignatura.
La calificación de cada examen estará comprendida en una escala del cero al diez.
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: DÍAS Y HORARIOS DE CLASES
Consultar los horarios actualizados en: https://sisinfo.unrc.edu.ar/bedepub/
COMISIÓN INGENIERÍA ELECTRICISTA y EN TELECOMUNICACIONES
Docentes: Guillermo Bossio y Daniel Forchetti
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES
13
14 Aula 1
Planta Piloto
Aula 1
Planta Piloto
15
16
17
COMISIÓN INGENIERÍA QUÍMICA
Docentes: Alba Lema y Javier Zizzias
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES
13
14 Aula 16
Pab. 1
Aula 16
Pab. 1
15
16
17
COMISIÓN INGENIERÍA MECÁNICA
Docentes: David Palumbo y Leticia Firman
LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES
13 Aula 6
Pab. 1
14 Aula 6
Pab. 1
15
16
17
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CRONOGRAMA DE LA MATERIA (COMISIONES MARTES Y JUEVES)
Semanas Fecha Clase Detalle de temas (modalidad teórico práctico)
1° 11 de marzo 1
Presentación de la materia
Geometría analítica en el espacio
I.1 Breve repaso de vectores
I.2 Ecuaciones de la recta y el plano.
I.3 Superficies cuádricas
13 de marzo 2
Geometría analítica en el espacio
I.4 Superficies cilíndricas
I.5 Superficies de revolución
I.6 Invariantes
I.7 Sistemas de coordenadas
2° 18 de marzo 3
Funciones en cálculo vectorial
II.1 Funciones en cálculo vectorial
II.2 Representación de curvas y superficies
20 de marzo 4
Funciones en cálculo vectorial
II.2 Representación de curvas y superficies
II.3 Conjuntos de nivel
Límite y Continuidad
III.1 Límite y Continuidad
III.2 Generalización d los conceptos de límite y continuidad a funciones vectoriales.
3 25 de marzo 5
Diferenciación de funciones escalares de varias variables
IV.1 Derivadas parciales
IV.2 Linealidad local y el diferencial
27 de marzo 6
Diferenciación de funciones escalares de varias variables
IV.2 Linealidad local y el diferencial
IV.3 Gradiente y derivadas direccionales
4° 1 de abril 7
Diferenciación de funciones escalares de varias variables
IV.3 Gradiente y derivadas direccionales
IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas
3 de abril 8 Diferenciación de funciones escalares de varias variables
IV.4 Derivación de funciones compuestas, implícitas e inversas
5 8 de abril 9
Diferenciación de funciones escalares de varias variables
IV.5 Diferenciales de orden superior
IV.6 Fórmula de Taylor de varias variables
10 de abril 10 Optimización
V.1 Extremos locales: Optimización no restringida
6 15 de abril 11 Optimización
V.2 Extremos de funciones con variables ligadas: Optimización restringida
7 22 de abril 12 Integrales múltiples
Vl.1 Integrales dobles
24 de abril 13
Integrales múltiples
Vl.2 Integrales triples
Vl.3 Cambio de variables
25-04-2014
Primer Parcial - Temas I.1 al IV.3 inclusive
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8 29 de abril 14
Integrales múltiples
Vl.5 Aplicaciones de las integrales dobles
Vl.4 Aplicaciones de las integrales triples
9 6 de mayo 15 Curvas y superficies parametrizadas
VII.1 Curvas parametrizadas
8 de mayo 16
Curvas y superficies parametrizadas
VII.1 Curvas parametrizadas
VIl.2 Superficies parametrizadas
10 13 de mayo 17
Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie
VIII.1 Campo vectorial
VIII.2 Integrales de trayectoria
15 de mayo 18 Campos vectoriales. Integrales curvilíneas y de superficie
VIII.3 Integrales de línea
11 20 de mayo 19
Campos vectoriales. Integrales curvilínes y de superficie
VIII.4 Integrales de funciones escalares sobre superficies
VIII.5 Integrales de funciones vectoriales sobre superficies
22 de mayo 20
Operadores diferenciales sobre campos vectoriales
IX.1 Divergencia
IX.2 Rotor
12 27 de mayo 21
Operadores diferenciales sobre campos vectoriales
IX.3 Aplicaciones
IX.4 Divergencia y rotor en otros sistemas de coordenadas
IX.5 Interpretación gráfica de la divergencia y rotor
IX.6 Propiedades de los operadores divergencia y rotor
IX.7 Campo vectoriales conservativos
29 de mayo 22
Teoremas integrales del cálculo vectorial
X.1 Teorema de Stokes
X.2 Teorema de Green
30-05-2014
Segundo Parcial – Temas IV.4 al VI.4 inclusive
13 03 de junio
23
Teoremas integrales del cálculo vectorial
X.3 Teorema de la divergencia en divergencia en 3
X.4 Teorema de la divergencia en divergencia en 2
05 de junio
Teoremas integrales del cálculo vectorial
X.5 Aplicaciones de los teoremas integrales
14 27-06-2014
Tercer Parcial - Tema VII.1 al X.5
15
Recuperatorio Parciales
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BIBLIOGRAFÍA: Bibliografía Básica
Título Autor/s Editorial Año de Edición
Ejemplares Disponibles
Cálculo II (Apuntes de la cátedra)
Lema, Morelli 2014
Cálculo vectorial Pita Ruiz Prentice Hall
Hispanoamericana S.A 1995 22
Cálculo Vectorial 5ª Ed.
Mariden y Tromba Addison-Wesley 2004 1
Cálculo Vectorial Mariden y Tromba Addison-Wesley 1991 32
Bibliografía de Consulta Título Autor/s Editorial Año de
Edición Ejemplares Disponibles
Cálculo. Varias variables
George B. Thomas Addison Wesley Pearson 2006 1
Cálculo - 9a ed Cálculo
Multivariable STEWART JAMES
International Thompson Editores
2002 1
Cálculo Diferencial de varias variables
Pérez, Hernández y montaner
International Thompson Editores
2002
Cálculo de varias variables
Besada, García, Mirás, Vásquez
Prentice Hall 2001
Cálculo y geometría analítica. Vol. II
Larson, Hostetler, Edwards
Mc. Graw Hill 1999
Cálculo de varias variables – Vol. 2
BRADLEY, SMITH Prentice Hall 1998
Cálculo de varias variables
Mc Callum, gleason, Hughes Hallett
Compañía Editorial Continental
1998
Firma Docente Responsable Firma Secretario Académico