Programamunozv/Teaching/Electromagnetismo/... · 2006. 3. 9. · V. Muñoz Sanjosé...

1

V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004

Programa

• 16.1 Introducción• 16.2 El problema electrostático. Unicidad de la solución.• 16.3 La solución formal, mediante la función de Green, del problema

electrostático con condiciones de contorno.• 16.4 El método de las imágenes.• 16.5 El método de separación de variables.

Lección 16Teoría del potencial en electrostática

2


Bibliografía

Benito (Problemas) Lecciones 4 y 5Griffiths Lección 3Pomer Lección 15Reitz-Milford-Christy Lección 3

Lección 16Teoría del potencial en electrostática

3


0

2

ερ

φ −=∇

( )∫ ∫ ∂∂

=∇∇+∇V S

dSn

dv ψφψφψφ 2 ψφ =

( )∫ ∫ ∂∂

=∇+∇V S

dSn

dv φφφψφ 22

Teoría del potencial en electrostáticaEl problema electrostático. Unicidad de la solución

21 ; φφ21 φφφ −= 0=φ 0=

∂∂nφ

( )∫ ∫=∇+V S

dSdv )0()0()0( 2φφ

0=∇φ 21 φφ =cte=φ

4


( ) Vrsir ∉= 0rφ

n∂∂

=φ

εσ 0nrr φετ 0−=

Teoría del potencial en electrostática

( ) ∫ ∫ ∈

′

−′∂

∂+′

′=

V S

VrsidSRRn

nRvd

Rrr

rrrr φφ

πρ

επφ

141)(

41

0

El problema electrostático. Unicidad de la solución

∫ ∫ ′

∇′−

∇′=

∇′−

∇′′

V S

SdRR

dvRR

rrr

φφφφ1111)( 22

0

2

ερ

φ −=∇

5


( ) )(rfrL rr =φ ( ) )(,2 rrrrG ′−=′∇′rrrr

δ

( ) ),(4

1, rrFR

rrG ′+−=′ rrrr

π( ) 0,2 =′∇′ rrF rr

( ) ∫ ∫ ′

′∂

∂−′∂

∂+′′′−=

V S

Sdn

GnGvdrrrGr

φφρ

εφ )(),(1

0

rrrr

SrsirrG ∈′=′ rrr 0),(

( ) ( )∫ ∫ ′

′∂′∂′+′′′−=

V S

SdnrrGrvdrrrGrrr

rrrrr ,)()(),(1

0φρ

εφ

Teoría del potencial en electrostáticaLa solución formal, mediante la función de Green,

del problema electrostático con condiciones de contorno

6


( ) 1,=′

′∂′∂

∫ SdnrrG

S

rr ( ) SrsiSn

rrG∈′=

′∂′∂ rrr 1,

( ) ( )∫ ∫ ′′∂′∂′−′′′−=

V SS Sd

nr

rrGvdrrrGr)(,)(),(1

0

rrrrrrr φ

ρε

φφ

),(),( rrGrrG rrrr ′=′

FRG += ln21 ( )222 )()( yyxxR ′−+′−=

FzzG +′−=21

Teoría del potencial en electrostáticaLa solución formal, mediante la función de Green,

del problema electrostático con condiciones de contorno

7


( ) ∫ +′′

=V

hvdRr

r φρ

επφ

)(4

1

0

rr

02 =∇ hφ

∫ ∈=′′

Vh

i VrsivdRr rr

φρ

επ)(

41

0

Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes

8


( )

++−

−+=

22220 )(

1

)(

14

,dzrdzr

qzr

επφ


Una carga puntual enfrente de un plano conductor a potencial cero

222 yxr +=

9



( )

′−+′−+′−−

′++′−+′−=′

222222 )()()(

1

)()()(

141,

zzyyxxzzyyxxrrG

πrr

( ) 23220

02 dr

qdz z +

−=

∂∂

−== π

φεσ

El método de las imágenes

10


( )

−+

′+

−+=

θθεπφ

cos2cos241,

22220 drdr

q

drdr

qzr

daq

q −=′


),,(),,( θθ daRdadaR =′

Una carga puntual en presencia de una esfera conductora a potencial cero

dad

2

=′ar = 0=θ

πθ =

11



Si el conductor permanece aislado, con o sin carga, tendremos que añadir una carga puntual en el centro para la conservación de la carga

Tendremos que añadir una carga puntual en el centro de la esferaqo =4πa εo φo

Una carga puntual en presencia de una esfera conductora a potencial φo

12


)0()0( 21 === zz φφ0

22

0

11

==

∂∂

=

∂∂

zz zzφ

εφ

ε

Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes.

( )

++−

−+=

221

2211

)()(41,

dzr

q

dzr

qzr

επφ

qq21

211 εε

εε+−

=( )

−+=

222

22

)(41,

dzr

qzr

επφ qq

21

22

2εε

ε+

=

Una carga puntual situada en un dieléctrico ε1 que esta en contacto con otro dieléctrico ε2. La superficie de contacto es plana

222 yxr +=

13


2

2

2

2

2

22 0

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

==∇φφφ

φ

( ) )()()(,, zZyYxXzyx =φ 0=′′

+′′

+′′

ZZ

YY

XX

22

21

23

22

21 ;; kkk

ZZk

YYk

XX

+==′′

−=′′

−=′′

xsenkAxkAX 1211 cos +=

ysenkBykBY 2221 cos +=

zkshCzchkCZ 3231 +=

El método de separación de variablesCoordenadas cartesianas


14


Planteamiento mas general

22

21

23

22

21 ;; kkk

ZZk

YYk

XX

−==′′

=′′

−=′′

xsenkAxkAX 1211 cos += yshkBychkBY 2221 += zkshCzchkCZ 3231 +=



Las constantes de separación han de cumplir k12= k2

2+ k32

y serán reales o imaginarias dependiendo de las condiciones de contorno

15


V

Ejemplo: Paralelepipedo con tres lados a potencial cero y uno a potencial V

Hay ceros repetidos en el eje x:Función trigonométrica

No hay ceros repetidos en el eje y:Función hiperbólica

( )( )DshkyCchkyBsenkxkxA ++= cosφ

Condiciones de contornox=0 φ=0 ∀ y ⇒ A=0x=a φ=0 ∀ y ⇒ B sen ka F(y)=0 ⇒ ka=nπ ⇒ k= nπ/a y=0 φ=0 ∀ x ⇒ C=0

( )( ) shkysenkxBshkyDsenkxB ′==φ



x

y

a

b

16


y=b φ=V ∀ x ⇒ V=B’ sen kx sh kbComo k= nπ/a la solución completa será superposición

=∑

∞

axnsen

aynshBn

ππφ

1

Multiplicando por sen nπx/a eintegrando entre 0 y a... a

abnshBdx

axnsenV n

a

21

0

=

∫

ππ

( ) ( ) ( )( )ππ

ππ

nabnsha

Vdxabnsen

abnsha

VBa

n cos122

0

−== ∫

( ) imparesnsiabnsha

VBn π4

=paresnsiBn 0=



=∑

∞

axnsen

abnshBV n

ππ

1

17


Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables

Coordenadas cilíndricas

2

2

2

2

22 110

zrrr

rr ∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇φ

ϕφφ

φ

Simetría axial con invarianza longitudinal (solo depende de r)

0102 =

∂∂

∂∂

==∇r

rrr

φφ

21 ln krk +=φ

18



Coordenadas cilíndricasInvarianza longitudinal (solo depende de r y ϕ)

2

2

22 110

ϕφφ

φ∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇rr

rrr

)()( ϕφ QrP=

QQ

PPr

PPr

′′=′

+′′2 22 n

PPr

PPr =

′+′′ 2n

QQ

−=′′

( ) ϕϕϕ nsenAnAQ 21 cos += ( ) nn rCrCrP −+= 21

( ) ( )( )∑∞

− ++=1

2121 cos, ϕϕϕφ nsenAnArCrCr nnn

nn

n

00 2 =→= nCzonalaenestarSi

00 1 =→= nCzonalaenestanorSi

19



Coordenadas cilíndricasSimetria axial (solo depende de r y z)

2

2

2

2

22 110

zrrr

rr ∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇φ

ϕφφ

φ )()( zZrR=φ

ZZ

RRrR

R ′′−=

′+′′ 1

Tenemos dos posibilidades

shTzAchTzAzZTZZ

212 )( +=⇒=

′′ VTrhaciendo =

0012

2

==++ nconBesseltipoldiferenciaEcuaciónRdvdRvdv

Rd

1.-

)()( 0201 vNBvJBR += 00 2 =→= BzonalaenestarSi

20



Función de Bessel de 1ª especie Función de Bessel de 2ª especie

El método de separación de variablesCoordenadas cilíndricas

21


2.- senTzATzAzZTZZ

212 cos)( +=⇒−=

′′

)()( 0201 jTrNBjTrJBR +=

esp. 2ª de mod..)()( BesseldefunvKjvN nn =

modificada.)()( BesseldefunvIjvJ nn =

)()( 0201 TrKBTrIBR +=

00 2 =⇒= BincluidoestarSi



22




Asimetria total

2

2

2

2

22 110

zrrr

rr ∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇φ

ϕφφ

φ )()()( zZFrR ϕφ =

shTzFchTzEzZ 11)( +=

)()cos()( ϕϕϕ nsenDnCF nn +=

)()()( TrNBTrJArR nnnn +=

23




Asimetria total(otra posibilidad)

2

2

2

2

22 110

zrrr

rr ∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇φ

ϕφφ

φ )()()( zZFrR ϕφ =

senTzFTzEzZ 11 cos)( +=

)()cos()( ϕϕϕ nsenDnCF nn +=

)()()( TrKBTrIArR nnnn +=

24


-V

V( ) ( )( )∑

∞− ++=

12121 cos, ϕϕϕφ nsenAnArCrCr nn

nn

nn

Condiciones de contornoEl eje dentro C2n=0La funcion no cambia de signo para 0 π y π 2 π.. A1n =0

( ) ( )( )∑∞

=1

21, ϕϕφ nsenArCr nn

n

( ) πϕϕ <<=∑∞

01

nsenaAV nn ( ) πϕπϕ 2

1

<<=− ∑∞

nsenaAV nn



25


Coordenadas cilindricasTeoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables

=−∫ ∫ πϕϕϕϕ

π π

π

221

0

2n

naAdnsenVdnsenV

0=⇒ nAparesnSinn anVAimparesnSiπ4

=⇒


=∫ πϕϕ

π

2212

0

nnaAdnsenV

26


2

2

222

22 11110

ϕφ

θθφ

θθθ

φφ

∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

==∇senr

sensenrr

rrr

Simetría azimutal φ≠f(ϕ)

( )θφ Θ= )(rR

ΘΘ′

+ΘΘ′′

−=′

+′′

θtgRRr

RRr 122 )1(22 +=

′+′′

nnRRr

RRr

( ) )1(21

+−+= nn rArArR )1(1+−=

ΘΘ′

+ΘΘ′′

nntgθ


Coordenadas esféricas

27


x=θcos

( ) ( ) 0121 2

22 =Θ++

∂Θ∂

−∂Θ∂

− nnx

xx

x

( ) ( )xQCxPC nn 21 +=Θ

Condiciones de contornoSi el origen esta en la region de interes A2=0Si los puntos θ=0, θ=π estan en la region de estudio C2 =0Ya que las funcion Qn contiene terminos ln(1+x/1-x) (x=cos θ)



28


Caso general

( ) ( )θϕφ ΘΨ= )(rR

ΨΨ ′′

−=

ΘΘ′

+ΘΘ′′

+′

+′′

θθ

22 12 sentgR

RrRRr

2m−=ΨΨ ′′

( ) ϕϕϕ senmAmA 21 cos +=Ψ

( )122 +−=′

+′′

nnRRr

RRr )1(

21)( +−+= nn rBrBrR



29


( ) 0112

2

=

−++

ΘΘ′

+ΘΘ′′

θθ senmnn

tgx=θcos

( ) 0112

2

=Θ

−++Θ′+Θ′′

θθ senmnn

tg )()( xBQxAP mn

mn +=Θ

nm

m

n

m

nm

mmm

n xdxd

nxxP

dxdxxP )1(

!2)1()()1()( 2

2/22/2 −

−=−=



30


Calculo del potencial en el interior de una esfera cuya superficie esta a potencial V

Condición de contorno φ(r=a)=f(θ)El problema no depende de ϕEl punto r=0 esta en la región de interésLos puntos θ =0 y θ =πestán contenidos

)(cosθφ nnPAr=

)()( θφ far ==

)(cos)( θθ nnPAaf =

∑=n

nn

n PrA )(cosθφ ∑ ∑====n n

nnn

nnnn

n PCaACPaAf )(cos)(cos)( θθθ

( ) ( ) ( )∑ ∫∫∫ +===

−−− nmmmmnnn mCdPCdPPCdPf

122coscoscos)(cos)( 2

1

1

1

1

1

1

θθθθθ

( )θθθ cos)(cos)(12

2 1

1

dPfm

C nm ∫−+

= ( )∑ ∫

+

=−n

n

n

n PardPf

m)(coscos)(cos)(

122 1

1

θθθθφ


ctef =)(θ2

)( 2 θθ ksenf =

31


)()()(),,( ϕθϕθφ ΦΘ=rrR

r

0)1(22

2=

+− R

rnn

drRd

( ) 01

)1(12

22 =Θ

−−++

Θ−

µµµ

µmnn

dd

dd

022

2=Φ+

Φ mddϕ



32


∑ ∑∞

= −=+

+=

0,1

,, ),(),,(

nmn

n

nmnmnn

mn Yr

BrAr ϕθϕθφ

)(cos),(0

1θθφ ∑

∞

=+

+=

nnn

nnn P

rB

rAr


nn

nn rBrArR −+ += 1)(

)(cos)!(4

)!(12),(, θϕθ ϕ mn

immn Pe

mnmnnY

+−+

=

El método de separación de variablesCoordenadas esféricas

33



+

++=

′−=

>

<

>

<

>L

2

001

44)(

zz

zz

zq

zzq

zπεπε

φ

El método de separación de variablesCoordenadas esféricas

( ) ( )∑∑∞

==

∞

=

→=0

00

)(cos),(n

nn

nn

nn zAPrAr θθθφ n

n zq

B1

04πε=

∑∑∞

=+=

∞

=+

→

=

010

01

)(cos),(n

nn

nnn

n

zB

PrB

r θθθφ1

104 +

=n

nz

qAπε

34


)(cos44 0

100

θπεπε ∑

∞

=+

>

<

=

nnn

n

Pr

rqR

q

)(cos1

01

γ∑∞

=+

>

<

=n

nn

n

Pr

rR

)cos(coscoscos ϕϕθθθθγ ′−′+′= sensen

∑−=

′′+

n

nmmnmnn YY

nP ),(),(

124)(cos *

,, ϕθϕθϕ

∑ ∑∞

=+

>

<

−=

′′

+=

0

*,,1

),(),(12

141

nmnmnn

nn

nm

YYr

rnR

ϕθϕθπ



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