Programa y Practica de Probabilidad y Estadistica 2012 1

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    Universidad Tecnolgica Nacional

    Facultad Regional Gral. Pacheco

    Ingenieras Civil, Elctrica !ec"nica

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    Calendario*de Probabilidad y Estadstica 2012.

    Carreras de Ingeniera Mecnica, Elctrica y Civil.

    e!ana "e!a1 Con#$ntos, Conteo%"&, Probabilidad Ele!ental %"&2 Probabilidad condicional. $cesos Inde'endientes "otal y (ayes %"&) Probabilidad %P& Probabilidad %P&+ Probabilidad %P&

    ariables aleatorias %"& ariables aleatorias %P&/ istrib$cin (ino!ial y Poisson %"& istrib$cin 3or!al %"&10 (ino!ial, Poisson y 3or!al %P&11 (ino!ial, Poisson y 3or!al %P&12 ariables aleatorias !$ltidi!ensionales %"4P&1) Estadstica descri'tiva %"&

    1 Estadstica descri'tiva %P&1+ Pri-er Parcial1 Recueratorio ri-er arcialReceso

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    :ec;a de 'arciales* y rec$'eratorios* 'or es'ecialidad.

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    "raba#o Prctico 3= 1

    Tcnicas de conteo. Conjuntos. Probabilidad elemental. Probabilidad condicional.

    Sucesos independientes. Probabilidad total. Frmula de Bayes.

    1. >e c$ntas !aneras se '$ede aco!odar $na 5ila de 'ersonas en sillas?.

    2. >e c$ntas !aneras ) ni@as y 2 ni@os '$eden sentarse en $na 5ila si9a. los ni@os se sientan #$ntos y las ni@as ta!bin?

    b. slo las ni@as se sientan #$ntas?

    ). >C$ntas se@ales di5erentes '$eden 5or!arse $tili6ando banderas si estn dis'onibles ro2 a6$les?

    . >e c$ntas !aneras '$ede escogerse $n co!it co!'$esto 'or ) ;o!bres y 2 !$#eres, dgr$'o de + ;o!bres y !$#eres?

    +. Entre 12 est$diantes se seleccionan 'ara re'resentar al gr$'o.

    a. >e c$antas !aneras '$ede escogerse la delegacin?b. >e c$antas !aneras si dos est$diantes estn casados entre s y solo asisten si van #$ntos

    . >e c$antas !aneras '$eden re'artirse #$g$etes en tres c;icos, si el !enor recibe ),

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    1). En $na ci$dad con 2+.000 ;abitantes eDisten ) bancos, B$e se $tili6an de la sig$iente !aner

    C3"I (3C FAE A"I

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    22. ie6 'ersonas es'eran en $na cola. 7allar la 'robabilidad de B$e entre J$an y Jos eDacta!ente tres 'ersonas.

    2). Ana e!'resa c$enta con 0 traba#adores, de los c$ales +0 son o'erarios. Entread!inistrativos ;ay / !$#eres. Entre los o'erarios ;ay )/ ;o!bres. e to!a $n traba#ada6ar. 7allar la 'robabilidad de B$e9%a& sea o'erario%b& sea ad!inistrativo y !$#er.

    %c& siendo o'erario, sea ;o!bre. %d& sea !$#er $ o'erario.

    2.

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    ). En $na ci$dad el + K de los varones ad$ltos son casados. El /0 K de ellos ve 5Htbol. el de los varones ad$ltos, solo el )0 K ve 5Htbol. e to!a al a6ar $n varn ad$lto9

    %a& si ve 5Htbol, ;allar la 'robabilidad de B$e no este casado.%b& ;allar la 'robabilidad de B$e sea casado y no vea 5Htbol.%c& ;allar la 'robabilidad de B$e sea soltero o vea 5Htbol.%d& ;allar la 'robabilidad de B$e no vea 5Htbol o sea soltero.%e& ;allar la 'robabilidad de B$e no sea casado y no vea 5Htbol.

    )+. An inversor 'lanea co!'rar gran cantidad de acciones de $na e!'resa, sabiendo B$coti6acin se relaciona con el Prod$cto (r$to 3acional. i el P(3 a$!enta, la 'robabilidaB$e las acciones a$!enten es 0./. i no vara, la 'robabilidad es 0.2, y si dis!in$ye, 0.1.el 'rDi!o a@o las 'robabilidades de B$e a$!ente, no vare y dis!in$ya el P(3 son 0.L 00.) res'ectiva!ente.%a& ;allar la 'robabilidad de B$e las acciones a$!enten en el 'rDi!o a@o.%b& si el valor de las acciones a$!enta, ;allar la 'robabilidad de B$e el P(3 ta!bin a$!en

    %c& si las acciones a$!entan, ;allar la 'robabilidad de B$e el P(3 no ;aya variado o dis!in$ido.

    ). Entre las centrales tele5nicas y ( ;ay $na cantidad de canales tal B$e $na lla!ada tiene'robabilidad de encontrar congestin del + K. i enc$entra, la lla!ada es derivada a $naalternativa en la c$al la 'robabilidad de congestin es O'. i la lla!ada enc$entra conge

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    "raba#o Prctico 3= 2

    Variables aleatorias. Distribuciones: Binomial Poisson y !ormal.

    Suma de "ariables aleatorias independientes. Teorema Central del #$mite.

    1. An gerente elabora $n 'lan 'ara el a@o entrante. El bene5icio, (, es 5$ncin del costo 5i#o, Tlas ventas, U, y viene dado 'or la sig$iente relacin9 ( V 20.U W T.

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    %a& eter!ine la 5$ncin de distrib$cin de 'robabilidades 'ara la variable aleatoria.%b& eter!ine la 5$ncin de distrib$cin de 'robabilidad ac$!$lada 'ara la variable aleatori%c& 7alle la Es'eran6a y la arian6a.

    . En $na enc$esta, el 20 K de las 'ersonas enc$estadas no tenan ;abilidad alg$naL el ;ablaban Ingls y $n +0 K !ane#aban la co!'$tadora. e de5ine la variable aleatoria, U, cnH!ero de ;abilidades de las 'ersonas enc$estadas.

    %a& eter!ine la 5$ncin de distrib$cin de 'robabilidad ac$!$lada 'ara la variable aleatori %b& 7alle la Es'eran6a y la arian6a.

    . Ana variable aleatoria discreta, U, tiene co!o 5$ncin de 'robabilidades9

    P%U D& '%D& 0. . %0.)& D, 'ara D 0,1,2,),\

    %a& eri5iB$e B$e corres'onde a $na 5$ncin de distrib$cin de 'robabilidad.%b& 7alle P% U N )&L P% ] U ] & y P%U N ) 4 U N 1&

    /. An 5abricante de galletitas tiene $n ingreso diario, I, B$e '$ede eD'resarse en 5or!a si!'li5

    !ediante la ec$acin9 I 1.00 S +0 . T, donde T es el nH!ero de averas 'or da de la !BB$e 'rod$ce las galletitas. e sabe B$e el !Di!o de averas es de tres 'or da, ta!bin, seB$e la 'robabilidad de B$e en $n da 3 oc$rran averas es del 10 K, de B$e ;aya $naavera es del 20 K , y la 'robabilidad de B$e en $n da oc$rran tres averas es del )0 K. Ca

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    1). Ana variable aleatoria, U, tiene $na 5$ncin de densidad de 'robabilidad9

    0

    % & /

    0 en otro caso

    %%

    & %

    =

    Calc$le P%S 2 . U] U ] 2 . U&.

    1. El ag$a B$e se 'otabili6a, 'roviene de $n ro con li!o en s$s'ensin. El contenido de li!$na variable aleatoria con 5$ncin de densidad dada 'or9

    14 ) 0 1

    % & ) 2 1 )4 20 en otro caso

    % %

    & % % %

    <

    = <

    Calc$le la es'eran6a y varian6a de la variable aleatoria.

    1+. Para re'arar $na obra de drena#e en $n rea donde la 'robabilidad de da ll$vioso es 0.deben e!'lear 12 das. Calc$le la 'robabilidad de B$e 3 sea necesario interr$!'ir la ob

    re'aracin 'or ca$sa de ll$via.

    1. En $n circ$ito se colocan tres ele!entos en serie B$e actHan inde'endiente!ente'robabilidad de 5alla de cada circ$ito es de 0.0+. >C$l es la 'robabilidad de B$e no

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    %b& >C$ntas 'reg$ntas se es'eran se contesten en 5or!a correcta?

    22. An ;otel + estrellas !$lta a los !o6os B$e de!oran en res'onder a $na solicit$d de $n cl

    en $na cena de gala. C$l 'robabilidad de B$e en )0 solicit$des $n !o6o de!ore en !s de dos?.

    2). Ana e!botelladora c$enta con 10 !B$inas de 5$nciona!iento inde'endiente, con 'robabide 0. de desco!'onerse.

    %a& >B$ 'robabilidad ;ay de B$e todas las !B$inas 5$ncionen nor!al!ente? %b& >B$ 'robabilidad ;ay de B$e slo !B$inas 5$ncionen nor!al!ente? %c& >B$ 'robabilidad ;ay de B$e slo !B$inas estn desco!'$estas, si se sabe B$e

    desco!'$estas !enos de ?

    2. El )0 K de las obras civiles estn en in5raccin. c;o ins'ectores visitarn cada $no 10 oseleccionadas al a6ar. >C$l es la 'robabilidad de B$e al !enos la !itad de los ins'ecenc$entren eDacta!ente obras en in5raccin?

    2+. $n banco llegan 120 clientes 'or ;ora.

    %a& >C$l es la 'robabilidad de B$e en $n !in$to lleg$en 'or lo !enos tres clientes? %b& >C$ntos clientes se es'era lleg$en en Y ;ora?

    2. Ana central de B$e#as tele5nicas recibe + lla!adas 'or da.

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    )). En el 'roble!a 2/, el se@or 'asa +.000 veces 'or el se!5oro. >C$l es la 'robabilidad deenc$entre verde 'or lo !enos 2100 veces?

    ). En el 'roble!a 1, se 'r$eban .000 ne$!ticos. >C$l es la 'robabilidad de B$e !s de 1+ne$!ticos 'asen la 'r$eba?

    )+. Ana 'artida de e!brag$es viene con el 10 K de de5ect$osos. i se necesita eB$i'aa$to!viles con e!brag$es b$enos y se co!'ran 1 e!brag$es9 a& >c$l es la 'robabilidano tener B$e co!'rar !s e!brag$es? b& >B$ 'robabilidad eDiste de tener B$e co!'rare!brag$es !s 'ara ter!inar los catorce a$to!viles?.

    ). En $n co!'$tadora 5allan en 'ro!edio dos transistores 'or ;ora segHn $na distrib$ciPoisson. Mientras !enos de siete transistores estn 5allados la co!'$tadora 5$nnor!al!ente, 'arndose en caso contrario. 7allar la 'robabilidad de B$e la co!'$tadora 'desarrollar $n clc$lo B$e ins$!e ) ;oras.

    ).

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    ).ea $n 'ico de ca$dal constante de 1 l4seg $sado en $na 'lanta e!botelladora. ea " la varaleatoria corres'ondiente al tie!'o B$e $na botella est deba#o del 'ico. $'ngase B$e "nor!al %! L 0,01&, siendo ! el valor de a#$ste de $n dis'ositivo B$e ;ace circ$lar las bote

    $'ngase B$e las botellas sean de $n litro. Indicar B$e valor de a#$ste ;a de to!arse 'ara $na 'robabilidad de 0, de B$e el lB$ido no rebalse. "o!ando el valor de a#$ste r;allado, indicar la 'robabilidad de B$e $na botella to!ada al a6ar tenga !enos de +0 cc.

    . C$l debe ser el cindicador del !Di!o de 'ersonas 'ara B$e el riesgo de B$e s$'ere esa carga sea !enor al10000?. $'onga B$e el 'eso de las 'ersonas sig$e $na distrib$cin nor!al con !edia +

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    "raba#o Prctico 3= )

    (stad$stica descripti"a. )edidas de posicin y de dispersin.1. En la seccin de control de calidad de $na e!'resa se registran las resistencias elctricas de

    100 bobinas en .

    ).) ).) ).)/ ).)2 ).)) ).2/ ).) ).)1 ).)) ).)).2 ).) ).)0 ).)1 ).)) ).) ).) ).) ).) ).)).)+ ).) ).)0 ).)2 ).)) ).)+ ).)+ ).) ).)2 ).)/).)2 ).) ).) ).)/ ).) ).) ).) ).)1 ).)) ).)0).)+ ).)) ).)/ ).) ). ).)1 ).) ).)2 ).2 ).)+).)/ ).) ).) ).)2 ).)0 ).) ).) ).0 ).)2 ).))).2 ).1 ).2 ).) ).1 ).) ).) ).) ).)) ).)).)1 ).)) ).)+ ).) ).)+ ).) ).)1 ).) ).) ).)+).0 ).)+ ).) ).)+ ).)+ ).) ).)/ ).)+ ).)1 ).)).)+ ).) ).) ).)1 ).)1 ).)0 ).)+ ).)) ).)+ ).)1

    %a& "ab$lar los valores y agr$'ar en intervalos de clase.%b& 8eali6ar el ;istogra!a y el gr5ico de 5rec$encias ac$!$ladas.%c& Calc$lar las !edidas de 'osicin y dis'ersin.

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    ).

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    "raba#o Prctico 3=

    )uestreo. (stimacin puntual. (stimacin por inter"alos

    1. e to!an todas las !$estras de ta!a@o 2, B$e '$eden obtenerse con ree!'la6o de $n boliB$e tiene ) bolas n$!eradas9 2, +, . 7allar la !edia y la desviacin estndar de la distrib$!$estral de !edias y co!'arar con la !edia y la desviacin estndar de la 'oblacin

    2.

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    12. Ana !B$ina llenadora de botellas dosi5ica volH!enes variables con distrib$cin nor!al$na desviacin estndar del B$e se sabe B$e es !$y estable y vale 1 c!). in e!bargvol$!en !edio, B$e debiera valer 0 c!), al salirse de '$nto la !B$ina, 'resenta variaci

    ra6n 'or la c$al debe controlrselo 'eridica!ente y a#$starlo, de ser necesario. estos e5se to!an !$estras 'eridicas de + envases y se !ide s$ contenido neto, calc$lando l$eg!edia y $n intervalo de con5ian6a del 0 K. i dic;o intervalo no contiene al valor es'eci5i%0 c!)&, se e5ectHa $na revisin c$idadosa de la !B$ina. En $na !$estra el valor !ediode /) c!). %a& Calc$le el intervalo de con5ian6a del 0 K e indiB$e la decisin a to!ar>F$ ta!a@o de !$estra ;abra B$e to!ar 'ara 'oder dar $n intervalo c$yo error !D

    'robable de !$estreo sea + c!)?.

    1). $'onga B$e la distrib$cin de las concentraciones de 'ara $na estacin de conta!ines nor!al con $na desviacin estndar de '.'.!. %'artes 'or !illn&. Ca'tando 1 !$estr$na ;ora de d$racin cada $na, seleccionadas al a6ar, en $n 'erodo de est$dio, se obt$vo!edia de '.'.!. e 'ide9 a& >c$l es el intervalo de con5ian6a del +K de nivel de con5i

    'ara esti!ar la verdadera !edia?L b& >c$l debe ser el ta!a@o de la !$estra si se desea Berror sea ig$al o in5erior a 0,2+ '.'.!., con $na con5ian6a del 0K?L c& >c$l es el intervacon5ian6a del +K 'ara esti!ar la !edia si el desvo 5$e esti!ado a 'artir de los datos

    !$estra %ig$al a '.'.!.&?1. $'onga B$e $na !$estra de barras eDtradas al a6ar de $na 'rod$ccin arro#an $na !ed

    20 c! y B$e la longit$d de las barras es $na variable aleatoria nor!al con $na desvia

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    es de + !in$tos, conocido 'or ensayos anteriores. e 'ide B$e calc$le el ta!a@o adec$ado !$estra a elegir.

    1. F$ condiciones adicionales se deben 'edir 'ara constr$

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    "raba#o Prctico 3= +

    Test de *iptesis. Bondad de ajuste.

    1. ea U la variable aleatoria corres'ondiente a la vida de $na 'rod$ccin de t$bos 5l$oresceProbados 100 t$bos res$lt % 1+0 y s 120. e 'ide veri5icar la ;i'tesis9

    709 100siendo la ;i'tesis alternativa9

    719 ] 100con $n nivel de signi5icacin ig$al a 0,0+.

    2. Ana $niversidad a5ir!a B$e s$s 'ro5esores cobran en 'ro!edio V 200 an$ales, condesviacin t'ica de V 2000. En $na !$estra al a6ar de 00 'ro5esores se encontr $n 'ro!de V 000 an$ales. e 'ide9

    %a& Con $n nivel de signi5icacin ig$al a 0,0+, veri5icar si la a5ir!acin de la 5ac$ltad es cie%b& i el s$eldo !edio an$al verdadero 5$era de V 000 con la !is!a desviacin t'ica, in

    el error ti'o II B$e se co!etera al ace'tar la a5ir!acin de la 5ac$ltad.

    ). An 5abricante de arandelas a5ir!a B$e el es'esor de las !is!as sig$e $na ley no%1 L 0,1&. e to!an 100 arandelas y res$lta B$e el es'esor 'ro!edio res$lt 0,.Con $n nivel de signi5icacin de 0,0+, co!'robar la a5ir!acin del 5abricante.

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    /. e $n con#$nto de 1 'lantas, de ellas 5$eron so!etidas a $n trata!iento B$!ico, y el nH!de 5r$tas B$e dieron 5$e res'ectiva!ente9

    1 2 1/ 2+ 2 2 2 2) 1

    las / 'lantas restantes no se las so!eti a ningHn trata!iento y s$ rendi!iento en 5r$tos 5$

    1 1 20 1 20 1 1+ 21

    Indicar si '$ede considerarse B$e el trata!iento 5$e e5ica6.

    . ea U la variable aleatoria corres'ondiente al nivel !ental de los al$!nos de la $niversidad

    sea T la variable aleatoria corres'ondiente al nivel !ental de los al$!nos de la $niversidae to!an 20 al$!nos de la $niversidad y 22 de la (. e ;all % 0, 2

    +s 100, y

    2

    ,s /0.e desea saber con $n nivel de signi5icacin ig$al a 0,01 si ;ay $na di5erencia signi5icativa los al$!nos de esas dos $niversidades.

    10. ea $n 'roceso de 5abricacin de bo!bas de l$6 con las c$ales se obtiene $na calidad tal B

    lo s$!o el 1 K de las bo!bas res$ltan !alas. e introd$ce $na !odi5icacin en el 'roces5abricacin B$e, se es'era, no altere dic;a calidad. e 5abricaron )00 bo!bas con la n!odi5icacin de las c$ales + res$ltaron !alas. e 'ide9%a& eter!inar si se '$ede establecer concl$siva!ente B$e ;a ;abido $n deterioro en la ca

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    1. e s$'one B$e la d$racin de las lla!adas tele5nicas tienen $na d$racin eD'onencial nega

    0 'ara t ] 0P%" ] t& 1 S e-t 'ara t N 0

    e ;acen 100 lla!adas, y s$s y s$s d$raciones res'ectivas 5$eron tales B$e9" 1 9 2 1 ] " 2 9 21 2 ] " ) 9 12) ] " 9 12 ] " + 9 " N + 9

    $'ngase B$e el 'ro!edio de d$racin de dic;as lla!adas ;aya sido t 1,/ !in$tos.e 'ide ;allar con $n nivel de signi5icacin ig$al a 0,0+ si los datos obtenidos 'rovienee5ecto de $na distrib$cin eD'onencial negativa.

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    "raba#o Prctico 3=

    -eresin lineal

    1.

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    F M F M F M F M F M2 2+ 1+ 1+ 2 22 1+ 20 1 11 22 1 1 1+ 20 20 21 2+ ))

    2 1 1+ 1 20 21 20 21 2+ 11/ 21 2+ ) 20 21 2+ 2+ 1+ 11/ 20 1 12 2+ 2+ 2 22 1 210 1) 1 1+ 2 22 22 1/ 2 2/1 1 1 1+ 22 1/ 2/ )) 2 2/1 1 1+ 1+ 2/ )) 20 21 )0 )02+ 2/ 1+ 1+ 20 21 2 1/ 2 )21/ 1 1) 1 2 1/ 2 20 2 2/20 10 2 1/ 2 20 2) 2+ 1 121 2) 22 1 2) 2+ 2 20 2+ ))20 20 )2 0 2 20 2 1/ 2+ 121 1 21 1/ 2 22 2) 1 1+ 1

    e 'ide B$e gra5iB$e los datos anteriores y ;alle la recta de regresin del test B$!ico en 5$ndel test !agntico. 7alle el coe5iciente de deter!inacin e inter'rete.

    +. En los siste!as 'rod$ctivos de ove#as tiene $n gran inters controlar las necesidades energtde cada ani!al ya B$e in5l$yen en la 'rediccin de la 'rod$ccin de carne. Por ello, se ;ato!ado $na !$estra de ove#as a$stralianas y a cada $na de ellas se le control s$ 'eso U

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    ensidad $re6a ensidad $re6a ensidad $re6a2, / ), 1210 +), 1//0

    2,/ 2 ), / + 1/02,) 1) 0,) 110 +,+ 1/202/, +1 0, 1010 +,) 20202/, + 0, 1100 +, 1/02 / 0, 11)0 +,2 2)10

    )0,) +/ 2, 120 +,/ 10)2, 0 +,/ 11/0 )20)+, , 100 , 200)/,+ 1 /,2 10 /,/ 2/0)/,/ 100 +1,+ 110 ,1 20),) 1020 +1,+ 2010 ,1 )10

    e 'ide B$e gra5iB$e los datos anteriores y ;alle la recta de regresin. 7alle el coe5iciendeter!inacin e inter'rete. Esti!e la d$re6a 'ara $na densidad de +0.

    . An !todo 'ara !edir la aceleracin de la gravedad en $n laboratorio consiste en $tili6a'nd$lo. Para 'eB$e@os a'arta!ientos de la vertical, el 'erodo de $n 'nd$lo viene dado '

    l

  • 7/25/2019 Programa y Practica de Probabilidad y Estadistica 2012 1

    26/26

    Ta$la de valores ara la distri$ucin Nor-al Est"ndar. 6 N 0 7 8 23

    2.2

    1

    ..2

    1&%

    0

    e0&

    =

    L donde9 0 y 1

    7,777,727,717,797,7:7,7;7,77,7?7,70,+00000,+0)0,+0/0,+110,+1++01//0,+)+/7,20,+)/)0,+)/00,+0,++120,+++0,++20,+)+0,+0,+120,+/00,+0+0,+/)0,+/10,02+0,020,1020,10 7,90,110,2120,2++0+/0,)10,/0)0,+1) 7,:0,++20,+100,20,00,00)0,)0,2;0,10,0,/0,010,0+00,0//0,1220,1+0,100,220 7,0,//10,10)0,)/0,)0,++0,/02)0,/0+110,/0/+0,/1/+0,/21210,/2)/10,/2)0,/2/0,/)10,/))/0,/)0,/)/1 2,70,/1)0,/)+0)10,/++)0,/+0,/+)0,/21 2,20,/))0,/+00,//0,/00,/2/0,/)02/2,10,//)0,///0,///0,/0+0,/2+10,/)+0,/10,/0,/)0,01 20/20,0//0,110,1)00,10,1210,1 2,:0,120,20)0,22200,2)2220,)0+0,)1/ 2,;0,))10,)/0,)+0,)0,)/220,))0,020,100,)00,)/0,/+0,+00,+0+)0,+1+0,+2+0,+)+20,+ 2,=0,++)0,0,+0,0/00,10,20,)2 2,>0,00,/+0,+20,)/0,120,+0,022,?0,12/0,1)0,2+0,)200,)/10,10,+000,++/0,1+0,/)10,//20,)20,/20,/0)00,/00,/120,/1 1,20,/210,/2+0,/)00010,/+000,/+)0,/+ 1,10,/100,/+0,/0,/1)0,/+0,//0,//00,/2/0,/+0,//)0,0100,0)0,010,0/0,1110,1)0,1+/ 1,:0,1/20,2/0,)0+0,)20,))0,)1 1,;0,)0,)0,1)0,)00,+00,+201,0,0,+20,

    10,//0,+0,/010,/0 1,?0,/1)0,/10,/2+0,/)10,/)0,/10,19,70,/+0,/0,/0,//0,//20,//0,//0,/)0,/0,00 9,21)0,10,1/0,210,20,20,2 9,10,)10,)0,)0,)/00,/0,+09,90,+20,+)0,++0,+0,+/0,00,10,20,/0,0,00,10,20,)0,0,+0, 9,;0,0,

    /10,/10,/20,/)0,/)

    7,777,727,717,797,7:7,7;7,77,7?@9,;0,0002)0,00020,0002+0,00020,00020,0002/0,00020,000)00,000)10,000)2 @9,:0,000)0,000)+0,000)0,000)/0,000)0,00000,00020,000)0,000+0,000 @9,90,000/0,000+00,000+20,000+0,000+0,000+/0,00000,00020,0000,000 @9,10,0000,00010,0000,0000,0000,000/20,000/0,000/0,00000,000 @

    9,20,0000,001000,00100,00100,001110,00110,0011/0,001220,00120,001)1 @9,70,001)+0,001)0,0010,0010,001+0,001+0,0010,0010,001+0,001/1 @1,?0,001/0,001)0,0010,0020+0,002120,00210,00220,002))0,00200,002/ @1,>0,002+0,0020,00220,002/00,002/0,002/0,00)00,00)10,00)20,00)) @1,=0,00)0,00)+0,00)/0,00)0,00)10,00020,001+0,0020,0000,00+) @1,0,0)+)0,0))0,0)+0,0)/)0,0)200,0000,00)0,01/20,0220,0)) @2,=0,0+0,0++10,0/0,00,0/0,00,0+0+00,0+1++0,0+220,0+)0 @

    2,0,211/0,210,2100,220+0,22))0,22)0,22+0,2)200,2)+0,2)//+ @7,=0,210,2+100,2/2+0,2+1)0,2+)0,2+/+0,2100,2)+0,2)0,20) @7,