Programa de Doctorado “Información, Documentación y ...
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Programa de Doctorado
“Información, Documentación y Conocimiento”
Escuela Politécnica Superior
Departamento de Ciencias de la Computación
TESIS DOCTORAL
MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR
EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE
COMBATE AÉREO.
AUTOR: D. Antonio Navidad Pineda
DIRECTORES: Dr. Luis Usero Aragonés
Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez
Alcalá de Henares, junio de 2015.
Una vez concluido el trabajo de tesis doctoral titulado “MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE COMBATE AÉREO”, realizado por D. Antonio Navidad Pineda y del que soy director, estimo que dicho trabajo tiene suficientes méritos teóricos, que se han contrastado adecuadamente mediante validaciones experimentales, y son altamente novedosos. Por ello considero que procede su defensa pública.
Y para que así conste, firmo la presente en Alcalá de Henares, a de junio de 2015.
Atentamente
Los directores de tesis:
Dr. Luis Usero Aragonés. Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez.
Dra. Teresa Inmaculada Díez Folledo, Profesora Titular de Universidad del Área de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial, en calidad de Directora del Departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad de Alcalá,
CERTIFICA
Que la Tesis Doctoral titulada “MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE COMBATE AÉREO”, realizada por D. Antonio Navidad Pineda y dirigida por los doctores Luis Usero Aragonés y José Raúl Fernández del Castillo Díez, reúne los requisitos para su presentación y defensa pública.
Y para que conste, firmo la presente en Alcalá de Henares, a de junio de 2015.
La Directora del Departamento
Escuela Politécnica Superior
Departamento de Ciencias de la Computación
TESIS DOCTORAL
MODELO DE INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN CONTEXTUAL Y RADAR
EN SISTEMAS NEURONALES PARA SEGUIMIENTO DE MANIOBRAS DE
COMBATE AÉREO.
AUTOR: D. Antonio Navidad Pineda
DIRECTORES: Dr. Luis Usero Aragonés
Dr. José Raúl Fernández del Castillo Díez
Alcalá de Henares, junio de 2015.
Antonio Navidad Pineda.
A mis padres, Diego y Antonia
A mi pequeña familia, Rosa, Carmen y Diego.
Agradecimientos
“Cuando bebas agua, recuerda la fuente.”
Proverbio chino.
Sirvan estas primeras líneas como gratitud a todas aquellas personas que han contribuido a lo largo de mi vida a que pudiera llegar a este punto, final de una etapa.
Por encima de todo se lo debo agradecer… a mis padres, Diego y Antonia, quienes, con su propio ejemplo diario, me enseñaron una forma de vida y los valores a perseguir durante la misma, ello me permitió alcanzar este punto… a Rosita, mente ágil y despierta, por tu apoyo, siempre incondicional, gracias por estar ahí, gracias por todo y por tanto… y a los pequeños Carmen y Diego, siempre traté de robar a los brazos de Morfeo el tiempo que no merecíais que os robara a vosotros.
A José Raúl y Luis, Luis y José Raúl, además de cómo grandes amigos, a Luis, como gran motivador y catalizador de esta tesis, a José Raúl como incansable y metódico contribuidor a la misma. Gracias por vuestros consejos, paciencia y dedicación como directores de esta tesis.
Al Ejército del Aire, en concreto a los componentes de su Sistema de Mando y Control, y en especial a “mi Escuadrilla” de Informática Operativa, esa pequeña familia, mi segunda familia. Mucho os debo por todo lo que aprendí de vosotros sobre este mundo que descubrí hace ahora 18 años. Sentid esta tesis como vuestra, gran parte de vuestro conocimiento está volcado en ella. Será imposible encontrar a gente más entregada.
A la Universidad de Alcalá, al Departamento de Ciencias de la Computación, por permitirme pertenecer y abrirme las puertas de esta casa, cuna del conocimiento.
A todos aquellos maestros que a lo largo de toda mi vida han contribuido a mi formación intelectual y personal, ved reflejado en esta tesis el resultado de vuestra dedicación.
A todas aquellas personas que de una forma u otra me habéis “soportado” durante mi vida, con especial alusión a Francisco y María José, inmensa paciencia la vuestra con vuestro hermano mayor.
No puedo olvidar citar a José Luis Cuadrado y Pedro Padilla, amigos, mentores y consejeros. Espero que veáis reflejados en esta tesis vuestros consejos, nuestras discusiones y aquellas disquisiciones “variadas”. Muchas gracias por vuestro apoyo.
Gracias a TODOS.
xi
Tabla de contenido
Agradecimientos ................................................................................................................................ xi
Resumen .......................................................................................................................................... xxxv
Abstract ......................................................................................................................................... xxxvii
1. Introducción. .................................................................................................................... 1-1
1.1. Motivación. .......................................................................................................... 1-1
1.2. Declaración del problema y objetivos de la investigación. ........................... 1-3
1.3. Hipótesis de la investigación. ............................................................................ 1-4
1.4. Ámbito de la investigación. ............................................................................... 1-5
1.5. Organización de la tesis. .................................................................................... 1-5
2. Estado del arte. ................................................................................................................ 2-1
2.1. Control de la Navegación Aérea....................................................................... 2-1
2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo. ................................... 2-5
2.3. Desarrollos de sistemas automáticos de control aéreo. .............................. 2-12
2.4. Estimación, decisión y seguimiento. .............................................................. 2-14
2.5. Sistemas de vigilancia. ...................................................................................... 2-18
2.6. Seguimiento y asociación de datos. ................................................................ 2-19
2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un sistema de
vigilancia radar. .................................................................................................. 2-21
2.8. Filtros g-h. .......................................................................................................... 2-23
2.9. Filtros Kalman. .................................................................................................. 2-28
2.10. Filtros con múltiples modelos. ....................................................................... 2-30
2.10.1. Algoritmo AMM (Autonomous MM).. ............................................... 2-32
2.10.2. Algoritmo MM cooperante (CMM) ................................................. 2-33
2.10.3. Algoritmo MM de estructura variable (VSMM) ............................ 2-34
2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento. ..................................................... 2-35
3. Seguimiento de blancos en maniobra....................................................................... 3-1
3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra. ................................. 3-1
3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo. ......................................................... 3-5
3.2.1. Curvas de persecución (pursuit curves). ................................................ 3-5
3.2.2. Otras maniobras básicas de combate. ............................................. 3-10
3.3. Detección de maniobras. ................................................................................. 3-14
3.4. Modelos múltiples ............................................................................................. 3-15
xiv Tabla de contenido
3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en maniobra. ........ 3-17
4. Sistema de seguimiento neuronal en tiempo real basado en
información contextual. ................................................................................................. 4-1
4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal. ...................................... 4-1
4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en
información contextual. ...................................................................................... 4-3
4.2.1. Esquema de trabajo. ............................................................................. 4-3
4.2.2. Seguimiento neuronal en maniobras .................................................. 4-6
4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento ....................................................... 4-8
4.3. Resultados de simulaciones. ............................................................................ 4-13
5. Optimización del sistema. ............................................................................................ 5-1
5.1. Elección de plataforma. ...................................................................................... 5-1
5.2. Introducción a la implementación del sistema ............................................... 5-3
5.3. Determinación de parámetros en la red neuronal .......................................... 5-5
5.4. Determinaciones de repeticiones Epochs .......................................................... 5-9
5.5. Determinación del número de neuronas en la capa oculta ........................ 5-15
5.5.1. Pruebas trayectoria Line. ...................................................................5-17
5.5.2. Pruebas trayectoria Astroid. .......................................................... 5-21
5.5.3. Pruebas trayectoria Freeth. ............................................................ 5-23
5.5.4. Pruebas trayectoria Hypocicloyd. ................................................. 5-25
5.5.5. Pruebas trayectoria Nephroid. ........................................................ 5-27
5.6. Determinación de funciones de transferencia ............................................. 5-30
5.6.1. Pruebas trayectoria Line. ...................................................................5-34
5.6.2. Pruebas trayectoria Astroid. .......................................................... 5-37
5.6.3. Pruebas trayectoria Freeth. ............................................................. 5-41
5.6.4. Pruebas trayectoria Hypocicloyd. ................................................. 5-44
5.6.5. Pruebas trayectoria Nephroid. ........................................................ 5-46
5.6.6. Resumen de resultados obtenidos ................................................... 5-49
6. Conclusiones y trabajo futuro. ..................................................................................... 6-1
6.1. Conclusiones. ....................................................................................................... 6-1
6.2. Líneas y trabajos futuros. .................................................................................... 6-5
A. Resultados de los casos de prueba para la determinación del
número de neuronas en la capa oculta..................................................................... A-1
A.1 Casos de prueba. ................................................................................................... A-1
Apéndice 1. Resultados trayectoria Line. ................................................................ A-4
Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid. ...................................................... A-23
Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth. ........................................................ A-43
Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid .............................................. A-63
Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid. .................................................... A-83
B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las
funciones de transferencia. .......................................................................................... B-1
B.1 Casos de prueba. ................................................................................................... B-1
B.2 Resultados trayectoria Line ............................................................................... . B-4
xv Tabla de contenido
B.3 Resultados trayectoria Astroid ..................................................................... . B-10
B.4 Resultados trayectoria Freeth ........................................................................ . B-16
B.5 Resultados trayectoria Hypocicloyd ............................................................ . B-22
B.6 Resultados trayectoria Nephroid ................................................................... . B-28
Bibliografía
xvi Tabla de contenido
Índice de figuras
2.1. Perpendicularidad de la sustentación ...................................................................................... 2-2
2.2. Ejemplo de campo visual del piloto de un avión .................................................................. 2-3
2.3. Niveles de vuelo ......................................................................................................................... 2-4
2.4. Tránsito en niveles de vuelo ..................................................................................................... 2-4
2.5. Servicios postales. 1920. ............................................................................................................ 2-6
2.6. Aeropuerto de Cleveland. Primera sala equipada con radio. 1930.. ................................... 2-7
2.7. Estación radar británica “Chain Home”.. ................................................................................. 2-8
2.8. Presentación de datos radar.. .................................................................................................... 2-9
2.9. Radar primario –PSR- y secundario -SSR- ........................................................................... 2-10
2.10. Señal radar primario analógica ............................................................................................. 2-10
2.11. Radar RAT-31DL. Primario y secundario .......................................................................... 2-11
2.12. Error en la medición radar de posición .............................................................................. 2-12
2.13. Sistema de control de tráfico aéreo automático, servidores y estación de
trabajo, 1975. ........................................................................................................................... 2-13
2.14. Típica presentación de datos multiradar con estimación de estado (posición y
velocidad). ................................................................................................................................ 2-14
2.15. Problema de seguimiento ...................................................................................................... 2-15
2.16. Estimación de estado ............................................................................................................. 2-17
2.17. Representación del problema del seguimiento .................................................................. 2-20
2.18. Componentes de un sistema de seguimiento ..................................................................... 2-20
2.19. Ejemplo de un radar de vigilancia. ...................................................................................... 2-21
2.20. Problema de seguimiento. ..................................................................................................... 2-22
2.21. Posiciones predichas (xn) y medidas (yn) para un objetivo en un instante n. ................. 2-24
xviii Índice de figuras
2.22. Objetivo predicho, filtrado, y posición medida usando la nueva notación. ..................2-25
2.23. Estructura general de un algoritmo de estimación MM basado en dos
modelos .....................................................................................................................................2-32
2.24. Estructura general del algoritmo de estimación MMSE-AMM basado en dos
modelos. ....................................................................................................................................2-33
2.25. Estructura general del algoritmo de estimación IMM basado en dos modelos ............2-34
2.26. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada
por un filtro Kalman (TKF). ..................................................................................................2-37
3.1. Maniobra, con detección ideal (a) y con ruido blanco (b) .................................................... 3-2
3.2. Seguimiento KF en función de σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2) ........... 3-3
3.3. Dependencia de las ventanas de asignación respecto a σa (i. σa=0.1 m/s2. ii.
σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2) ...................................................................................................... 3-3
3.4. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria rectilínea (en verde, x=0) ....................... 3-6
3.5. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k=1.
Distancia entre zorro y conejo en el tiempo .............................................................................. 3-6
3.6. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k<1 .......................... 3-7
3.7. Efecto de giro y lead-pursuit ........................................................................................................ 3-8
3.8. Defensa contra una lead-pursuit .................................................................................................. 3-8
3.9. Trayectoria lag-pursuit. Atacante con velocidad superior al perseguido (bogey). .................. 3-9
3.10. Trayectoria lag-pursuit roll[Shaw85]: trayectoria lag-pursuit acompañada de
maniobra en altura ..................................................................................................................3-10
3.11. Maniobra High Yo-Yo ..............................................................................................................3-11
3.12. Maniobra Low Yo-Yo ...............................................................................................................3-11
3.13. Maniobra Lead Turn. Giro “temprano” en punto 1. .........................................................3-12
3.14. Maniobra Flat Scissors ..............................................................................................................3-12
3.15. Maniobra rolling scissors ............................................................................................................3-13
3.16. Maniobra espiral defensiva. Defensor con velocidad muy baja ......................................3-13
3.17. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada
por un filtro Kalman (TKF) ...................................................................................................3-18
3.18. Algoritmo AIMM....................................................................................................................3-19
3.19. Método IMM basado en algoritmos genéticos (GA) usando lógica borrosa ................3-19
4.1. Ejemplo de curva de persecución ............................................................................................ 4-4
xix Índice de figuras
4.2. Curvas de persecución (en azul el objeto perseguido, en rojo el perseguidor) ................. 4-5
4.3. Red Perceptrón Multicapa . i,j,k: capas. Wxy: pesos de cada enlace ................................... 4-8
4.4. Esquema de la red neuronal de predicción .......................................................................... 4-10
4.5. Arquitectura redes neuronales seguimiento neuronal (para la coordenada X).
Etapa de predicción y etapa de suavizamiento ................................................................... 4-12
4.6. Ejemplos de curvas estimadas con el algoritmo neuronal propuesto .............................. 4-15
4.7. MSE para seguimiento neuronal (X, Y) ................................................................................ 4-18
4.8. MSE para seguimiento clásico (X, Y) ................................................................................... 4-18
4.9. Comparación en el error MSE en la estimación obtenido con el sistema
neuronal (NT) y el enfoque clásico (CT) ............................................................................ 4-19
4.10. CV para el algoritmo de seguimiento neuronal (X, Y) ..................................................... 4-20
5.1. Representación general de una Red Neuronal en MATLAB .............................................. 5-3
5.2. Curva Line. (x=5) ...................................................................................................................... 5-6
5.3. Curva Astroid ........................................................................................................................... 5-6
5.4. Curva Freeth ............................................................................................................................. 5-6
5.5. Curva Hypocycloid .................................................................................................................. 5-6
5.6. Curva Nephroid ......................................................................................................................... 5-6
5.7. Ejemplo de “Entrada X” y “Entrada X con ERROR” (gaussiano aleatorio en
el Tiempo) .................................................................................................................................. 5-7
5.8. Red Neuronal Implementada para definición de epochs ...................................................... 5-10
5.9. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 1831 .......................................... 5-11
5.10. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 2000 ........................................ 5-11
5.11. Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 164 .......................................... 5-12
5.12. Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 400 .................................... 5-12
5.13. Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 34 ...................................... 5-12
5.14. Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 205 ...................................... 5-13
5.15. Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 1831 .................................... 5-13
5.16. Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 310 .......................... 5-13
5.17. Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 126 .......................... 5-14
5.18. Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 1141 ............................... 5-14
xx Índice de figuras
5.19. Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 290 ..................................5-14
5.20. Line. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9) .....................................................5-19
5.21. Line. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. .....................5-19
5.22. Line. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP1.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según
número de neuronas de la capa intermedia. ........................................................................5-20
5.23. Astroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba
(CP). Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9) ...................................5-22
5.24. Astroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ..............5-22
5.25. Astroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP2.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según
número de neuronas de la capa intermedia. ........................................................................5-23
5.26. Freeth. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba
(CP). Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9) ......................................5-24
5.27. Freeth. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ................5-24
5.28. Freeth. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP3.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según
número de neuronas de la capa intermedia. ........................................................................5-25
5.29. Hypocycloid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de
prueba (CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9) .............5-26
5.30. Hypocycloid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ....5-26
5.31. Hypocycloid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba
completo (datos tabla AP4.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias
según número de neuronas de la capa intermedia. .............................................................5-27
5.32. Nephroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba
(CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9) .................................5-27
5.33. Nephroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba. ...........5-28
5.34. Nephroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP5.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según
número de neuronas de la capa intermedia. ........................................................................5-28
5.35. Funciones de transferencia en una red con tres capas, similar a las utilizadas
en el sistema bajo estudio en este documento ....................................................................5-30
5.36. Modelo computacional de una neurona. La salida total ‘a’ de la neurona está
dada por el resultado de la función de transferencia aplicada a la variable ‘n’, la
cual es la suma ponderada de sus entradas ..........................................................................5-31
xxi Índice de figuras
5.37. Ejemplos de funciones de transferencia en MATLAB .................................................... 5-32
5.38. Trayectoria Line. Error en la estimación (MSET, tabla B.5) dependiendo de
las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta,
en eje horizontal FT para la capa de salida] ........................................................................ 5-34
5.39. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida (en eje horizontal, FT para la capa oculta).................... 5-36
5.40. Trayectoria Astroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.10)
dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT
para capa oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ..................................... 5-37
5.41. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,
satlins, tansig) para la capa de salida (en el eje horizontal FT para la capa
oculta) ....................................................................................................................................... 5-38
5.42. Trayectoria Astroid. Selección de funciones de transferencia más favorables
en capa oculta (FT en eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda) ......................... 5-39
5.43. Trayectoria Astroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación
de 20 trayectorias considerando distintas funciones de transferencia ............................ 5-40
5.44. Trayectoria Freeth. Error en la estimación (MSET, tabla B.15) dependiendo
de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa
oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ....................................................... 5-40
5.45. Trayectoria Freeth. Selección de funciones de transferencia más favorables
en capa oculta (FT en el eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda) ..................... 5-42
5.46. Trayectoria Hypocycloid. Error en la estimación (MSET, tabla B.20)
dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT
para capa oculta, en eje horizontal FT para la capa de salida] ......................................... 5-43
5.47. Trayectoria Hypocyloid. Tiempo de computación TCOMP para la
estimación de 20 trayectorias considerando distintas funciones de
transferencia ............................................................................................................................. 5-45
5.48. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.25)
dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT
para capa oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ..................................... 5-46
5.49. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación para las funciones de
transferencia óptimas en la capa de salida (MSET, tabla 5.16). [En leyenda FT
para capa oculta, en el eje horizontal FT para la capa de salida] ..................................... 5-47
5.50. Trayectoria Nephroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación
de 20 trayectorias considerando las funciones de trasferencia reflejadas en la
tabla 5.16 .................................................................................................................................. 5-48
AP1.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Line (con 5 -i- y 9 neuronas –ii-) .................... A-4
xxii Índice de figuras
AP1.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1
(datos tabla AP1.3) ................................................................................................................... A-7
AP1.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso
de prueba 1 ................................................................................................................................ A-8
AP1.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line -
caso de prueba 1 ....................................................................................................................... A-9
AP1.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 1 ............................................................. A-9
AP1.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 2
(datos tabla AP1.6) ................................................................................................................. A-12
AP1.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso
de prueba 2 .............................................................................................................................. A-13
AP1.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line -
caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-14
AP1.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 2 ........................................................... A-14
AP1.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3
(datos tabla AP1.9) ................................................................................................................. A-17
AP1.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso
de prueba 3 .............................................................................................................................. A-18
AP1.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line -
caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-19
AP1.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 3 ........................................................... A-19
AP1.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9) .................................................... A-20
AP1.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-20
AP1.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones
(datos tabla AP1.10) ............................................................................................................... A-21
AP2.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Astroid (con 8 -i- y 14 neuronas –ii-).......... A-23
AP2.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba
1 (datos tabla AP2.3) .............................................................................................................. A-26
AP2.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid -
caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-27
AP2.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Astroid - caso de prueba 1.................................................................................................. A-28
xxiii Índice de figuras
AP2.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 .................................................... A-28
AP2.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba
2 (datos tabla AP2.6) ............................................................................................................. A-31
AP2.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid -
caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-32
AP2.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Astroid - caso de prueba 2 ................................................................................................. A-33
AP2.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 2 .................................................... A-33
AP2.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba
3 (datos tabla AP2.9) ............................................................................................................. A-36
AP2.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid -
caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-37
AP2.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Astroid - caso de prueba 3 ................................................................................................. A-38
AP2.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 3 .................................................... A-38
AP2.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9) ............................................ A-39
AP2.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-39
AP2.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones
(datos tabla AP2.10) .............................................................................................................. A-40
AP3.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Freeth (con 17 -i- y 24 neuronas –ii-) ......... A-43
AP3.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1
(datos tabla AP3.3) ................................................................................................................. A-46
AP3.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth -
caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-47
AP3.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth
- caso de prueba 1 .................................................................................................................. A-48
AP3.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 ...................................................... A-48
AP3.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 2
(datos tabla AP3.6) ................................................................................................................. A-51
AP3.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth -
caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-52
xxiv Índice de figuras
AP3.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth
- caso de prueba 2 ................................................................................................................... A-53
AP3.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 2 ....................................................... A-53
AP3.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba
3 (datos tabla AP3.9) .............................................................................................................. A-56
AP3.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth -
caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-57
AP3.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Freeth - caso de prueba 3 .................................................................................................... A-58
AP3.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 3 ....................................................... A-58
AP3.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9) ............................................... A-59
AP3.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-59
AP3.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones
(datos tabla AP3.10) ............................................................................................................... A-60
AP4.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Hypocycloid (con 13 -i- y 10
neuronas –ii-)........................................................................................................................... A-63
AP4.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de
prueba 1 (datos tabla AP4.3)................................................................................................. A-66
AP4.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 1 ........................................................................................ A-67
AP4.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 1 ........................................................................................ A-68
AP4.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Hypocyloid - caso de prueba 1 .............................................. A-68
AP4.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de
prueba 2 (datos tabla AP4.6)................................................................................................. A-71
AP4.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 2 ........................................................................................ A-72
AP4.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 2 ........................................................................................ A-73
AP4.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2 ........................................... A-73
xxv Índice de figuras
AP4.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de
prueba 3 (datos tabla AP4.9) ................................................................................................ A-76
AP4.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 3 ........................................................................................ A-77
AP4.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Hypocycloid - caso de prueba 3 ........................................................................................ A-78
AP4.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3 ........................................... A-78
AP4.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9) ................................... A-79
AP4.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-79
AP4.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones
(datos tabla AP4.10) .............................................................................................................. A-80
AP5.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Nephroid (con 20 -i- y 17 neuronas –
ii-) .............................................................................................................................................. A-83
AP5.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba
1 (datos tabla AP5.3) ............................................................................................................. A-86
AP5.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid -
caso de prueba 1 ..................................................................................................................... A-87
AP5.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Nephroid - caso de prueba 1 ............................................................................................... A-88
AP5.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1 .................................................. A-88
AP5.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba
2 (datos tabla AP5.6) ............................................................................................................. A-91
AP5.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid -
caso de prueba 2 ..................................................................................................................... A-92
AP5.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Nephroid - caso de prueba 2 ............................................................................................... A-93
AP5.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 2 .................................................. A-93
AP5.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de
prueba 3 (datos tabla AP5.9) ................................................................................................ A-96
AP5.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid -
caso de prueba 3 ..................................................................................................................... A-97
xxvi Índice de figuras
AP5.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria
Nephroid - caso de prueba 3 ............................................................................................... A-98
AP5.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número
de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 3 .................................................. A-98
AP5.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9) .......................................... A-99
AP5.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba .......................... A-99
AP5.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones
(datos tabla AP5.10) ............................................................................................................ A-100
B.1. Trayectoria Line. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las
funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) ................................................ B-8
B.2. Trayectoria Astroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las
funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) .............................................. B-14
B.3. Trayectoria Freeth. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las
funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) .............................................. B-20
B.4. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda,
las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) ........................................ B-26
B.5. Trayectoria Nephroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las
funciones de transferencia óptimas para la capa de salida) .............................................. B-32
Índice de tablas
2.1. Características de sensores radar ............................................................................................ 2-11
2.2. Filtros g-h ................................................................................................................................. 2-28
3.1. Comparativa de resultados obtenidos para 30 trayectorias estimando con
algoritmos MM ........................................................................................................................ 3-16
4.1. Resultados numéricos para los distintos casos de entrenamiento (considerando
un conjunto de 20 trayectorias para validación) ................................................................. 4-17
4.2. Resultados promedio para los distintos casos de entrenamiento (considerando
un conjunto de 20 trayectorias para validación) ................................................................. 4-17
5.1. Optimización del Número de Neuronas de la Red Neuronal Backpropagation
en la Capa Oculta por tipo de trayectoria ........................................................................... 5-29
5.2. Funciones de Transferencia definidas en MATLAB .......................................................... 5-31
5.3. Principales funciones de transferencia en MATLAB ......................................................... 5-32
5.4. Configuración de parámetros de las redes neuronales. Número de neuronas en
la capa oculta el tomado como óptimo en el punto anterior ........................................... 5-33
5.5. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida .............................................................................................. 5-35
5.6. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas...................................................... 5-36
5.7. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida .............................................................................................. 5-38
5.8. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas ............................................... 5-39
5.9. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida .............................................................................................. 5-41
5.10. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas ............................................... 5-41
5.11. Trayectoria Freeth. Tiempos de computación TCOMP para la estimación de
20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa
oculta en eje vertical, capa de salida en el horizontal) ....................................................... 5-43
xxviii Índice de tablas
5.12. Trayectoria Hypocylcoid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,
satlins, tansig) para la capa de salida .............................................................................5-44
5.13. Trayectoria Hypocycloid. Funciones de transferencia óptimas ....................................5-44
5.14. Trayectoria Hypocylcoid. Tiempos de computación TCOMP para la
estimación de 20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia
utilizadas; capa oculta en eje vertical, capa de salida en el horizontal) ............................5-45
5.15. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,
satlins, tansig) para la capa de salida .............................................................................5-46
5.16. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas ...........................................5-47
5.17. Resumen de resultados para funciones de transferencia en la capa oculta ....................5-49
AP1.1. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 1 ................................ A-5
AP1.2. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 1 ............................... A-6
AP1.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1 ................ A-7
AP1.4. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 2 .............................. A-10
AP1.5. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 2 ............................. A-11
AP1.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 2 .............. A-12
AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 3 .............................. A-15
AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 3 ............................. A-16
AP1.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3 .............. A-17
AP1.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones ........... A-21
AP2.1. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 1 ....................... A-24
AP2.2. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 1 ...................... A-25
AP2.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 ........ A-26
AP2.4. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 2 ....................... A-29
AP2.5. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 2 ...................... A-30
AP2.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 2 ........ A-31
AP2.7. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 3 ....................... A-34
AP2.8. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 3 ...................... A-35
AP2.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3 ........ A-36
AP2.10. Astroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres
simulaciones ............................................................................................................................ A-40
xxix Índice de tablas
AP3.1. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 1 ......................... A-44
AP3.2. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 1 ........................ A-45
AP3.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 ......... A-46
AP3.4. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 2 ......................... A-49
AP3.5. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 2 ........................ A-50
AP3.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 2 ......... A-51
AP3.7. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 3 ......................... A-54
AP3.8. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 3 ........................ A-55
AP3.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 3 ......... A-56
AP3.10. Freeth. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres
simulaciones ............................................................................................................................ A-60
AP4.1. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 1 ................ A-64
AP4.2. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente Y – caso de prueba 1 ............... A-65
AP4.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocyloid - caso de
prueba 1 ................................................................................................................................... A-66
AP4.4. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 2 ................ A-69
AP4.5. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente Y – caso de prueba 2 ............... A-70
AP4.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocyloid - caso de
prueba 2 ................................................................................................................................... A-71
AP4.7. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 3 ................ A-74
AP4.8. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente Y – caso de prueba 3 ............... A-75
AP4.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocyloid - caso de
prueba 3 ................................................................................................................................... A-76
AP4.10. Hypocyloid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres
simulaciones ............................................................................................................................ A-80
AP5.1. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 1 ................... A-84
AP5.2. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 1 .................. A-85
AP5.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de
prueba 1 ................................................................................................................................... A-86
AP5.4. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 2 ................... A-89
AP5.5. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 2 .................. A-90
xxx Índice de tablas
AP5.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de
prueba 2 .................................................................................................................................... A-91
AP5.7. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 3 .................... A-94
AP5.8. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 3 ................... A-95
AP5.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de
prueba 3 .................................................................................................................................... A-96
AP5.10. Nephroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres
simulaciones ......................................................................................................................... A-100
B.1. Configuración de parámetros de las redes neuronales ........................................................ B-2
B.2. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias .............................. B-4
B.3. Trayectoria Line. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias .............................. B-5
B.4. Trayectoria Line. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias .............................. B-6
B.5. Trayectoria Line. MSET MIN para 20 trayectorias. ........................................................... B-7
B.6. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación)
para 20 trayectorias ................................................................................................................... B-9
B.7. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ..................... B-10
B.8. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias ..................... B-11
B.9. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias ..................... B-12
B.10. Trayectoria Astroid. MSET MIN para 20 trayectorias. ................................................ B-13
B.11. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de
computación) para 20 trayectorias ....................................................................................... B-15
B.12. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ..................... B-16
B.13. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias ..................... B-17
B.14. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias ..................... B-18
B.15. Trayectoria Freeth. MSET MIN para 20 trayectorias. .................................................. B-19
B.16. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de
computación) para 20 trayectorias ....................................................................................... B-21
B.17. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias .......... B-22
B.18. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias .......... B-23
B.19. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias .......... B-24
B.20. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN para 20 trayectorias. ....................................... B-25
xxxi Índice de tablas
B.21. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de
computación) para 20 trayectorias ...................................................................................... B-27
B.22. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias ................ B-28
B.23. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias ................ B-29
B.24. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias ................ B-30
B.25. Trayectoria Nephroid. MSET MIN para 20 trayectorias. ............................................. B-31
B.26. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de
computación) para 20 trayectorias ...................................................................................... B-33
xxxii Índice de tablas
Índice de ecuaciones
2.1. Predicción de posición v constante. ....................................................................................... 2-23
2.2. Predicción de posición con parámetro h. ............................................................................. 2-25
2.3. Predicción de posición con parámetro g. .............................................................................. 2-26
2.4. Ecuaciones de filtrado. ................................................................................................................... 2-26
2.5. Ecuaciones de transición o predicción.............................................................................................. 2-26
2.6. Ecuaciones de filtrado g-h. Ecuaciones de predicción... .................................................................... 2-27
2.7. Modelo dinámico Kalman. ..................................................................................................... 2-28
2.8. Ecuaciones filtros Kalman ...................................................................................................... 2-29
2.9. Filtro Benedict-Bordner ................................................................................................................. 2-29
2.10. Estimación filtro Kalman. ........................................................................................................... 2-30
2.11. Estimación filtro Kalman (en notación filtro g-h) ......................................................................... 2-30
2.12. Peso gn en filtro Kalman. ............................................................................................................. 2-30
2.13. Peso hn en filtro Kalman.............................................................................................................. 2-30
2.14. Elección MM. ......................................................................................................................... 2-31
2.15. Cambio entre modelos. ......................................................................................................... 2-31
2.16. Probabilidad AMM. ............................................................................................................... 2-32
2.17. Fusión de estimaciones AMM. ............................................................................................. 2-32
2.18. Modelos en algoritmo MM cooperante. ............................................................................. 2-33
xxxiv Índice de ecuaciones
xxxv
Resumen
Los sistemas de vigilancia y control de tráfico aéreo presentan en la actualidad un conjunto de problemas conocidos relacionados con la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar, utilizadas como entradas en estos sistemas. En este trabajo se detallan aspectos teóricos de los algoritmos de seguimiento, centrándose en una propuesta basada en la utilización del paradigma de las redes neuronales, donde, a partir de las medidas discretas proporcionadas por sistemas radar, el objetivo será estimar el estado de un objetivo con la intención de alcanzar un seguimiento lo más preciso posible. La ausencia de una solución estadística óptima hace este enfoque atractivo en contraposición a los ya descritos en abundante literaria algoritmo clásicos de filtrado. Las redes neuronales presentan entre sus capacidades características que permiten utilizarlas como una herramienta para capturar información difícilmente accesible a partir de modelos aprendidos de un conjunto de entrenamiento. Se utilizarán estas capacidades para hacer a la red neuronal aprender, no solo de la información contenida en los datos radar recibidos, sino también del contexto en el que se desarrolla la maniobra del avión sobre el que se ejecuta el algoritmo de seguimiento. Esta información, información contextual, sobre la que el algoritmo de seguimiento trabaja, en este caso concreto se obtendrá de maniobras a priori predefinidas, al menos en sus parámetros generales. La solución descrita se aplica de forma concreta a distintos casos típicos de maniobras en combate aéreo, las curvas de persecución, curvas del perro, trayectorias modelo en maniobras de combate aéreo. Se demostrarán las ventajas de incorporar esta información contextual en la propuesta de algoritmo de seguimiento basado en redes neuronales. La solución aquí descrita debe tomarse como una propuesta que puede ser fácilmente generalizable para ser aplicado a distintos entornos donde diferente información contextual pueda ayudar en el problema de seguimiento a resolver.
xxxvii
Abstract
Air surveillance and traffic control radar tracking systems present a variety of known problems related to uncertainty and lack of accurately in radar measurements, used as source in these systems. In this work, we feature the theoretical aspects of a tracking algorithm based on neural network paradigm where, from discrete measurements provided by surveillance radar, the objective will be to estimate the target state for tracking purposes as accuracy as possible. The absence of an optimal statistical solution makes the featured neural network attractive despite the availability of complex and well-known filtering algorithms. Neural networks exhibit universal mapping capabilities that allow them to be used as a control tool for capturing hidden information about models learned from a dataset. We use these capabilities to let the network learn, not only from the received radar measurement information, but also from the aircraft maneuvering context, contextual information, where tracking application is working, taking into account this new contextual information which could be obtained from predefined, commonly used, and well-known aircraft trajectories. In this case study, the described solution is applied to a typical air combat maneuvering, a dogfight, a form of aerial combat between fighter aircraft. Advantages of integrating contextual information in a neural network tracking approach are demonstrated. The scheme described as a solution to the tracking problem in maneuvering trajectories should be considered as a proposal that could be used in several environments where contextual information could help in the tracking problem to be solved.
Capítulo 1
Introducción
"Háblame, oh Musa, de aquél varón de multiforme ingenio
que, después de destruir la sacra ciudad de Troya, anduvo
peregrinando larguísimo tiempo, vio las poblaciones y
conoció las costumbres de muchos hombres y padeció en su
ánimo gran número de trabajos en su navegación por el
ponto, en cuanto procuraba salvar su vida y la vuelta de sus
compañeros a la patria.”
Homero, La Odisea.
RESUMEN: Este capítulo comienza presentando la motivación e interés que ha dado
lugar a la realización de esta tesis doctoral. A continuación se enuncian los objetivos
planteados y finalmente se muestra la estructura del documento.
1.1 Motivación.
1.2 Declaración del problema y objetivos de la investigación.
1.3 Hipótesis de la investigación.
1.4 Ámbito de la investigación.
1.5 Organización de la tesis.
1.1 Motivación.
Los problemas de control que se presentan en una amplia variedad de campos de las ingenierías se
caracterizan esencialmente por su desarrollo en entornos de incertidumbre y soluciones no
lineales.
Resultados recientes ([Haykin94], [Narendra90], [Narendra98], [Poznyak98] y [Selmic98])
muestran que técnicas basadas en redes neuronales parecen ser herramientas muy efectivas para
controlar una amplia clase de complejos sistemas no lineales en aquellos casos en los que no
tenemos información completa sobre el modelo o, incluso, se considera el mismo como una
“caja negra”.
1-2 CAPÍTULO 1. Introducción.
Unos de las funciones claves desarrolladas por un sistema de vigilancia es realizar un seguimiento
de todos los objetivos de interés dentro de la región de cobertura de sus sensores, los cuales
proporcionarán información ambigua, incorrecta e imprecisa. El diseño de estos algoritmos que
permitan realizar o estimar este seguimiento de la forma más precisa posible representa un
problema de control complejo y emocionante.
De forma tradicional los algoritmos de seguimiento se han implementado basados en
estimadores de estado más o menos complejos (filtro α-β [Kalata84][Farina85][Brookner93], α-β-
δ[Farina85][Brookner98] y filtros Kalman [Kalman60][Kalman61][Brown92][Brookner98][Li05]) buscándose en todo
momento optimizar el error medio cuadrático (MSE) en la estimación de estado realizada.
Debido al incremento en la capacidad de computación actual en los ordenadores, los filtros
Kalman se han convertido en un estándar en la solución a este tipo de problemas.
En sistemas reales, existe una gran cantidad de factores originados por los objetivos y el
sistema que originan la pérdida de exactitud en este seguimiento.
La aplicación de redes neuronales a estos problemas de seguimiento radar en sistemas de
vigilancia, con medidas discretas las cuales incorporan incertidumbre, puede ayudar a
proporcionar soluciones en este complejo problema de control, no lineal, donde gran cantidad
de factores que quedan fuera de consideración en algoritmos clásicos, pueden ser tenidos en
cuenta en la resolución de este problema aplicando este paradigma.
La aplicación de redes neuronales en problemas donde se pretende estimar un
comportamiento futuro ha venido siendo una constante. En este caso, las redes neuronales
actúan como un reconocedor de patrones. En concreto, se puede considerar frecuente su
aplicación en el reconocimiento de series temporales[Olmedo04], y de forma más concreta en la
predicción de series temporales económicas. En concreto, se pueden citar ejemplos en lo
relativo a mercados financieros[Azoff94][Gately96], predicción de mercados bursátiles[Chen03][Grudnitski93],
predicción de bancarrotas y fallos de mercados[Wilson94][Fletcher93], predicción de tipos de
cambio[Frances98][Giles01], aplicaciones macroeconómicas[Qi01] o de comportamiento de magnitudes
macroeconómicas[Tkacz01].
Este es el caso de la información contextual, entendiendo la misma como información externa
a la correspondiente al propio estado (posición y velocidad) de un objetivo, entendiendo este
como cualquier aeronave detectada por un radar sobre la cual se quiere ejecutar un
seguimiento, y a la determinada por las medidas radar consideradas asociadas a este objetivo.
Esta información contextual, por la propia complejidad computacional que incorpora en su
tratamiento, de forma habitual no ha sido tratada por los algoritmos clásicos de seguimiento.
Las redes neuronales, por su capacidad para aprender a partir de unos datos de entrenamiento,
sin necesidad de tener que definir de forma exhaustiva un modelo del movimiento a tratar, por
su facilidad en la adaptación para incluir nuevos datos de entrada (en nuestro caso información
contextual), y por su extraordinaria adaptación a una computación paralela que permita
optimizar y acotar sus tiempos de cómputo, constituyen una herramienta muy interesante a
tener en cuenta y que debe ser considerada en la resolución de estos problemas. Estos tres
aspectos anteriores difícilmente se pueden encontrar en los algoritmos clásicos de
seguimientos (por su propia definición).
La motivación de esta tesis doctoral surge de una gran cantidad de años observando en mi
trabajo diario en el Grupo Central de Mando y Control del Ejército del Aire, cómo se
comporta un controlador en su estimación de trayectorias, en oposición al algoritmo de
1-3 CAPÍTULO 1. Introducción.
seguimiento implantado en su sistema automático de proceso de datos, al cual en múltiples
ocasiones personalmente pregunté en que se basaba para considerar que una aeronave tenía un
estado u otro, qué miraba, confrontando las respuestas dadas con la información considerada
por los algoritmos de seguimiento clásicos, concretamente los filtros α-β y Kalman.
En múltiples ocasiones la solución adoptada por el controlador estaba fundamentada en
información más allá de la información considerada por los algoritmos de seguimiento. Estaba
considerando información contextual del objetivo bajo seguimiento.
Esta es una de las motivaciones principales que incita al autor de esta tesis a considerar la
aplicación de uno de los paradigmas de la inteligencia artificial, en este caso redes neuronales,
con el objetivo de tratar de reproducir aptitudes en el software próximas a las humanas.
Por analogía con la literatura en lengua inglesa existente sobre este tema, en la que se emplea
de forma habitual el término “neural tracking” [Sengupta89][Kim91][Juszkiewicz00][Wang14], tanto en el título
como durante la propia tesis se empleará la denominación “seguimiento neuronal”, entendiendo el
mismo como simplificación lingüística de “seguimiento basado en redes neuronales”, aún sabiendo
que su corrección semántica no sea la adecuada.
1.2 Declaración del problema y objetivos de la investigación.
La clave para un seguimiento de objetivos exitoso en un sistema de vigilancia aérea basada en
información radar subyace en la extracción de información útil para la estimación del estado
del objetivo a partir de observaciones radar[Rong03].
El objetivo fundamental de un algoritmo de seguimiento es estimar el estado o trayectorias de
un objetivo, considerando el mismo como un objeto en movimiento. Aunque este objetivo
normalmente no es realmente un punto en el espacio, de forma general es tratado así, como un
objeto puntual en este tipo de algoritmos.
Casi todos los métodos de seguimiento están basados en modelos. Asumen que el movimiento
del objetivo y las correspondientes observaciones del mismo pueden ser representados por algún
modelo matemático suficientemente preciso.
Los modelos más comúnmente usados son aquellos conocidos como modelos espacio-estado
siempre con ruido aditivo.
Uno de los mayores retos en este problema de seguimiento consiste en tratar con la
incertidumbre incorporada en las observaciones. Esta incertidumbre se refiere al hecho de que no
se dispondrá de un modelo dinámico preciso para el objeto bajo seguimiento. Aunque un
modelo general sea aplicable,
El objetivo de esta tesis doctoral es analizar la problemática relacionada con la estimación de
trayectorias a partir de datos radar discretos en el tiempo, considerando la configuración
clásica en un sistema de vigilancia aérea.
La tesis describirá este problema de seguimiento, exponiendo las soluciones adoptadas hasta la
actualidad en este tipo de sistemas aquí considerados.
1-4 CAPÍTULO 1. Introducción.
Se estudiará en detalle la posibilidad de utilizar algoritmos basados en redes neuronales para la
resolución de este tipo de problemas de seguimiento radar en sistemas de vigilancia aérea,
considerando en las soluciones propuestas la posibilidad de incorporar nueva información, no
considerada en algoritmos clásicos por el alto coste computacional implicado, información que
podría cubrir ciertas carencias observadas en estos algoritmos. De forma concreta se considera
la incorporación de datos contextuales al objetivo bajo seguimiento como información a tener
en cuenta y considerar para la estimación de su nuevo estado, o lo que es lo mismo, en el
proceso iterativo de estimar la trayectoria del mismo.
1.3 Hipótesis de la investigación.
Para alcanzar los objetivos de la investigación se parte de un estudio inicial de los métodos
clásicos de estimación utilizados con datos radar en navegación aérea, los cuales son descritos
en el estado de la cuestión, implementándose en base a estos algoritmos basados en el
paradigma de inteligencia artificial de las redes neuronales donde la integración de nueva
información se puede realizar de forma más directa.
A continuación, considerando un ámbito de control y vigilancia aérea, se hace un estudio
sobre la posibilidad de considerar como información útil y valiosa en esta función de
seguimiento y estimación cierta información contextual existente en el entorno del avión sobre
el cual estamos ejecutando el seguimiento.
Hipótesis 1.
Considerando un entorno de navegación aérea, y más concretamente un ámbito de control y
vigilancia aérea, basado en información radar, es posible proponer un modelo de sistema de
seguimiento basado en redes neuronales alcanzando resultados en la estimación de
trayectorias a partir de los datos radar con una calidad de la misma similar a los algoritmos
de seguimiento ya definidos en la actualidad, llegando muchas ocasionas a mejorar los
resultados obtenidos.
Hipótesis 2.
Explotando las ventajas proporcionadas por el paradigma de inteligencia artificial de las
redes neuronales es, desde un punto de vista algorítmico y computacional, factible incorporar
al algoritmo de seguimiento nueva información que pudiera ser útil en la estimación de
estado del avión considerado. De forma más concreta, la integración de información basada
en el contexto en el cual se está desarrollando el movimiento del avión considerado aportará
información muy útil y valiosa que mejorará de forma notable la calidad de los resultados
obtenidos en el seguimiento.
Hipótesis 3.
Respecto a la validez de las estimaciones, el comportamiento relativo de las estimaciones del
modelo propuesto varía en función de la cantidad y tipo de información disponible, lo cual
determinará la red neuronal implementada.
Los resultados de este estudio y consecuentes desarrollos deben considerarse como un nuevo
enfoque o propuesta en lo relativo al futuro desarrollo de algoritmos de seguimiento radar
1-5 CAPÍTULO 1. Introducción.
presentando un nuevo método de integrar distintos tipos de información en este tipo de
algoritmos.
1.4 Ámbito de la investigación.
Esta tesis se centra en el diseño y posterior exposición de una solución para la integración de
información contextual en algoritmos de seguimiento radar partiendo del estudio de los
algoritmos desarrollados hasta la actualidad. Para ello se considera la aplicación de paradigmas
de inteligencia artificial, tratando de emular de alguna forma el comportamiento que permite a
un controlador de navegación aérea desarrollar su función de estimación y seguimiento a partir
de la información de entrada que dispone.
Durante la revisión bibliográfica, se ha puesto de manifiesto que, a pesar de la extensa
literatura sobre los algoritmos de estimación y seguimiento en distintos ámbitos, existe muy
poca investigación que hubiese abordado la cuestión de la integración de información
contextual en un ámbito de aplicación de navegación aérea, donde las observaciones radar se
convierten en fuente de información principal. La literatura en este ámbito es muy limitada.
Por lo tanto, los objetivos de la investigación y otras cuestiones abordadas requerirán un
tratamiento específico, en términos de recogida de datos, aplicación de métodos, evaluación
del desarrollo y diseño de pruebas de hipótesis.
1.5 Organización de la tesis.
El Capítulo 1 comienza presentando la motivación e interés que ha dado lugar a la realización
de esta tesis doctoral. A continuación se enuncian los objetivos planteados y finalmente se
muestra la estructura del documento.
En el Capítulo 2 se detallan los algoritmos actualmente definidos y usados para el seguimiento
radar en un ámbito de aplicación a la vigilancia aérea en los sistemas automáticos diseñados
para esta función, justificando la necesidad de los mismos desde lo más básico de la
navegación aérea.
En el Capítulo 3 se presentan los algoritmos actualmente definidos y usados para el
seguimiento radar en un ámbito de blancos en maniobra, justificando la complejidad que
aparece en este tipo de problemas. Se describen ejemplos de maniobras definidas y utilizadas
habitualmente en combate aéreo.
El Capítulo 4 presenta una propuesta de solución en relación a la problemática presentada por
la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar utilizadas como fuente de información en
un sistema seguimiento de vigilancia aérea radar. Como propuesta de solución se presenta un
caso de aplicación de redes neuronales incorporándose información contextual a este
problema de seguimiento que pudiera ser implementada considerando los requerimientos de
proceso que acompaña a estos sistemas de tiempo real.
Se intenta explotar la capacidad de las redes neuronales para aproximar funciones de mapeo
pseudo-arbitrarias de entradas-salidas en un proceso, para incorporar la información
1-6 CAPÍTULO 1. Introducción.
contextual que pudiera existir en trayectorias predeterminadas, en el proceso de estimación y
seguimiento propio de los sistemas de vigilancia aérea radar.
Una vez presentada en el Capítulo 4 la arquitectura y viabilidad del sistema neuronal a
implementar como solución como sistema de seguimiento radar, en el Capítulo 5 se somete
esta solución a un estudio de optimización de los parámetros propios de las redes neuronales
implementadas para alcanzar un comportamiento óptimo en la estimación obtenida.
Se detalla el estudio y pruebas realizadas por un lado en cuanto a la optimización del número
de neuronas a considerar en la capa oculta, por otro en cuanto a la selección de funciones de
transferencia que, aplicadas en la capa oculta y capa de salida, proporcionen los mejores
resultados.
Para finalizar, en el Capítulo 6 servirá de reflexión sobre lo expuesto en los capítulos
anteriores, con la finalidad de extraer conclusiones y descubrir los vacíos por los que
adentrarse en este campo, abriendo nuevas líneas de investigación. Se resumirán las que se
consideran principales aportaciones en esta tesis.
Se incluye en este trabajo un apartado final con las referencias bibliográficas citadas a lo largo
de la tesis y los anexos que la componen.
RELACIÓN DE ANEXOS
Anexo A.
Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba
realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo
relativo a la determinación del número de neuronas a implementar en la capa oculta.
Componen este anexo los siguientes apéndices:
Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Anexo B.
Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba
realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo
relativo a la determinación de las funciones de transferencia a utilizar en la capa oculta y capa
de salida.
Capítulo 2
Estado del Arte
"¡Oh dioses! ¡De qué modo culpan los mortales a los
númenes! Dicen que las cosas malas les vienen de nosotros, y
son ellos quienes se atraen con sus locuras infortunios no
decretados por el destino."
Homero, La Odisea.
RESUMEN: En este capítulo se presentan los algoritmos actualmente definidos y
usados para el seguimiento radar en un ámbito de aplicación a la vigilancia aérea en los
sistemas automáticos diseñados para esta función, justificando la necesidad de los
mismos desde lo más básico de la navegación aérea.
2.1. Control de la Navegación Aérea.
2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo.
2.3. Desarrollos de sistemas automáticos de control aéreo.
2.4. Estimación, decisión y seguimiento.
2.5. Sistemas de vigilancia.
2.6. Seguimiento y asociación de datos.
2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un sistema de vigilancia radar.
2.8. Filtros g-h.
2.9. Filtros Kalman.
2.10. Filtros con múltiples modelos.
2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento.
2.1. Control de la Navegación Aérea.
El avión obtiene su sustentación única y exclusivamente de su velocidad relativa, es decir, de la
velocidad con respecto al aire que le rodea. Cuanto más grande y pesado sea un avión, y
cuanto mayor sea la capacidad de carga que posee, tanto mayor deberá ser la sustentación que
soporte el peso del avión y de su carga. Ello implica que deberá ser mayor su velocidad (viento
relativo), pues la sustentación crece con el cuadrado de la velocidad (ver fuerzas actuantes en
figura 2.1).
2-2 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.1. Fuerzas actuantes sobre un plano aerodinámico.
Pero, ¿cómo influye la velocidad con la necesidad del control del tráfico aéreo?
Evidentemente, si hubiese muy pocos aviones no habría necesidad alguna de establecer un
Servicio de Control de Tráfico Aéreo. Bastaría con esperar el aterrizaje de un avión para
autorizar el despegue de otro. De esta manera, nunca habría posibilidad de colisión, ya que
todo el espacio aéreo estaría disponible para un solo avión, en todo momento. Esto sería un
modo de utilización secuencial, a todas luces utópico e inaceptable. En este caso no habría que
ocuparse de niveles ni rutas.
La realidad es muy distinta. Existen muchos aviones, cada día más, que desean operar a lo
largo de las mismas rutas, a las mismas horas, y a niveles similares.
El vuelo no es un estado natural del hombre. Los sentidos proporcionan informaciones poco
exactas. El sentido más fiel es el de la vista. No obstante, los pilotos no pueden confiar
excesivamente en ella.
La velocidad de crucero de un avión reactor moderno puede estar comprendida entre 300 y
500 nudos. Recordemos que un nudo es la velocidad de una milla marina por hora, y que una
milla marina equivale a 1.852 metros. Eso significa que la velocidad de un avión es de unos
900 kilometros por hora. Ninguna persona, por muy hábil que sea, es capaz de volar fiándose
únicamente de sus sentidos. Incluso contando con una excelente visión, y un tiempo
atmosférico ideal, con visibilidad ilimitada, no dispone de unos reflejos suficientes como para
poder gobernar una aeronave por medios visuales.
¿Qué ocurre si otro avión procede por la misma ruta en sentido contrario?
Si ambos aviones son similares, sus velocidades de crucero serán parecidas. Según conoce
cualquier alumno de física elemental, es lo mismo imaginar dos aviones volando en sentidos
opuestos, que imaginar uno de ellos inmóvil y el otro al doble de su velocidad.
¿Se imagina conduciendo un tubo de aluminio lleno de personas a una velocidad de 1.800
kilómetros por hora, intentando evitar cualquier colisión, confiando únicamente en su agudeza
visual y en la divina providencia, para poder llevar a todos los pasajeros sanos y salvos a su
destino?
La configuración de un avión, por motivos aerodinámicos, es muy estilizada, con objeto de
presentar una mínima resistencia al avance. Los pilotos ocupan la parte frontal del fuselaje, por
lo que su visión queda limitada a un ángulo pequeño alrededor del eje longitudinal del avión;
dicha visión frontal es la que resulta más cómoda de adoptar, ya que es compatible con la
2-3 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
observación de los instrumentos del panel, que es esencial en el vuelo instrumental. Lo que
resulta absolutamente imposible es observar por detrás. La visibilidad de un avión es nula por
detrás (ver campo visual en figura 2.2).
Figura 2.2. Ejemplo de campo visual del piloto de un avión.[Bea14]
Tan solo se puede obtener una visión lateral a costa de esfuerzos e incomodidades por parte
de los pilotos.
Si varios aviones utilizan una misma ruta en el mismo tiempo, existe peligro de que puedan
colisionar unos con otros. Dicho peligro no es una cosa remota ni improbable, sino algo muy
real y muy concreto. Pensemos que el espacio aéreo con toda su infinitud aparente ante
nuestros ojos, no es utilizable por los aviones en su totalidad.
La primera limitación que los aviones imponen es la altura máxima a la que pueden operar, es
decir su techo. Otra limitación es la altitud mínima sobre el terreno, que se impone como
medida obligatoria para eliminar riesgos de colisión con los obstáculos terrenos. Así pues, tan
solo se pueden emplear unos determinados niveles, comprendidos entre una cota mínima y
otra máxima. La primera limitación que existe en el espacio aéreo es, pues, vertical.
Por otro lado, los aviones que se dirigen hacia un mismo punto lo hacen, evidentemente, por
el camino más corto. Esto hace que solamente unas zonas del espacio aéreo resulten
transitadas, mientras que otras quedan desiertas. La segunda limitación al espacio aéreo es
horizontal.
Existen unas rutas, determinadas por unos rumbos, que son muy utilizadas, mientras que otras
lo son menos, o no lo son en absoluto. Si en este caso, suponemos que existe un tráfico aéreo
intenso, simultáneamente habrá aviones desplazándose de un punto A a B y de B a A, dándose
la circunstancia de que haya varios aviones en cada sentido. En este caso, la solución obvia es
dividir el espacio aéreo en niveles verticales, como estratos superpuestos, y asignar una de estas
capas a los aviones que se dirijan de A a B y otro distintos a los que lleven sentido opuesto.
Dos aviones que se crucen de frente se aproximan a 1.800 km./h. Esta velocidad es,
aproximadamente, la misma que la que lleva una bala de fusil cuando abandona el cañón de un
arma. Imaginemos la rapidez de reflejos que deberían poseer los pilotos para ser capaces de
evitar un choque frontal.
2-4 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
La capacidad humana de evitar una colisión, en estas circunstancias, es totalmente insuficiente.
Ningún piloto aceptaría la responsabilidad de realizar un vuelo, separándose él solo por
medios visuales de los demás aviones. Eso solamente podía hacerse en los primeros tiempos
de la aviación, cuando había muy pocos aviones, y éstos desarrollaban velocidades muy
pequeñas.
La separación vertical descrita en los párrafos anteriores es suficiente para evitar la posibilidad
de colisión una vez que los aviones han alcanzado sus niveles de crucero asignados (figura 2.3),
es decir, se han nivelado. Pero, ¿cómo se llega a dichos niveles? ¿cómo abandonan sus niveles
para aproximarse a un aeropuerto?
Figura 2.3. Niveles de vuelo[AENA15]
Al cruzar los niveles, tal y como se aprecia en la figura 2.4, se ve que aparecen momentos
extremadamente conflictivos, en los que, a menos que se tomase alguna precaución especial,
existe un gran riesgo de choque frontal.
Figura 2.4. Tránsito en niveles de vuelo[Notjur15].
Por consiguiente, se debe establecer alguna limitación en el régimen de ascenso de los aviones, es
decir, en su mayor o menor velocidad de subida, o de bajada – régimen de descenso -. También se
puede establecer una limitación temporal con objeto de evitar que dos aviones coincidan en el
mismo sitio y en el mismo momento. Para ello se establecen dos tipos de separación; por
espacios y por tiempos.
2-5 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Resumiendo, con las consideraciones teóricas analizadas hasta ahora, vemos que existen tres
tipos de separación utilizables:
I. Vertical.
II. Por espacios.
III. Por tiempos.
Las complicaciones de una ruta rectilínea, como la de nuestro ejemplo, no quedan agotadas
con lo expuesto. Los aviones no son todos iguales. Unos son más rápidos que otros. Unos
pueden subir o bajar más deprisa que otros. Incluso tratándose de aviones idénticos, su
maniobrabilidad depende de la carga que transporten. Algunos aviones son capaces de volar en
niveles muy altos, mientras que otros no. Aun volando en el mismo sentido, puede ser que
unos aviones alcancen y adelanten a otros. También existe, pues, peligro de colisión en el
mismo sentido. Cualquier restricción que se aplique a los aviones se deberá establecer teniendo
en cuenta sus características aerodinámicas.
¿Y qué ocurre si existen otros aeropuertos intermedios entre o cercanos a los puntos A y B
anteriores? Existirán, evidentemente, riesgos de colisión en los puntos próximos a cada uno de
ellos. Bajo ningún concepto, y en ninguna circunstancia, los aviones pueden volar a su
albedrío.
Es necesario que exista una dependencia donde se disponga de los datos relativos a todos los
vuelos, así como de los tipos de aeronave involucrados. El servicio proporcionado es el
Tráfico de Control Aéreo, conocido internacionalmente por las siglas ATC (Air Traffic Control).
Las cosas en realidad pueden ser, y de hecho son, mucho más complicadas. Pensemos en una
disposición de aeropuertos tal que las rutas aéreas que los enlazan se crucen entre sí. Tal
configuración es real, y ocurre en multitud de ocasiones. Basta con contemplar un mapa
geográfico y asociarlo con su correspondiente mapa aéreo.
2.2. Antecedentes históricos del control de tráfico aéreo.
A consecuencia del primer vuelo tripulado, la ascensión en globo de los hermanos Montgolfier
por los cielos franceses, la Prefectura de Policía de París establece que antes de realizar una
ascensión similar, los aeronautas deben solicitar un permiso. Surgen montones de preguntas
inéditas que requieren respuestas correctas. Ello sucede en 1784. A finales del siglo XVIII se
establecieron leyes que regulaban la utilización de los globos.
Ya en el siglo XIX, desde Europa aparecieron noticias de que algunos chiflados estaban
construyendo aviones. ¿Qué son los aviones? Grandes máquinas de madera y tela, unidas por
cables y movidas por motores, que son capaces casi de volar. Estas noticias constituyeron un
verdadero desafío para los americanos, gente imaginativa y emprendedora. Los hermanos
Wright realizaron el primer vuelo totalmente exitoso en el año 1903, en Kitty Hawk, Carolina
del Norte. Los Estados Unidos se apropiaron del triunfo de los hermanos Wright y la Aviación
se convirtió en asunto de máxima importancia nacional.
Se establece un servicio de comunicaciones postales lo más rápido posible. Es obvio que el
único vehículo que podía proporcionar rapidez en el reparto de las cartas y documentos era el
avión. Se empieza a crear la infraestructura necesaria para la navegación aérea.
2-6 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.5. Servicios postales. 1920[NATCA15].
Primero fueron los servicios postales, después los de mercancías. Más adelante, los propios
viajeros perdieron el miedo ancestral al elemento aéreo, y cada vez se utilizó más el avión.
Surgen de esta forma las primeras líneas comerciales. Se establecieron las primeras Leyes del
Aire (estado de Connecticut, en 1911).
Inicialmente, los pilotos establecen sus rutas siguiendo los cursos de los ríos, las líneas férreas
o las carreteras. Si alguna vez dudan del camino a seguir, vuelan muy bajo, acercándose para
leer los carteles que señalan los cruces e intersecciones.
Pero, algunas veces, el tiempo atmosférico cambia bruscamente, y juega malas pasadas a los
pilotos. Se forman nubes espesas, y se producen nieblas bajas que impiden la visibilidad del
terreno. Se pierden las referencias visuales, y surge la angustia del aviador perdido, incapaz de
distinguir el suelo, sin medio alguno de saber dónde está, y con un combustible que se le agota
rápidamente.
Su único vínculo con la tierra es la radio. El piloto, acercándose al sitio donde cree que está el
aeropuerto, llama desesperadamente. El controlador le contesta que oye el ruido de los
motores por encima de las nubes, dándole su posición relativa respecto a la pista. De esta
forma reiterativa, el avión se acerca. Algunas veces encuentra la pista, y el vuelo concluye
felizmente. Otras veces no.
2-7 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.6. Aeropuerto de Cleveland. Primera sala equipada con radio. 1930[NATCA15].
Durante estos primeros años, el porcentaje de accidentes aéreos era importante. Las
autoridades se preocuparon de buscar maneras de incrementar la seguridad en vuelo. Se
comienza a investigar sobre los medios técnicos que podrían ayudar a la navegación aérea.
La Aviación ha progresado mucho en pocos años. De los primeros aviones de madera y tela
hemos pasado a los actuales reactores de gran capacidad y velocidad. Y todo ello se ha
conseguido en poco más de 100 años. Bien es verdad que, en estos años, se han desarrollado
dos Guerras Mundiales y, con todas las consecuencias desastrosas que ello ha desencadenado,
la Aviación debe gran parte de su progreso precisamente a ellas.
Desde sus primeras aplicaciones prácticas, el avión demostró poseer unas extraordinarias
cualidades militares. No es extraño que todos los países prestasen una atención excepcional al
perfeccionamiento de los aviones, destinando a su desarrollo y fabricación importantes
presupuestos económicos, y los esfuerzos de los mejores cerebros científicos y técnicos. El
avión evolucionó rápidamente.
Pero de nada servía este desarrollo si el avión no podía utilizar el espacio aéreo libremente, y
con un elevado margen de confianza y seguridad. Para poder aprovechar totalmente las
cualidades, cada vez mejores, que los fabricantes proporcionaban a sus aviones, hubo que
disponer de sistemas que hiciesen que la Navegación Aérea fuese posible. Y estos sistemas
eran producto de unas técnicas muy recientes, casi tan recientes como la propia Aviación. Se
trataba de equipos electrónicos, radioayudas, basados en la utilización de la radio, sistema ideal
para transmitir y recibir información de los aviones en vuelo.
El radar (radio detection and ranging) se puede considerar para el ATC, como la radioayuda por
excelencia, algo así como la reina de las radioayudas, resultando tan esencial como la propia
radio. Tal es su importancia, que sin el radar no se podría manejar la densidad de tráfico aéreo
que conocemos en esta época. Ningún otro sistema, a excepción de la propia radio, ha
contribuido tanto al desarrollo de la Aviación, tanto civil como militar.
El radar cobró una importancia absoluta en la guerra gracias a la información que era capaz de
suministrar. Gracias al radar, que en aquellos días aún era conocido como “radiolocalizador”,
se pudo ganar la Batalla de Inglaterra en 1940. Los alemanes disponían de una poderosísima
2-8 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
arma, la Luftwaffe (el arma aérea). Por primera vez, habían concebido y desarrollado la idea de
construir una Armada Volante, un ejército numeroso de modernos aviones de gran capacidad
de carga, y con un considerable radio de acción. La Luftwaffe disponía de más de 2000 aviones
de bombardeo, una fuerza destructora arrolladora, frente a la cual Inglaterra solo podía
oponer, como máximo 700 aviones de caza [Brown99].
Pero, gracias al radar, los británicos (figura 2.7) podían conocer de antemano las intenciones
del enemigo, ya que sabían sus movimientos y, por lo tanto, podían dirigir sus propios aviones
al lugar más oportuno, y en el momento más conveniente [Gwen03]. Solo así se explica como 700
aviones fueron capaces de derrotar a la poderosa Luftwaffe. La Batalla de Inglaterra fue ganada
gracias al radar [Bendiner45].
Figura 2.7. Estación radar británica “Chain Home”[AESS15].
El fundamento técnico del radar es muy sencillo. Se basa en el mismo principio que el eco. Un
transmisor emite una señal muy corta y de gran potencia (un impulso) y, a continuación, un
receptor sintonizado a la misma frecuencia recibe cualquier señal procedente del rebote del
impulso transmitido contra cualquier obstáculo (y muy especialmente, de los obstáculos
metálicos). Un dispositivo de observación permite presentar en una pantalla en forma visual
(ver figura 2.8, presentación de datos en 1945), la situación relativa de cada eco con respecto a
la estación emisora-receptora. Esto revolucionaría el control de tráfico aéreo.
2-9 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.8. Presentación de datos radar en 1945.[Radar15]
Cuanto más lejos esté el obstáculo, más tiempo tardará su eco en llegar al receptor. En la
pantalla, dicho eco aparecerá más alejado del origen. Es fácil calibrar esa distancia en millas
náuticas, ya que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas (sean de radio,
radar, TV o la propia luz visible), es siempre la misma, y su valor es perfectamente conocido.
Por otra parte, el empleo de frecuencias muy altas (o, lo que es lo mismo, de longitudes de
onda muy cortas, comprendidas en la región de las microondas), permite que los haces de
energía transmitidos sean muy estrechos. En esas condiciones, las antenas utilizadas permiten
una definición muy precisa de la situación espacial de los blancos.
Pero un sistema de radar de impulsos como el descrito no permite distinguir un avión de otro.
El eco únicamente informa sobre el tamaño del avión, además de su posición y distancia. Para
distinguir un avión de otro hacía falta pensar en otro sistema (Radar Secundario, cuando es el
propio avión quien envía una señal hacia la señal de tierra, frente al Radar Primario, descrito
anteriormente, donde el eco es la única señal utilizable, figura 2.9).
Los sistemas radar que se utilizan en el ATC son ambos, primario (PSR, Primary Surveillance
Radar) y secundario (SSR, Secondary Surveillance Radar). Naturalmente, el secundario proporciona
mucha más fiabilidad al sistema. Es más fácil detectar una señal potente que un eco pasivo.
Como primera consecuencia, el empleo del radar secundario permite incrementar la
sensibilidad del equipo radar. Además, permite que el alcance del sistema sea mucho más
grande. Se pueden detectar más aviones, y más alejados con el radar secundario que con el
primario. Además de lo anterior, el equipo transmisor del avión responderá con una señal
compuesta de varios impulsos, dispuestos de diferentes maneras, codificándose de esta forma
datos relativos al avión. Es como si en la codificación de los impulsos transmitidos fuese la
“firma” del avión.
2-10 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.9. Radar primario –PSR- y secundario -SSR- [Surcando15].
No obstante, este radar secundario implica la necesaria “colaboración” del avión al cual se
quiere detectar. Es más que probable, que en aplicaciones militares, en muchas ocasiones,
ciertos blancos no ofrezcan esta información, motivo por el cual, el radar primario se convierte
en transcendental y única fuente de información para su detección, convirtiéndose en fuente
fundamental de información en este tipo de sistemas.
La utilización del radar primario y/o secundario (ver figuras 2.9 y 2.11) permite al controlador
ver los aviones y sus posiciones relativas (ver figura 2.10), con referencia a un mapa de
navegación superpuesto en la misma pantalla. Además de ver su situación física, podrá deducir
los rumbos y velocidades correspondientes a cada avión.
Figura 2.10. Señal radar primario analógica[Alcione11].
Una utilización combinada de radares primario y secundario (figura 2.11) tiene las ventajas de
los dos tipos de radares en una única instalación. Generalmente, la antena del radar primario y
el secundario son montadas en el mismo eje, con el mismo mecanismo de rotación, tratándose
los datos de forma integrada [Skolnik02]. El radar primario da información sobre detecciones de
intrusiones y el radar secundario sobre aviones cooperativos (junto a su identidad y altura).
2-11 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.11. Radar Lanza. Primario (antena inferior de mayor tamaño) y secundario (antena
superior de menor tamaño).[Gaceta14]
Los radares actualmente utilizados para control de tráfico aéreo presentan las características
técnicas mostradas en la tabla 2.1.
CARACTARÍSTICAS RADAR
PSR
SSR
PSR+SSR
Distancia Superior a 250 NM.
Superior a 250 NM.
Superior a 250 NM.
Periodo de rotación de antena 4-12 sg. 4-12 sg. 4-12 sg.
Probabilidad de detección >90% >97% >95%
Densidad de clutter1 (número de plots por scan)
40
Precisión nominal en medida:
- Distancia (m.)
- Rumbo (grados)
40 0.07
30 <0.06
30 <0.06
Precisión en cuantificación (estándar ASTERIX):
- Distancia (m.)
- Rumbo (grados)
1/256 0.0055
1/256 0.0055
1/256 0.0055
SSR falsos plots:
- Reflexión
- Lóbulos laterales
- Splits
<0.2 <0.1 <0.1
<0.2 <0.1 <0.1
Error en referencia temporal <=100 ms. <=100 ms. <=100 ms.
Error nominal en referencia temporal 50 ms. 50 ms. 50 ms.
Tabla 2.1. Características de sensores radar [Arif10][Olivier10].
En referencia a las medidas proporcionadas por radares, en un sistema de control de tráfico
aéreo, se puede considerar el error en la posición mostrado en la figura 2.12.
1 ruido provocado por los ecos o reflexiones en elementos ajenos al sistema (montañas,
superficie del mar, etc.), que evitan que la SNR sea la óptima. Ver figura 2.10.
2-12 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.12. Error en la medición radar de posición[Olivier10].
2.3. Desarrollo de sistemas automáticos de control de tráfico
aéreo.
A pesar de la importancia de los radares dentro de los sistemas de control de tráfico aéreo,
estos no son más que una parte de los mismos. Un sistema completo incluye:
Sensores de posición y altura (estaciones de tierra o embarcadas en aviones). Se
utilizan enlaces de datos para transmitir esta información desde los aviones a centros
en tierra.
Sistemas para la transmisión de información desde el punto de detección al centro de
proceso de datos.
Sistema de presentación o sistema automático ATC.
A partir de los años 50, los ordenadores comienzan a transformar el control de tráfico aéreo,
entrándose en los tiempos de la automatización. Los ordenadores se usan de forma
experimental en 1956. En pocos años, la FAA (Federal Aviation Administration) desarrollará
complejos sistemas.
Desde 1965 a 1975, la FAA instala un sistema informatizado que, por primera vez, integra
datos, desde el plan de vuelo a datos radar, produciendo presentaciones en pantallas gráficas
mostrando la posición, velocidad y altura de cada avión (ver figura 2.13). Los controladores
pueden, por fin, “ver” los aviones en “tres dimensiones”, y hacerlo de forma continua. Con
esta automatización, los controladores pueden detectar y corregir cualquier variación.
En referencia al proceso automático de datos radar, se proporciona seguimiento automático,
considerando radar primerio, y presentación digital alfanumérica, todo ello a partir de datos
radar digitalizados [Gle73]. Esta presentación incluirá información de posicionamiento, altura e
identificación de la aeronave considerada. Se presenta siempre como objetivo presentar
información de vigilancia precisa, entre otros motivos para prevención de colisiones.
2-13 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.13. Sistema de control de tráfico aéreo automático, servidores (IBM9020, Jacksonville
ARTCC) y estación de trabajo, 1975. [ATC14]
En un sistema de presentación o sistema automático ATC [ICAO07][Bisplinghoff82]:
Los datos procedentes de los sensores pueden ser presentados en una presentación
“standalone” para un único sensor o junto a otros sensores, combinando estos datos en
una “imagen” plana de la situación aérea.
Esta imagen plana de la situación aérea proporciona a los controladores una visión de
la posición relativa entre aviones y/o referencias geográficas. Esto ayudará al
controlador en su servicio de control de tráfico aéreo.
Se deben/pueden implementar funciones de vigilancia tales como detección de
intrusiones, alertas, warnings, establecimientos de zonas restringidas,… Estas funciones
incrementarán la seguridad en general.
Todo lo anterior, funciones de vigilancia, seguridad, alertas, decisiones del controlador,… está
supeditado a una “imagen” de la situación aérea precisa, en tiempo real, tan exacta y
correspondiente con la realidad como sea posible, si bien estará condicionado por las
imprecisiones e incertidumbres que existen en los datos proporcionados por los sensores. A
modo de ejemplo, en la figura 2.14, se puede observar una imagen estándar de datos radar
(puntos) y trazas (vectores), existiendo incertidumbre provocada por la dispersión en medidas
radar.
2-14 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.14. Típica presentación de datos multiradar con estimación de estado (posición y
velocidad).
Estas funciones de ATC son aplicables tanto en un entorno civil como en un entorno militar,
cada uno con sus objetivos y funciones, uno más basado en la seguridad del espacio aéreo y
otro en la vigilancia del mismo, ejerciéndose las típicas funciones de mando y control con lo
que ello conlleva [JCS80][Alberts06].
2.4. Estimación, decisión y seguimiento.
En nuestro problema se consideran señales (medidas, observaciones) que son función del
tiempo y aleatorias en el sentido que antes de haber obtenido una medida no es posible
describir exactamente la misma (o función que determina esta). En este caso, cada elemento
del espacio muestral es una función del tiempo xj(t). El conjunto de funciones del tiempo
(espacio muestral) se denomina proceso aleatorio o estocástico.
A su vez, se denomina proceso estocástico discreto, aquel en el que la aleatoriedad
interviene en instantes de tiempo determinados y concretos.
Se denomina estimación al proceso de inferir el valor de una cantidad de interés a partir de
observaciones (medidas) con incertidumbre, imprecisas e indirectas. De forma más rigurosa la
estimación se puede definir como el proceso de selección de un punto en un espacio continuo – “la mejor
estimada”-.
La decisión se puede definir como la selección de una de un conjunto de alternativas discretas –“la mejor
elección” en un espacio discreto-. Sin embargo, se puede hablar de estimación en un caso de valores
discretos con la posibilidad de no hacer una elección sino obteniendo las probabilidades de
varias alternativas.
2-15 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Se denomina seguimiento a la estimación del estado de un objeto en movimiento. Esto se
puede hacer usando uno o más sensores en asentamientos fijos o en plataformas móviles.
El seguimiento tiene un ámbito más extenso que la estimación: no solo usa todas las herramientas de la
estimación, sino que requiere el uso de la teoría estadística de la decisión, especialmente en
problemas prácticos.
Un problema de seguimiento se basa en como deducir, inferir, aproximar el valor de variables
desconocidas en relación al estado de un objeto a partir de datos (medidas) disponibles (ver
figura 2.15). Esto es:
Dado X = (x1, x2, …, xn) vector de variables desconocidas,
y Z = (z1, z2, …, zk) vector de datos,
Z reduce la incertidumbre existente a-priori en los valores de X.
X puede ser estimado a partir de Z además de otra información existente a priori (figura 2.15).
No obstante, el valor de X estimado (a partir de ahora lo notaremos como X^) puede contener
(y normalmente será así), errores respecto al valor de X real.
Figura 2.15. Problema de seguimiento
Preguntas importantes a tener en cuenta serían:
¿Cómo está relacionado X con X^?
¿Como de próximo está X a X^?
¿Cómo procesar los valores de Z para obtener un X^ lo más próximo a X?
En el caso en el cual pretendemos centrarnos, se puede considerar:
Procesado de datos
Información
A-PRIORI
Z X^
X: parámetros
del modelo
2-16 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
X: como los parámetros que describen el estado de un objeto en un determinado momento. Generalmente, los valores contenidos en este vector serán desconocidos.
Z=g(X): como el conjunto de medidas proporcionadas por el sensor, en las cuales se incluye cierta incertidumbre como:
o Errores en las propias medidas obtenidas: no proporcionan los valores de medida correctos, incorporando cierto error.
o Medidas falsas: no todas las medidas corresponden a un objeto real, siempre existirán medidas falsas, no correspondientes a objetos de nuestro interés.
o Medidas ambiguas: las cuales no vamos a saber a qué objeto en concreto corresponden.
o Medidas perdidas: que por determinados motivos no se habrán podido obtener en un determinado momento.
X^=f(Z): parámetros estimados para describir el estado de un objeto en un determinado momento a partir de medidas recibidas.
A partir de este vector de medidas Z, únicos datos proporcionados por el sensor, e
información de la que se disponga a-priori, como por ejemplo el historial de posiciones
anteriores sobre las cuales se puede estimar cierto tipo de trayectoria, el objetivo en un problema
de seguimiento será obtener una estimación X^ lo más cercana posible a X.
Se denomina filtro a un procedimiento que toma como entrada una colección o
conjunto de datos tomados de un sistema o proceso. El sistema quedará descrito por una
ecuación de estado. El filtro estimará los parámetros o variables de estado del sistema. El
conjunto de variables de estado del sistema será cualquier conjunto de estas que describa
completamente su estado. El objetivo será controlar o descubrir el estado del sistema, y se
pretenderá estimar estas variables de estado a partir de los datos proporcionados. Así, por
ejemplo:
Se puede estar interesado en la posición y velocidad de un objeto, las cuales serían sus variables de estado.
La ecuación de estado podría ser un punto moviéndose con aceleración constante.
Los datos que se tendrían disponibles serían una colección de medidas de posición con cierto ruido.
Teniendo en cuanta el dominio del tiempo, a partir de una colección de datos Z(k),
k=1,2,…,T, obtenidos a lo largo de un intervalo temporal (suponiendo estos datos discretos),
los cuales alimentan nuestro filtro, se pueden establecer tres problemas de estimación a
resolver:
Filtrado: Estimar el valor actual X(T) conocidos todos los datos hasta este momento.
Suavizamiento: Estimar algún valor pasado X(k), con k<T conocidos los datos hasta el instante T.
2-17 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Predicción: Estimar algún valor futuro X(k), con k>T conocidos los datos hasta el instante T.
La razón de existir de la estimación es la generación de información con las siguientes
características:
Calidad (por ejemplo exactitud, fiabilidad) mayor que en las medidas originales.
Contener cierta información no directamente disponible en las medidas.
Figura 2.16. Estimación de estado
La variable de interés en un problema de estimación puede ser:
Un parámetro, cantidad invariante en el tiempo (un escalar, un vector o una
matriz).
El estado del sistema dinámico (generalmente un vector).
La figura 2.16 muestra un diagrama de bloques que ilustra el proceso de estimación de estado.
Los dos primeros bloques se pueden considerar “cajas negras”, a cuyas variables internas no
tenemos acceso. Las únicas variables disponibles para el estimador son las medidas, las cuales se
ven afectadas por las fuentes de error en forma de “ruido”.
El estimador usa conocimiento sobre:
La evolución de la variable (dinámica del sistema).
El sensor (sistema de medida).
Caracterización probabilística de varios factores aleatorios (incertidumbres) y
de la información a priori.
Un estimador óptimo es un algoritmo que procesa las observaciones (medidas) para concluir
una estimación de la variable de interés, la cual minimiza un cierto criterio de error.
La ventaja de un estimador óptimo es que hace el mejor uso de los datos, conocimiento del
sistema y distorsiones. El inconveniente es que sería muy sensible a errores en el modelo y
podría ser caro en cuanto a las necesidades requeridas en cuanto a la definición de modelos
estadísticos de movimiento (en muchas ocasiones imposibles de alcanzar) o en lo referente a
Sistema
dinámico
Sistema de
medida Estimador
de estado
Medidas
Estado del
sistema
Fuentes de error en
el sistema Fuentes de error
de medida Información a priori
Estimación de
estado
Estimación de
incertidumbres
2-18 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
requerimientos en cuando a capacidad de cómputo (por el alto coste computacional que
podría llegar a requerir, igualmente, en la actualidad imposible de proporcionar).
2.5. Sistemas de vigilancia.
Un sistema procesador de datos radar (RDP) ejecuta una serie de algoritmos que aplicados a los
datos radar permite:
Reconocimiento de las detecciones sucesivas como pertenecientes a un mismo blanco.
Estimación de los parámetros cinemáticas (posición/velocidad) del blanco, estableciéndose en este caso una traza.
Extrapolación de los parámetros de la traza.
Detección y establecimiento de cada uno de los blancos detectados.
Diferenciación entre blanco y falsas detecciones causadas bien por interferencias intencionadas o naturales.
Procesar la traza de forma que contemple las maniobras en constante precisión e interpolar las fases del seguimiento de forma óptima, con otras funciones radar.
Dentro de los algoritmos necesarios en un RDP se pueden indicar los utilizados para:
Filtrado de ruido.
Iniciación/terminación de traza.
Actualización de la traza.
Discriminación entre datos de diferentes blancos y datos falsos.
Fusión de datos/trazas.
El amplio uso e incremento en la complejidad de los sistemas de vigilancia, tanto militares
como civiles, ha generado un gran interés en algoritmos capaces de realizar el seguimiento de
una gran número de trazas usando datos de medida procedentes de muchos y diversos sensores.
Un algoritmo de seguimiento incorpora funciones relativas a los puntos primero, tercero y cuarto,
si bien, esta funcionalidad no es exclusiva de él, pudiendo existir otros algoritmos para tales
fines.
El seguimiento de blancos móviles es una de las tareas más importantes a las que un sistema
de vigilancia radar está destinado. Así, en el campo de las aplicaciones civiles, un sistema de
seguimiento de aeronaves tiene una gran utilidad para controlar operaciones aéreas en una
zona reducida, como puede ser un aeropuerto o en un combate, a fin de evitar posibles
accidentes ocasionados por la colisión de dos o más aviones, además de servir para controlar el
flujo de tráfico. También sirve de gran ayuda para instantes críticos del vuelo, como pueden
ser los aterrizajes, a fin de facilitar dicha maniobra.
La alta sensibilidad de los sistemas actuales y la necesidad de trabajar en entornos de de baja
SNR puede llevar a grandes cantidades de datos, lo cual, junto con la presencia de
contramedidas puede incrementar aún más la dificultad del seguimiento.
Es más, el esfuerzo requerido para el seguimiento de n objetivos puede ser sustancialmente más caro
que n veces el seguimiento de un único objetivo. Esto es debido a que establecer la correspondencia
entre objetivos y medidas no es un problema trivial, siendo un problema de combinatoria
complejo.
2-19 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Los avances en hardware y algoritmos ha incrementado la capacidad en el procesado de la
señal en varios órdenes de magnitud en los últimos años. Esto ha provocado que los datos de
medidas disponibles para seguimiento sean más numerosos y complejos, generándose una
demanda por los correspondientes avances en técnicas de procesado de la información para
gestionar este problema.
Es conocido desde 1964[Sitler64] que en seguimiento de objetivos puede existir una
incertidumbre adicional asociada con las medidas además de su imprecisión, la cual puede ser
normalmente modelada por algún ruido aditivo. Esta incertidumbre adicional está relacionada
con el origen de las medidas: una medida que va a ser utilizada en el algoritmo de seguimiento
puede no haber sido originada por el objetivo de interés.
Esta situación puede darse en un sistema de vigilancia cuando un radar, sonar o sensor óptico
está operando en presencia de:
Clutter2
Contramedidas
Falsas alarmas.
Esta incertidumbre en las medidas también puede darse cuando distintos objetivos están
próximos y, incluso aunque se puedan separar las observaciones detectadas, no se puede asociar
con certeza estas detecciones a los objetivos. Una situación similar en el proceso de formación de
trazas, donde pueden existir distintos objetivos pero su número es desconocido y algunas de las
medidas pueden ser falsas.
La aplicación de algoritmos de estimación estándar, que podrían usar la medida más próxima en algún
sentido a la posición predicha puede llevar a resultados muy pobres en un entorno donde
medidas falsas ocurren frecuentemente. Esto es así debido a que este enfoque no tiene en
cuenta que las medidas usadas en el algoritmo podrían haber sido originadas a partir de un
objetivo distinto al objetivo de interés.
2.6. Seguimiento y asociación de datos.
Según lo anteriormente expuesto entenderemos por seguimiento (figura 2.17) el procesado de
medidas obtenidas a partir de un objetivo para mantener la estimación de su estado actual, el cual
normalmente consiste en componentes cinemáticos –posición, velocidad, aceleración, giros,…
Las medidas son observaciones afectadas por ruido relacionadas con el estado de un objetivo,
tales como estimación directa de una posición (normalmente distancia, azimut y elevación).
2 ruido provocado por los ecos o reflexiones en elementos ajenos al sistema (montañas,
superficie del mar, etc.), que evitan que la SNR sea la óptima.
2-20 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.17. Representación del problema del seguimiento.
Las medidas de interés no son detecciones originales sino que normalmente son la salida de un
complejo sistema de procesado de señal y detecciones tal y como se muestra en la figura 2.18.
Figura 2.18. Componentes de un sistema de seguimiento.
Una traza es un estado de la trayectoria estimado a partir de un conjunto de medidas – datos
– las cuales han sido asociadas con el mismo objetivo.
La clave del problema multiobjetivo es ejecutar el proceso de asociación, también llamado
(como abuso del lenguaje) “proceso de correlación de datos”, sobre medidas cuyo origen es
incierto debido a:
Falsas alarmas aleatorias en el proceso de detección.
Clutter debido a reflexiones falsas o emisiones próximas al objetivo de interés.
Objetivos que interfieren en el proceso.
Contramedidas.
Datos del
sensor
Trayectoria
real
Trayectoria
estimada
x
Traza
Estimación de
incertidumbre
Estimación
de estado Energía EM
Señal Medidas Entorno Sensor Proceso
de señal
Proceso de
información
Ruido
2-21 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Es más, la probabilidad de obtener una medida de un objetivo – la probabilidad de
detección del objetivo – es menor que la unidad.
El modelado del comportamiento en el movimiento de los objetivos añadirá dificultades
significativas al proceso. Esto dificultará el ya complejo problema de asociar las medidas bajo
incertidumbre.
2.7. Porqué es necesario el seguimiento y predicción en un
sistema de vigilancia radar.
Supongamos un radar de vigilancia tal y como se muestra en la figura 2.19. Se considera un
radar de vigilancia con una rotación continua de 360º, típicamente con un periodo de 10 sg.
Por simplificación del problema se considerará un radar bidimensional el cual proporciona
información de azimut y distancia de los objetivos detectados. La distancia (R1 y R2) se estima
a partir del tiempo que tarde un pulso transmitido en llegar desde el transmisor al objetivo y
volver. El azimut (θAz) es determinado a partir del ángulo al cual el emisor está apuntando
cuando el objetivo es detectado.
Figura 2.19. Representación esquemática de un radar de vigilancia. [Brookner98]
Supóngase que en un tiempo t=t1 el radar está apuntando a un ángulo θ y dos objetivos son
detectados a una distancia R1 y R2 (véase figura 2.20). Supóngase que la siguiente vuelta en
tiempo t=t1+T (por ej. t1+10 sg.), de nuevo se detectan los dos objetivos.
2-22 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.20. Esquema del problema de seguimiento. [Brookner98]
El problema planteado es si estos dos objetivos detectados en la segunda vuelta son los
mismos objetivos detectados anteriormente o son nuevos. La respuesta a esta pregunta es
importante para sistemas de control aéreo civiles y militares. El correcto conocimiento del
número de objetivos será importante para prevenir colisiones. Igualmente, en un entorno
militar será importante para determinar el tratamiento e interceptación de estos.
Asumamos que se detectan dos ecos en la segunda vuelta. Supóngase que, de alguna forma, se
determina que estos dos ecos corresponden a los mismos objetivos detectados en la primera
vuelta. El problema que se plantea es como alcanzar una correcta asociación del eco del
objetivo 1 en la segunda vuelta con el eco del objetivo 1 de la primera vuelta, así como, del eco
de objetivo 2 en la segunda vuelta con el eco del objetivo 2 en la primera vuelta.
Si se realizara una asociación incorrecta, entonces se estimaría una velocidad incorrecta para
el objetivo considerado. Por ejemplo, si el eco del objetivo 1 en la segunda vuelta es asociado
con el eco del objetivo 2 en la primera vuelta, entonces se podría llegar a la conclusión de que
el objetivo 2 tiene una velocidad mucho mayor de la que realmente tiene. En un sistema de
control aéreo este error en la velocidad de un objetivo podría llevar a una colisión.
Las posibilidades de una asociación incorrecta se reducirían si se llevara a cabo una predicción
precisa de donde se espera que los objetivos 1 y 2 se encuentren en el momento de su
detección en la segunda vuelta. Esta predicción se puede realizar fácilmente si se dispone de
una estimación de la velocidad y posición para los objetivos 1 y 2 en la primera vuelta. De
esta forma se podría predecir la distancia recorrida por el objetivo 1 en el periodo transcurrido
entre vuelta y vuelta y como resultado disponer de una posición estimada futura. Supóngase
2-23 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
que esta estimación se ha realizado para el objetivo 1 y la posición en la cual se espera que se
encuentre este en la segunda vuelta se indica en la figura 2.20 por una línea discontinua.
Debido a que la velocidad y posición exactas del objetivo no son conocidas en la primera
vuelta, esta predicción no será exacta. Si la incertidumbre de esta predicción es conocida se
puede establecer una ventana de ±3σ sobre el valor esperado, donde σ es el error medio
cuadrático (rms), o equivalente. Si en la segunda vuelta se detecta un eco en esta ventana para
el objetivo 1, entonces con una probabilidad alta este será el eco para el objetivo 1. De forma
similar, una ventana ±3σ puede ser establecida para el objetivo 2 en el instante de la segunda
vuelta (véase figura 2.20).
Considerando un objetivo moviéndose de forma radial (hacia o desde el radar), supóngase xn
como la distancia al objetivo en la vuelta n. Suponiendo velocidad constante, la predicción de
la posición de un objetivo y su velocidad para la siguiente vuelta se puede hacer a partir de las
siguientes ecuaciones:
xn+1=xn+Tx’n
x’n+1=x’n
Ecuación 2.1. Predicción de posición v constante.
donde xn es la distancia del objetivo en la vuelta n, x’n es la velocidad del objetivo en la vuelta n,
y T es el periodo de rotación considerado para una vuelta. Estas ecuaciones de movimiento se
denominan modelo dinámico del sistema. Este planteamiento se puede extender fácilmente a un
mundo real, multidimensional, donde se tiene velocidades de los objetivos cambiantes.
Los algoritmos de seguimiento α-β, α-β-γ y Kalman se utilizan para obtener estimaciones de xn
y x’n, lo cual permitirá realizar la asociación descrita anteriormente. Las capacidades de
predicción de estos filtros serán utilizadas para evitar colisiones así como ayuda en
interceptaciones de objetivos en situaciones de defensa militar.
2.8. Filtros g-h.
La ecuación 1 nos permite predecir desde un instante n a un instante n+1. Se hace necesario
mejorar este estimador de la posición y velocidad del objetivo. Supóngase que se dispone de una
estimación de posición y velocidad para el objetive en el instante n-1.
Supóngase que para el objetivo considerado se estima una velocidad en el instante n-1 de 200
ft/sg. Supóngase igualmente un tiempo de periodo de vuelta de 10 sg. Usando la ecuación 1 se
estima que en un instante n el objetivo se encontrará 2000 ft. más allá de lo que estaba en el
instante n-1. Esta es la posición xn presentada en la figura 2.21. En este caso se considera que el
objetivo se aleja del radar.
2-24 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.21. Posiciones predichas (xn) y medidas (yn) para un objetivo en un instante n. [Brookner98]
Supóngase, sin embargo, que en el instante n, el radar observa el objetivo en la posición yn, en
lugar de la xn predicha, 60 ft. más alejada. ¿Dónde se podría decir que se encuentra el objetivo
realmente? ¿está en xn? ¿en yn? ¿en algún punto intermedio?
Supóngase que las medidas n-1 y n son muy precisas (realizadas por ejemplo con un radar laser
en lugar de un radar de microondas), con una precisión de 0.1 ft. En este caso, la observación
del objetivo a una distancia 60 ft. más allá de la predicha, implica que el objetivo está
moviéndose más rápido que lo estimado en n-1, moviéndose 60 ft. más allá en 10 sg. o lo que
es lo mismo 6 ft./sg. más rápido de lo pensado. Por lo tanto la actualización de la velocidad
del objetivo debería ser a 206 ft./sg.
Esto es correcto para un radar laser muy preciso. Sin embargo, generalmente se dispondrá de
un radar de microondas. ¿Cómo se actuará entonces? Supóngase que su precisión es solo de 50
ft., 1σ. Entonces la desviación de 60 ft. de la posición esperada en el tiempo n, podría ser
debida a un error de medida del radar y no a un aumento de la velocidad del objetivo. Sin
embargo, el objetivo podría realmente estar moviéndose más rápido de lo esperado y por lo
tanto, se debería contemplar esta posibilidad. Para esto no se le dará al objetivo el beneficio
completo de 6 ft./sg. como el aparente incremento de velocidad, sino en su lugar, una fracción
de este incremento. Usaremos una décima parte del incremento aparente de velocidad. En este
caso, el la velocidad actualizada será 200.6 ft./sg.
En este último caso no se incremente la velocidad del objetivo en su totalidad. Si el objetivo se
está moviendo más rápido, entonces en sucesivas observaciones (medidas radar) de la posición
del objetivo se tendría un distanciamiento de la posición predicha, incrementándose la
velocidad en 0.6 ft./sg. de media lo cual implica que en 10 vueltas la velocidad del objetivo
será incrementada en 6 ft./sg., teniéndose en este instante la velocidad correcta. Por otro lado,
si la velocidad del objetivo fuera realmente 200 ft./sg. en observaciones posteriores del
objetivo, la posición medida sería cercana a la posición predicha de forma que, en promedio la
velocidad estimada no variaría mucho de la inicialmente estimada de 200 ft./sg.
2-25 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Lo anteriormente expuesto se puede considerar como:
Ecuación 2.2. Predicción de posición con parámetro h.
La fracción 1/10 considerada en el ejemplo anterior se representa en esta ecuación como hn. El
segundo subíndice, n-1, en la estimación de la velocidad indica una estimación de la
velocidad del objetivo en el instante n, considerando las medidas hechas hasta el instante n-1.
El segundo subíndice n en la velocidad estimada indica que esta velocidad estimada usa la
medida radar informada en el instante n, es decir, la medida yn. El asterisco en el superíndice se
utiliza para indicar que este parámetro es una estimación. Sin el asterisco el parámetro
representa el valor real de la velocidad y posición del objetivo. Esta nueva notación se
representa en la figura 2.22.
Figura 2.22. Objetivo predicho, filtrado, y posición medida usando la nueva notación. [Brookner98]
En la ecuación 2 se actualiza la estimación de la velocidad. A continuación, se desea actualizar
la posición estimada. De forma similar a lo expuesto anteriormente, supóngase que en un
instante n-1 el objetivo está a una distancia de 10 millas náuticas (nmi) y que en el instante n,
T=10 sg. después, el objetivo con una velocidad radial de 200 ft/sg. está a una distancia de
2000 ft. más alejado. Como antes, supóngase que en el instante n el objetivo está siendo
observado 60 ft. más alejado de la posición predicha (véase figura 2.22).
De nuevo la pregunta es: ¿Dónde está el objetivo realmente? ¿en ? ¿en yn? o ¿en algún
lugar intermedio? Siguiendo el mismo razonamiento anterior, supongamos un radar laser muy
preciso para las medidas n-1 y n. Se puede concluir que el objetivo se encuentra a la distancia a
la que está siendo observado en el instante n por el radar, esto es, 60 ft. más allá de la posición
predicha (10 nmi.+2000 ft.+60 ft.).
2-26 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Si, por el contrario, suponemos que tenemos un radar de microondas convencional, con σ de
50 ft., entonces el objetivo podría parecer que estuviera 60 ft. más allá de lo esperado
simplemente debido al error en la medida del radar. En este caso no podemos suponer que el
objetivo estuviera realmente en la posición yn medida. Sin embargo, asumir que el objetivo está
realmente en la posición predicha tampoco sería razonable. Para contemplar la posibilidad de
que el objetivo pudiera encontrarse un poco más allá de la posición predicha, consideraremos un
desplazamiento respecto a la posición predicha de una fracción de los 60 ft. medidos. Por
ejemplo podemos considerar 1/6 de los 60 ft., es decir 10 ft. En este caso la posición
actualizada sería 10 nmi. + 2000ft. + 1/6(60 ft.).
Lo anteriormente expuesto se puede considerar como:
Ecuación 2.3. Predicción de posición con parámetro g.
Estas ecuaciones (ecuación 2 y 3) proporcionarían una estimación de la posición y velocidad
actual del objetivo basada tanto en la medida actual de distancia del objetivo yn, como en las
medidas anteriores. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de filtrado.
Ecuación 2.4. Ecuaciones de filtrado.
La estimación se denomina estimación filtrada, una estimación de xn en el instante actual
basada en el uso de la medida actual yn, así como medidas anteriores. Esta estimada se obtiene
en contraste a la predicción estimada xn,n-1, la cual es una estimada de xn basada solo en medidas
anteriores. El término estimación suavizada se usa en algunas ocasiones en lugar de estimación
filtrada[Blackman86]. El término suavizado también es usado en [Gelb79] para indicar una estimación
de posición o velocidad de un objetivo en algún instante entre la primera medida y la última,
por ejemplo , la estimación , donde n0<h<n, siendo n0 el tiempo de la primera medida y n
el tiempo de la última medida.
Ahora es posible el uso de la Ecuación 1, para predecir qué posición y velocidad tendrá el
objetivo en el instante n+1, y repetir este proceso de actualización en el instante n+1 después
de que la medida yn+1 en el instante n+1 se haya realizado. Con este objetivo, la ecuación 1 puede
ser escrita usando la notación paramétrica g-h como las ecuaciones de transición o ecuaciones de
predicción siguientes:
Ecuación 2.5. Ecuaciones de transición o predicción.
2-27 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Estas ecuaciones nos permiten la transición de la velocidad y posición en un instante n, a la
velocidad y posición en n+1. es igual a
en el instante n, debido a que se ha
asumido un modelo con velocidad constante.
Las ecuaciones 4 y 5 nos permiten realizar el seguimiento de un objetivo. En seguimiento
radar, generalmente no se está interesado en la posición actual de un objetivo xn, sino más bien
en la posición predicha para este objetivo xn+1, donde localizar la ventana de predicción en
distancia. En este caso, las ecuaciones 4 y 5 se pueden combinar para obtener las siguientes
ecuaciones de actualización de traza:
Ecuación 2.6. Ecuaciones de filtrado g-h. Ecuaciones de predicción.
Las ecuaciones 6 constituyen las ecuaciones de filtrado g-h. Estas ecuaciones se usan muy
habitualmente en sistemas radar[Morrison69][Farina85][Blackman86][BarShalom88][Benedict62]. En contraste a las
ecuaciones anteriormente expuestas, las ecuaciones 6 se denominan ecuaciones de predicción
debido a que predicen la posición y velocidad del objetivo en la siguiente vuelta.
Una clase importante de filtros g-h son aquellos en los que g y h son fijos. En este caso los
requerimientos computacionales para este tipo de algoritmos son escasos: para cada
actualización del objetivo se requieren únicamente cuatro sumas y tres multiplicaciones. Los
requisitos de memoria también son pequeños: para cada traza, únicamente se requieren dos
datos almacenados.
El filtro anteriormente descrito, considerando g como α y h como β, también es comúnmente
denominado filtro α-β.
En la tabla expuesta a continuación (tabla 2.2) se presenta un listado de otros filtros. Sus
ecuaciones de filtrado son similares a la ecuación 6. La única diferencia estriba en el valor
asignado a los coeficientes g-h. En algunos casos estos valores g-h, dependerán de n. Este es el
caso de lo filtro Kalman, el cual se basa también en la ecuación 6.
2-28 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
1. Filtro Wiener
2. Filtro fading memory polynomial
3. Filtro Expanding memory polynomial
4. Filtro Kalman
5. Filtro Bayes
6. Filtro mínimos cuadrados
7. Filtro Benedict-Bourdner
8. Filtro Lumped
9. Filtro mínimos cuadrado descontados
10. Filtro critically dumped
11. Filtro Growing memory
Tabla 2.2. Filtros g-h
2.9. Filtros Kalman.
En el punto anterior se utilizó una descripción determinística del movimiento del objetivo,
concretamente se consideró un movimiento con velocidad constante descrito en la Ecuación 1
como
xn+1=xn+Tx’n
x’n+1=x’n
Ecuación 2.1. (anterior) Predicción de posición v constante.
En el mundo real, los aviones no tienen una velocidad constante durante todo el tiempo.
Existe incertidumbre en la trayectoria del avión, la aceleración tangencial o normal (giro) del
avión en un momento dado. Kalman trató esta incertidumbre en el movimiento del avión
añadiendo un componente aleatorio a la dinámica del objetivo [Kalman60][Kalman61]. De esta forma,
se puede añadir a la velocidad una componente aleatoria un, tal y como se expresa en la
ecuación
xn+1=xn+Tx’n
x’n+1=x’n+un
Ecuación 2.7. Modelo dinámico Kalman.
2-29 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
donde un es un cambio aleatorio en la velocidad desde un instante n a otro n+1. Se asume que
un es independiente de n, con una varianza σ2n.
En este momento se dispone un modelo de dinámica del objetivo con cierta aleatoriedad.
Considerando que xn+1 representa la localización real del objetivo en el instante n+1 y que
representa la estimación predicha para este objetivo en el instante n+1 basada en las
medidas disponibles hasta el instante n, Kalman, considerando la minimización del error medio
cuadrático entre ambas posiciones, encuentra que el filtro óptimo viene dado por las
ecuaciones (ecuación 8):
Ecuación 2.8. Ecuaciones filtros Kalman.
Idénticas a las anteriormente presentadas como Ecuación 6 para el filtro g-h. La diferencia
estriba en que en los filtros Kalman los pesos gn y hn dependen de n. Es más, como se
describirá a continuación gn y hn se definen en función de la varianza de las medidas
proporcionadas por el radar, esto es, la varianza γn. Estos pesos serán también función de la
precisión con la que se conoce la posición y velocidad antes de realizar ninguna medida radar,
esto es, del conocimiento a priori de la trayectoria del objetivo, varianza a priori de la posición
y velocidad. En los filtros g-h, en concreto en el filtro Benedict-Bordner[Benedict62], con el
objetivo de minimizar los errores en la transición a velocidades distintas entre n y n+1, las
constantes gn y hn se definen de acuerdo a la ecuación 9.
Ecuación 2.9. Filtro Benedict-Bordner.
Kalman define sus constantes gn y hn de forma idéntica al filtro g-h Benedict-Bordner,
habiendo definido esta ecuación en el 1960, anterior a Benedict en 1962.
Como ventajas fundamentales de los filtros Kalman se pueden describir:
1. El cálculo de la precisión en la estimación se hace de forma paralela al cálculo de gn y
hn. Esto permite tener en todo momento conocimiento de la precisión con la que se
está realizando la estimación.
2. Hace un uso óptimo de las medidas ajustando los pesos gn y hn tomando en cuenta la
precisión de cada medida. Si en un instante n-1 no se detecta una medida para el
objetivo los pesos gn y hn se ajustan considerando esta situación.
3. Los pesos gn y hn se ajustan para considerar medidas no equidistantes en el tiempo.
Volviendo a los filtros g-h, en un instante n se tenían dos estimaciones. La primera yn basada
en la medida hecha en el instante n. La segunda es la predicción basada en medidas del
pasado. El filtro Kalman combina estas dos estimaciones para proporcionar la estimación en el
instante n. Esta estimación tendrá mínima varianza. Esta estimación viene dada por:
2-30 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Ecuación 2.10. Estimación filtro Kalman.
De acuerdo a la ecuación 10, se puede observar fácilmente que si ambas estimaciones tienen la
misma varianza, la estimación final será la media de ambas. En otro caso, si es mucho
más preciso que yn, se aproximará más a
. Si por el contrario yn es más preciso que
,
se aproximará más a yn.
La ecuación 10 se puede escribir de forma similar a los filtros g-h (ecuación 11):
Ecuación 2.11. Estimación filtro Kalman (en notación filtro g-h)
O lo que es lo mismo:
Ecuación 2.12. Peso gn en filtro Kalman.
El peso hn se define por:
Ecuación 2.13. Peso hn en filtro Kalman.
2.10. Filtros con modelos múltiples.
En puntos anteriores, se asume el seguimiento de un objetivo basado en la elección de un
único (el mejor) modelo que describa su movimiento. No se tiene en cuenta un posible cambio
en el modelo del movimiento del objetivo, frente al elegido para el filtro. Por otro lado, la
elección del modelo se hace offline, no teniéndose en cuenta posibles errores en la estimación.
Puede ser beneficioso más de un modelo de movimiento en un algoritmo de seguimiento
cuando la dinámica de un objetivo no es conocida. Con el objetivo de tratar esta
incertidumbre, un algoritmo de seguimiento con modelos múltiples ejecuta un conjunto de
filtros que modela tanto un movimiento sin maniobra como un conjunto de posibles
maniobras (Ecuación 14). El algoritmo fusiona la salida de todos estos modelos para obtener
una estimación global. Se han definido una gran cantidad de algoritmos MM, cada uno de los
cuales fusiona la información de una forma diferente.
2-31 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
M={m(1),m(2),…,m(M)}
xk+1=Fk(i)xk+Gk
(i)wk(i)
zk=Hk(i)xk+vk
(i)
Ecuación 2.14. Elección MM.
donde el superíndice i indica la salida correspondiente a cada modelo en el conjunto M,
definiéndose los cambios de un modelo a otro en base a una probabilidad (ecuación 15).
P{mk+1(j)|mk
(i)}=πi,j ∀m(i), m(j), k
Ecuación 2.15. Cambio entre modelos.
En general, en los algoritmos MM se pueden considerar cuatro componentes clave[Li05] (figura
2.23):
i. Determinación del conjunto de modelos. Se incluye tanto modelos definidos offline
como posibles adaptaciones online. El rendimiento del algoritmo MM dependerá del
conjunto de modelos elegidos. Esta será el factor clave a la hora de definir un
algoritmo MM.
ii. Estrategia de cooperación. Se refiere al conjunto de variables evaluadas para tratar las
incertidumbres en cuando al conjunto de modelos, especialmente en lo referente a la
secuencia de modelos aplicar. Incluye la poda en ciertas secuencias no deseadas, unión
de secuencias similares y selección de las secuencias más deseadas.
iii. Filtrado condicional. Este es el proceso de estimación recursivo clásico, aplicado
sobre una secuencia de modelos determinada.
iv. Salida del proceso. Se genera la salida, estimación, global utilizando los resultados
obtenidos en todos los filtros a partir de las medidas de entrada, seleccionando los
mejores.
2-32 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.23. Estructura general de un algoritmo de estimación MM basado en dos modelos.
Se pueden establecer tres generaciones de algoritmos MM[Barbos08] :
i. MM autónomo.
ii. MM cooperante.
iii. MM de estructura variable.
2.10.1 Algoritmo AMM (Autonomous MM[Magill65]).
La primera generación de algoritmos MM se caracteriza porque cada uno de sus filtros elementales opera de forma individual e independiente.
El algoritmo AMM utiliza la estimada MMSE (Minimum Mean Square Error) xk|k=E[xk|zk] (véase figura 2.24), asumiendo que el modo del sistema es invariante e igual a algún modelo
m(i), ∀k. Esto significa que:
Ecuación 2.16. Probabilidad AMM.
El filtro AMM ejecuta un filtro Kalman condicional para cada modelo en el conjunto de
modelos y posteriormente evalúa la probabilidad de cada modelo.
La estimada final del algoritmo, fusionando los resultado de los distintos modelos, se obtiene
sumando las estimaciones condicionadas ponderadas por la correspondiente probabilidad de
cada modelo, μk(i).
Ecuación 2.17. Fusión de estimaciones AMM.
Determinación
de modelos
Filtro 1
Estrategia de
cooperación Salida
Filtro 2
Datos de
sensores
2-33 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Finalmente, la probabilidad μk+1(i) de cada modelo m(i) es actualizada en función de μk
(i). [Pitre11]
Los filtros condiciones operan independientemente, de forma autónoma, sin intercambiar
información entre ellos.
Figura 2.24. Estructura general del algoritmo de estimación MMSE-AMM basado en dos
modelos.
2.10.2 Algoritmo MM cooperante (CMM).
La segunda generación de algoritmos IMM hereda de la primera el proceso de salida e
introduce la cooperación interna entre filtros elementales. En lugar de mantener los filtros
trabajando de forma independiente, esta generación introduce la reinicialización de filtros,
donde las salidas de los filtros correspondientes al ciclo previo se usan en el ciclo actual para
alcanzar un mejor rendimiento.
Se introduce una nueva variable para considerar la historia del modelo o secuencia del modelo:
donde ik,l es el índice de modelos en el instante k del histórico l.
Ecuación 2.18. Modelos en algoritmo MM cooperante.
Puesto que el tamaño de la secuencia de modelos se incrementa de forma exponencial con el
tiempo, un número de filtros también con incremento exponencial será necesario para estimar
de forma óptima el estado, lo cual hace esta solución no viable.
Normalmente se utilizan aproximaciones subóptimas, generalmente consistentes en mantener
únicamente un número limitado de modelos en la secuencia, asociados con las probabilidades
más altas, descartando el resto.
Determinación
de modelos
Filtro 1
Actualización de
probabilidad de modelos Salida
Filtro 2
Datos de
sensores
μk(1), μk
(2)
xk|k(2), Pk|k
(2)
xk|k(2), Pk|k
(2)
m(1)
m(2)
2-34 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Uno de los ejemplos más representativos de este tipo de algoritmos es el algoritmo IMM
(Interacting Multiple Model)[Blom88] (figura 2.25).
Figura 2.25. Estructura general del algoritmo de estimación IMM basado en dos modelos.
Los parámetros básicos de diseño para el algoritmo, los cuales serán claves en su rendimiento,
IMM son
i. La estructura del conjunto de modelos M.
ii. La covarianza en el sistema y medidas (Q y R respectivamente).
iii. El estado inicial x0|0 y covarianza P0|0.
iv. Las transiciones y probabilidades de transición πij entre los modelos del conjunto
seleccionado.
El algoritmo IMM degenera en el AMM cuando la matriz de probabilidades de transición πij es
la matriz identidad.
Otros algoritmos estudiados dentro de esta familia CMM son los algoritmos GPB1(generalized
psuedo bayesian de primer orden)[Ackerson70] y GPB2 (generalized psuedo bayesian de segundo
orden)[Chang78].
2.10.3 Algoritmo MM de estructura variable (VSMM).
Los algoritmos MM vistos hasta el momento, y la mayoría de ellos, tienen una estructura fija
(FSMM), por ejemplo, tienen un conjunto de modelos fijo en todo momento. Existe otro
conjunto de algoritmos MM donde la estructura de los mismos puede ser variable (VSMM),
por ejemplo, y de forma concreta, mediante un conjunto de modelos variable.
Estos algoritmos resultan de interés cuando el conjunto de todos los posibles modelos de un
sistema es demasiado grande o cuando existe incertidumbre en el conjunto de modelos a
incluir en el conjunto. Añadir más modelos a un FSMM puede resultar en una carga
Determinación
de modelos
Filtro 1
Act. Prob.
modelos Salida
Filtro 2
μk(1), μk
(2)
xk|k(2), Pk|k
(2)
xk|k(2), Pk|k
(2)
m(1)
m(2)
Datos de
sensores
Reinic. de
modelos
μk(1), μk
(2)
2-35 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
computacional a considerar, incluso la excesiva competición entre modelos innecesarios puede
degradar la estimación global[BarShalom96]. En este caso, la solución es mejorar el conjunto de
modelos y usar FSMM o, por otro lado, aceptar el hecho de que es difícil definir un conjunto
de modelos perfecto y usar un algoritmo VSMM apropiado.
La característica más importante de estos algoritmos VSMM es su capacidad para adaptarse a
las maniobras de los objetivos creando nuevos filtros elementales si los existentes no son
suficientemente buenos y eliminando filtros con rendimiento pobre.
El concepto clave en estos algoritmos es la dependencia del conjunto de modelos del estado:
dado un modelo actual, el conjunto posible de modelos en la siguiente iteración es un
subconjunto de un espacio de modelos determinado por una ley de transición de modelos. La
dependencia del estado del conjunto de modelos es la base de los algoritmos VSMM.
Debido al crecimiento exponencial de las posibles transiciones, el estimador óptimo VSMM es
computacionalmente imposible[BarShalom92][BarShalom96].
Es por lo anterior, por lo que la mayoría de los algoritmos VSMM el conjunto de posibles
secuencias de modelos en el instante k por una secuencia de modelos concreta Mk, la cual
debería ser la mejor.
Como consecuencia de lo anterior, las tareas principales en un algoritmo VSMM son:
i. Adaptación del conjunto de modelos.
ii. Estimación MM dado un conjunto de modelos.
Dentro de estos algoritmos se incluyen los algoritmos LMS (Likely Model-Set)[BarShalom00], RAMS
(Recursive Adaptative Model Set)[BarShalom00] y MGS (Model-Group Changing)[BarShalom99].
2.11. Uso de redes neuronales en seguimiento.
En los últimos años, las redes neuronales vienen siendo utilizadas de forma constante en
apoyo de los algoritmos de seguimiento con ámbitos de aplicación muy distintos.
En [Chin91] se presenta un estudio en cuanto a la posible utilización de redes neuronales en
algoritmos relativos a seguimiento multi-objetivo, exponiéndose las posibles ventajas que
podría tener su aplicación en cuanto a la utilización de una matriz de neuronas suficientemente
grande como para gestionar los objetivos bajo proceso. Se establece este paradigma como una
solución de futuro en aquel momento que podrá ser implementada aprovechando los desarrollos
esperados en cuanto a tecnología de circuitos integrados, donde la alta paralelización de este
tipo de soluciones supondría una gran ventaja.
Su utilización como una herramienta para solucionar problemas concretos dentro de
algoritmos ya implementados se ha convertido en una constante en los últimos años. En estos
casos la filosofía del algoritmo implementado se mantiene intacta, utilizando diversas
soluciones basadas en redes neuronales para tratar de mejorar las prestaciones de estos
algoritmos.
Así, en [Sengupta89], [Iltis93], [Leung94] y [Chin96] se implementa un algoritmo JPDA (Joint
Probabilistic Data Association) para asociación de datos con posibles objetivos en un ambiente de
2-36 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
clutter con múltiples trazas. La complejidad de este algoritmo se incrementa rápidamente con el
número de objetivos. En este caso se implementa una red neuronal, en apoyo de este
algoritmo, para calcular rápidamente las probabilidades en cuanto a la asociación de un dato
radar con un objetivo determinado dotando de la capacidad de procesar un mayor número de
objetivos. En ambos casos se propone la utilización de una red neuronal de Hopfield. Se
utiliza en los algoritmos las componentes x e y de la velocidad de la traza. Se debe indicar que
estas componentes no son valores que puedan ser proporcionados por un radar, el cual solo
mide velocidad radial.
En [Yu94] se utiliza una red neuronal de Hopfield en el mismo problema de asociación
dato/traza. Mejora los anteriores considerando la velocidad radial, única medida por el radar.
Los estudios anteriores y otros en la misma línea se centran en blancos donde prácticamente
no existe maniobra.
En [Kim09] también se expone el uso de redes neuronales en un problema de asociación de
datos en este caso en un campo visual. El autor revisa el problema del seguimiento radar,
exponiendo las técnicas actuales de asociación de datos, presentando una adaptación del
algoritmo JPDA con redes neuronales. Se centra especialmente en la predicción de direcciones
en el movimiento estimado.
Ya en aplicación concreta al seguimiento, en [Amoozegar94] se detalla la aplicación de redes
neuronales al seguimiento de blancos en maniobra. Se implementa un filtro Kalman en el que
la ganancia es actualizada por una red neuronal. La solución propuesta se evalúa en distintos
escenarios. De nuevo, como en casos anteriores se utiliza la capacidad de paralelizar los
cálculos de una red neuronal para alcanzar un mayor rendimiento en el número de blancos
tratados. Para ello se implementa una red de tres capa backpropagation. Se resalta la posibilidad
de aplicar este enfoque a una gran cantidad de escenarios.
En [Amoozegar95] se propone de nuevo un modelo híbrido donde se utilizan las redes
neuronales en conjunción con un filtro Kalman. Ya se propone la utilización de redes
neuronales para otros objetivos en un problema de seguimiento, como puedan ser la
interacción entre los distintos modelos que puedan componer un filtro IMM, clasificación de
las maniobras de un objetivo, cuantificación de ruido, … En este caso, la red neuronal se
utiliza para tratar de generar de forma artificial (y compensar) el error que un filtro Kalman
pueda tener en la estimación de un objetivo en maniobra, actuando la red neuronal de nuevo,
en cooperación con el filtro Kalman.
En el mismo sentido que en [Amoozegar95] se implementa una red neuronal en [Takaba96]
(figura 2.26).
2-37 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Figura 2.26. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada por
un filtro Kalman (TKF).[Takaba96]
En el mismo sentido que en los casos anteriores se implementa en [Chin96] una red neuronal
para compensar los posibles errores producidos por un algoritmo JPDA.
En [Vaidehi99], con un uso similar de redes neuronales al especificado en casos anteriores, red
neuronal compensando errores en un filtro Kalman, se declara esta arquitectura con menor
coste computacional que un filtro IMM. Se utiliza para ello una red neuronal multicapa
backpropagation.
En [Perlovsky07] se detalla la utilización de una red neuronal Adaline junto con filtros con
múltiples modelos y asociación probabilística. Se detalla la mejora en el seguimiento en
ambientes de clutter elevado.
Es habitual encontrar otros paradigmas de inteligencia artificial en apoyo a la estimación
realizada por algoritmos de seguimiento clásicos. En [Duh02] y [Duh04] se utiliza de forma
integrada las redes neuronales junto con la lógica borrosa con el objetivo de mejorar la
estimación de un filtro Kalman, tanto en el error cometido en la misma como en el tiempo de
computación invertido. Se exponen los beneficios de utilizar estos paradigmas en sistemas de
vigilancia militares o de control de tráfico aéreo civiles.
Por primera vez, en [Kong98] se describe la implementación de un sistema íntegramente
basado en una red neuronal, sin la cooperación de un algoritmo clásico. Se demuestra la
posibilidad de implementar un algoritmo de seguimiento puramente neuronal. En este caso se
utiliza para ello una red neuronal multicapa backpropagation. Para entrenamiento de la red se
propone la utilización off-line de datos simulados, puesto que los datos reales incorporan error
en su propia medida. No se presenta un estudio detallado de prestaciones.
Ya en otros campos del seguimiento, en concreto en el campo visual, en [Fernández00] o
[Jänen10] se propone la utilización de algoritmos basados en redes neuronales para la
localización y seguimiento de objetos en imágenes.
2-38 CAPÍTULO 2. Estado del Arte.
Capítulo 3
Seguimiento de Blancos en Maniobra
"Yo os digo que nada peor que la mar se conoce, donde un
hombre, por fuerte que sea, a la larga se agota."
Homero, La Odisea.
RESUMEN: En este capítulo se presentan los algoritmos actualmente definidos y
usados para el seguimiento radar en un ámbito de blancos en maniobra, justificando la
complejidad que aparece en este tipo de problemas. Se describen ejemplos de
maniobras definidas y utilizadas habitualmente en combate aéreo.
3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra.
3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo.
3.2.1. Curvas de persecución (pursuit curves).
3.2.2. Otras maniobras básicas de combate.
3.3. Detección de maniobras.
3.4. Modelos múltiples
3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en maniobra.
3.1. Introducción: seguimiento de objetivos en maniobra.
El movimiento de objetivos se clasifica generalmente en dos clases: “en maniobra” y “no
maniobra”. Un movimiento “no maniobra”, también denominado uniforme, se describe como
un movimiento rectilíneo a velocidad constante en un sistema de referencia inercial. El resto
de movimientos pertenecen a los considerados como maniobras.
El primer objetivo del seguimiento de objetivos es estimar la trayectoria en el estado de un
blanco. Aunque la detección de un objetivo casi nunca es un “punto” en el espacio, y la
información sobre la orientación sería muy valiosa para su seguimiento, un objetivo,
generalmente, es tratado como un punto sin forma, especialmente en los modelos dinámicos o
cinemáticos del mismo. Un modelo dinámico/cinemático de un objetivo describe la evolución
del estado del objetivo en el tiempo.
3-2 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Uno de los mayores retos en el seguimiento de objetivos se presenta a partir de la
incertidumbre en el movimiento del objetivo. Esta incertidumbre se refiere al hecho de que no
se dispone de un modelo dinámico preciso del objetivo bajo seguimiento.
En los casos de seguimiento considerados en el capítulo anterior, las únicas incertidumbres
consideradas son tratadas como “ruido blanco aditivo” con propiedades estadísticas
conocidas. En otras palabras, el modelo del sistema, consistente en una matriz de transición de
estados, ganancias, matriz de medidas y covarianzas de ruido, se asume como conocido.
En muchas situaciones reales, los “parámetros del problema” anteriormente reseñados, son
desconocidos o variantes en el tiempo. Un ejemplo de esto se produce cuando se trata con
objetivos en maniobra.
Si consideramos un ejemplo sencillo (con probabilidad de detección PD=1 y probabilidad de falsa
alarma PFA=0) esta maniobra se puede ver afectada por diferentes niveles de ruido (figura 3.1).
(a) (b)
Figura 3.1. Maniobra, con detección ideal (a) y con ruido blanco (b).
El problema de mantener el seguimiento de un objetivo en maniobra se ha estudiado en la
estimación de estados durante décadas. Los filtros Kalman se han utilizado ampliamente para
estimar el estado de un objetivo, no obstante, en presencia de maniobra, su rendimiento y
eficacia puede verse seriamente degradado.
La utilización de un modelo Filtro Kalman (KF) con alto orden cinemático (desviación típica
para la aceleración σa -m/s2-), si bien permite un seguimiento versátil (figura 3.2), no se puede
considerar la solución cuando existe incertidumbre en el origen de los datos. Esto provocaría
ventanas de asignación innecesariamente grandes, directamente proporcionales a σa, haciendo
el sistema muy sensible al clutter (figura 3.3).
3-3 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
(i) (ii) (iii)
Figura 3.2. Seguimiento KF en función de σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1 m/s2. iii. σa=10 m/s2).
En la figura 3.2 se puede observar como para conseguir un seguimiento correcto es necesario
definir la desviación típica en la aceleración (σa) con un valor suficientemente elevado. Para
valores pequeños de σa el algoritmo no es capaz de adaptarse a este tipo de trayectorias.
(i) (ii) (iii)
Figura 3.3. Dependencia de las ventanas de asignación respecto a σa (i. σa=0.1 m/s2. ii. σa=1
m/s2. iii. σa=10 m/s2).
La ventana de asignación (figura 3.3) define el espacio en el cual se buscarán los datos a
considerar en el seguimiento. Los datos que cayeran fuera de esta ventana de asignación no
serán tomados en cuenta en el seguimiento.
La ventana de asignación de datos considerados para el seguimiento se define en función de la
desviación típica σa. Valores demasiado elevados en σa (caso iii en figura 3.3) implica ventanas
de asignación muy grandes y por lo tanto la posibilidad muy elevada de que en estas ventanas
“entren” datos no correspondientes al objetivo bajo seguimiento. Por otro lado, ventanas de
correlación pequeñas (caso i de la figura 3.3) puede provocar que el dato correspondiente al
objeto bajo seguimiento “caiga” fuera de esta ventana de asignación y por lo tanto, el
seguimiento no sea correcto.
Una maniobra se debe detectar para permitir pasar a un filtro con modelo de mayor orden
cinemático o a un modelo con menor orden al usado en un instante dado.
Para solucionar este problema, desde 1970 se han investigado y aplicado diversas técnicas.
Inicialmente, en 1970, Singer propuso un modelo de seguimiento en el que la maniobra se
consideraba como un proceso de Markov de primer orden con correlación en el tiempo[Singer70].
3-4 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Desde la definición del método de Singer, las investigaciones siguientes se dividieron en dos
enfoques fundamentales:
1. Tratar de conseguir una detección de maniobra que permita describir ciertas
propiedades del sistema de seguimiento.
2. Describir modelos de movimiento para trayectorias, con parámetros adecuados, para
su aplicación.
El primero de estos enfoques consiste en detectar una maniobra para tratar de considerarla
con efectividad, ajustando el orden cinemático del modelo a considerar. Dentro de esta técnica
se incluyen la técnica de estimación de entradas[Bogler87] y el enfoque basado en dimensión de
estado variable[BarShalom82] [BarShalom88] (VSD, Variable State Dimension).
El segundo enfoque consiste en describir el movimiento del objetivo con múltiples
modelos. Los algoritmos pseudo-bayesiano generalizado (GPB, Generalized Pseudo-
Bayesian)[Tugnait82], de primer (GPB1) y segundo orden (GPB2), modelo múltiple interactivo
(IMM, Interacting Multiple Model)[Blom88] e IMM adaptativo (AIMM)[Munir95].
La estabilidad de los algoritmos basados en el segundo enfoque reside en la idoneidad de cada
modelo de movimiento para el objetivo usado en las diferentes maniobras.
Estos algoritmos asumen que el sistema se comporta de acuerdo a un conjunto finito de
modelos, los cuales pueden diferir en sus niveles de ruido o en su estructura (entradas,
dimensiones, …).
En el algoritmo IMM[Blom88], la estimación se obtiene a partir de una suma ponderada de
estimaciones obtenidas a partir de diferentes modelos, de acuerdo con la probabilidad de cada
modelo para ser efectiva. No obstante, para construir estos modelos se requieren submodelos
con diferentes dimensiones o niveles de proceso de ruido, considerando las distintas posibles
maniobras de los objetivos.
Por otra parte, el algoritmo AIMM[Munir95] no necesita submodelos predefinidos, puesto que
realiza las estimaciones de forma adaptativa, construyendo de forma dinámica los submodelos
con estas estimaciones. Sin embargo, en este algoritmo se necesitan definir los intervalos en
base a los cuales construir estos submodelos. Estos intervalos se deben obtener de las
propiedades de las maniobras.
La mayoría de los sistemas de armas requieren un seguimiento preciso de distintos vehículos
tales como aviones, barcos o submarinos. En la literatura existente se ha prestado mucha
atención al seguimiento de trayectorias muy determinadas, como órbitas, reentradas, …, sin
embargo el problema de estimar la trayectoria de amenazas tripuladas aún no está resuelto a
día de hoy de forma óptima. Este seguimiento de blancos en maniobra, en muchas ocasiones,
consume más tiempo del disponible y los resultados están limitados a objetivos, sensores y
entornos muy concretos.
El algoritmo a implementar debe ser suficientemente simple para permitir su implementación
en sistemas de armas, donde el tiempo de computación limitado es un requisito imprescindible
para tener un seguimiento preciso satisfactorio.
3-5 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
3.2. Tácticas y maniobras de combate aéreo.
Para ser un experto en combate aéreo, un piloto debe conocer cómo y cuándo enfrentarse a
un enemigo. Este instinto, parte importante en un conocimiento general de situación, puede ser
entrenado. También necesita conocer cómo evitar ser “iluminado” por el radar enemigo, de tal
forma que pueda permanecer sin ser detectado mientras cumple su misión.
La naturaleza del combate aéreo se ha mantenido desde que que produjo el primer
enfrentamiento en la primera guerra mundial entre el Fokker y el Spad. El mismo Barón Rojo
lo resumía cuando dijo “recorre tu área asignada, encuentra al enemigo y derríbalo… cualquier otra cosa es
basura”. Estas palabras describen el objetivo último de un piloto de caza, teniendo tanta validez
actualmente como hace 100 años. Mientras la filosofía del combate aéreo se ha mantenido, en
los medios se han producido un cambio radical. En su mayor parte, este se ha producido en
los últimos 30 años, en los que un elevado número de cazas de alta fiabilidad han entrado en
servicio ampliando las capacidades de maniobra en combate[Bonnani89].
El objetivo de las maniobras ofensivas es permanecer detrás del adversario y alcanzar una
posición para disparar las armas. En el caso de maniobras defensivas, mover/girar la
trayectoria a seguir para salir fuera del alcance de disparo sobre nuestra aeronave. El caza en si
mismo puede ser considerado como una plataforma de armas para llevar las armas a posición
de disparo. Estas armas han variado de forma significativa durante años, y cada una tiene sus
requisitos para un empleo efectivo. Estos requisitos incluyen distancia eficiente, alcance,
posición relativa caza-objetivo y otros diversos factores. Alcanzar estos requisitos de las armas,
a la vez que tratar de evitar que el enemigo los alcance, será el objetivo de las tácticas y
maniobras de un caza.
Las maniobras básicas de combate son un conjunto de maniobras sobre las que se construyen
el resto. Pueden ser clasificadas como maniobras primarias, que serán realizadas,
independientemente de quien sea el adversario, o maniobras relativas, que deben ser definidas
en función de otra aeronave[Shaw85].
Un ataque debe ser ejecutado de tal forma que la posición de disparo, preferiblemente en el
cuadrante trasero del objetivo, sea alcanzada justo a la vez que la distancia de disparo.
Generalmente se requerirá mantener el objetivo de forma estable en el punto de mira (ángulo
de visión) cierto tiempo, hasta que el proceso en el sistema de armas alcance la solución para
un disparo preciso.
3.2.1 Curvas de persecución (Pursuit curves).
La idea de una curva pursuit[Boole59] es un punto, que podríamos denominar conejo o perseguido,
el cual sigue una determinada curva mientras es perseguido por otro punto, que a su vez
podríamos denominar zorro o perseguidor:
El zorro se dirige siempre de forma directa al conejo.
La velocidad del zorro es directamente proporcional a la del conejo.
Estas curvas fueron definidas en forma general por el científico francés Pierre Bouguer en
1732. Sin embargo, el término curva pursuit fue usado por primera vez por George Boole en su
“tratado sobre ecuaciones diferenciales”[Boole59], 1859. La curva descrita por un caza en un
3-6 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
ataque sobre un blanco en movimiento, mientras lo mantiene en el objetivo, es una curva
pursuit.
En las figuras mostradas a continuación (figuras 3.4, 3.5 y 3.6) se muestran algunos ejemplos
de estas curvas. En verde se presenta la trayectoria seguida por el elemento perseguido (conejo),
en rojo por el perseguidor (zorro).
Figura 3.4. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria rectilínea (en verde, x=0).
Un aspecto que determinará la curva pursuit generada por el elemento perseguidor es la
relación entre las velocidades (k=vzorro/vconejo).
Tomando como caso de estudio la curva generada cuando el conejo tiene una trayectoria circular
(en verde en la figura 3.5), cuando k=1 (figura 3.5) la distancia entre el zorro y el conejo tenderá
a cero en el infinito. Si k>1, el zorro alcanzará al conejo en un tiempo finito. Si k<1, el zorro
quedará atrapado en un círculo de menor diámetro que el descrito por el conejo, sin llegar a
alcanzarle nunca (figura 3.6).
Figura 3.5. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k=1. Distancia
entre zorro y conejo en el tiempo.
3-7 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Figura 3.6. Curva pursuit (en rojo) para conejo en trayectoria circular (en verde). k<1.
Estas curvas tendrán una gran relevancia en las maniobras de cazas. En este caso, se definirán
tres tipos de curvas: lead, pure y lag. El tipo de curva dependerá de la orientación de vector
velocidad del perseguidor:
Por delante del perseguido, lead.
Hacía el propio perseguido, pure (ejemplos mostrados en las figura 3.4, 3.5 y 3.6).
Por detrás del perseguido, lag.
3.2.1.1 Curvas lead pursuit.
Como se ha comentado anteriormente, vienen determinadas por dirigir el vector velocidad del
perseguidor por delante del perseguido. El máximo en el lead sobre el elemento perseguido
cuando el atacante esta maniobrando cerca del objetivo, vendrá limitado a menudo por la
visibilidad del atacante y el requisito de mantener al objetivo a la vista. Esto se produce por el
riesgo de colisión o de permitir ganar al objetivo una posición ventajosa o incluso escapar.
El objetivo de este tipo de curvas suele ser acercar el perseguidor al perseguido. El ángulo de
ataque ideal dependerá de la posición de los aviones, velocidades relativas y maniobras del
objetivo. Estas curvas permitirán al atacante acercarse incluso en el caso de objetivos mucho
más rápidos que él, especialmente si el objetivo gira hacia el atacante (figura 3.7).
En la figura 3.7 se puede observar un avión perseguido (target) girando hacia el perseguidor
(attacker), el cual aplica una trayectoria lead pursuit. La distancia entre ambos disminuye
rápidamente.
3-8 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Figura 3.7. Efecto de giro y lead-pursuit.[Shaw85]
En este tipo de curvas, el atacante debe girar con menor radio y mayor ángulo conforme se
acerca al objetivo, siendo posible que tenga que girar de forma mucho más severa y rápida que
el objetivo para mantener la curva.
Como posible respuesta del objetivo, en la figura 3.8 se muestran dos posibles respuestas a una
maniobra lead pursuit realizada por un atacante, todavía sin distancia de disparo. Una de ellas
para un defensor con ventaja en la velocidad (línea continua); la otra para un defensor con
desventaja en la velocidad (línea discontinua). En este segundo caso, la menor velocidad
habilita al defensor para hacer un giro más cerrado obligando al atacante a girar un ángulo
imposible para sus capacidades.
Figura 3.8. Defensa contra una lead-pursuit[Shaw85].
i. Línea continua: defensor con mayor velocidad.
ii. Línea discontinua: defensor con menor velocidad.
3-9 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
3.2.1.2 Curvas pure pursuit.
Mantener la dirección del vector velocidad directamente dirigido hacia el objetivo también
proporciona una forma de interceptación del mismo, a menos que este tenga una ventaja en la
velocidad importante y el ángulo AOT1 (angle off the tail, ver figura 3.7) sea muy pequeño.
Aunque la velocidad de interceptación será menor que en el caso anterior (lead pursuit), la
trayectoria se verá menos afectada por una imposibilidad de giro, puesto que el AOT ante una
posible maniobra no aumentará tan rápidamente (uno de los factores que impide alcanzar al
objetivo).
Además de lo anterior, las trayectorias pure pursuit son las que presentan una mínima silueta
(silueta frontal) del atacante al objetivo, lo cual incrementará los problemas de este último.
3.2.1.3 Curvas lag pursuit.
En las curvas lag pursuit el atacante dirige su vector velocidad por detrás del objetivo. Esta
trayectoria es útil de cara a ralentizar al perseguidor o en una interceptación para mantener una
distancia de separación con el objetivo, a la vez que simultáneamente se mantiene o disminuye
el ángulo entre ambas trayectorias (AOT). Usando este tipo de trayectorias, incluso un avión
más rápido que el objetivo perseguido en maniobra puede mantener su posición en el
hemisferio trasero del mismo.
En la figura 3.9 se ilustra la utilización de este tipo de trayectorias para alcanzar una posición
estable en el hemisferio trasero de un oponente más lento. En este ejemplo, el atacante
(attacker) se encuentra en la parte interna del giro del oponente (bogey) lo cual provocará un
aumento rápido en el AOT y muy posiblemente una imposibilidad de disparo. Su capacidad de
giro no le permitirá alcanzar la posición relativa requerida, dentro de los parámetros de
disparo. Una posibilidad es relajar el ángulo de giro para ejecutar una maniobra lag pursuit. Esto
le permitirá posteriormente alcanzar la parte trasera del oponente de forma mucho más
estable. Además, esta maniobra permitirá al atacante alcanzar una mayor ventaja por
aceleración.
Figura 3.9. Trayectoria lag-pursuit[Shaw85]. Atacante con velocidad superior al perseguido (bogey).
1 AOT (angle off the tail): angulo formado entre el vector velocidad del perseguidor y la trayectoria del perseguido.
3-10 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Este tipo de trayectorias también dificultará mucho la visión que el objetivo (bogey) pueda tener
del atacante, especialmente cuando este último se encuentre por detrás del primero.
Para conseguir con este tipo de maniobras el efecto deseado, pueden verse acompañadas de
una maniobra en altura (figura 3.10) que la haga más efectiva, trayectoria lag-pursuit roll,
permitiendo al atacante mantener su ventaja por una mayor velocidad a la vez que la posición y
ángulo en referencia al oponente.
Figura 3.10. Trayectoria lag-pursuit roll[Shaw85]: trayectoria lag-pursuit acompañada de maniobra en
altura.
3.2.2. Otras maniobras básicas de combate.
Además de las maniobras presentadas en el apartado anterior, otras muchas maniobras
conforman lo que se ha denominado maniobras básicas de combate, maniobras sobre las que
se definirán otras más complejas. Para conocimiento del lector, se enumeran a continuación
algunas de las más utilizadas:
3.2.2.1 Maniobras High y Low Yo-Yo.
Maniobras que toma el nombre del conocido piloto japonés de la Segunda Guerra Mundial
Yo-Yo Norikate. De forma similar a las lag pursuit, estas maniobras se utilizan para cuando el
atacante tiene mayor velocidad que el defensor, para mantener la situación en la parte trasera
del oponente sin perder velocidad y disminuyendo el AOT.
En el caso de la maniobra High Yo-Yo (figura 3.11), es preferible en situaciones donde el AOT
es moderado 30º-60º y la velocidad del atacante es similar a la del oponente. Se trata de una
maniobra tridimensional que permite al atacante mantener más energía.
3-11 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Figura 3.11. Maniobra High Yo-Yo. [Shaw85]
Se puede considerar una composición de las curvas pursuit presentadas en el apartado anterior.
En el punto 1 de la figura 3.11 el atacante aplica una trayectoria pure pursuit. En el punto 2,
pueden ser aplicadas lead, pure o lag pursuit. La elección depende de la separación entre ambos
aviones y la distancia deseada, una vez que el atacante esté apuntando a la cola del oponente.
En el caso de la maniobra low Yo-Yo (figura 3.12), el objetivo es, como en casos anteriores,
mejorar el acercamiento y ángulo del atacante respecto al oponente. Se aplica cuando el
atacante no tiene capacidad de giro para perseguir al oponente incluso con una trayectoria lag
pursuit. En este caso el atacante aprovecha la gravedad en su beneficio
Figura 3.12. Maniobra Low Yo-Yo. [Shaw85]
3-12 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
3.2.2.2. Maniobra Lead Turn.
Se define como un giro “temprano”, el cual es iniciado por el atacante antes de cruzarse
frontalmente con el oponente en una situación de enfrentamiento frontal (figura 3.13). Puede
ejecutarse basándose en una trayectoria lead o lag pursuit.
Figura 3.13. Maniobra Lead Turn[Shaw85]. Giro “temprano” en punto 1.
En esta maniobra cuanto antes se inicie el giro mayor es la probabilidad de éxito, pero si se
inicia demasiado pronto (línea continua en figura 3.13) el atacante pasará por delante del
oponente, situación no deseable si este va equipado con armamento de corto alcance.
3.2.2.3 Maniobra Flat Scissors.
Maniobra compuesta por una serie de giros frontales (nose to nose), sobrepasándose ambos
oponentes ejecutados en el mismo plano, donde cada piloto intenta colocarse detrás del otro
(figura 3.14).
Figura 3.14. Maniobra Flat Scissors. [Shaw85]
En este escenario ambos oponentes tienen la misma capacidad de giro y, en el caso de la figura
3.14, el avión que en el instante 1 está en la posición inferior de la figura tiene menor velocidad
y por lo tanto un giro más cerrado.
3-13 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Esta maniobra puede aparecer definida en tres dimensiones: rolling scissors. (figura 3.15)
Figura 3.15. Maniobra rolling scissors. [Shaw85]
3.2.2.4. Espiral defensiva.
La maniobra espiral defensiva es básicamente una maniobra scissors (apartado 3.2.2.3)
directamente hacia el suelo (figura 3.16). Se ejecuta principalmente cuando un avión casi ha
alcanzado, de forma muy cercana, el hemisferio trasero del oponente de muy baja velocidad.
Figura 3.16. Maniobra espiral defensiva[Shaw85]. Defensor con velocidad muy baja.
3-14 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Con el objetivo por parte del oponente de evitar un bloqueo con las armas de seguimiento,
como un intento de escapar aumentando el ángulo AOT aprovechándose de la gravedad, el
defensor gira de forma brusca hacia el suelo, entrándose en una maniobra similar a la
presentada en el apartado 3.2.2.3 (flat scissors).
3.3. Detección de maniobras.
El seguimiento de blancos en maniobra es especialmente complicado por el hecho de que la
aceleración no es directamente medible. Además, la aceleración puede ser introducida por una
variedad de fuentes, desde la acción humana a distorsiones atmosféricas en las medidas.
Si consideramos una maniobra como un elemento no aleatorio, se viene utilizando un proceso
de detección de maniobra para corregir la estimación del estado o aumentar el estado con una
componente extra cuando dicha maniobra es detectada (VSD, Variable State Dimension
Filter[BarShalom82] [BarShalom88]). En este algoritmo, la maniobra, modelada como una aceleración, es
estimada de forma recursiva. Se considera la maniobra como una parte inherente a la dinámica
del objetivo, o lo que es lo mismo, se considera que la maniobra no se modelará como ruido.
En este algoritmo, el filtro de seguimiento opera en modo normal en ausencia de cualquier
maniobra. Se desarrolla un proceso de detección para determinar si una maniobra está
ocurriendo. Una vez que la maniobra es detectada, el filtro utilizará un modelo de estado
diferente: se añaden nuevas componentes al estado. El seguimiento se realizara con el nuevo
modelo de estado hasta que, por otra decisión, vuelva al modo normal.
La motivación para utilizar un modelo inactivo de bajo orden y un modelo maniobra de alto
orden, en lugar de un seguimiento único de compromiso a aplicar a ambas, es que permitirá un
mejor seguimiento global en ambas situaciones. Por ejemplo, si el objetivo no tiene
aceleración, la utilización de un modelo con esta componente incrementaría los errores de
estimación tanto para la posición como la velocidad.
En concreto, en [BarShalom82], se presenta la aplicación de dos modelos: uno para velocidad
uniforme y otro para aceleración constante.
El cambio del modelo inactivo al modelo maniobra se realiza en base a la superación de un
umbral por parte de una medición estándar de innovación. En este caso, puesto que se considera
que la maniobra es detectada con cierto retraso, se recalculan las últimas estimadas
considerando la maniobra detectada, motivo por el cual estas últimas estimadas y las
correspondientes medidas que dieron lugar a ellas deben ser mantenidas.
La vuelta al modelo inactivo se realiza en base a la consideración de la desviación típica obtenida
para las aceleraciones estimadas. Si esta no es estadísticamente significativa se rechaza la
hipótesis de maniobra, volviendo al modelo inactivo.
En este algoritmo, se presenta un esquema para diferenciar entre un modo inactivo y un modo
maniobra. Incluso, el modo maniobra puede ser modelizado con diferentes parámetros
dependiendo de la maniobra esperada. No obstante, es difícilmente aplicable a un entorno en
el que se puedan presentar maniobras de diferentes características, obligando en estos casos a
definir un modelo maniobra de compromiso, con el que intentar tratar con el menor error
posible las medidas de un objetivo, el cual no presenta un modelo homogéneo en todas sus
maniobras.
3-15 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Presenta los siguientes inconvenientes:
Posibles errores en la decisión del modelo a aplicar no son considerados en la
estimación.
La decisión del modelo a utilizar se lleva a cabo de forma irrevocable antes de la
estimación, aunque los resultados de esta estimación son a menudo beneficiosos para
esta decisión.
3.4. Modelos Múltiples
En este enfoque el inicio de una maniobra se considera como un proceso puramente aleatorio
asumiendo que se rige a modo de “ruido blanco” o “ruido autocorrelado”.
En el primer caso, inicio de una maniobra como “ruido blanco” con media cero, se viene
utilizando un enfoque basado en modelos múltiples. En el caso de “ruido autocorrelado”, se
considera un enfoque de aceleración exponencialmente correlada.
En [Li05] se presenta un exhaustivo análisis en profundidad del estado del arte en relación a la
metodología de modelos múltiples (MM) para seguimiento de objetivos en maniobra.
Actualmente se han definido una gran cantidad de algoritmos basados en múltiples modelos.
No obstante, existen pocos estudios comparativos de estos[Blom88][Averbuch91][Gustafsson01].
Los métodos MM han sido considerados de forma general como el enfoque convencional para
el seguimiento de objetivos en maniobra con incertidumbre en su modo de movimiento.
En el enfoque de solución presentado en el punto anterior[BarShalom82], la estrategia utilizada es
caracterizada como “estimación después de una decisión”, “decisión seguida de una
estimación” o simplemente “decisión-estimación”. En algún momento, primero se decide el
(mejor) modelo y a continuación se ejecuta un único filtro de seguimiento basado en este
modelo, como si fuera el verdadero. En el punto anterior ya se vieron los inconvenientes de este
enfoque.
Puede ser beneficioso más de un modelo de movimiento en un algoritmo de seguimiento
cuando la dinámica de un objetivo no es conocida. Con el objetivo de tratar esta
incertidumbre, un algoritmo de seguimiento con modelos múltiples ejecuta un conjunto de
filtros que modela tanto un movimiento sin maniobra como un conjunto de posibles
maniobras. El algoritmo fusiona la salida de todos estos modelos para obtener una estimación
global (ver en capítulo 2 , figura 2.23). Se han definido una gran cantidad de algoritmos MM,
cada uno de los cuales fusiona la información de una forma diferente (ver apartado 2.10 del
capítulo anterior).
Los algoritmos MM se han presentado como eficaces en el seguimiento de blancos en
maniobra, con incertidumbre en la maniobra. La primera generación de algoritmos MM
(AMM[Magill65]), los más limitados, asumen que el objetivo se encuentra en una maniobra
constante. Las otras dos generaciones (CMM y VSMM) manejan conceptos más complejos, y
computacionalmente también lo son. Su capacidad de seguimiento es mucho mejor, pudiendo
asumir incluso que un objetivo tenga múltiples movimientos de maniobras. La generación
CMM tiene poca posibilidad de mejora[Bastos08], llevando al pensamiento general en la
comunidad del seguimiento que, los algoritmos VSMM se presentan como opción de futuro
puesto que permiten menos complejidad computacional con mayores conjuntos de modelos.
3-16 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Los algoritmos VSMM son relativamente nuevos y necesitan más desarrollo e investigación
para ser establecidos como una solución alternativa[Bastos08].
En [Bastos08] se presenta un estudio comparativo en la aplicación de algoritmos MM a
objetivos en maniobra. El estudio se hace sobre 30 trayectorias con distintas aceleraciones
normales.
Como conclusión final, para estas 30 trayectorias se obtienen los siguientes resultados (tabla
3.1):
Tabla 3.1. Comparativa de resultados obtenidos para 30 trayectorias estimando con algoritmos
MM[Bastos08].
Estos resultados representan únicamente un ejemplo puesto que los algoritmos pueden tener
distintas respuestas para distintas maniobras.
Según [Bastos08], a pesar de los resultados obtenidos, en algunos casos de notable valor,
todavía es necesaria una mejora importante, obteniéndose unos resultados muy dependientes
de los parámetros iniciales definidos (conjunto de modelos) y de los parámetros de las
trayectorias a estimar. El algoritmo LMS es especialmente dependiente de esta situación.
En [Pitre11], considerando los mismos algoritmos detallados anteriormente, se establece que
no hay un algoritmo MM que puede definirse como preponderante para su aplicación en el
seguimiento de blancos en maniobra. Establece el algoritmo IMM como aquel que tiene mejor
complejidad computacional entre todos aquellos que ofrecen una solución “aceptable” en
cuanto a errores en el seguimiento. Igualmente, lo presenta como el más robusto a la pérdida de
modelo (aplicación de modelo erróneo), mostrándolo como la mejor elección si el coste
computacional es un requisito. Se resalta la aplicación de este tipo de algoritmos en aquellos
casos en los que las maniobras sean desconocidas a priori.
En [McIntyre98] se hace un estudio de diferentes modelos a aplicar en la estimación de
objetivos en maniobra. Se estudia la posibilidad de emplear estos modelos bajo coordenadas
cartesianas o polares. Como conclusión se establece que los modelos, tanto en coordenadas
cartesianas como en polares, así como en polares convertidas a cartesianas, presentan
resultados similares, sin que este factor sea determinante, estableciéndose como único factor a
tener en cuenta el coste computacional en el último caso (conversión de coordenadas polares a
cartesianas).
3-17 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
3.5. Algoritmos inteligentes para seguimiento de blancos en
maniobra.
El problema del seguimiento de objetivos en maniobra ha sido estudiado en la estimación de
estados durante décadas. De forma general, se han utilizado los filtros Kalman para estimar el
estado de un objetivo, pero en presencia de maniobras su rendimiento se ve seriamente
degradado.
Para solucionar este problema, como se ha visto en puntos anteriores, se han aplicado diversas
técnicas.
En [Singer70] se propone un modelo donde la maniobra se trata dentro de un proceso de
Markov de primer orden con correlación en el tiempo.
A partir de este modelo se han generado dos enfoques para tratar este problema.
En el primero de ellos, se trata de detectar la maniobra para posteriormente procesarla de la
mejor forma posible. Dentro de este enfoque se incluye en el enfoque VSD[BarShalom82] (Variable
State Dimension Filter, ver apartado 2.10.3 y 3.4).
En el segundo enfoque, se describe el movimiento de un objetivo con múltiples modelos,
tratando de ajustarse en la medida de lo posible al movimiento real. En este enfoque entrarían
algoritmos como GPB[Tugnait82] (Pseudo Bayesian), IMM[Blom88] (Interacting Multiple Model) y
AIMM[Munir95] (Adaptative IMM).
En este segundo enfoque, la precisión en el seguimiento de objetivos en maniobra utilizando
múltiples modelos subyace en la idoneidad del modelo determinado para cada movimiento en
una maniobra. Esto implica que construir este tipo de algoritmos implica un conocimiento
detallado a priori de las características de las maniobras a estimar.
Para solucionar este problema se han planteado diversas propuestas basadas en utilizar
distintos paradigmas de inteligencia artificial, fundamentalmente en lo relativo a lógica borrosa,
redes neuronales y algoritmos genéticos.
De forma generalizada esta utilización de diferentes paradigmas de inteligencia artificial en el
problema de seguimiento de objetivos en maniobra se ha hecho siempre integrando alguna
capacidad adicional (basada en IA) en algoritmos clásicos de seguimiento, los anteriormente
reseñados.
Así, en [Amoozegar95] se propone de nuevo un modelo híbrido donde se utilizan las redes
neuronales en conjunción con un filtro Kalman. En concreto, se propone la utilización de
redes neuronales para otros objetivos en un problema de seguimiento, como puedan ser la
interacción entre los distintos modelos que puedan componer un filtro IMM, clasificación de
las maniobras de un objetivo, cuantificación de ruido, … En este caso, la red neuronal se
utiliza para tratar de generar de forma artificial (y compensar) el error que un filtro Kalman
pueda tener en la estimación de un objetivo en maniobra, actuando la red neuronal de nuevo,
en cooperación con el filtro Kalman.
En el mismo sentido que en [Amoozegar95] se implementa una red neuronal en [Takaba96]
(figura 3.17).
3-18 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Figura 3.17. Uso de una red neuronal multicapa (MNN) en apoyo a la estimación realizada por
un filtro Kalman (TKF).[Takaba96]
En el mismo sentido que en los casos anteriores, se implementa en [Chin96] una red neuronal
para compensar los posibles errores producidos por un algoritmo JPDA.
En [Vaidehi99], con un uso similar de redes neuronales al especificado en casos anteriores, red
neuronal compensando errores en un filtro Kalman, se declara esta arquitectura con menor
coste computacional que un filtro IMM. Se utiliza para ello una red neuronal multicapa
backpropagation.
Cambiando de paradigma, en [Lee03] se propone una solución IMM basada en lógica borrosa,
optimizada mediante algoritmos genéticos (ver figura 3.19). Se obtiene mejora en el
seguimiento frente al algoritmo AIMM (ver figura 3.18). Los algoritmos genéticos se utilizan
para el entrenamiento offline de los modelos borrosos a utilizar en un algoritmo tipo AIMM.
3-19 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Figura 3.18. Algoritmo AIMM. [Lee03]
Figura 3.19. Método IMM basado en algoritmos genéticos (GA) usando lógica borrosa. [Lee03]
En este último caso, figura 3.19, partiendo en un algoritmo AIMM (figura 3.18), cada modelo
(filter X en la figura) se ve parametrizado por un conjunto de reglas borrosas (fuzzy rules X) las
cuales han sido entrenadas off-line mediante algoritmos genéticos (GA).
3-20 CAPÍTULO 3. Seguimiento de Blancos en Maniobra
Recientemente se ha comenzado a utilizar filtros de partículas en la búsqueda de una mejor
solución a este tipo de problemas[Liu98][Doucet00].
Básicamente, el filtro de partículas se compone de un conjunto de muestras (las partículas) y
unos valores, o pesos, asociados a cada una de esas muestras. Las partículas son estados
posibles del proceso, que se pueden representar como puntos en el espacio de estados de
dicho proceso[Gordon93].
El motivo de utilización de este tipo de enfoque es su facilidad y precisión para resolver
problemas no lineales de dificultad, donde los modelos subyacentes se representan por
ecuaciones de estado dinámicas no lineales.
Se ha venido utilizando sobre todo en sistemas para seguimiento en imágenes. Para realizar el
seguimiento de un objeto sobre una secuencia de imágenes, el filtro de partículas "lanza" al
azar un conjunto de puntos sobre la imagen (etapa de inicialización, se crea un conjunto de
partículas con un estado aleatorio), realizando cálculos se le asignará un valor, o valores, a cada
uno de esos puntos (etapa de actualización). A partir de estos valores, se creará un nuevo
conjunto de puntos que reemplazará al anterior. Esta elección también será al azar, pero los
valores que se han adjudicado a cada uno de los puntos provocarán que sea más probable de
elegir aquellos puntos que hayan capturado al objeto sobre el que quiere realizar el seguimiento
(etapa de estimación). Una vez que se crea el nuevo conjunto de puntos, se realiza una leve
modificación al estado (posición) de cada uno de ellos, con el fin de estimar el estado del
objeto en el instante siguiente (etapa de predicción).
Al terminar la etapa de predicción, se obtiene un nuevo conjunto de puntos al que se le vuelve
a aplicar la etapa de actualización, repitiéndose este bucle hasta que termine la secuencia o
desaparezca el objeto, caso en el cual se volvería a la etapa de inicialización.
En [Ikoma01] y [Yu06] se implementa un filtro para seguimiento radar basado en filtros de
partículas para estimar el estado del objetivo ante cambios bruscos en el mismo (aceleraciones,
frenadas y giros). Considera el uso de filtros de partículas como computacionalmente
interesante, debido a que su coste computacional será proporcional al número de partículas
utilizadas. En ambos casos se utilizan filtros de partículas para la estimación de la aceleración.
Se declaran problemas en la utilización de este enfoque en entornos con alto nivel de ruido en
las medidas.
En [Bugallo07] se implementa un filtro basado en filtros de partículas CRPF[Míguez04] (Cost-
Reference Particle Filtering). En este caso las referencias proporcionadas por distintas
distribuciones de probabilidad son sustituidas por una función de coste definida por el usuario
que mide la calidad del estado estimado conforme a las medidas detectadas. En la solución
propuesta cada posibilidad de movimiento (estimación) es explorada en cada etapa del
algoritmo.
Este tipo de enfoque, basado en filtros de partículas presenta el problema principal de su alta
demanda en cuanto a coste computacional[Bugallo07]. Presenta la ventaja que es relativamente
sencilla su implementación en una arquitectura paralela permitiendo un ahorro en el tiempo de
computación requerido. Este problema puede verse agravado considerando su posible
implementación en un sistema de tiempo real, con requisitos temporales exigentes.
Capítulo 4
Sistema de seguimiento neuronal en tiempo
real basado en información contextual.
“Al que está necesitado, no le conviene ser vergonzoso”
Homero, La Odisea.
RESUMEN: Se presenta una propuesta de solución en relación a la problemática presentada
por la incertidumbre e imprecisión en las medidas radar utilizadas como fuente de información
en un sistema seguimiento de vigilancia aérea radar. Como propuesta de solución se presenta
un caso de aplicación de las redes neuronales incorporándose información contextual a esta
solución al problema de seguimiento, la cual pudiera ser implementada considerando los
requerimientos de proceso que acompaña a estos sistemas de tiempo real.
Se intenta aprovechar las características de las redes neuronales en cuanto a la facilidad de las
mismas para reconocer patrones no especificados, fácil adaptabilidad para tratar de explotar
información de entrada adicional y adaptación para una computación paralela que permita
optimizar y acotar su tiempo de cálculo.
Igualmente, se intenta explotar la capacidad de las redes neuronales para aproximar funciones
de mapeo pseudo-arbitrarias de entradas-salidas en un proceso, para incorporar la información
contextual que pudiera existir en trayectorias predeterminadas, en el proceso de estimación y
seguimiento propio de los sistemas de vigilancia aérea radar.
4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal.
4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
4.2.1. Esquema de trabajo.
4.2.2. Seguimiento neuronal en maniobras.
4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento.
4.3. Resultados de simulaciones.
4-2 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
4.1. Introducción: motivación de un enfoque neuronal.
Tal y como se aclaró en el Capítulo 1, Introducción, por analogía con la literatura en lengua
inglesa existente sobre este tema, en la que se emplea de forma habitual el término “neural
tracking” [Sengupta89][Kim91][Juszkiewicz00][Wang14], tanto en el título como durante la propia tesis se
empleará la denominación “seguimiento neuronal”, entendiendo el mismo como simplificación
lingüística de “seguimiento basado en redes neuronales”, aún sabiendo que su corrección semántica
no sea la adecuada.
Conforme se ha expuesto en capítulos anteriores, un gran número de algoritmos[Farina85]
[Blackman86] [BarShalom88] [Bogler87] [Li05] se han descrito en la literatura durante los últimos años, los
cuales se diferencian fundamentalmente en el modo por el que se define el modelo dinámico
del sistema aplicado al seguimiento del objeto considerado.
Los algoritmos clásicos, basados en un tratamiento puramente estadístico de la información,
derivados de un filtrado estocástico, como los filtros α-β-γ[Farina85][Brookner98] o los filtros de
modelo de estado como los filtros Kalman[Li05][Brookner98][Brown92], pueden no dar los resultados
deseados cuando el modelo sea propenso a errores, existan medidas falsas o falsas detecciones,
exista un ruido elevado en el proceso de medida o incluso cuando el modelado del
movimiento de un blanco no haya sido tenido en cuenta, en beneficio de otros casos más
típicos. Así, aún asumiendo que el enfoque clásicamente estadístico para resolver estos
problemas de seguimiento pueda tener sus puntos fuertes y proporcionar un buen seguimiento en
escenarios específicos, también presenta ciertas deficiencias.
Entre estas deficiencias se pueden considerar su complejidad computacional, la dificultad
existente en el modelado de típicas trayectorias con giros rápidos o coordinados, así como la
dificultad en incorporar nuevas variables al proceso de estimación.
Esta complejidad computacional se considera un factor crítico en los casos típicos de centros
de control aéreos, donde el sistema de seguimiento debe estimar cientos de blancos (aviones),
con miles de medidas en un corto periodo de tiempo, de 3 a 10 segundos, en cercana
coordinación con otras múltiples funciones[Audsley90] relacionadas con este seguimiento. Una vez
que este intervalo límite es sobrepasado, los resultados que se pudieran obtener se consideran
obsoletos.
Teniendo en consideración lo anterior, tienen un interés particular enfoques alternativos que
puedan mejorar este seguimiento.
La capacidad de las redes neuronales artificiales (RNA) para aproximar “mapeos” de valores de
entrada y salida aparentemente arbitrarios, proporciona un medio para identificar funciones
dinámicas desconocidas de cara a predecir el valor de salida un paso por adelantado. Esta capacidad es
de especial utilidad en sistemas donde las reglas para definir el comportamiento del modelo no
sean fácilmente formulables, debido fundamentalmente a que se incorpore cierta
incertidumbre, esto es, datos incompletos e imprecisos en el conocimiento empleado.
De forma más específica, en el caso de un sistema de seguimiento radar, la información para el
entrenamiento de una red neuronal puede ser extraída directamente de las medidas
proporcionadas por el propio radar (información habitualmente utilizada), pero también, esta
información puede ser aumentada por información contextual, derivada del conocimiento que
4-3 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
pudiera ser extraído por un experto de la información propia del contexto en el que el
algoritmo de seguimiento se esté ejecutando.
En este trabajo, esta información contextual se deriva no solo de los datos de múltiples
sensores, sino también de patrones conocidos y esperados en maniobras aéreas, información
conocida a priori, los cuales probablemente condicionarán el comportamiento del blanco bajo
seguimiento.
La capacidad para fusionar eficientemente información de diferentes fuentes o con diferentes
formatos, para facilitar de esta forma una toma de decisiones eficiente, es una de las
principales características de una red neuronal multicapa correctamente
entrenada[Malur95][Juszkiewicz00][Sarkar05].
Este enfoque dará como resultado un filtro de seguimiento no lineal, el cual presentará
importantes ventajas sobre los clásicos intentos en diseñar algoritmos de seguimiento no
lineales para aplicaciones de seguimiento. La ventaja importante será la reducción de la
complejidad matemática y computacional.
Como un posible caso de aplicación se propone considerar la aplicación de este enfoque
propuesto a típicos ejemplos de curvas de persecución (pursuit curves), también comúnmente
conocidas como curvas del perro, maniobras de combate aéreo utilizadas desde la Primera
Guerra Mundial, facilitando a la red neuronal la estimación de valores para posiciones futuras
en trayectorias complejas, especialmente aquellas en las que pudieran intervenir dos o más
aviones de caza en combate aéreo cercano.
En un sistema de seguimiento clásico, estas curvas del perro son difícilmente incorporables a los
típicos procesos estadísticos contenidos en el mismo. Esto es debido a que estos algoritmos no
incorporan información contextual, más allá de la contenida en las variables estadísticas
consideradas.
A continuación se propondrá y describirá un algoritmo de seguimiento basado en redes
neuronales, aplicable en el ámbito de la vigilancia y control aéreo, algoritmo al que, más allá de
la información contenida en las medidas radar, se incorporará la información contextual
anteriormente reseñada.
4.2. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en
información contextual.
4.2.1. Esquema de trabajo.
Se plantea como esquema de trabajo para solucionar el problema planteado, el empleado por
un experto, de forma concreta por un controlador aéreo, o de forma general por cualquiera de
nosotros, a la hora de estimar la posición actual de un móvil aéreo detectado por un radar de
vigilancia realizándose para ello una función de seguimiento:
A partir de los últimos datos detectados, últimas medidas radar, estimándose la
velocidad (módulo y dirección), se trata de predecir en qué posición se debería
localizar de forma aproximada el objetivo bajo seguimiento (estimación predicha)
considerándose un determinado instante en el tiempo.
4-4 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
A partir de esta estimación predicha, considerando información contextual (por ejemplo,
trayectoria seguida hasta ese momento por el avión bajo seguimiento, existencia de
enfrentamiento con un enemigo, situación de un posible enemigo,…) e información
conocida a priori, considerando como tal la posible modelización de la trayectoria a
seguir, tácticas de combate[Shaw85], RoEs1 se realiza un ajuste en la posición predicha que
de cómo resultado la posición estimada para ese objetivo (estimación filtrada)[BarShalom88].
Como un ejemplo de un modelo básico de maniobras, como un caso concreto de aplicación,
se considerarán las curvas de persecución[Lloyd07] o “carrera de perro”2 (figura 4.1).
Figura 4.1. Ejemplo de curva de persecución.
La idea en una curva de persecución (figura 4.1) es que un punto, comúnmente denominado
como “conejo” (A) describe una curva predefinida. Este “conejo” es perseguido por otro punto,
comúnmente denominado “zorro” (P). Para esta curva se determinan dos condiciones:
1. El zorro mira directamente hacia el conejo.
2. La velocidad del zorro es directamente proporcional a la del conejo.
Esta trayectoria, en un ámbito de maniobras aéreas, es comúnmente conocida como persecución
pura y es utilizada cuando el avión perseguidor quiere mantener sus armas dirigidas en todo
momento al elemento o avión perseguido[Shaw85]. Ambas aeronaves se moverán en una
trayectoria similar, basada en la premisa de evitar ser disparada por una y acertar el disparo por
otra.
Dependiendo de la trayectoria seguida por el avión amenazado, así será la trayectoria seguida
por el amenazante, considerando el atacante en todo momento las características
anteriormente reflejadas. En la figura 4.2 se pueden observar diversos ejemplos estando la
trayectoria de avión perseguidor (en rojo) condicionada en todo momento a la trayectoria
definida por el avión perseguido (en azul).
1 Rules of Engagement, reglas o directrices a las fuerzas armadas que definen las circunstancias,
condiciones, grado y forma en las que la fuerza o acciones pueden ser aplicadas. 2 Conocidas con este nombre por la semejanza de estas curvas con la trayectoria que seguiría un perro
en su persecución ante un móvil.
4-5 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Figura 4.2. Curvas de persecución (en azul el objeto perseguido, en rojo el perseguidor).
La información contenida en estas curvas, entendida como información sobre la probable
respuesta de dos elementos móviles, puede ser utilizada como información a priori en un
algoritmo de seguimiento aplicado a las medidas radar generadas por dos aviones, perseguido y
perseguidor, cuyas trayectorias se quieran estimar.
Una característica común a muchos sistemas de seguimiento, en el contexto de la vigilancia
aérea, es considerar a estos como sistemas en tiempo real. El buen funcionamiento de un
sistema de tiempo real depende, no solo de la corrección lógica de sus resultados, sino también
del momento en el que están disponibles. Dicho de otra forma, los requerimientos del sistema
incluyen requisitos temporales en forma de instantes límite. Un sistema de tiempo real seguro
se puede definir como aquel en el que el daño ocasionado por un límite perdido es mayor
cuanto más se haya sobrepasado este límite[Audsley90][Audsley90B].
En un sistema de tiempo real, el instante de la disponibilidad de los resultados[Vivancos98] es tan
importante como la precisión en los mismos. Esto es debido a la necesidad de garantizar que el
sistema decidirá qué acción llevar a cabo y podrá aplicarla antes de que se produzca un cambio
en el entorno que haga que ya no sea válida la decisión tomada, motivo por el cual los
4-6 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
requisitos temporales pueden ser más importantes que posibles mejoras en la precisión de los
resultados obtenidos.
Esto condicionará la solución propuesta en un intento de intentar optimizar la relación tiempo
de respuesta-calidad de la respuesta.
La propiedad más importante que debe cumplir el sistema propuesto, como sistema de tiempo
real, será la “predecibilidad”: su comportamiento funcional y temporal (capacidad de predecir a
priori que una tarea acabará antes de un plazo máximo de ejecución) debe estar lo
suficientemente determinado como para poder asegurar que cumplirá las especificaciones del
sistema[Stankovic90].
4.2.2 Seguimiento neuronal en maniobras.
Frente a los numerosos estudios y referencias existentes al seguimiento de blancos con
trayectorias estándar, quizás por su uso eminentemente militar hasta hace unos años, no existe
demasiada documentación o estudios disponibles sobre estimación de trayectorias de blancos
en maniobra a partir de medidas radar influenciadas por ruido. Dos estudios detallados de las
referencias existentes en relación a este problema fueron realizados por
Ananthasayam[Ananthasayanam03] y por Amoozegar F.[Amoozegar98]
Como ya ha sido referenciado anteriormente en diversas ocasiones, diferentes algoritmos de
seguimiento han sido desarrollados, pudiéndose destacar los filtros α-β, filtros α-β-
γ[Farina85][Brookner98] y los filtros Kalman[Li05][Brookner98][Brown92]. Debido al incremento en la capacidad
computacional de los procesadores y ordenadores, en los últimos 15-20 años se ha establecido
como un estándar la aplicación de filtros Kalman como algoritmo de seguimiento en los
sistemas de vigilancia y control aéreo. En estos sistemas existe una gran cantidad de factores,
originados tanto por los propios objetivos a detectar como por el propio sistema, que originan
pérdidas en el seguimiento, provocándose, como consecuencia, la estimación de trayectorias
erróneas. Una causa frecuente de esto, son los cambios bruscos en la trayectoria de un objetivo
originando diferencias importantes entre las medidas radar obtenidas y la posible predicción de
estado, todo ello acentuado por la presencia de falsas detecciones, provocándose lo que
comúnmente se denomina pérdidas en el seguimiento, o estimaciones erróneas de trayectorias.
Aunque actualmente el filtrado Kalman se considera un estándar en los algoritmos de
seguimiento implantados en los sistemas de control aéreo (independientemente de su objetivo
final, tanto en sistemas de control aéreo civiles como militares), técnicas basadas en redes
neuronales también han sido en determinadas ocasiones utilizadas para mejorar la precisión de
estas estimaciones.
En algunos casos, la red neuronal se ha utilizado como una ayuda o mejora, utilizada dentro de
un filtro Kalman, en un intento de mejorar la precisión de la posición y velocidad estimada
por un filtro Extended Kalman[Chin94][Duh04]. Queda demostrado que la estimación mejora de
forma notable, incrementándose la precisión en la estimación tanto en posición como
velocidad de forma considerable.
Igualmente, técnicas basadas en la utilización de redes neuronales, en muchas ocasiones
integradas con lógica borrosa, han sido utilizadas para la detección de maniobras o ajustes de
4-7 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
los filtros a la varianza del sistema[Jing94], lo cual también ayuda de forma notable a mejorar la
estimación obtenida por un filtro Kalman.
Chin empleó una red neuronal backpropagation para ayudar al filtro Kalman a reducir el error en
la estimación. La salida de una red neuronal, previamente entrenada, era usada para compensar
la estimación de estado. Este algoritmo no cambia la estructura y parámetros de un filtro
Kalman estándar. La red neuronal se utiliza para determinar qué modelo utilizar dependiendo
del tipo de trayectoria detectado por la misma.
El problema de estos enfoques es que, aún mejorando la precisión en las estimaciones de un
filtro Kalman, no compensan suficientemente los errores generados en las estimaciones por
este filtro cuando estos errores son grandes, generados, por ejemplo, por bruscas maniobras.
Sundareshan[Malur95] demuestra la capacidad de una solución al problema del seguimiento
centrada en una red neuronal para mejorar las propuestas anteriores bajo condiciones de
maniobra, eso si, utilizando información adicional obtenida de una red de diversos sensores.
En esta propuesta, el seguimiento es mejorado utilizando información que es posible extraer
de medidas obtenidas a partir de radar laser, infrarrojo o en el rango de frecuencias visible.
Kong, Hadzer y Mashor[Kong98] prueban si una red neuronal puede ser utilizada para reemplazar
totalmente la función de un filtro Kalman. Después de diversas modificaciones en los vectores
de entrada/salida de la red neuronal, el problema de implementar un sistema de seguimiento
radar utilizando únicamente una red neuronal es resuelto. No se utiliza ninguna información
adicional a la proporcionada por las propias medidas radar.
Por otra parte, las redes neuronales han sido utilizadas para el aprendizaje de maniobras de
combate, no con el objetivo de solucionar problemas de seguimiento sino para la mejora de
estrategias en las maniobras en combates aéreos[Teng12].
Schvaneveldt, Benson, Glodsmith y Waag estudian la aplicación de modelos de redes
neuronales en el dominio del combate aéreo, incorporando a estos modelos tanto
conocimiento sobre maniobras de combate como planificación de maniobras y
seguridad[Schvaneveldt92]. Los autores realizan una revisión de la simulación de combate aéreo,
presentando la implementación y pruebas de modelos de redes neuronales, así como una
descripción del software desarrollado.
En lo referente a la utilización de información contextual, es muy habitual su aplicación al
desarrollo de sistemas de seguimiento, pero siempre dentro del ámbito del espectro visual,
empleándose esta información contextual como entradas a redes neuronales para tratar
problemas específicos y mejorar su rendimiento[Sánchez07][Benavoli06].
La principal aportación de esta tesis es integrar en un algoritmo de seguimiento, a partir de
información radar, basado en un paradigma de redes neuronales, conocimiento disponible
sobre estrategias en maniobras de combate aéreo. De esta forma, datos obtenidos del entorno
en el que se está ejecutando este algoritmo, del propio contexto de ejecución, tomados como
información contextual, los cuales podrán ser determinantes en la decisión sobre la trayectoria a
estimar para un avión implicado en un posible combate aéreo, son fusionados en una
arquitectura de redes neuronales para obtener nuevas estimaciones de estado. Los datos
considerados son derivados, no solo de las medidas radar propias de los aviones bajo
seguimiento, sino también de la situación global en la que el combate aéreo está
desarrollándose.
4-8 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
4.2.3. Sistema neuronal de seguimiento.
Para alcanzar los objetivos planteados en este estudio, se propone la separación de la
estimación y mejora con información contextual en dos etapas distintas, usando en ambas
redes neuronales como paradigma de mapeo y fusión de información:
- Red neuronal de predicción (prediction NN). Red neuronal cuyo objetivo será
tratar de predecir a partir de las medidas proporcionadas una “posición predicha”
inicial, donde, de forma aproximada debería encontrarse el avión bajo seguimiento.
- Red neuronal de suavizamiento[Gelb79][Morrison69](smoothing NN). Red neuronal que,
a partir de la posición predicha proporcionada por la red anterior, tratará de
incorporar información contextual y conocida a priori, en referencia a una posible
modelización de la trayectoria que esté siguiendo el avión.
Considerando las restricciones como sistema de tiempo real que pudieran existir, en ambos
casos se utilizará una red Multicapa Perceptrón (figura 4.3), con únicamente tres capas (una
única capa oculta), utilizando el algoritmo Backpropagation como algoritmo de
aprendizaje[Freeman91].
Figura 4.3. Red Perceptrón Multicapa . i,j,k: capas. Wxy: pesos de cada enlace.
En nuestro caso de estudio, como una simplificación del problema, se considerará un espacio
de entrada 2D. De esta forma, las medidas radar, generalmente referenciadas a su propia
posición, contendrán la distancia y azimut al blanco detectado. Es habitual transformar estas
componentes a coordenadas cartesianas (x,y), siempre considerando como origen de
coordenadas la posición del radar. En este caso se utilizarán este tipo de coordenadas,
coordenadas cartesianas (x,y).
4-9 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
En la solución propuesta, se aplicarán dos redes neuronales. Ambas tendrán la misma
arquitectura pero distinto entrenamiento. Cada una de ellas aplicadas respectivamente a la
coordenada X e Y.
En una situación de “uso del espacio aéreo” ideal, donde no existiera ninguna condición ni
suposición previa de uso de este espacio aéreo por parte de los aviones, las redes neuronales
empleadas para las coordenadas X e Y serían similares, puesto que su comportamiento sería
completamente análogo, sin que el hecho de tratarse de la coordenada X e Y aporte ninguna
información adicional, motivo por el que no tendría sentido la utilización de dos redes
independientes, pudiéndose considerar una única red.
No obstante, en el mundo real, considerando siempre que cualquier avión tiene una trayectoria
condicionada por elementos externos, por ejemplo un punto de despegue determinado, se
puede observar que para un mejor comportamiento de las redes neuronales es recomendable
utilizar redes neuronales distintas para cada una de las componentes, puesto que su
comportamiento no será el mismo.
Si se considera la medida de posición proporcionada el radar en tiempo t como:
y(t) = x(t) + v(t)
donde y(t) es la medida compuesta por la medición óptima x(t) más una componente de ruido
v(t) (generalmente con media y varianza conocida).
Como entrada a la red neuronal de predicción se utilizan las últimas medidas proporcionadas
por el radar utilizándose coordenadas cartesianas: y(t), y(t-1), y(t-2), y(t-3),…. Donde la
componente X e Y para la medida i vendrán identificadas como [yx(i), yy(i)], utilizándose cada
componente como entrada en su respectiva red neuronal.
El problema de utilizar las componentes X,Y absolutas es que trayectorias similares,
dependiendo del lugar donde se produzcan, producirían medidas muy distintas. Esto provoca
que la red neuronal de predicción converja a resultados aceptables de forma muy lenta,
ampliándose considerablemente el posible espacio de datos de entrada.
Es por lo anterior por lo que se utilizan como entradas a la red neuronal de predicción (figura
4.4) los incrementos en las coordenadas X o Y entre cada medida radar[Kong98]: Δy(t)=y(t)-y(t-1).
La salida de la red neuronal de predicción será también el incremento predicho en la
coordenada X o Y desde la última posición estimada: Δxp(t+1). De esta forma se consigue
que el tiempo de convergencia de la red neuronal disminuya de forma muy importante,
haciendo la predicción independiente de la zona del espacio en la que se desarrolla la
maniobra.
4-10 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
yx(t) Δyxp(t)
yx(t-1) Δyxp(t-1)
yx(t-2) Δyxp(t-2) Δyxpe(t+1)
…
yx(t-m) Δyxp(t-m)
Donde:
· yx(t): medida radar en el instante t (componente x o y).
· Δyxp(i)= yx(i)- yx(i-1) : incremento en la medida desde el instante i-1 a i (componente x o y).
· Δyxpe(t+1): incremento predicho para el instante t+1.
Figure 4.4. Esquema de la red neuronal de predicción.
Los datos de entrenamiento de estas redes neuronales de predicción, utilizándose, como se
ha indicado anteriormente, las componentes X,Y en redes distintas, se pueden obtener de
medidas simuladas, donde se ha integrado el error aditivo gaussiano v(t), o a partir de medidas
reales, donde la trayectoria del avión pueda ser conocida a priori.
Un problema fundamental es definir los datos contra los que validar la convergencia de la red.
Lo ideal sería conocer la posición exacta del avión bajo seguimiento (x(t)), la cual a priori es
imposible conocer. No obstante, puesto que el entrenamiento de estas redes neuronales se
efectúa off-line se puede optar por dos soluciones:
1. Considerar datos simulados de entrada, donde se conoce la componente de ruido
incorporada (v(t)) a la medida óptima, pudiéndose determinar fácilmente (x(t)).
2. Tomar como x(t) el resultado de realizar un filtrado óptimo off-line, sin requisitos
propios de un sistema de tiempo real, de un conjunto de medidas y(t) previamente
grabadas y analizadas, de forma preferente para las trayectorias consideradas.
Este dato x(t), como es lógico, únicamente es utilizado en el proceso de entrenamiento y
validación de la red neuronal.
En este caso, por tratarse de un estudio experimental, considerando su alcance, se tomará la
opción 1.
En el caso de la red neuronal de suavizamiento, el objetivo de la misma es tratar de ajustar
la posición predicha, a partir de la red neuronal de predicción, con la información de
contexto que se pudiera extraer de la situación en la que se está produciendo el seguimiento.
Como información contextual, se considerará fundamentalmente la situación espacial relativa
de los aviones que se están considerando bajo seguimiento. Esto significa que el estado
estimado, posición y velocidad para cada avión, estará condicionado por esta información
contextual. Esta es la gran ventaja de utilizar esta red neuronal en el seguimiento en maniobras
Pre
pro
ceso
RN
Pre
dic
ció
n
4-11 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
previamente aprendidas, considerando información contextual que en otro caso (algoritmo
clásico) sería imposible, o al menos muy costoso en cuanto a su coste computacional, para ser
tenido en cuenta.
Así, tomando en consideración las curvas Pursuit, un aspecto clave para el perseguidor será el
ángulo que su trayectoria mantiene con la correspondiente al perseguido. En escenarios de
combate aéreo cercano, la utilización de determinado armamento está restringida a una cierta
distancia máxima. También, en cortas distancias, este armamento únicamente puede ser
utilizado disparando “hacia adelante”. Es por esto por lo que se utilizan habitualmente curvas
de persecución “lead pursuit”, “pure pursuit” y “lag pursuit”, diseñadas para colocar al atacante en
la posición de disparo óptima, tratando de evitar el riesgo de estar expuesto al disparo del
oponente.
Este ángulo entre la trayectoria del perseguidor y el perseguido, junto con otros datos como la
distancia entre ambos aviones, velocidad relativa, etc. pueden ser incorporados como entradas
a la red neuronal de suavizamiento, considerándose esta información como información
contextual que será utilizada en el proceso de seguimiento.
De forma análoga a lo expuesto para las entradas de la primera red, en esta red neuronal de
suavizamiento se proporcionan como entradas los últimos incrementos predichos en la etapa
anterior (Δyxpe(t) , Δyype(t)), transmitiéndose de esta forma a esta red neuronal la “forma” de
la trayectoria que se viene ejecutando.
Sobre esta “forma de trayectoria” se añade como información de contexto de entrada las
componentes X,Y (δxp(t), δyyp(t)) de la distancia desde el perseguidor (elemento bajo
seguimiento) al perseguido. Esta distancia parametriza el ángulo con el que el perseguidor
“mira” al perseguido, parámetro básico a la hora de estimar la curva pursuit que sigue el avión
perseguidor.
δxp(t) y δyp(t) se calcularán como la diferencia en la posición (componentes X e Y) en la
posición estimada para el perseguidor y el perseguido (es evidente que el algoritmo de
seguimiento no conocerá la posición real de ambos).
La posición absoluta final (componentes X e Y) se calculará sumando los sucesivos incrementos,
Δyxs(t), Δyys(t), a la posición absoluta previa del objeto bajo seguimiento, donde Δyxs(t), se
obtiene como la salida de la red neuronal de suavizamiento (figura 4.5).
Esta información contextual es de aplicación a este tipo de trayectorias, por la propia
definición de las mismas. No obstante, en otras trayectorias debe considerarse que
información contextual es conveniente considerar, considerando la parametrización de la
misma para su inclusión como entradas en esta red de suavizamiento. La gran ventaja es la
facilidad de incorporar nueva información contextual a este tipo algoritmos de seguimiento,
basado en redes neuronales.
La composición de este algoritmo de seguimiento neuronal en dos redes neuronales (figura
4.5) que se ejecutan en serie, primero la red neuronal de predicción y a continuación la red
neuronal de suavizamiento, hace que su funcionamiento sea mucho más robusto, con
menos errores, que una única red neuronal con la que se intentase hacer una estimación final a
partir de los datos de entrada iniciales.
4-12 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
yx(t) Δyxp(t)
yx(t-1) Δyxp(t-1)
yx(t-2) Δyxp(t-2) Δyxpe(t)
…
yx(t-m) Δyxp(t-m)
Δyxpe(t-1) Δyxs(t)
Δyxpe(t-2)
…
Δyxpe(t-m)
δxp(t)
δyp(t)
Figure 4.5. Arquitectura redes neuronales seguimiento neuronal (para la coordenada X). Etapa
de predicción y etapa de suavizamiento.
Hasta este punto se ha definido un algoritmo de seguimiento neuronal a partir de medidas
radar, las cuales incorporan el típico ruido gaussiano aditivo, incorporándose a este algoritmo
información contextual que resulta de utilidad en el caso de curvas de persecución pursuit.
En los resultados para las simulaciones realizadas (punto de este documento), su puede
observar que, considerando las cuatro últimas medidas recibidas de un radar, considerándose
una única capa oculta con cinco neuronas, las estimaciones obtenidas por este sistema de
seguimiento mejoran considerablemente las estimaciones obtenidas por filtros
clásicos[Farina85][Brookner98].
Puesto que la arquitectura de ambas redes neuronales queda claramente definida (párrafos
anteriores), el coste computacional para este enfoque puede ser perfectamente evaluado y
medido de acuerdo a los requerimientos típicos de un sistema de tiempo real. El tiempo de
ejecución límite para cada iteración de este proceso queda totalmente limitado, pudiendo ser
perfectamente planificado en un sistema de tiempo real, permitiendo evaluar si el tiempo de
respuesta a los datos recibidos entra dentro de los límites dictados por el sistema en el que se
aplique[Randell95]. Teniendo en cuenta que el entrenamiento se ejecuta off-line, este tiempo no
debe ser considerado bajo los requisitos de este sistema de tiempo real.
Pre
pro
ceso
RN
Pre
dic
tio
n
RN
su
aviz
amie
nto
4-13 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
4.3. Resultados de simulaciones.
Para entrenar las redes neuronales utilizadas en este estudio, se han utilizado un conjunto de
curvas de persecución (figura 4.2), todas ellas aplicadas en navegación aeronáutica, a partir de
las cuales se han generado un conjunto de medidas radar, a las que se les ha sumado un error
gaussiano aleatorio. Este conjunto incluye diferentes curvas a partir de las cuales se han
definido otras distintas cambiando sus parámetros de definición. El ruido es generado de
forma independiente para cada supuesta medida radar generada, de tal forma que, en ningún
caso, el conjunto de medidas serán iguales, aun habiendo sido generadas tomando como
referencia la misma curva.
Para la validación de las redes neuronales se han generado nuevas curvas de persecución, a
partir de curvas distintas o cambiando parámetros a las ya definidas anteriormente. Como se
ha indicado en el párrafo anterior, para cada medida se genera un nuevo valor de ruido
aleatorio, de tal forma que nunca se dará el caso de dos casos en los que se generen las mismas
medidas.
En cualquier caso, tanto para entrenar como para validar las redes neuronales se utilizará datos
con ruido aleatorio, utilizándose datos sin ruido únicamente para comparar la trayectoria
estimada con lo que se podría considerar una estimación óptima (basada en estos datos sin
ruido).
En la figura 4.6 se presentan ejemplos gráficos de los resultados obtenidos por el algoritmo de
seguimiento basado en redes neuronales propuesto en este documento. Previamente las redes
neuronales han sido entrenadas con un conjunto de curvas (figura 4.2) definidas a partir de
diferentes parámetros. En cualquier caso, las medidas radar, obtenidas a partir de las curvas
definidas y usadas para entrenamiento y validación, siempre se verán afectadas por ruido
aleatorio.
Junto con la trayectoria estimada, se presentan otras curvas de interés. El significado de cada
curva, dependiendo de su color es el explicado a continuación:
Azul. Trayectoria correspondiente al avión perseguido (pursued). En esta trayectoria no
se ha introducido ningún tipo de ruido. Esta curva se presenta como trayectoria
óptima. Estos datos no se utilizan en el proceso de seguimiento, o estimación de
trayectoria.
Negra. Trayectoria sin errores correspondiente al avión perseguidor (pursuer). Esta
trayectoria está condicionada en base a una curva pursuit sobre el avión perseguido
(trayectoria azul). Es usada como trayectoria de referencia para calcular el error en las
posiciones estimadas. No se usa en el proceso de seguimiento.
Roja. Trayectoria del avión perseguidor (pursuer) incorporando ruido blanco sobre la
trayectoria anterior. Simula lo que sería la detección real de un radar. Información
proporcionada como entrada en la red neuronal de predicción. Esta trayectoria, al
igual que la anterior, está condicionada en base a una curva Pursuit sobre el avión
perseguido. Los datos obtenidos de esta trayectoria, junto con los datos
correspondientes al avión perseguido (ya con ruido aleatorio incorporado) son
utilizados para calcular la información contextual considerada en el proceso de
seguimiento.
Magenta. Trayectoria estimada en base únicamente a los incrementos predichos por la
red neuronal de predicción.
4-14 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Verde: Trayectoria estimada por la red neuronal de suavizamiento, estimada por el
proceso de seguimiento a partir de la trayectoria roja incorporando información de
contexto considerada para la estimación. Este es el resultado o estimación final del
algoritmo de seguimiento neuronal propuesto.
Amarillo. Trayectoria estimada por el filtro α-β (filtro g-h, α=0.5)[Farina85][Brookner98] ,
filtro clásico, usado como dato comparativo.
Las simulaciones mostradas en la figura 4.6 a partir de un única instancia de red neuronal
previamente entrenada (red neuronal de predicción y red neuronal de suavizamiento para las
componentes X e Y).
En los ejes se incorpora una escala para permitir la comparación de los diferentes resultados
obtenidos en el proceso de seguimiento. La unidad de medida no es relevante, no obstante,
considerando un típico caso de combate caza contra caza, cada unidad se puede considerar
como 10 millas náuticas. No obstante, las mismas curvas, con diferente escala, y por lo tanto
distintas unidades, se podrían considerar para helicópteros de combate.
4-15 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Figura 4.6. Ejemplos de curvas estimadas con el algoritmo neuronal propuesto.
Como información adicional, trayectoria magenta, en los gráficos se puede observar la salida
de la primera etapa en la arquitectura de redes neuronales anteriormente descrita, red neuronal
de predicción, donde no se considera ninguna información contextual. Estos valores
incrementales son la entrada de la segunda etapa, red neuronal de suavizamiento, la cual
proporcionará el resultado final (trayectoria verde).
Una vez que las redes neuronales implicadas en el proceso de seguimiento, red neuronal de
predicción y red neuronal de suavizamiento, han sido entrenadas, sometiendo las mismas a un
conjunto de datos de validación se observan los resultados detallados a continuación.
4-16 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Como datos de entrenamiento para ambas redes neuronales se ha utilizado un conjunto de
medidas radar siempre afectadas por ruido aleatorio generado para cada una de ellas. Cada
trayectoria está compuesta por un conjunto de 100 datos. Se han considerado tres conjuntos
de datos distintos:
a. Un conjunto de 10 trayectorias (100 datos por trayectoria).
b. Un conjunto de 20 trayectorias.
c. Un conjunto de 50 trayectorias.
Una vez que ambas redes neuronales se consideran entrenadas (mediante a, b o c), se ha
considerado para su validación un conjunto de 20 trayectorias, de nuevo con 100 datos por
trayectoria. El resultado obtenido por el algoritmo neuronal de seguimiento propuesto se
compara con el clásico filtro α-β (filtro g-h, α=0.5) [Farina85][Brookner98].
Para comparar los resultados entre el filtro neuronal propuesto y el filtro clásico se calcularán
las siguientes métricas para cada trayectoria de seguimiento:
Error medio cuadrático (MSE) para cada componente cartesiano (X,Y), para cuantificar
los distintos valores de diferencia entre las estimaciones de un filtro (neuronal o
clásico) y los valores “reales” (estimación óptima ideal). Para cada terna [conjunto de
entrenamiento (a|b|c) – conjunto de validación (20 trayectorias) – filtro
(neuronal|clásico)] se calculará el valor mínimo, máximo y promedio.
Coeficiente de variación (CV), de nuevo para cada componente cartesiano (X,Y). Tomado
como una medida normalizada de dispersión, independientemente de la unidad
considerada en las medidas y aplicado a la diferencia en el error de estimación entre el
algoritmo neuronal y el filtro clásico (para cada componente cartesiana).
Distribuciones con CV<1 serán consideradas como de varianza baja. Para cada par
[conjunto de entrenamiento (a|b|c) – conjunto de validación (20 trayectorias)] se
calcularán los valores mínimo, máximo y promedio.
Los resultados numéricos para estas métricas se presentan en la tabla 4.1 para cada uno de los
casos de entrenamiento considerados (como conjunto de validación se utilizará siempre 20
trayectorias).
En cada tabla se calcula el MSE promedio, máximo y mínimo a partir del MSE de cada una de
las 20 curvas utilizadas en la validación, comparando cada trayectoria estimada con la solución
óptima ideal, esto es, la trayectoria “real”, sin error.
Los valores presentados en la tabla 4.2 se obtienen a partir de los resultados promedio para las
20 trayectorias de validación consideradas para cada conjunto de entrenamiento.
4-17 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
TS=50 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y
Average 0,00434596 0,011301885 0,004514052 0,01151710 0,854828377 0,83420158 Minimum 0,003265019 0,009954887 0,003731276 0,00888355 0,746030615 0,64807045 Maximum 0,005497492 0,012996760 0,005526362 0,01324728 0,998696361 1,04844810
TS=35 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y
Average 0,00489405 0,01234154 0,00475068 0,01115477 0,85303732 0,85359688 Minimum 0,00397036 0,01076685 0,00359512 0,00806498 0,75620495 0,74105283 Maximum 0,00588607 0,01424570 0,00568751 0,01382003 0,96719392 1,06696146
TS=20 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y
Average 0,00479757 0,01202544 0,004705733 0,01126898 0,87205893 0,83188561 Minimum 0,00398021 0,01077879 0,003563132 0,00927324 0,69621001 0,67934719 Maximum 0,00574476 0,01397357 0,005927035 0,01349507 1,06844267 1,00220355
TS=15 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y
Average 0,00549193 0,01214101 0,00544172 0,01199342 0,87569316 0,83879903 Minimum 0,00380993 0,01011885 0,00414970 0,00983185 0,76183417 0,68802747 Maximum 0,00683425 0,01452005 0,00631471 0,01356212 1,00188802 0,96651120
TS=10 NT MSE-X CT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-Y CV X CV Y
Average 0,00581700 0,01196749 0,005719515 0,0112769 0,89183096 0,80695220 Minimum 0,00470605 0,01021932 0,005033928 0,00887119 0,78482700 0,64173938 Maximum 0,00753874 0,01393356 0,006757601 0,01438699 1,04596164 0,95789102
Tabla 4.1. Resultados numéricos para los distintos casos de entrenamiento (considerando un
conjunto de 20 trayectorias para validación).
TS NT MSE-X NT MSE-Y CT MSE-X CT MSE-Y CV X CV Y
10 0,005817 0,005719515 0,01196749 0,0112769 0,89183096 0,8069522 15 0,00549193 0,00544172 0,01214101 0,01199342 0,87569316 0,83879903 20 0,00479757 0,004705733 0,01202544 0,01126898 0,87205893 0,83188561 35 0,00489405 0,004750675 0,01234154 0,01115477 0,85303732 0,85359688 50 0,00434596 0,004514052 0,01130189 0,0115171 0,85482838 0,83420158
Tabla 4.2. Resultados promedio para los distintos casos de entrenamiento (considerando un
conjunto de 20 trayectorias para validación).
Donde,
TS: Training Set Size (número de trayectorias consideradas para el entrenamiento).
NT MSE-X: MSE para la componente X en el seguimiento neuronal.
NT MSE-Y: MSE para la componente Y en el seguimiento neuronal.
CT MSE-X: MSE para la componente X en el seguimiento clásico.
CT MSE-Y: MSE para la componente Y en el seguimiento clásico.
CV X: CV para la componente X en el seguimiento neuronal.
CV Y: CV para la componente Y en el seguimiento neuronal.
4-18 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
En la figura 4.7 se puede observar que el MSE para el seguimiento neuronal propuesto en este
documento, disminuye lentamente conforme se incrementa el número de trayectorias en el
conjunto de entrenamiento.
Figura 4.7. MSE para seguimiento neuronal (X, Y).[Navidad13]
En los resultados mostrados en la figura 4.7 se puede observar que la trayectoria estimada por
la arquitectura de redes neuronales propuesta, donde se considera información contextual
tomada como relevante, mostrada en la figura 4.6 como trayectoria verde, mejora
notablemente el rendimiento en el seguimiento obtenido con un algoritmo clásico (α-β,
α=0,5), mostrado en la figura 4.8 y trayectoria amarilla en la figura 4.6. Esto queda claramente
reflejado en los valores MSE obtenidos.
Figura 4.8. MSE para seguimiento clásico (X, Y). [Navidad13]
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0 10 20 30 40 50 60
MSE
Número de trayectorias de entrenamiento
NT MSE-X
NT MSE-Y
0,0100
0,0105
0,0110
0,0115
0,0120
0,0125
0 10 20 30 40 50 60
MSE
Número de trayectorias de entrenamiento
CT MSE-X
CT MSE-Y
4-19 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Figura 4.9. Comparación en el error MSE en la estimación obtenido con el sistema neuronal
(NT) y el enfoque clásico (CT).
Debe aclararse que en el caso de las figuras 4.8 y 4.9, error MSE obtenido para el algoritmo
clásico, el número de trayectorias de entrenamiento (eje X) no tiene repercusión sobre este
algoritmo, puesto que este algoritmo no tiene ningún entrenamiento. Únicamente se refleja en
la figura para establecer una relación entre los datos representados en esta figura y la anterior
(figura 4.7) para las mismas trayectorias de validación. Es decir, las trayectorias consideradas en
las figuras 4.7, 4.8 y 4.9 para validación de los algoritmos son las mismas en ambos casos.
En la figura 4.9 se puede observar la mejoría alcanzada en el error obtenido por el sistema
neuronal, en torno a 0,005, frente al algoritmo clásico, en torno al 0,011.
Considerando el CV para el seguimiento neuronal (figura 4.10), se puede decir que el algoritmo
neuronal propuesto proporciona información que se puede calificar como de baja varianza
(CV<1) en ambas componentes X e Y, o lo que es lo mismo, el error proporcionado en la
estimación se puede considerar estable. Este dato se puede comprobar chequeando los valores
MSE máximo y mínimo mostrados en la tabla 4.1, y comparando estos valores con los obtenidos
para el algoritmo clásico. Por lo tanto, la dispersión para este algoritmo neuronal mejora
claramente la obtenida para el algoritmo de seguimiento clásico.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0 10 20 30 40 50 60
MSE
Número de trayectorias de entrenamiento
NT MSE-X
NT MSE-Y
CT MSE-X
CT MSE-Y
4-20 CAPÍTULO 4. Algoritmo de seguimiento neuronal en tiempo real basado en información contextual.
Figura 4.10. CV para el algoritmo de seguimiento neuronal (X, Y). [Navidad13]
En la figura 4.10, se puede observar que conforme se incrementa el tamaño del conjunto de
entrenamiento el CV, para ambas componentes, disminuye la diferencia en la varianza entre
los valores estimados para cada componente.
La trayectoria estimada se ajusta con bastante precisión a la trayectoria inicial libre de errores
(trayectoria negra en la figura 4.6) eliminando gran parte del ruido que pudieran contener las
medidas proporcionadas como entrada (trayectoria roja en la figura 4.6).
Los resultados aquí expuestos deben ser tomados como resultados puramente experimentales
que permitan estudiar la viabilidad de la propuesta aquí planteada, considerándose el caso
concreto expuesto. Para cada caso a considerar se debe platear un esquema de verificación y
validación de la red neuronal planteada[Pullum07].
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0 10 20 30 40 50 60
CV
Número de trayectorias de entrenamiento
CV X
CV Y
Capítulo 5
Optimización del Sistema
"Tal a Ulises le ladró el corazón indignado de tales vilezas,
pero él le increpó golpeándose el pecho y le dijo: "Calla ya,
corazón, que otras cosas más duras sufriste..."
Homero, La Odisea.
RESUMEN: Una vez presentada en el Capítulo 4 la arquitectura y viabilidad del
sistema neuronal a implementar como solución como sistema de seguimiento radar se
somete esta solución a un estudio de optimización de los parámetros propios de las
redes neuronales implementadas para alcanzar un comportamiento óptimo en la
estimación obtenida.
5.1 Elección de plataforma.
5.2 Introducción a la implementación del sistema.
5.3 Determinación de parámetros en la red neuronal.
5.4 Determinaciones de repeticiones Epochs.
5.5 Determinación del número de neuronas en la capa oculta.
5.6 Determinación de funciones de transferencia.
5.1. Elección de plataforma.
Para la implementación del algoritmo se ha considerado su desarrollo software en una
plataforma flexible y con garantías, la cual proporcione capacidad para modelar Redes
Neuronales de forma rápida y dinámica. Se ha escogido MATLAB (abreviatura de MATrix
LABoratory, "laboratorio de matrices") herramienta software para cálculo matemático que
ofrece un lenguaje de alto nivel (lenguaje M) con un entorno de desarrollo integrado (IDE).
Está disponible para las plataformas Unix, Windows, Mac OS X y GNU/Linux .
Entre las ventajas consideradas para la elección de MATLAT frente a otros paquetes software
se pueden destacar:
Amplio soporte matemático.
Alta precisión.
5-2 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Amplio soporte de funciones ya desarrolladas en cálculo numérico y matricial.
Rápido prototipado.
Comunidad de uso muy extendida. Se ha convertido en un estándar por su uso en
prácticamente la totalidad de universidades del mundo.
Magnífica ayuda.
En esta herramienta se implementa una librería dedicada exclusivamente a Redes Neuronales.
Esta librería denominada Neural Network Toolbox™ facilitará la implementación y posterior
estudio del problema tratado en este trabajo. Al igual que en otras plataformas, está en
constante evolución y mejora, por lo cual hay que considerar los posibles cambios en la librería
y sobre todo sus posibles mejoras.
Una visión general sobre las librerías de MATLAB y sus posibilidades:
Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de
datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI)
y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El
paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a
saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de
usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de
herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets).
Es un software muy usado en universidades, centros de investigación y desarrollo. En los
últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente
procesadores digitales de señal o crear código VHDL.
La librería Neural Network Toolbox™ (“Caja de herramientas de Redes Neuronales)
proporciona instrumentos para el diseño, la realización, la visualización y simulación de redes
neuronales. Las redes neuronales son usadas para usos donde el análisis formal es difícil o
imposible, como el reconocimiento de modelo, la identificación de sistema no lineal y el
control. Esta caja de herramientas apoya redes anticipativas, redes de base radiales, redes
dinámicas, auto-organización de mapas, y otros paradigmas de red probados.
En concreto, las redes neuronales están compuestas de elementos simples que funcionan en
paralelo. Estos elementos están inspirados en sistemas biológicos nerviosos. Como en la
naturaleza, las conexiones entre estos elementos determinan la función de red. Se puede
entrenar una red neuronal para realizar una función particular ajustando los valores de las
conexiones (pesos) entre elementos. Típicamente las redes neuronales son ajustadas, o
entrenadas, de modo que una entrada particular conduzca a una salida específica objetivo.
La siguiente figura 5.1 ilustra tal situación. Aquí, la red es ajustada, basada en una comparación
de la salida con el objetivo, hasta que la salida de la red iguale al objetivo. En el caso tratado en
este documento serán necesarios una gran cantidad de pares de entrada/objetivo para entrenar
una red[Beale11].
5-3 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.1 Representación general de una Red Neuronal en MATLAB[Beale11].
Las redes neuronales han sido entrenadas para realizar funciones complejas en varios
campos[Usero10], incluyendo el reconocimiento de modelo, la identificación, la clasificación, el
discurso, la visión, sistemas de control y, en el caso tratado en este trabajo, seguimiento o
“Tracking”. Igualmente, también pueden ser entrenadas para solucionar los problemas difíciles
de resolver con algoritmos y ordenadores convencionales.
En general, es de destacar su aplicación en lo relativo a:
Clasificación de patrones.
Identificación de características.
Reconocimiento de patrones.
Aproximación de funciones.
En sistemas que contengan información imprecisa.
La librería incorporada en MATLAB acentúa el empleo de los paradigmas de la Red Neuronal
que son usados en para la ingeniería, financiera, y otros usos prácticos [Beale11].
5.2. Introducción a la implementación del sistema.
Se implementa en esta herramienta la solución propuesta en el Capítulo 4 de este documento.
Cuando se construye una red de tipo backpropagation se deben tener en cuenta los siguientes
elementos:
El formato de los datos de entrada de la red, de forma que la red puede ajustarse a los
posibles parámetros de entrada.
El número de neuronas y capas que se desea implementar en dicha red. Es habitual
utilizar tres capas (capa de entrada/capa oculta/capa de salida). Normalmente un
número mayor de capas introduce una mayor dificultad en alcanzar la convergencia
de la red en el entrenamiento. Esta capa de entrada tendrá tantas neuronas como
parámetros de entrada tenga nuestra red. La capa de salida que debe de tener tantas
neuronas como parámetros de salida tenga nuestra red. Por último las capas ocultas
dependen de la estructura del problema que se desea estimar o resolver.
Las funciones de activación a implementar en cada capa. Estas funciones
determinarán el entrenamiento y funcionamiento de la red implementada.
5-4 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
La función de entrenamiento, con la que se debe ser especialmente cuidadoso, ya que
algunas pueden tardar mucho tiempo en alcanzar un entrenamiento adecuado,
teniendo facilidad para caer en mínimos locales.
La función de aprendizaje.
La función de cálculo del error.
Como ejemplo, para implementar una red neuronal con tres capas y las tres con funciones de
activación lineales, se utilizaría el siguiente comando:
Net = newff (I,[10,10,2],{'purelin','purelin','purelin'},'trainbr','learngd', 'mse')
10 neuronas de entrada en la capa de entrada.
10 neuronas en la capa oculta.
2 neuronas de salida en la capa de salida.
purelin como función de activación a utilizar en las tres capas.
trainbr como algoritmo de entrenamiento.
learngd como función de apredizaje.
mse como función de cálculo de error.
Se deben determinar los siguientes parámetros[Beale11]:
Formato de datos de Entrada
Numero de Capas ocultas.
Número de neuronas por Capa oculta.
Funciones de activación.
Función de Entrenamiento
Función de Aprendizaje
Función del cálculo de Error
Una vez definida la red neuronal a utilizar, es necesario entrenar esta red. Para ello se utilizarán
funciones de entrenamiento estándar, ya proporcionadas por la propia herramienta de
implementación, que nos permiten entrenar, dados unos datos de entrada y sus salidas
asociadas, la red implementada. Un ejemplo podría ser el siguiente:
Net = train(net,x,z)
net: red a entrenar.
x: datos de entrada.
z: salida esperada para los datos de entrada anteriores.
Resaltar que el entrenamiento, como se puede observar, es dirigido.
Vistas las posibles parametrizaciones que existen para una red neuronal de tipo Feedforward-
Backpropagation. Es necesario, determinar que valores para los parámetros anteriores permiten
obtener un mejor comportamiento de la red implementada, en este caso para el desarrollo de
un sistema neuronal[Navidad13] para el seguimiento de trayectorias[Brookner98] o “Tracking”.
Las pruebas detalladas a continuación se realizan sobre un ordenador con las siguientes
características:
Modelo HP ProBook 4520s
Procesador Intel® CoreTM i3 CPU M380 @ 2.53GHz.
Memoria 2GB
Sistema Operativo Windows7 64bits.
5-5 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
5.3. Determinación de parámetros en la red neuronal.
Una vez determinada la conveniencia de utilizar el desarrollo de una red neuronal Feedforward-
Backpropagation, se debe tener en cuenta varios parámetros configurables para que la solución
sea lo más precisa posible en la estimación realizada. Esto supone la realización y estudio de
diversas pruebas con variación y evaluación de uno o varios de los parámetros que definen red
neuronal, para obtener el mejor resultado. Este proceso llevará una cantidad de tiempo
importante a la hora de evaluar la solución implementada en cada momento.
Para resolver este problema de la implementación y alcanzar la mejor solución posible, se
decide realizar dentro del desarrollo software inicial una implementación complementaria que
permita la variación y evaluación de cada variable en unos rangos determinados, para, de esta
forma, poder evaluar la configuración más precisa en la estimación. Esta evaluación se realiza
en base los resultados obtenidos para un conjunto de funciones previamente especificadas con
cada uno de los valores/parámetros a considerar. Todo lo anteriormente expuesto, debe ser
tomado en consideración dentro de un rango de valores considerados para el parámetro de la
red neuronal bajo evaluación, el cual puede ser un rango numérico o simplemente una elección
dentro de una enumeración de posibles valores.
Las pruebas a realizar se realizarán sobre las siguientes trayectorias preestablecidas (figura 4.2):
Line
Astroid
Freeth
Hypocycloid
Nephroid
Se muestra a continuación las curvas, correspondientes al objetivo (perseguido), y trayectorias
definidas por el perseguidor (en azul el perseguido y en rojo el perseguidor).
5-6 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.2 Curva Line. (x=5). Figura 5.3 Curva Astroid.
Figura 5.4 Curva Freeth. Figura 5.5 Curva Hypocycloid
.
Figura 5.6 Curva Nephroid.
5-7 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Como consideraciones previas para cada una de las pruebas se tienen:
a. La red neuronal a probar se entrenará con un conjunto de datos de entrenamiento
previo conformado por 10 trayectorias de 100 datos simulados en cada una de ellas
sobre los cuales se ha introducido un error gaussiano (figura 5.7). Este error se
introduce con el objetivo de adecuar los datos simulados a lo que serían datos reales.
b. Como función target a alcanzar en el entrenamiento de la red neuronal se utilizará la
trayectoria simulada sin error (trayectoria real simulada para el avión perseguidor, en
rojo en la figura 5.7).
c. Una vez entrenada, como trayectorias de validación para la red neuronal ya entrenada,
se utilizarán 20 trayectorias también con 100 datos simulados para cada una de ellas,
distintas de las utilizadas como conjunto de entrenamiento. Sobre cada dato de estas
trayectorias se introducirá un error gaussiano (figura 5.7), independiente del utilizado
para el entrenamiento. De nuevo, este error se introduce con el objetivo de adecuar
los datos simulados a lo que serían datos reales.
d. Dada la dependencia en los resultados obtenidos de los errores aleatorios introducidos
y de la posibilidad de que la red neuronal caiga en su entrenamiento mínimos locales,
que pudieran distorsionar los resultados obtenidos, las pruebas anteriores se repetirán
tres veces, reentrenado la red en cada una de estas iteraciones.
e. Considerando lo expuesto en los puntos anteriores se puede resumir que para cada
configuración se repetirá tres veces la siguiente secuencia:
i. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento con error aleatorio.
Función target a considerar en el entrenamiento sin error aleatorio.
ii. Entrenamiento de la red neuronal.
iii. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal con error
aleatorio.
iv. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar.
v. Valoración de resultados obtenidos.
Figura 5.7. Ejemplo de “Entrada X” y “Entrada X con ERROR” (gaussiano aleatorio en el
Tiempo).
5-8 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Para punto v. anterior, valoración de resultados obtenidos, se utilizan las siguientes funciones
[Norvig95] como elementos a valorar:
MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X
y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las
veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.
MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.
MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y
la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las
veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X
y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una
de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada
X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de
las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
MSET: Error medio en la estimación calculado como la media de la distancia euclídea
entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por
trayectoria) de la validación.
Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de
computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada
caso de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido
en cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo
de cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.
Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de
computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como
sistema de tiempo real.
La representación algorítmica o planteamiento genérico a nivel software para la recopilación de
valores en las funciones a evaluar sería la siguiente para cada parámetro en la red neuronal (i) a
determinar:
Rango de la variable = Rango
Margen inferior del rango = Marg_inf
Margen superior del rango = Marg_sup
Error Optimo = Maximo
Bucle(net)
{
For i=Marg_inf to Marg_sup
{
Error = Calculo_Error(net(x))
If Error < Error_optimo
{
Error_optimo = Error
}
}
}
Algoritmo general para evaluación de parámetros.
5-9 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Como algoritmo de entrenamiento su utilizará Levenberg-Marquardt backpropagation para todas las
pruebas que se van a realizar. La función correspondiente que lo implementa en MATLAB es
“trainlm”.
El entrenamiento “trainlm” se aplica en una red que entrena la función que actualiza el peso
y valores de tendencia según la optimización Levenberg-Marquardt. El “trainlm” es a menudo
el algoritmo más rápido en backpropagation, recomendándose como una primera opción para
un algoritmo supervisado, aunque este algoritmo requiera más memoria que otros[MathWorks14].
El estudio se centrará en redes neuronales con una única capa oculta, las cuales en teoría, y de
acuerdo a los resultados iniciales mostrados en el capítulo 4, resuelven el problema planteado
en este estudio.
Las pruebas descritas se centrarán en determinar:
i. Número de epochs (repeticiones en el entrenamiento) suficientes para alcanzar un
entrenamiento correcto (con la posibilidad, siempre existente, de caer en un mínimo
local). Se detalla en apartado 5.4 de este capítulo.
ii. Determinación del número de neuronas en la capa oculta que permita estimar con
mayor precisión las trayectorias a determinar. Se detalla en apartado 5.5 de este
capítulo.
iii. Determinación de las funciones de activación a utilizar entre capa de entrada-capa
oculta y capa oculta-capa de salida. Estas funciones de activación determinarán en
gran medida los resultados obtenidos. Se detalla en apartado 5.6 de este capítulo.
5.4. Determinación de repeticiones Epochs.
El propósito del entrenamiento en una red neuronal es ajustar los pesos de la misma para, a partir de las entradas proporcionadas a la red, tratar de minimizar el error medio cuadrático entre los valores obtenidos por la red neuronal y la función que se define como objetivo.
Para esto se debe disponer de un conjunto de entrenamiento suficientemente grande, el cual será probado de forma reiterada con la red neuronal. Si este entrenamiento es suficientemente largo, el error deberá decrecer de forma asintótica a la línea horizontal y=0.
En este caso, como se indicó en puntos anteriores, se definen los siguientes parámetros:
Función target: trayectoria del avión perseguidor sin error. Este sería el valor estimado considerado como óptimo para cada entrada en la ejecución de la red neuronal. Esta trayectoria sin error se utiliza única y exclusivamente para este entrenamiento.
Conjunto de entradas para el entrenamiento: datos simulados generados para la trayectoria que se quiere entrenar.
Epochs: número de veces que como máximo se presentarán las entradas anteriores a la red neuronal para tratar de ajustar sus pesos de cara a alcanzar la función target.
Debe tenerse en cuenta que, en la solución propuesta en este documento, el entrenamiento de la red se plantea como un trabajo a realizar off-line, con lo cual, no afectará a la estimación en tiempo real de la solución propuesta. Eso si, para un buen comportamiento del sistema será crucial que este entrenamiento sea correcto.
Así mismo, es importante dejar claro en todo momento, que, como debe hacerse, los datos para validación y prueba de la red ya entrenada.
5-10 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
El número de repeticiones en el entrenamiento, epochs, deberá ser suficientemente grande para alcanzar un mínimo en el error en la estimación.
Para evitar un sobreentrenamiento, la propia función implementada por MATLAB detiene el entrenamiento cuando detecta que el error no decrece. Siempre existirá la posibilidad de haber caído en un mínimo local, lo cual sería detectado en la fase posterior de validación.
En este punto se estudiarán el número de epochs máximo para conseguir un correcto entrenamiento de la red neuronal, considerándose diferentes curvas.
Se toma como modelo la configuración de red con la arquitectura (número de capas ocultas, número de neuronas en las capas ocultas y funciones de transferencia) expuesta en la figura 5.8.
Figura 5.8. Red Neuronal Implementada para definición de epochs.
En las figuras siguientes, se muestran diferentes ejemplos de cómo el error medio cuadrático disminuye de forma asintótica cuanto mayor sea el número de epochs.
El objetivo es estimar un número máximo de iteraciones a ejecutar para conseguir un entrenamiento adecuado de la red neuronal, es decir, donde se rebaje el error máximo admitido.
Para ello se analizarán y mostrarán diversos ejemplos representativos del entrenamiento realizado con las curvas tratadas.
Como se puede comprobar en la figura 5.9 el error cuadrático disminuye asintóticamente con el número de epochs. Se establece el requisito de establecer el número de epochs aproximado para permitir alcanzar un error cuadrático por debajo de cierto umbral. Una vez alcanzado este número de epochs la mejora en el error no será significativa, quedando el mismo estabilizado sin que más iteraciones en el entrenamiento mejoren de forma significativa el comportamiento de la red.
Debido a que la red neuronal se inicializa con pesos aleatorios, y las trayectorias de entrenamiento se generan también con errores aleatorios, el número de iteraciones necesarias para alcanzar la estabilización del error medio cuadrático puede variar de forma significativa de un caso de entrenamiento a otro.
Lo anteriormente expuesto se puede observar en las figuras 5.9 a 5.19, expuestas a modo de ejemplo de las diferentes simulaciones realizadas. El error en la estimación de la red neuronal
5-11 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
respecto a la función objetivo se estabiliza en el peor de los casos en torno a 5·10-3, siendo muy frecuente alcanzar esta estabilización en un error en torno a 2·10-2.
Figura 5.9 Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 1831
Figura 5.10 Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 2000
5-12 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.11 Trayectoria Line. Error medio cuadrático en la Epoch 164
Figura 5.12 Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 400.
Figura 5.13 Trayectoria Astroid. Error medio cuadrático en la Epoch 34
5-13 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.14 Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 205
Figura 5.15 Trayectoria Freeth. Error medio cuadrático en la Epoch 1831
Figura 5.16 Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 310
5-14 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.17 Trayectoria Hypocycloid. Error medio cuadrático en la Epoch 126
Figura 5.18 Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 1141
Figura 5.19 Trayectoria Nephroid. Error medio cuadrático en la Epoch 290
5-15 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Como límite superior en los casos de entrenamiento realizados, de forma empírica, se estable un umbral de 2000 en el número de iteraciones máximo a ejecutar en el entrenamiento. Es importante destacar que, una vez alcanzada esta estabilización en el error, el propio MATLAB para el entrenamiento de la red neuronal, dándolo por bueno para la posterior validación.
En la gran cantidad de entrenamientos y validaciones realizadas en puntos posteriores (más de 1000 entrenamientos, con sus correspondientes validaciones), en prácticamente el 100% de los casos se ha alcanzado un mínimo en el error de la estimación de la red neuronal frente a los valores considerados en la función objetivo. De esta forma se puede considerar que este número máximo de iteraciones, epochs, es apropiado.
No se considera conveniente disminuir el mismo, puesto que se podría dar el caso de detener el entrenamiento antes de haber alcanzado la estabilización requerida en el error.
Tal y como se expuso al principio de este punto, es necesario dejar claro que en el sistema de seguimiento propuesto en este documento, este entrenamiento siempre se ejecutaría de forma off-line para las trayectorias consideradas, sin que afectase en ningún momento a los requisitos temporales que, como sistema de tiempo real, este sistema pudiera tener.
Este es el motivo de que se adopte una postura conservadora, no siendo necesario ajustar en exceso este número de epochs, a un límite insuficiente, demasiado bajo como para que pudiera provocar no alcanzar el umbral error que la propia red neuronal pudiera conseguir.
Todas las pruebas realizadas a continuación se realizan con una configuración de número de epochs igual a 2000.
5.5. Determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Lamentablemente, no existe una regla para determinar el número de neuronas en las capas internas de una red neuronal[Usero10].
En este punto se plantea como objetivo determinar la mejor elección en cuanto al número de neuronas en la capa oculta en la red neuronal. Para ello se delimita para esta prueba una serie de variables para el programa.
Se designa el número de Neuronas en la Capa Oculta como una variable que determinará la capacidad de adaptación de la red neuronal ante el problema a resolver.
En este caso concreto, este número de neuronas a considerar en la capa oculta de las redes utilizadas determinará en gran medida la capacidad de adaptación y aprendizaje de la solución propuesta, determinando por consiguiente el comportamiento y exactitud en la estimación realizada para el problema tratado.
El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de red neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.
Las pruebas se ejecutan para un intervalo predeterminado de valores posibles en la variable considerada, en este caso el número de neuronas de la capa oculta.
Este intervalo de valores se define como [1-30]. Un número de neuronas superior a 30 no aporta ningún beneficio al considerar la complejidad computacional y coste de tiempo de ejecución, inasumible en un algoritmo de seguimiento con las restricciones temporales
5-16 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
predefinidas para el problema aquí tratado. Es más, se comprueba que un número superior de neuronas no introduce un error significativamente menor.
Con el objetivo para conseguir la máxima exactitud en la estimación obtenida de la solución
propuesta, se trata de escoger un límite superior al intervalo con el mínimo valor posible;
cuantas menos neuronas se utilicen, el cálculo será más rápido y eficiente, factor determinante
en sistemas con requerimientos de tiempo real. Se define el margen entre 0 y 30 como margen
de variable introducida en el programa.
Se realizan las pruebas detalladas a continuación:
i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line,
astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figuras 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 y 5.6).
ii. Para cada prueba se variará el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo
[1.30].
iii. Cada prueba, para un tipo de trayectoria previamente definido (i.), constará de tres
casos de prueba definidos cada uno de ellos por:
a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los
datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el
entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).
b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores.
c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,
incorporando error aleatorio en todos sus datos.
d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como
datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior.
e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones
obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba, variando
el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30].
iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X
como la Y.
Como criterios estadísticos a considerar en la valoración, tal y como se describe en el punto
5.1 de este capítulo se consideran las siguientes funciones:
MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X
y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las
veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.
MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación.
MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y
la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las
veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X
y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una
de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada
X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de
las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
MSET: Error medio en la estimación calculado como la distancia euclídea obtenida con
el MSE anteriormente calculado para la componente X y la componente Y para
5-17 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) de la validación. Es una
medida del error final obtenido en la estimación, como la diferencia entre la posición
real y la estimada.
Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de
computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada caso
de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido en
cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo de
cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.
Como resultado de todo lo anterior, las conclusiones finales se derivarán de las estimaciones
obtenidas en tres casos de prueba, a ejecutar sobre cinco trayectorias distintas, variando en
número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30], con veinte trayectorias para cada
número de neuronas considerado, con 100 datos por trayectoria. Esto quiere decir que,
después de estas pruebas se habrán realizado un total de 900.000 estimaciones, valor más que
suficiente para enjuiciar el comportamiento global del sistema propuesto.
Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de
computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como
sistema de tiempo real.
5.5.1 Pruebas trayectoria Line.
En el Anexo A Apéndice 1 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba
anteriormente detallados y descritos aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una
trayectoria de persecución Line.
La curva se define como:
x = '5'; y = 't';
Se exponen en este Anexo A Apéndice 1 para esta trayectoria las siguientes figuras y tablas:
i. Figura AP1.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Line.
ii. Tablas AP1.1, AP1.4 y AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– para los
tres casos de prueba. Se presentan datos relativos a MSE, MIN, MAX, MAE,
DESVTIP, CV y TCOMP.
iii. Tablas AP1.2, AP1.5 y AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y– para los
tres casos de prueba. Se presentan datos relativos a MSE, MIN, MAX, MAE,
DESVTIP, CV y TCOMP.
iv. Tabla AP1.3, AP1.6 y AP1.9. Resultados relativos al Error medio (MSET) en
estimación Trayectoria Line para los tres casos de pruebas.
v. Figuras AP1.2, AP1.6 y AP1.10. Figuras relativas a las tablas MSET del punto iv.
anterior.
vi. Figuras AP1.3, AP1.7 y AP1.11. Figuras relativas al tiempo de computación (TCOMP)
detallado en las tablas del punto i. y ii. anteriores.
vii. Figuras AP1.4, AP1.8 y AP1.12. Figuras relativas a la desviación típica (DESVTIP)
detallada en las tablas del punto i. y ii. anteriores.
5-18 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
viii. Figuras AP1.5, AP1.9 y AP1.13. Figuras relativas a los errores medio máximo (MAX)
y mínimo (MIN) para la componente X detallados en la tabla del punto i. anterior.
ix. Figura AP1.14. Figura relativa al error medio (MSET) obtenido en todos los casos de
prueba detallados en las tablas del punto iv. anterior.
x. Figura AP1.15. Figura relativa al error medio mínimo (MSETMIN) considerado como
el resultado final obtenido para un entrenamiento correcto.
xi. Tabla AP1.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en los tres casos de
prueba (tablas relacionadas en punto vi. anterior).
xii. Figura AP1.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres
simulaciones (datos tabla AP1.10, punto xi. anterior).
En los resultados anteriores se puede observar que el error obtenido para las estimaciones
realizadas para la componente X (ver tablas reseñadas en el punto ii anterior) y componente Y
(ver tablas reseñadas en el punto iii anterior), considerando los tres casos de pruebas y sesenta
trayectorias estimadas (con 100 datos por trayectoria), 20 trayectorias en cada caso de prueba,
se mueven en un rango de valores similar, resultado esperado considerando que no existe
correlación entre ambas componentes y, como se detalló en el Capítulo 4, se utiliza un sistema
neuronal independiente para cada componente, teniendo ambos sistemas la misma
arquitectura y un entrenamiento independiente.
Este comportamiento es común a todas las funciones de evaluación consideradas, sin que sea
necesario diferenciar un comportamiento distinto en ningún momento entre una componente
u otra.
Considerando como parámetro fundamental a optimizar el error medio (distancia euclídea
entre la estimación y la función objetivo) (ver figuras reseñadas en los puntos v., ix., y x
anteriores) en la estimación final se puede observar que conforme se aumenta el número de
neuronas en la capa intermedia, inicialmente se produce un decremento rápido en este error,
alcanzando rápidamente el mínimo. En este caso los resultados óptimos (MSET en el rango
[0.0071, 0.0079]) se obtienen para un número de neuronas en la capa oculta en el rango [5-8],
obteniéndose el valor óptimo (0,00714782) en este caso para cinco neuronas en la capa
intermedia.
Este bajo número de neuronas es fácilmente explicable considerando la mejora en
adaptabilidad a la solución buscada que va adquiriendo el sistema conforme se aumentan las
neuronas en la capa oculta.
No obstante, teóricamente se llega a un punto en el que aumentar el número de neuronas en
esta capa oculta no provoca ninguna ganancia sobre la estimación final obtenida. Esto ocurre
en este caso de prueba a partir de la sexta neurona, donde no existe mejora en la estimación.
Es más, en las figuras AP1.2, AP1.6 y AP1.10 (error MSET en cada caso de prueba),
resumidas en la figura AP1.14 (ver figura 5.20 presentada a continuación), se puede observar
que un aumento en el número de neuronas implica un lento pero paulatino incremento en el
error en la estimación. Este comportamiento es una constante en las tres simulaciones.
Esto es debido a que con este aumento de neuronas en la capa oculta se incrementa también el
número de pesos a ajustar en el entrenamiento previo, lo cual provoca que este sea más
costoso desde el punto de vista del esfuerzo en cuanto a número de muestras a presentar. A
igualdad de muestras presentadas, como se da en este caso, lo normal es que con un número
de neuronas excesivamente alto no se consiga un entrenamiento óptimo.
5-19 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.20. Line. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9).
Considerándose que siempre existe cierta incertidumbre y aleatoriedad en el entrenamiento de
un sistema neuronal, provocado por la propia definición del propio entrenamiento (valga la
redundancia), debe tomarse como forma habitual de trabajar el someter al sistema a diferentes
entrenamientos, como se ha realizado en los tres casos de prueba para este punto
considerados, sometiendo los sistemas ya entrenados a unos casos de validación, quedando
como resultado final aquel sistema que proporcione mejores resultados, o estimaciones en
nuestro caso.
Expuesto lo anterior, en este caso de estudio se consideraría siempre aquel sistema cuyas redes
proporcionasen el mínimo error medio (MSET) ante las estimaciones en los casos de
validación.
En la figura 5.21 (detallada en figura AP1.14 del Anexo A Apéndice 1) se presenta el error
medio mínimo (MSETMIN) para los casos de prueba anteriormente expuestos, pudiéndose
comprobar todas las aseveraciones anteriormente expuestas.
Figura 5.21. Line. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-20 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Con el mismo razonamiento anteriormente expuesto puede aplicarse a la desviación típica
mostrada en los resultados obtenidos (ver figuras detalladas en el punto vii. anterior, figuras
AP1.4, AP1.8 y AP1.12). Conforme se produce un incremento en el error en la estimación, la
dispersión de las estimaciones aumenta, incrementándose de forma paulatina la dispersión
típica en las estimaciones realizadas.
Los valores máximo (MAX) y mínimo (MIN) obtenidos en los errores en las estimaciones no
hacen más que refrendar lo anteriormente expuesto, aumentando su separación conforme
aumenta el error en la estimación y la desviación típica (ver figuras detalladas en el punto viii.
anterior, figuras AP1.5, AP1.9 y AP1.13).
Un factor fundamental a evaluar, tratándose de un sistema en el que requerimientos de tiempo
real deben ser satisfechos, es la limitación en el tiempo de cálculo. Un aspecto determinante en
relación a esto es tratar de limitar el tiempo necesario por el sistema en realizar las
estimaciones requeridas.
Debido al modus operandi de las redes neuronales, donde a partir de unos datos de entrada se
obtienen los correspondientes de salida en base a un conjunto constante de multiplicaciones,
sumas y funciones de activación a evaluar, se puede observar como este sistema se adapta
perfectamente a este tipo de requisitos, presentando un tiempo de cómputo prácticamente
constante (véase figuras detalladas en el punto vi., figuras AP1.3, AP1.7 y AP1.11, y punto xi.,
figura AP1.16).
En las diversas pruebas realizadas, el tiempo de computación propio de este software se
considera muy estable (ver figura 5.22) y constante. Las variaciones que se puedan presentar
son debidas a alteraciones en el ordenador (cambio de condiciones por presencia de otros
paquetes software instalados o comportamiento del propio sistema operativo) donde se
ejecutan las pruebas.
En la figura 5.22 se puede observar el tiempo de computación medido para un caso de prueba
completo (estimación de 20 trayectorias, con 100 datos/trayectoria, con el número de
neuronas en la capa oculta considerado).
Figura 5.22. Line. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos
tabla AP1.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas de la
capa intermedia.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-21 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Se puede comprobar la existencia de una tendencia ligeramente creciente en el tiempo de
computación requerido conforme se aumentan el número de neuronas manteniéndose los
valores en el intervalo [0.48, 0.55], perfectamente limitado y acotado.
5.5.2 Pruebas trayectoria Astroid.
En el Anexo A Apéndice 2 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba ya
detallados y descritos, aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una trayectoria de
persecución Astroid.
La curva se define como:
x = 'cos(t).^3'; y = 'sin(t).^3';
Se exponen en este Anexo A Apéndice 2 para esta trayectoria las mismas figuras y tablas
expuestas para la trayectoria anterior, referenciadas al Apéndice 2 (AP2.X).
En este caso, como en ejemplos sucesivos, se refrenda el comportamiento independiente en la
estimación de la coordenada X y la coordenada Y. Esto será de aplicación a todos los casos
presentados.
En la figura 5.23 se presentan los errores (MSET) obtenidos para cada uno de los tres casos de
prueba (figuras AP2.2, AP2.6 y AP2.10).
Figura 5.23. Astroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9).
De nuevo se observa un comportamiento similar al descrito en el punto anterior. Inicialmente,
conforme se aumenta el número de neuronas, se produce un descenso en el error (MSET)
obtenido en la estimación hasta alcanzar unos valores mínimos, a partir de los cuales el
incremento en el número de neuronas implica que el entrenamiento a realizar suponga un
mayor esfuerzo y por lo tanto hace más difícil alcanzar valores mínimos.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
5-22 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Lo anterior queda claramente refrendado observando en la figura 5.24 el error mínimo
(MSETMIN) obtenido en los tres casos de pruebas, donde claramente se observa un margen
óptimo en el número de neuronas de [8, 12] neuronas.
Figura 5.24. Astroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
El incremento en el número de neuronas necesarias para alcanzar una estimación óptima viene
motivado por la mayor complejidad de la curva a estimar, lo cual hace necesario un mayor
número de neuronas para, de esta forma poder ajustar la estimación.
El valor óptimo de error en la estimación se obtiene para 12 neuronas (0,00628184),
ligeramente mejor al obtenido en el caso anterior.
El margen de error para el intervalo óptimo de neuronas viene delimitado por [0.0062, 0.0069]
(para el intervalo de [8, 12] neuronas.
Al igual que en caso anterior, se puede comprobar con los datos proporcionados en el
Apéndice 2 que los datos correspondientes a desviación típica y valores máximo/mínimo en
los errores y desviaciones típicas en ambas componentes X/Y se corresponden con los valores
esperados de acuerdo a los errores MSET anteriormente expuestos.
Por último es importante destacar que el tiempo de computación (TCOMP) se mueve en
valores muy similares a los presentados en el caso anterior (véase figura 5.25).
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-23 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.25. Astroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos
tabla AP2.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas de la
capa intermedia.
De nuevo, se puede comprobar la existencia de una tendencia ligeramente creciente en el
tiempo de computación requerido conforme se aumentan el número de neuronas
manteniéndose los valores en el intervalo [0.48, 0.57], muy similares a los obtenidos para el
caso anterior.
5.5.3 Pruebas trayectoria Freeth.
En el Anexo A Apéndice 3 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba ya
detallados y descritos, aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una trayectoria de
persecución Freeth.
Esta curva se define como:
x = 'cos(t)+cos(2*t)+cos(3*t)'; y = 'sin(t)+sin(2*t)+sin(3*t)';
Se exponen en este Anexo A Apéndice 3 para esta trayectoria las mismas figuras y tablas
expuestas para las trayectorias anteriores, referenciadas al Apéndice 3 (AP3.X).
Observándose un comportamiento análogo a los casos de pruebas para las anteriores
trayectorias, como aspectos a resaltar se puede detallar lo expuesto a continuación.
En la figura 5.27 se puede observar que se mantiene el comportamiento detallado en los casos
anteriores.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-24 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.26. Freeth. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP).
Trayectoria Freeth (datos tablas AP3.3, AP3.6 y AP3.9).
Observando en detalle los errores (MSET) obtenidos en los mejores casos, en la figura 5.27 se
puede observar que el resultado óptimo se obtiene para un número de neuronas mayor a los
casos anteriores. En este caso, el valor óptimo se alcanza para 15 neuronas, con un error de
0,00759254.
Figura 5.27. Freeth. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
Sin duda alguna, este incremento en el número de neuronas viene motivado de nuevo por el
incremento en la complejidad de la curva a estimar, frente a los casos anteriores,
consiguiéndose una mejor estimación con un mayor número de neuronas.
No obstante, en este caso se puede observar en la figura 5.27 que, motivado por la dificultad
en la aproximación a esta curva, hasta alcanzar 25 neuronas no queda claramente definida la
tendencia del error obtenido en la aproximación, manteniéndose oscilando en torno al valor
0,008. A partir de este numero de neuronas si se empieza a detectar un incremento en el error
obtenido, motivado por la dificultad de entrenar correctamente la red (conforme se detalló en
la primera prueba realizada).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-25 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Se puede determinar que en el intervalo comprendido en [7,25] neuronas, el error MSET oscila
en el intervalo [0.0075, 0.0084].
En lo relativo al tiempo de computación empleado (TCOMP), refrendar en base a los
resultados representados en la figura 5.28, los obtenidos para las pruebas anteriores. De nuevo
se obtienen valores similares, quedando el tiempo de computación para cada conjunto de 20
trayectorias incluido en el intervalo [0.48,0.56], presentándose una tendencia ligeramente
creciente conforme se aumenta el número de neuronas.
Figura 5.28. Freeth. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo (datos
tabla AP3.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas de la
capa intermedia.
5.5.4 Pruebas trayectoria Hypocycloid.
En el Anexo A Apéndice 4 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba ya
detallados y descritos, aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una trayectoria de
persecución Hypocycloid.
Esta curva se define como:
x = '(3-2)*cos(t)+cos((3-2)*t/3)';
y = '(3-2)*sin(t)-sin((3-2)*t/3)';
Se exponen en este Anexo A Apéndice 4 para esta trayectoria las mismas figuras y tablas
expuestas para las trayectorias anteriores, referenciadas al Apéndice 4 (AP4.X).
En este caso de prueba se puede observar en las figuras 5.29 y 5.30 que, de forma similar a
casos anteriores, salvo alteraciones provocadas por la caída de la configuración de la red
neuronal en mínimos locales durante el entrenamiento, el error en la estimación se mantiene
muy estable, con un ligero incremento lineal a partir de cierto número de neuronas.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
tiem
po
sg
Nº de neuronas en la capa oculta
5-26 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.29. Hypocycloid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba
(CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9).
Igualmente en esta figura 5.29 se puede ver claramente como la posibilidad de alcanzar un
mínimo local se incrementa conforme se aumenta el número de neuronas, alcanzándose los
mejores resultados con un numero de neuronas bajo.
Los mejores resultados se obtienen considerando un número de neuronas en el intervalo [8,16]
alcanzándose errores MSE en la estimación en el intervalo [0.006882, 0.007228] (véase figura
5.30).
Figura 5.30. Hypocycloid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
Los resultados obtenidos en relación al tiempo de computación, figura 5.31, corroboran lo
expuesto en casos anteriores manteniéndose un comportamiento extraordinariamente lineal,
con un ligero incremento conforme se incrementa el número de neuronas, motivado por el
aumento en el número de operaciones a realizar (siempre constante una vez fijada la
configuración de la red neuronal).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
5-27 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.31. Hypocycloid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP4.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas
de la capa intermedia.
5.5.5 Pruebas trayectoria Nephroid.
En el Anexo A Apéndice 5 se detallan los resultados obtenidos para los casos de prueba ya
detallados y descritos, aplicando el sistema de seguimiento neuronal a una trayectoria de
persecución Nephroid.
Esta curva se define como:
x = '3*cos(t)-cos(3*t)';
y = '3*sin(t)-sin(3*t)';
Se exponen en este Anexo A Apéndice 5 para esta trayectoria las mismas figuras y tablas
expuestas para las trayectorias anteriores, referenciadas al Apéndice 5 (AP5.X).
Para este caso de prueba, según se puedo observar en las figuras 5.43 y 5.33, los mejores
resultados se obtienen para un número de neuronas en el intervalo [7-11].
Figura 5.32. Nephroid. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba
(CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9).
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
TC
OM
P (
sg)
Nº de neuronas en la capa oculta
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
5-28 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
En este intervalo los errores obtenidos oscilan en el intervalo [0.0072,0.0075].
No obstante, a diferencia de casos anteriores, en la figura 5.32, se puede observar un
comportamiento excelente para el caso concreto con 20 neuronas, obteniéndose un error en
los tres casos de pruebas comprendido en el intervalo [0.0069, 0.0075].
Observando los resultados obtenidos en los tres casos de pruebas se pueden considerar como
casos más favorables, el caso anterior de 20 neuronas con error [0,0690464] o el caso con 11
neuronas, con error obtenido de [0,0726438].
Figura 5.33. Nephroid. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
Considerándose como en ejemplos anteriores el tiempo de computación empleado para la
estimación de cada conjunto de 20 trayectorias, en la figura 5.34 se puede verificar el mismo
comportamiento detectado en los casos anteriores, se encuentra en el intervalo
[0.0047,0.5247], con una tendencia ligeramente creciente conforme se aumentan el número de
neuronas.
Figura 5.34. Nephroid. Tiempo de computación mínimo en un caso de prueba completo
(datos tabla AP5.10). Tiempo de computación para 20 trayectorias según número de neuronas
de la capa intermedia.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MS
EX
Y
Nº de neuronas en la capa oculta
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
TC
OM
P (
sg)
Nº de neuronas en la capa oculta
5-29 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
5.5.6 Resumen de resultados obtenidos.
Como resumen de este apartado para la estimación del número de neuronas a implementar en
la capa oculta del sistema neuronal de seguimiento implementado se presenta la tabla 5.1 con
los datos obtenidos en los puntos anteriores.
TR NOP/MSET IOP/IMSET ITCOMP
Li 5/0,00714782 [5,8]/ [0.0071, 0.0079] [0.48, 0.55] As 12/0,00628184 [8,12]/ [0.0062, 0.0069] [0.48, 0.57] Fr 15/0,00759254 [7,25]/ [0.0075, 0.0084] [0.48,0.56] Hy 8/0,00688232 [8,16]/ [0.0068, 0.0072] [0.47, 0.57]
Ne 20/0,0690464 [8,11]/ [0.0069,0.0075] [20,20]/ [0.0069,0.0075]
[0.47,0.53]
Tabla 5.1. Optimización del Número de Neuronas de la Red Neuronal Backpropagation en la Capa Oculta por tipo de trayectoria.
· TR: Trayectoria (Li –Line-, As –Astroid-, Fr –Freeth-, Hy –Hypocycloid-, Ne –Nephroid-).
· NOP/MSET: Número óptimo de neuronas capa oculta/Error Medio Cuadrático óptimo en
la estimación.
· IOP/IMSET: Intervalo en el número de neuronas óptimo/Intervalo del Error Medio
Cuadrático para este intervalo.
· ITCOMP: Intervalo en el tiempo de computación requerido para cada caso de prueba (20
trayectorias).
Se pueden obtener las siguientes conclusiones:
i. Al haber implementado el sistema como dos redes neuronales (red neuronal de
predicción y red neuronal de suavizamiento, figura 4.5) se alcanzan los mejores
resultados con un número de neuronas relativamente bajo. El intervalo para este
número de neuronas se define como [5-25]. Una única red neuronal, integrando todas
las entradas consideradas hubiera implicado un mayor número de neuronas en la capa
oculta, dificultando también el entrenamiento de la misma.
ii. El número de neuronas a implementar en la capa oculta viene determinado por la
complejidad de la trayectoria a estimar. Para trayectorias muy simples (line, ver figura
5.2) con 5 neuronas se obtiene el resultado óptimo. Para trayectorias de mayor
complejidad (freeth o nephroid, ver figuras 5.4 y 5.6) el número de neuronas
estimadas se eleva a [15,20] neuronas.
iii. Un número superior a 20 neuronas en la capa oculta, generalmente no aporta
beneficios en la estimación. Es más, dificulta un entrenamiento correcto, no
alcanzándose una convergencia en la configuración de la red neuronal que mejore los
resultados obtenidos con un menor número de neuronas.
iv. Con la configuración actual del sistema, se obtienen unos resultados muy homogéneos
en cuanto al error en la estimación, manteniéndose siempre en el intervalo [0.006,
0.008].
5-30 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
v. Como era de esperar, debido a la propia configuración y forma de trabajo de cualquier
red neuronal, el tiempo de cómputo necesario para la estimación se mantiene
extraordinariamente estable. Esto da un gran valor a la solución en lo referente a su
implementación a implantación en un sistema de tiempo real, donde los requisitos
temporales deben estar perfectamente especificados y delimitados.
Es importante resaltar que las conclusiones anteriores se han obtenido en cada caso en base a
la validación del sistema con 20 trayectorias distintas, cada una de ellas con sus propios errores
aleatorios introducidos de forma independiente en cada una de ellas. Este hecho confiere una
confianza importante en lo referente a la fiabilidad y correspondencia con la realidad de los
resultados obtenidos.
5.6. Determinación de las funciones de transferencia.
En el caso de estudio a afrontar en este punto se plantea como objetivo determinar la mejor
elección en cuanto a las funciones de transferencia a utilizar tanto en la Capa Oculta y como
en la Capa de Salida de las redes utilizadas (ver figura 5.35) dependiendo del tipo de
trayectorias a estimar.
Figura 5.35. Funciones de transferencia en una red con tres capas, similar a las utilizadas en el
sistema bajo estudio en este documento.
En este caso concreto, este las funciones de transferencia a implementar determinará en gran
medida la capacidad de adaptación y aprendizaje de la solución propuesta, determinando por
consiguiente el comportamiento y exactitud en la estimación realizada para el problema
tratado.
La función de transferencia o de activación se encarga de calcular el nivel de activación de la
neurona en función de la entrada total, también denota la salida de la neurona (figura 5.36). Se
pueden identificar tres tipos básicos de funciones de transferencia: las funciones de umbral, en
las cuales la salida es un valor discreto que supera o no un determinado umbral, existen
también las funciones lineales o al menos en una parte (picewise linear), y finalmente están las
funciones no lineales en donde las “funciones sigmoidales” son las más habituales.
5-31 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.36. Modelo computacional de una neurona. La salida total ‘a’ de la neurona está dada
por el resultado de la función de transferencia aplicada a la variable ‘n’, la cual es la suma
ponderada de sus entradas.
En las tablas 5.2 y 5.3 se puede observar las funciones de transferencia definidas en MATLAB
para definir las neuronas de la red neuronal, tanto en la capa oculta como en la de salida:
compet Competitive transfer function
hardlim Hard-limit transfer function
hardlims Symmetric hard-limit transfer function
logsig Log-sigmoid transfer function
netinv Inverse transfer function
poslin Positive linear transfer function
purelin Linear transfer function
radbas Radial basis transfer function
radbasn Normalized radial basis transfer function
satlin Saturating linear transfer function
satlins Symmetric saturating linear transfer function
softmax Soft max transfer function
tansig Hyperbolic tangent sigmoid transfer function
tribas Triangular basis transfer function
Tabla 5.2. Funciones de Transferencia definidas en MATLAB[Hudson11]
5-32 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Tabla 5.3. Principales funciones de transferencia en MATLAB[Hudson11].
Figura 5.37. Ejemplos de funciones de transferencia en MATLAB[Hudson11].
5-33 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Se realizan las pruebas detalladas a continuación:
i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line,
astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).
ii. Para cada prueba se considerará la utilización de una función de transferencia en la
capa oculta y otra en la capa de salida. Se toma como conjunto de funciones de
transferencia el especificado en la tabla 5.2, probándose todas las combinaciones
posibles.
iii. Cada prueba (configuración concreta con una función de transferencia para la capa
oculta y otra para la capa de salida), para un tipo de trayectoria previamente definido
(i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:
a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los
datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el
entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).
b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores.
c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,
incorporando error aleatorio en todos sus datos.
d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como
datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior.
e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones
obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba,
considerándose las funciones de transferencia utilizadas (ii).
iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X
como la Y.
El resto de parámetros de las redes neuronales se configura de acuerdo a la tabla 5.4.
TRAYECTORIA (CURVA)
NEURONAS EN LA CAPA OCULTA
“Epochs”
Line 5 2000
Astroid 12 2000
Freeth 15 2000
Hypocycloid 8 2000
Nephroid 20 2000
Tabla 5.4. Configuración de parámetros de las redes neuronales. Número de neuronas en la
capa oculta el tomado como óptimo en el punto anterior.
Si bien se obtienen en las distintos casos de prueba los mismas variables estadísticas
consideradas para los casos de prueba del punto anterior, en este caso se valorará únicamente
el error medio en la estimación (MSET), calculado como la media de la distancia euclídea
entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por
trayectoria) de la validación.
Para cada tipo de trayectoria, la prueba se repetiré en tres simulaciones (cada una de ellas con
sus veinte trayectorias, generadas de forma independiente, y entrenamiento independiente del
sistema en cada simulación), tomando como resultado final el mínimo valor de error MSET
obtenido en las tres simulaciones para cada configuración de funciones de transferencia. Con
esta elección del mínimo de las tres simulaciones, como en el caso anterior, se pretende
5-34 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
eliminar aquellos casos en los que el entrenamiento del sistema provoque la caída en mínimos
locales.
Los resultados se reflejan en tablas con la siguiente estructura:
El eje Vertical corresponde a la Función de Transferencia de la Capa Oculta.
El eje Horizontal corresponde a la Función de Transferencia de la Capa de Salida.
En cada casilla se muestra el error MSET obtenido para la configuración de funciones
de transferencia determinada por los ejes (MSET mínimo para la tabla “global” o
MSET calculado para las tablas correspondientes a cada simulación).
Los resultados obtenidos se presentan en tablas expuestas a continuación donde cada dato
correspondiente al error MSET para una cierta configuración de la red neuronal se clasifica en
base al siguiente código de colores:
Rojo: error alto.
Naranja/amarillo: error intermedio.
Verde: error bajo. La mejor estimación se resalta enmarcando la casilla
correspondiente.
5.6.1 Pruebas trayectoria Line.
En el Anexo B, apartado B.3, en las tablas B.2, B.3, B.4 y B5 se pueden ver de forma detallada
los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la variable
estadística MSET.
De los resultados obtenidos, rápidamente se puede concluir que la elección en cuanto a las
funciones de transferencia a utilizar condiciona de forma determinante el comportamiento del
sistema, llegando a incrementar su error en un 700%.
Figura 5.38. Trayectoria Line. Error en la estimación (MSET, tabla B.5) dependiendo de las
funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en eje horizontal FT
para la capa de salida].
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
compet
hardlim
hardlims
logsig
netinv
poslin
purelin
radbasn
satlin
satlins
softmax
tansig
5-35 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Como corroboración de los resultados obtenidos, en la figura 5.38 se puede observar que la
elección de la función de transferencia en la capa de salida (FT dentro del gráfico) condiciona
de forma determinante los resultados a obtener en la estimación, independientemente de la
función elegida para la capa oculta.
Se pueden extraer las conclusiones expuestas a continuación:
i. Funciones de transferencia capa de salida:
Se puede observar que hay funciones de transferencia que no se deben escoger
como función de salida, debido a que el error es siempre muy elevado. Estas
funciones de transferencia de salida son compet, hardlim, hardlims, radbasn y
softmax.
Igualmente se pueden establecer funciones con un error medio: logsig, netinv,
satlin y tribas.
Finalmente, se puede observar que hay funciones que tiene un menor error e
incluso el error óptimo en todas las simulaciones. Estas funciones de transferencia
de salida son purelin, satlins y tansig.
FTRANS purelin satlins tansig
compet 0,01400029 0,01438136 0,01416002
hardlim 0,01469743 0,01446293 0,01466751
hardlims 0,01433126 0,01450431 0,01451654
logsig 0,00725504 0,00854326 0,00756496
netinv 0,01292442 0,01443038 0,01421228
poslin 0,00798058 0,01002494 0,01096645
purelin 0,0136581 0,01326124 0,01406066
radbasn 0,00811356 0,00744776 0,00874744
satlin 0,00833686 0,00761233 0,00913326
satlins 0,00783361 0,00956385 0,00874787
softmax 0,00817045 0,00865811 0,0081801
tansig 0,007472 0,00827471 0,00860396
tribas 0,00831968 0,00882534 0,00828336
Tabla 5.5. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins, tansig)
para la capa de salida.
5-36 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.39. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida (en eje horizontal, FT para la capa oculta).
ii. Funciones de transferencia de la capa oculta:
Tomando en consideración únicamente las funciones consideradas como óptimas
para la capa oculta (figura 5.5 y figura 5.39), se puede volver a descartar ciertas
funciones, en este caso para esta capa oculta. Así las funciones descartadas por su
mayor error en la estimación son compet, hardlim, hardlims, netinv y
purelim (en la figura 5.39 se observa claramente el incremento en el error para
estas funciones).
Como conclusión de todo lo expuesto anteriormente, el resultado óptimo se obtiene para la
combinación de funciones [logsig, purelin], con un valor en la estimación de 0,00725504.
Otra configuración, en cuanto a las funciones de transferencia elegidas, pueden ser
consideradas como cercanas en su error en la estimación, las cuales se podrían considerar
como alternativas para su posible utilización (tabla 5.6).
FTRANS Purelin satlins Tansig
logsig 0,00725504
0,00756496
poslin 0,00798058 radbasn 0,00811356 0,00744776
satlin 0,00833686 0,00761233 satlins 0,00783361
softmax 0,00817045
0,0081801
tansig 0,007472 0,00827471 tribas 0,00831968
0,00828336
Tabla 5.6. Trayectoria Line. Funciones de transferencia óptimas.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020 E
rro
r M
SE
T
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-37 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Como refrendo a los resultados obtenidos en el punto anterior, relativo al número de neuronas
a considerar en la capa oculta, donde se utilizó la combinación [tansig, purelin], indicar que
el error obtenido en estos casos de prueba para esa configuración es 0,007472 (ver tabla 5.6),
muy próximo al expuesto en ese punto (la pequeña variación existente es debida a la
aleatoriedad en los datos de prueba), frente al error 0.00725504 para la elección óptima
5.6.2 Pruebas trayectoria Astroid.
En el Anexo B, apartado B.3, en las tablas B.7, B.8, B.9 y B10 se pueden ver de forma
detallada los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la
variable estadística MSET. Se pueden ver los errores obtenidos en esta trayectoria para cada
combinación de funciones de transferencia en la figura 5.40.
Figura 5.40. Trayectoria Astroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.10) dependiendo de
las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en el eje
horizontal FT para la capa de salida].
En este caso de prueba, se puede concluir, de forma análoga al caso de prueba anterior que la
elección de la función de transferencia a implementar en la capa de salida condiciona de forma
determinante el comportamiento del sistema.
Funciones en la capa de salida tales como compet, hardlim, hardlims, radbasn y softmax
(las mismas que para el punto anterior) determinarán directamente un mal funcionamiento del
sistema, independientemente de la función elegida para la capa oculta.
Observando los resultados obtenidos (ver tablas B.7, B.8, B.9 y B.10, y figura 5.40) se puede
concluir que las funciones óptimas para la capa de salida se establecerán entre purelin,
satlins y tansig (tabla 5.7 y figura 5.41). Se debe destacar que estas funciones de
transferencia coinciden con las dadas en el punto anterior.
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
compet
hardlim
hardlims
logsig
netinv
poslin
purelin
radbasn
satlin
satlins
softmax
5-38 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
FTRANS purelin satlins tansig
compet 0,01424526 0,01397711 0,01435691
hardlim 0,0143572 0,01466621 0,01446314
hardlims 0,01446635 0,01453243 0,01432543
logsig 0,0068624 0,00635894 0,00654775
netinv 0,0227956 0,01269327 0,01211846
poslin 0,00617718 0,00648005 0,00760113
purelin 0,00778241 0,00794519 0,00814106
radbasn 0,00671555 0,0068375 0,00670086
satlin 0,00647686 0,00669454 0,00643658
satlins 0,0066877 0,00658636 0,00627713
softmax 0,00626344 0,00625849 0,00610345
tansig 0,0061766 0,00604771 0,00639415
tribas 0,00644538 0,00691298 0,00654995
Tabla 5.7. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida.
En este caso, el error mínimo se obtiene para la combinación [tansig, satlins] con un valor
0.00604771, mejorando levemente el obtenido en el punto anterior (ver tabla 5.1, error en
trayectoria Astroid, 0,00628184 para 12 neuronas)
Figura 5.41. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida (en el eje horizontal FT para la capa oculta).
Considerando únicamente las funciones seleccionadas para la capa de salida, considerando los
errores dados en cada estimación (ver tabla 5.7 y figura 5.41), se puede restringir las funciones
de transferencia a utilizar en la capa oculta.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-39 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
En este caso, determinadas funciones como compet, hardlim, hardlims, netinv y purelin
pueden ser descartadas por el error obtenido, notablemente superior al resto.
FTRANS purelin satlins tansig
logsig
0,00635894 0,00654775
poslin 0,00617718 0,00648005 radbasn 0,00671555
0,00670086
satlin 0,00647686 0,00669454 0,00643658
satlins 0,0066877 0,00658636 0,00627713
softmax 0,00626344 0,00625849 0,00610345
tansig 0,0061766 0,00604771 0,00639415
tribas 0,00644538
0,00654995
Tabla 5.8. Trayectoria Astroid. Funciones de transferencia óptimas.
Figura 5.42. Trayectoria Astroid. Selección de funciones de transferencia más favorables en
capa oculta (FT en eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda).
En la tabla 5.8 y figura 5.42 se puede observar los errores obtenidos para estos casos
seleccionados como más favorables para la estimación.
Considerando los tiempos de computación para las funciones seleccionadas en la tabla 5.8, en
la figura 5.43 se puede observar que estos permanecen de forma estable en el intervalo [0.5,
0.6] sg., aspecto que, como ya se ha resaltado en puntos anteriores supone una condición
relevante para la utilización de este sistema en un ámbito de tiempo real.
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-40 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.43. Trayectoria Astroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de 20
trayectorias considerando distintas funciones de transferencia.
5.6.3 Pruebas trayectoria Freeth.
En el Anexo B, apartado B.4, en las tablas B.12, B.13, B.14 y B15 se pueden ver de forma
detallada los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la
variable estadística MSET. Se pueden ver los errores obtenidos en esta trayectoria para cada
combinación de funciones de transferencia en la figura 5.44.
Figura 5.44. Trayectoria Freeth. Error en la estimación (MSET, tabla B.15) dependiendo de
las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en el eje
horizontal FT para la capa de salida].
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
TC
OM
P (
sg.)
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
compet
hardlim
hardlims
logsig
netinv
poslin
purelin
radbasn
satlin
satlins
softmax
tansig
5-41 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
En los resultados obtenidos para esta trayectoria Freeth, se obtienen resultados similares a los
anteriores casos de prueba. La única diferencia significativa se puede encontrar en el uso de la
función de transferencia netinv en la capa oculta, donde se obtiene resultados que se podría
calificar como heterogéneos, con una mayor varianza en los resultados obtenidos. Esto puede ser
debido a la caída del sistema en un mínimo local en su entrenamiento.
En las tablas 5.9 y 5.10, de forma análoga a los anteriores casos de prueba se seleccionan las
funciones de transferencia que ofrecen mejores resultados, tanto para su utilización en la capa
de salida (tabla 5.9, purelin, satlins, tansig), como en la capa oculta (tabla 5.10, funciones
logsig, poslin, radbasn satlin, satlins, softmax y tansig).
El resultado óptimo se obtiene para la configuración [logsig, tansig], con un error MSET
de 0.00767236. En la figura 5.45, donde se representan los errores obtenidos para las
funciones seleccionadas como ópticas se puede destacar el comportamiento “estable” del
sistema en cuando a los errores en la estimación, siempre en el intervalo [0.0076, 0.0083], con
errores similares en las simulaciones para una configuración determinada.
FTRANS purelin satlins tansig
compet 0,01425083 0,01460444 0,01451738
hardlim 0,01423652 0,01431342 0,01466815
hardlims 0,01455203 0,01464512 0,01444824
logsig 0,00849156 0,00808279 0,00767236
netinv 0,04433672 0,0127457 0,01385964
poslin 0,00800773 0,00826246 0,00842222
purelin 0,00963877 0,00984704 0,01011821
radbasn 0,00845839 0,00820226 0,00802443
satlin 0,00828303 0,00826932 0,00821266
satlins 0,00804988 0,00769865 0,00780562
softmax 0,00819933 0,00788897 0,00788049
tansig 0,00815264 0,00807347 0,00786287
tribas 0,00837793 0,00851994 0,00842256
Tabla 5.9. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida.
FTRANS purelin satlins tansig
logsig
0,00808279 0,00767236
poslin 0,00800773 0,00826246 radbasn
0,00820226 0,00802443
satlin 0,00828303 0,00826932 0,00821266
satlins 0,00804988 0,00769865 0,00780562
softmax 0,00819933 0,00788897 0,00788049
tansig 0,00815264 0,00807347 0,00786287
Tabla 5.10. Trayectoria Freeth. Funciones de transferencia óptimas.
5-42 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Observando los resultados para cada una de las simulaciones (tablas B12, B13 y B14) se puede
observar que si bien el valor óptimo se obtiene en el global de las simulaciones para la
configuración [logsig, tansig], este valor óptimo, de forma concreta para cada simulación
varía entre distintas funciones de transferencia, si bien el error cometido en la estimación se
mantiene muy cercano.
Esto implica que las funciones de transferencia a seleccionar, dentro de aquellas para las que se
obtienen los mejores resultados (tabla 5.10), pueden ser sometidas a otros criterios que hagan
necesario seleccionar otra configuración que, en un momento dado hubiera podido tener un
error muy ligeramente mayor en la estimación.
Así, en este caso de prueba, el mejor resultado en cuanto al error en la estimación se obtiene
para la configuración [logsig, tansig] (tabla 5.10), no obstante, en la tabla 5.11 se puede
observar que esta configuración es por otro lado la que genera un mayor tiempo de
computación entre las consideradas. Si este tiempo de computación fuera un requisito a
optimizar, una configuración [poslin, purelin] podría ser la adecuada, sacrificando un
posible mínimo de error en la estimación en función de una mejora en el tiempo de
computación (0,482142 sg. frente a 0,529632 sg.). Este tipo de factores se deben considerar en
función de los requisitos establecidos para el sistema.
Figura 5.45. Trayectoria Freeth. Selección de funciones de transferencia más favorables en
capa oculta (FT en el eje horizontal) y cada de salida (FT en leyenda).
De forma análoga a los casos anteriores, en la tabla 5.11 (obtenida como una selección de la
general presentada en la tabla B.16) se puede observar que el tiempo de computación para las
configuraciones seleccionadas se mantiene en todo momento en el intervalo [0.48, 0.53],
manteniendo una estabilidad excelente y acorde a todas las pruebas anteriores.
0,006
0,007
0,008
0,009
logsig poslin radbasn satlin satlins softmax tansig
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-43 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
FTRANS purelin satlins tansig
logsig
0,51176305 0,52963232
poslin 0,48214208 0,50788755 radbasn
0,49168778 0,52280563
satlin 0,4880931 0,50014588 0,50482857
satlins 0,50853833 0,50803343 0,50596277
softmax 0,51380616 0,51991359 0,51634403
tansig 0,50797184 0,52119772 0,50375191
Tabla 5.11. Trayectoria Freeth. Tiempos de computación TCOMP para la estimación de 20
trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa oculta en eje vertical,
capa de salida en el horizontal).
5.6.4 Pruebas trayectoria Hypocycloid.
En el Anexo B, apartado B.5, en las tablas B.17, B.18, B.19 y B.20 se pueden ver de forma
detallada los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la
variable estadística MSET. Se pueden ver los errores obtenidos en esta trayectoria para cada
combinación de funciones de transferencia en la figura 5.46.
Figura 5.46. Trayectoria Hypocycloid. Error en la estimación (MSET, tabla B.20)
dependiendo de las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta,
en eje horizontal FT para la capa de salida].
De nuevo, como en todos los casos anteriores la función de transferencia en la capa de salida
determina de forma principal los errores obtenidos en la estimación. En esta capa, se obtienen
los mejores resultados para las funciones purelin, satlins y tansig (tabla 5.12).
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
compet
hardlim
hardlims
logsig
netinv
poslin
purelin
radbasn
satlin
satlins
softmax
tansig
5-44 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
El comportamiento óptimo del sistema, en este caso se obtiene para la configuración con las
funciones de transferencia [logsig, satlins], con un error en la estimación de 0.00697253
(ver tabla 5.12).
Para el caso de la función de transferencia a considerar en la capa oculta, se obtienen los
resultados óptimos para las funciones logsig, poslin, radbasn satlin, satlins, y tansig
(ver tabla 5.13).
FTRANS purelin satlins tansig
compet 0,01429771 0,01436188 0,02978095
hardlim 0,01439829 0,01437206 0,01460834
hardlims 0,01441751 0,01449647 0,01456936
logsig 0,00711672 0,00697253 0,00708113
netinv 0,01494571 0,01458463 0,01430569
poslin 0,00751864 0,00754077 0,00745862
purelin 0,00931787 0,0093794 0,00977193
radbasn 0,00749946 0,00755028 0,0072976
satlin 0,00762292 0,0072191 0,00755285
satlins 0,00751669 0,00762525 0,00726322
softmax 0,00790739 0,00774728 0,00762879
tansig 0,00720248 0,00734433 0,00736602
tribas 0,0081598 0,00768026 0,00761679
Tabla 5.12. Trayectoria Hypocylcoid. Funciones de transferencia óptimas (purelin,
satlins, tansig) para la capa de salida.
FTRANS purelin satlins Tansig
logsig 0,00711672 0,00697253 0,00708113
poslin 0,00751864 0,00754077 0,00745862
radbasn 0,00749946 0,00755028 0,0072976
satlin
0,0072191 0,00755285
satlins 0,00751669
0,00726322
tansig 0,00720248 0,00734433 0,00736602
Tabla 5.13. Trayectoria Hypocycloid. Funciones de transferencia óptimas.
El tiempo de computación TCOMP para un conjunto de 20 trayectorias aparece acotado en el
intervalo [0.48, 0.63] (tabla 5.14), obteniéndose resultados similares a todos los que se han
dado anteriormente. En la figura 5.47 se puede observar la extraordinaria estabilidad del
sistema en cuanto a este tiempo de computación para las configuraciones de funciones de
transferencia consideradas en la tabla 5.14.
5-45 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
FTRANS purelin satlins tansig
logsig 0,50598222 0,51447152 0,52788624
poslin 0,50437432 0,49908542 0,50996672
radbasn 0,6308171 0,50669135 0,50483748
satlin
0,50077072 0,503029
satlins 0,48058037
0,50204513
tansig 0,51521793 0,49769229 0,49277538
Tabla 5.14. Trayectoria Hypocylcoid. Tiempos de computación TCOMP para la estimación
de 20 trayectorias (en función de las funciones de transferencia utilizadas; capa oculta en eje
vertical, capa de salida en el horizontal).
Figura 5.47. Trayectoria Hypocyloid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de
20 trayectorias considerando distintas funciones de transferencia.
5.6.5 Pruebas trayectoria Nephroid.
En el Anexo B, apartado B.6, en las tablas B.22, B.23, B.24 y B.25 se pueden ver de forma
detallada los resultados obtenidos en las tres simulaciones para esta curva en lo relativo a la
variable estadística MSET. Se pueden ver los errores obtenidos en esta trayectoria para cada
combinación de funciones de transferencia en la figura 5.48.
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
logsig poslin radbasn satlin satlins tansig
TC
OM
P (
sg.)
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-46 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Figura 5.48. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación (MSET, tabla B.25) dependiendo de
las funciones de transferencia configuradas. [En leyenda FT para capa oculta, en el eje
horizontal FT para la capa de salida].
Se obtiene un comportamiento análogo a los casos anteriores:
i. Las funciones de transferencia purelin, satlins y tansig en la capa de salida
ofrecen el mejor comportamiento en los resultados obtenidos por el sistema (tabla
5.15).
ii. Para la capa oculta se presentan diferentes opciones con ligeras variaciones en el error
obtenido. En este caso las funciones más favorables son logsig, poslin, purelin,
radbasn, satlin, satlins, softmax, tansig y tribas (tabla 5.16).
FTRANS purelin satlins tansig
compet 0,01455578 0,0143557 0,01573194
hardlim 0,01456452 0,01448999 0,01434443
hardlims 0,01456745 0,01443 0,01448466
logsig 0,00737791 0,00736829 0,00747706
netinv 0,01591653 0,0148812 0,01035312
poslin 0,00695813 0,00745139 0,00771835
purelin 0,01122528 0,0109948 0,01167178
radbasn 0,00741897 0,00766124 0,0078312
satlin 0,00773722 0,00767586 0,00767658
satlins 0,00770444 0,00750927 0,0074854
softmax 0,00721647 0,00705065 0,00732767
tansig 0,00809384 0,00742076 0,00781401
tribas 0,00785603 0,00740269 0,00755068
Tabla 5.15. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas (purelin, satlins,
tansig) para la capa de salida.
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06 E
rro
r M
SE
T
Función de transferencia Capa de Salida
compet
hardlim
hardlims
logsig
netinv
poslin
purelin
radbasn
satlin
satlins
softmax
tansig
5-47 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
En este caso, el mejor resultado se obtiene para la combinación [poslin, purelin] con un
error de 0.00695813. En la tabla 5.16, se puede observar una diferencia significativa entre este
caso y el resto de opciones.
FTRANS purelin satlins tansig
logsig 0,00737791 0,00736829 0,00747706
poslin 0,00695813 0,00745139 purelin 0,01122528 0,0109948 0,01167178
radbasn 0,00741897 satlin 0,00773722 satlins 0,00770444 0,00750927 0,0074854
softmax 0,00721647 0,00705065 0,00732767
tansig
0,00742076 tribas
0,00740269 0,00755068
Tabla 5.16. Trayectoria Nephroid. Funciones de transferencia óptimas.
Como hecho a destacar, en este caso la función de transferencia a elegir en la capa oculta es
menos determinante que en casos anteriores, presentándose, por un lado una mayor variedad
entre posibles funciones (tabla 5.16, eje vertical), por otro, un comportamiento mucho más
heterogéneo en estas funciones, de tal forma que en ciertas combinaciones se comportan
mucho mejor que en otras. Por ejemplo, la función satlin en la capa oculta, únicamente
tendrá un comportamiento adecuado con la función purelin en la capa de salida, no dando
buenos resultados con satlins o tansig.
Figura 5.49. Trayectoria Nephroid. Error en la estimación para las funciones de transferencia
óptimas en la capa de salida (MSET, tabla 5.16). [En leyenda FT para capa oculta, en el eje
horizontal FT para la capa de salida].
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-48 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Incluso, en la figura 5.49, se puede observar un peor comportamiento para la función purelin
en la capa oculta.
Considerando el tiempo de computación TCOMP para las funciones expuestas en la tabla
5.16, en la figura 5.50, se puede observar un comportamiento mucho más irregular para el caso
de la función satlins en la capa de salida, manteniéndose mucho más estable el tiempo
empleado por purelin y tansig, independiente de la función elegida en la capa oculta.
Figura 5.50. Trayectoria Nephroid. Tiempo de computación TCOMP para la estimación de 20
trayectorias considerando las funciones de trasferencia reflejadas en la tabla 5.16.
5.6.6 Resumen de resultados obtenidos.
Con los casos de prueba y resultados anteriormente expuestos se pueden extraer las siguientes
conclusiones:
i. La función de transferencia a implementar en la capa de salida determina en gran
medida los resultados a obtener en la estimación del sistema. Se puede decir que esta
función de transferencia en la capa de salida debe elegirse entre las funciones
purelin, satlins y tansig, funciones para las que se ha obtenido siempre los
mejores resultados. Con los resultados obtenidos, no se puede determinar la
preferencia en el uso de una de las tres, pudiéndose considerar indistinta.
ii. En el caso de la función de transferencia a implementar en la capa oculta, los
resultados son bien distintos a los anteriores. Existe un conjunto mucho más amplio
de funciones a considerar. A lo largo de los ejemplos anteriores, en casos concretos, se
ha podido comprobar el interés en utilizar las siguientes funciones: logsig, poslin,
purelin, radbasn, satlin, satlins, softmax, tansig y tribas. En la tabla 5.17
se presenta un resumen de los resultados obtenidos.
0,4
0,5
0,6
0,7
logsig poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
TC
OM
P (
sg.)
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
5-49 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
FTRANS Núm. Trayec. Óptimo
logsig 12 5 3
poslin 10 5 1
purelin 3 1 0
radbasn 10 5 0
Satlin 11 5 0
satlins 12 5 0
softmax 11 4 0
tansig 12 5 1
tribas 6 3 0
Tabla 5.17. Resumen de resultados para funciones de transferencia en la capa oculta.
(Datos obtenidos de las tablas 5.6, 5.8, 5.10, 5.13 y 5.16)
· FTRANS. Funciones de transferencia a considerar para su implementación en la capa oculta.
· Núm. Número de veces que la función se determina entre aquellas que proporcionan los
mejores resultados (valor máximo 15).
· Trayec. Número de trayectorias en las que esta función se determina entre aquellas que
proporcionan los mejores resultados (valor máximo 5).
· Óptimo. Número de veces que la función se determina como la óptima por los resultados
obtenidos (valor máximo 5).
iii. Entre las funciones consideradas en el punto ii. anterior para su implementación en la
capa oculta, se puede determinar que la función logsig es la que ofrece un mejor
comportamiento, apareciendo en todos los casos de prueba entre las que ofrecen
mejores resultados, y en tres de las cinco trayectorias como la que ofrece el resultado
óptimo. Igualmente, a un nivel inferior, se puede considerar la utilización de las
funciones poslin, tansig y satlin.
iv. Funciones como purelin y tribas, aunque hayan aparecido puntualmente entre las
que ofrecen mejores resultados para su implementación en la capa oculta, pueden ser
desestimadas, considerando esta situación como puntual, incluso anecdótica en alguna
de ellas (purelin).
v. Un aspecto importante a tener en cuenta es el tiempo de computación TCOMP
empleado en cada uno de los casos. Este, independientemente de las funciones
elegidas se mantiene muy estable, siempre en torno al valor 0.5 sg (para la estimación
de 20 trayectorias con 100 detecciones cada una de ellas).
vi. Excepcionalmente y ante requisitos muy precisos, el tiempo de computación puede
considerarse para la exclusión de alguna función (por ejemplo, la función satlins en
la capa de salida en el último caso de prueba, trayectoria Nephroid, donde se presenta
cierta dispersión en los valores para esta variable TCOMP).
Es importante resaltar que las conclusiones anteriores se han obtenido en cada caso en base a
la validación del sistema con 20 trayectorias distintas, cada una de ellas con sus propios errores
aleatorios introducidos de forma independiente en cada una de ellas. Este hecho confiere una
confianza importante en lo referente a la fiabilidad y correspondencia con la realidad de los
resultados obtenidos.
5-50 CAPÍTULO 5. Optimización del Sistema
Capítulo 6
Conclusiones y trabajo futuro.
"En verdad no reparten los dioses solo en un hombre sus
amables presentes: belleza, elocuencia e ingenio. La
apariencia de uno dijérase acaso mezquina, mas un dios de
belleza corona sus frases, y todos se complacen mirándolo, y
habla seguro y modesto, dulcemente, y destaca entre toda la
gente reunida, y en la calle es un dios que lleva tras él las
miradas. Otro, en cambio, aparenta la misma belleza que un
numen, mas la Gracia jamás le corona las frases que dice."
Homero, La Odisea.
RESUMEN: En el presente capítulo se detallan las conclusiones sobre lo expuesto en
los capítulos anteriores, además de tratar de descubrir los vacíos por los que
adentrarse en este campo, abriendo nuevas líneas de investigación. Se resumirán las
que se consideran principales aportaciones en esta tesis.
6.1 Conclusiones.
6.2 Líneas y trabajos futuros.
6.1 Conclusiones.
En el trabajo de esta tesis doctoral se expone, describe y detalla un sistema de seguimiento
para sistemas de vigilancia y control aéreo basados en información radar mejorándose el
comportamiento que en la actualidad presentan los algoritmos clásicos en su aplicación a
maniobras muy exigentes en cuanto a sus características cinemáticas.
Lo expuesto en este documento debe tratarse y entenderse en todo momento como la
exposición, demostración y validación de un nuevo enfoque a este problema de seguimiento a
considerar, por los buenos resultados obtenidos, como posible aplicación en un futuro
cercano.
Igualmente, la solución propuesta no debe ser entendida como una solución cerrada, sino
como una demostración de capacidad de la misma, fácilmente adaptable y generalizable a las
6-2 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.
necesidades y características tanto del sistema de vigilancia y control aéreo, como de los
objetivos a considerar. La información a tratar deberá ser evaluada e integrada de forma acorde
a las necesidades y exigencias del propio sistema considerado, condicionada por la
disponibilidad de esta información en cada caso.
El seguimiento de objetivos aéreos con maniobras en sus movimientos, a partir de datos radar
discretos tomados como entrada, es un problema que, como cualquier problema de control, se
caracteriza esencialmente por su desarrollo en entornos de incertidumbre (medidas imprecisas,
ambiguas –asignación a un avión u otro-, incompletas –pérdidas de detección- y falsas
detecciones) y soluciones no lineales, soluciones imposibles de implementar.
Como factor de incertidumbre, en este trabajo se ha tratado la existencia de maniobras de
combate, muy exigentes por sus características cinemáticas para cualquier algoritmo de
seguimiento, las cuales dificultan de forma considerable la estimación por el sistema de la
trayectoria seguida por el objetivo a partir de los datos radar recibidos en instantes discretos de
tiempo. Estas medidas radar, entrada en cualquier sistema de estas características, igualmente
se verán afectadas por la presencia del típico error gaussiano.
En estos casos, la solución propuesta en este trabajo de tesis doctoral, tal y como se ha
reseñado al inicio de este punto, debe considerarse como un enfoque que permite gestionar
esta incertidumbre, alcanzándose un mejor resultado en esta estimación.
Los algoritmos de seguimiento clásicos, basados en técnicas estadísticas, funcionan de forma
eficiente cuando el movimiento del objetivo se realiza sin maniobras. Es un caso fácilmente
modelizable. Las maniobras de los objetivos provocando grandes aceleraciones, positivas o
negativas, tangenciales o normales, y/o giros bruscos en su trayectoria, provocan en una gran
cantidad de ocasiones la pérdida de exactitud o, en el peor de los casos, estimaciones
incorrectas de la trayectoria.
Por otro lado, estos algoritmos de seguimiento clásicos, aparecen definidos con variables de
entrada perfectamente definidas, sobre las que se deben definir modelos que implican un
exhaustivo conocimiento de la relación que pueda haber entre estas variables de entrada y las
que componen el estado del sistema, variables a estimar por el algoritmo. Es por este motivo
por lo que resulta extremadamente complejo incorporar nuevas variables a estos algoritmos de
seguimiento, variables que no hayan sido habitualmente utilizadas en los mismos, sobre las que
se tenga un conocimiento muy detallado.
Este problema en la incorporación de nuevas variables se verá magnificado si consideramos
que estas variables pudieran ser distintas dependiendo del entorno considerado.
Un aspecto que condiciona y agrava aún más el problema anterior es el elevado coste
computacional lo que significa incorporar nuevas variables a considerar en el proceso que este
tipo de algoritmos realiza.
Estos aspectos quedan corregidos en gran medida con la integración de información radar
y contextual en la solución propuesta en esta tesis, la cual basándose en la utilización de
redes neuronales, y por lo tanto en las ventajas inherentes a estas, permite obtener mejores
resultados en la estimación en entornos de alta incertidumbre, frente a los resultados
actualmente disponibles con algoritmos clásicos.
6-3 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.
Como un intento de dar respuesta a la problemática planteada en los párrafos anteriores, en
esta tesis se detalla un sistema de seguimiento, cuya implementación está basada en redes
neuronales, tratando de explotar las ventajas intrínsecas a este paradigma de la inteligencia
artificial, consiguiéndose un sistema de seguimiento que permite su fácil adaptación al
seguimiento en maniobras aéreas, en este caso concreto de estudio, y a la incorporación de
información contextual, en un caso general, lo cual facilita y permite ejecutar con mayor
precisión este seguimiento.
Se presenta en el presente trabajo una solución basada en dos etapas de redes neuronales, una
primera etapa denominada de estimación y otra de suavizamiento. Se demuestra que este
diseño de las redes neuronales en dos etapas permite facilitar de forma significativa su
entrenamiento consiguiéndose con una arquitectura sencilla los resultados esperados.
Se detalla un estudio sobre la aplicación de este sistema a ejemplos de maniobras que
habitualmente se desarrollan en una situación de combate aéreo.
Es importante destacar que este caso concreto debe tomarse como un ejemplo de las
capacidades del sistema. La solución propuesta es aplicable de forma similar a cualquier
situación de vigilancia y/o control de tráfico aéreo donde se produzcan, de forma más o
menos repetitiva, maniobras que puedan ser especificadas de una forma genérica para su
muestra en el entrenamiento del sistema.
Otros ejemplos de aplicación del sistema, distintos a los aquí propuestos, serían maniobras de
aproximación a aeropuertos, maniobras en la salida de aeropuertos y seguimiento de misiles.
Todos los casos se caracterizan por ejecutar maniobras perfectamente especificadas.
Por otro lado, en el sistema descrito, haciendo uso esta red de la facilidad tanto para
incorporar nueva información a una red neuronal, como de adaptabilidad a la nueva
información a considerar, se añade al sistema lo que durante la tesis se denomina información
contextual.
Se define como información contextual toda aquella información que, extraída del contexto
en el que se está moviendo un avión, sin estar incluida en la propia medida radar generada por
este móvil, condiciona y determina de forma directa este movimiento. Así, por ejemplo, se
puede considerar como información contextual, entre otros casos:
La distancia y ángulo entre dos cazas en combate aérea.
La propia topografía del terreno en un vuelo a baja cota.
La distancia y ángulo de la trayectoria de un avión respecto a la pista de aterrizaje.
Información de inteligencia sobre vuelos “ilegales”, con rutas y/o puntos de aterrizaje
ilegales.
De forma más concreta, en este sentido, el problema solucionado consiste en explotar esta
información contextual mejorándose de forma notoria el resultado del seguimiento ejecutado.
Así, en el ejemplo concreto tratado en esta tesis, relativo al seguimiento que se produce en un
caso de combate aéreo, es evidente que el movimiento del avión perseguidor estará claramente
condicionado por la posición relativa del avión perseguido (ángulo de visión, distancia, altura
relativa,…). Esta información se trata en este sistema como información contextual,
“aprovechándose” la misma de cara a mejorar el seguimiento de avión en observación.
6-4 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.
Explotando las características de las redes neuronales en cuanto a su facilidad para
incorporar nueva información de entrada, para tratar de obtener una solución al problema
planteado (en este caso una estimación de estado, posición y velocidad del avión bajo
seguimiento), se incorporan estos datos contextuales como información de entrada al sistema.
Al igual que se reseñó anteriormente, el ejemplo estudiado y descrito en esta tesis, relativo al
seguimiento de aviones en combate aéreo, y también en lo relativo a la incorporación de
información contextual, es un ejemplo de aplicación de la solución propuesta, siendo la misma
fácilmente generalizable y extensible a otros casos.
Esta solución puede ser aplicada a otros ejemplos donde la información contextual pudiera
determinar de forma evidente el movimiento del objetivo bajo seguimiento.
Así, en relación con la información contextual anteriormente reseñada, se pueden considerar
como casos de aplicación:
Aviones a muy baja cota, donde la trayectoria a seguir viene claramente determinada
por la topografía del terreno.
Sistemas de vigilancia aérea, donde el objetivo bajo vigilancia/seguimiento tratará de
explotar en su propio beneficio la topografía del terreno y elementos presentes en el
mismo (carreteras, poblaciones, líneas eléctricas, …).
Aviones en aproximación a aeropuertos, donde la situación de radioayudas, otros
aviones,… determinará el movimiento seguido por un avión.
En los casos de prueba descritos durante la tesis se detalla que el sistema propuesto, haciendo
uso y explotando las características anteriormente descritas, correctamente entrenado, alcanza
unos resultados en la estimación que mejora los obtenidos por algoritmos clásicos, y,
permite, lo que es más importante, obtener solución a situaciones que no podrían ser
tratadas por algoritmos clásicos.
Se detalla el proceso de entrenamiento y validación del sistema, describiéndose posibles
conjuntos trayectorias a utilizar en el proceso anterior. En base a este proceso, se alcanza la
optimización del sistema en determinados parámetros (número de neuronas en la capa
oculta y funciones de transferencia) para llegar a un resultado lo más preciso posible.
En base a lo anteriormente expuesto y descrito, se han alcanzado los objetivos marcados
en las hipótesis 1 y 2 contempladas como punto de partida en la introducción a esta tesis,
sobre propuesta de un modelo de sistema de seguimiento basado en redes neuronales alcanzando resultados
en la estimación de trayectorias a partir de los datos radar con una calidad de la misma similar a los algoritmos
de seguimiento ya definidos en la actualidad e incorporación al algoritmo de seguimiento de nueva información
basada en el contexto en el cual se está desarrollando el movimiento del avión considerado que pudiera ser útil
en la estimación de estado del avión considerado, mejorando de forma notable la calidad de los resultados
obtenidos en el seguimiento.
Los resultados aquí presentados demuestran la adaptación del sistema a distintas curvas a
estimar, alcanzándose en todo momento los objetivos planteados.
Por último, destacar que la arquitectura del sistema, en lo relativo a la definición de las redes
neuronales a utilizar, queda en determinados aspectos condicionada por el movimiento a
estimar. Se deben ajustar ciertos parámetros en el sistema neuronal en función de la aplicación
6-5 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.
que se pretenda hacer del mismo, como es normal y habitual en el uso de herramientas
diseñadas para entornos de incertidumbre.
El estudio detallado presentado cumplimenta lo requerido en la hipótesis 3, según la cual era
esperado que la información disponible determinará la red neuronal implementada.
Por último, se debe destacar dentro de estas conclusiones el excelente comportamiento del
sistema en lo relativo a su coste computacional. En las pruebas realizadas queda
demostrado un comportamiento excepcionalmente estable en relación al tiempo de
computación empleado en la estimación de trayectorias, con independencia de la
arquitectura definida. Igualmente y relacionado con este aspecto, debido a la perfecta
adaptación de las redes neuronales a una computación paralela, la explotación de este tipo de
sistemas en ordenadores actuales, donde es común disponer de varios núcleos, mejora de
forma notable las necesidades del mismo en cuanto al tiempo de computación necesario.
Las conclusiones obtenidas convierten la solución presentada en esta tesis como una
alternativa a considerar seriamente para su aplicación en este tipo de sistemas, diseñados como
sistemas en tiempo real, donde los requisitos en cuanto a las necesidades de tiempo de
computación están perfectamente acotados.
6.2 Líneas y trabajos futuros.
La solución presentada en esta tesis, como ya se ha comentado anteriormente, debe
considerarse como una propuesta inicial, aplicada a un caso concreto, con un amplio campo de
aplicación sobre el cual sería posible su implementación.
Se proponen como líneas de trabajo futuras estudiar la posible aplicación de este sistema a
otros casos, como los expuestos en el punto anterior:
Aviones a muy baja cota, donde la trayectoria a seguir viene claramente determinada
por la topografía del terreno.
Sistemas de vigilancia aérea, donde el objetivo bajo vigilancia/seguimiento tratará de
explotar en su propio beneficio la topografía del terreno y elementos presentes en el
mismo (carreteras, poblaciones, líneas eléctricas, …).
Aviones en aproximación a aeropuertos, donde la situación de radioayudas, otros
aviones,… determinará el movimiento seguido por un avión.
Un campo de investigación y futuro desarrollo que queda abierto es el estudio y
parametrización de la información contextual a incorporar al sistema, para tratar de obtener el
mejor comportamiento posible del sistema. Parece evidente que la forma en la que se presente
esta información a la red neuronal, condicionará en gran forma la capacidad de adaptación de
la misma para tratar de obtener la mejor estimación posible.
Por otro lado, sería interesante considerar un posible funcionamiento integrado de la solución
aquí propuesta, basada íntegramente en un enfoque basado en redes neuronales, con
algoritmos clásicos. En lugar de que la red neuronal actúe en apoyo, como en trabajos previos
que marcan un enfoque clásico[Amoozegar95][Takaba96][Vaidehi99], en el caso de la línea que aquí se
propone se trataría de enfocar el problema en sentido contrario: un algoritmo clásico, cuya
6-6 CAPÍTULO 6. Conclusiones y trabajo futuro.
solución se podría considerar como otras entradas a considerar en el propio sistema propuesto
en este estudio.
Para ello, y como una medida facilitadora de lo anterior, se tratará de utilizar técnicas que la
inteligencia artificial pone actualmente a nuestra disposición, apoyadas por el actual desarrollo
en el hardware que permitan la paralelización en las necesidades de computación.
Como conclusión de las líneas anteriormente propuesta, se trata de conseguir sistemas lo más
adaptativos posibles que permitan incorporar y explotar toda la información posible en
beneficio de una mejora en el seguimiento.
Anexo A
Resultados de los casos de prueba para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
"Observando la paja sabrás como ha sido la espiga."
Homero, La Odisea.
RESUMEN: Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos casos de prueba realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal a implementar en lo relativo a la determinación del número de neuronas a implementar en la capa oculta.
A.1 Casos de prueba. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
A.1 Casos de prueba.
La variable de Epochs, relativa al número de iteaciones a considerar en el aprendizaje, se especifica como 2000 (determinada empíricamente en el anterior apartado).
El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de Red Neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.
Las pruebas a realizar se realizarán sobre las siguientes trayectorias preestablecidas (figura 4.2):
• Line • Astroid • Freeth • Hypocycloid
A‐2 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
• Nephroid
Se realizan las pruebas detalladas a continuación:
i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line, astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).
ii. Para cada prueba se variará el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1.30].
iii. Dada la dependencia en los resultados obtenidos de los errores aleatorios introducidos, de la configuración de pesos inicial, también aleatoria, y de la posibilidad de que la red neuronal caiga en su entrenamiento mínimos locales, que pudieran distorsionar los resultados obtenidos, las pruebas anteriores se repetirán tres veces, reentrenado la red en cada una de estas iteraciones. Por lo tanto, cada prueba, para un tipo de trayectoria previamente definido (i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:
a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).
b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores. c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,
incorporando error aleatorio en todos sus datos. d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como
datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior. e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones
obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba, variando el número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30].
iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X como la Y.
Como criterios estadísticos a considerar en la valoración, tal y como se describe en el punto 5.1 de este capítulo se consideran las siguientes funciones:
• MSE: Error medio cuadrático (calculado de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculado como la media de los MSE obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
• MIN: Mínimo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación. • MAX: Máximo MSE obtenido para las 20 trayectorias consideradas en la validación. • MAE: Error medio absoluto (calculado de forma independiente para la coordenada X y
la coordenada Y) calculado como la media de los MAE obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
• DESVTIP: Desviación típica (calculada de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculada como la media de las DESVRIP obtenidas para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
• CV: Coeficiente de variabilidad (calculado de forma independiente para la coordenada X y la coordenada Y) calculado como la media de los CV obtenidos para cada una de las veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) en la validación.
• MSET: Error medio en la estimación calculado como la media de la distancia euclídea entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por trayectoria) de la validación.
A‐3 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Como dato a considerar y validar para la solución propuesta, se mide el tiempo de computación, TCOMP, utilizado en la estimación de las 20 trayectorias que componen cada caso de validación. Este dato es especialmente interesante, y determinante, debiendo ser tenido en cuenta, en sistemas de tiempo real como es el caso tratado en este trabajo, donde el tiempo de cómputo debe adaptarse a los requerimientos determinados para cada sistema.
Como resultado de todo lo anterior, las conclusiones finales se obtendrán sobre estimaciones obtenidas en tres casos de prueba, a ejecutar sobre cinco trayectorias distintas, variando en número de neuronas en la capa oculta en el intervalo [1-30], con veinte trayectorias para cada número de neuronas considerado, con 100 datos por trayectoria. Esto quiere decir que, después de estas pruebas se habrán realizado un total de 900.000 estimaciones, valor más que suficiente para enjuiciar el comportamiento global del sistema propuesto.
Dado que el entrenamiento de la red neuronal siempre se realizaría off-line, el tiempo de computación para este entrenamiento no resulta de interés, no afectando a su ejecución como sistema de tiempo real.
A‐4 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
( i )
( ii ) Figura AP1.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Line
(con 5 ‐i‐ y 9 neuronas –ii‐).
A‐5 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
AP1.1 Line Caso de prueba 1.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,006502363 0,01009052 0,00661495 0,00557656 0,00465376 0,00552561 0,00560987 0,00512104 0,00679876 0,00558756 MIN 0,005763572 0,00880397 0,00548565 0,00443624 0,00383608 0,00455572 0,00434308 0,00443996 0,00402776 0,00456357 MAX 0,007391482 0,01211889 0,00796501 0,00676182 0,00588083 0,0070184 0,00700346 0,00600415 0,03013423 0,00677871 MAE 0,050992485 0,07892476 0,04908329 0,03974066 0,0338402 0,03863706 0,03994132 0,03643888 0,04028808 0,03934227 DESVTÍP 0,001448019 0,00352187 0,00178535 0,00141118 0,00093815 0,00144046 0,00143046 0,00118278 0,00551094 0,00145957 CV 0,745986554 0,75038814 0,85973042 0,93737735 0,89752461 0,97400756 0,94044458 0,94361168 1,13861321 0,95899961 TCOMP 1,040175427 0,48691305 0,49252574 0,53599965 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,52637934 0,49806994
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00584782 0,00557309 0,00569523 0,00597385 0,00628407 0,00596929 0,00617354 0,00586627 0,00616298 0,00968562 MIN 0,00425208 0,00486496 0,00407765 0,0046008 0,0049137 0,0045985 0,00401891 0,00390641 0,0045795 0,00448116 MAX 0,00740258 0,00671473 0,00674707 0,00742936 0,00884466 0,00702985 0,00873219 0,00749986 0,00859778 0,05781998 MAE 0,03967864 0,03956887 0,04005265 0,04155518 0,04155082 0,04108888 0,04258683 0,04055131 0,04159575 0,0491434 DESVTÍP 0,00173539 0,00141543 0,00152198 0,00171912 0,0021433 0,00174077 0,00189483 0,0016757 0,00194899 0,01792143 CV 1,03071658 0,9455907 0,96104862 0,98133883 1,07314162 1,00643226 0,99565389 0,99510945 1,04033437 1,32431 TCOMP 0,53084162 0,51238552 0,50126752 0,5164454 0,50544087 0,49913688 0,58888112 0,5648176 0,55731376 0,52231176
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00626934 0,00603836 0,00588243 0,01179031 0,0061541 0,00627415 0,00659975 0,00769793 0,00631067 0,00686079 MIN 0,00463733 0,00450722 0,00452177 0,00448379 0,00389718 0,004307 0,00460643 0,00535585 0,00531253 0,00464441 MAX 0,01309239 0,00788462 0,00743989 0,07309058 0,00992014 0,00858003 0,01331746 0,01410296 0,00761248 0,00896367 MAE 0,04159203 0,04210786 0,04033883 0,05241522 0,04109953 0,04133829 0,04304594 0,04688274 0,04258794 0,04581959 DESVTÍP 0,00231518 0,00174158 0,00169782 0,03122977 0,00200614 0,00215941 0,00259904 0,00376289 0,00201237 0,00246893 CV 1,04548824 0,97999747 1,01408399 1,45398191 1,05807065 1,07917855 1,08125123 1,22288294 1,04672646 1,06041204 TCOMP 1,040175427 0,48691305 0,49252574 0,53599965 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,52637934 0,49806994
LineTabla AP1.1. Resultados trayectoria - componente X– caso de prueba 1.
A‐6 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 MSE 0,01022834 0,00919017 0,00692176 0,00555205 0,0054253 0,00564612 0,0055281 0,00583361 0,00574408 0,00593887 MIN 0,009113126 0,00808672 0,00606076 0,00403872 0,00344719 0,00400679 0,00416182 0,00479082 0,00462454 0,00478225 MAX 0,011586138 0,01048278 0,00795314 0,00709882 0,00796241 0,00672861 0,00679628 0,00699851 0,007309 0,0075118 MAE 0,080370706 0,07107467 0,04984413 0,03964892 0,03858363 0,04111322 0,0397384 0,04069401 0,04098247 0,04161868 DESVTÍP 0,003555344 0,00304146 0,00210302 0,00141562 0,00138501 0,0013762 0,00136938 0,00160816 0,00149722 0,00166127 CV 0,741812194 0,77365545 0,91730696 0,92633842 0,92967255 0,89285095 0,91643275 0,98130036 0,93363457 0,96839214 TCOMP 1,040175427 0,48691305 0,49252574 0,53599965 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,52637934 0,49806994
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00569895 0,0058979 0,00601542 0,00586684 0,00607544 0,00605148 0,00581894 0,00601056 0,00647412 0,00583336 MIN 0,00466203 0,00495428 0,00529236 0,00466648 0,00444588 0,00459223 0,004773 0,00496437 0,00495962 0,00459388 MAX 0,00773008 0,00757562 0,00733876 0,00686787 0,00730363 0,00785134 0,00739196 0,00786959 0,00795793 0,00847307 MAE 0,04043502 0,04112979 0,04224259 0,04120726 0,04253319 0,04230168 0,04104266 0,04255006 0,04433508 0,04085709 DESVTÍP 0,00149726 0,00166302 0,00169038 0,0016164 0,00173681 0,00175471 0,00158209 0,00168667 0,00207755 0,0016221 CV 0,94441663 0,97566273 0,96538619 0,96331694 0,97476842 0,97051527 0,95537091 0,94733959 1,01273717 0,96761978 TCOMP 0,53084162 0,51238552 0,50126752 0,5164454 0,50544087 0,49913688 0,58888112 0,5648176 0,55731376 0,52231176
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00747328 0,00575769 0,00647296 0,00632199 0,00609375 0,00623481 0,00626522 0,00649808 0,00699505 0,00662216 MIN 0,00524042 0,00429723 0,00485978 0,00521136 0,00495671 0,00453717 0,00493902 0,0046741 0,0049415 0,00553216 MAX 0,01074431 0,00688805 0,00861633 0,0074891 0,0070651 0,00774538 0,00787876 0,00846485 0,01248953 0,00953435 MAE 0,04792417 0,04087414 0,04365864 0,04403812 0,04278589 0,04237337 0,04343089 0,04498911 0,04576745 0,04507659 DESVTÍP 0,00319128 0,00150981 0,00214182 0,00189706 0,00173195 0,00196506 0,00190081 0,0020551 0,00275111 0,00220929 CV 1,13204682 0,94595064 1,04178642 0,98316137 0,96614314 1,02726901 0,9905184 0,99246956 1,0928462 1,02406874 TCOMP 0,53123387 0,6072659 0,73698903 0,66347057 0,66803941 0,54458178 0,53864735 0,55150778 0,55488204 0,65662359
Tabla lt r m c a
AP1.2. Resu ados trayecto ia Line - co ponente Y – aso de prueb 1.
A‐7 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,012120217 0,01364836 0,00957436 0,00786914 0,00714782 0,00790007 0,00787594 0,00776248 0,00890043 0,00815421
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00816548 0,00811447 0,00828377 0,00837298 0,00874074 0,00850017 0,00848367 0,0083988 0,00893848 0,0113066
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00975472 0,00834343 0,00874655 0,0133783 0,00866064 0,00884521 0,00909998 0,01007389 0,009421 0,00953538
Tabla AP1.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1.
Figura AP1.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1 (datos tabla AP1.3).
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐8 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Figura AP1.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 1.
0,0
1,2
0,2
0,4
Tie
mp
o sg
.
0,6
0,8
1,0
1 2 3 4 5 6 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
A‐9 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Figura AP1.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line - caso de prueba 1.
Figura AP1.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 1.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,000,010,020,030,040,050,060,070,08
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐10 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
AP1.2 Line Caso de prueba 2.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,009053592 0,00880802 0,00621597 0,00588291 0,00527698 0,00550864 0,00568992 0,00519471 0,00573591 0,00551939 MIN 0,007715547 0,00703995 0,00508132 0,00493332 0,00432895 0,00445741 0,00489368 0,00384555 0,00459665 0,00468976 MAX 0,010357844 0,01000095 0,00699653 0,0079996 0,0064672 0,00672251 0,0066413 0,00651816 0,0069748 0,00638478 MAE 0,068847511 0,06755744 0,04612298 0,04272023 0,03766072 0,03940917 0,04109933 0,03641783 0,04014484 0,0394333 DESVTÍP 0,003123679 0,00287845 0,00157613 0,00150562 0,00125309 0,00136433 0,00141912 0,00128178 0,00155826 0,00136819 CV 0,806859628 0,78976598 0,85835251 0,89968825 0,93463959 0,92788234 0,91108481 0,96744259 0,9700135 0,93235313 TCOMP 1,196916527 1,05831343 0,63146152 0,52449467 0,52372435 0,70357873 0,6879543 0,6185553 0,69966553 0,5612148
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0055 0787625 0,00546208 9839 0,00556901 0,00562923 0,00585462 0,00590747 0,00627127 0,00672858 0,00570957 0,0MIN 0,00493318 0,00477395 0,00450711 0,00463526 0,00480016 0,00495303 0,00522863 0,00473232 0,00523888 0,00428847 MAX 0,00633524 0,00684525 0,00681451 0,00765918 0,00764408 0,01154395 0,01378211 0,00646706 0,01559916 0,00647759 MAE 0,03975002 0,0396412 0,03813972 0,0414009 0,04167911 0,04266619 0,04439231 0,04023361 0,04579611 0,03843978 DESVTÍP 0,00142204 0,00139962 0,00159908 0,00158507 0,001633 0,00209795 0,00261877 0,00150373 0,0042416 0,00138934 CV 0,94606439 0,94373929 1,03398011 0,95167926 0,95305259 1,00884981 1,06561148 0,96126372 1,31621398 0,96205845 TCOMP 0,52526459 0,56303139 0,56716503 0,5912792 0,56392531 0,55197054 0,57467009 0,52828063 0,53937066 0,5367728
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00604662 0,0064935 0,00621383 0,00666306 0,00662705 0,00709241 0,00681943 0,00692708 0,00756655 0,00768121 MIN 0,00498481 0,00486662 0,00487143 0,00493783 0,00528488 0,00505752 0,00479589 0,00491682 0,0058513 0,00555201 MAX 0,00710853 0,00868926 0,00917287 0,00882652 0,00851299 0,00910864 0,01089011 0,01090443 0,01292731 0,01179471 MAE 0,04144529 0,04233009 0,04232644 0,04291902 0,04421529 0,04567526 0,04527204 0,04492671 0,04723576 0,04806809 DESVTÍP 0,00179999 0,00229549 0,00196231 0,00247691 0,00230639 0,00280392 0,00252587 0,00275133 0,00342812 0,0034676 CV 769367 1,01501508 1,10817597 1,01824144 1,13194664 1,06430557 1,13022172 1,0689664 1,1061577 1,18657458 1,18TCOM 0,57489418 0,55347025 0,54223313 0,61291019 1,02230041 0,76129203 0,5295202 0,60685217 0,53450723 0,68840328 P
Tabla AP1.4. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 2.
A‐11 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,009444044 0,00928276 0,00591861 0,00566586 0,00562734 0,00570478 0,00602793 0,00565804 0,00606151 0,00566635 MIN 0,00832281 0,00807778 0,00474181 0,00457753 0,00445028 0,00394668 0,00508847 0,00424166 0,0050355 0,00457394 MAX 0,011235162 0,01160167 0,00685085 0,00708756 0,00651781 0,00783198 0,00723445 0,00660234 0,00783494 0,00870917 MAE 0,07220942 0,07156116 0,0424663 0,04140119 0,04017202 0,04081563 0,04286543 0,04034882 0,04364151 0,03959363 DESVTÍP 0,003331433 0,0031467 0,0015617 0,00136931 0,001429 0,00149635 0,00166296 0,0014517 0,00164195 0,00155313 CV 0,797488043 0,77953277 0,92368523 0,88777659 0,93484857 0,92456661 0,93962603 0,93623187 0,91200962 0,97027401 TCOMP 1,196916527 1,05831343 0,63146152 0,52449467 0,52372435 0,70357873 0,6879543 0,6185553 0,69966553 0,5612148
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00585892 0,00580316 0,00584463 0,00631643 0,00589533 0,00620335 0,00656354 0,00615441 0,00582454 0,00571993 MIN 0,00443157 0,00479423 0,00501392 0,0047225 0,00480144 0,00463734 0,00538554 0,00411151 0,00434922 0,00476452 MAX 0,00825244 0,00676023 0,006843 0,01088032 0,0065627 0,00915516 0,00967397 0,00714993 0,00756092 0,00687506 MAE 0,04113889 0,04086342 0,04049696 0,04239879 0,04148916 0,04287602 0,04524025 0,04229279 0,04120876 0,04024608 DESVTÍP 0,00163136 0,00155969 0,00164307 0,00217946 0,00161426 0,00189485 0,00213414 0,00185628 0,00156639 0,00152232 CV 0,96423004 0,96106338 0,9913962 1,03359039 0,96214452 0,9916381 0,99665586 1,01037088 0,94965554 0,96306484 TCOMP 0,52526459 0,56303139 0,56716503 0,5912792 0,56392531 0,55197054 0,57467009 0,52828063 0,53937066 0,5367728
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00590541 0,00593848 0,00617524 0,00589861 0,01608617 0,00558906 0,00647208 0,0065418 0,00619361 0,00645386 MIN 0,00482499 0,00490905 0,00517397 0,00518221 0,00452576 0,00429306 0,00501937 0,00478834 0,00471039 0,00516891 MAX 0,00696776 0,00706246 0,00733679 0,00706409 0,12937449 0,00701995 0,00882331 0,01209028 0,00815929 0,00789874 MAE 0,04171202 0,04228477 0,04367663 0,04133445 0,05311405 0,03994079 0,04542146 0,04439773 0,0427958 0,0443554 DESVTÍP 0,00160171 0,00159851 0,0017578 0,00162698 0,10026363 0,00140716 0,00199024 0,00230803 0,0018708 0,0020375 CV 0,95761402 0,9395517 0,94972134 0,97123311 1,70436523 0,93212484 0,96448959 1,0097923 0,99654967 1,00923334 TCOMP 0,57489418 0,55347025 0,54223313 0,61291019 1,02230041 0,76129203 0,5295202 0,60685217 0,53450723 0,68840328
Tabla AP1.5. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 2.
A‐12 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Nº 3 4 Neuronas 1 2 5 6 7 8 9 10 MSET 0,013082718 0,01279652 0,00858302 0,00816766 0,0077145 0,0079303 0,00828922 0,00768105 0,00834521 0,0079102
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00810363 0,00804305 0,00811467 0,00861243 0,00834585 0,00882102 0,00939967 0,00839499 0,00979594 0,00790898
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00845196 0,0087995 0,00876044 0,00889887 0,01739778 0,00902994 0,00940173 0,00952784 0,00977821 0,01003261
Tabla AP1.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 2.
a r T ió a d a 1.
0,000
Figur AP1.6. Erro medio (MSE ) en estimac n Trayectori Line - caso e prueba 2 (d tos tabla AP 6).
0,002
0,004
0,006
0,010
014
016
0,018
0,020
1 1 4 2 7ro o
0,008MSE
XY 0,012
0,
0,
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 1 15 16 17 18 19 20 21 22 23 4 25 26 2 28 29 30Nº de neu nas en la capa culta
MSE
A‐13 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Figura AP1.7. Tie p O a o s .
mpo de com utación (TC MP) en estim ción Trayect ria Line - ca o de prueba 2
0,0
0,2
1,4
1 2 9 1 9 2 9
de l
0,4
0,6emp
0,8
.
1,0
1,2
Ti
osg
T utación
3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 6 17 18 1 20 21 22 23 24 25 6 27 28 2 30Nº neuronas en a capa oculta
iempo de comp
A‐14 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Figura AP1.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Line - caso de prueba 2.
Figura AP1.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Line - caso de prueba 2.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐15 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
AP1.3 Line Caso de pr
onas
ueba 3.
NºNeur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,005307312 0,00921184 0,00575964 0,00557014 0,00539901 0,00550984 0,00548316 0,00545869 0,00505156 0,00540806 MIN 0,003982757 0,00794173 0,0046662 0,00461384 0,00420536 0,00453368 0,00439525 0,00459243 0,0039326 0,00446814 MAX 0,006684938 0,01146143 0,00634613 0,00776059 0,00637907 0,00651479 0,00651488 0,00725083 0,00592994 0,00650597 MAE 0,040698802 0,0686004 0,04367116 0,03974143 0,0384114 0,03942167 0,03869156 0,03887349 0,03561348 0,03890382 DESVTÍP 0,001056262 0,00343692 0,00127084 0,0014289 0,00132621 0,00136263 0,00138882 0,00135222 0,00118182 0,0012887 CV 0,788674758 0,84930601 0,8140023 0,92797338 0,93995213 0,92870836 0,95713853 0,9389324 0,95932376 0,92154547 TCOMP 1,048171612 0,48600414 0,5024455 0,55333045 0,52726515 0,5102723 0,5125549 0,53318621 0,50815908 0,50628089
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0054701 0,00534888 0,00931872 0,00555944 0,00561061 0,00605023 0,00602139 0,00563125 0,00554535 0,00639494 MIN 0,00469598 0,00443148 0,00443642 0,0044584 0,00446682 0,00469304 0,00480649 0,00436726 0,00415318 0,0044338 MAX 0,00696929 0,00643724 0,05480829 0,00684648 0,00687506 0,00920814 0,00779671 0,00694746 0,00647403 0,00993163 MAE 0,03877676 0,03770769 0,04627639 0,03973807 0,04003267 0,04138347 0,03973069 0,03870241 0,03902852 0,04249016 DESVTÍP 0,00136824 0,00132156 0,01897119 0,00139634 0,0014245 0,00185596 0,0019384 0,00155243 0,00143251 0,00218036 CV 0,95080598 0,96060375 1,2302031 0,93126025 0,93475953 1,0100281 1,08300128 1,00726898 0,96180082 1,07018464 TCOMP 0,49565322 0,51855943 0,50877907 0,5127494 0,58186394 0,51873773 0,53033752 0,51769915 0,52527269 0,54957083
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00605502 0,0059503 0,00762435 0,00634773 0,00550934 0,006169 0,0068775 0,00812217 0,00777453 0,01032059 MIN 0,00461687 0,00463953 0,00589386 0,00514957 0,00445601 0,00474178 0,0050201 0,00518594 0,00538939 0,00575628 MAX 0,01025 0,01321851 0,01114106 0,00895489 0,00679797 0,00736995 0,01286839 0,03021148 0,01126301 0,06318402 MAE 0,0412651 0,04033365 0,04634673 0,04342172 0,03884379 0,04240816 0,04390691 0,0477722 0,0475795 0,05266993 DESVTÍP 0,00190154 0,00202185 0,00353545 0,00201685 0,00140521 0,00186045 0,0028018 0,00636835 0,00378926 0,02202 CV 1,20946241 1,24463685 1,01411482 1,00214378 1,24461998 1,01356451 0,95976545 1,0079659 1,13392205 1,20856931TCOMP 0,52202729 0,54411821 0,55569572 0,53219221 0,54153413 0,5613704 0,60677356 0,54113539 0,52532294 1,17193397
Tabla AP1.7. Resultados trayectoria Line - componente X– caso de prueba 3.
A‐16 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,009257962 0,00710936 0,00715148 0,00636532 0,00579816 0,00532185 0,00568405 0,00554667 0,00533239 0,00559268 MIN 0,008334988 0,00601983 0,00601062 0,00546539 0,00498034 0,0041178 0,00461061 0,00482917 0,00460119 0,00448234 MAX 0,010152938 0,0080936 0,00794457 0,00709292 0,0067961 0,00680376 0,00712872 0,00646533 0,0062242 0,00714738 MAE 0,071771353 0,05054005 0,05072579 0,04967986 0,04097343 0,03822406 0,04099245 0,03954161 0,03824825 0,03934246 DESVTÍP 0,003056602 0,00228198 0,00232223 0,00141302 0,00154549 0,00126927 0,00142902 0,00138914 0,00126351 0,00147115 CV 0,768342226 0,94378119 0,9486951 0,75465901 0,95473985 0,91854266 0,9120383 0,93529676 0,92463341 0,9606296 TCOMP 1,048171612 0,48600414 0,5024455 0,55333045 0,52726515 0,5102723 0,5125549 0,53318621 0,50815908 0,50628089
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00615305 0,00614566 0,00619417 0,00645914 0,0058815 0,0060983 0,00590619 0,00590711 0,00629907 0,00725894 MIN 0,0051126 0,0046926 0,00494326 0,00533008 0,00502663 0,00476432 0,00470181 0,00459582 0,00491076 0,00485642 MAX 0,00706817 0,0072118 0,0071996 0,00787904 0,00678889 0,0076661 0,00911549 0,00740148 0,0086587 0,01716832 MAE 0,04336494 0,04271651 0,04317616 0,0441539 0,04073136 0,04296248 0,04048568 0,04071178 0,04342203 0,04491386 DESVTÍP 0,00175261 0,00180417 0,00182283 0,00206588 0,00165559 0,0017295 0,00175351 0,00170291 0,00197297 0,00379409 CV 0,959106 0,99657852 1,14293362 54 0,98576253 0,97895941 1,01813292 0,99511027 0,96067187 1,00620175 1,0021134TCOMP 0,49565322 0,51855943 0,50877907 0,5127494 0,58186394 0,51873773 0,53033752 0,51769915 0,52527269 0,54957083
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00628228 0,00631903 0,00599369 0,00661799 0,00630106 0,0065695 0,0060947 0,00657677 0,0075197 0,00661658 MIN 0,00510544 0,00490904 0,00442468 0,005132 0,0052698 0,00550438 0,00519959 0,00547855 0,00493927 0,00520252 MAX 0,01116631 0,00820894 0,00710023 0,00979761 0,00800816 0,00836749 0,0075677 0,00898959 0,01163192 0,00900351 MAE 0,04331858 0,0431714 0,04191178 0,04575147 0,04379942 0,0448342 0,04271964 0,04313263 0,0474184 0,04459983 DESVTÍP 0,00201518 0,00199112 0,00170374 0,00215066 0,00189669 0,00214772 0,00174471 0,00233606 0,00337159 0,00226361 CV 0,98722819 1,02095319 0,97182354 0,99229698 0,98524021 1,02197981 0,97149157 1,09570262 1,15756986 1,04037375 TCOMP 0,52202729 0,54411821 0,55569572 0,53219221 0,54153413 0,5613704 0,60677356 0,54113539 0,52532294 1,17193397
Tabla AP1.8. Resultados trayectoria Line - componente Y – caso de prueba 3.
A‐17 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010671336 0,01163619 0,00918243 0,00845836 0,00792262 0,00766031 0,00789769 0,00778221 0,00734525 0,00777979
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00823298 0,00814737 0,01118957 0,0085222 0,0081284 0,00859037 0,00843447 0,00816119 0,00839221 0,00967406
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00872526 0,00867964 0,00969819 0,00917014 0,00836996 0,00901193 0,00918942 0,01045101 0,01081615 0,01225943
Tabla AP1.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
Figura AP1.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3 (datos tabla AP1.9).
A‐18 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
Figura AP1.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Line - caso de prueba 3.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
A‐19 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
a sv ( n n e c a
gura A o ín p de ay e
0,000
Figur AP1.12. De iación típica DESVTIP) e la estimació (X e Y) Tray ctoria Line - aso de prueb 3.
Fi P1.13. Error medio máxim (MAX) y m imo (MIN) ara cada caso número de neuronas. Tr ectoria Line - caso de pru ba 3.
0,005
0,010svia
0,015típ
i
0,020
0,
2 4 5 6 8 9 11 12 1 4 15 16 18 19 21 22 2 4 25 26 28 29
N e a
025D
eci
ónca
Desviación tipica X
Desviación típica Y
1 3 7 10 3 1 17 20 3 2 27 30º de neuronas n la capa ocult
0,05
0,06
0,07
0,00
0,01
0,02
Er 0,03ro
rM 0,04
1 2 12 5 25 28
SE
as ul
3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 29 30Nº de neuron en la capa oc ta
Error MIN X
Error MAX X
A‐20 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
AP1.4 Line Resumen.
Figura AP1.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Line (datos tablas AP1.3, AP1.6 y AP1.9)
Figura AP1.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
0,0000,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSETMIN
A‐21 ANEXO A. Apéndice 1. Resultados trayectoria Line.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 1,040175427 0,48600414 0,49252574 0,52449467 0,49009848 0,48583436 0,49780939 0,48993923 0,50815908 0,49806994
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TCOMPMIN 0,49565322 0,51238552 0,50126752 0,5127494 0,50544087 0,49913688 0,53033752 0,51769915 0,52527269 0,52231176
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TCOMPMIN 0,52202729 0,54411821 0,54223313 0,53219221 0,54153413 0,54458178 0,5295202 0,54113539 0,52532294 0,65662359
T AP1.10. po de co tación mín (TCOMPMIN) en las tres simulacion
Figura AP1.16. Tiempo de computación
TCOMPMIN
abla Tiem mpu imo es.
mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP1.10).
0,0
0,2
0,6
0,8
2
1 1 5 2 2N e a
0,4
Tie
mp
o sg
.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 2 23 24 25 26 27 28 9 30º de neuronas n la capa ocult
1,0
1,
A‐22 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
A‐23 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
( i )
( ii ) Figura AP2.1. Ejemplos de seguimiento trayectoria Astroid
(con 8 ‐i‐ y 14 neuronas –ii‐).
A‐24 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
AP2.1 Astroid Caso de prueba 1.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,005766903 0,00637802 0,00628392 0,00621919 0,00638966 0,00603874 0,00504004 0,00465437 0,00524652 0,00539334 MIN 0,004808174 0,00553861 0,00550126 0,00547051 0,00456358 0,00526755 0,00337123 0,00346513 0,0038228 0,0033801 MAX 0,006476214 0,00747193 0,00735554 0,00771038 0,01014878 0,00802294 0,00655701 0,00689227 0,00808541 0,00759976 MAE 0,044437403 0,04977355 0,04863892 0,04767932 0,04287157 0,04504142 0,03413304 0,03201681 0,03542289 0,03475278 DESVTÍP 0,001213062 0,00141916 0,00141711 0,00144484 0,00229905 0,00148917 0,00130435 0,00108885 0,00145201 0,00170047 CV 0,781462456 0,75565028 0,77259033 0,78835447 1,01767076 0,83967031 1,02712268 0,99747049 1,03035025 1,11080969 TCOMP 0,737420182 0,5767363 0,7951736 0,57310068 0,60954363 0,57926001 0,49482698 0,52177079 0,54985084 0,5319892
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00608799 0,00483943 0,00541102 0,00633366 0,00567625 0,00668922 0,00449669 0,00652628 0,00688784 0,00626014 MIN 0,00402557 0,00389301 0,00412745 0,0039885 0,00354706 0,00385536 0,00381646 0,00374688 0,00419538 0,00392187 MAX 0,01167792 0,00635457 0,01106704 0,01033006 0,01087103 0,01206043 0,0054744 0,01903365 0,0116252 0,00991672 MAE 0,03790656 0,03291679 0,03447444 0,03678603 0,03485116 0,03755476 0,03154462 0,0369933 0,03890711 0,03647888 DESVTÍP 0,00249368 0,00118932 0,00179087 0,00290242 0,00213619 0,00350832 0,00095113 0,00421133 0,00353565 0,00261465 CV 1,14126316 1,02024232 1,12849895 1,27854308 1,18574588 1,32123731 0,9656127 1,23061384 1,33702949 1,31824975 TCOMP 0,51663748 0,49823041 0,50806102 0,52180037 0,53669743 0,51160101 0,5172526 0,5300486 0,50592714 0,5357087
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,0066037 0,00565149 0,01509888 0,00551722 0,00544682 0,00608207 0,00561831 0,01337174 0,00653454 0,007077 MIN 0,00351607 0,00370287 0,00362012 0,00348801 0,0040115 0,00380443 0,00445286 0,00399349 0,00408711 0,00318578 MAX 0,01725745 0,00959359 0,07329359 0,00874168 0,01074593 0,01417598 0,00664843 0,08867867 0,01879182 0,02790078 MAE 0,03803396 0,03597605 0,04587145 0,03578136 0,03566748 0,03724941 0,03741141 0,04854075 0,04026001 0,0379088 DESVTÍP 0,00355591 0,0019448 0,06292829 0,00175051 0,00177016 0,00267243 0,00164325 0,04772074 0,00330952 0,00576005 CV 1,27102795 1,12474744 1,86387277 1,10105492 1,06931453 1,17382544 1,06961564 1,79397725 1,14478584 1,34758062 TCOMP 0,54185425 0,53062969 0,53154305 0,53774817 0,57857397 0,52592307 0,52276115 0,54410483 0,66020775 0,53234255
Tabla AP2.1. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 1.
A‐25 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 MSE 0,006248757 0,0061626 0,00584016 0,00465957 0,00518813 0,00474507 0,00479429 0,00425905 0,00439924 0,00869873 MIN 0,005552564 0,00560099 0,00521546 0,00400678 0,00407299 0,00401593 0,00409798 0,00358401 0,00352757 0,00373109 MAX 0,006854559 0,00658826 0,00652743 0,00556959 0,00629928 0,00617609 0,00578567 0,00487286 0,00524347 0,05635824 MAE 0,048528925 0,0480367 0,04546329 0,03256912 0,03895715 0,03321652 0,03439565 0,03127759 0,03109909 0,03708288 DESVTÍP 0,00138196 0,00132557 0,00119468 0,00102315 0,00106944 0,00106353 0,00102068 0,00076102 0,00088989 0,02089732 CV 0,766075349 0,75836818 0,76143669 0,97531074 0,8334427 0,96961781 0,92468216 0,87815488 0,95481013 1,41755955 TCOMP 0,737420182 0,5767363 0,7951736 0,57310068 0,60954363 0,57926001 0,49482698 0,52177079 0,54985084 0,5319892
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00536403 0,00459018 0,00468134 0,00459951 0,00481847 0,00447337 0,00463889 0,00486626 0,00535536 0,00481327 MIN 0,00377819 0,00392173 0,00379257 0,00366379 0,00362653 0,0034235 0,0034315 0,00379143 0,00399238 0,00361757 MAX 0,01348121 0,00545182 0,00577145 0,0055209 0,00605418 0,00551031 0,00585838 0,00602883 0,00893353 0,00979906 MAE 0,03349157 0,03319501 0,03245001 0,0322674 0,03277785 0,03055464 0,03212456 0,0330173 0,03581484 0,03327759 DESVTÍP 0,00205204 0,00091856 0,00105432 0,00098978 0,00116239 0,00100019 0,00105177 0,00118736 0,00158558 0,00123881 CV 1,12970552 0,90820974 0,99187461 0,96864077 1,02726309 1,01817489 0,99020278 1,03516692 1,03909147 0,97010913 TCOMP 0,51663748 0,49823041 0,50806102 0,52180037 0,53669743 0,51160101 0,5172526 0,5300486 0,50592714 0,5357087
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00502374 0,00502901 0,00541214 0,00507545 0,00523038 0,0052637 0,00601569 0,00520555 0,00550598 0,01670745 MIN 0,00402863 0,00364563 0,00423018 0,00440561 0,00416923 0,00396024 0,00397949 0,00418551 0,00424929 0,00446143 MAX 0,00623621 0,00644768 0,00674067 0,00616094 0,00611605 0,00709337 0,01259051 0,00709938 0,00713609 0,04960004 MAE 0,03421862 0,03467259 0,03692824 0,03553095 0,03608972 0,03616269 0,03872218 0,03700222 0,03705552 0,05922298 DESVTÍP 0,00125616 0,00124831 0,00146485 0,0012117 0,00132445 0,0013946 0,00229121 0,00125511 0,0015672 0,04845786 CV 1,02652946 0,99745745 1,02172501 0,9714145 1,0021014 1,00013409 1,090707 0,9387951 1,04272686 1,89127065 TCOMP 0,54185425 0,53062969 0,53154305 0,53774817 0,57857397 0,52592307 0,52276115 0,54410483 0,66020775 0,53234255
Tabla A d a o – eb
P2.2. Resulta os trayectori Astroid - c mponente Y caso de pru a 1.
A‐26 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,008503184 0,00886886 0,00857877 0,00777109 0,0082307 0,00767998 0,00695609 0,00630893 0,00684684 0,01023504
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00811397 0,00667007 0,00715501 0,00782756 0,00744563 0,00804715 0,00646061 0,00814081 0,0087248 0,00789664
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,0082974 0,00756507 0,01603956 0,00749666 0,00755147 0,00804351 0,00823128 0,01434925 0,00854494 0,0181445
Tabla AP2.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.
Figura AP2.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1 (datos tabla AP2.3).
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐27 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Figura AP2.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.
0,0
0,1
0,8
0,9
0,2
0,3
0,4
0,7
1 2 3 4 5 6 9 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
0,5
0,6
Tiempo de computación
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2
A‐28 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Figura AP2.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.
Figura AP2.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 1.
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐29 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
AP2.2 Astroid Caso de prueba 2.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,005967802 0,0061537 0,00612346 0,00569515 0,00524084 0,00562511 0,00601321 0,00475308 0,00483413 0,00480101 MIN 0,005073335 0,00509935 0,00485501 0,00443754 0,00397855 0,00449367 0,00487961 0,00405573 0,00360351 0,00379827 MAX 0,006709569 0,00860415 0,0072844 0,00902242 0,00756422 0,00784341 0,00902971 0,00607659 0,00738683 0,0069044 MAE 0,046592694 0,04753854 0,0470997 0,04009757 0,03797695 0,04011537 0,04142047 0,03475363 0,03490763 0,03339937 DESVTÍP 0,001242384 0,00139064 0,00137829 0,00160341 0,00122297 0,00146393 0,00184927 0,00096187 0,00105737 0,00112023 CV 0,753262846 0,77136221 0,78416758 0,93713266 0,89612076 0,92636886 0,98404611 0,88619042 0,89888599 0,97804564 TCOMP 1,21272979 0,58625733 0,570765 0,58190082 0,53743655 0,57550363 1,23061899 0,5843994 0,49602642 0,51374178
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,004 566899 0,00628766 53546 0,0075401 0,00573606 0,00507343 0,00489635 0,00515173 0,00472333 0,01933246 0,00MIN 0,00345643 0,00376072 0,00423282 0,0034591 0,00403463 0,00409511 0,00353076 0,00448623 0,00391177 0,00429559 MAX 0,00696905 0,01577446 0,02199411 0,00963597 0,00908316 0,00850914 0,00795192 0,08966576 0,01016315 0,0149839 MAE 0,03157941 0,03980494 0,03479556 0,03229052 0,03316553 0,03440018 0,03145551 0,06447499 0,03540071 0,0362641 DESVTÍP 0,00101554 0,00548592 0,00323881 0,00161525 0,00128141 0,00145545 0,00122922 0,09243294 0,0020516 0,00320392 CV 0,96995451 1,35746512 1,13468003 1,11614695 1,01961733 1,05042535 1,04980919 1,88448598 1,15325297 1,27114618 TCOMP 0,51537198 0,53920452 0,51917212 0,75935752 0,50970378 0,89973871 0,50182308 0,52110056 0,52339693 0,53267199
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00487984 0,00688197 0,00518307 0,00560158 0,00505069 0,00657517 0,006197 0,00790948 0,00759564 0,00673254 MIN 0,00379553 0,00361691 0,00375912 0,00399102 0,00374081 0,00335373 0,00439289 0,00382904 0,0045913 0,00419401 MAX 0,00627333 0,0288997 0,00689338 0,0110668 0,00833682 0,01457337 0,01090277 0,05435399 0,01515458 0,02365483 MAE 0,03377468 0,0379961 0,03583779 0,03736843 0,03361094 0,03811792 0,04054315 0,04131299 0,04295388 0,04021995 DESVTÍP 0,0011681 0,00579198 0,00133561 0,00181267 0,00137595 0,00335103 0,00225815 0,01484388 0,004521 0,00432984 CV 0,99152677 1,24102635 0,98514868 1,03262064 1,06105587 1,26231111 1,07082785 1,18068926 1,32117873 1,14814239 TCOMP 0,58120668 0,52370044 1,04614025 0,5920864 0,52404731 0,50669219 0,51218047 0,69746398 0,52835965 0,62162969
Tabla AP2.4. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 2.
A‐30 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,006046619 0,00583135 0,00566656 0,00492528 0,00520752 0,00440005 0,00461438 0,00437707 0,00433707 0,00455538 MIN 0,005126966 0,0052036 0,00516144 0,0042359 0,00455266 0,00355361 0,00409517 0,0033773 0,00316905 0,00380969 MAX 0,007024963 0,00717047 0,00634915 0,00559211 0,00572978 0,00534806 0,00542818 0,00617219 0,00482712 0,00559163 MAE 0,046977071 0,04609124 0,04392638 0,03557906 0,04066574 0,0308325 0,03218821 0,03013108 0,03094402 0,03182171 DESVTÍP 0,001302336 0,00113757 0,00114488 0,00105947 0,00094148 0,00091219 0,00100534 0,000944 0,0008475 0,00098675 CV 0,763275198 0,7278502 0,7688325 0,90941635 0,75484208 0,96776042 0,97996943 1,00017353 0,93486724 0,97492199 TCOMP 1,21272979 0,58625733 0,570765 0,58190082 0,53743655 0,57550363 1,23061899 0,5843994 0,49602642 0,51374178
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00482713 0,00449418 0,0046972 0,00456362 0,00478355 0,00440265 0,00503668 0,00528662 0,00507487 0,00496453 MIN 0,00357298 0,00367008 0,00363693 0,00373293 0,00412471 0,00347669 0,00419562 0,00411653 0,00414338 0,00344987 MAX 0,00834196 0,00562887 0,00852897 0,00541826 0,00597391 0,00544143 0,00918339 0,00658368 0,00628535 0,0106603 MAE 0,03192072 0,03232054 0,03197609 0,03174576 0,03274959 0,03049908 0,03334618 0,0359275 0,0346084 0,03244232 DESVTÍP 0,00128377 0,00089285 0,00117725 0,00099124 0,00112557 0,00093392 0,00141075 0,00142427 0,00128648 0,00147836 CV 1,07113934 0,92027636 1,00727374 0,9859324 1,01667194 0,9948329 1,06391606 1,02298113 1,02380687 1,07682225 TCOMP 0,51537198 0,53920452 0,51917212 0,75935752 0,50970378 0,89973871 0,50182308 0,52110056 0,52339693 0,53267199
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00479547 0,00494108 0,00512402 0,00555687 0,00508488 0,00521637 0,00510239 0,00540273 0,00488649 0,00546064 MIN 0,00355841 0,00358946 0,00383534 0,00474739 0,00387101 0,00425652 0,00405959 0,00406556 0,00383428 0,00392396 MAX 0,00644622 0,00601192 0,00760728 0,00674885 0,00691575 0,00664211 0,00724602 0,00708689 0,00598411 0,01094062 MAE 0,03353868 0,0341963 0,03547774 0,03805708 0,03467797 0,03562384 0,03497441 0,03738255 0,03441311 0,03630241 DESVTÍP 0,00110222 0,00118347 0,00130786 0,00151892 0,00130713 0,00136022 0,0012978 0,00142909 0,00111296 0,00170308 CV 0,96933623 0,9919758 0,98251759 1,01694134 1,01977522 1,01597233 1,01010048 0,99338061 0,96030131 1,04497237 TCOMP 0,58120668 0,52370044 1,04614025 0,5920864 0,52404731 0,50669219 0,51218047 0,69746398 0,52835965 0,62162969
Tabla AP2.5. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 2.
A‐31 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Nº 3 4 5 6 7 Neuronas 1 2 8 9 10 MSET 0,008495662 0,00847777 0,00834307 0,00752948 0,00738815 0,00714159 0,00757966 0,00646146 0,00649454 0,00661825
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00662357 0,00877786 0,00741391 0,00682395 0,00684519 0,0067767 0,00690493 0,02004227 0,00760866 0,00801132
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00684174 0,00847206 0,00728833 0,00789027 0,00716697 0,00839306 0,00802728 0,00957859 0,0090317 0,00866866
Tabla AP2.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 2.
A m ) e n A o ( P
0,015
0,020
0,025
Figura P2.6. Error edio (MSET n estimació Trayectoria stroid - cas de prueba 2 datos tabla A 2.6).
0,000
0,005
0,010
1 5 8 11 4 7
MSE
ro o
XY
MSE
2 3 4 6 7 9 10 12 13 1 15 16 1 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neu nas en la capa culta
A‐32 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
r m ut M ci i ca a
Figu a AP2.7. Tie po de comp ación (TCO P) en estima ón Trayector a Astroid - so de prueb 2.
0,0
0,2
1,4
1 2 6 16 2 6
d la
0,4
0,6
mp
o
0,8sg.
1,0
1,2
TiTie
3 4 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 3 24 25 2 27 28 29 30Nº e neuronas en capa oculta
e ciónmpo de computa
A‐33 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Figura AP2.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Astroid - caso de prueba 2.
Figura AP2.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 2.
0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐34 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
AP2.3 Astroi Caso de pr ba 3.
onas
d ue
NºNeur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,006046563 0,00635989 0,00584355 0,00545237 0,00601573 0,00493784 0,00871123 0,00534087 0,00480921 0,00472649 MIN 0,005279721 0,00571064 0,0046632 0,00434989 0,00416936 0,00423646 0,00403052 0,00419836 0,00358593 0,0039208 MAX 0,006578303 0,00752484 0,00668861 0,00669961 0,01115942 0,00737401 0,02673637 0,00854441 0,00854357 0,0057089 MAE 0,047209121 0,04917326 0,04454481 0,0398777 0,03907783 0,03608333 0,04379106 0,03787478 0,03175208 0,03343959 DESVTÍP 0,001270345 0,00145641 0,00128946 0,00126869 0,00224836 0,00105909 0,00984749 0,00136378 0,00128109 0,00102712 CV 0,755077771 0,77424221 0,80199803 0,88463687 1,06718807 0,88044116 1,35835493 0,92987616 1,07249059 0,9521394 TCOMP 1,19917076 0,58431227 0,49763676 0,59434347 0,57177966 0,56464741 0,58448166 0,50941648 0,48606776 0,48644583
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00475955 0,00435724 0,02073525 0,00502346 0,00465565 0,0055199 0,00578139 0,00496933 0,00524476 0,00498589 MIN 0,00386926 0,00371173 0,00395431 0,00387477 0,00390024 0,00419047 0,00347749 0,00357682 0,00375723 0,0040178 MAX 0,01085339 0,00553765 0,10273391 0,01117487 0,00622122 0,01343093 0,01190134 0,008478 0,01190883 0,00624323 MAE 0,03119851 0,03041735 0,06266097 0,03185285 0,03249681 0,03568771 0,03503025 0,03335953 0,03435868 0,03331491 DESVTÍP 0,00137251 0,0009003 0,12680449 0,00161517 0,00103714 0,00210039 0,00234977 0,00134002 0,0016776 0,00128877 CV 1,06856348 0,97727924 1,81030492 1,12722188 0,97287994 1,05477272 1,19468427 1,03518914 1,06502009 1,06332981 TCOMP 0,51634167 0,49281871 0,50395858 0,49728909 0,52558998 0,49306468 0,50749493 0,50642475 0,52968269 0,54938403
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,0064479 0,00547996 0,00754852 0,00892453 0,01149344 0,00679199 0,00566537 0,00630063 0,00628242 0,00678849 MIN 0,00424914 0,00420454 0,00410912 0,00440232 0,0043548 0,00395923 0,00458904 0,00368442 0,00386513 0,00382434 MAX 0,01247948 0,00847567 0,01773364 0,03101398 0,06091158 0,03099679 0,00788344 0,01138636 0,01812984 0,01654554 MAE 0,0379622 0,03597758 0,04224394 0,0455909 0,04774095 0,03852881 0,03823334 0,03969725 0,03903874 0,04229169 DESVTÍP 0,00300118 0,00165042 0,0052287 0,00958417 0,0305674 0,00583638 0,00164407 0,00248757 0,00305069 0,00325023 CV 1,25133758 1,08905971 1,27319043 1,40056922 1,52678002 1,20970869 1,03861954 1,14192363 1,12614049 1,1392335 TCOMP 0,532 0,5582952 853389 0,57743004 99535 0,54150698 0,53341273 0,94321222 0,52504617 0,56995132 0,51443552 0,53
Tabla AP2.7. Resultados trayectoria Astroid - componente X– caso de prueba 3.
A‐35 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,006311683 0,00590318 0,00519106 0,00538918 0,00513872 0,00452028 0,00463238 0,00424011 0,0044492 0,00436943 MIN 0,005464102 0,00521257 0,00438958 0,00453048 0,00410405 0,00354696 0,00376382 0,00377002 0,00381655 0,00358131 MAX 0,007076465 0,00753052 0,00589059 0,00608839 0,00622104 0,00579758 0,00629032 0,00479771 0,00563907 0,00517267 MAE 0,049286882 0,04576116 0,0408694 0,04005025 0,03722616 0,03147449 0,0322095 0,02977888 0,03112554 0,03065988 DESVTÍP 0,001383049 0,00124674 0,00090884 0,00118026 0,00114804 0,00098068 0,00103279 0,00083633 0,00093895 0,00089276 CV 0,754669632 0,76844722 0,73899942 0,85385482 0,90390951 0,97877452 0,98367105 0,96698026 0,96898144 0,96945274 TCOMP 1,19917076 0,58431227 0,49763676 0,59434347 0,57177966 0,56464741 0,58448166 0,50941648 0,48606776 0,48644583
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00456371 0,00452504 0,00444211 0,00461583 0,00460194 0,00481205 0,00476602 0,00469588 0,0050289 0,00504589 MIN 0,00360685 0,00398729 0,00339587 0,00373295 0,0034926 0,0037804 0,00368283 0,00380272 0,00415015 0,00405982 MAX 0,00545351 0,00516742 0,0057477 0,00638815 0,00616421 0,00571845 0,0055749 0,00615201 0,0070282 0,0071464 MAE 0,03219349 0,03194571 0,03135973 0,03244863 0,03200254 0,03323436 0,03371111 0,03185927 0,03479738 0,03520434 DESVTÍP 0,00096244 0,00093942 0,00091741 0,00101285 0,00103829 0,0011188 0,00104538 0,00111231 0,00122694 0,00122113 CV 0,95749254 0,95772755 0,95491159 0,9596172 0,97702535 0,99972905 0,9511681 1,03338151 0,99714496 0,97706151 TCOMP 0,52968269 0,54938403 0,51634167 0,49281871 0,50395858 0,49728909 0,52558998 0,49306468 0,50749493 0,50642475
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00519083 0,00505995 0,00503477 0,00515612 0,00537057 0,00520663 0,00510553 0,00527472 0,00568678 0,00562674 MIN 0,00424468 0,00420991 0,00364024 0,00419618 0,0044744 0,00454482 0,00405801 0,00418247 0,00402217 0,00468356 MAX 0,00673791 0,00692803 0,00646348 0,00797798 0,00736723 0,00625429 0,0065032 0,00692257 0,00884904 0,0076721 MAE 0,03519301 0,03444484 0,03506437 0,03467235 0,03723934 0,03631282 0,03558793 0,03629275 0,03791637 0,0397292 DESVTÍP 0,00136308 0,0012812 0,00122369 0,00138082 0,00141142 0,00128225 0,00124441 0,00136657 0,00175423 0,00147422 CV 1,03335942 1,02563142 0,97828552 1,04513572 0,98454586 0,9804449 0,97980607 1,00458292 1,05460089 0,9549118 TCOMP 0,53299535 0,54150698 0,53341273 0,94321222 0,52504617 0,5582952 0,56995132 0,51443552 0,53853389 0,57743004
Tabla AP2.8. Resultados trayectoria Astroid - componente Y – caso de prueba 3.
A‐36 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,00874061 0,00867731 0,00781627 0,00766626 0,00791173 0,00669442 0,00986633 0,00681934 0,00655163 0,00643674
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00659399 0,00628184 0,02120573 0,0068221 0,00654622 0,00732292 0,00749262 0,00683708 0,00726617 0,00709366
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00827769 0,00745876 0,00907354 0,01030693 0,0126863 0,00855804 0,00762646 0,00821709 0,00847397 0,00881724
Tabla AP2.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3.
Figura AP2.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3 (datos tabla AP2.9).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐37 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
Figura AP2.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Astroid - caso de prueba 3.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
A‐38 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
A ia D la (X t e
Figura AP2.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Astroid - caso de prueba 3.
0,00
Figura P2.12. Desv ción típica ( ESVTIP) en estimación e Y) Trayec oria Astroid - caso de pru ba 3.
0,02
0,04
esvi 0,06ac
ió
0,08ntí
p
0,10
0,12
0,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Nº en la
14D
ica
D Xesviación tipica
Desviación típica Y
de neuronas capa oculta
0,08
0,10
0,12
0,00
0,02
0,04
Err
0,06
orM
1 2 9 1 5 2 8
SE
e ta
3 4 5 6 7 8 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5 26 27 2 29 30Nº de neuronas n la capa ocul
Error MIN X
Error MAX X
A‐39 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
AP2.4 Astroid Resumen.
Figura AP2.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Astroid (datos tablas AP2.3, AP2.6 y AP2.9)
Figura AP2.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,0000,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,010
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSETMIN
A‐40 ANEXO A. Apéndice 2. Resultados trayectoria Astroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 0,737420182 0,5767363 0,49763676 0,57310068 0,53743655 0,56464741 0,49482698 0,50941648 0,48606776 0,48644583
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TCOMPMIN 0,51537198 0,49281871 0,50395858 0,49728909 0,50970378 0,49306468 0,50182308 0,50642475 0,50592714 0,53267199
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TCOMPMIN 0,53299535 0,52370044 0,53154305 0,53774817 0,52404731 0,50669219 0,51218047 0,51443552 0,52835965 0,53234255
Astr Tiempo d mputaci nimo (TC PMIN) en tres simul nes.
TCOMPMIN
Tabla AP2.10. oid. e co ón mí OM las acio
Figura AP2.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP2.10).
0,0
0,1
0,2
0,3Tie
mp
o sg
.
0,4
1 2 1 5 2N e ta
3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 8 29 30º de neuronas n la capa ocul
0,5
0,6
0,7
0,8
5‐41 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta
5‐42 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta
A‐43 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
( i )
( ii ) Figura AP3.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Freeth
(con 17 -i- y 24 neuronas –ii-).
A‐44 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
AP3.1 Freeth Caso de prueba 1.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007069609 0,0066822 0,00629898 0,00623532 0,00634331 0,00640857 0,00588957 0,00609164 0,00596463 0,00631237 MIN 0,006062008 0,00596846 0,00481568 0,00501115 0,00529609 0,00541578 0,00503485 0,00492486 0,00482047 0,00480416 MAX 0,008012228 0,00802354 0,00794121 0,0073287 0,00715369 0,00741931 0,00684418 0,00702966 0,0069212 0,01299287 MAE 0,054720934 0,05261226 0,04909455 0,04887319 0,04958885 0,04916467 0,04558412 0,04609109 0,04518916 0,04504142 DESVTÍP 0,001793457 0,00150622 0,00140085 0,00134401 0,00140017 0,00151985 0,00124266 0,00143137 0,00136907 0,00202323 CV 0,77243435 0,73807175 0,75863068 0,74520968 0,75049874 0,78952848 0,77285321 0,81902254 0,81471493 0,90028678 TCOMP 0,867173704 0,51817488 0,49084327 0,49012076 0,58547606 0,53060861 0,55003724 0,52196732 0,51788069 0,50827416
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00573459 0,00580954 0,00584056 0,00562354 0,00531363 0,00638361 0,00763918 0,01087682 0,00580055 0,00638595 MIN 0,00489361 0,00468374 0,00434138 0,00429757 0,00400268 0,00426744 0,00465972 0,00566232 0,00493465 0,0044924 MAX 0,00791232 0,00683339 0,00799016 0,00655617 0,00651933 0,01539725 0,01382359 0,0326991 0,00747986 0,01578109 MAE 0,04316652 0,04497598 0,0447278 0,04252505 0,04039178 0,0446069 0,05105602 0,05494996 0,04364731 0,04319281 DESVTÍP 0,00131334 0,00121783 0,0012893 0,0012259 0,00107953 0,00234828 0,00341883 0,01381077 0,00133928 0,00254123 CV 0,8216311 0,77015521 0,78989527 0,81942783 0,80839861 0,92245553 1,01651868 1,37946962 0,8244048 0,98036851 TCOMP 0,48953603 0,49283857 0,49393509 0,48587731 0,54104786 0,51447158 0,51135545 0,51479171 0,53217762 0,55453517
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00554853 0,00879755 0,00599593 0,00621425 0,00651202 0,00732375 0,00654067 0,00684759 0,00670002 0,00678601 MIN 0,00436687 0,00470843 0,00491863 0,00500714 0,00495505 0,00495919 0,00464101 0,00492224 0,00503491 0,00496197 MAX 0,00664365 0,04610093 0,00810168 0,00803519 0,00866883 0,01343927 0,0109436 0,0103966 0,00964483 0,00887807 MAE 0,04159081 0,04823484 0,0444785 0,04387914 0,04526112 0,04754156 0,0462809 0,04903987 0,04952174 0,0488329 DESVTÍP 0,00122998 0,01223698 0,00150179 0,00180227 0,00205194 0,00346441 0,00211244 0,00216531 0,00190666 0,00206947 CV 0,8346975 1,18442739 0,85189054 0,95066022 0,98212547 1,05316903 0,92588122 0,91760034 0,85674762 0,91488134 TCOMP 0,5279905 0,50544938 0,53040601 0,86193909 0,77113966 0,57759861 0,64280116 0,53056323 0,58191216 0,53489056
Tabla AP3.1. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 1.
A‐45 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 10 2 3 4 5 6 7 8 9 MSE 0,006980193 0,00663199 0,00689639 0,00607657 0,00634324 0,00660426 0,00564638 0,0061473 0,0054242 0,00534151 MIN 0,005325013 0,00572382 0,00594339 0,00503307 0,00547982 0,00551577 0,00471276 0,00476264 0,00450941 0,0043728 MAX 0,00855245 0,00802771 0,00769779 0,00686876 0,00741722 0,00782298 0,00653863 0,00730422 0,0063747 0,00628689 MAE 0,055491755 0,052272 0,05426807 0,04685452 0,04928063 0,05064532 0,04352171 0,0468196 0,04184299 0,04060864 DESVTÍP 0,001586642 0,00148432 0,00160918 0,00134172 0,00142215 0,00162208 0,00116323 0,00143615 0,00106819 0,00109346 CV 0,718633249 0,73555963 0,73842284 0,78173893 0,76607403 0,78923582 0,78022027 0,8032188 0,77880784 0,80716799 TCOMP 0,867173704 0,51817488 0,49084327 0,49012076 0,58547606 0,53060861 0,55003724 0,52196732 0,51788069 0,50827416
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00603232 0,01748856 0,00573023 0,00598321 0,00542329 0,00583828 0,00528031 0,0053767 0,00752145 0,00567907 MIN 0,00516525 0,00437788 0,00472899 0,00531157 0,00456891 0,00473846 0,00427335 0,00448852 0,00487341 0,00472798 MAX 0,00687763 0,1244688 0,00660916 0,00739492 0,00645165 0,00820186 0,00603634 0,00650575 0,02638303 0,00669739 MAE 0,04538417 0,0631964 0,04474994 0,04501534 0,04166349 0,0445325 0,04011221 0,04051337 0,04710361 0,04291598 DESVTÍP 0,00143154 0,12688452 0,00114939 0,00140474 0,0010848 0,00131215 0,00106684 0,00113594 0,00597046 0,00125206 CV 0,82762392 1,29052542 0,75220172 0,83023791 0,78746482 0,7957127 0,80938264 0,82591697 0,99801782 0,82067765 TCOMP 0,48953603 0,49283857 0,49393509 0,48587731 0,54104786 0,51447158 0,51135545 0,51479171 0,53217762 0,55453517
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00605883 0,00813868 0,00597667 0,00560919 0,00618432 0,00586654 0,00610007 0,00591917 0,00852888 0,03582753 MIN 0,00478223 0,00444311 0,00513325 0,00423421 0,00459713 0,00448709 0,00466302 0,00476497 0,00486301 0,00426178 MAX 0,00714626 0,03012073 0,00726641 0,00772809 0,00751912 0,00723237 0,00818246 0,00881398 0,04665455 0,16378332 MAE 0,04591329 0,04666269 0,0453706 0,04124947 0,04563056 0,04451511 0,04379298 0,04357871 0,04779467 0,08520086 DESVTÍP 0,00143115 0,00891061 0,00137153 0,00134279 0,00160062 0,00133579 0,00169372 0,00150419 0,01201934 0,4403424 CV 0,80963534 1,10085422 0,81074542 0,86896982 0,86571421 0,8088568 0,91522334 0,86360541 1,13514376 1,93646673 TCOMP 0,5279905 0,50544938 0,53040601 0,86193909 0,77113966 0,57759861 0,64280116 0,53056323 0,58191216 0,53489056
Tabla A a i – b
P3.2. Result dos trayector a Freeth - componente Y caso de prue a 1.
A‐46 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009934912 0,00941462 0,00934009 0,00870654 0,00897075 0,0092025 0,00815896 0,00865432 0,00806218 0,00826909
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00832313 0,01842825 0,00818215 0,00821115 0,00759254 0,00865078 0,00928648 0,01213319 0,00949835 0,00854589
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00821557 0,01198478 0,00846592 0,00837138 0,00898066 0,00938368 0,00894378 0,0090513 0,01084583 0,03646453
Tabla AP3.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.
Figura AP3.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1 (datos tabla AP3.3).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐47 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Figura AP3.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.
0,0
0,1
0,2
0,9
1,0
0,3
Tie
mp
o sg
.
0,4
0,5
0,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta
0,6
0,7
Tiempo de computación
A‐48 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Figura AP3.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.
Figura AP3.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 1.
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,0000,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,0400,0450,050
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐49 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
AP3.2 Freeth Caso de prueba 2.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007199071 0,0070426 0,00641752 0,00634123 0,0063138 0,00550819 0,00617408 0,00602166 0,00585337 0,00625091 MIN 0,006365459 0,00616271 0,00538933 0,00471423 0,00538017 0,00453439 0,00533414 0,00468859 0,00488845 0,00505307 MAX 0,008938897 0,0085556 0,00769196 0,00740382 0,00915682 0,00630677 0,00688879 0,01032118 0,00671259 0,00966915 MAE 0,056659305 0,05528576 0,05014447 0,04835415 0,04880053 0,04270515 0,04811441 0,04373533 0,04487663 0,04527322 DESVTÍP 0,001753661 0,00170526 0,00143256 0,00152918 0,00146219 0,00108782 0,00133543 0,00168823 0,00127357 0,00178145 CV 0,738880625 0,74152482 0,75139 0,80014979 0,77133519 0,76768275 0,75817799 0,87384972 0,79019289 0,88685342 TCOMP 0,864686065 0,51846177 0,50488451 0,51640529 0,50020342 0,49568361 0,4960689 0,5547398 0,52857486 0,54472117
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00678813 0,00747865 0,00702419 0,00683408 0,00580338 0,00606095 0,00600914 0,00613572 0,00614758 0,00675312 MIN 0,00571946 0,00516975 0,00522995 0,0043771 0,00420484 0,00493876 0,00453162 0,00494683 0,00457874 0,00520263 MAX 0,009 949094 0,01507629 68102 0,02251422 0,0108469 0,01639537 0,00692833 0,00772301 0,00953986 0,00747762 0,00MAE 0,0503369 0,04942925 0,05058942 0,04470773 0,04343344 0,04524802 0,04241477 0,04506424 0,0447059 0,04738261 DESVTÍP 0,00195669 0,0040559 0,00230869 0,00329724 0,00135292 0,00149952 0,0017702 0,00159369 0,00173248 0,00249692 CV 0,84473943 0,99942251 0,8966707 1,01935635 0,83912928 0,83908774 0,93313669 0,87432832 0,87810503 0,92329171 TCOMP 0,533527 0,52151186 0,52004658 0,51819473 0,59818575 0,54383172 0,54523621 0,50560215 0,51892534 0,50890428
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00622162 0,00853946 0,00971546 0,00604834 0,00665615 0,00799545 0,00692979 0,00753768 0,00677401 0,00862805 MIN 0,00412034 0,00525115 0,0047563 0,00393007 0,00538574 0,00424113 0,00471431 0,00590819 0,00492812 0,00524073 MAX 0,01174446 0,04860991 0,03864287 0,00765286 0,0111718 0,03197775 0,01899623 0,01791262 0,01169638 0,0232612 MAE 0,04412986 0,05119057 0,04992726 0,04563846 0,04659429 0,04941164 0,04375514 0,04778157 0,04570095 0,05203892 DESVTÍP 0,0019604 0,01212817 0,01490034 0,00144378 0,00221 0,00666432 0,00414849 0,00397807 0,00250728 0,00583374 CV 0,91559364 1,00958225 1,2069184 0,82257104 0,95163995 1,05647552 1,04100124 1,09870224 1,01505732 1,17237866 TCOMP 0,540391 0,61796895 0,55965835 0,58908494 0,52747911 0,55353955 0,60564462 0,62070863 0,83806318 0,59092869
Tabla AP3.4. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 2.
A‐50 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007087254 0,00662743 0,0066059 0,00652536 0,00630184 0,00632527 0,00596418 0,00573771 0,00583298 0,00577896 MIN 0,006205888 0,00575088 0,00528172 0,00498611 0,00565219 0,00554503 0,00511858 0,00462435 0,00492588 0,00453281 MAX 0,008167626 0,00813006 0,00798554 0,0077361 0,00699727 0,00773591 0,00713863 0,00700911 0,00692721 0,00765441 MAE 0,055644853 0,05211402 0,05066931 0,05072263 0,04939037 0,04914866 0,04558904 0,04421411 0,0447928 0,04334406 DESVTÍP 0,001713652 0,00150046 0,00161471 0,00150904 0,00136267 0,00142031 0,00133172 0,00121221 0,00126472 0,00135698 CV 0,743042351 0,73896658 0,79107269 0,76587179 0,7467032 0,76454132 0,79759543 0,78015309 0,78449361 0,82899472 TCOMP 0,864686065 0,51846177 0,50488451 0,51640529 0,50020342 0,49568361 0,4960689 0,5547398 0,52857486 0,54472117
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00559964 0,00618153 0,00552135 0,00533125 0,00600383 0,00707218 0,00534029 0,00532331 0,00581741 0,00744096 MIN 0,00445625 0,0047647 0,00487765 0,0045937 0,00443362 0,00502977 0,00432725 0,00458957 0,00404745 0,00530128 MAX 0,00690204 0,02164011 0,00660687 0,00599006 0,00712574 0,01356561 0,0061021 0,0070282 0,00682979 0,02585468 MAE 0,04273622 0,04300567 0,04237784 0,04088589 0,04563942 0,04635794 0,04081436 0,04005898 0,04318711 0,04857436 DESVTÍP 0,00118549 0,00294005 0,00112627 0,00104956 0,00138157 0,00312714 0,00106923 0,001123 0,00139494 0,00486576 CV 0,79984154 0,87654186 0,78844424 0,79134676 0,80864709 1,03990621 0,79679734 0,82616739 0,85455185 0,96700281 TCOMP 0,533527 0,52151186 0,52004658 0,51819473 0,59818575 0,54383172 0,54523621 0,50560215 0,51892534 0,50890428
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00639376 0,00584495 0,00575738 0,00580655 0,0075376 0,00575295 0,00612617 0,00659017 0,0057286 0,00608148 MIN 0,00563887 0,00494337 0,00479789 0,00495774 0,00494373 0,0043459 0,00510829 0,00488569 0,00477488 0,00476588 MAX 0,00720024 0,00685438 0,0069577 0,00722846 0,03249738 0,00687751 0,00804895 0,01149257 0,0068123 0,00744383 MAE 0,04766448 0,04493782 0,04270194 0,04419935 0,04591527 0,04284435 0,04621288 0,04761501 0,04224607 0,0454828 DESVTÍP 0,00163985 0,00125555 0,00136418 0,0012873 0,0065348 0,00135619 0,00147957 0,00202365 0,0013735 0,00148674 CV 0,84976647 0,78516039 0,85538844 0,80376212 1,06821558 0,84523073 0,82222814 0,89542595 0,86866371 0,84275712 TCOMP 0,540391 0,61796895 0,55965835 0,58908494 0,52747911 0,55353955 0,60564462 0,62070863 0,83806318 0,59092869
Tabla AP3.5. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 2.
A‐51 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Nº 3 4 5 Neuronas 1 2 6 7 8 9 10 MSET 0,010102267 0,00967062 0,00920991 0,00909898 0,00892061 0,00838744 0,00858432 0,00831756 0,00826352 0,00851294
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,0087997 0,00970266 0,00893446 0,00866757 0,00835016 0,00931402 0,00803918 0,00812309 0,00846374 0,01004851
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00892125 0,01034823 0,01129325 0,00838442 0,01005583 0,00985006 0,00924943 0,01001234 0,00887154 0,01055593
Tabla AP3.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 2.
m T) n F d P3
Figura AP3.6. Error edio (MSE en estimació Trayectoria reeth - caso de prueba 2 ( atos tabla A .6).
0,000
0,002
0,004
1 14 2 2 2 29
MSE
u pa
0,006
XY
0,008
0,010
0,012
MSE
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 18 19 0 21 22 3 24 25 6 27 28 30Nº de ne ronas en la ca oculta
A‐52 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
m u M c ri a 2
Figura AP3.7. Tie po de comp tación (TCO P) en estima ión Trayecto a Freeth - c so de prueba .
0,0
0,1
0,2
1,0
1 2 9 1 9 2 9
de l
0,3
0,4
emp 0,5
osg 0,6.
0,7
0,8
0,9
T utaciónTi
3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 6 17 18 1 20 21 22 23 24 25 6 27 28 2 30Nº neuronas en a capa oculta
iempo de comp
A‐53 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Figura AP3.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth - caso de prueba 2.
Figura AP3.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 2.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐54 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
AP3.3 Freeth aso de pru a 3.
onas
C eb
NºNeur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007413485 0,00675493 0,00696013 0,00631692 0,00619378 0,00626733 0,00606784 0,00591135 0,00640962 0,00661979 MIN 0,006373446 0,00581907 0,0059662 0,0052541 0,00531264 0,00540893 0,00474415 0,00498185 0,00557827 0,0054059 MAX 0,008519828 0,00756349 0,00841626 0,00717395 0,0071721 0,00728601 0,01096527 0,00779171 0,00737356 0,01040687 MAE 0,058487604 0,05317494 0,05449223 0,04934254 0,04776565 0,0479972 0,04482181 0,04505659 0,0486942 0,04907477 DESVTÍP 0,001845423 0,00154534 0,00168331 0,00139002 0,00139491 0,00146478 0,0016463 0,00134143 0,00156654 0,00187094 CV 0,732118161 0,73667839 0,74726898 0,75363124 0,77944551 0,7923623 0,84431223 0,79859307 0,80998292 0,84495244 TCOMP 1,084558648 0,62734166 0,49141544 0,5213911 0,59015796 0,55111391 0,57615968 0,4897662 0,48385567 0,49206217
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00587117 0,00610296 0,00623158 0,00600486 0,00626988 0,00598234 0,00586297 0,00699443 0,00622165 0,00607674 MIN 0,00472052 0,00467418 0,0051288 0,00513877 0,00509566 0,00529203 0,00484044 0,00470997 0,0053159 0,00451927 MAX 0,00693361 0,00739515 0,00880716 0,00715394 0,00775246 0,00711605 0,00782837 0,01734136 0,00739631 0,00915179 MAE 0,04513009 0,04651895 0,0460259 0,04487442 0,04638096 0,0457062 0,04346265 0,04768764 0,04574611 0,04347653 DESVTÍP 0,00127804 0,00141263 0,00163215 0,00144735 0,0016223 0,00134153 0,00143357 0,00294212 0,0016301 0,00174869 CV 0,78297169 0,80280821 0,86117564 0,84188722 0,86136903 0,797754 0,85520338 0,97372331 0,87145027 0,90911307 TCOMP 0,5789257 0,50485412 0,56852373 0,52345893 0,51488896 1,23626896 0,51584122 0,58989741 0,56960972 0,58207506
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00570482 0,00589263 0,00615584 0,00604217 0,00582712 0,00689114 0,00754622 0,00650796 0,00669264 0,00626311 MIN 0,00487714 0,00474224 0,00468351 0,00499173 0,00460632 0,00478033 0,00487906 0,00524881 0,00496807 0,00474762 MAX 0,00748959 0,00689654 0,00760021 0,00755812 0,0066904 0,01303246 0,02545592 0,00882642 0,01056516 0,00946906 MAE 0,04152404 0,04323 0,04593453 0,04469624 0,04331627 0,04705513 0,0487415 0,04705366 0,04714331 0,04557048 DESVTÍP 0,00141738 0,00146431 0,00154615 0,00150781 0,00138184 0,00258749 0,00475243 0,00189443 0,00216032 0,0017411 CV 0,88825671 0,87841634 0,84361851 0,86476664 0,85300522 0,99037538 1,01704667 0,89906467 0,94798314 0,88788218 TCOMP 0,52579705 0,57400026 0,58879967 0,54680157 0,52704593 0,54276072 0,5185651 0,54132868 0,56205968 0,53513288
Tabla AP3.7. Resultados trayectoria Freeth - componente X– caso de prueba 3.
A‐55 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,00658528 0,00668117 0,00673093 0,00657944 0,00632215 0,00588889 0,00602097 0,00577274 0,00581556 0,00540464 MIN 0,005717964 0,00612306 0,00548177 0,00522885 0,00530026 0,00506903 0,00482266 0,00443929 0,00503019 0,00447216 MAX 0,007397244 0,00764488 0,00751328 0,00761739 0,00731912 0,00744551 0,00710899 0,00655966 0,00709816 0,00685074 MAE 0,051104373 0,05259513 0,05278409 0,05177174 0,04963586 0,04567572 0,04628143 0,04492175 0,04441572 0,04094208 DESVTÍP 0,001542558 0,00151008 0,00155464 0,00147077 0,0013653 0,00124449 0,00134172 0,00117434 0,00127469 0,0011306 CV 0,767432853 0,73606646 0,74535973 0,73746422 0,74407967 0,7653718 0,78419931 0,76209546 0,79764983 0,81491883 TCOMP 1,084558648 0,62734166 0,49141544 0,5213911 0,59015796 0,55111391 0,57615968 0,4897662 0,48385567 0,49206217
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00529064 0,00585404 0,00528054 0,0119072 0,00579487 0,00575942 0,00532434 0,00572092 0,00575064 0,00576273 MIN 0,00413923 0,00396883 0,00452392 0,0044884 0,00498364 0,00466228 0,00419427 0,0042977 0,00465903 0,00489453 MAX 0,00628112 0,00676645 0,00627973 0,05068521 0,00695915 0,00738543 0,00608806 0,00731426 0,00756522 0,00742423 MAE 0,04044312 0,0447505 0,04091881 0,05513335 0,04488241 0,04417424 0,04032391 0,04244392 0,04261562 0,04385298 DESVTÍP 0,0010451 0,00129198 0,0009975 0,02857304 0,00120286 0,00124363 0,00108797 0,00135777 0,00137739 0,00127234 CV 0,79855 ,85584688 0,80430819 198 0,79664822 0,7708317 1,26883472 0,77034323 0,78666435 0,81732596 0,85339618 0TCOMP 0,5789257 0,50485412 0,56852373 0,52345893 0,51488896 0,55626896 0,51584122 0,58989741 0,56960972 0,58207506
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00562906 0,00560031 0,00581091 0,00572243 0,00552767 0,00588979 0,00583934 0,00598651 0,00604853 0,00604247 MIN 0,00439137 0,00466958 0,00436607 0,00504194 0,00431438 0,00435071 0,00475709 0,00422214 0,00525383 0,00469685 MAX 0,00663728 0,00675572 0,00699538 0,00634409 0,00713917 0,00689022 0,00758661 0,0073262 0,0068679 0,00701613 MAE 0,04222829 0,04225891 0,04382754 0,04247721 0,04064832 0,04310409 0,04344704 0,0444282 0,04579965 0,04491143 DESVTÍP 0,00125151 0,00121876 0,00131735 0,00133135 0,00129767 0,0014757 0,00139426 0,00147699 0,00140516 0,00148715 CV 0,83719236 0,82511531 0,82641839 0,85607064 0,87203922 0,88423738 0,85046178 0,85337285 0,81781024 0,85237639 TCOMP 0,58879967 0,54680157 0,52704593 0,54276072 0,5185651 0,54132868 0,56205968 0,53513288 0,52579705 0,57400026
Tabla AP3.8. Resultados trayectoria Freeth - componente Y – caso de prueba 3.
A‐56 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,00991593 0,0095009 0,0096824 0,00912099 0,00885056 0,00859991 0,00854814 0,00826248 0,00865471 0,00854586
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00790326 0,00845671 0,00816803 0,01333566 0,00853768 0,00830417 0,00791979 0,00903609 0,00847223 0,00837471
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00801444 0,00812937 0,00846528 0,0083219 0,00803184 0,00906517 0,00954166 0,00884262 0,00902088 0,00870276
Tabla AP3.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 3.
Figura AP3.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Freeth - caso de prueba 3 (datos tabla AP3.9).
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐57 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
0,0
Figur e p a or ca
a AP3.11. Ti mpo de com utación (TCOMP) en estim ción Trayect ia Freeth - so de prueba 3.
0,2
0,4
Tie
m
0,6po
0,8
1,0
1,
2 3 5 6 7 9 10 12 13 1 5 16 17 19 20 2 2 23 24 26 27 29 30
e c
2sg
.
Tiem
1 4 8 11 4 1 18 1 2 25 28Nº d neuronas en la apa oculta
p no de computació
A‐58 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
Figura AP3.12. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Freeth - caso de prueba 3.
Figura AP3.13. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Freeth - caso de prueba 3.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐59 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
AP3.4 Freeth esumen.
AP e e ó ca a ct ( A
Figura AP3.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
R
Figura 3.14. Error m dio (MSET) n la estimaci n en los tres sos de prueb (CP). Traye oria Freeth datos tablas P3.3, AP3.6 y AP3.9)
0,000
0,005
0,010
0
1 11e p
0,015MSE
0,02
XY
0,025
0,030
0,035
0,040
CP1
CP2
CP3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de n uronas en la ca a oculta
0,012
0,000
0,002
0,004
M
0,006
SEX
0,008
0,010
1 2 5 8 1 2 3Nº de neuronas capa oculta
3 4 6 7 9 10 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 7 28 29 0
Y
MSE
en la
TMIN
A‐60 ANEXO A. Apéndice 3. Resultados trayectoria Freeth.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 0,86468606 0,51817488 0,49084327 0,49012076 0,50020342 0,49568361 0,4960689 0,4897662 0,48385567 0,49206217
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TCOMPMIN 0,48953603 0,49283857 0,49393509 0,48587731 0,51488896 0,51447158 0,51135545 0,50560215 0,51892534 0,50890428
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TCOMPMIN 0,5279905 0,50544938 0,52704593 0,54276072 0,5185651 0,54132868 0,56205968 0,53056323 0,52579705 0,53489056
Tabla AP3.10. Freeth. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones.
Figura AP3.16. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP3.10).
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
tiem
po
sg
Nº de neuronas en la capa oculta
TCOMPMIN
5‐61 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta
5‐62 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta
A‐63 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
( i )
( ii ) Figura AP4.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Hypocycloid
(con 13 -i- y 10 neuronas –ii-).
A‐64 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
AP4.1 Hypocycloid Caso de prueba 1.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007012616 0,00707358 0,0065855 0,00586946 0,00606629 0,00561778 0,00580381 0,00519909 0,00539432 0,00512771 MIN 0,005412774 0,00617535 0,00518763 0,00490761 0,00516412 0,00486608 0,00473182 0,00431764 0,00405225 0,00398964 MAX 0,008280893 0,00858526 0,00754846 0,00682092 0,00760222 0,00642131 0,00737665 0,00582382 0,0063153 0,00628556 MAE 0,054152318 0,05496507 0,0496402 0,04416292 0,04590681 0,04117827 0,04349596 0,03916412 0,03985282 0,03748022 DESVTÍP 0,001792464 0,00177722 0,00169869 0,00135148 0,0014291 0,00132708 0,00133728 0,00105811 0,001212 0,00112502 CV 0,775698458 0,76330078 0,82396984 0,83004144 0,81663782 0,88250549 0,83774484 0,82640365 0,86165143 0,8852591 TCOMP 1,001865223 0,6414064 0,49805819 0,5242641 0,48172463 0,47896347 0,50611435 0,49889294 0,51127157 0,51320163
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0053991 0,00584922 0,00500877 0,00526895 0,00529434 0,00508887 0,00961777 0,00558331 0,00527137 0,00567864 MIN 0,00413826 0,00418259 0,00404142 0,00403137 0,00407542 0,0041716 0,00427387 0,00440279 0,00415147 0,00497498 MAX 0,00691607 0,01786537 0,00589419 0,00755881 0,00674583 0,00599951 0,02838512 0,00723072 0,0068807 0,00644681 MAE 0,03972019 0,03858342 0,03731329 0,03911829 0,0387654 0,03779459 0,04770249 0,0417284 0,03922313 0,04166994 DESVTÍP 0,00122812 0,00250964 0,00102519 0,0011784 0,00119664 0,00106279 0,01228797 0,00126365 0,00114008 0,00135487 CV 0,87418208 1,00612493 0,84512497 0,84673264 0,88101386 0,85293318 1,35549106 0,83899199 0,84989739 0,87879829 TCOMP 0,53203823 0,50117797 0,49847354 0,53098547 0,54318215 0,5501349 0,64786924 0,50331388 0,51786043 0,54336166
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,0054124 0,00581259 0,00556001 0,00568883 0,00590093 0,00572283 0,00614067 0,00615079 0,00754407 0,00588051 MIN 0,00450236 0,00478288 0,00440018 0,00468559 0,00481965 0,00463554 0,00527734 0,00448735 0,00432522 0,00451264 MAX 0,00717991 0,00764455 0,00677379 0,00747668 0,00934576 0,00705069 0,00887966 0,00795769 0,01335587 0,00841627 MAE 0,03976803 0,04316978 0,0407311 0,04184695 0,04242389 0,04197211 0,04466079 0,04537046 0,04615368 0,04326623 DESVTÍP 0,00124485 0,00138956 0,00132398 0,00136037 0,00159441 0,00139087 0,00165624 0,00159684 0,00400033 0,00149049 CV 0,87250113 0,8534181 0,87897813 0,8746328 0,91164005 0,87833264 0,89073219 0,86234707 1,16232806 0,86295417 TCOMP 0,56745314 0,5401576 0,54907363 0,53796415 0,56334868 0,54176064 0,61989698 0,53661558 0,53483464 0,60501207
Tabla AP4.1. Resultados trayectoria Hypocyloid - componente X– caso de prueba 1.
A‐65 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 9 10 2 3 4 5 6 7 8MSE 0,006719794 0,00675282 0,00656239 0,00567497 0,00656714 0,00502347 0,00485928 0,00528786 0,00504548 0,00547458 MIN 0,00544631 0,00590288 0,00584147 0,00465984 0,00562322 0,00419179 0,00416189 0,00422084 0,0041672 0,00442217 MAX 0,008047597 0,00765001 0,00726878 0,00679713 0,00751314 0,0061168 0,0057425 0,00634904 0,0058063 0,00701483 MAE 0,052471314 0,05239211 0,05166758 0,04271606 0,04982094 0,03846577 0,03587249 0,0402309 0,0380791 0,04093062 DESVTÍP 0,001577679 0,0016245 0,00145417 0,00126965 0,00165474 0,0009429 0,00097999 0,00107081 0,00099109 0,00120147 CV 0,754315385 0,76721188 0,73643034 0,82639983 0,81095784 0,79272575 0,86752325 0,80732339 0,82279878 0,8405106 TCOMP 1,001865223 0,6414064 0,49805819 0,5242641 0,48172463 0,47896347 0,50611435 0,49889294 0,51127157 0,51320163
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00524025 0,00488792 0,00521107 0,00486324 0,00486333 0,00504915 0,00510303 0,0049518 0,00546118 0,00532913 MIN 0,00459174 0,00405722 0,00379401 0,00424884 0,00369335 0,00425207 0,00446934 0,00383004 0,00469144 0,00446914 MAX 0,00627194 0,00630469 0,00643011 0,00582417 0,00565147 0,00575076 0,00631119 0,00761167 0,00653932 0,00626338 MAE 0,03947345 0,03721147 0,03871558 0,03652552 0,0366158 0,03762447 0,03810895 0,03618925 0,04073128 0,04047811 DESVTÍP 0,00107785 0,00091532 0,00111345 0,00093059 0,00093225 0,00103125 0,0010524 0,0010858 0,0011987 0,00108291 CV 0,82430016 0,80337987 0,85429957 0,8336038 0,82914091 0,84759632 0,84277148 0,87515422 0,84845397 0,81045008 TCOMP 0,53203823 0,50117797 0,49847354 0,53098547 0,54318215 0,5501349 0,64786924 0,50331388 0,51786043 0,54336166
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00584527 0,00538728 0,00616042 0,00559188 0,00561264 0,00571994 0,00582967 0,00541731 0,00613134 0,00628412 MIN 0,00456694 0,00458083 0,0037708 0,00447045 0,00436165 0,00510902 0,00496719 0,00446048 0,00472171 0,00503662 MAX 0,01491194 0,00632118 0,02276461 0,0065156 0,00731451 0,00720182 0,00683902 0,00624779 0,00731596 0,00760993 MAE 0,04176722 0,04087302 0,04084095 0,04207763 0,04207798 0,04310564 0,04370793 0,04054557 0,04557894 0,04606714 DESVTÍP 0,00192911 0,00111345 0,00332175 0,0012356 0,00126566 0,00127725 0,00134854 0,00117438 0,00153946 0,00167585 CV 0,87583625 0,81107766 0,95975324 0,82653809 0,83339897 0,82855514 0,83729397 0,83779664 0,85162067 0,87836711 TCOMP 0,56745314 0,5401576 0,54907363 0,53796415 0,56334868 0,54176064 0,61989698 0,53661558 0,53483464 0,60501207
Tabla AP4 s y - Y r
.2. Resultado trayectoria H pocycloid componente – caso de p ueba 1.
A‐66 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009712487 0,00977937 0,00929698 0,0081643 0,0089402 0,00753622 0,00756946 0,00741567 0,00738617 0,00750097
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00752399 0,00762267 0,00722793 0,00717028 0,00718902 0,00716872 0,01088772 0,00746282 0,00759025 0,00778759
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00796626 0,00792521 0,00829846 0,00797696 0,00814387 0,00809126 0,00846717 0,00819631 0,00972144 0,00860643
Tabla AP4.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.
Figura AP4.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1 (datos tabla AP4.3).
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
A‐67 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Figura AP4.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.
0,0
1,0
1,2
0,2
0,4
0,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
m s
g.
0,6po
Nº de neuronas en la capa oculta
A‐68 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
) en la estimación (X e Y) Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 1.
Figura AP4.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Hypocyloid - caso de prueba 1.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
Figura AP4.4. Desviación típica (DESVTIP
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐69 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
AP4.2 Hypocycloid Caso de prueba 2.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007025128 0,00713882 0,00672803 0,00653847 0,00534093 0,00531711 0,00527309 0,00516774 0,00497792 0,00512992 MIN 0,006330299 0,00597571 0,00575164 0,00565545 0,00458756 0,0039487 0,00456363 0,00407858 0,00361256 0,00426916 MAX 0,007736614 0,00859538 0,00785067 0,00805025 0,00618172 0,00647931 0,00617029 0,00649315 0,00596074 0,00647223 MAE 0,054302964 0,0555752 0,05169007 0,05104592 0,03930299 0,03987179 0,03838647 0,03793101 0,03651359 0,0381101 DESVTÍP 0,001777054 0,00179826 0,00166345 0,0014884 0,0011934 0,00112852 0,00119807 0,00113669 0,00105014 0,00107728 CV 0,774255361 0,76057069 0,78932873 0,75725851 0,871913 0,83588759 0,89271287 0,87451598 0,87825485 0,85416221 TCOMP 1,122295873 0,87058078 0,55759052 0,50613056 0,5169345 0,57042016 0,50416687 0,52157912 0,54342812 0,56129422
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,004784 0,00477832 0,00532366 0,00495556 0,00557464 0,00529697 0,00532125 0,0056742 0,00486564 0,02439393 MIN 0,00333232 0,00396947 0,0044163 0,00423605 0,00446158 0,00450717 0,00469029 0,00426791 0,004014 0,00507092 MAX 0,0 0,00643243 6264 0,07780694 0597708 0,00557366 0,00669304 0,00567265 0,00662967 0,0062851 0,00706139 0,0062MAE 0,06898832 0,0354765 0,03608246 0,03906938 0,03684149 0,0408759 0,03965397 0,03973578 0,04214245 0,0361245DESVTÍP 0,00094961 0,00088845 0,0011982 0,00099795 0,00132817 0,00112321 0,00113817 0,00133263 0,00097249 0,10299448 CV 0,85457044 0,82281079 0,87910786 0,85250242 0,87430189 0,83861784 0,84401861 0,85059531 0,85486713 2,50078755 TCOMP 0,91963537 0,56084929 0,52868545 0,50592754 0,88255136 0,51950359 0,56278988 0,52296821 0,55212655 0,60435967
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,01081561 0,00518964 0,00581911 0,00589949 0,00549711 0,00600647 0,00560105 0,0087711 0,00636279 0,00635328 MIN 0,0042908 0,00444368 0,00447757 0,00389692 0,00444508 0,00465946 0,00451965 0,00507189 0,0048959 0,00529641 MAX 0,02799545 0,00644351 0,00912546 0,01106973 0,00722482 0,00857516 0,00916365 0,04242762 0,0171749 0,00873379 MAE 0,04673031 0,0384001 0,04080827 0,04171651 0,04007742 0,0438982 0,04104348 0,04785119 0,04428651 0,04659695 DESVTÍP 0,01630496 0,00110725 0,00166897 0,00175792 0,00130626 0,00157305 0,00138998 0,01134068 0,0024675 0,00170849 CV 1,64256015 0,86355844 0,95172802 0,92561413 0,89027393 0,87863979 0,86654779 1,22449551 0,92713525 0,88147561 TCOMP 0,90770978 0,51117756 0,52865749 0,55552755 0,53887386 0,53117552 0,57227079 0,50929451 0,55729552 0,55910361
Tabla AP4.4. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente X– caso de prueba 2.
A‐70 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,0067723 0,00656533 0,00583728 0,00554196 0,00581492 0,00548822 0,00568006 0,00532031 0,00493551 0,00490411 MIN 0,006037973 0,00534391 0,005045 0,00451857 0,00485153 0,00467952 0,00446147 0,00441152 0,00372777 0,00349697 MAX 0,007946198 0,00799064 0,00675075 0,00645515 0,00694424 0,00625503 0,00705736 0,00686129 0,00583084 0,00564645 MAE 0,053214732 0,05104392 0,04422549 0,04183093 0,04394412 0,04085393 0,04288763 0,04022835 0,03673655 0,03704972 DESVTÍP 0,001562714 0,00152647 0,00131511 0,00119664 0,00131327 0,00122147 0,00126835 0,00110312 0,00098602 0,00093736 CV 0,740908438 0,76426343 0,81384934 0,82271339 0,82129283 0,85099152 0,82030654 0,8167835 0,85225591 0,82048603 TCOMP 1,122295873 0,87058078 0,55759052 0,50613056 0,5169345 0,57042016 0,50416687 0,52157912 0,54342812 0,56129422
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00565238 0,00525696 0,00500788 0,00522967 0,00539726 0,00537641 0,00568105 0,00588665 0,00517889 0,00532324 MIN 0,00466831 0,00421033 0,00419683 0,0041528 0,00433826 0,00411456 0,00407374 0,00430901 0,00420501 0,00457117 MAX 0,01002665 0,0067213 0,00589735 0,00749485 0,00734462 0,00708272 0,0105123 0,01249267 0,00616039 0,00706515 MAE 0,04037562 0,03875034 0,03762734 0,03864771 0,04002218 0,04023541 0,0402829 0,04003019 0,03842692 0,0403876 DESVTÍP 0,00152218 0,00115964 0,00099063 0,00115316 0,00120636 0,00116784 0,00167337 0,00197172 0,00109832 0,00108641 CV 0,91961957 0,86917814 0,83130167 0,85950421 0,85795593 0,83735226 0,90791585 0,99219007 0,85754984 0,81373255 TCOMP 0,91963537 0,56084929 0,52868545 0,50592754 0,88255136 0,51950359 0,56278988 0,52296821 0,55212655 0,60435967
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00539419 0,00560685 0,00590175 0,00562843 0,00668875 0,00631405 0,00559954 0,01260843 0,0055588 0,00577801 MIN 0,00415842 0,00459029 0,00458638 0,00451372 0,00501869 0,00448783 0,00432035 0,00430406 0,00465584 0,00422818 MAX 0,00674877 0,00715677 0,00717234 0,00701654 0,01481715 0,01649142 0,00702549 0,05580736 0,00689729 0,00811442 MAE 0,03950882 0,04187695 0,04401505 0,04159253 0,04763936 0,04313968 0,04176003 0,0521378 0,04097384 0,04237309 DESVTÍP 0,00124311 0,00127178 0,00140754 0,00132684 0,00233817 0,00246013 0,00129107 0,03273415 0,00129511 0,00144578 CV 0,87996063 0,84175746 0,84779086 0,86012513 0,90296174 0,96805533 0,83876963 1,53762215 0,86894136 0,87387577 TCOMP 0,90770978 0,51117756 0,52865749 0,55552755 0,53887386 0,53117552 0,57227079 0,50929451 0,55729552 0,55910361
Tabla AP4.5. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente Y – caso de prueba 2.
A‐71 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Nº 4 Neuronas 1 2 3 5 6 7 8 9 10 MSET 0,009757892 0,00969878 0,00890732 0,00857116 0,00789549 0,00764148 0,00775039 0,00741695 0,00700992 0,00709693
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00740514 0,00710408 0,00730891 0,00720465 0,00775932 0,00754743 0,00778396 0,00817614 0,007106 0,02496799
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,01208614 0,00763997 0,0082881 0,00815373 0,00865781 0,00871464 0,00792001 0,01535919 0,00844898 0,00858776
Tabla AP4.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2.
d n Tr p a Figura AP4.6. Error me io (MSET) e estimación ayectoria Hy ocycloid - c so de prueba 2 (datos tabla AP4.6).
0,000
0,010
0,015
0
1 1 4 7 2
MS
ro o
0,005
0,020
0,025
0,03
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 1Nº de neu
15 16 1nas en la capa
18 19 20culta
21 22 23 24 25 26 7 28 29 30
E X
Y
MSE
A‐72 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
0,2
0,
Tie
mp
o sg
.
Figura A o ci ) n Hy - e
P4.7. Tiemp de computa ón (TCOMP en estimació Trayectoria pocycloid caso de pru ba 2.
0,01
4
1,2
2 3 5 10 12 13 1 5 16 17 19 20 2 2 23 24 26 27 2 30e c
0,6
0,8
1,0
Tiemp
4 6 7 8 9 11 4 1 18 1 2 25 8 29Nº d neuronas en la apa oculta
o de computación
A‐73 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Figura AP4.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2.
Figura AP4.9. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 2.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐74 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
AP4.3 Hypo ba 3
onas
cycloid Caso de prue .
NºNeur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007119345 0,00717344 0,00714909 0,00523074 0,0059224 0,00547838 0,00505639 0,00459847 0,00517981 0,00528871 MIN 0,005885399 0,00607137 0,00587305 0,0044321 0,00441881 0,00433877 0,00414247 0,00346783 0,0043214 0,00425086 MAX 0,00796089 0,00773993 0,00854059 0,00647681 0,00666294 0,00695735 0,00605338 0,00538626 0,00659412 0,00663121 MAE 0,055793686 0,05553475 0,0554859 0,03965518 0,04462726 0,04085958 0,03725924 0,03453188 0,03907127 0,03926478 DESVTÍP 0,001743937 0,001839 0,00182475 0,0010607 0,00137398 0,00122009 0,00106676 0,00083872 0,00105166 0,00115144 CV 0,746311544 0,77286219 0,76628683 0,8122562 0,82461335 0,84405944 0,86936209 0,83200352 0,82291471 0,8529966 TCOMP 1,364268284 0,80838171 0,70165313 0,70460748 0,67926195 0,51960165 0,54730039 0,51238633 0,63248834 0,50641178
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00500605 0,00529541 0,00506945 0,00534119 0,00540787 0,00502945 0,00521719 0,00525789 0,00568633 0,0050744 MIN 0,00370153 0,00413029 0,00390273 0,00448612 0,00386309 0,00404816 0,00405739 0,00406236 0,00421203 0,00437499 MAX 0,00748591 0,00655264 0,00592458 0,0070112 0,00620715 0,00594022 0,00666058 0,00640017 0,01212202 0,0057745 MAE 0,03548348 0,038557 0,03740125 0,03961227 0,03978416 0,03707092 0,03828802 0,03779444 0,04058683 0,03733906 DESVTÍP 0,00118445 0,00120911 0,00107379 0,00117978 0,00122795 0,00105871 0,00115398 0,00124528 0,00164783 0,00107108 CV 0,93924295 0,89491525 0,86670454 0,85384808 0,87335925 0,86931854 0,87819318 0,91416707 0,90265858 0,87490855 TCOMP 0,52072776 0,51419887 0,60287535 0,49907448 0,50755206 0,50670151 0,49974512 0,58667389 0,52761931 0,5074617
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00545884 0,00513168 0,00570851 0,005367 0,00604091 0,00561812 0,00619431 0,01000127 0,00584714 0,0307081 MIN 0,00410631 0,00392325 0,00456275 0,00463081 0,00462321 0,00434722 0,00469549 0,0046279 0,00444625 0,00580028 MAX 0,00671134 0,0068645 0,00730218 0,00673471 0,00775193 0,00647767 0,00999092 0,04425013 0,00708719 0,08494675 MAE 0,03948679 0,03685416 0,04062641 0,03899696 0,04268855 0,04126601 0,04451657 0,04907973 0,04261435 0,08475466 DESVTÍP 0,00131138 0,00119634 0,0014975 0,00125092 0,00170618 0,00132821 0,00176811 0,01643767 0,00147336 0,14610372 CV 0, 455 2,64425835 90404938 0,91485067 0,93935209 0,89622082 0,94767778 0,87714062 0,9090844 1,33951274 0,89304TCOMP 0,51505145 0,52979899 0,52657466 0,60349493 0,58753701 0,59698428 0,60424013 0,63835753 0,56981962 0,57362503
Tabla AP4.7. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente X– caso de prueba 3.
A‐75 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007086932 0,00699706 0,00521567 0,00599795 0,00550647 0,00526991 0,00512019 0,00512059 0,00530545 0,00597971 MIN 0,005661672 0,00629157 0,00431646 0,00521842 0,00492283 0,00443873 0,00430313 0,00428617 0,00463037 0,00438933 MAX 0,008056542 0,00768985 0,00613731 0,0067326 0,00635281 0,00605788 0,00602707 0,00626029 0,00608066 0,01346913 MAE 0,054902635 0,05464861 0,03971292 0,04672025 0,04183589 0,03926074 0,03852546 0,03821184 0,04002217 0,04040339 DESVTÍP 0,001799647 0,00170004 0,00103495 0,0012595 0,0011577 0,0011167 0,00103172 0,00105934 0,001094 0,00213354 CV 0,770876758 0,75392259 0,80506592 0,76074535 0,80800329 0,85167238 0,8285978 0,84438779 0,82413444 0,99199521 TCOMP 1,364268284 0,80838171 0,70165313 0,70460748 0,67926195 0,51960165 0,54730039 0,51238633 0,63248834 0,50641178
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00494363 0,00505357 0,00564286 0,00504811 0,00561601 0,00575424 0,00691626 0,00608877 0,00531696 0,00540194 MIN 0,0041485 0,00409149 0,00466173 0,00425633 0,00437726 0,00442674 0,00438142 0,00400948 0,00395301 0,00451258 MAX 0,00607947 0,00624627 0,00693882 0,00604694 0,00681207 0,01305595 0,03644959 0,01442305 0,00650032 0,0070114 MAE 0,03702629 0,0370554 0,04190618 0,03850945 0,04199132 0,04123856 0,04245443 0,04171575 0,03962385 0,04106204 DESVTÍP 0,00097883 0,0010902 0,00130333 0,00096453 0,00127093 0,00172964 0,00700072 0,00236512 0,00115281 0,00112079 CV 0,84648996 0,80692648 0,83581907 0,87608736 0,85274759 0,80047774 0,83952197 0,88584134 0,99412463 0,93750713TCOMP 0,52072776 0,51419887 0,60287535 0,49907448 0,50755206 0,50670151 0,49974512 0,58667389 0,52761931 0,5074617
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00568524 0,00556643 0,00564701 0,00640199 0,00940781 0,00692938 0,02089611 0,00581948 0,0096424 0,00594901 MIN 0,00435569 0,00401772 0,0046959 0,00390297 0,00445106 0,00436509 0,00490575 0,00478425 0,0052506 0,00445641 MAX 0,0067458 0,0066356 0,00708151 0,01435747 0,03548595 0,0322831 0,10939705 0,00677252 0,06470313 0,00973996 MAE 0,04323982 0,04137086 0,04188033 0,04428954 0,04946534 0,04304767 0,07116673 0,0433976 0,05176953 0,04236698 DESVTÍP 0,00123315 0,00127895 0,00131399 0,00241325 0,01387448 0,00586671 0,1065768 0,00136383 0,0211068 0,00170418 CV 0,80784047 0,84948285 0,85576229 0,93654885 1,17501843 1,01913685 1,79061109 0,84794705 1,11432686 0,91873137 TCOMP 0,51505145 0,52979899 0,52657466 0,60349493 0,58753701 0,59698428 0,60424013 0,63835753 0,56981962 0,57362503
Tabla AP4.8. Resultados trayectoria Hypocycloid - componente Y – caso de prueba 3.
A‐76 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010045381 0,01002084 0,00884945 0,0079584 0,00808678 0,00760162 0,00719607 0,00688232 0,00741474 0,00798294
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00703562 0,00731983 0,00758559 0,00734927 0,00779645 0,00764242 0,00866335 0,00804478 0,00778488 0,00741151
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00788168 0,00757095 0,00802968 0,00835405 0,01118032 0,00892074 0,02179488 0,01157116 0,01127675 0,03127903
Tabla AP4.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3.
Figura AP4.10. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3 (datos tabla AP4.9).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐77 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Figura AP4.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Hypocycloid - caso de prueba 3.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
A‐78 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
Figura AP4 ió S es e ri i r
AP4.1 i o c ú ro o l
.12. Desviac n típica (DE VTIP) en la timación (X Y) Trayecto a Hypocyclo d - caso de p ueba 3.
Figura 3. Error med o máximo (MAX) y mínim (MIN) para ada caso de n mero de neu nas. Trayect ria Hypocyc oid - caso de prueba 3.
0,00
0,02
0,04De
0,06svia
0,08ción
0,10
ica 0,12
0,14
0
1 2 9 9 2 2 2 9
Nº de neuronas en la
,16
3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 20 21 2 3 24 25 6 27 28 2 30
típ
Desviación tipica X
Desviación típica Y
capa oculta
0,00
0,01
0,02
0,03
Err
or M
0,04
6
1 2 1 5 25 8N e ta
0,05SE
0,0
0,07
0,08
0,09
Error MIN X
Error MAX X
3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 13 14 1 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 2 29 30º de neuronas n la capa ocul
A‐79 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
AP4.4 Hypocycloid Res
Figura AP4.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Hypocycloid (datos tablas AP4.3, AP4.6 y AP4.9).
Figura AP4.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
umen.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSETMIN
A‐80 ANEXO A. Apéndice 4. Resultados trayectoria Hypocycloid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 1,001865223 0,6414064 0,49805819 0,50613056 0,48172463 0,47896347 0,50416687 0,49889294 0,51127157 0,50641178
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TCOMPMIN 0,52072776 0,50117797 0,49847354 0,49907448 0,50755206 0,50670151 0,49974512 0,50331388 0,51786043 0,5074617
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TCOMPMIN 0,51505145 0,51117756 0,52657466 0,53796415 0,53887386 0,53117552 0,57227079 0,50929451 0,53483464 0,55910361
Tabla AP4.10. Hypocy d. Tiem omputaci mínimo (T MPMIN) s tres sim ones.
p ta ( N im a 4.
loi po de c ón CO en la ulaci
Figura AP4.16. Tiem o de compu ción mínimo TCOMPMI ) en las tres s ulaciones (d tos tabla AP 10).
0,0
0,2
0,4
1 2 1 18 1
M
s lt
0,6
XY
0,8
1,0
1,2
SE
TCOMP
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Nº de neurona
5 16 17en la capa ocu
19 20 2a
22 23 24 25 26 27 28 29 30
MIN
A‐81 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
A‐82 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
A‐83 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
( i )
( ii ) Figura AP5.1 Ejemplos de seguimiento trayectoria Nephroid
(con 20 -i- y 17 neuronas –ii-).
A‐84 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
AP5.1 Nephroid Caso de prueba 1.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007140515 0,00709762 0,00746009 0,00660064 0,00636806 0,00655132 0,00624956 0,00569641 0,00631441 0,00580279 MIN 0,005596415 0,00540463 0,00632086 0,00530134 0,00509489 0,00521348 0,00512235 0,00453724 0,00501781 0,00488536 MAX 0,008415257 0,0083585 0,00984173 0,00795604 0,0073775 0,00806906 0,00750455 0,0068135 0,00752983 0,00695156 MAE 0,056288742 0,055877 0,05760952 0,05023421 0,04909204 0,05136132 0,04811826 0,04310764 0,04842527 0,04426758 DESVTÍP 0,001724088 0,00170733 0,00202561 0,00166837 0,0014817 0,00147739 0,00143498 0,00124955 0,00148627 0,00126796 CV 0,734521211 0,73831729 0,77571839 0,80328302 0,77968201 0,74563667 0,78117247 0,8193572 0,79011484 0,80278189 TCOMP 1,029829784 0,54091414 0,4991146 0,51846258 0,48026665 0,49201638 0,48677609 0,49494206 0,48503891 0,48305496
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00757829 0,00576903 0,0058854 0,00634704 0,00571015 0,00570018 0,0057497 0,00587683 0,0059363 0,00556973 MIN 0,00525692 0,00472437 0,00498058 0,00532408 0,00454733 0,00466441 0,00442232 0,00426565 0,00536432 0,00416546 MAX 0,01961079 0,0073744 0,00716859 0,00754421 0,00692658 0,00780663 0,00793283 0,00696943 0,00688249 0,0068326 MAE 0,04953116 0,0439366 0,04490922 0,04830084 0,04335765 0,04294687 0,043536 0,04423381 0,04476203 0,04224456 DESVTÍP 0,00401199 0,00127504 0,00130684 0,00153635 0,00125439 0,00128788 0,00130928 0,00136016 0,00137401 0,00120441 CV 1,01807659 0,80228445 0,80003679 0,80506925 0,81046616 0,82213952 0,81198791 0,82824786 0,8250066 0,81022616 TCOMP 0,48073306 0,47932735 0,4993476 0,50383256 0,48128902 0,5001629 1,14670504 0,51555554 0,50609044 0,5099619
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00602494 0,00606722 0,00583478 0,00664257 0,00607899 0,00947555 0,00801646 0,00637866 0,00684924 0,00693391 MIN 0,00493369 0,00487512 0,00460447 0,00500551 0,00462208 0,00513075 0,00501778 0,00472222 0,00482795 0,00474103 MAX 0,00700255 0,0069948 0,00732642 0,01029592 0,00701136 0,04026396 0,03026978 0,00850629 0,01233731 0,0132309 MAE 0,04638505 0,04571295 0,04364109 0,04868186 0,04492091 0,05412573 0,04938741 0,04807815 0,04892617 0,04998993 DESVTÍP 0,00133485 0,00144159 0,00136962 0,00195502 0,00152823 0,01275896 0,00661271 0,0016182 0,00229123 0,00233317 CV 0,78102967 0,8270769 0,84074549 0,8662646 0,8641326 1,08560883 1,05664193 0,81956966 0,90600639 0,88349849 TCOMP 0,50187373 0,51101628 0,50686968 0,50765053 0,55593966 0,62324571 0,50740578 0,51438284 0,5274629 0,544164
Tabla AP5.1. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 1.
A‐85 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
NºNeuronas 1 8 9 10 2 3 4 5 6 7 MSE 0,008191034 0,00769654 0,00732498 0,00554161 0,00616241 0,00515235 0,00456006 0,00477357 0,00453658 0,00496129 MIN 0,00705556 0,00625685 0,0062854 0,00448309 0,00498613 0,00441985 0,00375801 0,00405298 0,00357086 0,0039798 MAX 0,009826034 0,00917099 0,00828589 0,00694519 0,00716564 0,00631191 0,00575118 0,00567416 0,00548483 0,00596565 MAE 0,063216219 0,05924145 0,05664622 0,04183279 0,04517703 0,03847873 0,03368082 0,03601516 0,03351676 0,03692237 DESVTÍP 0,002440758 0,0021694 0,00192194 0,00120424 0,00160945 0,00107238 0,00087132 0,00089203 0,00085648 0,00100359 CV 0,777268468 0,78324142 0,77638928 0,81958566 0,87868211 0,84199426 0,86295967 0,82234915 0,86321453 0,84861279 TCOMP 1,029829784 0,54091414 0,4991146 0,51846258 0,48026665 0,49201638 0,48677609 0,49494206 0,48503891 0,48305496
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00522373 0,0048544 0,00467802 0,00476189 0,00470899 0,00482218 0,00642564 0,00502584 0,0065781 0,0040807 MIN 0,00373228 0,00399891 0,00352123 0,00366769 0,00378528 0,00370062 0,00435342 0,00366044 0,00404817 0,00297116 MAX 0,01058837 0,00788468 0,0073029 0,00706675 0,00607781 0,00638882 0,01793615 0,0126232 0,03630011 0,00503511 MAE 0,03691021 0,03554881 0,03340544 0,03430841 0,03419271 0,03398191 0,03971256 0,03350418 0,03914304 0,02980567 DESVTÍP 0,001398 0,00103527 0,00105029 0,00101838 0,00096539 0,00109996 0,00352008 0,00160558 0,00682549 0,00071614 CV 0,92519562 0,87399905 0,91258428 0,9125676 0,89910216 0,95085298 1,10600756 1,01565422 1,04677173 0,88698596 TCOMP 0,48073306 0,47932735 0,4993476 0,50383256 0,48128902 0,5001629 1,14670504 0,51555554 0,50609044 0,5099619
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,0046053 0,0070269 0,00545509 0,00528446 0,00501609 0,00501495 0,00544621 0,00573062 0,00540459 0,00562601 MIN 0,00342918 0,00400156 0,00410887 0,00362013 0,00437463 0,00380537 0,00378148 0,00408319 0,00444693 0,00404083 MAX 0,00518289 0,0318956 0,01047017 0,00720039 0,00626003 0,00837876 0,00821149 0,01184116 0,00713944 0,01094683 MAE 0,03321047 0,03682638 0,03681066 0,03812813 0,03664698 0,03535239 0,03740629 0,03669243 0,03705059 0,03874326 DESVTÍP 0,00093513 0,00747237 0,00168833 0,0012439 0,00106866 0,00122155 0,00153617 0,00217777 0,0014732 0,00167446 CV 0,9130258 1,28181882 1,00548687 0,9091166 0,88921344 0,94646289 0,99426482 1,0887472 1,00413138 0,98185436 TCOMP 0,50187373 0,51101628 0,50686968 0,50765053 0,55593966 0,62324571 0,50740578 0,51438284 0,5274629 0,544164
Tabla A d a o e
P5.2. Resulta os trayectori Nephroid - c mponente Y – caso de pru ba 1.
A‐86 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010866461 0,01046962 0,01045506 0,00861846 0,00886157 0,00833466 0,00773635 0,0074321 0,00777511 0,00763457
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00920423 0,00753969 0,0075181 0,00793477 0,00740138 0,00746629 0,00862252 0,0077328 0,00886065 0,00690464
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00758345 0,00928377 0,00798766 0,00848818 0,00788132 0,01072081 0,00969149 0,0085748 0,00872477 0,00892922
Tabla AP5.3. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.
Figura AP5.2. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1 (datos tabla AP5.3).
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSE
A‐87 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Figura AP5.3. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.
0,0
0,2
1,4
0,4
0,6
Tie
mp
o sg
.
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de putacióncom
A‐88 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Figura AP5.4. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.
Figura AP5.5. Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Nephroid - caso de prueba 1.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Des
viac
ión
típ
ica
Nº de neuronas en la capa oculta
Desviación tipica X
Desviación típica Y
0,0000,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,0400,045
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐89 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
AP5.2 Nephroid Caso de prueba 2.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007086991 0,00715161 0,00683291 0,00691841 0,00617011 0,00700247 0,00570753 0,00569546 0,00649546 0,00652417 MIN 0,005715377 0,006269 0,00579846 0,00566771 0,00485021 0,00565593 0,00450206 0,00480323 0,00552901 0,00480807 MAX 0,008090062 0,00814344 0,00779941 0,00848963 0,00688427 0,00824162 0,00695856 0,00686441 0,00772526 0,01212867 MAE 0,055868051 0,05659473 0,05326095 0,05437146 0,04720965 0,05364778 0,04338865 0,04382328 0,05048675 0,0478695 DESVTÍP 0,001694827 0,00169354 0,00163756 0,00164247 0,00142118 0,0018448 0,00124363 0,00119298 0,0014954 0,00194847 CV 0,733243063 0,7270524 0,7576717 0,73995294 0,79543858 0,78765497 0,80988125 0,78330029 0,7635397 0,85581834 TCOMP 1,144818344 0,47705367 0,47525531 0,51474348 0,48422564 0,49333699 0,49748156 0,48177082 0,48898858 0,51081894
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00589659 0,0063444 0,00595808 0,00678636 0,00572656 0,00557344 0,00666196 0,00618136 0,00582649 0,00583117 MIN 0,00 86574 0,00470382 474557 0,00509765 0,0047364 0,00462507 0,00451876 0,00459565 0,00496269 0,00469251 0,004MAX 0,01538096 0,0069394 0,00733468 0,00687403 0,00725187 0,00712542 0,01344532 0,00681902 0,00649004 0,009725MAE 0,04475835 0,04861575 0,04533428 0,04724251 0,04272003 0,04234057 0,0464261 0,04606419 0,04426094 0,0436515 DESVTÍP 0,00134131 0,00149695 0,00134915 0,00256206 0,00132578 0,00119124 0,00246906 0,00159231 0,00130074 0,00136658 CV 0,81041292 0,79240835 0,80592067 0,93280138 0,84563863 0,8081436 0,94078298 0,84082636 0,80843981 0,83741383 TCOMP 0,50242807 0,50556082 0,49172259 0,49830902 0,49905787 0,50219223 0,51937473 0,50200867 0,54600491 0,51810437
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00781737 0,00617448 0,00661294 0,00619055 0,00647085 0,00638913 0,00702579 0,00957893 0,00664841 0,00666452 MIN 0,00484469 0,00515004 0,00487827 0,00483332 0,00529126 0,00534652 0,00539882 0,00519401 0,00549939 0,00520343 MAX 0,02754949 0,00709992 0,00859439 0,00731788 0,00857054 0,00782676 0,01567417 0,02654746 0,00798569 0,0099237 MAE 0,04917197 0,0459317 0,04913893 0,04590002 0,04779988 0,0476432 0,04981325 0,05272163 0,0492672 0,04606119 DESVTÍP 0,00563454 0,00154532 0,00182243 0,00157522 0,00173894 0,00164631 0,00262677 0,01010169 0,00182566 0,00226164 CV 2551 1,03460603 0,85185059 0,84606275 0,85786587 0,86659875 0,84769569 0,90698878 1,25256797 0,85634655 0,979TCOM 0,50629427 0,53995782 0,51748236 0,5198618 0,5204826 0,53076543 0,52064874 0,83269363 0,58339932 0,54975521 P
Tabla AP5.4. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 2.
A‐90 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Nº 3 4 5 6 7 8 9 10 Neuronas 1 2 MSE 0,008090424 0,00806558 0,00678953 0,00749218 0,0045878 0,00508906 0,00478798 0,00474374 0,00488304 0,00498575 MIN 0,006683397 0,00696872 0,00578392 0,00658712 0,00363628 0,0036255 0,00392757 0,00355969 0,00363715 0,00375904 MAX 0,009120851 0,00945135 0,00806269 0,00857052 0,00576103 0,00661695 0,00667859 0,00631909 0,00581531 0,00665485 MAE 0,063188429 0,06197793 0,05065718 0,05827092 0,03453354 0,03729997 0,0346188 0,03536528 0,03615771 0,03646582 DESVTÍP 0,002281152 0,00238763 0,00185737 0,00198084 0,00082782 0,0011034 0,00101292 0,00094054 0,0009847 0,0010669 CV 0,753407985 0,78774281 0,84472844 0,76263209 0,82907582 0,88233591 0,90579764 0,83647656 0,85925384 0,88326362 TCOMP 1,144818344 0,47705367 0,47525531 0,51474348 0,48422564 0,49333699 0,49748156 0,48177082 0,48898858 0,51081894
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00424282 0,00471583 0,00509011 0,0047257 0,00482164 0,00527354 0,0045232 0,00455594 0,00498069 0,00452287 MIN 0,0032973 0,00396133 0,00439502 0,00395414 0,00409493 0,00366706 0,00332195 0,00351113 0,00397194 0,00337164 MAX 0,00531697 0,00583774 0,00623901 0,0057336 0,00634425 0,01459844 0,00644402 0,00594899 0,00619874 0,00526157 MAE 0,03168328 0,03463355 0,03721095 0,03488556 0,0346822 0,03473661 0,03263409 0,03318503 0,03618986 0,03234905 DESVTÍP 0,0,0007309 0,00093994 0,00110785 0,00092952 0,00103622 0,00188408 0,00091661 00089924 0,0010835 0,00092052 CV 0,84131631 0,874123 0,8853963 0,86677713 0,91640131 1,02960716 0,90735013 0,89248554 0,89496099 0,93011946 TCOMP 0,50242807 0,50556082 0,49172259 0,49830902 0,49905787 0,50219223 0,51937473 0,50200867 0,54600491 0,51810437
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00479142 0,00445132 0,00536762 0,0049832 0,00484059 0,00495438 0,00580034 0,00462864 0,00488132 0,00574687 MIN 0,00381575 0,00358283 0,00433044 0,00358855 0,00369762 0,00384727 0,00365962 0,00366507 0,00403737 0,00443761 MAX 0,00642127 0,00554739 0,00678191 0,00671497 0,00693693 0,00589509 0,01229433 0,00755764 0,00618467 0,01334651 MAE 0,03327596 0,03201756 0,03694238 0,03562683 0,0338294 0,03366162 0,0377592 0,03267812 0,03491546 0,03788733 DESVTÍP 0,00110827 0,00088074 0,00142583 0,00113638 0,00113451 0,00123668 0,00208446 0,00103726 0,00107428 0,00206094 CV 0,98399654 0,91603516 0,99999236 0,92377843 0,966607 1,02730988 1,07113097 0,941668 0,92803206 1,04112207 TCOMP 0,50629427 0,53995782 0,51748236 0,5198618 0,5204826 0,53076543 0,52064874 0,83269363 0,58339932 0,54975521
Tabla A do a N o e
P5.5. Resulta s trayectori ephroid - c mponente Y – caso de pru ba 2.
A‐91 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSET 0,010755482 0,01077957 0,00963257 0,0101979 0,00768883 0,00865639 0,00744988 0,00741224 0,0081262 0,00821112
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00726438 0,00790509 0,00783632 0,00826964 0,0074861 0,0076729 0,00805239 0,00767892 0,0076652 0,00737963
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00916891 0,00761173 0,00851718 0,00794702 0,00808104 0,00808498 0,00911074 0,01063862 0,00824795 0,00880013
Tabla AP5.6. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 2.
m e so ( P
Figura AP5.6. Error edio (MSET) en estimación Trayectoria N phroid - ca de prueba 2 datos tabla A 5.6).
0,000
0,002
0,004
1 1 1 1 20 23 6 9
MS
ur a
0,006EX
0,008
0,010
0,012
Y
MSE
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 4 15 16 7 18 19 21 22 24 25 2 27 28 2 30Nº de ne onas en la cap oculta
A‐92 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Figura AP5.7. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 2.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
A‐93 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Figura AP5.8. Desviación típica (DESVTIP) en la estimación (X e Y) Trayectoria Nephroid - caso de prueba 2.
Figura AP5.9. - caso de prueba 2.
0,000
0,010
0,012
Error medio máximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria Nephroid
0,002
0,004
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
svia
ci
0,006ónt
0,008
ípic
a
Desviación tipica X
Desviación típica Y
De
Nº de neuronas en la capa oculta
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Err
or M
SE
Nº de neuronas en la capa oculta
Error MIN X
Error MAX X
A‐94 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
AP5.3 Nephroid Caso de prueba 3.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,007193378 0,00729992 0,00747925 0,0069361 0,00671893 0,0071397 0,00610353 0,00562525 0,00607438 0,00578177 MIN 0,0059598 0,00628498 0,00628563 0,00586084 0,00547682 0,00581178 0,0049977 0,00468075 0,00474813 0,00479814 MAX 0,008522762 0,00832744 0,00861271 0,00873679 0,00740739 0,00881141 0,00724154 0,00706679 0,00862867 0,00720171 MAE 0,057032479 0,05701387 0,05785628 0,0535265 0,05188623 0,05589555 0,04654382 0,04350487 0,0453817 0,04380679 DESVTÍP 0,00170411 0,00185587 0,00200751 0,0017593 0,00163448 0,00176804 0,00140499 0,00114645 0,00151488 0,00129728 CV 0,722251782 0,75414507 0,77494307 0,77594181 0,77631036 0,74894136 0,80192735 0,77357911 0,83516855 0,81385933 TCOMP 1,13128768 0,77635078 0,55711155 0,48431884 0,51473741 0,48078574 0,49862712 0,51243131 0,48418025 0,50267201
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,00607669 0,00583551 0,00591356 0,00706577 0,00624131 0,0062042 0,00590518 0,00631254 0,00600543 0,00579842 MIN 0,00554082 0,00502283 0,00483227 0,00578604 0,00505869 0,00504751 0,00439398 0,00525234 0,00492743 0,00459482 MAX 0,0073 0736261 0,00706267 1199 0,00695937 0,00835689 0,00818636 0,00909697 0,00720913 0,00695644 0,00836499 0,0MAE 378386 0,04710353 0,04611412 0,04446194 0,04741364 0,04490445 0,04365294 0,04664976 0,0449023 0,04497282 0,05DESVTÍP 0,00136457 0,00126194 0,00136064 0,00190047 0,00154756 0,00157164 0,00137287 0,00159137 0,00145123 0,00132745 CV 0,787045 0,77936018 0,80157457 0,80377285 0,81763736 0,85159684 0,82789554 0,82934841 0,83946681 0,82602318 TCOMP 0,48280899 0,51601952 0,49368872 0,50674203 0,48800349 0,51889495 0,51049355 0,50616054 0,50677526 0,64707501
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00631197 0,00599908 0,00647294 0,00687793 0,0061994 0,00657174 0,00624619 0,00660581 0,00622209 0,00645507 MIN 0,00535057 0,00467303 0,00481588 0,00500897 0,00533323 0,0048646 0,00487087 0,00541998 0,00483396 0,00504908 MAX 0,00713472 0,00677083 0,01016202 0,01829617 0,00726134 0,01004357 0,01015603 0,00834706 0,00752244 0,0082027 MAE 0,04764002 0,04513151 0,04619552 0,046126 0,04729787 0,04794927 0,04454131 0,04777893 0,04617388 0,04745516 DESVTÍP 0,00154877 0,00141549 0,00197252 0,00321262 0,00144475 0,00192565 0,00186417 0,00191947 0,00159104 0,00176375 CV 0,82298465 0,82920762 0,92021421 0,97159264 0,80157555 0,87787468 0,91801102 0,90656795 0,85445198 0,872353 TCOMP 0,51164964 0,54613579 0,503696 0,54183561 0,50934394 0,52008062 0,53298522 0,54299616 0,52472524 0,50400194
Tabla AP5.7. Resultados trayectoria Nephroid - componente X– caso de prueba 3.
A‐95 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MSE 0,008132579 0,00774224 0,00765461 0,0064023 0,00486728 0,00512994 0,00510151 0,00489017 0,00494697 0,00494738 MIN 0,007192109 0,00653579 0,00664082 0,00546273 0,00424767 0,00435934 0,00413998 0,00375708 0,00415873 0,00436219 MAX 0,009269065 0,00892594 0,00909204 0,00717078 0,00590765 0,0058458 0,00611722 0,00677273 0,00589722 0,00620406 MAE 0,063596598 0,06113003 0,06040843 0,0488457 0,03614271 0,03905294 0,03778192 0,03565788 0,03703808 0,03669782 DESVTÍP 0,002284275 0,00200772 0,00196653 0,00153774 0,00096964 0,00099296 0,00108028 0,00104515 0,00098204 0,00100685 CV 0,752631941 0,73177174 0,73187722 0,80194506 0,85314832 0,80717159 0,85682317 0,8853962 0,83632704 0,85466584 TCOMP 1,13128768 0,77635078 0,55711155 0,48431884 0,51473741 0,48078574 0,49862712 0,51243131 0,48418025 0,50267201
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSE 0,0043196 0,00490387 0,00504572 0,00489085 0,00507889 0,00527445 0,00470158 0,00425108 0,00453654 0,00474864 MIN 0,00369043 0,00385109 0,00422557 0,00415612 0,00418907 0,0038526 0,00375457 0,00339885 0,00391603 0,00371619 MAX 0,00539284 0,00663194 0,00649246 0,00624421 0,00636114 0,00852543 0,0059811 0,00519325 0,00527906 0,00631198 MAE 0,03 47204 0,03330393 171698 0,03610616 0,03648891 0,03573599 0,03678255 0,03636068 0,03372525 0,03099196 0,033DESVTÍP 0,00078373 0,00101444 0,00112263 0,00102857 0,0011281 0,00143094 0,00099082 0,0007792 0,00085311 0,00107044 CV 0,87954068 0,86987744 0,90519831 0,88398016 0,90536092 0,98208377 0,92389402 0,88930406 0,86849882 0,96538161 TCOMP 0,48280899 0,51601952 0,49368872 0,50674203 0,48800349 0,51889495 0,51049355 0,50616054 0,50677526 0,64707501
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSE 0,00498875 0,00467456 0,0050892 0,00514449 0,00539757 0,00647734 0,00505436 0,00869508 0,00566865 0,00640441 MIN 0,00417438 0,00395893 0,00399852 0,00407036 0,00411163 0,00364236 0,00384077 0,00370945 0,00381888 0,00404313 MAX 0,00634119 0,00786309 0,00642992 0,00915752 0,00688013 0,01100826 0,00843701 0,06314754 0,01833697 0,01016729 MAE 0,03542908 0,03327415 0,03581809 0,0364859 0,03739816 0,03944273 0,03379345 0,03877846 0,03627887 0,04105391 DESVTÍP 0,00115468 0,00101583 0,00121598 0,00129512 0,00142007 0,00288266 0,00142981 0,02173144 0,00255885 0,00239157 CV 0,93797287 0,93689082 0,959724 0,92877238 0,98848888 1,18093721 1,03701832 1,35467978 1,05455999 1,12660701 TCOMP 0,51164964 0,54613579 0,503696 0,54183561 0,50934394 0,52008062 0,53298522 0,54299616 0,52472524 0,50400194
Tabla AP5.8. Resultados trayectoria Nephroid - componente Y – caso de prueba 3.
A‐96 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Nº 3 4 5 6 Neuronas 1 2 7 8 9 10 MSET 0,010857418 0,01064101 0,01070197 0,00943922 0,00829665 0,00879156 0,00795478 0,00745367 0,00783394 0,00760956
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 MSET 0,00745554 0,0076224 0,00777364 0,00859334 0,00804669 0,00814322 0,00754825 0,00761051 0,00752632 0,00749475
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MSET 0,00804541 0,00760529 0,00823401 0,00858904 0,00821988 0,00922734 0,00803501 0,01091976 0,00841713 0,0090931
Tabla AP5.9. Error medio (MSET) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 3.
m ) n N s 3 A
Figura AP5.10. Error edio (MSET en estimació Trayectoria ephroid - ca o de prueba (datos tabla P5.9).
0,000
0,002
0,004
1 1 1 17 20 23 6 9
MS
ur a
0,006EX
0,008
0,010
0,012
Y
MSE
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 12 13 4 15 16 18 19 21 22 24 25 2 27 28 2 30Nº de ne onas en la cap oculta
A‐97 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
Figura AP5.11. Tiempo de computación (TCOMP) en estimación Trayectoria Nephroid - caso de prueba 3.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Tie
mp
o sg
.
Nº de neuronas en la capa oculta
Tiempo de computación
A‐98 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
ac E a X to d ue
Figura AP5.13. Error medio m Nephroid - caso de prueba 3.
Figura AP5.12. Desvi ión típica (D SVTIP) en l estimación ( e Y) Trayec ria Nephroi - caso de pr ba 3.
áximo (MAX) y mínimo (MIN) para cada caso de número de neuronas. Trayectoria
0,000
0,005
De
0,01svia 0
1 2 3 4 5 6 8 9 1 1 12 13 15 16 18 19 2 1 22 23 25 26 28 29 30
c
º n
0,015típ
i
0,020
0,025ió
nca
D Xesviación tipica
D Yesviación típica
7 0 1 14 17 0 2 24 27N de neuronas e la capa oculta
0,0160,0180,020
0,0000,0020,0040,006
Err 0,008
0,010
orM
0,012SE
0,014
1 2 9 12 22 25
s lt
3 4 5 6 7 8 10 11 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 24 26 27 28 29 30Nº de neurona en la capa ocu a
Error MIN X
Error MAX X
A‐99 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
AP5.4 Nephroid Resumen.
Figura AP5.14. Error medio (MSET) en la estimación en los tres casos de prueba (CP). Trayectoria Nephroid (datos tablas AP5.3, AP5.6 y AP5.9)
Figura AP5.15. Error medio MINIMO (MSETMIN) en los tres casos de prueba.
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
CP1
CP2
CP3
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
MSETMIN
A‐100 ANEXO A. Apéndice 5. Resultados trayectoria Nephroid.
NºNeuronas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TCOMPMIN 1,029829784 0,47705367 0,47525531 0,48431884 0,48026665 0,48078574 0,48677609 0,48177082 0,48418025 0,48305496
NºNeuronas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TCOMPMIN 0,48073306 0,47932735 0,49172259 0,49830902 0,48128902 0,5001629 0,51049355 0,50200867 0,50609044 0,5099619
NºNeuronas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TCOMPMIN 0,50187373 0,51101628 0,503696 0,50765053 0,50934394 0,52008062 0,50740578 0,51438284 0,52472524 0,50400194
Tabla AP5.10. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones.
Figura AP5.16. Nephroid. Tiempo de computación mínimo (TCOMPMIN) en las tres simulaciones (datos tabla AP5.10).
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
MSE
XY
Nº de neuronas en la capa oculta
TCOMPMIN
A‐101 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
A‐102 ANEXO A. Resultados de los casos de pruebas para la determinación del número de neuronas en la capa oculta.
Anexo B
Resultados de los casos de prueba para la determinación
de las funciones de transferencia.
“Después de lo sucedido, hasta el necio es sabio.”
Homero.
RESUMEN: Se detallan los resultados numéricos y gráficos obtenidos en los distintos
casos de prueba realizados de cara a la optimización en la estructura de la red neuronal
a implementar en lo relativo a la determinación de las funciones de transferencia a
utilizar en la capa oculta y capa de salida.
B.1 Casos de prueba.
B.2 Resultados trayectoria Line.
B.3 Resultados trayectoria Astroid.
B.4 Resultados trayectoria Freeth.
B.5 Resultados trayectoria Hypocycloid.
B.6 Resultados trayectoria Nephroid.
B.1 Casos de prueba.
La variable de Epochs, relativa al número de iteaciones a considerar en el aprendizaje, se especifica como 2000 (determinada empíricamente en el anterior apartado).
El número de capas oculta se queda en una, debidos a estudios realizados con este tipo de Red
Neuronal y caso que nos ocupa. La función de transferencia de la capa oculta y la función de
salida se establecen a ‘tansig','purelin', que a priori obtenían un mejor resultado por
estudios anteriores. Evidentemente el modelo solo incluye una capa de salida.
Las pruebas a realizar se realizarán sobre las siguientes trayectorias preestablecidas (figura 4.2):
Line
Astroid
Freeth
Hypocycloid
B-2 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia.
Nephroid
Se realizan las pruebas detalladas a continuación:
i. Se considerarán pruebas para las trayectorias de persecución definidas como line,
astroid, freeth, hypocycloid y nephroid (ver figura 4.2).
ii. Para cada prueba se considerará la utilización de una función de transferencia en la
capa oculta y otra en la capa de salida. Se toma como conjunto de funciones de
transferencia el especificado en la tabla 5.2, probándose todas las combinaciones
posibles.
iii. Cada prueba (configuración concreta con una función de transferencia para la capa
oculta y otra para la capa de salida), para un tipo de trayectoria previamente definido
(i.), constará de tres casos de prueba definidos cada uno de ellos por:
a. Generación de 10 trayectorias para entrenamiento, incorporando todos los
datos simulados error aleatorio. Función target a considerar en el
entrenamiento, en este caso sin error aleatorio (trayectorias simuladas).
b. Entrenamiento de la red neuronal con los datos anteriores.
c. Generación de 20 trayectorias para validación de la red neuronal,
incorporando error aleatorio en todos sus datos.
d. Estimación de trayectorias con la red neuronal a considerar, tomando como
datos de entrada las trayectorias generadas en el punto c anterior.
e. Valoración de resultados obtenidos considerándose para ello las estimaciones
obtenidas en las 20 trayectorias que componen cada caso de prueba,
considerándose las funciones de transferencia utilizadas (ii).
iv. Los casos de prueba anteriores se ejecutarán y valorarán tanto para la componente X
como la Y.
El resto de parámetros de las redes neuronales se configura de acuerdo a la tabla B.1.
TRAYECTORIA (CURVA)
NEURONAS EN LA CAPA OCULTA
“Epochs”
Line 5 2000
Astroid 12 2000
Freeth 15 2000
Hypocycloid 8 2000
Nephroid 20 2000
Tabla B.1. Configuración de parámetros de las redes neuronales.
Si bien se obtienen en las distintos casos de prueba los mismas variables estadísticas
consideradas para los casos de prueba del punto anterior, en este caso se valorará únicamente
el error medio en la estimación (MSET), calculado como la media de la distancia euclídea
entre la posición real y la estimada para veinte trayectorias consideradas (100 datos por
trayectoria) de la validación.
Para cada tipo de trayectoria, la prueba se repetiré en tres simulaciones (cada una de ellas con
sus veinte trayectorias, generadas de forma independiente, y entrenamiento independiente del
B-3 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia.
sistema en cada simulación), tomando como resultado final el mínimo valor de error MSET
obtenido en las tres simulaciones para cada configuración de funciones de transferencia. Con
esta elección del mínimo de las tres simulaciones, como en el caso anterior, se pretende
eliminar aquellos casos en los que el entrenamiento del sistema provoque la caída en mínimos
locales.
Los resultados se reflejan en tablas con la siguiente estructura:
El eje Vertical corresponde a la Función de Transferencia de la Capa Oculta.
El eje Horizontal corresponde a la Función de Transferencia de la Capa de Salida.
En cada casilla se muestra el error MSET obtenido para la configuración de funciones
de transferencia determinada por los ejes (MSET mínimo para la tabla “global” o
MSET calculado para las tablas correspondientes a cada simulación).
Los resultados obtenidos se presentan en tablas expuestas a continuación donde cada dato
correspondiente al error MSET para una cierta configuración de la red neuronal se clasifica en
base al siguiente código de colores:
Rojo: error alto.
Naranja/amarillo: error intermedio.
Verde: error bajo. La mejor estimación se resalta enmarcando la casilla
correspondiente.
B-4 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
B.2 Resultados trayectoria Line.
FTRANS compet hardlim Hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05202193 0,05178722 0,05175436 0,01439847 0,0151715 0,01466683 0,01400029 0,05184388 0,01429993 0,01438136 0,05219662 0,02229605 0,01414421
hardlim 0,05155227 0,05168341 0,0517621 0,01452692 0,01524519 0,01547697 0,01474664 0,05186697 0,01540487 0,03699277 0,05210392 0,01490321 0,01449503
hardlims 0,05185726 0,05179383 0,05165683 0,01500982 0,0149932 0,01465559 0,01433126 0,05198952 0,01473067 0,014571 0,05170738 0,03736302 0,01475259
logsig 0,05190274 0,05211887 0,05199594 0,01298954 0,01530743 0,01268511 0,00737407 0,0519644 0,0117041 0,00854326 0,05175532 0,035729 0,01277191
netinv 0,05160161 0,0519477 0,05194985 0,01587233 0,01590724 0,01547211 0,01292442 0,04861528 0,02135982 0,01443038 0,04922209 0,01421228 0,01498778
poslin 0,05202872 0,05186769 0,05190979 0,01183388 0,07369568 0,01322817 0,00911651 0,05187471 0,0133255 0,01210539 0,05177582 0,01096645 0,01319793
purelin 0,05204747 0,05139449 0,05134767 0,01374245 0,01544832 0,01423781 0,0136581 0,05179611 0,01413163 0,01326124 0,05153406 0,01427174 0,01424261
radbasn 0,05203545 0,05167667 0,05189563 0,012262 0,01441815 0,01539057 0,00833902 0,05186609 0,01475182 0,01001567 0,05186264 0,00982148 0,01405228
satlin 0,05137778 0,0519161 0,05177365 0,01338611 0,01424557 0,01502495 0,00954543 0,05208594 0,01305566 0,00872428 0,05200063 0,01141581 0,01505736
satlins 0,05191886 0,05195745 0,05200444 0,01334588 0,01532303 0,01225613 0,0090533 0,05160344 0,01253733 0,00997605 0,05185788 0,00939146 0,01538424
softmax 0,05156003 0,05220567 0,05210301 0,01511187 0,01553852 0,01234389 0,01069528 0,05191411 0,01246332 0,00865811 0,05160739 0,0081801 0,01373554
tansig 0,05242825 0,05220165 0,05172717 0,01404728 0,03161456 0,01242065 0,00756132 0,05159017 0,0124466 0,00838366 0,05227219 0,00976907 0,01492634
tribas 0,05173517 0,0516632 0,05206006 0,01348202 0,01381476 0,01120716 0,00831968 0,05211185 0,01310721 0,00882534 0,05184906 0,00828336 0,01472958
Tabla B.2. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.
B-5 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin Satlins softmax tansig tribas
compet 0,05907181 0,05924061 0,05893267 0,01469818 0,01439182 0,01495671 0,01448152 0,05919995 0,01509232 0,01472261 0,05879922 0,01971806 0,01481239
hardlim 0,05911135 0,05928782 0,05871461 0,01469919 0,01424476 0,01477221 0,01477146 0,05889228 0,01471751 0,01446293 0,05902193 0,01466751 0,01510847
hardlims 0,05915459 0,05884077 0,05924663 0,01465315 0,01526503 0,01448313 0,01468171 0,05928811 0,01516145 0,01450431 0,0585617 0,0369534 0,01480234
logsig 0,0589316 0,05843751 0,05935321 0,01499284 0,01481364 0,01399189 0,00779745 0,05927691 0,01386034 0,00966098 0,0592619 0,0360323 0,01420575
netinv 0,05884611 0,05906987 0,05901582 0,02369006 0,0204191 0,01691198 0,01381648 0,05634264 0,01485574 0,01476122 0,05883049 0,03687745 0,01490414
poslin 0,05888919 0,05893726 0,05913228 0,01466161 0,02001398 0,01478315 0,00798058 0,05900102 0,01440679 0,01002494 0,0592698 0,05416991 0,01504415
purelin 0,05888905 0,05892336 0,05890819 0,04230646 0,01475092 0,01449381 0,01380266 0,0585705 0,0145416 0,0142532 0,0587747 0,01406066 0,01453352
radbasn 0,05862818 0,05918175 0,05868372 0,01453656 0,0139656 0,01492168 0,00876031 0,05892176 0,01511015 0,00744776 0,05859549 0,00979354 0,01511367
satlin 0,05913206 0,05922011 0,05917919 0,01497588 0,01634733 0,01460108 0,00833686 0,05919452 0,01759672 0,00761233 0,05873983 0,01111229 0,01501089
satlins 0,05889309 0,05890356 0,05897949 0,01423406 0,01342162 0,01469633 0,01046276 0,05915359 0,01464126 0,00956385 0,05843491 0,00874787 0,01504179
softmax 0,05915392 0,05897756 0,05906474 0,0138811 0,01449624 0,01326468 0,00976521 0,05906231 0,01476898 0,01208337 0,0589797 0,01241595 0,01482664
tansig 0,05895707 0,05890019 0,0587666 0,01431145 0,01343584 0,0148203 0,00783872 0,05881819 0,01468046 0,008325 0,05913659 0,01021018 0,01472845
tribas 0,05914101 0,05922873 0,05896511 0,01409166 0,04884176 0,01499497 0,00953679 0,05906356 0,01485255 0,01014277 0,05904677 0,00890184 0,01539608
Tabla B.3. Trayectoria Line. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias.
B-6 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin Satlins softmax tansig tribas
compet 0,05243815 0,05210294 0,05272663 0,01484729 0,01467721 0,0145544 0,01479967 0,05215924 0,01469252 0,02768507 0,05210935 0,01416002 0,01479544
hardlim 0,05256379 0,05218721 0,05222747 0,01483786 0,01473925 0,01481117 0,01469743 0,05217349 0,03762846 0,04038548 0,05241429 0,03979323 0,01490266
hardlims 0,05221382 0,05206397 0,05222862 0,01465266 0,01485213 0,01458933 0,01459586 0,05272004 0,01474926 0,03690741 0,05270205 0,01451654 0,01461008
logsig 0,05222344 0,05204654 0,05243965 0,01487105 0,01285285 0,01420134 0,00725504 0,05242183 0,01248536 0,00936874 0,05230958 0,00756496 0,01293854
netinv 0,05209041 0,05238217 0,05257767 0,01872073 0,01699055 0,014767 0,01448064 0,04928329 0,01809058 0,01458752 0,05197468 0,01422059 0,01490667
poslin 0,05222521 0,05283915 0,05232409 0,01356995 0,01909519 0,01461633 0,00941024 0,05284947 0,01414227 0,01009203 0,052159 0,01164452 0,01424575
purelin 0,05277456 0,05257698 0,05267122 0,01441794 0,01499165 0,01447958 0,01372646 0,05249588 0,01445341 0,0142055 0,05243553 0,0143704 0,01398493
radbasn 0,05249353 0,05229388 0,0522849 0,0132389 0,01369279 0,01390944 0,00811356 0,05234279 0,01343866 0,0095238 0,05255694 0,00874744 0,01475642
satlin 0,05269041 0,05241207 0,05199814 0,01383495 0,01421928 0,01502915 0,0101752 0,05215254 0,01250876 0,00868135 0,05229141 0,00913326 0,01444081
satlins 0,05213613 0,05245637 0,05238354 0,01370155 1,53247416 0,01301495 0,00783361 0,05218173 0,01372179 0,01078325 0,05263901 0,01050068 0,01459441
softmax 0,05244 0,05253445 0,05236846 0,01383941 0,01485509 0,01294106 0,00817045 0,05246824 0,01989167 0,00975274 0,05203605 0,00945628 0,01476044
tansig 0,0525206 0,05235395 0,05240508 0,01410204 0,01396694 0,0143034 0,007472 0,05187935 0,01501342 0,00827471 0,05240859 0,00860396 0,01475631
tribas 0,05236491 0,05256972 0,05224551 0,01336191 0,07920944 0,01474258 0,00949929 0,05241518 0,01322382 0,01054281 0,0520069 0,0113729 0,01481477
Tabla B.4. Trayectoria Line. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias.
B-7 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin Satlins softmax tansig tribas
compet 0,05202193 0,05178722 0,05175436 0,01439847 0,01439182 0,0145544 0,01400029 0,05184388 0,01429993 0,01438136 0,05210935 0,01416002 0,01414421
hardlim 0,05155227 0,05168341 0,0517621 0,01452692 0,01424476 0,01477221 0,01469743 0,05186697 0,01471751 0,01446293 0,05210392 0,01466751 0,01449503
hardlims 0,05185726 0,05179383 0,05165683 0,01465266 0,01485213 0,01448313 0,01433126 0,05198952 0,01473067 0,01450431 0,05170738 0,01451654 0,01461008
logsig 0,05190274 0,05204654 0,05199594 0,01298954 0,01285285 0,01268511 0,00725504 0,0519644 0,0117041 0,00854326 0,05175532 0,00756496 0,01277191
netinv 0,05160161 0,0519477 0,05194985 0,01587233 0,01590724 0,014767 0,01292442 0,04861528 0,01485574 0,01443038 0,04922209 0,01421228 0,01490414
poslin 0,05202872 0,05186769 0,05190979 0,01183388 0,01909519 0,01322817 0,00798058 0,05187471 0,0133255 0,01002494 0,05177582 0,01096645 0,01319793
purelin 0,05204747 0,05139449 0,05134767 0,01374245 0,01475092 0,01423781 0,0136581 0,05179611 0,01413163 0,01326124 0,05153406 0,01406066 0,01398493
radbasn 0,05203545 0,05167667 0,05189563 0,012262 0,01369279 0,01390944 0,00811356 0,05186609 0,01343866 0,00744776 0,05186264 0,00874744 0,01405228
satlin 0,05137778 0,0519161 0,05177365 0,01338611 0,01421928 0,01460108 0,00833686 0,05208594 0,01250876 0,00761233 0,05200063 0,00913326 0,01444081
satlins 0,05191886 0,05195745 0,05200444 0,01334588 0,01342162 0,01225613 0,00783361 0,05160344 0,01253733 0,00956385 0,05185788 0,00874787 0,01459441
softmax 0,05156003 0,05220567 0,05210301 0,01383941 0,01449624 0,01234389 0,00817045 0,05191411 0,01246332 0,00865811 0,05160739 0,0081801 0,01373554
tansig 0,05242825 0,05220165 0,05172717 0,01404728 0,01343584 0,01242065 0,007472 0,05159017 0,0124466 0,00827471 0,05227219 0,00860396 0,01472845
tribas 0,05173517 0,0516632 0,05206006 0,01336191 0,01381476 0,01120716 0,00831968 0,05211185 0,01310721 0,00882534 0,05184906 0,00828336 0,01472958
Tabla B.5. Trayectoria Line. MSET MIN para 20 trayectorias.
B-8 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Figura B.1. Trayectoria Line. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
B-9 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet Hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,86709131 0,708659 0,54822327 0,93580699 0,98403958 0,80509054 0,67001433 0,50717402 0,50440799 0,51034933 0,90256391 0,98113942 0,91993166
hardlim 0,70693154 0,60144777 0,54747442 0,50412474 1,07587511 0,83419146 0,91931006 0,67728804 0,60291548 0,52490323 0,51467344 0,50408827 0,5019483
hardlims 0,52087696 0,52048633 0,54593499 0,4769778 0,51133767 0,49699124 0,50473176 0,5017384 0,52537896 0,48673997 0,48491648 0,49284299 0,5220517
logsig 0,52062735 0,52220244 1,0107817 0,83248264 0,48284904 0,4914073 0,51042632 0,48660341 0,48373566 0,50110909 0,523705 0,49151509 0,48310595
netinv 0,49017462 0,91601197 0,72524184 0,51410856 0,49809263 0,49877785 0,52857453 0,50905222 0,53659304 0,58085487 0,56913022 0,52383224 0,5244583
poslin 0,51940804 1,09470166 0,81275894 0,57731932 0,51357975 0,50048951 0,61014826 0,53204727 0,48342364 0,48131366 0,51526628 1,12282599 0,52632677
purelin 0,50470421 0,48950844 1,06080213 0,63628053 0,48388559 0,50139072 0,49984885 0,50624688 0,49407243 0,50792449 0,97494157 0,63840794 0,48661435
radbasn 0,5313823 0,50830824 0,49592267 0,53079838 0,4980521 0,5038581 0,4852054 0,50954659 0,49818461 0,50841197 0,54352393 0,51144181 0,51241474
satlin 0,4917331 0,51142925 0,48234414 0,51618127 0,50670924 0,50335401 0,4964685 0,49712942 0,50201516 0,49260756 1,09474745 0,50484846 0,5360938
satlins 0,53474523 0,53681064 0,4881161 0,49939501 0,4868437 0,50271052 0,50140976 0,53000739 0,59745554 0,48231618 0,49407162 0,50385486 0,48977223
softmax 0,83332266 0,70331616 0,86955546 0,60600367 0,52788241 0,55673047 0,62995423 0,52914346 0,58245509 0,49565725 0,59507771 0,59647328 0,51167076
tansig 0,51037243 0,4831643 0,50357283 0,49513209 0,50473824 0,50973664 0,47875793 0,50018397 0,53254812 0,49577274 0,5030659 0,49847272 0,51082952
tribas 1,04253641 0,84555303 0,63182148 0,49652483 0,50141989 0,48026211 0,52379414 0,51094784 0,49117308 0,55804501 0,52893194 0,49932693 0,70686144
Tabla B.6. Trayectoria Line. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.
B-10 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
B.3 Resultados trayectoria Astroid.
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05824886 0,0578247 0,05823235 0,0153511 0,01492616 0,01536369 0,01439047 0,05794158 0,01536851 0,01402525 0,0582602 0,01435691 0,01510308
hardlim 0,05850848 0,05843262 0,05844949 0,01546167 0,01436835 0,01509344 0,0143572 0,05797792 0,01542109 0,01466621 0,05808806 0,01459667 0,01534545
hardlims 0,05785966 0,05832761 0,05812102 0,01539607 0,01439855 0,01533726 0,01446635 0,05827874 0,0153924 0,01453243 0,0581648 0,01448281 0,01552404
logsig 0,05786076 0,05816258 0,05798813 0,0148612 0,01590594 0,01502286 0,00792687 0,05821261 0,01410358 0,00714644 0,05824034 0,00692216 0,01465904
netinv 0,05812284 0,05814942 0,0581002 0,02276716 0,02183498 0,05860925 0,0227956 0,05603476 0,01576281 0,01269327 0,04875993 0,01477899 0,01560459
poslin 0,05812009 0,0578204 0,05845233 0,01485931 0,02255026 0,01505004 0,00700306 0,05756881 0,01454118 0,00675081 0,0583762 0,00760113 0,01572045
purelin 0,05752956 0,05775787 0,05792859 0,0147043 0,01509296 0,01483751 0,00801618 0,05813426 0,014479 0,00796657 0,05827818 0,00814106 0,01551195
radbasn 0,05800711 0,05813559 0,05790315 0,01476181 0,02897695 0,01511351 0,00671555 0,0581335 0,01456981 0,03668644 0,05789722 0,00766171 0,01549647
satlin 0,05795464 0,05823222 0,0578689 0,01510955 0,0139881 0,01472726 0,00647686 0,05814947 0,01389532 0,00713326 0,05808252 0,00662604 0,01577433
satlins 0,05800254 0,0577612 0,05831256 0,01444193 0,01489703 0,01504802 0,0066877 0,0578265 0,01498827 0,00658975 0,05829983 0,00627713 0,01543048
softmax 0,05777851 0,05784816 0,05827348 0,01555153 0,01095607 0,01497257 0,00626344 0,05820794 0,01534434 0,0067346 0,05812818 0,03637487 0,01503979
tansig 0,05818736 0,05808548 0,05754 0,01422698 0,02401489 0,0144031 0,0061766 0,05823599 0,01428988 0,00604771 0,05837267 0,00710144 0,01505239
tribas 0,05770296 0,05775246 0,0576943 0,01494651 1,11639956 0,01423549 0,00736306 0,05796564 0,01394582 0,00702072 0,05793257 0,00674915 0,01586499
Tabla B.7. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.
B-11 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05878417 0,05869361 0,05821224 0,01603222 0,01448573 0,01578596 0,01424526 0,05820212 0,01616386 0,01397711 0,05842724 0,02980182 0,0159882
hardlim 0,05846932 0,05879052 0,05876731 0,01552809 0,01610961 0,0157444 0,01470655 0,05870266 0,01563807 0,03702383 0,05899358 0,01446314 0,01562859
hardlims 0,05869176 0,05904385 0,05846856 0,01581942 0,01452681 0,01590639 0,01463838 0,05916993 0,01555958 0,01482955 0,05872681 0,01432543 0,0158513
logsig 0,05844523 0,05869967 0,05842709 0,01493076 0,02957939 0,0154735 0,00812201 0,05878252 0,01448794 0,00641902 0,0585832 0,00661084 0,01586759
netinv 0,05870128 0,05867238 0,05879339 0,02012842 0,01858437 0,01844975 0,02293141 0,05589871 0,01614618 0,01430686 0,04835631 0,01464123 0,01629234
poslin 0,05875472 0,05829057 0,05852042 0,01518623 0,01675546 0,01512484 0,0076389 0,05870585 0,01531388 0,00697172 0,05884025 0,00969235 0,01637242
purelin 0,05869275 0,0585686 0,05858383 0,01514168 0,0143748 0,01549099 0,00778241 0,05887367 0,01533472 0,00800006 0,0590788 0,00814263 0,01613279
radbasn 0,05889331 0,05865085 0,05856149 0,01570655 0,14401548 0,01607927 0,00701993 0,05842187 0,0155324 0,0068375 0,05849756 0,00670086 0,01534206
satlin 0,05823314 0,05874017 0,05856342 0,01539524 24,0631419 0,01520624 0,00656755 0,05870456 0,01498573 0,00703927 0,05856364 0,00643658 0,01704833
satlins 0,05847941 0,05877306 0,05876786 0,01536836 0,0196164 0,01554343 0,00696259 0,05866103 0,01501303 0,00658636 0,05867676 0,00667264 0,01553325
softmax 0,0587996 0,05863146 0,05830756 0,01572887 0,01523014 0,01551262 0,00668353 0,05835188 0,01593681 0,00625849 0,05928913 0,00647096 0,01571597
tansig 0,05832626 0,05859302 0,05832663 0,01560552 0,0668454 0,01538872 0,00664799 0,05878928 0,01525138 0,00646294 0,05851909 0,00639415 0,0149503
tribas 0,05850636 0,058831 0,05834189 0,01548291 0,17752578 0,01563973 0,00666403 0,05887929 0,01533106 0,00727872 0,05860314 0,00654995 0,01726753
Tabla B.8. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias.
B-12 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05106917 0,05100313 0,05092944 0,01457118 0,01455391 0,01434726 0,0143569 0,05112111 0,01410189 0,0143685 0,05071403 0,01471979 0,01448163
hardlim 0,05068991 0,05116308 0,05080775 0,01465196 0,01455964 0,01424436 0,01440217 0,05079691 0,01453179 0,01475188 0,05131205 0,03533003 0,0146611
hardlims 0,05084274 0,05060384 0,050818 0,01465848 0,01464369 0,01437908 0,01464841 0,05087319 0,01466887 0,03654449 0,05090284 0,03839944 0,01454561
logsig 0,05038518 0,05097618 0,05077596 0,01268856 0,01739418 0,01424763 0,0068624 0,0512288 0,01333248 0,00635894 0,05058913 0,00654775 0,01389336
netinv 0,05100769 0,05101114 0,05113495 0,02309443 0,01669935 0,02772556 0,0275092 0,04922986 0,01595628 0,01526225 ERROR 0,01211846 0,01483627
poslin 0,05089225 0,05085932 0,05084948 0,01304038 0,01348429 0,01282374 0,00617718 0,05119585 0,01338945 0,00648005 0,0509391 0,0098792 0,01486609
purelin 0,05083573 0,0508506 0,05080494 0,01402685 0,01454723 0,01359028 0,00789732 0,05115507 0,01302896 0,00794519 0,05079607 0,00818456 0,01474341
radbasn 0,05130445 0,05049077 0,0509233 0,01285046 0,05733123 0,01424603 0,00740093 0,05079965 0,01345826 0,00734813 0,05068594 0,00675265 0,01356775
satlin 0,05079678 0,05107468 0,05068356 0,01245897 0,20732552 0,01327825 0,00662647 0,05077593 0,01359776 0,00669454 0,05084662 0,00651482 0,01546626
satlins 0,05104503 0,05067602 0,05099762 0,01338894 0,01960616 0,0138456 0,00669187 0,05084193 0,01299185 0,00684442 0,05059516 0,00696158 0,0149967
softmax 0,05045243 0,05056126 0,0505682 0,01289263 0,00852686 0,01404641 0,00812639 0,05074058 0,012721 0,00661879 0,05087968 0,00610345 0,01435554
tansig 0,05071919 0,05116801 0,05098375 0,01344397 0,02067559 0,01301661 0,00709314 0,05065765 0,01296276 0,00647631 0,05072768 0,00667203 0,01476117
tribas 0,05092534 0,05098772 0,0506626 0,01271084 0,01504926 0,01303434 0,00644538 0,05069033 0,01349935 0,00691298 0,05073467 0,00724278 0,01454918
Tabla B.9. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias.
B-13 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05106917 0,05100313 0,05092944 0,01457118 0,01448573 0,01434726 0,01424526 0,05112111 0,01410189 0,01397711 0,05071403 0,01435691 0,01448163
hardlim 0,05068991 0,05116308 0,05080775 0,01465196 0,01436835 0,01424436 0,0143572 0,05079691 0,01453179 0,01466621 0,05131205 0,01446314 0,0146611
hardlims 0,05084274 0,05060384 0,050818 0,01465848 0,01439855 0,01437908 0,01446635 0,05087319 0,01466887 0,01453243 0,05090284 0,01432543 0,01454561
logsig 0,05038518 0,05097618 0,05077596 0,01268856 0,01590594 0,01424763 0,0068624 0,0512288 0,01333248 0,00635894 0,05058913 0,00654775 0,01389336
netinv 0,05100769 0,05101114 0,05113495 0,02012842 0,01669935 0,01844975 0,0227956 0,04922986 0,01576281 0,01269327 0,04835631 0,01211846 0,01483627
poslin 0,05089225 0,05085932 0,05084948 0,01304038 0,01348429 0,01282374 0,00617718 0,05119585 0,01338945 0,00648005 0,0509391 0,00760113 0,01486609
purelin 0,05083573 0,0508506 0,05080494 0,01402685 0,0143748 0,01359028 0,00778241 0,05115507 0,01302896 0,00794519 0,05079607 0,00814106 0,01474341
radbasn 0,05130445 0,05049077 0,0509233 0,01285046 0,02897695 0,01424603 0,00671555 0,05079965 0,01345826 0,0068375 0,05068594 0,00670086 0,01356775
satlin 0,05079678 0,05107468 0,05068356 0,01245897 0,0139881 0,01327825 0,00647686 0,05077593 0,01359776 0,00669454 0,05084662 0,00643658 0,01546626
satlins 0,05104503 0,05067602 0,05099762 0,01338894 0,01489703 0,0138456 0,0066877 0,05084193 0,01299185 0,00658636 0,05059516 0,00627713 0,0149967
softmax 0,05045243 0,05056126 0,0505682 0,01289263 0,00852686 0,01404641 0,00626344 0,05074058 0,012721 0,00625849 0,05087968 0,00610345 0,01435554
tansig 0,05071919 0,05116801 0,05098375 0,01344397 0,02067559 0,01301661 0,0061766 0,05065765 0,01296276 0,00604771 0,05072768 0,00639415 0,01476117
tribas 0,05092534 0,05098772 0,0506626 0,01271084 0,01504926 0,01303434 0,00644538 0,05069033 0,01349935 0,00691298 0,05073467 0,00654995 0,01454918
Tabla B.10. Trayectoria Astroid. MSET MIN para 20 trayectorias.
B-14 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Figura B.2. Trayectoria Astroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
B-15 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 1,23501669 0,873462 1,148254 0,88980684 0,54983362 0,4955033 0,50017789 0,51527142 0,53315974 0,55158091 0,52450876 0,49499921 0,48448139
hardlim 0,50097617 0,49594337 0,50154915 0,5400306 0,51107459 0,51980459 0,50614552 0,5007614 0,50426491 0,83544816 0,91084613 0,58983545 0,56636891
hardlims 0,61186225 1,0522714 0,85635899 1,12634309 0,71001397 0,58638219 0,52427332 0,49826405 0,49505108 0,5290322 0,52817313 0,56838446 0,87977245
logsig 1,11113043 0,7262952 0,99729153 0,87986038 0,49325678 0,59201673 0,53324524 0,54737679 0,52413596 0,52359134 0,51986172 0,50153699 0,50946831
netinv 0,51067221 0,50378878 0,49486225 0,50230001 0,50276763 0,49406965 0,50131128 0,51558992 0,6858845 0,50770196 0,7687806 0,50885683 0,53232783
poslin 0,52196278 0,50465595 0,49448702 0,51735262 0,49869601 0,49970986 0,51242437 0,51125572 0,50420818 0,49914499 0,50113907 0,5081242 0,50913927
purelin 0,4974062 0,51855409 0,49335201 0,80595605 0,51605025 0,48191232 0,49170966 0,5049939 0,50789606 0,49714889 0,4946098 0,8587514 0,49421917
radbasn 0,93902655 1,05894574 0,92383334 0,51268087 0,51457445 0,50144338 0,64677536 0,54443167 0,56828397 0,52720629 0,50016128 0,52481996 0,51176427
satlin 0,50027555 0,50369274 0,49198967 0,52126945 0,50023786 0,48640577 0,51883693 0,91175543 0,49809426 0,51708315 0,81851413 0,48922163 0,50318582
satlins 0,50633841 0,50524756 0,49563216 0,50533914 0,49028573 0,49229885 0,50364817 0,50227043 0,48599853 0,5013125 0,5042252 0,49408464 0,48996439
softmax 0,99133686 0,65061317 0,53750934 0,58086434 0,55165466 0,519619 0,5220422 0,84432607 0,98671738 0,60542213 0,55219644 0,51282148 0,49983751
tansig 0,99578615 0,94937013 0,75172136 0,48367339 0,50176675 0,50172542 0,49550655 0,50581203 0,49578493 0,51337825 0,50705524 0,61902771 0,51208763
tribas 0,50294674 0,49910488 0,51213747 0,49187013 1,01148669 0,52334295 0,49200587 0,49921469 0,4958684 0,4874484 0,49842776 0,51740408 0,57423945
Tabla B.11. Trayectoria Astroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.
B-16 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
B.4 Resultados trayectoria Freeth.
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05242057 0,0522364 0,05195309 0,01466026 0,01491604 0,01459721 0,01450531 0,05237277 0,01446338 0,01460444 0,05251941 0,02152169 0,01448667
hardlim 0,05279448 0,05241301 0,05240517 0,01465496 0,01445192 0,01460119 0,0143366 0,05216731 0,01460727 0,01450638 0,0523474 0,01466815 0,01429496
hardlims 0,05275747 0,05227654 0,05241399 0,01467043 0,01440108 0,01432443 0,01455203 0,05277131 0,0147764 0,01467304 0,05271991 0,01444824 0,01476915
logsig 0,05203866 0,05281013 0,05222511 0,01426906 0,01467125 0,014551 0,0092041 0,05203435 0,01413454 0,00820773 0,05222358 0,00836595 0,01484323
netinv 0,05209932 0,05217003 0,05232645 0,02134914 0,05818605 0,02938791 0,04433672 0,04987471 0,01505894 0,01459647 0,0425577 0,01475026 0,01500116
poslin 0,05260095 0,05236401 0,05253638 0,01396904 0,0147544 0,01389022 0,00829917 0,05234051 0,01353538 0,00826246 0,05280134 0,00842222 0,01515028
purelin 0,05262629 0,05226954 0,05240553 0,01325159 0,01466122 0,01357897 0,00971108 0,05245476 0,01373359 0,00991039 0,0524231 0,01011821 0,01473955
radbasn 0,05222062 0,05238439 0,05238701 0,01469064 0,01558155 0,01386879 0,00911666 0,05270517 0,01385169 0,00867403 0,05280811 0,00830103 0,01527683
satlin 0,05256629 0,05212929 0,05249708 0,01454133 0,01773897 0,01482655 0,00835035 0,05207629 0,01421504 0,0089222 0,05223276 0,00879991 0,01501715
satlins 0,05238878 0,05233463 0,05256035 0,01375762 0,04105742 0,01419901 0,008605 0,05285801 0,01420307 0,00846167 0,0524692 0,00780562 0,01495363
softmax 0,05263783 0,05218535 0,05245135 0,01401439 0,01174586 0,01405319 0,00819933 0,05239812 0,01421137 0,00788897 0,05220844 0,01133169 0,01396647
tansig 0,05216508 0,05223832 0,05216843 0,01402992 0,01760031 0,01454266 0,01048575 0,05229262 0,01385217 0,00849658 0,05256729 0,0082156 0,01452198
tribas 0,05233956 0,05263842 0,05253582 0,01377481 0,01921832 0,01377878 0,00892702 0,05249591 0,01396382 0,00851994 0,05255024 0,00842256 0,01545074
Tabla B.12. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.
B-17 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,0597193 0,05985494 0,05987519 0,01532465 0,01499708 0,01502271 0,01472001 0,05966335 0,01522872 0,01462597 0,0596003 0,01451738 0,01530161
hardlim 0,05916112 0,05969988 0,05969745 0,01500721 0,01492355 0,01505683 0,01423652 0,05917544 0,01538617 0,01466322 0,05878555 0,03757395 0,01550096
hardlims 0,05959841 0,0595494 0,05923837 0,01511175 0,01492552 0,01512563 0,01473261 0,05995096 0,04535604 0,01464512 0,05961471 0,01448239 0,01529652
logsig 0,05950906 0,0595797 0,05960508 0,01529634 0,01625764 0,01489452 0,00849156 0,05939295 0,01548664 0,00808279 0,05962905 0,00827971 0,01553759
netinv 0,05941013 0,05957734 0,05947158 0,0212454 0,01855317 0,01556506 49,3145944 0,05728008 0,01578653 0,0127457 0,04825819 0,01385964 0,01557296
poslin 0,05961733 0,05925149 0,05924414 0,01497504 0,0154055 0,01498734 0,00800773 0,05936055 0,01510847 0,00829403 0,05957705 0,00851929 0,0151656
purelin 0,05948212 0,05914148 0,05943447 0,01478915 0,01519694 0,0146874 0,00975702 0,05952954 0,01483492 0,0098724 0,05913558 0,01041655 0,01548729
radbasn 0,05968154 0,05959237 0,05993182 0,01568871 0,0152056 0,01539308 0,00845839 0,05940239 0,01521544 0,00839251 0,05976365 0,00802443 0,01562964
satlin 0,05925172 0,05925989 0,05917997 0,01496799 0,01672661 0,01475816 0,00839322 0,05953851 0,01469911 0,00856038 0,05932484 0,00821266 0,01559282
satlins 0,05924287 0,05959604 0,05967689 0,01481723 0,02790688 0,01528274 0,00804988 0,05951661 0,01485829 0,00769865 0,05950221 0,00807784 0,01537424
softmax 0,05972159 0,05925162 0,05962808 0,01467545 0,01216344 0,01517989 0,01048877 0,05953801 0,01505788 0,00874811 0,05961052 0,00821105 0,0153901
tansig 0,05992118 0,05914145 0,05960558 0,01547754 0,03467428 0,01507162 0,00898884 0,05946435 0,01535791 0,00807347 0,05965985 0,00827837 0,0149311
tribas 0,05954184 0,05939656 0,05920634 0,01497316 0,59547615 0,01527173 0,00894663 0,05935256 0,01500279 0,0086087 0,059934 0,00854169 0,0163719
Tabla B.13. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias.
B-18 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05593328 0,05566715 0,05634385 0,0149152 0,01481947 0,01458229 0,01425083 0,05608922 0,01490181 0,01472531 0,05604963 0,01893599 0,0149319
hardlim 0,05558951 0,05579779 0,05593824 0,01485904 0,01503696 0,01489805 0,01428626 0,05585829 0,01489671 0,01431342 0,05575238 0,01468166 0,01493828
hardlims 0,05633147 0,05629142 0,05587296 0,01448654 0,01449034 0,01476932 0,01459218 0,056388 0,01499082 0,01466098 0,05635377 0,01466476 0,01490649
logsig 0,05610313 0,05606069 0,05642499 0,0144826 0,01615543 0,01435623 0,00858634 0,05573907 0,01440478 0,00840501 0,05626345 0,00767236 0,01532483
netinv 0,05613458 0,05593146 0,05627747 0,01980504 0,01784926 0,02338012 0,06147645 0,05446757 0,01637526 0,01478609 0,04507712 0,01483734 0,01538006
poslin 0,05608443 0,05617711 0,05652121 0,01418359 0,01534856 0,01433968 0,00841391 0,05607472 0,01493347 0,00844955 0,05619113 0,00951815 0,01528491
purelin 0,05655102 0,05632434 0,05653345 0,01411083 0,01472426 0,01435399 0,00963877 0,05600474 0,01420261 0,00984704 0,05616941 0,01020929 0,01531687
radbasn 0,05622199 0,05574172 0,05571376 0,01447847 0,01648309 0,01446543 0,00879316 0,05597604 0,01494407 0,00820226 0,05660497 0,00810945 0,01474653
satlin 0,05598198 0,05639388 0,05583509 0,01481773 0,03765461 0,01425114 0,00828303 0,05581813 0,01447481 0,00826932 0,05596379 0,00830805 0,01505771
satlins 0,05624771 0,05584078 0,05608439 0,01451387 0,02748848 0,01471696 0,00837139 0,05599845 0,01431881 0,00886959 0,05614506 0,00809802 0,0149031
softmax 0,05613085 0,0561422 0,05623261 0,01383593 0,01507465 0,01500389 0,00821621 0,05608365 0,04297478 0,00842892 0,05596726 0,00788049 0,0147202
tansig 0,05562245 0,05596626 0,05618307 0,0147264 0,01777186 0,01497321 0,00815264 0,05574448 0,0145275 0,00835776 0,05610587 0,00786287 0,01492319
tribas 0,05588947 0,05598997 0,05610663 0,0145672 0,13116166 0,01492641 0,00837793 0,05621327 0,01490541 0,0088543 0,0565126 0,00855448 0,01625669
Tabla B.14. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias.
B-19 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05242057 0,0522364 0,05195309 0,01466026 0,01481947 0,01458229 0,01425083 0,05237277 0,01446338 0,01460444 0,05251941 0,01451738 0,01448667
hardlim 0,05279448 0,05241301 0,05240517 0,01465496 0,01445192 0,01460119 0,01423652 0,05216731 0,01460727 0,01431342 0,0523474 0,01466815 0,01429496
hardlims 0,05275747 0,05227654 0,05241399 0,01448654 0,01440108 0,01432443 0,01455203 0,05277131 0,0147764 0,01464512 0,05271991 0,01444824 0,01476915
logsig 0,05203866 0,05281013 0,05222511 0,01426906 0,01467125 0,01435623 0,00849156 0,05203435 0,01413454 0,00808279 0,05222358 0,00767236 0,01484323
netinv 0,05209932 0,05217003 0,05232645 0,01980504 0,01784926 0,01556506 0,04433672 0,04987471 0,01505894 0,0127457 0,0425577 0,01385964 0,01500116
poslin 0,05260095 0,05236401 0,05253638 0,01396904 0,0147544 0,01389022 0,00800773 0,05234051 0,01353538 0,00826246 0,05280134 0,00842222 0,01515028
purelin 0,05262629 0,05226954 0,05240553 0,01325159 0,01466122 0,01357897 0,00963877 0,05245476 0,01373359 0,00984704 0,0524231 0,01011821 0,01473955
radbasn 0,05222062 0,05238439 0,05238701 0,01447847 0,0152056 0,01386879 0,00845839 0,05270517 0,01385169 0,00820226 0,05280811 0,00802443 0,01474653
satlin 0,05256629 0,05212929 0,05249708 0,01454133 0,01672661 0,01425114 0,00828303 0,05207629 0,01421504 0,00826932 0,05223276 0,00821266 0,01501715
satlins 0,05238878 0,05233463 0,05256035 0,01375762 0,02748848 0,01419901 0,00804988 0,05285801 0,01420307 0,00769865 0,0524692 0,00780562 0,0149031
softmax 0,05263783 0,05218535 0,05245135 0,01383593 0,01174586 0,01405319 0,00819933 0,05239812 0,01421137 0,00788897 0,05220844 0,00788049 0,01396647
tansig 0,05216508 0,05223832 0,05216843 0,01402992 0,01760031 0,01454266 0,00815264 0,05229262 0,01385217 0,00807347 0,05256729 0,00786287 0,01452198
tribas 0,05233956 0,05263842 0,05253582 0,01377481 0,01921832 0,01377878 0,00837793 0,05249591 0,01396382 0,00851994 0,05255024 0,00842256 0,01545074
Tabla B.15. Trayectoria Freeth. MSET MIN para 20 trayectorias.
B-20 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Figura B.3. Trayectoria Freeth. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
B-21 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,92421465 0,68571107 1,03970157 0,67732712 0,52101781 0,49706825 0,49232721 1,10378951 0,90083564 0,74471961 0,60922509 0,51351035 0,50074074
hardlim 0,51454811 0,50009604 0,51157341 0,51569771 0,85165037 0,67175903 0,58187334 0,54998152 0,50860479 0,85023576 0,67154467 0,55660196 0,51834824
hardlims 1,01126828 0,99641707 0,88216282 0,97942185 0,97705984 0,78015748 1,00981234 0,68293371 0,56284028 0,50910361 0,51254715 0,50286651 0,5054757
logsig 1,05857537 0,87033818 1,00302535 0,50703619 0,50235796 0,49152893 0,51695551 0,52555705 0,49706744 0,51176305 1,06122103 0,52963232 0,5175528
netinv 0,50507251 0,52066486 0,51245273 0,49576751 0,50815581 0,50663584 0,50167882 0,49460089 0,50866679 0,50091417 1,02063164 0,50042305 0,51243936
poslin 0,49805415 0,48965845 0,49487927 0,49599402 0,51755928 0,49311009 0,48214208 0,49011067 0,50394965 0,50788755 0,50201231 0,53620373 0,62507436
purelin 0,54859568 0,53600963 0,51937425 0,4865399 0,49948051 0,48827747 0,49008109 0,50119296 0,49265908 0,50289123 0,50628654 0,87227066 0,48889543
radbasn 0,89473834 0,64691273 0,56900283 0,76405172 0,49453524 0,51608834 0,52742753 0,50763146 0,50305129 0,49168778 1,03754257 0,52280563 0,52607695
satlin 0,49231384 0,49278713 0,50670432 0,50207471 0,55479145 0,6201457 0,4880931 0,50220843 0,50027433 0,50014588 0,50385969 0,50482857 0,48880344
satlins 0,50806018 0,49277457 0,4964114 0,50338356 0,50126995 0,51091291 0,50853833 0,48991819 0,50337465 0,50803343 0,50564954 0,50596277 0,49999027
softmax 0,5083029 0,53482032 0,97425614 0,51398932 0,52127998 0,52670949 0,51380616 0,54554723 0,49359514 0,51991359 0,5045202 0,51634403 0,50642877
tansig 0,50155522 0,49888241 0,50297835 0,49376938 0,50836612 0,49903437 0,50797184 0,50809259 0,52245633 0,52119772 0,52180555 0,50375191 0,50551663
tribas 0,95872538 0,72570236 0,65744757 0,50789971 0,53862855 0,5021128 0,49593486 0,95609268 0,5008003 0,50099481 0,50440309 0,50438567 0,5050952
Tabla B.16. Trayectoria Freeth. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.
B-22 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
B.5 Resultados trayectoria Hypocycloid.
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05584273 0,05582348 0,05577733 0,01478297 0,01441378 0,01483746 0,01470261 0,05640083 0,01497235 0,01453205 0,05548964 0,02978095 0,01507383
hardlim 0,05576986 0,05586833 0,05543251 0,01502324 0,01513316 0,01506182 0,01439829 0,05547845 0,01527809 0,01488543 0,05599228 0,01460834 0,01492597
hardlims 0,05572063 0,05593487 0,05590684 0,01494631 0,01521684 0,01499487 0,01469989 0,05581687 0,0151876 0,01462547 0,05554759 0,01456936 0,01504495
logsig 0,05577046 0,05588582 0,05581149 0,01500258 0,02253858 0,01439749 0,00711672 0,05559269 0,01432611 0,00708254 0,05564372 0,00714719 0,01521916
netinv 0,05576012 0,05573751 0,05573134 0,020525 0,01751452 0,16827518 0,01745729 0,05289275 0,01499877 0,01458463 0,04991742 0,01430569 0,01504881
poslin 0,05603244 0,05622116 0,0561257 0,0147541 0,01496118 0,01412007 0,00751864 0,05584564 0,01381068 0,00754077 0,05563629 0,00838319 0,01527498
purelin 0,05577574 0,05587626 0,05555441 0,01413332 1,59907528 0,01472756 0,00953413 0,05579777 0,01442259 0,0093794 0,05603373 0,00990693 0,01484856
radbasn 0,05553956 0,05585759 0,05577344 0,0150163 0,01700964 0,01456242 0,00751318 0,05577248 0,0146633 0,00755028 0,05624918 0,0072976 0,01419451
satlin 0,05573711 0,05582437 0,05541586 0,01400773 0,02984195 0,01494006 0,00816804 0,05570286 0,01428492 0,00760539 0,05562805 0,00758363 0,01482894
satlins 0,05593346 0,05561111 0,05592908 0,01458926 0,01763458 0,01366517 0,00751669 0,05595113 0,01432797 0,00766409 0,05568621 0,00752811 0,01517983
softmax 0,05617676 0,05577206 0,05590282 0,01447338 0,01391599 0,0146571 0,0086832 0,0556565 0,01503648 0,00791801 0,05574442 0,00762879 0,01505058
tansig 0,05553475 0,05588021 0,05571918 0,01388676 0,01517689 0,01433482 0,00729736 0,05599261 0,01447045 0,00734433 0,05598421 0,00736602 0,015108
tribas 0,05601723 0,05602168 0,05593807 0,01431697 0,01541381 0,01455982 0,00877944 0,05532311 0,01410181 0,007955 0,05577932 0,00793762 0,015157
Tabla B.17. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.
B-23 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,04779094 0,04783357 0,04756554 0,01445824 0,01495419 0,0150416 0,01447766 0,04812417 0,0141133 0,01442997 0,04813087 0,03685203 0,0146416
hardlim 0,04755013 0,04773446 0,04810777 0,01513744 0,01511057 0,01454707 0,01452477 0,04779694 0,01453513 0,052401 0,04828742 0,01475372 0,01442161
hardlims 0,04790215 0,04808307 0,04799835 0,01446547 0,01484744 0,01457908 0,01441751 0,04814491 0,0144026 0,0523615 0,04804095 0,03756078 0,01487876
logsig 0,04801624 0,04788278 0,04815007 0,01212027 0,01774298 0,0141001 0,00726303 0,04842337 0,01209205 0,00697253 0,04785885 0,00718584 0,0145534
netinv 0,04801974 0,04811086 0,04794664 0,0199019 0,02233432 0,04959794 0,01585909 0,04636088 0,0150996 0,01469276 ERROR 0,01457731 0,01571451
poslin 0,04802235 0,04755524 0,04772434 0,01338619 0,01667152 0,01228994 0,00843005 0,04823202 0,01185863 0,00843207 0,04767995 0,00745862 0,01432764
purelin 0,04804484 0,04763715 0,04826704 0,01320932 0,01497578 0,01290237 0,00931787 0,04787986 0,01274392 0,01008072 0,04769981 0,01000907 0,01438709
radbasn 0,04792669 0,04793479 0,04769184 0,0125524 0,01726622 0,01497263 0,00776909 0,04794871 0,01210411 0,00783347 0,04827354 0,0081606 0,01405717
satlin 0,04804372 0,04812213 0,04765253 0,0134918 0,02691021 0,01303065 0,00933095 0,04806492 0,01238037 0,00787091 0,04727552 0,00755285 0,01553262
satlins 0,04815669 0,04805695 0,04780503 0,01363618 0,01615383 0,0142765 0,00803689 0,04780383 0,01192315 0,00818025 0,04805145 0,00726322 0,01397685
softmax 0,04801338 0,04782412 0,04786886 0,01352198 0,01414375 0,01333608 0,00790739 0,04810566 0,01364118 0,00796992 0,04803187 0,03603409 0,00841369
tansig 0,04778848 0,04816449 0,0479696 0,01304891 0,01559588 0,01527272 0,00720248 0,04769522 0,01202273 0,00738219 0,04780348 0,00740091 0,01511199
tribas 0,04775189 0,04766787 0,04758162 0,01257126 0,03010186 0,01185461 0,00852745 0,048253 0,01203185 0,00882292 0,04737334 0,00782591 0,01521823
Tabla B.18. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias.
B-24 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05142839 0,05156061 0,05131337 0,01473142 0,01448157 0,01446264 0,01429771 0,05167212 0,01460888 0,01436188 0,05174598 0,03600901 0,01481555
hardlim 0,05160641 0,05173929 0,05159732 0,0144171 0,0145422 0,0148092 0,01442473 0,05140252 0,01461319 0,01437206 0,05142107 0,01481067 0,01453729
hardlims 0,05156986 0,05122315 0,05150956 0,01438055 0,01488225 0,01491913 0,01446809 0,05147332 0,01482056 0,01449647 0,05152262 0,01457657 0,01474971
logsig 0,05135655 0,05142361 0,05103828 0,01311855 0,01418054 0,013603 0,00741646 0,05178138 0,01242075 0,00722625 0,0516925 0,00708113 0,01402563
netinv 0,05157254 0,05153695 0,0516068 0,0162465 0,01567448 0,01921698 0,01494571 0,04958842 0,01443247 0,01458546 0,04463235 0,01453452 0,01538453
poslin 0,05202402 0,05157178 0,05154306 0,01392274 0,52792089 0,01231081 0,00769694 0,05169127 0,01242547 0,00770335 0,05136016 0,00814811 0,01481648
purelin 0,05138184 0,05182049 0,05158931 0,01328469 0,01479629 0,01298115 0,00952837 0,05147824 0,01295529 0,00968729 0,0516174 0,00977193 0,01371491
radbasn 0,05153736 0,05135981 0,05159197 0,01212432 0,01865809 0,01406004 0,00749946 0,05159698 0,01248263 0,00814419 0,05165324 0,00750356 0,01575108
satlin 0,05156518 0,05119752 0,05163216 0,01312805 0,15902856 0,01349313 0,00762292 0,05156668 0,01260815 0,0072191 0,05112588 0,00813129 0,01451421
satlins 0,05161473 0,05157973 0,05136309 0,01219146 0,14800383 0,0144673 0,00825944 0,05160849 0,01241326 0,00762525 0,05189592 0,0080559 0,01395043
softmax 0,05178788 0,05146579 0,05163025 0,01200431 0,01088993 0,01472958 0,00797163 0,0517164 0,01299347 0,00774728 0,0516044 0,03469597 0,01429973
tansig 0,05149807 0,05145555 0,05143815 0,01249445 0,01493475 0,01403451 0,00748578 0,0513414 0,01204099 0,00769227 0,05141024 0,00738954 0,01416443
tribas 0,05131578 0,05183743 0,05130022 0,01266552 0,02274549 0,01236172 0,0081598 0,05158342 0,01216287 0,00768026 0,05162791 0,00761679 0,01577748
Tabla B.19. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias.
B-25 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,04779094 0,04783357 0,04756554 0,01445824 0,01441378 0,01446264 0,01429771 0,04812417 0,0141133 0,01436188 0,04813087 0,02978095 0,0146416
hardlim 0,04755013 0,04773446 0,04810777 0,0144171 0,0145422 0,01454707 0,01439829 0,04779694 0,01453513 0,01437206 0,04828742 0,01460834 0,01442161
hardlims 0,04790215 0,04808307 0,04799835 0,01438055 0,01484744 0,01457908 0,01441751 0,04814491 0,0144026 0,01449647 0,04804095 0,01456936 0,01474971
logsig 0,04801624 0,04788278 0,04815007 0,01212027 0,01418054 0,013603 0,00711672 0,04842337 0,01209205 0,00697253 0,04785885 0,00708113 0,01402563
netinv 0,04801974 0,04811086 0,04794664 0,0162465 0,01567448 0,01921698 0,01494571 0,04636088 0,01443247 0,01458463 0,04463235 0,01430569 0,01504881
poslin 0,04802235 0,04755524 0,04772434 0,01338619 0,01496118 0,01228994 0,00751864 0,04823202 0,01185863 0,00754077 0,04767995 0,00745862 0,01432764
purelin 0,04804484 0,04763715 0,04826704 0,01320932 0,01479629 0,01290237 0,00931787 0,04787986 0,01274392 0,0093794 0,04769981 0,00977193 0,01371491
radbasn 0,04792669 0,04793479 0,04769184 0,01212432 0,01700964 0,01406004 0,00749946 0,04794871 0,01210411 0,00755028 0,04827354 0,0072976 0,01405717
satlin 0,04804372 0,04812213 0,04765253 0,01312805 0,02691021 0,01303065 0,00762292 0,04806492 0,01238037 0,0072191 0,04727552 0,00755285 0,01451421
satlins 0,04815669 0,04805695 0,04780503 0,01219146 0,01615383 0,01366517 0,00751669 0,04780383 0,01192315 0,00762525 0,04805145 0,00726322 0,01395043
softmax 0,04801338 0,04782412 0,04786886 0,01200431 0,01088993 0,01333608 0,00790739 0,04810566 0,01299347 0,00774728 0,04803187 0,00762879 0,00841369
tansig 0,04778848 0,04816449 0,0479696 0,01249445 0,01493475 0,01403451 0,00720248 0,04769522 0,01202273 0,00734433 0,04780348 0,00736602 0,01416443
tribas 0,04775189 0,04766787 0,04758162 0,01257126 0,01541381 0,01185461 0,0081598 0,048253 0,01203185 0,00768026 0,04737334 0,00761679 0,015157
Tabla B.20. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN para 20 trayectorias.
B-26 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Figura B.4. Trayectoria Hypocycloid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
B-27 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,98452394 1,01815576 0,74891685 0,89507183 0,55957666 0,50395776 0,56923704 0,82495628 0,83996917 0,96452161 0,71398389 0,53131154 0,50640851
hardlim 0,49168413 0,49060382 0,90425203 0,62618303 0,51624232 0,49718536 0,49294557 0,49959843 0,49651392 0,52270311 0,4968774 0,49689644 0,50614796
hardlims 0,91555799 0,65775594 0,55598482 0,50213995 0,50809503 0,49433993 0,50157022 1,01024065 1,0110989 0,91866155 0,91317613 0,9100827 0,71166847
logsig 0,60290127 0,53370192 0,52506714 0,49636034 0,50534117 0,51293737 0,50598222 0,98404741 0,51736396 0,51447152 0,50851361 0,52788624 0,51100286
netinv 0,51266061 0,49470746 0,97529228 0,51728252 0,49193618 0,48942788 0,49347479 0,49300311 0,49341968 0,54329949 0,99697303 0,50481074 0,48931604
poslin 0,49173397 0,49198359 0,49297232 0,53436364 0,48683125 0,49542145 0,50437432 0,49988168 0,49844478 0,49908542 0,50681819 0,50996672 0,86637313
purelin 0,64994619 0,54226943 0,49758409 0,48860124 0,49343062 0,49178219 0,48416573 0,48549322 0,48562775 0,49073349 1,00776639 1,00743533 0,49347519
radbasn 0,50004863 0,52664101 0,4963344 0,50111435 0,4936004 0,50180605 0,6308171 1,08714359 0,49500732 0,50669135 1,0566518 0,50483748 0,48807608
satlin 0,98130247 1,01215854 0,66689278 0,48951865 0,49945134 0,48901578 0,51006276 0,91266028 0,49189282 0,50077072 0,50678172 0,503029 0,50120309
satlins 0,51234211 0,4985866 1,04466588 0,49231384 0,50883414 0,52203166 0,48058037 0,49168778 0,48729887 0,48626881 0,49152853 0,50204513 0,50521717
softmax 0,50309383 0,51028522 0,48750675 0,66923007 0,49235477 0,50494527 0,55636491 0,49686848 0,50135505 0,78192261 0,96701288 0,49772308 0,7789394
tansig 0,66647135 0,99264976 0,99967421 0,49299217 0,49531812 0,51136391 0,51521793 0,97467635 0,52836116 0,49769229 0,49624566 0,49277538 0,51155234
tribas 0,5016934 0,51011179 0,47945792 0,48756064 0,49659901 0,48727577 0,48295089 0,48995547 0,51817197 0,47829211 0,50730607 0,50829844 0,49191227
Tabla B.21. Trayectoria Hypocycloid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.
B-28 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
B.6 Resultados trayectoria Nephroid.
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05272916 0,05269444 0,05260052 0,01438913 0,01445082 0,0144996 0,01455578 0,05268117 0,01478944 0,01443844 0,05256725 0,03550177 0,01463572
hardlim 0,05308191 0,05258629 0,05275473 0,0144782 0,01465208 0,01420167 0,01460898 0,05271765 0,01442473 0,01458724 0,05311238 0,01434443 0,01461425
hardlims 0,05304993 0,05263038 0,05294235 0,01480731 0,01461447 0,01469416 0,01456745 0,05257648 0,01471319 0,01474142 0,05274291 0,03966785 0,01453961
logsig 0,05309197 0,0526154 0,05254626 0,01479426 0,01999795 0,01433683 0,00765486 0,0529891 0,01348037 0,00780173 0,05316895 0,00785089 0,01412754
netinv 0,05270102 0,05310233 0,05238574 0,01646731 0,07135702 0,01964504 0,01654852 0,0494703 0,0154216 0,0148812 ERROR 0,0134652 0,01533374
poslin 0,05283822 0,05350865 0,05316601 0,01384667 0,02057979 0,01470395 0,0081437 0,05296861 0,01412042 0,00799386 0,05323895 0,00771835 0,01483563
purelin 0,05295728 0,0527207 0,05286995 0,01421002 0,01487307 0,01466825 0,01122569 0,05297237 0,01385516 0,01155151 0,05243825 0,01167178 0,01479587
radbasn 0,05323912 0,05291175 0,05298136 0,01323456 0,01456282 0,0145856 0,00741897 0,05272596 0,01362529 0,04019311 0,05274852 0,01031957 0,01357743
satlin 0,0531922 0,05292156 0,05283886 0,01348659 0,02383462 0,01397455 0,00811128 0,05310882 0,01440647 0,00778247 0,0533379 0,00804776 0,01503138
satlins 0,0529404 0,05276839 0,05293211 0,01319145 0,01448955 0,0135699 0,00824191 0,05300778 0,01331801 0,00750927 0,05303036 0,0078573 0,01531456
softmax 0,05272893 0,05276472 0,05299337 0,0140707 0,01366598 0,01463223 0,00721647 0,05302117 0,03938984 0,00773288 0,05296516 0,0076613 0,01411204
tansig 0,05286417 0,05323739 0,05284548 0,01377967 0,02112602 0,01331651 0,01147348 0,05282406 0,01373007 0,00742076 0,05323583 0,00781401 0,01508089
tribas 0,05282113 0,05278722 0,05280664 0,01348297 0,03172451 0,01303621 0,0085512 0,05297289 0,01377955 0,00740269 0,05303335 0,00755068 0,0160838
Tabla B.22. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. MSET para 20 trayectorias.
B-29 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,04927086 0,04924162 0,04953692 0,01478804 0,01498654 0,01479594 0,0146955 0,0494476 0,03562783 0,0143557 0,04917509 0,01573194 0,01447582
hardlim 0,0495177 0,04901265 0,04888001 0,01473445 0,01474494 0,01460797 0,01460622 0,04929093 0,01463715 0,01448999 0,04935336 0,01440659 0,01463018
hardlims 0,04939245 0,0491636 0,04954279 0,01443175 0,01449954 0,01459768 0,01460901 0,04901691 0,01462742 0,03641226 0,04931271 0,03537903 0,01468973
logsig 0,04906956 0,04930145 0,04966953 0,01203969 0,02016156 0,01258002 0,00737791 0,04948394 0,01235929 0,00736829 0,04912827 0,01017042 0,0125889
netinv 0,04946656 0,04917206 0,04926789 0,02194731 0,01490385 0,02837284 0,01829261 0,04736406 0,01499849 0,01492104 0,03577993 0,01350197 0,01564307
poslin 0,04892857 0,04929093 0,04884861 0,01441846 0,01682408 0,01451906 0,00793011 0,04942522 0,01227465 0,00745139 0,04887734 0,01183972 0,01490972
purelin 0,04892588 0,04977161 0,04886678 0,01321828 0,01461444 0,01333557 0,01122528 0,04918177 0,01338239 0,0109948 0,0494198 0,01174271 0,01481477
radbasn 0,04874887 0,04917906 0,04931437 0,01293655 0,02400965 0,01412438 0,00766284 0,04942833 0,0126126 0,00766124 0,04906683 0,0078312 0,01302619
satlin 0,04942564 0,0494321 0,04882434 0,01214987 0,01965382 0,01325853 0,00774506 0,04918636 0,01242701 0,00804484 0,04915203 0,00787141 0,01474467
satlins 0,04962013 0,04914584 0,04942024 0,0121553 0,13700828 0,0141702 0,00798198 0,04931958 0,01206515 0,00764762 0,04903354 0,0074854 0,01531672
softmax 0,04919309 0,0487668 0,04856789 0,01289999 0,01740938 0,01422437 0,0077693 0,04948869 0,01248302 0,00705065 0,04909555 0,04905036 0,0145996
tansig 0,04900695 0,04932355 0,04928589 0,01268082 0,02724903 0,01450371 0,00809384 0,04942591 0,01271991 0,00771821 0,04915759 0,01003453 0,01511584
tribas 0,04983263 0,04882104 0,04949469 0,01285543 0,46134373 0,01248185 0,00791942 0,0490412 0,01229375 0,00793514 0,04931547 0,00783877 0,01557303
Tabla B.23. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 2. MSET para 20 trayectorias.
B-30 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,05176498 0,05183217 0,05157364 0,01471486 0,01468445 0,01435173 0,01478182 0,05191755 0,01455182 0,01452849 0,05210012 0,02948376 0,01472301
hardlim 0,05164214 0,05168607 0,05205358 0,01434188 0,01450525 0,01466573 0,01456452 0,05183947 0,01431825 0,01468181 0,05169542 0,03784807 0,01463358
hardlims 0,05169517 0,05176105 0,05186225 0,01460528 0,01455774 0,01452582 0,01461717 0,05194251 0,01465866 0,01443 0,05163597 0,01448466 0,01450361
logsig 0,0520658 0,0514513 0,05164864 0,01287874 0,01500768 0,01510501 0,00751166 0,05182206 0,01242497 0,00757474 0,05173193 0,00747706 0,01465614
netinv 0,05227152 0,05211139 0,05197115 0,01687492 0,01554727 0,02433007 0,01591653 0,04828147 0,01911626 0,01498439 0,04188726 0,01035312 0,01547961
poslin 0,05193682 0,0518044 0,05195819 0,01254355 0,01477226 0,01414079 0,00695813 0,05127173 0,01258396 0,0078959 0,05208433 0,01105641 0,01487568
purelin 0,05153439 0,05176961 0,05185012 0,01355328 0,01462904 0,01368666 0,01136883 0,0516521 0,01335101 0,01156745 0,05170795 0,01175978 0,0149145
radbasn 0,05189206 0,05156018 0,05159512 0,01321038 0,01373174 0,01430907 0,00784973 0,05183274 0,0126385 0,00768773 0,05180868 0,03696631 0,01631514
satlin 0,05212055 0,05158836 0,05181282 0,0127541 0,02008055 0,01453128 0,00773722 0,05154582 0,01243366 0,00767586 0,05176645 0,00767658 0,01472605
satlins 0,05200027 0,05220302 0,05164823 0,01305624 0,02222621 0,0125499 0,00770444 0,05206525 0,01432426 0,00796694 0,05173254 0,00800832 0,01500464
softmax 0,05175332 0,05169928 0,05160744 0,01272402 0,01582509 0,01283198 0,02739756 0,0521798 0,03723554 0,03712832 0,05121705 0,00732767 0,01460036
tansig 0,05174292 0,0518031 0,05237575 0,01270029 0,02008648 0,01234932 0,00839896 0,0517747 0,012428 0,00788684 0,05166196 0,00796854 0,01490042
tribas 0,0515815 0,05136873 0,05217262 0,01271194 0,01454162 0,01247157 0,00785603 0,05175924 0,01255609 0,0077233 0,05196669 0,00809077 0,01577329
Tabla B.24. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 3. MSET para 20 trayectorias.
B-31 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 0,04927086 0,04924162 0,04953692 0,01438913 0,01445082 0,01435173 0,01455578 0,0494476 0,01455182 0,0143557 0,04917509 0,01573194 0,01447582
hardlim 0,0495177 0,04901265 0,04888001 0,01434188 0,01450525 0,01420167 0,01456452 0,04929093 0,01431825 0,01448999 0,04935336 0,01434443 0,01461425
hardlims 0,04939245 0,0491636 0,04954279 0,01443175 0,01449954 0,01452582 0,01456745 0,04901691 0,01462742 0,01443 0,04931271 0,01448466 0,01450361
logsig 0,04906956 0,04930145 0,04966953 0,01203969 0,01500768 0,01258002 0,00737791 0,04948394 0,01235929 0,00736829 0,04912827 0,00747706 0,0125889
netinv 0,04946656 0,04917206 0,04926789 0,01646731 0,01490385 0,01964504 0,01591653 0,04736406 0,01499849 0,0148812 0,03577993 0,01035312 0,01533374
poslin 0,04892857 0,04929093 0,04884861 0,01254355 0,01477226 0,01414079 0,00695813 0,04942522 0,01227465 0,00745139 0,04887734 0,00771835 0,01483563
purelin 0,04892588 0,04977161 0,04886678 0,01321828 0,01461444 0,01333557 0,01122528 0,04918177 0,01335101 0,0109948 0,0494198 0,01167178 0,01479587
radbasn 0,04874887 0,04917906 0,04931437 0,01293655 0,01373174 0,01412438 0,00741897 0,04942833 0,0126126 0,00766124 0,04906683 0,0078312 0,01302619
satlin 0,04942564 0,0494321 0,04882434 0,01214987 0,01965382 0,01325853 0,00773722 0,04918636 0,01242701 0,00767586 0,04915203 0,00767658 0,01472605
satlins 0,04962013 0,04914584 0,04942024 0,0121553 0,01448955 0,0125499 0,00770444 0,04931958 0,01206515 0,00750927 0,04903354 0,0074854 0,01500464
softmax 0,04919309 0,0487668 0,04856789 0,01272402 0,01366598 0,01283198 0,00721647 0,04948869 0,01248302 0,00705065 0,04909555 0,00732767 0,01411204
tansig 0,04900695 0,04932355 0,04928589 0,01268082 0,02008648 0,01234932 0,00809384 0,04942591 0,012428 0,00742076 0,04915759 0,00781401 0,01490042
tribas 0,04983263 0,04882104 0,04949469 0,01271194 0,01454162 0,01247157 0,00785603 0,0490412 0,01229375 0,00740269 0,04931547 0,00755068 0,01557303
Tabla B.25. Trayectoria Nephroid. MSET MIN para 20 trayectorias.
B-32 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Figura B.5. Trayectoria Nephroid. MSET MIN en las tres simulaciones (en la leyenda, las funciones de transferencia óptimas para la capa de salida).
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
Err
or
MS
ET
Función de transferencia Capa de Salida
purelin
satlins
tansig
B-33 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
FTRANS compet hardlim hardlims logsig netinv poslin purelin radbasn satlin satlins softmax tansig tribas
compet 1,037545 0,67608554 0,59707871 0,57834592 0,51766788 0,53356739 0,52215931 1,08467663 0,91053776 0,65983025 0,59804231 1,05721951 0,76189475
hardlim 0,62689946 0,55151567 0,54268072 0,50133398 0,52272945 0,51217718 0,52044443 0,52636222 0,53122361 0,50052678 0,9900661 0,82743904 1,05090663
hardlims 0,98993521 0,77578681 1,2400276 0,9573756 0,89473388 0,73473952 0,60930735 0,92479249 1,01207588 0,78112919 0,61338262 0,58332685 0,70205388
logsig 0,89513504 0,65212342 0,61292392 0,67626748 0,55732284 0,6250699 0,56210522 0,94473809 0,52605993 0,52651336 0,5216228 0,51749931 0,51854801
netinv 0,52450673 0,50036834 0,50818579 0,50460854 0,50300388 0,51334745 0,51403186 0,48976786 0,50982166 0,50279762 0,52232423 0,51926281 0,52467935
poslin 0,53042209 1,16560581 1,07966166 0,50929487 0,51160664 0,50942941 0,50582824 1,05891818 0,51386734 0,50302008 0,51249771 0,53535399 0,51447396
purelin 1,02408449 1,03401596 0,74017389 0,67416562 0,53778894 0,60367767 0,50175054 1,10602996 0,51736761 0,92942412 0,6716865 0,51929361 0,4989436
radbasn 0,52282386 0,5178482 0,51668725 0,60075686 0,5120386 0,5198366 0,50626385 0,51530506 1,08010173 0,53683911 0,53327563 0,51095059 0,53208956
satlin 0,99556247 1,02015956 0,73200025 0,51704384 0,53686221 0,52736878 0,51641414 0,99521438 0,89547745 0,50833167 0,9854373 0,53354996 0,55665383
satlins 0,52098863 0,57027399 0,51569204 0,50169097 0,61280924 0,51669171 0,51311405 0,52697207 0,52459182 0,50816918 0,52206489 0,51669292 0,50584769
softmax 0,52251063 0,54204453 0,52238744 1,08449833 0,51155923 0,53653844 0,51603364 0,56000336 0,53222652 0,92309301 1,09236117 0,53690921 0,54874358
tansig 0,52849812 0,51611711 0,54675356 0,51864324 0,55768106 0,52538808 0,51002143 0,52745225 0,52316343 0,50436905 1,17701875 0,52592377 0,50616011
tribas 0,5025942 0,50396019 0,50059932 0,49766109 0,51606281 0,63000585 0,50618807 0,50617632 0,5189354 0,50112286 0,50355457 0,53085081 0,51332719
Tabla B.26. Trayectoria Nephroid. Caso de simulación 1. TCOMP (tiempo de computación) para 20 trayectorias.
B-34 ANEXO B. Resultados de los casos de prueba para la determinación de las funciones de transferencia
Bibliografía
"...Nada existe en el mundo mejor que la patria y los padres."
Homero, La Odisea.
[Ackerson70] Ackerson, G.A. y Fu, K.S. On State Estimation in Switching Environments.
IEEE Trans. Automatic Control, vol AC-15, núm 1, pp. 10–17, Enero, 1970.
[AENA15] AENA. El control del tráfico aéreo. Objetivos.
http://www.aena.es/csee/Flash/html/controlAereo04_02.jsp. Pagina visitada el 15 abril
2015.
[AESS15] IEEE Aerospace and Electronic Systems Society (AESS). Radar Systems
Engineering. http://aess.cs.unh.edu/radar%20se%20Lecture%201%20B.html. Página
visitada el 10 de enero de 2015.
[Alberts06] Alberts, D.S. y Hayes, R.E. Undestanding command and control. CCRP
Publication Series. Library of Congress, 2006.
[Alcione11] www.alciones.org. Página visitada el 23 de marzo de 2014.
[Amoozegar94] Amoozegar, F. y Sundareshan, M.K. Target tracking by neural network
maneuver modeling. IEEE World Congress on Computational Intelligence, vol. 6, Julio 1994.
[Amoozegar95] Amoozegar, F. y Sadati, S. H. Target tracking by neural network maneuver
detection and input estimation. Radar Conference, Record of the IEEE International, pp. 143-148,
May. 1995.
[Amoozegar98] Amoozegar, F. Neural-network-based target tracking state-of-the-art survey.
Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers, pp. 836-846, 1998.
[Ananthasayanam03] Ananthasayanam, M.R.., Sarkar, A.K., Vathsal, S. Estimation of rapid
target acceleration in real time from position alone measurements of tracking radar.
Proceedings of National Systems Conference (NSC), IIT Kharagpur, pp. 64-69, 2003.
[Arif10] Arif, T.T. Aerospace Technologies Advancements. Intech. Cap. 19, Enero 2010.
[ATC14] ATC – 25 Best years – (1958-1983). http://www.rwf2000.com/atc/ATC-Hist-
4A.htm. Página visitada el 10 de abril de 2014.
B-2 BIBLIOGRAFÍA
[Audsley90] Audsley, N., Burns, A. Real Time system scheduling. ESPRIT BRA project
(3092), Predicatably dependable computer systems, vol. 2, cap. 2, Department of Computer Science,
University of York, 1990.
[Audsley90B] Audsley, N. Survey: Scheduling hard Real Time systems. Department of
Computer Science, University of York, 1990.
[Averbuch91] Averbuch, A., Itzikowitz, S. y Kapon, T. Radar Target Tracking—Viterbi
versus IMM. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-27, núm. 3, 550–563,
Mayo 1991.
[Azoff94] Azoff, E.M. Neural network time series forecasting of financial markets.
Chichester, John Wiley and Sons, 1994.
[BarShalom82] Bar Shalom, Y. y Birmiwal, K. Variable dimension filter for maneuvering
target tracking. IEEE Trans. on Aerospace Electron. Syst., vol. AES-18, núm. 5, pp. 621-629,
Sep. 1982.
[BarShalom88] Bar-Shalom, Y. y Fortmann, T. E. Tracking and Data Association. Academic,
New York, 1988.
[BarShalom92] Bar-Shalom, Y., y Li, X. R. Mode-set adaptation in multiple-model estimators
for hybrid systems. Proceedings of the 1992 American Control Conference, Chicago IL, pp. 1794-
1799, Junio 1992.
[BarShalom96] Bar-Shalom, Y. y Li, X. R.. Multiple-model estimation with variable structure.
IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 41, núm. 4, pp. 478-493, Abril 1996.
[BarShalom99] Y. Bar-Shalom, Y. y Li, X. R. Multiple-model estimation with variable
structure-part III: model-group switching algorithm. IEEE Transactions on Aerospace and
Electronic Systems, vol. 35, núm. 1, pp. 225-241, Enero 1999.
[BarShalom00] Bar-Shalom, Y., y Li, X. R.. Multiple-model estimation with variable
structure-part V: likely-model set algorithm. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic
Systems, vol. 36, núm. 2, pp. 448-466, Abril 2000.
[Bastos08] Bastos Gomes, J. B.. An overview on target tracking using Multiple Model
Methods. Instituto Superior Técnico, Universidad Técnica de Lisboa, Sep. 2008.
[Bea14] Bureau d’Enquetes et Analyses pour la securité de l’aviation civile.
http://www.bea.aero/docspa/2000/f-ed000525a/htm/f-ed000525a.htm. Página visitada el 1
de septiembre de 2014.
[Beale11] Beale, M.H., Hagan, M. T. y Demuth, H. B. Neural Network Toolbox User´s
Guide, Matlab, 1998-2011.
[Benavoli06] Benavoli, A., Chisci, L., Farina, A., Immediata, S., Timmoneri, L. y Zappa, G.
Knowledge-based system for multi-target tracking in a littoral environment. IEEE
Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 42, núm. 3, pp. 1100–1119. 2006.
[Benedict62] Benedict, R.T. y Bordner, G.W. Synthesis of an optimal set of radar track-
while-scan smoothing equations. IRE Transactions on Automatic Control, pp. 27-32, Jul. 1962.
B-3 BIBLIOGRAFÍA
[Benedict62] Benedict, R. T. y Bordner, G. W. Synthesis of an Optimal Set of Radar Track-
While-Scan Smoothing Squations. IRE Transactions on Automatic Control, pp. 27-32, 1962.
[Bendiner45] Bendiner, R. WWII Radar and the vital roll it played in the allied victory. Yank
Magazine, 1945.
[Bisplinghoff82] Bisplinghoff, R.L. Airport and air traffic control system. Library of Congress,
USA, Ene. 1982.
[Blackman86] Blackman, S.S. Multiple Target Tracking with Radar Applications. Artech
House, Norwood, MA, 1986.
[Blom88] Blom, H. A. P. y Bar-Shalom, Y. The Interacting Multiple Model Algorithm for
Systems with Markovian Switching Coefficients. IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-33,
núm. 8, pp. 780–783, Agosto 1988.
[Blom84] Blom, H. A. P. An efficient filter for abruptly changing systems, Proceedings of the
23rd IEEE Conference on Decision and Control Las Vegas, NV, pp. 656-658, Dic. 1984.
[Blom88] Blom, H. A. P. y Bar-Shalom, Y. The interacting multiple model algorithm for
systems with a jump-linear smoothing application. IEEE Trans. on Automatic Control, vol. AC-
33, núm. 8, pp. 780-783, Agosto 1988.
[Bogler87] Bogles, P.L. Tracking a maneuvering target using input estimation. IEEE Trans.
on Aerospace Electron. Syst., vol. AES-23, núm. 3, pp. 298-310, Mayo 1987.
[Bonnani89] Bonnani, P. Falcon Air Combat. Osborne/McGraw-Hill, Agosto 1989.
[Boole59] Boole, G. Treatise on differential equations. Cambridge and London: Macmillan
and co. 1859.
[Brookner98] Brookner, E. Tracking and Kalman Filtering Made Easy. Wiley-Interscience
Publication, 1998.
[Brown92] Brown, R.G. y Hwang, Y.C. Introduction To Random Signals And Applied
Kalman Filtering, J. Wiley, 1992.
[Brown99] Brown, L. A radar history of world war II: Technical and military imperatives.
Taylor & Francis, 1999.
[Bugallo07] Bugallo, M. F., Xu, S. y Djuric, P. M. Performance comparison of EKF and
particle filtering methods for maneuvering targets. Digital Signal Processing, vol. 17, núm. 4,
pp. 774-786, Julio 2007.
[Chang78] Chang, C. B. y Athans, M. State Estimation for Discrete Systems with Switching
Parameters. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-14, núm. 5, pp. 418–425,
Mayo 1978.
[Chen03] Chen, A.-S, Leung, M.T. y Daouk, H. Application of neural networks to an
emerging financial market. Forecasting and trading the Taiwan Stock Index. Computers and
Operations Research, vol. 30, núm. 6, pp. 901-923, 2003.
[Chin91] Chin, L. Neural Network Approach In Multiple Target Tracking. IEEE International
Conference on Neural Networks, vol. 2, pp. 1220-1223, Nov. 1991.
B-4 BIBLIOGRAFÍA
[Chin94] Chin, L. Application of neural network in target tracking data fusion. IEEE
Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-30, núm. 1, pp. 281-87, 1994.
[Chin96] Chin, L. Application of neural networks aided target tracking. IEEE Neural
Networks, 1996.
[Doucet00] Doucet, A., Godsill, S.J. y Andrieu, C. On sequential Monte Carlo sampling
methods for Bayesian filtering. Statist. Comput., vol. 10, núm. 3, pp. 197–208, Julio 2000.
[Duh02] Duh, F. y Lin, C. Radar tracking for a maneuvering target using neural fuzzy based
kalman filter. IEEE International Conference on Fuzzy Systems, vol. 2, pp. 1405-1409, Mayo 2002.
[Duh04] Duh, F. y Lin, C. Tracking a Maneuvering Target Using Neural Fuzzy Network.
IEEE Trans. on Systems, Man., and Cybernetics-Part B: Cybernetics, vol. 34, núm. 1, 2004.
[Farina85] Farina, A. y Studer, F. A. Radar Data Processing, Vol. 1. Introduction and
Tracking y Vol. 2 Advanced Topics and Applications. Wiley and Research Studies Press Ltd.
Letchworth, Hertfordshire, England, 1985, 1986.
[Fernández00] Fernández-Caballero, A., Montoya, M., Fernández, M.A. y Gómez, F.J. Un
enfoque neuronal al seguimiento de un objeto a través de su tamaño y su localización. Journal
Computación y Sistemas, vol. 4, núm.1, Sept. 2000.
[Fletcher93] Fletcher, D. y Goss, E. Forecasting wih neural networks. An application using
bankruptcy data. Information and Management, núm. 24, pp. 159-167, 1993.
[Frances98] Frances, P.H. y Griensven K. Forecasting exchange rates using neural networks
for technical trading rules. Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, núm. 4 pp. 109-114,
1998.
[Fre91] Freeman, J.A. y Skapura, D. M. Neural Networks Algorithms. Applications and
Programming Techniques, Addison-Wesley, pp 89-103, 1991.
[Gaceta14] Gaceta Aeronaútica. http://www.gacetaeronautica.com/gaceta/wp-
101/?p=3881. Pagina visita el 16 de febrero de 2014.
[Gately96] Gately, E. Neural networks for financial forecasting. Nueva York, John Wiley,
1996.
[Giles01] Giles, C.L., Lawrence, S. y Tsoi, A.C. Noisy prediction using a recurrent neural
network and grammatical inference. Machine Learning, núm. 44, pp. 161-183, 2001.
[Gle73] Glen, A.G. Historical Development of the Air Traffic Control System. IEEE
Transactions on Communications, vol. 21, núm. 5, May 1973.
[Gelb79] Gelb, A (ed.) escrito por el Technical Staff of the Analytical Sciences Corporation.
Applied Optimal Estimation. MIT Press, Cambridge, MA, 1979.
[Grudnitski93] Grudnitski, G. y Osburn, L. Forecasting S and P and gold futures prices. an
application of neural networks. The Journal of Future Markets, vol. 13, núm.6, pp. 631-643,
1993.
B-5 BIBLIOGRAFÍA
[Gordon93] Gordon, N.J., Salmond, D.J. y Smith, A.F.M. Novel approach to
nonlinear/non-gaussian Bayesian state estimation. IEE Proceedings-F (Radar and Signal
Processing), vol. 140, núm. 2, Abril 1993.
[Gustafsson01] Gustafsson, F. Adaptive Filtering and Change Detection. John Wiley, 2001.
[Gwen03] Gwen, R. BBC. "Radar Operator in WW2, Gwen Reading." WW2 People's War: An
archive of World War II memories (BBC).
http://www.bbc.co.uk/history/ww2peopleswar/stories/98/a1993098.shtml. British
Broadcasting Corp., London, United Kingdom, Nov. 2003.
[Haykin94] Haykin, S. Neural Networks—A Comprehensive Foundation. New York:
Macmillan, 1994.
[Hudson11] Hudson, M., Hagan, M.T. y Demuth H.B. Neural Network ToolboxTM. User’s
Guide. MathWorks Inc., Sep. 2011.
[ICAO07] ICAO, International Civil Aviation Organization. Guidance material on
comparison of surveillance technologies (GMST), Sep. 2007.
[Ikoma01] Ikoma, N., Ichimura, N., Higuchi, T. y Maeda, H. Maneuvering target tracking by
using particle filter. IFSA World Congress and 20 NAFIPS International Conference, vol. 4, pp
2223-2228, Jul. 2001.
[Iltis93] Ilti,s R. y Ting, P. Y. Computing association probabilities using parallel Boltzmann
machines. IEEE Trans. on Neural Networks, vol. 4, pp 221- 223, 1993.
[Jänen10] Jänen, U., Paul, C., Wittke, M. y Hähner, J. Multi-Object traking using feed-
forward neural networks. International Conference on Soft Computing and Pattern Recognition
(SoCPaR), pp. 176-181, Dic. 2010.
[JCS80] Joint Chiefs of Staff. The worldwide military command and control system. A
historical perspective. Historical Division. Joint Secretariat. Sep. 1980.
[Jing94] Jing, Z., Xu, H. y Zhou X. Information fusion and tracking of maneuvering targets
with artificial neural network. Proc. IEEE Int. Conf. Neural Networks (ICNN’94), pp. 3403-
3408, 1994.
[Juszkiewicz00] Juszkiewicz, W. y Stateczny A. GRNN Cascade Neural Filter for Tracked
Target Maneuver Estimation. Neural Networks and Soft Computing, Zakopane, 2000.
[Kalata84] Kalata, P. R. ‘‘The Tracking Index: A Generalised Parameter for α–β and α–β–δ
Target Trackers’’. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. AES-20, núm. 2,
pp. 174–182, Marzo 1984.
[Kalman60] Kalman, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems. Journal
of Basic Engineering, Trans. of ASME, vol. 82, núm. 1, pp. 35-45, Mar. 1960.
[Kalman61] Kalman, R.E. y R.S. Bucy. New results in linear filtering and prediction theory.
Journal of Basic Engineering, Transactions of the ASME, vol. 83, núm. 3, pp. 95-107, Dic. 1961.
[Kim91] Kim, K. Neural Target Tracking. Systems, Man. and Cybernetics, Oct. 1991.
B-6 BIBLIOGRAFÍA
[Kong98] Kong, C.Y., Hadzer, C.M. y Mashor, M.Y. Radar Tracking System using Neural
Networks. International Journal of the Computer, the Internet and Management, vol. 6, no. 2, 1998.
[Lee03] Lee, B., Joo, Y. y Park, J. B. An intelligent tracking method for a maneuvering target.
International Journal of Control, Automation and Systems, vol. 1, núm. 1, Marzo 2003.
[Leung94] Leung, H. y Blanchette, M. Data association for multiple target tracking using
Hopfield neural network. International Symposium on Speech, Image Processing and Neural Networks,
Abril 1994.
[Li01] Li, X.R., Pitre, R. R. y Jilkov, V.P. A comparative study of multiple-model algorithms
for maneuvering target tracking. Proceedings of the SPIE, vol. 5809, pp. 549-560, May 2005.
[Li05] Li, X.R. y Jilkov, V.P. A survey of Maneuvering Target Tracking – Part V: Multiple
Model Methods. IEEE Trans. Aerospace and Electronic Systems, vol. 41, núm. 2, 2005.
[Liu98] Liu, J.S. y Chen, R. Sequential Monte Carlo methods for dynamic systems, J. Amer.
Statist. Assoc., vol. 93, núm. 443, pp. 1032–1044, Sept. 1998.
[Lloyd07] Lloyd, M. Pursuit Curves. Academic Forum 24. 2007.
[Magill65] Magill, D. T. Optimal Adaptive Estimation of Sampled Stochastic Processes.
IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-10, pp. 434–439, 1965.
[Malur95] Malur, K. y Sundareshan. Neural Network schemes for data fusion and tracking of
maneuvering targets. Performance report 1 (ONR grant # N00014-95-1-1224), 1995.
[MathWorks14] MathWorks documentation. State Estimation Using Time-Varying Kalman
Filter. http://es.mathworks.com/help/control/examples/state-estimation-using-time-
varying-kalman-filter.html. Página visitada el 13 de diciembre de 2014.
[McIntyre98] McIntyre, G. A. y Hintz, K. J. A comparison of several maneuvering target
tracking models. SPIE, Conference on Signal Processing, Sensor Fusion and Target Recognition,
Orlando, FL, 1998.
[Míguez04] Míguez, J., Bugallo, M. F. y Djuric, P.M. A new class of particle filters for
random dynamical systems with unknown statistics. EURASIP J. Appl. Signal Process., vol. 15,
pp. 2278–2294, 2004.
[Morrison69] Morrison, N. Introduction to Sequential Smoothing and Prediction. McGraw-
Hill, New York. 1969.
[Munir95] Munir, A. y Atherton, D. P. Adaptative interacting multiple model algorithm for
tracking a maneuvering target. IEEE Proc. Of Radar, Sonar and Navigation, vol. 142, núm. 1,
pp. 11-17, 1995.
[Narendra90] Narendra, K.S. y Parthasarathy, K. Identification and control for dynamic
systems using neural networks. IEEE Trans. Neural Networks, vol. 1, pp. 4–27, 1990.
[Narendra98] Narendra, K.S. y Li, S. M. Control of nonlinear time-varying systems using
neural networks. 10th Yale Wkshp. Adaptive Learning Syst., pp. 9–18, 1998.
B-7 BIBLIOGRAFÍA
[NATCA15] NATCA (National Air Traffic Controllers Association). A history of air traffic
control. www.natca.org Página visitada el 10 de mayo de 2014.
[Navidad13] Navidad, A., Usero, L., Fernández del Castillo, J. R. y Patricio, M. A. Radar
Tracking System Using Contextual Information on a Neural Network Architecture in Air
Combat Maneuvering, International Journal of Distributed Sensor Networks
Vol 2013, http://www.hindawi.com/journals/ijdsn/2013/160718/, Jul. 2013.
[Norvig95] Norvig, P. y Russel, S. Artificial Intelligence – A Modern Approach. Upper
Saddle River, NJ, Prentice. 1995.
[Notjur15] Noticias jurídicas. Reglamento de Circulación Aérea Operativa.
http://noticias.juridicas.com/base_datos/Admin/rd57-2002.l4.html. Página visitada el 12 de
marzo de 2015.
[Olivier10] Olivier B., et al. Aerospace Technologies Advancements, cap. 19, Air Traffic
Control tracking systems performance impacts with new surveillance technology sensors.
Intech, Ene. 2010.
[Olmedo04] Olmedo, E., Valderas, J.M., Mateos, R.., y Gimeno, R.. "Utilización de redes
neuronales en la caracterización, modelización y predicción de series temporales económicas
en un entorno complejo", Revista Iberoamericana de Inteligencia Artificial, vol. 4, núm. 23, 2004.
[Perlovsky07] Perlovsky, L. I. y Deming, R.W. Neural networks for improved tracking.
IEEE Transactions on Neural Networks, vol.18, núm. 6, 2007.
[Pitre11] Pitre, R. R., Jilkov, V. P. y Li, X. R.. A comparative study of multiple-model
algoriths for maneuvering target tracking, Proc. SPIE5809, Signal Processing, Sensor Fusion and
Target Recognition, vol. 24, 2011.
[Poznyak98] Poznyak, A. S. Learning for Dynamic Neural Networks. 10th Yale Wkshp.
Adaptive Learning Syst., pp. 38–47, 1998.
[Pullum07] Pullum, L.L., Taylor, B. J. y Darrah, M. A.. Guidance for the verification and
validation of neural networks, IEEE Computer Society, 2007.
[Qi01] Qi, M. Predicting US recessions with leading indicators via neural network models.
International Journal of Forecasting, núm. 17, pp. 383-401, 2001.
[Radar15] Radar: the silent weapon of World War 2.
http://www.rfcafe.com/references/radio-news/radar-silent-weapon-wwii-october-1945-
radio-news.htm. Pagina visitada el 6 de febrero de 2015.
[Randell95] Randell, B., Laprie, J., Kopetz, H. y Littlewood B. (eds). Predictably dependable
computing systems, Springer Verlag, 1995.
[Rez93] Rzevski, G. On Behaviour and Architectures of Autonomous Intelligent Agents: An
Engineering Perspective. First International Round-Table on Abstract Intelligent Agents, ENEA,
Rome, 25-27, 1993.
[Rez95] Rzevski, G. Artificial intelligence in Engineering: Past, Present and Future. The open
University, Milton Keynes, UK, 1995.
B-8 BIBLIOGRAFÍA
[Rong03] Rong Li, X. y Jilkov, V.P. Survey of Maneuvering Target Tracking. IEEE
Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 39, núm. 4. Oct. 2003.
[Sánchez07] Sánchez, A.M., Patricio, M.A., García, J. y Molina, J.M. Video tracking
improvement using context based information. 10th international conference on information fusion,
Quebec, 2007.
[Sarkar05] Sarkar, A.K. y Vathsal, S. Target acceleration estimation from radar position data
using neural network. Defence Science Journal, vol. 55, no 3, pp 313-328, 2005.
[Schvaneveldt92] Schvaneveldt, R., Benson, A., Goldsmith, T. y Waag W. Neural Network
Models of Air Combat Maneuvering- Technical Report AD-A254 653, Human Resources
Directorate, Aircrew Training Research Division, 1992.
[Selmic98] Selmic, R. R. y Lewis, F. L. Neurocontrol for compensation of actuator
nonlinearities. 10th Yale Wkshp. Adaptive Learning Syst., pp. 83–92, 1998.
[Sengupta89] Sengupta, D. y Iltis, R. A.. Neural solution to the multitarget tracking data
association problem. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol AES-25, núm.
1, Enero 1989.
[Shaw85] Shaw, R.L. Fighter Combat. Tactics and Maneuvering. Naval Institute Press, USA.
1985.
[Singer70] Singer, R. A. Estimating optimal tracking filter performance for manned
maneuvering targets. IEEE Trans. on Aerosp. Electron. Syst., vol AES-6, núm. 4, pp 473-483,
Jul. 1970.
[Sitler64] Sitler, R. W. An Optimal Data Association Problem in Surveillance Theory. IEEE
Trans. Mil. Electron., vol. MIL-8, pp. 125-139, Abr. 1964.
[Skolnik02] Skolnik, M.I. Introduction to radar systems. McGraw Hill College, Dic. 2002.
[Stankovic90] Stankovic, J. A. y Ramamritham, K. What is Predictability for Real-Time
Systems? Journal of Real-Time Systems. vol. 2, núm. 4, pp. 247-254, 1990.
[Surcando15] Surcando los cielos. Frequently Asked Questions (IX). El Radar.
http://surcandoloscielos.es/blog/frequently-asked-questions-ix-el-radar-3parte/. Página
visitada el 5 de septiembre de 2014.
[Takaba96] Takaba, K.., Iiguni, Y. y Tokumaru, H. An improved tracking kalman filter using
a multilayered neural network. Mathmatical and Computer Modelling. Elsevier. vol. 23, pp.
119.128, Enero 1996.
[Teng12] Teng, T., Tan, A., Tan, Y. y Yeo A. Self-organizing neural networks for learning air
combat maneuvers. 2012 International Joint Conference on Neural Networks (IJCNN), pp. 1-8,
Junio 2012.
[Tkacz01] Tkacz, G. Neural network forecasting of Canadian GDP growth. International
Journal of Forecasting, núm. 17, pp. 57-69, 2001.
[Tugnait82] Tugnait, J. K. Detection and estimation for abruptly changing systems.
Automatica, vol. 18, núm. 5, pp. 607-615, 1982.
B-9 BIBLIOGRAFÍA
[Usero10] Usero, L. Inteligencia computacional en teledetección. Control de contenido de
humedad en combustible en superficie terrestre mediante imagen satélite para prevención de
incendios. Tesis doctoral, Universidad de Álcala, 2010.
[Vaidehi99] Vaidehi, V., Chitra, N., Chokkalingam, M. y Krishman, C. N. Neural Network
aided kalman filtering for multitarget tracking applications. Computer and Electrical Engineering,
Pergamon, pp. 217-228, May. 1999.
[Vivancos98] Vivancos, E., Hernández L., Botti V. Distributed artificial intelligence in real
time environments. Iberoamerican journal of artificial intelligence, vol.2, núm. 6, 1998.
[Wang14] Wang, H., Cheng, B., Liu, X., Liu, K. y Lin, C. Adaptative neural tracking control
for stochastic non linear strict-feedback systems with unknown input saturation. Information
Sciences, Elsevier, vol. 14, pp. 300-315, Junio 2014.
[Wilson94] Wilson, R. y Sharda, R. Bankruptcy prediction using neural networks. Decision
Support Systems, núm. 11, pp. 545-557, 1994.
[Yu94] Yu, W., Shiyi, M., Lin, P. y Shaohong Li. Neural solution to multitarget tracking
inclutter with velocity measurements. Aerospace and Electronics Conference, Proceedings of IEEE,
vol. 1, pp. 204-211, Mayo 1994.
[Yu06] Yu, Y. y Cheng, Q. Particle filters for maneuvering target tracking problem. Signal
Processing, Elsevier, vol. 86, núm. 1, pp. 195-203, Enero 2006.
[Zad65]Zadeh, L.A. Fuzzy Sets. Information and Control, pp. 338-353, 1965.